Интегрируемость по Пенлеве систем нелинейных дифференциальных уравнений с приложениями к теории переноса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

БАЛАНДИН СЕРГЕЙ ПАВЛОВИЧ

ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ПО ПЕНЛЕВЕ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Стерлитамак 2004

Работа выполнена на кафедре математики Уфимского государственного авиационного технического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Банков В. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Мукминов Ф.Х кандидат физико-математических наук, доцент Черданцев И Ю.

Ведущее предприятие - Институт математики с ВЦ Уфимского Научного Центра РАН

Защита диссертации состоится '23 " 2004г. в

" " часов на заседании диссертационного совета К - 212.315.01 Стерлитамакской государственной педагогической академии.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии. Адрес академии; 453103, Стерлитамак, пр.Ленина, 49.

Автореферат разослан

-М-

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

канд. физ.-мат. наук, доцент В.Н. Кризский

/Г ' х- - - ----

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проверка интегрируемости и построение точных аналитических решений дифференциальных уравнений является весьма насущной проблемой как в теоретическом, так и в прикладном аспекте. Хотя впервые исследования подобного рода проводились сотни лет тому назад, но проблема еще не разрешена. Даже основополагающее определение понятия интегрируемости допускает на сегодняшний день различные трактовки. Среди подходов к общей теории интегрируемости можно назвать, например, групповой анализ, исследующий дифференциальные уравнения с точки зрения их инвариантности относительно групп преобразований. Основы группового анализа были заложены еще в XIX веке в исследованиях норвежца М.СЛи. Также можно упомянуть теорию солито-нов, начатую с наблюдения Дж.С. Расселом в 1834 году уединенной волны в одном из лондонских каналов и выросшую в мощную дисциплину, объединяющую иерархии сложных нелинейных уравнений. Высшим достижением указанной теории является, пожалуй, метод обратной задачи рассеяния, впервые разработанный Грином, Гарднером, Крускалом и Миурой, и позже В.Е.Захаровым и АБ.Шабатом. К вышеперечисленным подходам тесно примыкает также симметрийный анализ, который выявляет алгебраическую структуру определенных операторных соотношений. По мнению АКНьюэлла, именно алгебраические свойства лежат в основе всех методов проверки интегрируемости дифференциальных уравнений.

Одним из объектов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, является волоконная оптика, в свою очередь связанная с теорией переноса электромагнитного излучения. Нелинейные эффекты в световоде прояыщотоя [фи-срашитппьно не-^^ РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ

БИБЛИОТЕКА СЯепрвкрм а , О» ЩшЗУ

больших уровнях мощности источника излучения, что обусловлено высокой плотностью излучения, приходящегося на очень малую площадь сечения свеговода. Ведь диаметр световода измеряется микрометрами, что вполне сравнимо с длиной волны проходящего по нему излучения. Особая роль в важных для практических нужд теоретических построениях принадлежит поиску специальных решений нелинейных уравнений, таких как солитоны — сигналы, сохраняющие свою форму при взаимодействиях.

Теория солитонов явилась стимулом к усовершенствованию сверхширокополосных систем связи и созданию новых быстродействующих запоминающих устройств вычислительной техники нового поколения. Это привело к еще большему усложнению математических моделей, что, в свою очередь, вызвало необходимость модернизации методов исследования

Цель работы. Работа посвящена исследованию на интегрируемость систем нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка и построению их точных аналитических решений.

Методы исследования. В работе использован метод, который западные исследователи часто называют сингулярным анализом, поскольку он выводит заключение об интегрируемости исследуемых конкретных дифференциальных уравнений из отсутствия сингуляр-ностей у решений данных уравнений. Естественно, как и любой частный метод исследования, он имеет свои границы применимости, и наряду с преимуществами, не лишен недостатков. К сожалению, частный характер этого метода делает невозможным строгое доказательство неких общих формулировок, однако, он является прекрасным средством для эвристических умозаключений.

Первое применение техники сингулярного анализа к системам обыкновенных дифференциальных уравнений связано с работами

С.В.Ковалевской о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Примерно в то же время анализ уравнений второго порядка проводил ТШенлеве, в результате чего свойство отсутствия у решений подвижных (зависящих от констант интегрирования) сингуляр-ностей (где нарушается однозначность) получило название свойства Пенлеве, а сама процедура проверки указанного свойства именуется тестом Пенлеве-Ковалевской.

Идея сингулярного анализа уравнений с частными производными в случае двух независимых переменных состоит в поиске ряда Лорана для решения исходной задачи в виде (Джимбо, Крускал и Мива, 1982)

либо ряда более общего вида (Вейсс, Табор и Карнивэйл, 1983)

Последовательно находим показатель степени -р, с которого начинается разложение, те «резонансные» значения индексов у, при которых обращаются в ноль множители при соответствующих коэффициентах ряда, при этом один из индексов, соответствующий произвольной функции сингулярного многообразия (р(1,х), равен -I, подсчитываем число произвольных функций (констант интегрирования), которое, очевидно, должно совпадать с порядком исследуемого уравнения, и, наконец, обрываем ряд, что нередко позволяет вывести пару Лакса и получить специальные решения (см. рис 1).

Ищем решение ц = K[u] в виде 00

и = ^и}-(Р,"Р вблизи ф (^х) = 0. О

1. Анализ главного порядка.

2 Резонансы.

3 Произвольные функции.

4 Обрыв разложений.

5. Солитонные свойства (Пенлеве) или специальные решения (не Пенлеве).

Симметрия: (ир-ОН^'О^) и5>1,

оператор рекурсии:

Рис. 1. Алгоритм сингулярного анализа эволюционного уравнения.

Сингулярный анализ имеет то преимущество, что достаточно просто позволяет выписать общее или специальное решение конкретного исследуемого уравнения. Правда, следует обязательно подчеркнуть, что указанный анализ носит локальный характер, т.е. решение выписывается не во всем пространстве независимых переменных, а лишь в некоторой окрестности сингулярностей. Кроме того, метод весьма чувствителен по отношению к преобразованиям, будучи инвариантным лишь относительно дробно-линейных преобразований.

