Интегро-суммарные неравенства и задачи устойчивости систем при импульсных воздействиях. тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НЛЩОН А ЛЬ НА АКАДЕМ1Я НАУК УКРА1НИ ^ о. ^ ШСХИХУХ МАТЕМАТИКИ

Л

БОРИСЕНКО Сергш Данилович

УДК 517.929

ШТЕГР О- СУ МАРШ НЕРГОН0СТ1 ТА ЗАДАЧ1 СТ1ЙК0СТ1 СИСТЕМ ПРИ ШПУЛЬСНИХ ЗБУРЕННЯХ

01,01.02 — диференщальш ршшшн!

АВТОРЕФЕРАТ

дисерташ! на одобутт« науховсго ступенж доктора фюиго-математншгах наух

Кяш — 1998

Дисертащею е рукопис.

Робота виконана в Нащоналыюму техшчному университет Украши (КП1) ММстерства освгги Украши.

HayKOBi консультанта: академк HAH Украши,

доктор фiз.-мaт. наук, професор' САМОЙЛЕНКО АнатолШ Михайлович, 1нститут математики HAH Украши, директор;

доктор техшчних наук, професор ПАВЛОВСЬКИЙ Михайло Антонович, Нашоналышй техшчний ушверситет Украши, декан факультету. Оф1щйш опоненти: доктор ф1з.-мат. наук, професор

БОЙЧУК Олександр АндрШович, 1нсппут математики HAH Украши, провщний науковий ствроб1тник;

доктор ф13.-мат. наук, професор САМОЙЛЕНКО ВалерШ Григорович, Ки1вський ушверситет ¡м. Тараса Шевченка, професор;

доктор ф1з.-мат. наук, професор СЛЮСАРЧУК Василь Юхимович, Украшська державна академ1я водного госпо-дарства, завщувач кафедри.

Провщна установа: Чершвецький державний ушверситет iM. Ю. Федьковича, кафедра прикладно! математики i мехашки.

Захистввдбудеться " " ГАсубил 1998 р. о /6' годит на засщант спещал1зовано? вченог ради Д.26.206.02 при 1нституп математики HAH Украши за адресою : 252601, Ки1в - 4, вул. Тере-щешивська, 3.

3 дисертащею можна ознайомитись у б1блютещ ¡нституту математики HAH Украши.

Афтореферат розюлано " ¿¿¿¿ruj 1998 р.

Вчений секретар П

спещал1зованог вченог ради ЛУЧКА А. Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЬШСТЬ ТЕМИ. Teopia штегралышх nepiunocreii бере сви! початок з робота Т. Гронуолла, опублжовано! в 1919 poui, а також дослщжень С. А. Чаплигша, проведених на початку XX столптя по створеншо нового методу иаближеиого штегрування днферешналь-них р1виянь. Подалыний розвиток Teopii штегралышх нер1Вностей пов'язаний з роботами М. В. Азбелева, В. М. Алексеева, Р. Беллмана, Е. Беккенбаха, А. А. Мартишока, J1. Ф. Рахматуллшо/, О. М. Филатова, 3. Б. Цалюка, I. Bihari, Р. R. Beesack, V. Lakshmikantham та багатьох шших.

Першим дослщженням, в якому було розглянуто nepißiiic rb Гронуолла - Беллмана для кусково-неперервних функшй та Ii засто-сування до анал!зу яккно! поведшки розв'язкш ¡мпульсних систем, е робота А. М. Самойленка та М. О. Перестюка (Диференщальш р1ваяння, 1977, т. 13, № 11). Саме бурхливий розвиток теорн дифе-ренщальпих pinibiiib з ¡мпульсним збуренням, закладений в фун-дамептальних роботах М. М. Крилова, М. М. Боголюбова, Ю. О. Мит-ропольського, А. М. Самойленка, М. О. Перестюка та ix послщовшшв i учтв М. У. Ахметова, О. А. Бойчука, В. Г. Самойленка, В. 10. Слго-сарчука, В. I. Ткаченка, С. I. Трофимчука викликав необхщшсть роз-робки методу нггегралышх nepißnocreft для розрнвних функщй.

Термш "iitTerpo-сумарна" nepißiiicTb було започатковано в poöoTi [19] при розгля/ц nepiRHOcTert вигляду

I

u(t) < Q(t) + ¡K(t,s,u(s))ds + Z,V(t.tMu(tk-0)), (1)

!0 '0 < 'к < ' де и (I) — невщ'емна кусково-леперервна функция з розривами 1-го

родувточках {/,-,/ = 1,2,...}: tQ < t\ < ti <... , lim /,• =

i —» oe

Отрнмання розп'язку (ошнки uU)) uiei nepioHocri при пепинx об-меженнях на функцп, як! до не! входять, об'еднують в cof)i проблем»: а) розв'язувашсть задачi Чаплигша для штегрально! о pirj-няння

I

*(0 - V,(0 + (2)

«о

та б) ршняния

>(t) = V2(0+ (3)

t0<tk<t

де <.—»«, i —» <х>, f i < f2 < • • • •

Серед po6iT, присвячених розв'язанню першо! задач!, вданачимо npaui М. В. Азбелева, М. М. Лузша, А. А. Мартишока, 3. Б. Цалюка. Вирниенню друго! проблеми присвяче!» правд S. В. Jones, P. Beesack, М. Lees, F. Chandra, В. A. Fleishman i шдсумоваш в монографп А. А. Мартишока, В. Лакшмикантама, С. Лила "Устойчивость движения: Метод интегральных неравенств" (Киев: Наук, думка, 1989.-272 с). . Фундаментальною працею, в якдй вщображено етапи розв'язания задач1 Чаплипна для штегро-сумарних неришостей вигляду (1) та 1х застосувань, е монограф1я А. М. Самойленка, М. О. Перестюка "Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием" (К.: Вища школа, 1987. - 287 е.). Було отримано узагальнення результа-пв Гро-нуолла - Беллмаиа на випадок розривних функций, що дозволило встановити умови стШкосп, асимптотично! crifiKocri розв'язк1в слабо нелннйних систем диференщальних р1внянь з ¡мпульсним збуренням.

Тому актуальною задачею е розробка методу штегральних нертиостей для розривних функщй, який дозволить дослщжувати системи з (мпульсним збуренням при найбшьш загальннх припу-щеннях на ripani частини р1внянь, включаючи функцюнально-дифе-ренщалып р1вняння та ix численш застосування.

МЕТА РОБОТИ. Розвиток xeopii ¡нтегро-сумарних неровностей та u застосувань до дослщження яккних характеристик розв'язов систем диференщальних р1внянь з ¡мпульсним збуренням: а) стШкдсть, асимп-тотична спйкгсть за Ляпуновим; б) практична стШкиггь (piBHOMipua, стискуюча) на скшченному та нескшченному пром1жках часу; в) при-тягання; г) обмежешеть.

МЕТОДИКА ДОСЛЩЖЕНЬ. В робот1 застосовуються методи MKicHoi Teopii штегральних, диференщальних, функщонально-ди-ференщальних р1внянь; теория диференщальних р1внянь з ¡мпульсним збуренням.

