Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Садэтов Семен Тигранович

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ И АЛГЕБРЫ ЛИ

01.02.01 -— теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2005

Диссертационная работа выполнена в Донском государственном техническом университете

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.И.Нейштадт доктор физико-математических наук, профессор A.B.Болсинов доктор физико-математических наук, A.B. Борисов

Ведущая организация:

Математический институт Российской академии наук

Защита состоится "_"_2005 года в 16 часов на

заседании специализированного совета Д 501.001.22 в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу:

119992, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 1610.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "_"_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного сошста

доцент /jfc В.А.Нрошкин

Л ^ У

/2227 Общая характеристика работы

В диссертационной работе получены необходимые условия существования дополнительного алгебраического интеграла в ряде задач классической механики, найдены новые интегрируемые случаи, нетривиальные представления уравнений движения в виде уравнений Эйлера Пуанкаре на алгебрах Ли В качестве далеко идущих обобщений доказана классическая гипотеза об алгебрах Ли: Фоменко - Мищенко, поставленная в 1981 году.

Интегрируемые случаи и построенные на их основе теории возмущений позволяют качественно проанализировать динамику реальных систем на больших интервалах времени, что недоступно численным методам. Согласно теории Колмогорова - Арнольда - Мозера при гамильтоновом возмущении невырожденной интегрируемой гамильтоновой системы большинство нерезонансных торов не исчезает, а лишь немного деформируется. Классические системы часто оказываются модельными для возникающих в приложениях задач совершенно другой физической природы.

В рассматриваемых в диссертации задачах аналитические методы доказательства неинтегрируемости либо не применимы ввиду вырожденности системы, либо позволяют охватить лишь малые области в пространстве параметров, близкие к невозмущенным интегрируемым системам. Используемые алгебраические методы позволили установить критерии интегрируемости.

Аппарат алгебр Ли гармонично отражает скрытые симметрии идеализированных задач механики и физики и поэтому проникает во все новые области математики и других наук. Представления в виде уравнений Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли естественно возникают в задачах теории упругости, биологии и др.

Цель исследования. Нахождение критериев существования полного набора алгебраических интегралов в задачах классической механики. Доказательство гипотезы Фоменко - Мищенко (1981).

Научная новизна. В §1.1 доказана гипотеза Фоменко -Мищенко: алгебра Пуассона полиномов от элементов произвольной конечномерной алгебры Ли содержит полный коммутативный набор.

В §1.1 доказано, что некоммутативная интегрируемость по Фоменко - Мищенко сводится к.коммутативной интегрируемости по Лиувиллю.

В §2.1 установлено новое свойство классического объек-

Гпис^ПйймтммЦерезина -ММИвТЕКА !

та - симплектической структ]

*•!■«■<■ »И" I

Костанта - Сурьо на орбитах коприсоединенного представления алгебраических алгебр Ли. А именно, эта симплекти-ческая структура точна в комплексе рациональных дифференциальных форм на коалгебре.

В §2.2 представлен класс новых изоморфизмов локализованных алгебр Пуассона, локализованных универсальных обертывающих алгебр. Класс связан с отщеплением идеала, являющегося (2п + 1)-мерной алгеброй Гейзенберга.

В §3.1 произведена регулярная редукция пространственной задачи трех тел. Она приводит к уравнениям Эйлера -Пуанкаре на алгебре Ли зр{4). Исследован гомотопический тип редуцированных орбит.

В §3.2 установлено продолжение общих интегрируемых случаев уравнений вращения твердого тела вокруг центра инерции до интегрируемости поступательного движения п|ш наложении постоянной в сопутствующих осях силы тя-

В §3.3 установлена интегрируемость уравновешенных центрированных равночастотных линейно упругих вибраций при свободном вращении вокруг неподвижной вертикальной оси

В §3.5 построен интегрируемый аналог осесимметрично-го гравитационного потенциала двух центров Дарбу - Гребенникова - Аксенова - Демина в трехмерном пространстве постоянной кривизны.

В §3.6 получены серии новых регулярных потенциалов на (п - 1)-мерном эллипсоиде (сфере), разделяющихся в эллиптических (сферо-конических) координатах, базис в пространстве рациональных разделяющихся потенциалов.

В §4.1 - §4.3 установлено, что все случаи существования дополнительного алгебраического интеграла исчерпываются классическими в следующих задачах:

а) Кирхгофа движения твердого тела в жидкости (в предположении определенной симметрии, когда не работают аналитические методы),

б) Хилла движения Луны,

в) ограниченной круговой плоской задачи трех тел,

г) задачи Якоби движения точки по эллипсоиду в

в квадратичном потенциале при наличии п + 1 взаимно-ортогоналыюй плоскости симметрии задачи.

(В задачах б) и в) несуществование дополнительного алгебраического интеграла доказано на произвольном уровне интеграла энергии.) Пол>чено упрощение классическою

тода Гюссона при наличии полного набора алгебраических оскулирующих переменных.

В разд. 4 из §4.2 в алгебраической категории ускшонле-

на наследуемость интегрируемости по Лиувиллю па произвольные инвариантные еимплектические подмногообразия размерности 4.

Методы исследования. Поскольку доказательства гипотезы Фоменко - Мищенко и результатов §2.2 опираются на единый подход, это позволяет говорить о новом методе. В нем рассматриваются пуассоновы бирациопальные изоморфизмы сопряженных пространств к алгебрам Ли с последующей локализацией алгебр Пуассона функций на сопряженных пространствах.

При нахождении новых интегрируемых случаев используется метод цепочек подалгебр Трофимова (1979) - ТЫтт-а (1980), разделение эллиптических координат. В §3.3—§3.4 решения находятся в ^-функциях Римана от п переменных с характеристиками.

При построении редукции пространственной задачи N+1 тел используется переход к полному набору инвариантов действия группы Ли изометрий трехмерного евклидова пространства. При вычислении гомотопического типа орбит в пространственной задаче трех тел используется полярное разложение самосопряженной линейной алгебраической

группы 4) и точная гомотопическая последовательность расслоения.

Нахождение необходимых условий интегрируемости осуществляется усовершенствованным подходом Гюссона. При доказательстве наследуемости интегрируемости по Лиувиллю использованы методы бирациональной геометрии алгебраических многообразий.

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Однако полученное С.Т.Садэтовым представление пространственной задачи трех тел в виде уравнений Эйлера - Пуанкаре на алгебре Ли яр(4) может быть использовано для повышения эффективности численных вычислений. Аналогично может быть использована редукция пространственной задачи N + 1 тел в окрестности относительных равновесий. Интегрируемая система, описывающая колебания твердых и линейно упругих тел при свободном вращении может быть использована для моделирования реальных явлений. Поскольку доказательство гипотезы Фоменко - Мищенко конструктивно, оно позволяет строить интегрируемые системы на алгебрах Ли. Доказательство гипотезы Мищенко • Фоменко послужило основанием для приглашения для чтения лекций в Университет г. Бонна и может стать основой для спецкурса по кафедре дифференциальной геометрии и приложений мехмата МГУ. Усо-

вершенствование метода Гюссона может быть использовано для нахождения случаев существования дополнительного алгебраического интеграла в задачах механики, интегрируемый гравитационный потенциал двух комплексных центров

- при моделировании динамики в пространстве постоянной кривизны.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

на семинарах кафедры теоретической механики и меха-троники МГУ (рук. акад. В.В.Козлов, проф С.В.Болотин, чл.-корр. РАН Д.В.Трещев) в 1993 - 2002 гг.

- на семинаре кафедры высшей геометрии и приложений

МГУ (рук. акад. А.Т.Фоменко, проф. А.В.Болсинов) в 2003 г'>

- на семинарах кафедры высшей алгебры МГУ (рук. проф. Э.Б.Випберг) в 2001 2004 гг.,

- на семинаре университета Маннхайма (рук. проф. Е.Бинц) в 1997 г.,

на семинаре института Макса-Планка (Бонн) (рук. чл.-корр. РАН Ю.И.Манин) в 1997 г.,

на Международной алгебраической конференции (Москва) в 2004 г.,

па семинарах кафедры теоретической механики и меха-троники МГУ (рук. чл.-корр. РАН В.В.Белецкий) в 2004 г.,

- на семинаре университета г. Вупперталь (рук. проф. П.Литтельманн) в 2004 г.,

- на семинаре института А.Пуанкаре (г. Париж) (рук. проф. Ж.Алев) в 2004 г.,

на семинарах кафедры динамических систем МГУ (рук. акад РАН Д.В.Аносов, проф. А.М.Степин) в 2005 г.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит введение, 4 главы, разбитые на 13 параграфов и список литературы (164 источника) и занимает обьем 161 страницы, включая 5 рисунков и 1 таблицу. Формат печати текста, на странице 45 строк по 60 - 70 символов.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, кратко формулируются полученные результаты, описывается их взаимосвязь. Каждый параграф преде 1авля ет собой, как правило, отдельную статью актора с тем же названием и содержит краткий обзор предшествующих результатов, непосредственно связанных с полученными автором.

