Интегральный полосовой оператор типа Винера-Хопфа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РСФСР ПО ДЕЛАМ НАУКИ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ

На правах рукописи

/

Лахерник Александр Рафаахоют

УДК 617.94

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПОЛОСОВОЙ ОПЕРАТОР • ТИПА ВИНЕРА- ЯША

Специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/

Москва- 1991

Работа выполнена на кафедре математического анализа Москоаского ордена Трудового Красного Знамени института связи

- доктор фиаико-маЛматическв! наук, профессор П.К.Суетии

- доктор физико-ыатешгичеоких наук, профессор И.И.Баврнн

доктор физихо-матеыатических наук, профессор Л.А.Сахноннч

- Московский государственный университет имена М.В.Ломоносова

Защита диссертации состоится II юаня 1991 г. в 16 час. 00 иш. на заседании специализированного Совета К 063.68.05 в Московской институте электронного машиностроения" по адресу: Ыосква, Б.Вузовский пер., 3/12.

С диссертацией можно ознакомиться в Снеишотоко ШШ.

Автореферат разослан мая 1991 г.

Ученый секретарь

специализированного Совета гПш^нксВ.

доцент ^ П.В. Шнурков

Научннй руководитель Официальные оппоненты

I

Ведущая организация

_ 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тем. Многие конкретные задача физики и тех-гаки сводятся"к интегральным опэраторам, в которых ядро зависит •олько от разности аргументов, и интегральным уравнениям с та-ш операторами. Интегральные операторы в случае всей оси или юлокительной полуоси и уравнения с такими оператора)ли- иссле-1уются с помощью преобразования Фурье. В случае интогрального гравнения Вольтерра с разностным ядром применяются методы опера-ионного исчисления. Гораздо белее сложным является случай интеграла по коночному фиксированному сегменту. Такой случай рас-¡натрнвается в обзорной работе Л.А. Сзхновича [ I] .В ?той заботе описываются сводящиеся к таким уравнениям задачи контактной теории упругости, гидродинамики, задачи оптимального прог-юза, дифракции на полосе и экстремальные задачи теории синтеза штенп.

В теорий автоматического управления [ 2] встречаются операторы с разностным ядро?/, в которых интеграл вычисляется ю переменному сегменту конечной постоянной длины. К интеграль-1Ш уравнениям с таким оператором сводится и так называемая задача идентификации объекта в теории фильтрации радиотехнически сигналов. Встречается этот оператор л в задачах по статистической радиотехнике Гз] . Однако до сих пор математической теории такта операторов не разрабатывалось. Такой оператор в работе называется полосовым оператором типа Винера- Хопфа.

Два вышеупомянутых интегральных оператора на конечном сегмента и являются предметом рассмотрения в диссертации.

.1] Сахнович Л.А. Уравнения с разностным ядром на конечном отрезке,- Успехи математических наук.- 1980.- Т.35, внп. 4 ( 214).- с. 69-129

.2] Справочник по теории автоматического управления,- Под редакцией А.А.Красовского.- М.: Наука.- 1987.

. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - И5д. 3-е. - М.: Радио и связь. - 1989.

Цель работы' состоит в изучении интегральных операторов разностным ядром на конечном сегменте и интегральных уравнени с такими операторами. Основные результаты состоят в следующее

- приведены условия 'существования операторов с разностным я,щ в случаях постоянного и переменного сегмента интегрировеши

и исследованы преобразования этими операторами различных клас сов гладких функций;

- в случае комплексных переменных и аналитичности ядра или п[ образуемой функции доказана аналитичность получаемой $ункци1 в различных областях;

- рассмотрены интегральные уравнения первого и второго рода с полосовым оператором типа Винера- Хопфа и получены теоремы, I сапщиося существования и единственности их решепия;

- изучено преобразование полосовым оператором типа Винера- Х< фа различных множеств функций и получены формулы для решения интегральных уравнений первого и второго рода иа этих мнокес: вах.

Методика исследования. В диссертации-используются метод; теории функций действительного переменного, теории приближен! функций, а также методы исследования интегральных уравнений < разностными ядрами.