НАУКОВА НОВИЗНА. Основш результата, як! виносяться на захист:

1, Отримано аналоги теорем Беллмана - Bixapi - Рахматуллшо! про штегральвд HepiBHocTi для розривних функщй. 2. Розповсюджено метод Bixapi на функвдональш штегро-сумарш HepiBHocTi та HepiBHocTi, що мктять кратт штеграли. 3. Дослужено шгегро-су-

марш функцюналын Hepinnocri Вендрофа. 4. Розв'язано задачу зве-деиия багатовимфних штегро-сумарних iiepinnocTefi до одновим1рних. 5. Доведено noßi теореми методу ßixapi для розривних скалярних функцШ вщ векторного аргументу. 6. Отримано умови практично! ст1йкост1 (piBHOMipnoi, стискуючо!), притягання, critlKocTi за Ля-пуновим, асимптотично! стШкот розв'язюв систем диференщалышх piBHAHb з ¡мпульсним збуренням (лппйних, нелннйних, при нара-метричних збуреннях). 7. Зпайдепо достатш умов» практично! спй-kocti на скшченному та нескшченному пром1жках часу розв'язюв нелшйних ¡мпульашх систем за лни'йним наближениям.

ТЕОРЕТИЧНЕ ТА ПРАКТИЧНЕ ЗНАЧЕНИЯ. Розроблений в ди-сертацн метод штегро-сумарних. iiepißiioc гей може бути ефективно застосований при дослщжеиш асимптотичного поводження розв'язмв конкретних систем диферешцальних, штегро-диферешцалышх, фун-кцюналыго-диферетцальних pinnjnib з ¡мпульсним збуренням. Отрн-ман' умови стШкост! га практично! стШкост! розв'язклв гарантуюгь функцюнування pi3iioro класу об'ект!В, що пиникають в задачах теоретично! ф1зики, прикладно! мехашки, бюлогн, де системн в nponeci свое! еволгоцп тддаютьея миттевим збуренням.

ОСОБИСТИЙ ВНЕСОК ЗДОБУВАЧА. Bei дослщжеиня, представлен! в дисертаци, niiKonani автором самостМно i ппубл1копаи! в 25 наукових працях. В сшльшй монографи [1] : "Устойчивость процессов при непрерывных и дискретных возмущениях" (1998 р.) автором написаш роздиш I, IV, VI. В роботах [14], [19] автор брав безпосередшо участь у г/остановках задач та обговоренш результатов.

АПРОБАЦ1Я РОБОТИ. Основш результати дисертацн допош-дались на Республ«канськШ наукопо-техшчний конференцн "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (Кшв, 1983 р.), Трелпй М1жпарод1пй конференцн "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Руссе, Болгария, 1985 р.), Всесоюзшй науков^й конференци " Метод функций А. М. Ляпунова в современной математике" (XapKie, 1936 р.), 1 V Всесоюзшй конференцн "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутськ, 1986 р.) V Всесоюзшй Четаевсьюй конференцн (Казань, 1987 р.), XI Mi«-народнШ конференции з нелжШпи;: коливань (Будапешт, Угоршнца, 1987 р.), III УральськЛ* регюнальшй кот}>еренцп "Функшюна-чьмо-дифференциальные уравнения и их приложения" (Пермь, 19ЯЯ р.), IV УральськШ репоналыий конференцн ''Функционально-дифференциальные ураг,не1у(я и ил приложения" (Уфа, 19S9 р.), 11 Шгяит<>-

Кавказыий конференци "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения" (Махачкала, 1988 р.), Млжнародному мате-матичному Kourpeci (KioTO, 1990 р.), М1жнародному симпоз1ууп "Мо-делювання та контроль технолопчних систем" (IMACS - IFAC, Лилл, 1991 р.), II М1жнародному колокв1ум1 з диферепщалышх ртнянь (Варна, 1991 р.), Мгжнародтй конференци "Нелшйш диференщальт р1вняння" (Кшв, 1995 р.), Всеукрашсьюй конференци "Диферен-щально-функидоналип р\вняння та vx застосування" (Чертвщ, 1996 р.), П'ят^й М1жнародшй конференци im. акад.- М. Кравчука (Кшв, 1996 р.), Шосттй М1жнародшй конференци iM. акад. М. Кравчука (Кшв, 1997 р.), М1жнародн1й конференци "Асимптотичш та яысш методи в Teopil нелнпйних коливань" — Tpeii Боголюбовськ! читання (Кюв, 1997 р.), об'еднаному ceMiHapi з проблем мехашки (кер1вники — академк HAH Украши В. Т. Гршченко, член-кореспондент HAH Украши А. Ф. Ул1тко, Китський ушверситет ¡м. Тараса Шевченка, червень, 1997 р.), об'еднаному ceMinapi вщдтв математачно! ф'шки i Teopii' нелппйних коливань та звичайних диференщальних р!внянь 1нституту математики HAH Украши, листопад 1997 р. (кер1вники сем1нару: академж Ю. О. Митропольський, академ1к HAH Украхни А. М. Самойленко), сильному ceMinapi ¡мет I. Г. Петровського та Московського математичного товариства (дев'ятнадцята сесгя; Московський державний ушверситет, 24 ачня 1998 р., мехашко-математичний факультет, Москва), а також на наукових семшарах кафедри теоретично! механпси Нацюнального техн1чного уншерситету Украши "КГИ".

ПУБЛ1КАЦП. Результата дисертаци oпyблiкoвaнi в одшй моно-графп [1], поабнику [2], 11 статгях у наукових журналах [3 - 13], 5 статтях у зб1рниках наукових праць [14 - 18], 3 наукових статтях у матер1алах наукових конференщй [19 - 21], 4 роботах у тезах кон-ференщй [22 - 25].

СТРУКТУРА I ОБСЯГ ДИСЕРТАЦП. Дисертащйна робота скла-даеться i3 вступу, двох роздш!в та списку лпгератури, що мштить 239, найменувань.

Обсяг робота — 251 сторшок.

Основний 3MÎCT робота

У BCTyni наводиться огляд л1тератури за тематикою дисертаци, обгрунтовуеться актуалыпсть вибрано! теми, стисло формулюеться 3M1CT та основш результати автора.

В першому роздип отримано, на ochobî единого тдходу, Bei принципово важлив» результати, як1 вщносяться до штегралышх нер1Вностей. Поширено метод ¡нтегральних нер1вностей на розривш функцп.

§ 1.1 присвячений одновим1рним iiiTerpo-сумарним нертностям Беллмана - Bixapi - Рахматуллшог Теорема 1.1.1. Нехай задано iinerpo-сумарне р1вняння вигляду

• /

а(0 = <р(/) + J K(t,s,a(s))ds + 'о

+ 2 V('.f*)M<rt'A-0)), (4)

'о < < '

де о(/), ф(/), xj/(r, ijt) — Henepepnui невщ'емш при t ä îq функцн (к = = 1,2,...), за вннятком o(f), шо мае розрнви 1-го роду в точках причому

<0 < tJ <..., lim// = <»;

I —> оо

функщя K{t, s, и) невщ'емна при t > s ä îq, визначена в облаетi t > ès 'itQ, |u| i к i при фксопаннх t i s неспадна по и; функцй (i^(cr) неперервш невщ'емш i несладш по а. Tofli для довшьного г е [/0.«[ мае Miene оцшка

u{t) < a^t), (5)

де Стф(г) —будь-який розв'язок р1вня1шя (4), неперервний на кожно-музпром1жк1в ['*.'* + )[< Ä = 0, 1, ..., u(t) —кусково-netiepepBiia з розривами 1-го роду в точках функшя, яка задовольняс штегро-сумарну nepiBiiicTb (1). Тут г(ц- 0) = lim^^.ozir).

В TeopeMi 1.1.2 сформульовано аналог леми Bixapi, а п георемах 1.1.3, 1.1.4 — аналоги теореми Беллмана для кускоро-неперсртшх функцШ.

§ 1.2 присвячений функцюналмшм iiiTei ро-сумарннм мертност ям.

Нехай SP — клас неперервних функцШ: t(î): /?-> R,

t(i)^i,1im|J|_>00t(s) = oo.