11;>С1ь üer объекты и главах 1 и 2, если не оговорено иное, определены над полем к харак теристики Ü. Пусть в §1 1 §2.1 0 - конечномерная алгебра Ли.

§11 Коммутатор [, ] в 0 продолжается до скобки Пуассона па алгебре Ли - Пуассона Р{9) полиномов от элементов 0 с помощью тождества Лейбница Пусть 0* - сопряженное пространство к 0. ind 0 = min, G0* dim ann0 x коранг скобки Пуассона. Здесь ann0 х аннулятор ковектора х в алгебре Ли 0.

Гипотеза 1 (А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко, 1981, [7, 9]). Алгебра Р(0) содержит |(diin 0 + indfl) функционально независимых полиномов, попарно коммутирующих относительно

И

Согласно [7, 9] из гипотезы 1 (в случае поля К или С) вытекает гипотеза 2, в частности ради которой она и была сформулирована.

Гипотеза 2 (А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко, 1978, §5.1 в [8], [7, 9]). Пусть гамильтонова система на многообразии M интегрируема с помощью алгебры Ли 0 первых интегралов, среди которых dim 0 функционально независимых на многообразии М, и dim 0 +ind 0 = dim M. Тогда существует коммутативный набор h dim M функционально независимых интегралов, являющихся полиномами от исходных.

В §5.3-4 в [8] гипотеза 2 была сформулирована в обобщенной формулировке, но позднее, в [7], [9] - приведенная основная формулировка.

Гипотеза 1 была доказана для 26 классов алгебр Ли см. [9]:5.31.10-35.

В 11 из 26 и в неупомянутых в [9] классах, а именно, для компактных алгебр Ли, некоторых естественных полупрямых сумм Ra H яо(п) А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко, А.В.Бол-синовым, Ю.Н.Федоровым, О.И.Богоявленским, И.В.Мики-тюком, В.В.Трофимовым, A.M.Переломовым, А.Г.Рейманом, А.В.Браиловым, А.В.Беляевым были построены полные коммутативные наборы, содержащие гамильтониан, квадратичный положительно определенный по импульсам на соответствующей группе Ли, имеющий механическую интерпретацию.

В 6 из 26 классов, пересекающихся с упомянутыми 11, а именно, для полупростых алгебр Ли и некоторых их полупрямых сумм с абелевыми алгебрами Ли в наборе не содержится положительно определенный по импульсам гамильтониан, но содержится невырожденный квадратичный, см. ра-

боты А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко, А.В.Болсинова, В.В.Трофимова, А.В.Браилова.

В оставшихся И из 26 классов для некоторых полупрямых сумм полупростых и абелевых алгебр Ли, всех нильпотент-ных алгебр Ли, некоторых разрешимых алгебр Ли, алгебр Ли малых размерностей, тензорных произведений интегрируемых алгебр Ли на фробениусовы алгебры А.В.Болсиновым,

A.В.Браиловым, В.В.Трофимовым, М.Всрнь (M.Vergne),

B.А.Гинзбургом, Т.А.Архангельским, Ле НгокТьеуеном, С.Ся-ровым, Т.А.Певцовой просто построены полиномиальные, или даже рациональные, наборы.

Теорема. Гипотезы 1 и 2 справедливы для произвольной конечномерной алгебры Ли 0.

Первоначальное доказательство теоремы из перечисленных результатов использовало только метод сдвига аргумента для полупростых алгебр Ли, предложенный в классической работе А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко. Оно возникло попутно при доказательстве более сложной гипотезы Гельфан-да - Кириллова после конечных расширений тел. А.В.Бол-синов независимо занимался гипотезой 1 и им были предложены существенные упрощения доказательства гипотезы 1.

Схема доказательства теоремы. Пусть п - произвольный ненулевой нильпотентный идеал в 0, не являющийся одномерным подпространством центра. Пусть г f обозначает центр алгебры Ли f, a Fract - поле частных. Положим

0 = Р(п) <8>гР(п) К + 0 К. (1)

Тогда 0 - сумма линейных комбинаций элементов 0 с коэффициентами в К и локализации Р(п) по центру.

Предложение 1. а) 0 - подалгебра Ли в Fract Р(0),

б) aniig п - подалгебра Ли над полем К в Fract Р(0)

Согласно [13]:3.2,2.6.iv,v,

^(n) ®zP(n) Fract zP{n) = Pn ® Fract cP(n), (2)

где In = dim n — tr. deg Fract zP(n), Pri - алгебра Пуассона полиномов от базиса в 2п-мерном симплектическом пространстве, = изоморфизм алгебр Пуассона. Пусть ann¿ Р„ обозначает аннулятор подпространства Р„ в ал1 ебре Ли 0.

Предложение 5. 0 ~ Рп®А'+апп0 Р„ сумма А'-линсйиых подпространств, пересекающихся по К.

Предложение 5 вытекает из того, что нее дифференцирования стандартной алгебры Ли Пуассона внутренние

ь

Основная лемма Объединение полных коммутативных наборов и Р(п) и в P(muig п) является полным коммутативным набором в FractP(0).

Доказательство основной леммы. Пусть S является К-линейиым дополнением к А'-линейному подпространству aniig п в А-линейном пространстве ипщР„. Рассмотрим объединение базисов: в кольце Рп, в поле К над к,

в линейном дополнении к полю А' в алгебре Ли ann0 п над полем А,

в линейном пространстве S над К. В силу (2). (1) оно является базисом в поле Ли - Пуассона Fract Р(д) над к. Тогда матрица R скобки Пуассона в этом базисе запишется в виде

ки Пуассона подалгебры Ли arnig п, * - некоторые матрицы, несущественные для дальнейшего.

Но апп0(Р„® К) = Kevfi, где апщРп —у der К является гомоморфизмом алгебр Ли и А'-линейным отображением аналогично вспомогательной лемме раздела 2 в [11]. Тогда ß\s - вложение А-линейных пространств. Столбцам матрицы А отвечают дифференцирования поля К в силу элементов базиса в S над К. Эти дифференцирования линейно независимы над А. Следовательно, и столбцы линейно независимы над К.

Из подсчета ранга матрицы R вытекает

dim 0 = (dim я ann0 n) — 1) + 2n + (tr. deg К 4- dim^ S), ind 0 = (ind/f annjj n -1) -f (tr. deg К - dim/f S).

Тогда

, R1 - подматрица матрицы скоб-

-(dim 0 -I- ind 0) = n + tr. deg K+ 2

^(dim/f ann¿ n + indA' аппд n) — 1.

1

Переходим от алгебры Ли 0 над полем к к алгебре Ли апПдП над полем К, и т. д.: производится индукция по размерности алгебры Ли независимо от поля, над которым она определена. Индукция приводит к аннулятору, являющемуся прямой суммой полупростой алгебры Ли и одномерного центра.

§2.1. Пусть 0* - сопряженное пространство к алгебре Ли 0. Для точки £ е 0*, элементов Е, Т £ 0 и ковекторов и = ad= v — ady £ определяется форма Кириллова - Березина - Костанта - Сурьо [3] = {£, [Е, Т]). На орбитах О*

коприсоединенного представления группы Ли G алгебры Ли 0 она является симплектической структурой, см. [16]:§14.3, [10]:§15.4.

Пусть алгебра Ли 0 - алгебраическая. Пусть М С 0* -произвольное неприводимое Ас1*-инвариантное алгебраическое подмногообразие. Следующее утверждение использовано автором в [30]:

Теорема. На подмногообразии М существует такая рациональная 1-форма fi, что в ограничении на произвольную орбиту О* С М выполнено ш = ¿¡л.

Пример. Если x,y,z - ортонормированный относительно формы Киллинга базис алгебры Ли so(3, К) и х — г cos в cos ip, у = г cos 0 sin (¿>, г = rsinfl, где г > 0, < в < |, 0 < <р < 27Г, то и — г cos 9dd Л d<p — dz Л darctg^ - деленая на г форма площади на стандартной сфере радиуса г > 0 и может быть выбрано ц = rsm$dtp = z'^'^f. Теорема и

пример свидетельствуют в пользу того, что уравнения Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли, см. [16], могут оказаться глобально лагранжевыми в подходящих координатах.