Сингулярный анализ дифференциальных уравнений допускает различные модификации, помимо тех двух, что указаны выше. Например, показатели степени и резонансные индексы могут быть дробными («слабый» тест Пенлеве). Хотя все рассуждения носят, скорее, эвристический характер, нежели характер строго доказываемых утверждений, однако он является достаточно мощным орудием исследования интегрируемости нелинейных моделей и позволяет явно выписать их решение.

Научная новизна работы заключается в том, что впервые путем анализа матричных аналогов первого и второго уравнений Пен-леве без поэлементного сравнения матриц, а с помощью разложения в матричный ряд Лорана, получены условия интегрируемости и построены формальные решения. Соотношения на коэффициенты ряда представлены в форме задач на собственные значения линейного оператора. Новой является также линеаризация нелинейной системы уравнений, связанной с гамильтоновой структурой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, к системе двух простых параболических уравнений. При предположении, что функция /(() в разложении Джимбо-Крускала-Мивы есть решение первого уравнения Пенлеве, ряд удалось оборвать. Найден новый случай ин-

тегрируемости системы связанных НУШ со смешением мод и обобщен ранее полученный при условии отсутствия смешения. Некоторые решения моделей теории переноса также получены впервые.

Практическая ценность. Полученные результаты могут способствовать лучшему пониманию как математических аспектов сингулярного анализа, так и прояснению механизма нелинейных физических эффектов теории переноса. Возможно, они будут способствовать разработке и усовершенствованию волоконно-оптических линий связи и созданию устройств оптической памяти для вычислительной техники.

Апробация работы. Результаты проведенных исследований неоднократно докладывались на региональных, всероссийских и международных конференциях, в частности следующих:

- II Межреспубликанская школа-семинар молодых ученых «Современные проблемы спектроскопии, лазерной физики и физики плаз-мы»./Минск, 16-20 октября 1989.

- XIV Международная конференция по когерентной и нелинейной оптике (КиНО' 91)./ Ленинград, 24-27 сентября 1991.

- Международная конференция по математической физике./ Челябинск, 10-16 июля 1995.

- Международная конференция «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы»./ Уфа, 28 мая-1 июня 2000.

- Международная конференция, посвященная 70-летию академика Л.М.Ильина «Асимптотики решений дифференциальных уравнений»./ Уфа, 26-30 мая 2002.

- Всероссийская научная конференция «Современные проблемы физики и математики»./ Стерлитамак, 15-18 сентября 2004.

Публикации. По теме диссертации выпущен 1 препринт и опубликовано 6 статей и 7 тезисов докладов. Из работ [5], [6], [9],

[11], [14], [15], выполненных в соавторстве, на защиту выносятся результаты, полученные лично соискателем.

Структура и объём работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 98 наименований, изложенных на 96 страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение содержиг общую характеристику работы; обосновывается актуальность темы диссертации, определяется предмет исследования и цель исследования.

В первой главе диссертации введены и исследованы матричные аналоги первого:

и второго уравнений Пенлеве:

где и(1) - искомая пхп матрица, А, В, С - постоянные матрицы.

Скалярные уравнения были получены в работах Пенлеве с соавторами при исследовании уравнений второго порядка и имели вид

и, соответственно,

и" = 2г? + ги + а

Первый параграф посвящен предварительным сведениям, определениям основных понятий и обзору результатов по редукции уравнений с частными производными к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Второй и третий параграфы содержат результаты исследований матричных аналогов уравнений Пенлеве, для которых доказаны Теорема 1.1. Решение уравнения (1.1) обладает свойством

Пенлеве тогда и только тогда, когда матрица В пропорциональна единичной матрице. Коэффициент пропорциональности можно положить равным единице.

Теорема 1.2. Решение уравнения (1.2) обладает свойством Пенлеве тогда и только тогда, когда матрица С пропорциональна единичной матрице.

С помощью матричной модификации теста Пенлеве получены формальные решения указанных уравнений в виде рядов Лорана, зависящих от наибольшего количества произвольных констант интегрирования. Коэффициенты рядов находятся как решения задач на собственные значения для некоторого линейного оператора, определяемого матрицей начального коэффициента ряда Лорана. В отличие от скалярного случая сам этот коэффициент содержит произвольные постоянные. Он является идемпотентом алгебры матриц: и^=ио и допускает представление в виде произведения столбца на строку причем скалярное произведение этих векторов и равно

Выписаны формулы для нахождения коэффициентов в виде некоммутативных полиномов, поэтому полученное решение, как заметил В.В.Соколов, пригодно и при замене алгебры матриц произвольной ассоциативной алгеброй с единицей. Изложение существенно опирается на возможность приведения матрицы, задающей начальный коэффициент, к Жордановой форме, где элемент первого столбца и первой строки равен остальные элементы нулевые. Найдя спектр линейного оператора, удовлетворяющего кубическому уравнению, как результат решения задач на собственные значения строятся последующие коэффициенты. Затем подсчитываются размерности пространств собственных векторов, что позволяет для построенного формального решения показать наличие наибольшего числа 2п2 произвольных констант. Матричные коэффициенты ряда

Лорана, не содержащие произвольных констант, определяются однозначно с помощью резольвентного оператора.

Следует заметить, что первое уравнение можно получить сим-метрийной редукцией из матричного уравнения Кортевега-де Вриза, в то время как второе не выводится аналогичным образом, например, из матричного уравнения мКдВ (Олвер, Соколов, 1997).

По аналогии со скалярным случаем можно выписать матрицы операторов линейной системы, для которой исходное уравнение является условием разрешимости. Однако, произвольная матрица А в первом уравнении не убирается путем замены переменных, как это происходило бы в скалярном случае.

Во второй главе диссертации приводятся результаты линеаризации системы двух нелинейных эволюционных уравнений типа Бюргерса с переменными коэффициентами:

»-у>хх + мх + и-2(2.1)

Эта система тесно связана с гамильтоновым представлением обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка <Рп~ё(ич>) (Сулейманов, 1994). Заметим, что первое и второе уравнения Пенлеве имеют именно такой вид, а в остальных четырех в правой части появляется зависимость от первой производной.

«Однородная часть» исследуемой системы

содержится в списке интегрируемых систем параболического типа (Свинолупов, 1989) и с помощью точной замены линеаризуется к простейшей системе уравнений диффузии. Однако в рассматриваемом нами случае такой подход не годится.