Теорема 1.2.2. Нехай t(î) е 8F i невщ'емна функщя ф(г) задо-вольияе HepißiiicTb

t

ф(0 s n(t) + q(t)j g(s)<pn,(T(s))ds + <0

'0 < '/ < '

де i, — точки розриву 1-го роду функцп ф(1), n(t) — додатна неспад-нафункхцяпри f£fo, g(t)è0, q(t) S 1, Vf>i0, m > 0, тФ 1. Tofli V t > /q функщя ф(0 буде задовольняти оцшки

ф(о ^ «(о«« П <1+й>

« о <и<1

(m -1) J g(s)qm('Z(s))nm to

n(s) J

ds

0 < m < 1,

Ф(/) <; n(t)qU) П d+ßl) i-(m-i) П (1 + ß/)m~lx

/0 < tj < t L î0 < ti < t

t r

'о

n{s) J

ds

1/(1-ш)

, m > 1, ß,- =ßi9(/,),

j g(s)qm(x(s))nm-lWs < (M-1)"1 f] а + Р*)1-1". <0 . '<><',•<' В § 1.3 розглянуто функцюнальш штегро-сумарш HepiBHocri, що мктятъ крата! штеграли.

Нехай о(0 е 9% т(/) е 2F. Наведемо одну з теорем.

Теорема 1.3.1. Нехай невщ'емна функщя ф(г) кусково неперервна з розривами 1-го роду в точках {f,} : t j < t2 < . ■ ■ , Um, = °° задовольняе iiepienicTb:

<Р(0 < и(0 + «?(/)

}>(5)<|)'И(а(5))Л

L'o

ds

+ J/(J) J«W<pm(T(/))A

'o 'o

+ S ß/<P('/-°)' m>0'

'o < U < I

де n(t) — неспадиа, и(/)>0, q(t) > 1, /О) S 0, g(t)2;0, ß, >0. Tofli справедлив! так1 оцшки:

k(í) S ii(0ï(r)| П^ + Р'-^))1"" + l '0 < 'i < '

'0

ds

1/1-m

U(t) < Yl(l + foq(t¡))n«W X '0 <t¡<t

í . .. i , .. ^

0 < m < 1,

X exp

] fis)+

_fo ta-

ds

, m= 1,

H(f) á n(t)q(t) П Ü + ßK/C,)) П 0 + Р«М>Г~'х

t0<!¡<! ( 'O < '¡ < f

i

X J/(S) 'O

,n(s) J J

'0

X

n(G(l<))q(0(n>)Y" J ) , }

—----------I i/l/ !./< •

«(•») J j !

-l/m-l

, m>l, V/>/0:

+

вираз, який стопъ в ф1гурних дужках в останшй HeptBHocri, додатний.

У випадку неперевних функщй: I) для т = 1 результат теореми 1.3.1:1) при о(х) = т(л) = х, q{x)~ 1 сшвпадае з результатом С. Yeh, М. Shih (1982);

2) при о(х) = т(х) = х, g(t) = 0, q{х) = 1, n(t) = nQ= const сшвпадае з результатом A. Zahariev, D. Bainov (1981);

3) при q(x) = 1, g(t) = 0 сшвпадае з результатом R. Bellman, К. Cooke (1963), та результатом U. Dhongade, S. Deo (1973);

4) при n(t) = «о = const аналопчний до результат В. Pachpatte (1973).

§ 1.4 присвячений пертностям, як( е аналогами нерхвностей Вендрофа для розривних функщй в

В теоремах 1.4.1 - 1.4.4 сформульоваш твердження, як1 узагаль-нюють вщповщш результата A. Cordeneanu (1982) та Р. Беллмана (1963).

Теорема 1.4.1. Нехай невщ'емна функщя u(t,x) визначена в об-лас-ri

D в

UDkj' Dkj = {(Л^): xelxj.^xjl),

kJZl

к = 1,2,..., j =1,2,...

неперервна в D, за виключенням {fj,Xj стрибка:

u(tj - 0, xi - 0) Ф u(ti + 0, Xi +0), i = 1,2.....

i задовольняе штегро-сумарну HepiemcTb

t X

u(t,x) <; Mf(t,x) + J +

'0 *0

+ ' P/H(ri..-0,*/-0),

Co. *o)<('i.*i )<(«.*)■

m > 0, f02: 0, 0,

де \|/(f, jr) > 0, V(f, x)&D i e неспадною no (f, x):

VpSP, q й Q, l(p,q) < y(P,Q) при (p, q) e D, (P, Q) e D; .

величини Pj SO, Vie N, функщя / невщ'емна,причому

/(4,Л) = 0, Dlp, l*p,

для довшьних / = 1, 2,..., р = 1,2,....

точок скшченного

Тут (/,-,*,-)<(*/+1.лг/+1). якщо (,• <г,+ 1, x,- <.г(+1, V / = 1,2.....

причому

Нш = Нш Л,' =

I —» » 1 -4 ео

Тод1 справедлив! таю оцшки:

I х

и«,х) П (1+р,)

Со.*о )<('/.*<)<('.*)

1/(1-т)

О < т о 1,

I X

'о *о

и(г, АГ) 2 Ш*) П (1+Р,)ехр

('о.-*(>)< ('/.•*<)< о. *)

при т = 1

«(*,*) 5 Д (1+Р,)

Со. *0 )<('(.*! )<('.*)

X П (1+Р1-)т-,х

('О" ■*о)< ('¿>-*()< ('• *)

» X

'О *0

для довшьних (г, *) б О:

( X

'о *0

| ] /ы^ц '■'о *0

1+(1-т)х

т > I,

-1

(т-1) П (1+Р,)т~

Теорема 1.4.3. Нехай а(/) е 2Р 1 иеви'емна функция ф.х), визначена в обласп А задовольняе штегро-сумарну функцгональму нер1вжсть

I X

го хо

+ £ ßi"('( -0, Xi -0),

Co. *o )<(',•■ *,)<('.-О дс q{t,x)'2.l, Y(t, x), f (i, x), задовольняють умови теореми 1.4.1.

Тод1

u(t> х) £ y(t, x)q(t, x) J| (l + ß,^/,,*,)) X

Co.*o)<C,.*;)<(»,*)

хехр ¡¡/(^^(o^aW)*!^^

L r0 -*0 .

, Теорема 1.4.4. Нехай функщя u(t, x) задовольняе умови теореми 1.4.3 i для не! справджуеться нергвшсть

I X

u(t,x) й v(t,x) + q(f,x)J {/(¡^"'"(о^а^))^ +

'0*0

+ X ßi"('/ -0, Jf,

Co. *0><Ci. */)<('. X)

де m>0, m* 1.

' Tofli V (/, x) e D справджуються оцшкл

> и(/, X) ¡J \y((,x)q(t,x) fj (l+ßi9(/,-,*,)) x

Co-^o)« ('(>*,)<(', -О

г x

1

+ (!-«)/'J/ÄtOi-Cofi^edOJv^Än) X

4*1

J

u(t, x) £ y(t,x)q(t,x) fj

1/1-m

0<m< 1,

(l+ß,^,-,^)) x

(»0.J:0)<Ci. *<)<(/.*)

/ X

l-(m-l) f[ (l + ßi9('i.^))W_1J f/^Л) X.

Co.-*o) <('/.*/) <('.*) tQ Xq

Л)

d^dr]

1/1 -m

m > 1,

П)

d^dr\ <

при yMOBi, ЩО t x

'о

< (m-l)~l П M/iCi.*/»1-.

('(J. ■*<>)<('<•■*« )<('.-») § 1.5 присвячуеться неровностям для скалярннх функцШ багатьох змшних— багатовим!рним нер1вностям.