Доказательство примера. Присоединенное представление Ad сохраняет форму Киллинга. Ее уровень в so(3,R)* формы Киллинга - стандартная сфера x'2 + y2 + z2 = const. Если отождествить so(3,R) и so(3,R)* с помощью формы Киллинга и взять = г и пару u,v ортогональных единичных векторов из Т^О*, то может быть выбрано Е = ±j, Т =

для некоторой пары знаков. Тогда (£, [Е, Т]) ±г-2(£, [и, И]) = ±г~\

Не ограничивая общности, предположим, что к подполе поля коэффициентов С, и заменим 0 на 0 <8^ С-

Доказательство теоремы основано на некоммутативной симплектической редукции, см. [1]:Дополнение 5А, [10]:§13 1

'5, [10]-15 3 Л именно, рассматривается соответствующая алгебре Ли 0 связная алгебраическая группа G Рассматриваются левое и правое действия группы G на кокасатель-пом расслоении T*G и их отображения моментов //./, : T*G —> 0+, см. |1]:Дополнение 5. эквивариантные и пуассо-новые, см также [16]'§12.4 Из коммутативности действий легко следует, что орбита левого действия является уровнем отображения момента правого действия: = Пусть St^ С G - стабилизатор точки £ при индуцированном представлении Ad* группы G на 0* Фактормногообразие орбиты левого действия = £ по правому действию подгруппы Stf является симплектическим и изоморфно орбите копри-соединенного представления группы G, проходящей через точку см. [16]:§14.3, [10]:§15.4. Рассматривается расслоение орбиты левого действия группы по правому действию подгруппы и рациональное квазисечение S этого расслоения, см. [4]:§2.5. Пусть v и Q - канонические 1-форма и симплектическая структура на T*G. Ограничение условия Г2 = du на орбиту левого действия допускает дополнительное ограничение на квазисечение S. Поэтому ограничение и на обиту О* и\то* является дифференциалом алгебраи-

| ческой 1-формы - образа 1-формы v при накрытии S —О*.

Аддитивно усредняя алгебраическую 1-форму по ветвям над О*, получаем рациональную 1-форму с тем же дифференциалом.

| §2.2. Пусть п конечномерная некоммутативная ниль-

потентная алгебра Ли, у которой кольцо полиномиальных инвариантов коприсоединенного представления порождено

линейными функциями. Пусть 0 - произвольная алгебра Ли. В разделе рассматриваются полупрямые суммы п ~\р 0 по произвольному представлению р : 0 —» dern такому, что для центра z п алгебры Ли п имеется /?-инвариан гное дополнение.

Установлено, что некоторая локализация Р(п Чр 0) алгебры Пуассона полиномов от элементов алгебры Ли п ~\р 0 изоморфна тензорному произведению стандартной алгебры Пуассона ненулевого симплектического пространства и локализации алгебры Пуассона подалгебры Ли (гп) + 0. Если [п, и] С гп, то аналогичное тензорное разложение установлено для локализованной универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли п Чр 0.

В случае, если п является (2п + 1)-мерной алгеброй Гей-зенберга получены красивые и находящие приложения яв-

ные формулы для вложений вр(2п)р в Р(п -\р 0). Приведем их. Пусть V - линейное дополнение к гНп в Нп. Пусть Нп Чз1 зр{2п) - полупрямая сумма по представлению в!, отвечающему симплектическому относительно ш стандартному представлению алгебры Ли ¿ф(2п) на линейном пространстве V. Пусть ..., г2п - базис в V, удовлетворяющий условию = к5и, 1 < г',_у < п, где к £ гНп, к ф 0.

X *

Пусть 6г = (0... 1 ... 0)1 хп. Элементы зр(2п), в базисе ,..., 22п определяемые матрицами

(о \ (о +6,6?\ (.хТ о ххТ о\

обозначим соответственно через

Т'И-п^+п = Ьуг, = LlJЛ+n^ Ь1+п,] =

1 < 1,3 < п■ Пусть 7 = ( О, й ) . Тогда зр(2п)Р

\ ^ и /2пх2п

порождается подмножеством элементов алгебры Пуассона Р(Нп Ч81 зр(2п)), определяемое формулой

(ЬР)ы := Ьи - [( ^ ) (ги ■ • -, г*»)/"17]«

и параметризуемое индексами к,1, 1 < к,1 < 2п. Здесь, как обычно, 1~1Т обозначает матрицу, транспонированную к 7"1.

Тогда отображение, оставляющее 21,..., к на месте и

переводящее (ЬР)к[ в ^ ^ (гь ..., гь,)1 ~1Т]А/, 1<

к, I < 2п, определяет в координатах бирациональный Пуассонов изоморфизм сопряженных пространств к алгебрам Ли: (Нп ® яр(2п)Р)* <- (Нп Ч8, яр(2п))*

Изоморфизм используется при вычислении дополнительного интеграла в §3.2.

§3.1. Рассмотрим движение в евклидовом пространстве

М", п — 2,3,... системы точек г\____, г\+1 с ненулевыми

массами тп1,... ,т_\ п и потенциальной энергией,' зависящей лишь от квадратов взаимных расстояний-

Известные автору понижения порядка по вращениям и сдвигам уравнений движения допускают ветвление и полюс, или нулевой якобиан новых переменных на исключительных- поверхностях.

Соискателем предлагается композиция линейной конфигурационной замены, исключающей трансляции (переходом к относительным радиус-векторам х\,...х^ тел, центру инерции х, системы и их сопряженным импульсам у\, ...у,\, уг),

и отображения Грама, исключающего вращения, умноженного справа на симплектическую единицу:

Мг1 = (уг,Х]), Ьц = (хг,х3), = - (уг, у}),

1 < 1,3 5= N. Здесь (,) - скалярное произведение в Кп. Редукция производится на полуалгебраическое множество в сопряженном пространстве к алгебре Ли 5р(2Л^,М). В отличие от известных эта редукция является гомеоморфной.

Теорема 2. Страт редуцированного фазового пространства, отвечающий неплоским пространственным движениям, имеет размерность 9, расслоен на 8-мерные орбиты зр(4,Е)/(50(2,К) х (К Н Ъъ)), гомотопически эквивалентные КР3. Вложение стационарной подгруппы 50(2, Е) х

(Е Ч Ъи) в группу Ли 5р(4,К) имеет вид: ( Д; ^ с 1

V 0 0 0 а.

где с2 + в2 = 1, а — ±1, г б Е- Страт редуцированного фазового пространства, отвечающий плоским движениям с ненулевым моментом, имеет размерность 7, расслоен на 6-мерные орбиты 5р(4,Е)/(50(2,Е) х 5р(2,Е)), в силу результата [15] аналитически эквивалентные Т*(£>2 х М). Вложение стационарной подгруппы 50(2, Е) х 5р(2, К) в группу Ли 5р(4, К) имеет вид: ( А Я ? К V где ( ° % ) е

V о с о а/ и }

5р(2), ( с ) € 50(2). Страт редуцированного фазового пространства, соответствующий плоским неодномерным движениям с нулевым моментом, имеет размерность 9, состоит из единственной 6-мерной орбиты 52Е2 Н 5р(4,К)/ 0(2, К), вещественно изоморфной полуалгебраическому подмножеств} н®>'' и гомотопически эквивалентной (52х51)/Ъг Вложение стационарной подгруппы 52 Е2 Ч 5р(4, Е)/0(2, Е)

в группу Ли 5р(4, Е) имеет вид: О ^ ^ ^ ^ , где О 6

§3.2. Пусть трехмерное твердое тело шаровой формы двн жетсл в идеальной однородной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности, при безвихревом обтекании. Пусть 0А центр шаровой формы тела, О центр масс тела и присоединенной массы, мысленно закрепленной в шчке Оь. Пусть на тело действуют сила тяжести и сила тяги

к где к £ К. Пусть вектор од, находится в условиях Лагранжа или Ковалевской [2] по отношению к тензору инерции системы "тело плюс жидкость", отвечающему вращениям относительно центра инерции О системы. Вращательное движение тела отделяется и такое же, как при

к = 0. Оно было проинтегрировано классиками, см. [2].

Установлена интегрируемость по Лиувиллю полного (вра-щательно-поступатсльного) движения тела благодаря представлению уравнений движеиия в виде уравнений Эйлера - Пуанкаре - Четаева [6] на построенной в разд. 1 десятимерной алгебры Ли 0 и использованию метода цепочек подалгебр Трофимова.

Построение охватывает аналогичное расширение интегрируемых случаев Реймана - Семенова-Тян-Шанского (волчка Ковалевской в двух силовых полях); Богоявленского (полностью динамически симметричного тела в трех силовых полях); п-мерного волчка Лагранжа; п-мерного обобщенного волчка Ковалевской в т однородных силовых полях различной природы при п > 2, т < п. Во все перечисленные интегрируемые случаи добавляется действующая в центре инерции постоянная в сопутствующих осях сила, являющаяся произвольной линейной комбинацией радиус-векторов центров полей с началом в центре инерции.

Конфигурационное пространство задачи - группа Ли М" Х50(п) движений п-мерного евклидова пространства.

Предложение 1. а) Ненулевая сила тяги не является потенциальной на конфигурационном пространстве К" Хб'О(гс).

б) Пуассонова структура, сохраняемая уравнениями движения не является натуральной, если сила тяги отлична от нуля.

§3.3. Установлена интегрируемость механической системы, состоящей из твердых и линейно упругих тел. В этой системе после редукции по Раусу уравнение Гамильтона -Якоби разделяется в эллиптических координатах. Решения находятся в ^-функциях Римана от п переменных. Попутно получена формула для кинетической энергии цилиндра, упругого вдоль образующей и абсолютно жесткого в попе-

речном направлении с использованием теоремы Кенига для бесконечно-малых цилиндров при разбиении вдоль образующей.

Пусть твердое тело ("турбина") допускает свободное вращение вокруг неподвижной вертикальной оси ОЕ. Пусть в турбине имеется п гладких цилиндрических желобов со скользящими вдоль них твердыми телами. Предположим выполнение следующих пяти условий.