Первый параграф посвящен вспомогательным сведениям, касающимся особенностей сингулярного анализа уравнений с частными производными, второй параграф - описанию и сравнению различных модификаций этого метода. В третьем параграфе с помощью нескольких модификаций сингулярного анализа система с переменными коэффициентами исследована на интегрируемость. Доказана

Теорема 2.1. Исходная система (2.1) приводится к системе двух простых линейных параболических уравнений

где

Предъявляются решения исходной системы, полученные с помощью двух различных модификаций сингулярного анализа. В случае использования разложения Джимбо-Крускала-Мивы ряд удалось оборвать, когда функция сингулярного многообразия х=/(1) определяется первым трансцендентным уравнением Пенлеве. Для случая Вейсса-Табора-Карнивэйла решение задается бесконечным рядом. Вводя в рассмотрение ненулевой вронскиан линейной системы Ш(11, У)~ихУ-и¥х, получим связь между решениями исходной и полученной линейной систем: и-2(1пШ)х,

у^2(1п1¥)гих-и2/2+20- -4Ш(их, У^'ШО], V).

Модификация, основанная на инвариантном преобразовании функции сингулярного многообразия (р(1,х), предложенная Р.Конгом и М.Мюзетт, делает наиболее наглядным представление решения, приводящее к линеаризации исходной системы. Такой способ исследования фактически является аналогом преобразования Дарбу и имеет вид дифференциальной подстановки.

Третья глава диссертации посвящена описанию приложений сингулярного анализа к теории переноса в различных типах сред,

начиная с простерших неоднородных и нелинейных световодов, через учет эффектов дисперсии и нелинейности высшего порядка к эффектам смешения мод в диспергирующих средах.

В первых двух параграфах подробно описана физическая значимость и перечислены традиционные методы исследования математических моделей оптики световодов В третьем параграфе находятся разложения в ряд Лорана решений уравнений высших порядков, обобщающих нелинейное уравнение Шредингера, в четвертом проверяется интегрируемость системы связанных НУШ со смешением мод.

Аналогичная система при параметрах к-0 и р-1 была проинтегрирована С.В. Манаковым с помощью метода обратной задачи рассеяния Оказалось, что помимо обобщения этого случая для системы со смешением мод имеется и новый Доказана

Теорема 4.1. Решение системы связанных НУШ в случае кО обладает свойством Пенлеве при значениях параметра р=1 и /5=5.

Физически важные случаи р-0, р-2 3, р--2 при этом не являются интегрируемыми по Пенлеве. Стартуя с «вакуумного» решения u=v=0, удалось построить новое решение вида:

V = ш, где Ь, с, в - произвольные постоянные, V = 1.

Проведено также исследование уравнений более высоких порядков, получающиеся при учете новых физических эффектов переноса излучения, обусловленных дисперсией и нелинейностью световода. Добавление дисперсионных и нелинейных членов более высо-

-iuz+ 1 2 u„^kv ч- (,и\3 + р \v\2) и, -I vz I 1/2 v„ (\ v\3 + р \и\2) v.

b

exp {ibt +1(— + v*)z + tO)

2 t +- bz + с '

кого порядка приводит к некоторым обобщениям НУШ, для которых в третьем параграфе найдены специальные и частные решения, а также доказана неинтегрируемость в смысле Пенлеве большинства такого рода уравнений, за единственным исключением.

Следует заметить, что ранее соответствующие уравнения теории нелинейного переноса подвергались изучению в основном численными методами. Сингулярный анализ обобщений НУШ высоких порядков проводился также Кларксоном с соавторами (1987, 1990). Система, аналогичная изученной в последнем параграфе, исследовалась индийскими учеными в 1986 г., однако случай, соответствующий параметру р~3, для той системы не прошел тест Пенлеве.

В заключении формулируются основные результаты работы:

• Введены и исследованы матричные аналоги первого и второго трансцендентных уравнений Ненлеве, построены их формальные решения с наибольшим количеством произвольных констант. Выведены формулы для матричных коэффициентов разложения решения в ряд Лорана в терминах собственных векторов задач на собственные значения линейного оператора.

• Проведена линеаризация системы типа Бюргерса с переменными коэффициентами к системе простых линейных параболических уравнений. Для одной из модификаций сингулярного анализа представляющий решение системы ряд Лорана удалось оборвать.

• Исследованы на интегрируемость по Пенлеве некоторые задачи волоконной оптики, моделирующие процессы переноса излучения по нелинейному световоду. Найдены некоторые решения для моделей, описываемых системой связанных НУШ со смешением мод, а также обобщениями НУШ, учитывающими дисперсионные и нелинейные эффекты высшего порядка.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Баландин С.П. Задачи и методы аналитической теории нелинейных световодов. - Минск, 1990. - 22 с. - (Препринт/ИТМО АН БССР: №7).

2. Баландин С.П. Тест Пенлеве и аналитическое решение обобщенного нелинейного уравнения Шредингера // Весц Академц Навук Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук, -1992. № 1. - С. 115-118.

3. Баландин С.П. Проверка интегрируемости и поиск аналитических решений уравнений нелинейной оптики световодов // Известия РАН. Сер. физическ. -1992. № 9. - С. 43-47.

4. Баландин С.П. Анализ сингулярностей и специальные решения уравнений динамики коротких импульсов в диспергирующей нелинейной среде // Дифференц. уравнения - 1992. Т. 28, № 10. -С. 1839-1840.

5. Баландин С.П., Сулейманов Б.И. Линеаризация системы типа Бюргерса, связанной с гамильтоновой структурой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференц. уравнения -1994. Т.30, № 12. - С 2175-2176.

6. Balandin S.P., Sokolov V.V. On the Painleve test for non-Abelian equations // Phys. Lett. A -1998. Vol. 246, No.3-4. - P. 267-272.

7. Баландин С.П. Сингулярный анализ системы нелинейной оптики // Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании. - Уфа: УГАТУ, 1999. - С. 32-40.

8. Баландин С.П. Метод аналитического решения нелинейной граничной задачи прохождения излучения по волоконному световоду // Тез. докл. конф. молодых ученых. - Уфа, 1985. - С. 139.