Научная новизна. Все основные результаты диссортацки я: ляются новыми. Получены условия существования интегральных операторов с разностными ядрами в случае конечного сегмента. Рассмотрены преобразования этими операторами различных класс« функций, алгебраических многочленов и тригонометрических полз номов. Впервые рассмотрены случаи аналитических ядра или про! разуецоИ функции, причем в этих случаях применена смещенные многочлены Чебыаева первого рода. Все установленные свойства интегральных операторов в случае конечного переменного сегме! применяются к исследованию соответствующие интегральных урав] ний первого и второго рода.

Практическое значение работы. Хотя работа носит теоретики® характер, но полученные результаты иог/т быть использова: при решении конкретных задач из теории автоматического управ пня и статистической радиотехники, кбо именно в этих областя пауки л техники встречаются все рассмотренные в диссертации операторы, но без исследования их математических свойств.

. Алро^агшя работа, Результаты диссертации докладывались на - й и 5- й Саратовских зимних школах по теории функций и прйб-шзниЯ ( г. Саратов, 1988 г., 1990 г.), на Всесоюзной школе-знференцяи " Современные проблемы теории функций" ( г. Баку, 389 г.).

Дубликаиии. Основные результаты диссертации опубликованы 5 работах автора, список которых приведен в конце авторефара->.

Структура и оС/ьсу работы. Диссертация состоит из введения, юх глав; список литературы содержит 38 наименований. :его в диссертации страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сделан краткий обзор имеющейся литературы по :тегральным, операторам с разностным ядром и уравнениям с таки-сператорамп, сформулированы задачи, изучаемые в диссертации, приведены основные полученные результаты.

б цервой глар? изучается интегральный оператор

У(>0= ] ( I )

£

я этом предполагается, что функция (£) определена на гменте , ядро К ( ) определено на некотором

гменте [ а, в] , а функция У ( К ) определена на сегменте . Задание двух из этих сегментов одназначно опреде-эт третий по формулам А ~с<£)=.

Приводятся различные условия существования оператора (I) рассматриваются преобразования км различных классов гладких гкций. Доказывается, что при условии КС?,) е. )ратор ( I ) является вполне непрерывным из (^лС^, [^>1 С [А,Я].

Далее в формуле ( I ) вместо действительной переменно:* К [вится комплексная переменная 2 и оператор рассматривается : условии аналитичности ядра К ( ) в некоторой области

комплексной плоскости, при этом находится область аналитичности получаемой функции У ( /£ ) .

Доказывается, что если область С 'есть круг | Щ (?, и «

у= ф.

, , то функция Т ( X) яв-

ляется аналитической в круге | Х-^3! Я" б" , причем радиус этого круга не может бить увеличен.

Для дальнейшего изучения этого вопроса применяются ряда по многочленам Чебышева первого рода { Тп (2)] . Через й^ обозначается каноническая область, ограниченная каноническим вллипсом Гг<

у1 + -Я-1---=1, К. > 1.

~ I 4 ч 2 »

к

Рассматривается случай О < ^ ( остальные случаи рассматриваются аналогично) и доказывается следующее утверждение

Теорема 1.4.1. Если ядро К ( ) является аиалнтичес кой функцией в канонической области С ^ и выполняется условие

. (2)

то при любой суммируемой функции ( Ь ) функция ( £

будет аналитической в канонической области Ск _ , где и определяется из формул

причем, если

СО

то имеет место разложение

И и (г)

■ и-о

сходящееся равномерно внутри , коэффициенты которого

определяются пй фор?лулам

«А

( з )

В более общем случае, когда условие ( 2 ) может на выполняться, вносто канонического эллипса Го вводится другой гл-

I}. , X )

лип о

л!_-1Ш

г.

\

с фокусами в точках ^ и X и центром в точке

° 2. Z , который называется обобщенным

каноническим эллипсом. Ограниченная этим эллипсом область

С^ X ) называется обобщенной канонической область». Показывается, что однозначно определяется максимальная по площади область ( [*■ , X ), целиком принадлежащая мно-

жеству где сА , ^ ) является пе-

ресечением двух областей, полученшх сдвигом канонической области Сд вдоль оси ох на в сличит/ ^ и р .