1°. Возможные траектории центров масс тел относительно турбины - прямые 1г, % = 1,..., п, проходящие через прямую ОЕ (центрированность).

2°. Движение происходит в однородном поле силы тяжести с ускорением д, в отсутствии других внешних сил.

3°. Каждое тело прикреплено к турбине однородным цилиндром с осью 1г, т.е. прямая 1г проходит через центр масс цилиндра параллельно образующей. Цилиндр является линейно упругим вдоль 1г и абсолютно жестким в поперечном направлении, имеет одну степень свободы.

При неподвижной турбине

4 . Частоты колебаний тел равны (равночастотностъ).

5°. Для каждого желоба равновесие тела с цилиндром достигается в том их положении, в котором минимален их суммарный момент инерции относительно ОЕ (при мыслимом отсутствии оснований у цилиндрических желобов, уравновешенность).

Тогда

А. После редукции по Раусу по углу вращения вокруг ОЕ лагранжиан данной системы имеет вид Якоби - Штеккеля, уравнение Гамильтона - Якоби разделяется в эллиптических координатах в ¡К".

Б Угловая скорость этого вращения и квадраты расстояний центров масс тел до оси вращения выражаются в виде рациональных функций от ^-функций Римана с характеристиками от п переменных. Аргумент этих 0-функций - векторный полином первой степени от нового времени

Г (И

Т = 1т

1де £ исходное время, X - момент инерции системы относительно оси ОЕ Опорные реакции в подшипниках, действующие на ось ОЕ выражаются в алгебраических функциях от этих ¿^функций и производных этих 0-функций порядка < 2

В Инт<м рируемоп ь обобщается на случай наличия н челах и турбине свободно вращающихся роторов при выполнении условия:

6°. Если роторы или сами тела допускают свободное вращение вокруг некоторых осей, они должны быть относительно этих осей уравновешены и динамически симметричны

2. Простейший случай. Предположим сначала, что демпфирующие цилиндры невесомы и тела могут совершать лишь поступательное движение относительно турбины. Тогда, по теореме Кенига, кинетические энергии турбины и ?-го тела имеют вид

+ 1чфп) (2.1)

Штрих означает производную по времени t, ф - угол поворота турбины, т, масса г-го тела, =ОС- скорость его центра масс Си1о~ момент инерции турбины относительно ОЕ, It - тела относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно ОЕ.

Пусть Д - угол между прямыми ОЕ и 1г, 0 < Д < тг/2, см. рис 1, zt - вертикальная координата центра масс Сг с началом в /г П ОЕ, предполагается, что направления векторов ОЕ,д/дгг противоположны направлению силы тяжести, pt - горизонтальная координата центра масс Сг вдоль 1и являющаяся ориентированным расстоянием до оси ОЕ\ ориентация такова, что при движении тела координата гг не убывает одновременно с р,, см. рис. 2. Тогда г, = рг ctg Д,

о12

„2 _ "г , 2 //2 Со 0\

Потенциальная энергия г-го тела с г-ым цилиндром имеет вид

где кг - жесткость г-го цилиндра вдоль 1г, 0 > А, - та же горизонтальная координата точки пересечения прямой с ортогональной 1г плоскостью закрепления цилиндра в турбине, рг — Вг — та же горизонтальная координата точки пересечения прямой lt с ортогональной I, плоскостью закрепления цилиндра в теле, 0 < Вг, см. рис. 2. Суммарный момент инерции г-го тела и г-го цилиндра относительно ОЕ достигает минимума при рг — 0. В силу равенства гг = рг ctg Д

потенциальная энергия г-го тела с i-ым цилиндром является квадратичной формой от pt. В силу условия 5° эта квадратичная форма достигает минимума при pt = 0, то есть, имеет вид

ki, Pi ч2

2 sin/v '

где несущественная постоянная опущена.

Лагранжиан турбины с телами и цилиндрами записывается в виде

где I = lo + Y1 Ъ- Здесь и всюду далее, если не оговорено иное, суммирование ведется от i = 1 до г = п.

В §3.4 получено интегрируемое обобщение идеализации

интегрируемой системы из §3.3 при введении дополнительного искривляющего параметра: прямолинейные траектории относительного движения колеблющихся материальных точек заменены коническими логарифмическими спиралями.

В §3.5 установлено обобщение интегрируемого потенциала Якоби - Дарбу со случая плоскости на случай двумерной сферы S2 и двумерного пространства Лобачевского L2. Обобщение удовлетворяет уравнению Лапласа. При этом к 4 парам антиподальных центров на S2, обобщающим классические 4 гравитирующих центра Г.Дарбу, добавляются еще две пары. Все 6 пар гравитирующих центров (состоящие из 2 нар вещественных и 4 пар комплексных) лежат по две в главных ортогональных плоскостях сфероконических координат и являются двенадцатью особыми точками носителя дивизора ветвления комплексных сфероконических координат.

В §3.6 рассматривается ¿-мерный совместный уровень Е эллиптических (сферо-конических) координат в R", к = 2.... ,п. Рассматриваются механические системы с лагранжианом L — (х2 — V(x))\TR, где х £ R", V(x) - рациональная функция. Пусть К уравнение Гамильтона - Якоби. отвечающее лагранжиану L. Найдена производящая функция, приводящая i; базису в просчрансгве рациональных потенциалов Vr(.0|£-, для которых уравнение И разделяется в

эллиптических (сферо-конических) координатах на Е. Найдены ранее не известные серии таких, в том числе, регулярных потенциалов.

/

§4.1 Задача Хилла и oi раничепная круюван плоская за дачатрех тел рассматриваются как гамильтоново возмущение линейной гамильтоновой системы, получаемой при удалении точки пренебрежимо малой массы в бесконечность. Гравшационные слагаемые и пиичщиалс при лом исчезают, остаются лишь инерционные квадратичные члены. Уровень энср! ии стремится к нулевому.

В §4.1 попутно получено обобщение результатов Ж.Лиувилля. Лемма 2. Пусть f(z) - алгебраическая функция, / f(z)ezdz - алгебраическая функция от z,ez.

а) Тогда f f(z)ezdz — F(z)ez + const, где F(z) - алгебраическая функция (Ж.Лиувилль).

/5) Пусть дополнительно а1;..., as различные комплексные числа,

Q{z) = (z - аг)к1... (z - а„)к*, ku Z\2No,

p(z) полином, не обращающийся в нуль в точках r*i,..., ач, пусть

f{z)=p{z)y/Q&j.

Тогда

fci ф -2,..., ks ф -2, F{z) = p{z){z -ai)...(z- aa)y/Q(z),

где p{z) - полином, degp(z) + s = degp(z).

Необходимые условия существования дополнительного алгебраического интеграла в §4.1 - §4.3 находятся методом Гюс-

сона [14] разложения дополнительного интеграла по малому параметру.

Наследуемость интегрируемости по Лиувиллю. Теорема 2. Пусть - неприводимое аффинное вещественное или комплексное многообразие размерности 2п -4- 2 с регулярной симплектической структурой. Пусть на Ш задан полный коммутативный алгебраический набор Fq, ..., F„. Пусть симплектическое четырехмерное подмногообразие Л/ в Ш инвариантно относительно потока с гамильтонианом Fq. Тогда ограничение Fq на N имеет дополнительный рациональный интеграл.

§4.2. Задача Якоби. Рассмотрим движение точки единичной массы по квадрике

{а~1х,х) = 1, х € Kr,+1, fl = diag(ab...,a„+i), (1.1) в квадратичном потенциале

2 V=(cx,x), c = diag(cb...,cn+i). (1.2) 16

Уравнения Лагранжа с множителем задачи Якоби имеют вид:

х = — (с+Х(х,х)а~1)х, А — ({а~1х,х) — (а~1сх,х))/{а~2х,х),

(1.3)

(а 1х,х) = 1, {а 1х,х)=0, (1.4)

гамильтониан (полная энергия) в избыточных переменных (х, х) записывается в виде 2Н — х2 + (сх, х).

Критерий интегрируемости задачи (1.3), (1.4) при п = 2 получается последовательным введением двух малых параметров. Сначала рассматривается сжатие комплексифи-кации эллипсоида к конусу (а~гх, х) = 0 заменой х -л 5х, 6 —> 0 за исключением интегрируемого случая Неймана а\ — а,2 — аз. Тогда при а) ^ а3 главная образующая конуса, определяемая уравнением х2 = 0 является инвариантным конфигурационным подпространством полученной системы. Поэтому полученную систему можно рассмотреть как возмущение уравнений в вариациях вдоль подпространства (а~1х, х) — Х2 = 0. Это осуществляется введением второго малого параметра: Х2 —> \fexi, е —>• 0. Система в вариациях - декартово произведение двух одномерных гармонических осцилляторов: вдоль главной образующей конуса и в ортогональном направлении. Случай, если невозмущенный гармонический осциллятор нерезонансен, рассматривается следуя Гюссону. В резонансном случае анализ вычетов главных членов правой части системы в оскулирующих алгебраических переменных приводит к критерию интегрируемости. Случай произвольного п исследуется ограничением системы на двумерные квадрики, лежащие в главных подпространствах и применением теоремы.