9. Разработка контрольно-измерительных приборов системы управления технологическим процессом изготовления волокна, технологии и оборудования для металлизации и расчет волоконных

датчиков: Отчет о КИР (заключит.) / УАИ, руководитель РАТухватуллин. - 3-06-86; ГР 01880043862; Инв. 0288 0053123. -Уфа, 1986.-89 с.

10. Баландин С.П. Повышение точности математического моделирования световодной системы управления технологическими процессами // Проблемы внедрения достижений научно-технического прогресса в области автоматизации и механизации производственных процессов. Тезисы докладов республиканской межотраслевой научно-технической конференции. - Уфа, 1986. - С. 56-57.

11. Баландин С.П., Тухватуллин Р.А., Хабибуллин М.Л. К теории распространения волн в движущемся нелинейном одномодовом волоконном световоде // V Всесоюзная конференция по проблемам волоконно-оптических систем передачи. -М.,1988. -С. 47-49.

12. Баландин С.П. Ряды Лорана в аналитической теории нелинейных световодов // Современные проблемы спектроскопии, лазерной физики и физики плазмы. - Минск, 1990. - С. 164-167.

13. Баландин С.П. Проверка интегрируемости и поиск аналитических решений уравнений нелинейной оптики световодов // XIV Международная конференция по когерентной и нелинейной оптике (КиНО' 91). -Ленинград, 1991. -Ч.Ш. С. 94-95.

14. Баландин С.П., Соколов В.В. Тест Пенлеве для неабелевых уравнений в ассоциативной алгебре с единицей // Труды международной конференции: Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы. - Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН, 2000. -II Дифференциальные уравнения. С 16-19.

15. Баландин С.П., Нечаева М.С. Обобщения неабелевых уравнений Пенлеве // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции (Стерлитамак, 15-18 сентября 2004). - Уфа: Гилем, 2004. - Том 1. С. 13-17.

Подписано в печать 26.11.04. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Гарнитура "Таймс". Усл. печ. л. 0,49. Уч. - изд.л.0,98. Тираж 100 экз. Заказ 036. Отпечатано с готовых оригиналов в типографии «Печатный домъ» ИП Верко. Уфа, Цюрупы 151 оф. 22. т/ф.: 227-600,229-123, 745-935

: i — 9 52

Введение

1 Тест Пенлеве для неабелевых уравнений

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Первое матричное уравнение Пенлеве.

1.3 Второе матричное уравнение Пенлеве.

2 Линеаризация системы эволюционных уравнений

2.1 Предварительные сведения . . . . !.

2.2 Модификации сингулярного анализа.

2.3 Линеаризация системы типа Бюргерса.

Теория интегрируемости дифференциальных уравнений — дисциплина, бурно развивающаяся прямо на глазах. Эта область науки сейчас весьма актуальна и в нее вносят вклад многие исследователи и научные группы, работающие в различных странах мира. Среди них: М.Дж.Абловитц, М.Д.Крускал, А.К. Ныоэлл (все — США), П.Уинтерниц (Канада), Ф. Калоджеро (Италия), Р.Конт (Франция), М.Мюзетт(Бельгия), А.Форди (Великобритания), М.Лакшма-нан (Индия), Р.Хирота (Япония), В.И.Фущич (Украина), В.И.Гро-мак, Н.А.Лукашевич, А.И.Яблонский (все — Беларусь), В.Е. Захаров, H.A. Кудряшов, А.Б.Шабат, Л.Д.Фаддеев (все — Россия) и многие другие, на перечисление которых потребовалось бы слишком много места.

Хотя первые кирпичики в фундамент указанной теории закладывались сотни лет тому назад, но само здание еще не вполне завершено. Даже основополагающее для этой теории определение понятия интегрируемости допускает на сегодняшний день различные трактовки. Все перечисленные выше ученые являются представителями разных подходов к построению теории интегрируемости. Среди этих подходов можно назвать, например, групповой анализ, исследующий дифференциальные уравнения с точки зрения их инвариантности относительно групп преобразований. Основы группового анализа были заложены в XIX веке в исследованиях норвежца М.С.Ли. Или же можно упомянуть такую отрасль науки как теория солитонов, начатую с наблюдения Дж.Скоттом Расселом в 1834 году уединенной волны, которую он не мог догнать, скача на лошади вдоль канала, и выросшую в мощную дисциплину, объединяющую целые иерархии сложных нелинейных уравнений. Высшим достижением указанной теории является, пожалуй, метод обратной задачи рассеяния (Грин, Гарднер, Крускал, Миура). К вышеперечисленным подходам тесно примыкает также симметрийный анализ, который выявляет алгебраическую структуру определенных операторных соотношений. По мнению А.К.Ныоэлла, именно алгебраические свойства лежат в основе всех методов проверки интегрируемости дифференциальных уравнений.

Мы сосредоточимся лишь на одном частном методе, который западные исследователи часто называют сингулярным анализом, поскольку он выводит заключение об интегрируемости исследуемых конкретных дифференциальных уравнений из отсутствия син-гулярностей у решений данных уравнений. Естественно, как и любой частный метод исследования, он имеет свои границы применимости, и наряду с преимуществами, не лишен недостатков. К сожалению, частный характер этого метода делает невозможным строгое доказательство неких общих формулировок, однако, он является прекрасным средством для эвристических умозаключений.

Идея состоит в поиске решения исходного уравнения с частными производными в виде аналога ряда Лорана с переменными коэффициентами по степеням некоторой функции независимых переменных (Джимбо, Крускал и Мива [20]) оо 3=0 либо более общего вида (Вейсс, Табор и Карнивэйл [21]) оо и = х). j=0

Последовательно находим показатель степени —р, с которого начинается разложение, те значения индексов ], при которых обращаются в ноль множители при соответствующих коэффициентах ряда, при этом один из индексов, соответствующий произвольной функции сингулярного многообразия ф, будет ^ = — 1, подсчитываем число произвольных функций, которое, очевидно, должно совпадать с порядком исследуемого уравнения, и, наконец, обрываем ряд , что нередко позволяет вывести пару Лакса.