Вместо многочленов Чебышева Тм ( ) в этом случае рассматриваются снащенные многочлены Чебышева первого рода

для которых основным сегментом, вместо С - I, I^ , является сегмент [ ^и, XI •

- в -

Теорема 1.4.3. Если ядро К является аналитической функцией в канонической области Сц , а функция V ( ) суммируема на сегменте [<<• ,¡¡>3 , то <3дгикцая ( ) будет аналитической б максимальной обобщенной канонической области С, у, (^, К ), причем если

со

- КСО С сктк(ь),

то имеет место разложение п-о

сходящееся равномерно внутри , X ), а для коэффициен-

тов разложения справедливы формулы

оо р

и--^ ■ - - < 4)

Во второй главе изучается интегральный оператор * I

к-Ь °

По сравнению с оператором ( X ) вдесь ядро и преобразуемая функция меняются местами.

В формуле ( 5 ) ядро К ( ) определено на сегменте С о , К ] , а задание сегмента изменения одной из переменных , £ или X однозначно определяет сегмент изменения другой переменной. Например, если ( £ ) определена на сегменте «А. , I то V ( ^ ) определена на сегменте .

„ Поэтому, в отлично от оператора ( I ), для опоратора ( 5 ) области изменения переменных £ и К могут совпадать

ТОЛЬКО При X. , £ £ (-СЛ , ).

. Многзе результаты первой главы переяооятся на оператор ( С ) с поремекной местами ядра н преобразуемой функции.

При условии К ( ) £ С [о, Ь ] оператор ( 5 ) является вполне непрерывным из С [<¿,^3 в С f»t+fi,

Далее рассматривается преобразование оператором ( 5 ) различных множеств 'функций. Введен обозначение для моментов ядра

К ( > | 5

о

• <

Алгебраический многочлен стопени и преобразуется оператором ( 5 ) в многочлен К» о

степень которого не превосходит h ив точности равна п при виполнвкаи условия О , При этом коэффициенты многочлена Q ^ ( X ) выражаются через коэффициенты многочлена Ph ( t ) по формулам

ah.K - ¿Г НУ5 cj _ к-=о,1,...,п.

Периодическая функция ¥ ( ^ ) с периодом Т= преобразуется оператором ( 5 ) в периодическую функцию V ( X ) с тем ко периодом Т . Если коэффициенты Фурье функций V (£) и V ( X ) обозначить ah , £м и t/ц , соот-

ветственно, а .для тригонометрических моментов ядра ввости обоьначения

О

Bh - J Kit,)

то справедливы формулы

- 10 -■¿о - ао Ао

)аи - апВ>н + (>ь Ап , 11-1,2,...

В последнем параграфе второй главы вместо действительной переменной • К ставится комплексная переменная X , т.е. рассматривается оператор ^

УОО- ] ] К СО

г-А о

при условии аналитичности функции ¥ ( ^ ) в некоторой области комплексной плоскости С • при атом находится облает» аналитичности получаемой функции Ч' ( X ). ,

Если область С есть круг , где К > Т ,

то функция . V ( X ) будет аналитической е круге Ь

Б случае эллипса, как и апервой главе, применяются ряда по многочленам Чабшева первого рода, при этом получаются такие же результаты, только ядро и преобразуемая функция меняются местами, а переменная I , принадлежащая сегменту [ , меняется на переменную , принадлежащую сегменту С о • Ы В частности, если К ( ) £ С°> Ь] • а Функция Ч* (1 ) аналитическая в канонической области С ц , то при выполнении условия

+К (6)

функция Ч* ( 2 ) будет аналитической в кано1шческой области , где ^ 1 определяется из равенства

При этом из разложения

оо

ч>и) - И скт„(о / ¿сСя

- II -

будет следовать разложение

равномерно сходящееся внутри G у , -о коэффициентами

К.-И 0

где для ( ) справедливы формулы ( 3 ),

п

В более общем случае, когда условие { 6 ) может нч-вшол-няться, однозначно определяется максимальная по площади обобщенная каноничесгля область С (j« Д ) с , где