В §4 3 используется техника анализа алгебраических зависимостей абелевых интегралов, восходящая к классическим результатам Абеля и Чебышева и опирающаяся на оценки определяемой в разд. 2 алгебраической кратности нуля. В случае разд. 5 §4.3, когда невозмущенная система имеет полный набор алгебраических интегралов, рассмотрение аналогично §4.2.

[1] Арнольд В.И. Математические методы классической механики М., Наука, 1989, 472 с.

[2] Арнольд В.И., Комив В.В., Нейштадш А.И. Магматические аспекты классической и небесной механики // Соврем пробл матем Фундам направл Т 3, М., 1985, ,3 304

Берелин Ф.А. Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли // Функцион. анализ и его прилож. 1967. Т. 1, N 2, с. 1-14.

Винберг Э.Б., Попов В.Л. П. Теория инвариантов // Современ. пробл. матем. Фундам. направления. 1989. 55. С. 137 - 314.

Гелъфанд И.М., Кириллов A.A. Структура тела Ли, связанного с полупростой расщепимой алгеброй Ли // Функц. анализ и его прилож. 1969. Т.З, вып. 1. С. 7 26.

Козлов В. В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде // ПММ, 1995. Т.59. В.1. С.3-9.

Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Интегрирование гамиль-тоновых систем с некоммутативными симметриями // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М. Изд-во МГУ, 1981, вып. 20. С. 5-54.

Мищенко A.C., Фоменко А.Т. Обобщенный метод Лиу-вилля интегрирования гамильтоновых систем //Функц. анализ и его прилож. 1978. Т. 12, вып. 2. С. 46-56.

Трофимов В.В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. 448 с.

Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы // М.: Изд-во Моск. ун-та. 1983. 216 с.

Alev J., Ooms A. Van den Bergh M. A class of counterexamples to the Gel'fand-Kirillov conjecture// Trans. Amer. Math. Soc., V. 348, N 5, (1996) P. 1709 1716.

G elf and I.M. and Kirillov A.A. Sur les corps liés aux algèbres enveloppantes des algèbres de Lie// IHES, Publications Mathématiques, 31,1967, pp. 5-19.

Joseph A. A generalization of Gelfand-Kirilov conjecture. // American Journal of mathematics, V. 99. No. 6, (1977) P. 1151-1165.

[14] Husson E. Recherche des intégrales algebraique dans les mouvement d'uin solide pesant autor d'un point fixe // Ann. Fac. sci. Univ. Toulouse. Sci. math, et sci. phys. V.8, 1906, 73-152.

[15] Smale S. Topology ang Mechanics; I//Invent. Math. 10:4, 1970, 305-331.

[16] Marsden J.E., Ratiu T.S. Introduction to mechanics and symmetry. Springer, 1999, 582 p.

Основное содержание диссертации изложено в работах:

[17] Садэтов С. Т. Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа// Вестник МГУ. Сер. Мат. Мех. 1990 № 3. С. 56-62.

[18] Садэтов С.Т. Необходимые условия существования дополнительного мероморфного интеграла уравнений Кирхгофа на четырехмерных инвариантных повсрхнос-тях//В сб. Математические методы в механике. М.:Изд-во Моск. ун-та. 1990. С.75-81.

[19] Садэтов С. Т. О резонансах на показатели Ковалевской // Матем. заметки, 1993, Т.54, С. 152-153.

'"> [20] Садэтов С.Т. Резонансы на показатели Ковалевской

и их память о некоторых тензорных законах сохране-

ния//Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. 1994. № 1. С.82-87.

[21] Садэтов С. Т. Алгебраические интегралы и адиабатические инварианты уравнений Кирхгофа // ДАН РАН 342, 1995, N 2. 172-174.

[22] Садэтов С. Т.. Интегрируемые случаи движении твердого тела со связью // ДАН РАН 348,1996, № 6, 733-735.

[23] Садэтов С. Т. О четвертом алгебраическом интеграле уравнений Кирхгофа // ПММ, т. 64, 2000, 2, 237-251.

[24] Садэтов С. Т. Расширение общих интегрируемых случаев уравнений Эйлера-Пуассона с постоянной в сопутствующих осях силой тяги // Доклады РАН, 2002 Т. 386, N. 4. С. 461-463.

[25] Садэтов С.Т. Hiuei рируемоеть уравновешенных центрированных равночастотных упругих вибраций при свободном вращении // ДАН РАН 389, 2003, № 4, 474 477.

[2G] Садэтив С.Т. Доказатслыпво i ипогезы Мищенко Фоменко (1981) // ДАН РАН 397. 2004, Дб 6. С.1 4.

[27] Садэтов С.Т. Интегрируемый гравитационный потенциал в пространстве постоянной кривизны. В сб. "Классическая динамика в неевклидовых пространствах". Изд-во Института компьютерных исследований. Ижевск. 2004. С. 195 - 200.

[28] Садэтов С. Т. Симплектическая структура на орбитах коприеоединенного представления - дифференциал рациональной 1-формы // УМН 2005, N 4.

[29] Садэтов С.Т. Конструкция алгебраических расширений тел Ли // Доклады РАН. 2005. Принято к опубл.

[30] Садэтов С.Т. Гипотеза Гельфанда Кириллова (1966) верна после конечных расширений тел // Доклады РАН. 2005. Принято к опубл.

[31] Sadetov S.T. On algebraic integrals of the motion of a point over a quadric in quadratic potential // Regular and Chaotic Dynamics, 2000, V. 5, N 2. P . 201-212.

[32] Sadetov S. T. On the reduction of n-dimensional problem of N41 bodies to Euler - Poincare equations on Lie algebra sp(2N) // Regular and Chaotic Dynamics, 2002, v.7, N 3, 337-350.

[33] Sadetov S. T. On algebraic integrals of Hill problem and restricted circular planar three-body problem on a level of energy // Regular and Chaotic Dynamics, 2005, v.10, N 2.

ЛР №04779 от 18.05.01. В набор20. 06.06.В печать 26- Об.05. Объем О усл.п.л., 0.9 уч.-изд.л. Офсет. Бумага тип №3. Формат 60x84/16. Заказ № 2 4РТираж .

Издательский центр ДГТУ

Адрес университета и полиграфического предприятия: 344010, г.Ростов-на-Дону, пл.Гагарина,!.

( I Г I

»15599

РНБ Русский фонд

2006-4 ^ 13227

*

И АЛГЕБРЫ ЛИ Введение

Глава 1. Доказательство гипотезы Мищенко - Фоменко (1981)

Глава 2. Случаи интегрируемости, гамильтоновости и представления уравнений механики в виде уравнений Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли.

§2.1. Симплектическая структура на орбитах коприсоеди-ненного представления - дифференциал рациональной

1-формы.

§2.2. О регулярной редукции n-мерной задачи А^ + 1 тел к уравнениям Эйлера - Пуанкаре на алгебре Ли sp(2N)

§2.3. Продолжение общих интегрируемых случаев уравнений вращения твердого тела вокруг центра инерции до интегрируемости поступательного движения при наложении постоянной в сопутствующих осях силы тяги.

§2.4. Интегрируемость уравновешенных центрированных равночастотных упругих вибраций при свободном вращении

§2.5. Интегрируемое обобщение с дополнительным параметром

§2.6. Интегрируемый гравитационный потенциал в пространстве постоянной кривизны.

§2.7. Классификация рациональных потенциалов, разделяющихся в эллиптических (сфероконических) координатах

§2.8. Интегрируемые случаи вращения твердого тела со связью.

Глава 3. Необходимые условия существования дополнительного алгебраического интеграла.

§3.1. Неинтегрируемость задачи Хилла и ограниченной круговой плоской задачи трех тел на уровне энергии

§3.2. Критерий интегрируемости в задаче Якоби о движении точки по n-мерному эллипсоиду в квадратичном потенциале.

§3.3. Уравнения Кирхгофа движения твердого тела в идеальной жидкости.

Тексты программ на языке MAPLE V.

Рисунки.

Краткие форлгулировки полученных в диссертации результатов.

В главе 1 диссертации соискателем полностью доказана гипотеза Фоменко - Мищенко о коммутативных подалгебрах в алгебрах Пуассона алгебр Ли, поставленная в 1981 г. Доказанная формулировка: в алгебре Пуассона полиномов произвольной конечномерной алгебры Ли (над полем характеристики 0) конструктивно строится полный коммутативный набор. Полученные полные коммутативные наборы приводят к интегрируемым системам на алгебрах Ли. Из доказанной гипотезы о коммутативных подалгебрах вытекает полностью в исходной формулировке другая гипотеза Фоменко - Мищенко об эквивалентности коммутативной и некоммутативной интегрируемости, поставленная в 1978 г.

Доказательство гипотезы Мищенко - Фоменко опирается на предложенную соискателем конструкцию. Рассматриваются пуассоновые бирациональные изоморфизмы сопряженных пространств к алгебрам Ли. Затем производится локализация по центру нильрадикала и подполе расширяется. Приведенная конструкция итерируется.