Сингулярный анализ имеет то преимущество, что достаточно просто позволяет выписать общее или специальное решение конкретного исследуемого уравнения. Правда, следует обязательно подчеркнуть, что указанный анализ носит локальный характер, т.е. решение выписывается не во всем пространстве независимых переменных, а лишь в некоторой окрестности сингулярностей. Кроме того, метод весьма чувствителен по отношению к преобразованиям, будучи инвариантным лишь относительно дробно-линейных преобразований.

Сингулярный анализ дифференциальных уравнений допускает различные модификации, помимо тех двух, что указаны выше. Хотя все рассуждения носят, скорее, эвристический характер, нежели характер строго доказываемых утверждений, однако он является достаточно мощным орудием исследования интегрируемости нелинейных моделей и позволяет явно выписать их решение.

Одним из объектов, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, является волоконная оптика, в свою очередь связанная с теорией переноса электромагнитного излучения. Нелинейные эффекты в световоде проявляются при сравнительно небольших уровнях мощности источника излучения, что обусловлено высокой плотностью излучения, приходящегося на очень малую площадь сечения световода. Ведь диаметр световода измеряется микрометрами, что вполне сравнимо с длиной волны проходящего по нему излучения. Особая роль в важных для практических нужд теоретических построениях принадлежит поиску специальных решений нелинейных уравнений, таких как солитоны — сигналы, сохраняющие свою форму при взаимодействиях. Теория ауштонов явилась стимулом к усовершенствованию сверхширокополосных систем связи и созданию новых быстродействующих запоминающих устройств вычислительной техники нового поколения. Это привело к еще большему усложнению математических моделей, что, в свою очередь, вызвало необходимость модернизации методов исследования.

Работа посвящена применению современных математических методов интегрирования математических моделей, описываемых как нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями с частными производными. Исследование нелинейных процессов переноса является повой, сравнительно мало изученной областью и весьма актуально в свете формирования истинных представлений об этих сложных с физической и математической точек зрения явлениях.

В работе предложена модификация сингулярного анализа многомерных моделей, позволившая более просто проверить интегрируемость матричных обобщений двух первых трансцендентных уравнений Пенлеве. При этом обобщение второго из указанных уравнений получено впервые, какая-либо редукция его из интегрируемых уравнений с частными производными не была известна. Представление коэффициентов разложений допускает замену алгебры матриц произвольной ассоциативной алгеброй с единицей. Кроме этого, используя сингулярный анализ, была линеаризована система типа Бюргерса с переменными коэффициентами, связанная с га-мильтоновой структурой о.д.у. второго порядка. Проведено также аналитическое исследование процессов переноса, получены разложения общих и специальных решений некоторых нелинейных моделей, проанализирована интегрируемость по Пенлеве рассмотренных уравнений и систем.

Первое применение техники сингулярного анализа к системам обыкновенных дифференциальных уравнений связано с работами

С.В.Ковалевской о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. Примерно в то же время классификацию уравнений второго порядка проводил П. Пенлеве, в результате чего свойство отсутствия у решений подвижных, т. е. зависящих от констант интегрирования, сингулярностей, где нарушается однозначность функции, получило название свойства Пенлеве, а сама процедура проверки указанного свойства именуется тестом Пенлеве-Ковалевской.

Скалярные уравнения второго порядка, не сводившиеся к линейным никакими преобразованиями переменных, возникли в работах Пенлеве с соавторами. Первые два таких уравнения имели вид и" = 6и2 + г (0.1) и и" = 2 и3 + ги + а (0.2) соответственно, где а — произвольная константа.

В первой главе диссертации введены и исследованы матричные аналоги двух первых трансцендентных уравнений Пенлеве:

17" = 6112 + гЕ + А (0.3) и

II" = 2 и3 + XV + аЕ. (0.4)

С помощью теста Пенлеве получены формальные решения указанных уравнений в виде рядов Лорана, зависящих от наибольшего количества произвольных констант интегрирования. Коэффициенты рядов находятся как собственные векторы задач на собственные значения для некоторого линейного оператора, определяемого матрицей начального коэффициента ряда Лорана. В отличие от скалярного случая сам этот коэффициент содержит произвольные постоянные. Выписаны формулы для нахождения коэффициентов в виде некоммутирующих полиномов. Это означает, что решение пригодно и при замене алгебры матриц произвольной ассоциативной алгеброй с единицей. Изложение существенно опирается на возможность приведения матрицы, задающей начальный коэффициент, к Жордановой форме. Доказаны две теоремы о необходимых и достаточных условиях, при которых решения вышеприведенных уравнений обладают свойством Пенлеве.

Во второй главе диссертации приводятся результаты преобразования системы двух нелинейных эволюционных уравнений типа Бюргерса с переменными коэффициентами: к системе двух простых линейных параболических уравнений где ж) = д(1,х), и предъявляются ее общее и частное решения, полученные с помощью двух различных модификаций сингулярного анализа. В случае использования модификации Джимбо-Крускала-Мивы ряд удалось оборвать, если функция х = /(¿) является решением первого трансцендентного уравнения Пенлеве.

Здесь же проводится сравнение различных модификаций сингулярного анализа, обращая внимание на ограничения в области их применения. В частности, "слабый"тест Пенлеве допускает наличие у решений алгебраических точек ветвления, когда разложение решения в ряд идет по дробным степеням и получаются дробные резонансы. Другая модификация (Р.Конт, М.Мюзетт) основана на инвариантном преобразовании функции сингулярного многообразия. Инвариантный сингулярный анализ делает наиболее наглядным представление решения, приводящее к линеаризации исходной системы.

Щ =ихх + иих + ух-2д(1,х), Щ = ухх + уих + ид(Ь, х) - 2дх(Ь, х)

0.5)

Уг= Ухх-\С(1,х)У,

0.6)

Третья глава диссертации посвящена описанию приложений сингулярного анализа к теории переноса в различных типах сред, начиная с простейших неоднородных и нелинейных световодов, через учет эффектов дисперсии и нелинейности высшего порядка к эффектам смешения мод в диспергирующих средах. Подробно проанализирована физическая значимость исследованных моделей, перечислены традиционные методы решения соответствующих дифференциальных уравнений. Находятся разложения в ряд Лорана решений уравнений высших порядков, обобщающих нелинейное уравнение Шредингера (НУШ), а также проверяется интегрируемость системы связанных НУШ со смешением мод iuz + \utt = kv + (\и\2 + p\v\2)u,

-ivz + \vtt = ku + (\v\2 + p\u\2)v. (0.7)

Доказана теорема об обладании решения такой системы при к ф 0 свойством Пенлеве в двух случаях р — 1 и р = 3. Первый случай обобщает результат С.В.Манакова, полученный для аналогичной модели без учета смешения мод, последний случай является новым.