Актуалыпсть розгляду багатовгонрних nepiBiioc refl, особливо для розривних функщй, внзначаеться багатьма задачами р1внянь з частин-ними похщнимн, штегро-сумарних р1внянь Вольтерра з багатьма змш-нимн. Серед роб1т, присвячених багатовим!рним першностям, вщзна-чимо робот А. А. Мартишока, В. Лакшмикантама, С. Лила, 3. Б. Цалюка, R. P. Agarwal, Akinyele Olusola, A. Corduneanu, S. G. Hristova,

D. D.Bainov, B. G. Pachpatte, P. S. Simeonov, E. P. Thandapani,

E. G. Young.

Розв'язана задача ззедення GaraTOBUMipiioi штегро-сумарно! HepiBHocri до одновнм^рноь

Розглядаеться багатовтнрна штегро-сумарна нершшсть вигляду u(t{, ... ,tn) < /(f,.....r„) +

'1

+ J ...{*['!.....

)]dsi...ds„ +

(6)

ci <tf) <h.

5>('i.....г,.хГ>.....г^)л1[и(1|,)-0(...,^>-0)],

.,c„<x^<t„

де i=l,2,..., якщо tj e [cj, «.] та i ~ 1, к, к якщо tj e Tj], Tj = const, j-Tjt, тобтоюльккть j = l.n j в скшчетнй облает»

[<\ Т] = {fcj, Tj],..., [сп, Т„]} скшченна, а в нескшчешпй — не

бшыпе шж зл^ченна. Вважаеться, що множима neKTopiB

впорядкована: X/< JCj+i. VieN при x^ k=*hn.

Нехай виконуються умови:

I) функщя К невщ'емна при и 2:0, неспадна по и при фксованих tj, Sj, /= 1, n;

II)функцц /S:0, р., £О, Г)'SO, / неперервнапо i-, i = 1,п,

функцп HenepepBiiino ij, Т-^ (/= lTn), функцц неперервшта неспадш по и. Позначимо

t = (/!,...,/„), г = (t2.....tn), t = о,,г);

U,(() = max (0, u(f)}, й(») = sup w+(s),

sie lc<> t,- = (тУ),...,т|я)), • х{*> = (tP.....т[">), t| =

Тод1 справджуеться ланцюжок ¡нтегро-сумарних нер!вностей t

й(/) < /(0 + jAT/,j,M(f)]dr + £ М'.*.) Л/[«(*/-О)] £

с с < т, < t

t

<; /(/) + fx[r,s,u(si,s*)]ds + + £ ^(t.Ti)^^-0,^-0)] S

C<%1 <t

t

fit) + j£it,s.u(si,s*)№ +

с

+ X М^М'Х^-О-хИ-О)],

• С < T,' < t

де

/(<) = sup /(9), = sup

bi<.ti bi<.ti

= sup ЦДсг.т,), с*!;

тобто при кожному фшсованому t* i t^' функщя M(f],f*) задо-вольняе одновим1рну штегро-сумарну нер1внють

'Щ.П < 7(0

+ £ Р/^^'^л/И^-о.^-о)].

Дв _ * ..

^[1,^,6(51,5*)] = | Ки, 5,6(5!, Э*)](152...С1ЭП,

п с„

тр>>еа ...,«-)> с„ • __

Нехай = '„*)—довихьна точка: Г,, (1 = I,п) й с,. Тод1

ДЛЯ ВИХ С; 5 ¡1 < ВраХОВуЮЧИ МОНОТОННОСТЬ фуНКШЙ, ЯК1 вхо-дять в (б), маемо

'I

с, «т)1^!,

Отже,

< (0.

де —дов1лышй розв'язок ¡(пегро-супарного р1вняния

'I

т = /(О + + £ ^('..^ОП/И^-О)],

с, с, < < г,

неперервний на кожному зпром!жк1В «е М Осккпьки

точка г, вибиралась довшьно, то завжди

и{1) £ й(/) < и;(()(0.

В цьому параграф! припускалось, идо в точках ..., т

... функция и(г) маерозришНзскшчешшмсгрибкои

И(т<">-0.....х|">-0) * и(х|,,+0....,х{я>+0).

В § 1,6 узагалыйоються результата §§ 1.1 — 1.3 на випадок розривних

фуккщй багатьох зм!нних. Розглядаеться евклодв проспр Ип з точками х = хп),

=Ос10,...,хл°), порядком х°<х (х'°йх'), \// = Гп. Позначимо

X х' Xя -

| ...¿и « | ... | </и„,

х° л10

X = £

ж0 < дс^ < л: х° <л1,...,*п0 <*"

Нехай — простер неперервних функщй

таких, що:

A) /(*) = (Мх),12(х)...../„(*)), де

/,:КП->К, ^ = 1,2.....п.

B) /<х) 5 х

C) Иш /;{х) » V у »1,2.....п.

М-+ ОО

Аналогом теореми 1.2.2 для випадку багатовим!рних нер1вностей е наступне твердження.

Теорема 1.6.1. Нехай задана штегро-сумарна функцюнальна нер1вн1сгь

X

и(х) <; У(х) 4- 9(х) ¡/(х)ит(р(т))Л + + £ т > О,

Х° < Х1 < X

де невщ'емна функщя и(х) визначена в облает!

О - *>*„...,*„ = = =1,2,...,«},

{**} = .....хкп } — точки скшченного стрибка функцц и(х):

и(Х;-0) * и(*,+0) V/, д/(г) 5 1, р([) е 9, Р,- £ 0, у(х) > 0; — неспадна V х е £); /£0: / ¡= 0, .....* при = Пл.

_ . .п ■ .

Тоги для довшьних дс соравджуються нертноси: «(*) 2 Х|/(х)д(х) Ц (1+р;) х •

< < X

А.

У(Р(Т))1" : ]

¿х

1/(1—1«)

0<т< 1,

и(х) £ Щх)д(х) (1 + Р,-) X

X < XI < X

х ехр

Л

I

/ШрЮЖРСО)

Ч/(х)

йх

, . т = 1,

и(х) £ 1К(дс)9(л:) П (1+р?)><

X < X: < X

X < XI < X

л

>(рСО)

Л

1/(1-т)

/и> I,

длядовигышх х>л :

1

У(р<*))

I J

<

(т-1) П (1+р;)т~Г

дс° < XI < дс

Тут Р/

В § 1.7 отримаио основ!» теоремн методу Б1хар1 для кусково-неперер-вних функцШ.

Теорема 1.7.1. Нехай задана штегро-сумарна фуикц1ональна нср1в-шстъ

х

н(х) 5 <р(х) + +

< XI < X

де Xàх°, 1, <р(х) — додатнанеспадна, (ïj = consté0; функвдя

ц(х) невщ'емна кусково-неперервна з розриваин 1-го роду в точка* x¡, f~¿0, причому We Э-i : a) WCïP) S б) W\ [0,«.[->í<W. W(0) = 0;

в) W неспадна; г) ¡>(s) е 9.

Тод1 для довшьних й х < <» справджуеться nepiBHicTb:

-I

f =^Wp(T))<f>(p(t)))cít <р(т)

U/

де x¡ <x<jc¡+1 х

€ Dora^f1),

*0оо - ) d0

\V{o)

%{V)

V , f ° j W(O)'

i = l,2.....

q = (I+P,ï(*{))X

х^Г-1

V

M

Ф)

W(q{pbmp(y)))dy

, «=1,2.....

Розглянемо клас функщй f e 3F i <=> :

а) /(•*) — додатна, неперервна, неспадна для х > 0.

б) V г > Í, и г 0:

Г1 Ли) <, /(f"1«).

в) /(0) * 0.