В главе 2 получен ряд результатов, связанных с представлением уравнений механики в виде уравнений Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли, найдены интегрируемые случаи.

В §2.1 установлено, что симплектическая структура на орбитах ко-присоединенного представления алгебраических алгебр Ли является дифференциалом рациональной 1-формы. Этот результат, в частности, свидетельствует в пользу того, что уравнения Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли, могут оказаться глобально лагранжевыми в подходящих координатах.

В §2.2 построена редукция п-мерной задачи N + 1 тел при п, N > 2 по вращениям и сдвигам к уравнениям Эйлера - Пуанкаре на алгебре Ли вр{2М) с редуцированным гамильтонианом. В отличие от известных построенная редукция является гомеоморфной. Вычислен гомотопический тип орбит редуцированного фазового пространства в плоской и пространственной задачах трех тел. Для пространственной задачи трех тел, а также для плоской и пространственной задачи N + 1 тел в окрестности относительных равновесий полученная редукция может быть использована для повышения эффективности численных вычислений.

В §2.3 получено продолжение общих интегрируемых случаев уравнений Эйлера - Пуассона при наложении постоянной в сопутствующих осях силы тяги. Обнаружена сохраняемая уравнениями движения гамильтонова структура, не являющаяся натуральной.

В §2.4 установлена интегрируемость уравнений, описывающих свободное вращение вокруг неподвижной оси системы колеблющихся твердых и линейно упругих тел, при естественных условиях центрированности, уравновешенности и равночастотности. Рассматриваемое явление смещения масс при вращении широко встречается в технике.

В §2.5 получено интегрируемое обобщение идеализации интегрируемой системы из §2.4. А именно, введен дополнительный искривляющий параметр: прямолинейные траектории относительного движения колеблющихся материальных точек заменены коническими логарифмическими спиралями.

В §2.6 установлено обобщение интегрируемого потенциала Якоби

- Дарбу со случая плоскости на случай двумерной сферы Б2 и двумерного пространства Лобачевского Ь2. Обобщение удовлетворяет уравнению Лапласа. При этом к 4 парам антиподальных центров на 52, обобщающим классические 4 гравитирующих центра Г.Дарбу, добавляются еще две пары. Все 6 пар гравитирующих центров (из которых 2 - вещественные и 4 - комплексные) лежат по две в главных ортогональных плоскостях сфероконических координат и являются двенадцатью особыми точками некоторой комплексной кривой на комплексификации сферы 52. Эта комплексная кривая - носитель дивизора ветвления комплексных сфероконических координат. Если ограничиться двумя парами антиподальных центров, данный потенциал интегрируем и удовлетворяет уравнению Лапласа на трехмерной сфере 53 и в трехмерном пространстве Лобачевского Ь3.

В §2.7 найдены новые серии рациональных (в том числе, регулярных) разделяющихся потенциалов в1", на (п —1)-мерном эллипсоиде, на /¿-мерных конфокальных поверхностях при 2 < к < п — 1, на сфеш ре Найден базис в пространстве рациональных разделяющихся потенциалов па указанных поверхностях.

В главе 3 получены необходимые условия существования дополнительного алгебраического интеграла в задачах:

1) Кирхгофа о движении твердого тела в идеальной жидкости (§3.3),

2) Якоби о движении точки по п-мерному эллипсоиду в квадратичном потенциале при наличии п + 1 взаимно ортогональной гиперплоскости симметрии (§3.2).

Те же условия §3.1 на произвольном уровне энергии получены в задачах:

3) Хилла и

4) плоской круговой ограниченной трех тел.

В задаче Кирхгофа в частном случае (при наличии осевой симметрии и трех взаимно ортогональных плоскостей симметрии) получен критерий интегрируемости. То есть, полученные необходимые условия интегрируемости совпадают с достаточными, найденными клас

• сиками. Критерий интегрируемости получен и в задачах (2) - (4) в общей постановке. Попутно, в разделе 2 из §3.1, в разделе 2.3 из §3.2, в разделе 5 из §3.3 получены упрощения и развития метода Гюссона. В разделе 4 из §3.2 попутно установлена наследуемость интегрируемости по Лиувиллю на инвариантные 4-мерные симплектические многообразия в алгебраической категории. В разделе 3 из §3.1 попутно получено обобщение результатов Ж.Лиувилля о невозможности выражения в алгебраических функциях и экспонентах интеграла от произведения алгебраической функции и экспоненты.

Связь между результатами такова. Изначально были получены результаты главы 3 по неинтегрируемости. Затем, на основе полученного опыта были найдены интегрируемые случаи главы 2. В частности, была получена производящая функция потенциалов, разделяющихся в эллиптических координатах и базис в пространстве рациональных разделяющихся потенциалов (§2.7). На их основе были получены интегрируемые случаи §2.4 и §2.6, в качестве обобщения первого из них был получен интегрируемый случай §2.5. В качестве обобщения изоморфизма §2.3, позволившего построить дополнительный интеграл в задаче о движении твердого тела в жидкости с постоянной в сопутствующих осях тягой, были получены рациональные изоморфизмы алгебр Ли, не вошедшие в диссертацию. В качестве их обобщений были получены:

- основное пуассоново отображение раздела 1 из §2.2,

- доказательство гипотезы Гельфанда - Кириллова (1966) после конечных расширений тел, не вошедшее в диссертацию, и

- результат §2.1.

В качестве следствия доказательства соискателем гипотезы Гельфанда - Кириллова (1966) после конечных расширений тел было получено доказательство гипотезы Фоменко - Мищенко (1981) §1.1.

Ряд других результатов соискателя в диссертацию также не вошел: например, результаты по резонансам на показатели Ковалевской как необходимым условиям существования дополнительного мероморф-ного интеграла, необходимые условия существования дополнительного мероморфного интеграла на четырехмерных инвариантных поверхностях в уравнениях Кирхгофа и др.

Актуальность темы. Начиная с работ Эйлера 1758 г., внимание математиков и механиков было привлечено проблемой интегрируемости в квадратурах. Ряд важнейших интегрируемых случаев уравнений вращения твердого тела вокруг неподвижной точки был найден Л.Эйлером [121], Ж.Л.Лаграшкем [132], С.В.Ковалевской [130], Д.Н.Горячевым [31], Ф.Вруном [115]. В задаче о движении твердого тела в жидкости - Г.Кирхгофом [129], А.Клебшем [119], В.А.Стекло-вым [89], А.М.Ляпуновым [59], С.А.Чаплыгиным [99]. В ограниченной задаче трех тел был известен лишь интегрируемый случай Кеплера

5]. В задаче о движении точки по двумерному эллипсоиду в квадратичном потенциале при наличии трех взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии немецким ученым К.Г.Якоби [106] были получены достаточные условия разделения эллиптических координат.

В работах Брунса [116] и Пуанкаре [73, 147, 148] были получены первые препятствия, показывающие, что гамильтонова система общего положения с числом степеней свободы большим или равным двух является неинтегрируемой.

Тем не менее интерес к интегрируемым случаям не ослабел. Актуальность проблемы нахождения интегрируемых случаев в настоящее время состоит в следующем. Интегрируемые случаи и построенные на их основе теории возмущений позволяют качественно проанализировать динамику реальных систем на больших интервалах времени, что недоступно численным методам. Согласно теории Колмогорова -Арнольда - Мозера при гамильтоновом возмущении невыро?кденной интегрируемой гамильтоновой системы большинство нерезонансных торов не исчезает, а лишь немного деформируется. Кроме того, классические системы часто оказываются модельными для возникающих в приложениях задач совершенно другой физической природы,

В последние 30 лет были открыты новые механизмы, приводящие к интегрируемости, см. обзоры и монографии В.И.Арнольда, В.В.Козлова и А.И.Нейштадта [5]; В.В.Трофимова и А.Т.Фоменко [91]; О.И.Богоявленского [12]; А.М.Переломова [71]; М.А.Олыианецкого, А.М.Переломова, А.Г.Реймана, М.А.Семенова-Тян-Шанского [68].

В рассматриваемых в главе 3 диссертации задачах аналитические методы доказательства неинтегрируемости либо не применимы ввиду вырожденности системы, либо позволяют охватить лишь малые области в пространстве параметров, близкие к невозмущенным интегрируемым системам. Используемые алгебраические методы позволили установить критерии интегрируемости.

Аппарат алгебр Ли гармонично отражает скрытые симметрии идеализированных задач механики и физики и поэтому проникает во все новые области математики и других наук, см. [71, 12, 16]. Представления в виде уравнений Эйлера - Пуанкаре на алгебрах Ли естественно возникают в задачах теории упругости, биологии и др.

Структура диссертации. Диссертация состоит из 12 параграфов, которые могут быть прочитаны независимо, и как правило, представляют собой отдельные статьи соискателя. Разбиение параграфов на разделы, нумерация в параграфах теорем, предложений, ., формул, обозначения совпадают с использованными в соответствующей статье. (Исключение составляет §1.1, который отличается от соответствующей статьи более детальным изложением. В нем обозначения, все теоремы и предложения совпадают с приведенными в соответствующей статье [85], а 4 добавленных вспомогательных утверждения названы леммами.)