Некоторые из решений обобщенных НУШ также получены впервые. Следует заметить, что ранее соответствующие уравнения подвергались изучению в основном с помощью численных методов.

Заключение содержит выводы по результатам проведенных исследований.

Полученные результаты могут способствовать лучшему пониманию как математических аспектов сингулярного анализа, так и прояснению механизма нелинейных физических эффектов, что может послужить основой для разработки новых световодных устройств в системах передачи и хранения информации.

Анализ физических аспектов теории переноса был выполнен в аспирантуре Института тепло- и массообмена имени А.В.Лыкова

Академии Наук Белорусской ССР в рамках темы "Оптика 2.45", а матричные аналоги уравнений Пенлеве исследованы во время стажировки в Институте Математики Уфимского Научного Центра РАН.

Результаты проведенных исследований неоднократно докладывались на региональных, всероссийских и международных семинарах и конференциях в Уфе, Минске, Москве, Санкт-Петербурге, Стерлитамаке, Челябинске. По теме диссертации выпущен препринт и опубликовано б статей и 7 тезисов докладов. Некоторые из работ выполнены в соавторстве. К защите представляются результаты, полученные лично соискателем.

Автору хотелось бы выразить свою глубокую и искреннюю признательность P.A. Тухватуллину, П.М. Колесникову и особенно научному руководителю В.А.Байкову, соавторам В.В. Соколову и Б.И. Сулейманову за стимулирование исследований, постановку некоторых задач, интерес к работе, ценные советы и плодотворные обсуждения.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации

• Введены и исследованы матричные аналоги первого и второго трансцендентных уравнений Пенлеве и построены их формальные решения с наибольшим количеством произвольных констант. Выведена формула нахождения матричных коэффициентов разложения решения в ряд Лорана в терминах собственных векторов линейного операторного уравнения на собственные значения. Доказаны необходимые и достаточные условия интегрируемости по Пенлеве матричных аналогов уравнений Пенлеве.

• Проведена линеаризация системы типа Бюргерса с переменными коэффициентами к системе линейных параболических уравнений. Для одной из модификаций сингулярного анализа представляющий решение ряд Лорана удалось оборвать. Доказана теорема о линеаризации и найдены формулы связи решений исходной нелинейной и полученной линейной систем.

• Различные нелинейные модели протестированы на наличие свойства Пенлеве. Найдены решения моделей, описываемых системой связанных НУШ со смешением мод, а также обобщениями НУШ, учитывающими дисперсионные и нелинейные эффекты высшего порядка. Доказаны соответствующие теоремы об интегрируемости и неинтегрируемости по Пенлеве рассмотренных моделей.

1. Painlevé P. //Comptes Rendus - 1898. Vol.126 - P. 1185-1188, 1697-1700; Vol.127. - P. 541-544, 945-948

2. Gambier B. Sur un systemè d'équations différentielles //Acta Math.- 1910. Vol.33.- P. 1-55

3. Fuchs L. //Berl. Ber.- 1884. S.699-710, 1171-1177

4. Kowalevski S. Sur la problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe. //Acta Math. 1889. Vol.12 - P.177

5. Kowalevski S. Sur une propriété d'un système d'équations différentielles, qui définit la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe //Acta Math 1890. Vol.14. - P. 81

6. Ковалевская C.B. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки //В кн.: Научные работы. — М.: Наука, 1948. С. 153-220

7. Громак В.И., Лукашевич Н.А. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве.— Минск: Университетское, 1990. -157 с.

8. Скотт Э.К., Чжу Ф.И.Ф., Маклафлин Д.В. Солитон — новое понятие в прикладных науках //ТИИЭР 1973. Т.61, вып. 10. - С. 79-123

9. Giannini J.A., Joseph R.I. The role of the second Painleve transcendent in nonlinear optics //Phys. Lett. A 1989. Vol. 141.- P. 417-418

10. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. Пер. с итал. — М.: Мир, 1985. 472 с.

11. Теория солитонов: метод обратной задачи. / Под ред. С.П.Новикова. — М.: Наука, 1980. 319 с.

12. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. 479 с.

13. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.- 694 с.

14. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur Н. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. I , II //J. Math. Phys.- 1980. Vol.21.- P. 715-721, 1006—1015

15. Athorne C., Fordy A.P. Generalized KdV and mKdV equations assotiated with symmetric spaces //J. Phys. A 1987. Vol. 20. -P. 1377-1386

16. Olver P.J., Sokolov V.V. Integrable Evolution Equations on Associative Algebras //Communications in Mathematical Physics- 1998. Vol. 193.- P. 245-268

17. Balandin S.P., Sokolov V.V. On the Painleve test for non- Abelian equations //Phys. Lett. A 1998. Vol. 246, No. 3-4. - P. 267-272

18. Баландин С.П., Нечаева М.С. Обобщения неабелевых уравнений Пенлеве // Современные проблемы физики и математики. Труды Всероссийской научной конференции (Стерлитамак, 15-18 сентября 2004). Уфа: Гилем, 2004. - Том 1. С. 1317

19. Lakshmanan М., Tamizhmani К.М. Painlevé analysis and integrability aspects of nonlinear evolution equations //Solitons: Introduction and Applications./ Edited by M.Lakshmanan. — Springer, 1988. P. 145-161

20. Jimbo M., Kruskal M.D., Miwa T. //Phys. Lett. A 1982. Vol. 92. - P. 59-67

21. Weiss J., Tabor M., Carnevale G. Painlevé property for partial differential equations //J. Math. Phys. 1983. Vol. 24. - P. 522526

22. Weiss J. The Painlevé property for partial differential equations. II: Bácklund transformation,Lax pairs and the Schwarzian derivative //J. Math. Phys. 1983. Vol. 24. -P. 1405-1413

23. Weiss J. On classes of integrable system and Painlevé property //J. Math. Phys. 1984. Vol.25. - P. 13-24

24. Weiss J. The Painlevé property and Bácklund transformations for the sequence of Boussinesq equations //J. Math. Phys. 1985. Vol.26. - P. 258-269

25. Weiss J. Modified equatuions, rational solutions and the Painlevé property for Kadomtsev-Petviashvili and Hirota-Satsuma equations //J. Math. Phys 1985. Vol.26. - P. 21742180

26. Weiss J. The sine-Gordon equations: Complete and partial integrability //J. Math. Phys. 1984. Vol.25. - P. 2226-2235

27. Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов: Сб. научн. тр.// АН УССР. Ин-т теор. физ.— Киев: Наукова думка,1990. 472 с.