Справедливе наступив твердження.

Теорема 1.7.2. Нехай кусково-неперервна невщ'емна функщя ф(зс) з розривами I-роду в точках {*,} задовольняе nepiBHicTb

х

ф(*) S \|»(дг) + q(x) ¡ g(X)W(y(p(X))dX +

Л < X; < X

де у(х)—неспадна при jc>jc SO функщя, така що \j/(.t) > 1, 4(x)Sl, р{ОбЗ% функц1Я W: [О, [ —>[о,[ належить клайу Ф,. Тод! для дов!Льних х® йх£х* справджуетьсяоцшка:

де

<р(л) S yW-zWGf1

л

xt<x< дг(+1, i=0,1.....

V

W

V

da

Ща)'

С,. (V) = j

da

W(a)

, « = 1,2,...

с,- = p+pi9(jt,))GfJ

"l

x* = sup

J i(T)?(p(t))AeDom(G;i,), / = 1,2,...

Теорема 1.73. Розглянемо ¡нтегро-сумарну iiepiBHicrb вигляду

\ f(sMpis))ds +■ | /(5)j J g(t)u(p{t))dt U

и(дс) S И0 + q(x)

+ J h(s)W{u(a(s)))ds + £ M^i-0)»

д;° X° <Xi<X

дефункци u(x), f{x), qix), £(*), h(x), p(x), a(x) fliftcm, невщ'емш воблас-ri D: {д; >o}, pix) e & , a(x) e 9 ,qix) S 1, p, =

const SO; функщя Щи) задовольняе умови теореми 1.7.1, {*,}— ПОСЛЩОВШСТЬ ТОЧОК рОЗрНВу 1-ГО роду фуНКЦП U(К), U(.V°) = U().

Тсдо в облает I) для функцп м (х) буде справджуватась така оцшка:

д: < Л/ < * х

х ехр

г

X

х V/

при УМ0В1, що

<?(о(т)) ехр

19(1*0)1/Ю+ *<*)]*

¡Цт) Ш П (1+р,-<?(*,)) (х)

¿1

/л /

\ дг < < о(т)

а(1)

X IV Де

.-I

<г(а(т)) ехр | 9(р(5))[ /(¿) + «(«)

ёх б Бош ^р1),

и

= |

А)

«о

и(х) 5 + д(х)

у0 —обернена до ц/0 функщя.

Теорема 1.7.4. Нехай кусково-неперервна невщ'емна функщя и{х) 3 розривами 1-го роду в точках {*,} задовольняе штегро-сумарну не*

р1ВШСТЬ

+ X М*|-0).

< XI < *

де функцп <?(дг), визначеш в обласп D I задовольняють

умови теореми 1.7.2, р(х), 0(х) е для функци V/ справедлив! припущення теореми 1.7.1. Тод1 Удг^дс0 справджуеться ощнка

х

и(х) £ ЩхЫФЧ

-1

Л

де дг,- <х<хм,

Г в££г<аЛ е Оот^Л

ч

с,-

а+НЧст)

1 = 1,2...,

С,- = а + Р^дг,))^!

1 у(р(х))

У *ы

1 = 1,2...

Туг г(0 = тах{9(^))у(?(0),И%(о(г)»ч/(а(/))}. Теорема 1.7.5. Нехай задана штегро-сумарна нер1вшсть вигляду

X

и(х) <5 «О +?] (*) | /(5) IV, +

ж0

д;

+ 9г(*)/*(»)адо(«)))А + X М*|-0),

де /(*), р(х), а{х) — Д1йсш невщ'емт неперервш функцн, р(.г) ¿х, V д > л:0, о(х) <л, V х 5 и(х) — кусково-неперервна з розривами 1-го роду в точках {*,} нев^д'емна функщя

<Х2 <... Нш х, =«>). Припустиио

\ ) _к м '

а) 1, Ух>.х°, г) \У2(х)€ Щ,

б) д2(х)2 1, Vх^х°, д) и0 = сошл£1, Р^согШйО.

в) И^е

Тод1 V ^ буде справджуватись оцшка

«(х) 5 Чу(х)Чг{х)сА х

X í""1 J«(t)W2 L°

де

qmx))q2(0{x))G¡

G'(M) = ¡ш? í=u..... G°(u) = /

-I

o(T)

J M9iWs))ds Y

. dV

C,

"o

WÍ(V)'

C, = (l+ß,)Gfi

и

J №qWl))<k , F(u) = J

• обер

умов1, що виконаш сп1вв1дношення

"о

ds

Щ(*У

причому л G,rl — обернет вщповщно до функщй F та G¡ при

J/< W(t))A б Dom(Gf1), i — 1,2.

x Gl

a(x)

J J(s)qi(p(s))ds

\dt e Dom(F~~l)

при i = l, 2, —

Другий роздьп дисертащйно! роботи присвячений дослщженню спйкост! за Ляпуновим та практично! ctiHkoctí розв'язюв систем з ÍMnyjibcHHM збуренням. Першим дослщженням iMnyJibcHoi систсми можна вважати роботу М. М. Крилова та М. М. Боголюбова "Введение в нелинейную механику" (К.: Изд-во АН УССР. - 1937. -363 е.), де розглянуто приклад маятника з 1мпульсним збуренням.

Под а л ьш i досл1дження ¡мпульсних систем пов'язан! з роботами Ю. О. Митропольського, А. М. Самойленка, М. О. Перестюка, Е. О. Барбашина, О. А. Бойчука, Б. М. Живикина, С. Т. Завалищина, Б. С. Калитина, 1. В. Ливартовського, К. Ю. Мамси, В. Ф. Рожко, М. X. Розова, Т. Р. Гичев, В. Г. Самойленка, В. Ю. Слюсарчука, В. I. Тка-ченка, С. I. Трофимчука, А. Халаная, О. С. Чернжово!. С. S. Heu, S. G. Pandit, Т. Pavlidis, V. Radhavendra, R. R. Mohana, V. Rao Sree Hari, V. Reitmahn та íh.

Слщ зазначити, що основи Teopíí практично! ст1йкостт систем були

г

I

закладеш в роботах М. Г. Четаева та М. Д. Moiceeßa , коли еволющя системи дослщжувалась при фжсованих оцшках областей початкових та наступних вщхилень на скшченному або пескшченному пром1жку часу. Подальнп дослщження по практичшй ст1йкост1 систем по-в'язат з роботами К. А. Абгаряна, В. I. Зубова, Г. В. Каменкова", К. А. Карачарова, А. Г. Шлютжа, А. А. Мартишока, В. Лакшмикантама, С. Лила, М. Г. Четаева, А. N. Michel, С. P.Tsokos, R. M. Rao, L. Weiss, E. E. Infante та багатьох шших. Розглянемо систему вигляду

~ = KUX), t * /¡(je), (г,

at

=,,u) = (((■«).

де * = /«(/i.-./«), /0.0) = О, /,(0)=0, ( = 1,2.....

/ à í0 St 0.

Надал1 будемо вважати, що поверхня, на якШ проходить ¡мпульсне збурення, визначаеться р!внянням P(í, х) = 0, яке може бути розв'я-заним вщносно I, причому мае розв'яз^в í = r,(jc) (í = 1, 2,...) на пескшченному пром!жку не бшьше шж зл1ченну кьлыисть i скшченну юлыасть, якщо ¡нтервал скшченний (А. М. Самойленко, М. О. Перестюк "Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием" - К.: Вища школа. - 1987. - 287 е.).