В целях лаконичности номер параграфа в указанной нумерации опущен. Ссылки между параграфами производятся с указанием номера параграфа и очень редки.

Каждый параграф, как правило, содержит краткий обзор предшествующих результатов, непосредственно связанных с результатами соискателя. Обзоры ни в коей мере не претендуют на полноту.

В каждом параграфе сначала следует раздел с формулировками всех основных результатов, затем - раздел доказательств, затем

1. Аксенов E.H., Гребенников Е.А., Демин В.Г. Общее решение задачи о движении искусственного спутника в нормальном поле притяжения Земли. - В кн.: Искусственные спутники Земли., вып. 8. -М. 1961.

2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., Наука, 1989, 472 с.

3. Арнольд В.И., Гивенталь A.B. Симплектическая геометрия. Соврем, пробл. математики. Фундам. направления. Т.4 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М.: 1985. 7- 139.

4. Арнольд В.И., Илъяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. I // Соврем, пробл. матем. Фундам. направл. Т. 1, М., 1985, 7-149.

5. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука, 1977. 328 с.

6. Бахтурин Ю.А. Основные структуры современной алгебры. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1990. 320 с.

7. Беляев A.B. О движении многомерного тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести // Мат. сб. 1981. Т. 114, N 3. С. 465-470.

8. Березин Ф.А. Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры Ли // Функцион. анализ и его прилож. 1967. Т. 1, N 2, с. 1-14.

9. Богоявленский О.И. Интегрируемые случаи динамики твердого тела и интегрируемые системы на сферах Sn// Известия АН СССР, серия математическая, 1985. Т.49, N 5. С. 899-915.

10. Богоявленский О.И. Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики // Известия АН СССР. Сер. математич. (1984) Т. 48, N 5 С. 883-938.

11. Богоявленский О.И. Уравнения Эйлера на конечномерных ко-алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики // Успехи матем. наук. 1992. Т. 47, вып.1 (283). С. 107-146.

12. Болотин C.B. Неинтегрируемость задачи п центров при п > 2. Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1984, № 3, с. 65-68.

13. Болсинов A.B. Вполне интегрируемые системы на сжатиях алгебр Ли // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ. 1985. Вып. 22. С. 8-16.

14. Болсинов A.B. О полноте семейств функций в инволюции, связанных с согласованными скобками Пуассона // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М. Изд-во МГУ, 1988, вып. 23. С. 18-38.

15. Борисов А. В., Мамаев И. С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамилътоновой механике. Ижевск: РХД, 1999, 464 стр.

16. Борисов А. В., Мамаев И. Обобщенная задача двух и четырех центров в пространствах постоянной кривизны. В сб. "Классическая динамика в неевклидовых пространствах". Изд-во Института компьютерных исследований. Ижевск. 2004. С. 183 -193.

17. Браилов A.B. Полная интегрируемость некоторых геодезических потоков и интегрируемые системы с некоммутирующимиинтегралами // ДАН, 1983, т. 271, N 2, с. 273-276.

18. Бры-чков Ю.А., Маричев О.И., Прудников А.П. Таблицы неопределенных интегралов // М.: Наука. 1986. 192 с.

19. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.: Мир, 1988. 342 с.

20. Винберг Э.Б. Коммутативные однородные пространства и ко-изотропные симплектические действия // УМН. 2001. Т. 56. N 1. С. 3-62.

21. Винберг Э.Б., Горбацевич В.В., Онищик А.Л. Строение групп и алгебр Ли. // Соврем, пробл. матем. Фундам. напр. Т. 41 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1990. С. 5-258.

22. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Основы теории групп Ли. // Соврем. пробл. матем. Фундам. напр. Т.20 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1988. С. 5-101.

23. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам// М.: Наука. 1988. 344 с.

24. Винберг Э.Б., Попов В.Л. II. Теория инвариантов // Современ. пробл. матем. Фундам. направления. 1989. 55. С. 137 314.

25. Виро О.П., Фукс Д.В. Введение в теорию гомотопий. Соврем, пробл. матем. Фундам. напр. Т.24 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1988. С. 5-121.

26. Гарди Г. Интегрирование элементарных функций. 1935, 81 с.

27. Гельфанд И.М., Кириллов A.A. Структура тела Ли, связанного с полупростой расщепимой алгеброй Ли // Функц. анализ и его прилож. 1969. Т.З, вып. 1. С. 7-26.

28. Голубев В.В. Работы П.Л.Чебышева по интегрированию алгебраических функций // Научное наследие П.Л.Чебышева. М.; Л.: Изд-во АН СССР. 1945. Вып.1. С. 88-121.

29. Горбацевич В.В. Онищик A.JI. Группы Ли преобразований. // Соврем, пробл. матем. Фундам. направл. Т.20. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М., 1988, 103-204.

30. Горячев Д.Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае А — В = АС // Матем. сб. 19006 т. 21, N 3, с. 431-438.

31. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. Т. 1. М. Мир, 1982, 496 с.

32. Демин В.Г., Косенко И.И., Красилъников П.С., Фурта С.Д. Избранные задачи небесной механики. РХД, Ижевск, 1999, 211 стр.

33. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М. Мир. 1964. 355 с.

34. Диксмъе Ж. Универсальные обертывающие алгебры. М.: Мир. 1978. 407 с.

35. Дирак JI.M. Обобщенная гамильтонова динамика // Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1959.

36. Дубровин Б.А. Тэта-функции и нелинейные уравнения // Успехи матем. наук. 1981. Т. 36. С.11-80.

37. Зиглин С.Л. Ветвление решений и несуществование первых интегралов в гамильтоновой механике. 1,11 // Функц. анализ и его прилож. 1982. Т.16. N 3. С.30-41; 1983. Т. 17. N 1. С. 8-23.

38. Кириллов A.A. Элементы теории представлений. M.: Наука, 1984. 336 с.

39. Киттелъ Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Физматгиз. 1978. 792 с.

40. Козлов В. В. Две интегрируемые задачи классической динамики // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1981. Вып. 4. С.80-83.

41. Козлов В.В. Интегрируемые случаи задачи о движении точки по трехмерной сфере в силовом поле с потенциалом четвертой степени // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1. Матем. Механ., 1985. N 3. С.93-95.

42. Козлов В.В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле // Известия АН СССР, МТТ, 1985. N С. С. 28-33.

43. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М. Изд-во МГУ, 1980, 232 с.

44. Козлов В.В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Яко-би о геодезических на эллипсоиде // ПММ, 1995. Т. 59. В. 1. С.3-9.

45. Козлов В.В. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа // Short communications ICM. Sect. 13. Warszawa. 1982. P.41.

46. Козлов В.В. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела // ПММ. 1978. Т.42. N 3. С. 400-406.

47. Козлов В.В. О динамике в пространствах постоянной кривизны // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1994. N 2. С. 2835.

48. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоно-вой механике. Ижевск. 1995. 432 с.

49. Козлов В.В., Онищенко Д.А. Неинтегрируемость уравнений Кирхгофа // Докл. АН СССР. 1982. Т.266. N 6. С. 1298-1300.

50. Козлов В.В., Трещев Д.В. Неинтегрируемость общей задачи о вращении динамически симметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. II // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1986. Вып.1. С.39-44.

51. Козлов В.В., Федоров Ю.Н. Интегрируемые системы на сфере с потенциалами упругого взаимодействия // Матем. заметки, 1994. Т. 56. В. 3. С. 74-79.

52. Козлов И. С. Задача четырех неподвижных центров и ее приложения к теории движения небесных тел. Астрой, ж. 1974, т. 51, вып. 1, с. 191-198.

53. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1981. 542 с.

54. Колоколъцов В.H. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом//Известия АН СССР, сер. матем., 1982. Т. 46. N 5. С. 994-1010.

55. Олъшанецкий М.А., Переломов A.M., Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы. II. // Соврем, пробл. матем. Фундам. напр. Т.16. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1987. С. 86-226.

56. Переломов A.M. Представление Лакса для систем типа С.Ковалевской// Функцион. анализ и его прил. 1982. Т. 16, N 2. С. 80-81.

57. Переломов A.M. // Функцион. анализ и его прил. 1981. Т. 15, N 2. С. 83-85.

58. Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М., Наука. 1990. 238 с.

59. Постников М.М. Группы и алгебры Ли. М., Наука, 1982. 448 с.

60. Пуанкаре А. Избр. труды. Т.1-2.: Наука, 1971, 771 е., 1972, 9-356.

61. Рубоповский В.Н. О квадратичных интегралах уравнений движения твердого тела в жидкости // ПММ. Т.52. 1988. Вып. 3. С. 402-414.

62. Румянцев В.В. Об уравнениях Пуанкаре Четаева. Прикл. матем. и мех., т. 58, 1994, N 3, с. 3-15.