28. Cariello F., Tabor М. Painlevé expansions for nonintegrable evolution equations // Physica D 1989. Vol. 39. - P. 77-94

29. Кудряшов H.A. Точные решения нелинейных волновых уравнений, встречающихся в механике //Прикл. матем. и мех. -1990. Т. 54, вып. 3. С.450-453

30. Кудряшов H.A. Многофазные и рациональные решения нелинейных уравнений одного семейства //ТМФ 1993. Т. 94, № 3.-С. 393-407

31. Kudryashov N.A. On types of nonlinear nonintegrable equations with exact solutions //Phys. Lett. A 1991. Vol.155, No. 4,5-P. 269-275

32. Козлов B.B. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела //Прикл. матем. и мех.- 1978. Т.42, № 3. С. 400-406

33. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамиль-тоновой механике // УМН 1983. Т. 38, № 1. - С. 3-67

34. Зиглин СЛ. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике. I, II //Функц. анализ и прилож. 1982. Т. 16, N 3.- С. 30-41; //Ibid. - 1983. Т. 17, № 1.- С. 8-23

35. Hietarinta J. //Phys. Rep., 1987. Vol.147. P.87

36. Ныоэлл А. Солитоны в математике и физике. Пер. с англ. — М.: Мир, 1989.-326 с.

37. Strampp W. Symmetries and the Painleve property //Progr. Theor. Phys.- 1986. Vol. 76.- P. 802-809

38. Musette M., Conte R. Algorithmic method for deriving Lax pairs from the invariant Painleve analysis of nonlinear partial differential equations //J. Math. Phys- 1991. Vol.32, No.6-P. 1450-1457

39. Pogrebkov A.K. On the formulation of the Painleve test as a criterion of complete integrability of partial differential equations //Inverse Problems 1989. Vol. 5.- P. L7-L10

40. Steeb W.-H., Louw J.A. Some remarks on Painleve test and integrability //Physica Scripta 1987. Vol. 36 - P. 11-14

41. Daniel M., Sahadevan R. On the weak Painleve property and linearization of the evolution equation щ = uxxx + u\x + 3im2 + +\uAux //Phys. Lett. A 1988. Vol. 130.- P. 19-21

42. Yoshida H. Necessary conditions for the existence of algebraic first integrals.I,II //Celest. Mech. 1983. Vol.31. - P. 363-379,381399

43. Yoshida H. A criterion for non-existence of an additional analytic integral in Hamiltonian systems with n degrees of freedom //Phys. Lett. A 1989. Vol. 141, No.3-4.- P. 108-112

44. Fordy A., Pickering A. Analysing negative resonances in the Painlevé test //Phys. Lett. A 1991. Vol. 160 - P. 347-354

45. Conte R. Singularities of differential equations and integrability //An introduction to method of complex analysis and geometry for classical mechanics and nonlinear waves /Edited by D.Benest and C.Froeschlé. — Gif-sur-Ivette, 1994. -P. 1-80

46. Chazy J. Sur les équations différentielles du troisième et d'ordre supérier dont l'intégrale générale à ses points critiques fixés //Acta Math.- 1911. Vol. 34.- P. 317-385

47. Bureau F.J. Differential equations with fixed critical points //Annali di Matematica Pura ed Applicata 1964. Vol.66.- P. 1116

48. Conte R. Universal invariance properties of Painlevé analysis and Bâcklund transformation in nonlinear partial dfferential equations // Phys. Lett. A 1988. Vol. 134. - P. 100-104

49. Gibbon J.D., Radmore P., Tabor M., Wood D. The Painlevé property and Hirota's method //Studies in Appl. Math. 1985. Vol. 72.- P. 39-63

50. Strampp W. Lax-pairs, spectral problems, and recursion operators //J. Math. Phys. 1984. Vol. 25. - P. 2905-2909

51. Nucci M.C. Painlevé property and pseudopotentials for nonlinear evolution equations //J. Phys. A: Math. Gen., 1989. Vol. 22. P. 2897-2913

52. Gibbon J.D., Newell A.C., Tabor M., Zeng Y.B. Lax pairs, Bâcklund transformations and special solutions for ordinary differential equations //Nonlinearity 1988. Vol. 1.- P. 481-490

53. Hlavaty Ladislav. On the Painlevé classification of partial differential equations //J. Math. Phys. 1992. Vol. 33 - P. 888894; //Czechoslovak. J. Phys.- 1992. Vol. 42.- P. 7G5-781.

54. Михайлов A.B., Шабат A.B., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений //УМН 1987. Т. 42, вып. 4.- С. 3-53

55. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Векторно-матричиые обобщения классических интегрируемых уравнений //ТМФ 1994. Т. 100, № 2.- С. 214-218

56. Its A.R., Novokschonov W.Y. The isomonodromic deformation method in the theory of Painlevé equations //Lecture Notes in Mathematics 1986. Vol. 1191- P. 1-313

57. Сулейманов В.И. Гамильтоновость уравнений Пенлеве и метод изомонодромных деформаций //Дифференц. уравнения -1994. Т. 30, № 5.- С. 791-796

58. Fuchs R. Uber lineare homogene Differetialgleichungen zweiter Ordnung mit drei im Endlichen gelegene wesentlich singularen Stellen //Mathematische Annalen 1907. Bd. 63.- S. 301-321

59. Svinolupov S.I. On the analogs of the Burgers equation //Phys. Lett. A 1989. Vol. 135, No. 1. - P. 32-36

60. Баландин С.П., Сулейманов Б.И. Линеаризация системы типа Бюргерса, связанной с гамильтоновой структурой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка //Дифферент уравнения 1994. Т. 30, № 12 - С. 2175-2176

61. Мешков А.Г. Групповой анализ уравнений нелинейной электродинамики //Изв. ВУЗов. Физика 1990. № 7 - С. 27-31

62. Теумин И.И. Волноводы оптической связи. Пер. с англ. — М.: Связь, 1978.- 168 с.