Нехай також t¡(x) якщо /->«» piBHOMipHo по х (||jc|¡<ft), t¿(x) < t¡ + i(jr) для í = 1,2,..., X (¡ijejj<А). Умову стрибка при до-сягнент ¡нтегрального кривою системи поверхонь /¡(je) будемо позна-чати, йдучи за згаданою монограф}ею, через Дх, тобто

Мр(/,лг) = 0 = *(í + 0)-*('-0)|, = ,.w = A*|(afjW = /Да:),

де функцп I¡ характеризують величину ¡мпульсного збурення. У ви-падку, якщо í¡(x) = t¡, де t¡ — фксоваш момента часу, маемо

ДX |t _, = X(t¡ + 0) - x(t¡ ~0).

В § 2.1 розглянуто ochobhí означения яккних характеристик роз-в'язк1в ¡мпульсних систем: а) практична стШмсть вщносно заданих величин (X, А, 7); б) pißHOMipua ввдносно /q ( X, А, /)-стШкють; в)

стискуюча практична (X, А, А*, У)-ст1йк1сть; г) в ластив ¡егь притя-гання.

§ 2.2 присвячений дослщженню ctíIíkoctí Л1енйних ¡мпульсних

систем. Розглянемо систему

-i = A{t)x, t * t¡, Ax\tat. = Jx, (8)

di 1 '

де {í, } занумерована натуральним радом чисел: гй < t¡ < + ( (/ = 1,

2,...), lina,-<*>, / — поспйна матридя, А(0 — неперервна на

/ = [ /0, »о[ матридя.

Нехай K(í,1q) —матридя Komi системи (8). Тод1 незбурений рух

системи практично стШкий, якщо

j|K(f,i0)i < Х_1Л Vi ;> í0.

тобтообмежещсть матрицанта К{1, /0) системи (8) не гарантуе прак-тичну сгпйюсть незбуреного руху системи (8) вщносно величин (X, Л, J) (на вщмшу вщ cTiftKocTi за Ляпуновим).

Припустимо, що ¡снують обмежеш функци rj(t):/J+ ñ+; /(f) : TaKi, що

K(U)I S

(9)

П('оЖ'о> = 1-

Теорема 2.2.6. Нехай для системи (2.28) справджуеться сшввщно-шення (9), причому:

1) icnye Wj:

r](í)l(tQ) S m,(/0) < « Vie/, . Л

Toaí незбурений pyx системи (8) (X., Л, У)-сгШкий;

2) в yMOBi 1) величина m^íp) не залежить ввд /q. Tofli незбурений pyx системи (8) piBHOMipao вщносно íq (к, Л, 7)-ст'1йкий;

3) П(')/Оо> 0 при t -» «е. Tofli незбурений рух системи (8) асимптотично стойкий;

4) виконуеться умова 1), T|(í) монотонно спадна i 3 Т* е /:

r\(t0 + T*) < *

Tofli незбурений рух системи (8) стнскуючий практично cri ti к и it вщносно величин (К Л, À , У).

В § 2.3 розглядаеться питания ctííIkoctj розв'язк!» н?лЫйийх еле тем з Ыпульснчм збуренням.

Нехай х s Rn, /е /?", /, е Rn, i = 1, 2,.... t > f0, /(/, 0) = 0, /, (0) = 0, V / g iV. Розглянемо систему

^ = f(t,x), t*tit i±x\t = 1. =Ii(x). (10)

at '

Теорема 2.3.1. Нехай виконуються умови:

а) II/а,х)II 5 /(Oilх% VfeJ, У = Т<оо;

б) ||/¡(х)| S kjixi ki = const >0;

оо

в) П (1 + *,-) < K(tQ) < г) jl(x)dx <, l(t0) < Ов; 'i > 'о Го

ч X 1_

д) — < -.

Л 7i(i0)exp/(r0)

Тод! трив1альний розв'язок системи (10) (Я, А, /)-ст!йкий, причому

спйкк:ть буде piBiioMipnoio, якщо я та / не залежать вщ

Зауважимо, що при виконаиш лише умов а)-г) теореми, мае м!сце

спйккть незбуреного руху системи (10) за Ляпуновим.

Якщо виконаш умови б)-г) теореми 2.3.1, причому

1) !/(*.*) - /и.у)\ & mix - >'Г, о < m < 1;

г , -11 - m

2) Х1"" + a-m)f(r0> <

Ln(i0)J

то незбурений pyx (10) системи (X, Л, 7)-спйкий (теорема 2.3.2). У ви-падку, коли = я = const, /(f0) = I = const, умови теореми гарап-тують piBHOMipny в1дносно tQ ( X, Л , J )-cTiftKicTi, ipiiBiajiMroro розв'язку системи. ,

Якщо виконаш умови теореми 2.3.1, причому:

а) ||/(г,л)|| <; 1(01хГ, m>iyteJ;

б) [X7t(f0)]m-,/(i0) < ---•

m-1

в) Xn(tQ) < л[1-(и-1)Я.и,-1гет-1/]1/""1 гарантуеться (X, Л, /)-ст!йккть незбуреного руху системи (теорема 2.3.3).

Вказано умови piBHOMipHoi по f0 (X, А, /)-стШкост! незбуреного руху системи (10).

В теоремах 2.3.4-2.3.6 встановлеш умови практично? стШкосп трн-вiaльнoгo розв'язку системи

^ = Ах + f(t,x), t * lh Ax|r = ,. = ¡¡(x), (11) at 1 1

в припущенш, що A— поспйна матриця, функци /(/, х), /Дх), в облас-ri Q = {/,л: teJ = [r0,Т[, Г<«, tQ £0, |jc||^/i} задовольня-

ють умови li/(f,x)|!<fe(0iur. т > 0 1/,-(л)!|</у||д;||, /, = const.

Окреморозглянутовипадки: 0</n< 1, т-\, tn> 1. •

Теореми 2.3.7-2.3.9 присвячеш встановленню умов практично! стШ-

KOCTi тривиального розв'язку системи

dx I *

— = Ах + f{t,x), t * th Дх , = |. = Ix + liix), (12) tit 1 1

Kit,t0) (13)

(14)

Теорема 2.3.7. Нехай при 0 < m < 1

1) для системи збуреного руху (12) юнуе лшШне наближення (13), для якого слравджуеггься умова (14);

2) послщовшсть {tj } задовольняе умову 02 >0, 0, = const, i = 1,2;

3) для Vi0€/,3mj(i0): ехр[ ау(< — i0) ] < "»l('o) Vie

4)3P(i0)= П a + JiisfVoX-; t0<ti<i

5) функщя b(t) монотонно спадна, 3/«¿(Го):

i

jeaj(m-< m^tQ) < ee> a^-= e + y + lna/8y, j~l,2 to

6) для заданих величин X, Л справедлива HepienicTb

}}-т + (1 -ш)/П2 < f~

Тод1 незбурений рух системи (12) (X., Л, Л)-снйкий. Якщо виконаш умови теореми 2.3.7, причому величини intfto), m2Cо)» ие залежать вщ /0, то трив1алышй розв'язок (12)

ртномфно вщносно r0 (X, Л. У)-спйкий (теорема 2.3.8). При вико-

при умов1, що /, (jc) е Lip/Дл, Q), i для матрищ Kouri

системи лшйного наближення

dx А I

— = Ах, t Ф tit = = 1х,

виконана оцшка де

у= max ReXj(A), a2 = max + I)T(E t /)].

Г

нанш умов теореми 2.3.7 i aj <0, забезпечуеться стискуюча практична спйккггь н. р. системи (12) та властивють притяганпя (теорема 2.3.9).

У випадку, коли ¡мпульсне збурення проходить на деякчх заданих поверхнях t - г,(х), можливе виникнення явища „биття" розб'язк1в системи об поверхш ¡¡(х), тобто зустр1ч деяким розв'язком системи поверхш (;(jc) нескшченне число раз!в за скшченний пром1Жок часу То. В цьому випадку розв'язок не може бути продовжений на весь штервал часу / = [ io, Г ].