63. Садэтов С.Т. Условия интегрируемости уравнений Кирхгофа// Вестник МГУ. Сер. Мат. Мех. 1990. М» 3. С. 56-62.

64. Садэтов С.Т. Необходимые условия существования дополнительного мероморфного интеграла уравнений Кирхгофа на четырехмерных инвариантных поверхностях//В сб. Математические методы в механике. М.:Изд-во Моск. ун-та. 1990. С. 75-81.

65. Садэтов С. Т. О резонансах на показатели Ковалевской // Матем. заметки, 1993, Т. 54, С. 152-153.

66. Садэтов С.Т. Резонансы на показатели Ковалевской и их память о некоторых тензорных законах сохранения // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. 1994. № 1. С. 82-87.

67. Садэтов С. Т. Алгебраические интегралы и адиабатические инварианты уравнений Кирхгофа // ДАН РАН 342, 1995, N 2, 172-174.

68. Садэтов С. Т. Интегрируемые случаи движения твердого тела со связью // ДАН РАН 348, 1996, № 6, 733-735.

69. Фоменко А.Т., Фукс Д.Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука. 1989. 528 с.

70. Фукс Д.Б. Когомологии бесконечномерных алгебр Ли. М.: Наука, 1984. 272 с.

71. Цыгвинцев A.B. La non-integrabilite meromorphe du problème plan des trois corps, Comptes Rendus des Seances de l'Academie des Sciences Paris, 2000, t.331, Serie I, p. 241 244.

72. Чаплыгин С.A. Избранные труды. M.: Наука. 1976. 495 с.

73. Чебышев П.Л. Об интегрировании иррациональных дифференциалов // Чебышев П.Л. Поли. собр. соч. Т.2. 1947. С. 52-70.

74. Четаев Н.Г. Об уравнениях Пуанкаре. Прикл. матем. и мех., Т.5, 1941, N 2, с. 253-262.

75. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. В 2-х т. М.: Наука. 1985. T.I. С.336. Т.2. С.464.

76. Шарлъе К. Небесная механика. М.: Наука. 1966.Charlier C.L. Die Mechanik des Himmels. Wwalter de Gruyter. Berlin, Leipzig. 1927.

77. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры. Соврем, пробл. матем. Фундам. напр. Т.11 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР) М.: 1986. С. 5-289.

78. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии: В 2-х т. T.I, Т.2. М.: Наука. 1988, 352 с, 304 с.

79. Лкоби К. Лекции по динамике. М.-Л.: ОНТИ, 1936. Jacobi C.G.J. Vorlesungen über Dynamik. G.Reimer Verlag. 1884.

80. Яхъя X.M. Новые решения задачи о движении гиростата в потенциальном и магнитном полях // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 1985. С.60-63.

81. Abel N. Oeuvres completes. V. 2. Cristiania, Gröndahe, 1881. 338 P

82. Alev J., Ooms A. -Van den Bergh M. A class of counterexamples to the Gel'fand-Kirillov conjecture// Trans. Amer. Math. Soc., V. 348, N 5, (1996) P. 1709-1716.

83. Alev J., Ooms A. Van den Bergh M. The Gel'fand- Kirillov conjecture for Lie algebras of dimension at most eight// J. Algebra, V. 227, (2000) P. 549-581.

84. Bolsinov A. V., Borisov A.V., Mamaev I.S. Lie algebras in vortex dynamics and celestial mechanics IV. Regular and Chaotic Mechanics, v.4, 1999, N.l, 23-51.

85. Bolsinov A.V., Taimanov I.A. Integrable geodesic flows with positive topological entropy, math.DG/9905078

86. Borho W., Gabriel P., Rentschier R. Primideale in Einhüllenden auflösbarer Lie Algebren, Lecture Notes in Math., vol. 357, Springer, 1973.

87. Braden H.W. // Lett. Math. Phys. 1982. Vol.6, P.449.

88. Brun F. Rotation kring fix punkt // Ofversigt at Kongl. Svenska Veteskaps Akad. Förhadl. Stokholm, 1983, v.7, p. 455-468.

89. Bruns H. Uber die Integrale des Vielkörper-Problems. 'Acta math.', 1888, v. 11, S. 25-96.

90. Chenciner A., Montgomery R. A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses// Annals of Mathematics, 152 (2000), 881-901.

91. Choodnovsky D.V., Choodnovsky G. V.//Lett. Nuovo Cimento, 1978. Vol. 22. P. 31.

92. Clebsch A. Ueber die Bewegung eines Koerpers in eines Flüssigkeit // Mat. Ann. 1870. B. 3. S. 238-262.

93. Darboux G. Sur un problème de mecanique. Archives Néerlandaises de Sciences. 1901. Ser. 2, Vol. VI, p. 371-376.

94. Euler L. Découverte d'une nouveau principe de Mecanique // Mémoires de l'Acad. des Se. de Berlin, 1758, v. 14, p. 154-193.

95. Gelfand I.M. and Kirillov A.A. Sur les corps liés aux algèbres enveloppantes des algèbres de Lie// IHES, Publications Mathématiques, 31, 1967, pp. 5-19.

96. Gordon W.B. A minimizing property of Keplerian orbits// Amer. J. Math. 99 (1970), 961-971.

97. Joseph A. A generalization of Gelfand-Kirilov conjecture. // American Journal of mathematics, V. 99. No. 6, (1977) P. 11511165.

98. Joseph A. Proof of the Gelfand-Kirillov conjecture for solvable Lie algebras // Proc. Amer. Math. Soc., V. 45, N 1, July, (1974) P. 1-10.

99. McConnell J.C. Representations of solvable Lie algebras and the Gelfand-Kirillov conjecture // Proceedings of London Math. Soc., V. 29, N 3, (1974) P. 453-484.

100. Neumann J. De problemate quado mechanico, quad ad priman integralium ultraellipticorum classem revocatur // J. Reine Angew. Math., 1859. V.56. P.46-63.

101. Nghiem-Huan Hai Reduction de produits semi-directs et conjecture de Gelfand et Kirillov // Bull. Soc. math. France, V. 107, (1979) P. 241-267.

102. Painleve P.M. Bull. Astr., 1898, V.15, p.81.

103. Painleve P. Sur les integrales, uniformes du problème des n corps // Compt. Rendus, 1900, V.130, p. 1699-1701.

104. Poincare H. non-existence des integraes niformes // In work: Poincare H. Sur le Probleme des Trois Corps et le Equations de la Dynamique Acta Math. 1890, V.13. P. 259-265.

105. Poincare H. Sur le methode de Bruns // C. R. Acad. Sei. Paris, 1896, V. 123, p. 1224-1228.

106. Radau R. Ann. de l'ecole Norm. Sup. 5, 1868, P. 311.

107. Rais M. L'indice des produits semi-directs E x G. // C. r. Acad. Sei. Paris. 1978. V. 287, Jfê 4. P. 195-197.

108. Rosochatius E. Ueber die Bewegung eines Punktes. Inaugural Dissertation, Univ., Gottingen. Gebr. Unger, Berlin. 1877.

109. Sadctov S. T. On algebraic integrals of the motion of a point over a quadric in quadratic potential // Regular and Chaotic Dynamics, 2000, V. 5, N 2. P . 201-212.

110. Sadetov S.T. On the reduction of n-dimensional problem of N+l bodiesto Euler Poincare equations on Lie algebra sp(2N) // Regular and Chaotic Dynamics, 2002, v.7, N 3, 337-350.

111. Sadetov S.T. On algebraic integrals of Hill problem and restricted circular planar three-body problem on a level of energy // Regular and Chaotic Dynamics, 2005, v. 10, N 3. P.323-332.

112. Siegel C.L. Uber die algebraischen Integrale des restringierten Dreikörperproblems // Trans. Am. Math. Soc. 1936, v. 39, p. 225-233.

113. Siegel C.L., Moser J.K. Lectures on celestial mechanics, SpringerVerlag, 1971.

114. Slawianowski I.I.// Bul.Acad. Pol. Sei. Ser. Sei. Math., Astron., Pliys. 1980, vol. 28, no. 2, pp. 83-94.

115. Smale S. Topology ang Mechanics; ¡//Invent. Math. 10:4, 1970, 305-331.

116. Smale S. The Planar n-body Problem I//Invent. Math. 11:1, 1970, 45-64.

117. Uhlenbeck K. Minimal 2-spheres and tori in Sk, informal preprint. 1975.

118. Veselov A.P. Two remarks about the connection of Jacobi and Neumann integrable systems// J. Mathem. Zeitschrift., 1994. V. 216. P.337-345.

119. Weierstrass K. Uber die geodätischen Linien auf dem dreiachsigen Ellipsoid // In: Mathematischen Werke I, 257-266.

120. Wojciechowcki S. Integrable one-particle potentials to the Neumann system and the Jacobi problem of geodesic motion on an ellipsoid. //Phys. Lett. A, 1985. V.107, no.3. P.106-111.

121. Wojciechowski S. On a Lax-type representation and separability of the anisotropic harmonic oscillator in a radial quartic potential// Lett. Nuovo Cimento (2). 1984. V. 41, no. 11. P. 361-369.