63. Маркузе Д. Оптические волноводы. Пер. с англ.— М.: Мир, 1974. 576 с.

64. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. Пер. с англ.- М.: Мир, 1984. 512 с.

65. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984. 752 с.

66. Баландин С.П.,Тухватуллин P.A. Аппроксимационный вариант метода Ныотона-Канторовича для решения нелинейных краевых задач // Исследования по математике, физике, механике и процессам управления. Тез. докл. — Уфа, 1983.- С. 1516

67. Баландин С.П. Метод аналитического решения нелинейной граничной задачи прохождения излучения по волоконному световоду // Тез. докл. конф. молодых ученых. — Уфа, 1985. С. 139

68. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. Пер. с англ. — М.: Наука, 1978. 375 с.

69. Семенов Н.А. Оптические кабели связи: Теория и расчет. — М.: Радио и связь, 1981. 153 с.

70. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде //ЖЭТФ -1971. Т.61, вып. 1(7).- С. 118-134

71. Mollenauer L.F.,Stolen R.H., Gordon J.P. Experimental observation of picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibres //Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 45, No. 13. -P. 1095-1098

72. Hasegava A., Tappert F. Transmission of stationary optical pulses in dispersive dielectric fibres. I. Anomalous dispersion //Appl. Phys. Lett. 1973. Vol. 23, No. 3. - P. 141-144

73. Hasegava A., Tappert F. Transmission of stationary optical pulses in dispersive dielectric fibres. II. Normal dispersion //Appl. Phys. Lett. 1973. Vol. 23, No. 4.- P. 171-172

74. Ахманов С.А., Выслоух В.А., Чиркин А.С. Оптика фемтосе-кундных лазерных импульсов. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 312 с.

75. Zhao W., Bourkoff Е. Femtosecond pulse propagation in optical fibres; higher order effects //IEEE J. Quantum Electron. 1988. Vol. 24, No. 2. - P. 365-372

76. Грудинин А.Б., Фурса Т.Н. Точные решения уравнения распространения импульсов по BOJIC в фемтосекундном диапазоне //Оптика и спектроскопия 1990. Т. 68, вып. 1. - С. 210213

77. Баландин С.П. Тест Пенлеве и аналитическое решение обобщенного нелинейного уравнения Шредингера //Весщ Акадэмп Навук Беларусь Сер. ф1з.-мат. навук. 1992. № С. 115-118

78. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. Пер. с англ. — М.: Мир, 1977.- 622 с.

79. Мишаев Р.А., Теплицкий Э.Ш. О солитонном режиме распространения ультракоротких импульсов в нелинейных диспергирующих средах //Труды ин-та прикладной математики им. Векуа. — Тбилиси, 1989. Вып. 32 С. 215-228

80. Баландин С.П. Задачи и методы аналитической теории нелинейных световодов. — Минск, 1990. 22 с. - (Препринт/ ИТМО АН БССР: № 7)

81. Clarkson P.A., Tuszynski J.A. Exact solutions of multidimensional derivative nonlinear Schrodinger equations for many-body systems near criticality //J. Phys. A -1990. Vol. 23.- P. 4269-4288

82. Clarkson P.A., Cosgrove C.M. Painleve analysis of the nonlinear Schrodinger family of equations //J. Phys. A 1987. Vol. 20. -P. 2003-2024

83. Баландин С.П. Проверка интегрируемости и поиск аналитических решений уравнений нелинейной оптики световодов //Известия РАН. Сер. физическ. 1992. № 9 - С. 43-47

84. Баландин С.П. Анализ сингулярностей и специальные решения уравнений динамики коротких импульсов в диспергирующей нелинейной среде //Дифференц.уравнения 1992. Т. 28, № 10.- С. 1839-1840

85. Найфэ А. Методы возмущений. Пер. с англ. — М.: Мир, 1976. 445 с.

86. Blow K.J., Doran N.J. High bit rate communication systems using nonlinear effects //Opt. Commun. 1982, Vol. 42, No. 6. -P. 403-40G

87. Хасегава А., Кодама Ю. Передача сигналов оптическими соли-тонами в одномодовом волокне //ТИИЭР 1981. Т. 69, N 9.-С. 57-62

88. Kodama Y., Hasegava A. Nonlinear pulse propagation in a monomode dielectric guide //IEEE J. Quantum Electron. 1987. Vol. 23, No. 5.- P. 510-524

89. Grimshaw R. Slowly varying solitary waves. II. Nonlinear Schrodinger equation //Proc. R. Soc. Lond. A 1979. Vol. 368-P. 377-388

90. Trillo S., Wabnitz S., Stegeman G.I. Nonlinear propagation and self-switching of ultrashort pulses in fiber nonlinear directional couplers: the normal dispersion regime //IEEE J. Quantum Electron. 1989. Vol. 25. - P. 1907-1916

91. Манаков С.В. К теории двумерной стационарной самофокусировки электромагнитных волн //ЖЭТФ 1973. Т. 65, вып. 2(8).-С. 505-516

92. Sahadevan R., Tamizhmani К.М., Lakshmanan М. Painleve analysis and integrability of coupled nonlinear Schrodinger equations //J. Phys. A 1986. Vol. 19. - P. 1783-1791

93. Zakharov V.E., Schulman E.I. //Physica D 1982. Vol. 4.-P. 270

94. Tratnik M.V., Sipe J.E. Bound solitary waves in a birefrigent optical fibres //Phys. Rev. A 1988. Vol. 38, No. 4.- P. 20112017

95. Баландин С.П. Сингулярный анализ системы нелинейной оптики // Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании. Уфа, 1999. - С. 32-40