Розглядаеться два випадки, якщо виникло „биття" розв'язк1в на n<f як)й поверхн1 fjt(jc), тоспйкклъ буде розглядатись на скшчениому проьпжку часу [f0,Г* ], де Т* = jsup/:?<^(.v)|. При цьому понят-тя практично! спйкост! буде сщвпадати з поняттям спйкост! руху на скшченному пром1жку часу.

При вщсутносп „биття" розв'язшв практична стШккгь дослшжу-еться на нескшченному пром'шку часу. В цьому випадку Bei наведен! вище результата про практичну стШкшть при ¡мпульсних збуреннях в фнссоваш моменти часу стае можливим розповсюдитн im системи, як[ збурюготься ¡мпульсами на заданих поверхнях.

В TeopeMi 2.3.10 папе дет умови вщсутносп „биття" розв'язкт системи

Yt = Ах + f(t,x), t * tj(x), Äxj, = f.w = Ix + I*(x), (15) об noBepxni {/,• (л)}: t\(x)< /¿(x) < •■• , lim ¡¡(x) = °° при yMOBi, що

I —> OO

функщя f(t,x) задовольняе в облаем Q умову Гельдера:

i/(f,*)-/(/,y)f| S Ш\х-уГ^ 0<m< 1, де ¿2(0->0 при

В TeopeMi 2.3.11 отримаш умови (>., Л, /)чглйкосп трив1алыюго розв'яэку системи (15) на скшченному пром1жку часу. Так, якщо в систем! (15) функци /(Л х),1*(х),Г,(х), визначеш в oönacTi Q, задо-вольняють умови:

1) lf(t,x)-f(t,yn < №\х-уГ. 0<m< 1; ,

2) '

3)

¡¡(Х)-ЬЩ $ Ц\х-у1 v^yefl;

L = max L,-; ох ]| i

4) П. d + iey = [/0,r], Г<°°;

t0 <tt<t

5) 02 > inf г1+1(л) - sup t;(x) > б! > 0;

6) sup (-Ü--+ (х)

OSoSH ÖX

1 * »

7) L < -j—, b<riüb>, Vt&J, L2 = const>О;

Г

8) Jb(T)exp[aj(»j-l)](t-i0)ifx £ г<00;

„'«„.iM^vji-^r

то незбурений рух системн (15) практично (к. Л, /)-стй!кий.

Якщо в систем! (15) виконуються умови теореии 2.3.11 на нескш-ченному промЬкку часу (Г = <*>), за винятком умови 9), то при у + 1

+ —Ina<0 гарантуеп.ся стискуючапрактичнаспйК1сть незбуреного Qj

руху системи, причому незбурений рух при t « мае властивгсть притягання (теорема 2.3.12).

В теоремах 2.3.13-2.3.15 встановлеш умови 1) практично! спйкосп; 2) piBHOMipHoI практично! cTitkKOcri; 3) стискугочо! практично! спйкост» незбуреного руху системи (15) (¡¡(х) - г,) при умов! лшшицевосп f(t>x) (показник нслшМносп т=1).

Умови теореми 2.3.16 забезпечують вадсутшсть „битгя" розв'язклв системи (15) при умов», що /(/, х) лтшицева. На ocHoei умов теореми 2.3.16 но аналоги з теоремою 2.3.10 в TeopeMi 2.3.17 сформульоваш умови практично? CTiilKocTt незбуреного руху системи (15) на скш-ченному пром!Жку часу. Виконання умов теореми 2.3.18 забезпечуе асимптотичну спйккть трив1ального розв'язку системи за Ляпуновим та стискуючу практичну стШмсть на нескшчешюму пром1жку часу.

Умови теореми 2.3.19 гарантують вщсутшсть „битгя" розв'язк1в системи

dx

= Ax + f(t,x), t#tf(x) &х1,х,.(Я) = *iW, 06)

у випздку, коли |/(r,x)| S L(i)l|Ail'", т > 1, де Ц() — обмежена лодатнафункция (Ц/)<Ь, /> = const, Vräfo).

Четвергий параграф другого роз/илу присвячениН ^становлению >>»08 практично»' CTittKOCTi, piBHOMipHoi. стискуючо! ДЛЯ p03»'H3Kin

систем вигляду

jt = A(t)x + f(t,x), t * Ц, Дл|, == Вх + /,•(*). (17)

за линйиим наближенням па нескшчеиному пром1жку часу. Нехай A(t) — неперервна (кусково-неперервна) при 1 > íq> 0 матриця. В — постШна матриця, функцп f(t,x) та I¡(x) в o6.)iacxi Q = = {/, л:: / 6 J = [ f0, Т [, Г á <*>, |д:)| á h } задовольняють умови

|1/(г, .г)|| < b(t)¡xf, а > 0; ¡|/,U)| < k¡ = const >0, / - 1,

2..., де A(í) — додатнапри í > Го функщя. Припускаеться, що д./.ч' матрнцанта X(t, /о) системи липйного наближення

dx i

— = A(t)x, í * t¡, Ддг , _= Вх, (18)

dt

справедливаоцшка: JX(í,f0)¡| < r\(t)l(t0), г > r0 > 0. Теорема 2.4.1.

Нехай 0 < а < 1 i виконаш умови:

1) ¡снуе величина Л/j (/0): Т|(/)/(/о) 2 M¡(Iq);

i

2) В m(t0): ¡ ¿(z)b(T)T]a(z)dx < m(t0) < - V t > t0;

io

3) виконана HepiBHicTb Mi(ín) < -—--:—n---.

[X1- + (l-a)wi(f0)],/(,-a)

Tofli незбурений pyx системи (17) e

1) (X, А, /)-ст!йким;

2) при Aíj(f0)=Mi а m(/0)=wi, P(t()) — Р pibhomípho по /о (X, Л, 7)-спйким;

3) при r\(t)l(to)P(to)-» о — стискуючим (X, Л, Л*, У)-стй1-

ким (притягуючим). Тут

P(to)= lim J] (! + *<%)).

I —> оо

'i > Iо

Теорема 2.4.2. Нехай в chctcmí (17):

1) а = 1;

2) кнуе величина Л/2 ('о ): P{t$, t¡, t) < M2 (?o) I

3) значения X та Л пов'язаш стввщношенням: Х~1А > M20q)-

Tofli незбурений pyx системи (17) e 1) (Я, Л, J)-ст1йким; 2) р1вном1рно вщносно /о ( X, Л, 7)-ст1йким, якщо М2('о) - М 2 -= const > 0; 3) стискуючим (X, Л, Л*, J )-ст1йким, якщо P(tQ''i>t) >0, t0 < п < г. Тут

f о

P(t0,ti,t) = цть) П +

'о <», <'

f t

х exp

j/(t)i>(t)n(t)rft

•'о

Зазначимо, що виконання перших двох умов теореми гарантуе спй-кють за Ляпуновим трив!ального розв'язку системи (17); у випадку P(tо>'(>')-> 0 (Го < ti < t, V i = 1, 2,...) трив!альнийрозв'язок

системи (17) асимптотично стойкий. На закшчення параграфу сформульовано такий результат. Теорема 2.4.3. Припустимо

.1) а > 1; 2) P(t0) < 3) 3M3(/0):ti(0/(fo) ^ M3(i0); t

4) 3m(/0): J l(t)b(x)i\a(x)dx £ m(f0) < Vffcf0;

'o

5) виконуеться оцшка y(to, X)< 1, де

у(*0Д) =f (a-l)Pa-1(/0)[/(r0)Xf-lm(f0);

6) величиии X та А пов'язаш сшввщношеиням:

Tofli незбурений рух системи е:

1) (X, А,/)-стхйким;

2) piBnoMipnono tQ (X, Л, У)-ст1Иким, якщо (при P(tQ) = P = const, M3(f0) - Мъ = const, w('o) const);

3) стискуючим (X, Л, Л*, У)-ст1йким, при T|(r)/(i0)-> 0.