Gg ii ) является пересеченном области G^ п области, полученной из нее сдвигом на К вдоль оси ох. , а доказывается аналитичность функции У ( X ) в области С у (J* . ^ ) • При, атом будет иметь место разложение

rv~o

охотящееся равномерно внутри 6 у (jn , X ), с коэффициентами 1 (.к)

где для bh ( ^ ; ^ , К ) справедливы формулы ( 4 ), в которых у J, Т '

В третьей глапа рассматриваются интегральные уравнения о оператором ( 5 ). Сначала изучается интегральное уравнение второго рода

ччо«X J K(<-t)4ti)Jil ( 7>

в котором переменяно ^ а X принадлежат конечным сегмен-' там: ¿сО, М , ХеЩ+^/аД .

Теорема 3.I.I. Если [ъ ., а ядро К(^) е 1г С°, li]

и ЩКСО.и и . ,

то решение Ч5 ( К ) уравнение ( 7 ) на сегменте Г«1 , о(.+ К ] пожег быть задано произвольно так, чтобы У(х.)с или ^(к^сС , а затем на сегмент /ь] это реше-

ние продолжается единственным образом. Полученное решение при этом соответственно принадлежит пространству (к, Д1 или оказывается непрерывным на сегменте р.].

Далее рассматривается интегральное уравнение первого рода к Ь

] - \ - п*), ( 6 )

х-А ° .

в котором £ [ ^ , /ьЗ ,

Теорема 3.2.1. Пусть в уравнении ( 8 ) функции V (X), и К(^) , У7е[оД] непрерывно дифференцируемы и К (о) -=£0 . Тогда решение уравнения ( 8 ) на сегменте [<<, <£+- (>3 может быть задано произвольно так, чтобы Ч>60 е С и

] (9)

. .

а затем па сегмент г , ¡2.3 это решение продолжается единственным образом. Полученное решение при этом будет кусочно-непрерывным на сегменте

Условие ( 9 ) не является обременительным, т.к. если на сегменте С задать произвольную кеирсф'.шную .функцию

и обозначить ¿Д

]к и+к-щаШ-Е

ЕФО будет удовлетворять функция

Затем интегральные уравнения ( 7 ) и ( 8 ) рассматриваются! на некоторых множествах функций, т.е. предполагается, что в уравнении ( 7 ) или ( 8 ) известные функции принадлежат некоторому множеству, и решение уравнения тоже ищется в вида функции из этого множества.

Сначала эти уравнения рассматриваются на ынояеетве многочленов. Уравнение первого рода

а„00- ,

^ , то условию ( 9 ) при

и к

гдо 0 ц ( X ) - многочлен степени И , ¡г^ъ^*-* ,

а одучее выполнения условия М0т^ О на множество многочленов шсэт единственное рещеяла. Это решение яиляатся многочленом степени и

к-о

коэйвдиеяты которого последовательно определяются о помощь») формул

■•+...- С- 1)\Си м<) , к-о, <,.»>"•

Уравнение второго рода

1 X ) М*), СЮ)

о

где ( К ) - мнсгочлеа степени и

и

к««)- И *к ,

ь случав X М0 -4- на мнокосще многочленов имеет единственной решение в виде многочлена степени и

К-о - '

койф^цкенти которого последовательно определяются по формулам

1 Г ^

- ^ (-¿)к\аИ С* + ] , к«о. 1,...,*.

-14-

Воля кэ ЛИ0=1 и ядро оператора .К. ( ^ ) таково, что М^г , Мк+1^0 .

то уравнение(10) в пространстве многочленов имеет бесконечное множество решений. Все эти решения являются многочленами степени

»1+К+1 с

- Ц а*х ,

коэффициенты которых 0.о , произвольны, а

коэффициенты ■ . а^и <Як+1 опреде-

ляются единственным образом.

Далэо уравнения ( 7 ) и ( 8 ) рассматриваются на множестве периодических функций. Пусть в уравнении первого рода ( 8 )

( X ) является периодической функцией с периодом ,

решение уравнения ищется в виде периодической функции V () с тем яе периодом. Коэффициенты Фурье.этих функций обозначаются > Е • • соответственно. Если Аот4 О ц для всех ф О , то имеют мосто равенства

л - «¿а « «¿нАи+ЬпВь . , „

Ао (II)

При определенных условиях, обеспечивающих сходимость ряда ■•рье'с такими коэффициентами и возможность почленного интегри-: ания лри его подстановка в левую часть уравнения ( 8 ), этот : ' дает единственное решение уравнения ( 8 ) на множестве кЭПКОДИЧЭСКИХ функций.

Такими условиями могут, например, являться следующие требования к ядру К ( % ) и функции^ V ( X ) : V ( X ) имеет вторую производную, причем [у11] ; ядро

К. (. ^ ) таково, что при достаточно больших и

Последнее уелсвив заведомо выполняется при

Если же Аа — О или для некоторого и А ^ В к ^ О , то уравнение ( 8 ) может иметь решение соответственно лищь при <Ло~0 или - , при бт!о11 решений ( в случаях

сходимости соответствующих рядов Фурьо) бесконечное множество, так как в »тон случае коэффициенты Фурье <Х0 или й„ и для данного и произвольны. Для тех ке и , для которых о или А^+Ь^^О , по-прежнему действуют фор-

мулы ( II ) для коэффициентов Фурье йи и .

Пусть теперь в уравнеюш второго рода С 7 ) правая засть ^ ( К ) является периодической о периодом 1.0. функцией, решение уравнения ищется в иида периодической функции V ( X ) с тем на периодом. Коэффициенты Фурьо этих функции обозначаются , и Окп , соответственно. Если

и для всох а-ХАиУ^Х^Ви ¥=0 -

то доказывается, что коэффициенты н однозначно определяются цо коэффициентам "5"», и по формулам

а0 ~ , а„ , ,

1-ХА0 (1-ХАг,)ЧХхЬи' ( 12 )

I ~ Вп и , .

"7~-——1-> м-1/1, ..

(1-ЛА„УчХгЬ«

Ряд '»7рьо с этими коэффициентами ( при определенных условиях аналогичных приведенным выше для уравнения первого рода) дает единственное решение уравнения ( 7 ) на множестве периодических функций.

Если т ¿~\А0 **-0 пли для некоторого п

( 1-ХАп)2"^ О , то уравнение ( 7 ) на множество

периодических функций иохвт иметь' редейте соответственно лишь при Т>0 » О или "гГи -- о м "" О , при этоу реденнл ( в случаях сходимости соответствующих рядов 1урье) бесконочное множество, так как коэффициенты Фурье (Х0 или ап и ^

' ^пС- - 16 -

для давкйср VI произвольны. Для тех не И , для которнх или (А-ХДц)г'+Хг В^, т^О , по-прекнему действуют формулы (12) для коэффициентов Фурье и .

Оговорки о сходимости рядов Фурье становятся излишними, если уравнение ( 7 ) или ( 8 ) рассматривать на множестве тригонометрических многочленов.

Далео уравнения ( 7 ) и ( 8 ) рассматриваются на множестве функций, представикых сходящимися рядами Дирихле. Если в уравнении ( 8 ) V" £ е-^"* < а решение ищется в

виде ряда ¥(£) — 211 & л в , то при выполнении условий , =1, 2, ... , где

коэффициенты О.^ однозначно определяются по коэффициентам 6И. с помощью формул д

п - Аи.

Ряд Лирихле с такими коэффициентами ( при определенных условиях) дает единственное решение уравнения ( 8 ) на множестве рядов Дирихле. , -Х^Х

Если в уравнении ( 7 ) р' * > "= ¿^ <*и " * , а

п

решение ищется в виде ряда ЧЧх) ~ , то при

выполнении условий ¿-Х^т^О , И'= I, 2, ... , коэффициенты однозначно определяются по коэффициентам с/и с поморю формул •

п — ^

а« - 1=Тйг .

Ряд Дирихле с такими коэффициентами ( при определенных условиях) дает единственное реаение уравнепшг ( 7 ) на множестве рядов Дирихле.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

I. Лакерянк А.Р. Сб одном интегральном операторе Впнера-Хопфа /Всесоюзная школа-конференция "Современные проблемы теории функций". - Тезисы докладов. -Баку.:АзербайджанскиД уни-