« >

ВИСНОВКИ

В po6ori отримаио Hoei результата з Teopii штегральних нер!вностей для розривних фуикщй. Доведено теоремн методу Беллмана - Bixapi для кусково-неиерервннх функщй, дослщжеио штегро-сумарш

функцюнальш нер1виосп та нер1вност1 з краткими штегралами. Одержано нов! оцшкн розривних функщй, що задовольняготь функщональш нер^вносп Вендрофа. Отримано умови розв'язання задач1 зведення багатовщпрннх штегро-сумарних першностей до одновим1рних. Розроблено схему дослщжеиня методом Ыхар1 неровностей для розривних функщй вщ багатьох змшних. На основ1 цих результат1в дослщжено якюну поведшку розв'язкш систем диференщалышх р1внянь з ¡мпульсним збуренням. Отримано умови спйкост1 за Ляпуновим та практично! спйкост1 на скшченночу та иескщченному пром1жках часу розв'язк1в лннйннх.та нелпнйши Ыпульсних систем.

Розв'язано задачу про практичну стШюсть розв'язюв нелипйних Ыпульсних систем за лшШним наближенням.

СПИСОК ОПУБЛ1КОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦП

1. Борисенко С. Д., Косолапой В. И., Оболенский А. Ю. Устойчивость процессов при непрерывных и дискретных возмущениях. - К.: Наук, думка, 1988. - 200 с.

2. Борисенко С. Д. Побудова математичних моделей ф{зичних та шших еволющйних процейв за допомогою диференшзльних ршнянь. - Киш: Видавництво КП1 „В1ПОЛ", 1995. - 148 с.

3. Борисенко С. Д. Про спйкють та притяГ-ання розв'язюв нелппй-них систем з шпульсним збуренням // Вкн. Ки!в. ун-ту. Математика та механика. - 1985. - Вип. 27. - С. 5-12. .

4. Борисенко С. Д. Об одном подходе к решению задачи о технической устойчивости решений многомерной системы // Вкн. Кшв. унту. Математика та мехащка. - 1986. - Вип. 28. - С. 3-5.

5. Борисенко С. Д. Устойчивость решений линейных систем с толчками // Мат. физика и нелинейн. механика. - 1986.- Вып. 5 (39). -С. 1-4.

6. Борисенко С. Д. Об устойчивости решений по линейному нри-. ближению систем с импульсным воздействием // Дифференц. уран -

нения. - 1986. - 22, № 5. - С. 884-886.

7. Борисенко С. Д. Оценки решений дифференциально-разностных уравнений с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения. -1988. - 24, № 5. - С. 886-888.

8. Борисенко С. Д. Об устойчивости решений функционально-дифференциальных уравнений с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения. -1988. - 24, № 6. - С. 1069-1070.

9. Борисенко С. Д. Интегро-суммарные неравенства для функций многих независимых переменных // Дифференц. уравнения. - 1989. -25, №9.-С. 1638-1641.

10. Борисенко С. Д. О практической устойчивости решений импульсных систем //Изв. вузов. Математика. - 1989, № 1. - С. 14-25.

11. Борисенко С. Д. О некоторых интегро-суммарных неравенствах и их приложениях // Вкн. Кшв. ун-ту. Математика 1 мехашка. - 1989. -Вип. 31.-С. 7-12.

12. Борисенко С. Д. Багатоыийрш штегро-сумарш неравное« // Укр. мат. жури. - 1998. - 50, № 2.- С. 172-177.

13. Борисенко С. Д. Про деяк! нер1вност1 Б1хар1 для розривних функщй // Наук. В1сп НТУУ. -1998.- № 1. - С. 70-76.

14. Борисенко С. Д., Юлдашев 3. У. О некоторых интегро-сум-марных неравенствах и их приложениях // Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений: Сб. науч. тр. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1985. - С. 30-34.

15. Борисенко С. Д. О практической устойчивости решений систем с импульсным воздействием // Некоторые вопросы теории асимптотических методов нелинейной механики: Сб. науч. тр. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1986. - С. 57-59.

16. Борисенко С. Д. О линейных функционально-диф4>еренцналь-ных уравнениях с импульсным воздействием // Вопросы устойчивости интегральных многообразий в уравнениях математической физики: Сб. науч. тр. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987. - С. 10-13.

17. Борисенко С. Д. 1нтегро-сумарш nepiBHOCTi Гронуола - Кел-лмана та 1х застосування в Teopii ¡мпульсних систем // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. тр. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. - С. 37-38.

18. Борисенко С. Д. Про функцюналып штегро-сум.арш nepiBHOCTi // 1нтегралын перетворення та 1х застосування до крайових задач: Сб. науч. тр. - Киев: Ин-т математики ИАН Украины, 1996. - Вып. 12. -. С. 19-22.

19. Самойленко А. М., Борисенко С. Д. Интегро-суммарные неравенства и устойчивость процессов с дискретным возмущением // Труды Третьей Междунар. конф. „Дифференциальные уравнения и их приложения". - Руссе (Болглр1я), 19S7.- Ч. I. - С. 377-380.

20. Borisenko S. D. Technical stability systems with impulse // IMACS-IFAC Symposium „Modelling and Control of Technological systems", Lille, France, May 7-10, 1991, Proceeding, Volume 3, 1991. - P. 38-41.

21. Борисенко С. Д. 1нтегро-сумарш nepiBHOCTi та ix застосування в дослщжешп шпульсних систем//VI Mixnap. наук. конф. iM. акад. М. Кравчука: Матер1алн конференции- - Кшв, 1997. - С. 41-53.

22. Borisenko S. D. Integro-sum inequalities and solutions stability of the impulse systems // XI Intern. Conf. of Nonl. Oscillations. Budapest, Abstracts, 1987.-P. 41.

23. Borisenko S. E>. Integro-sum inequalities and practical stability of impulse systems // Intern. Congress of Math. Kyoto, (Japan). Abstracts. -1990.-P. 21.

24. Borisenko S. D. Practical stability of impulse systems // Second Colloqium of Differential Equations. Bulgaria. Abstracts. - 1991. - P. 47.

25. Borisenko S. D. Integro-sum inequalities in several variables H Intern, Conf. „Nonlinear Differential Equations". Book of abstr., Kiev. ~ 1995.-P. 24.

Борисенко С. Д. Iinerpo-cyMapiti nepianocri та задач! criiiKocTi систем при ¡мпульсних збуреннях. — Рукопис.

Дисертащя на здобуття паукового ступеня доктора ф1зико-математичних наук за спещальшстю 01.01.02 — диференщальш р1вняння. — 1нститут математики НАН Украши, Киш, 1998.

Дисертацш присвячено розробщ методу штегральних неровностей для розрквних функщй та його застосуванню до дослщження систем дифереищалышх р1внянь з ¡мпульсним збуренням. Отримано загальш теореми методу Беллмана - Bixapi для розривпих функцШ, що задовольняють багатовим1рш функщональш HepiBHocTi. Розв'язана задача зведення багатовим1рних нер1'вностей до одновим!рних, дослвд-жеш функщональш нггегро-сумарш HepiBHocTi Вендрофа.

Отримано умови спйкост! та практично? criiiKocTi розв'язгав сут-тево нелпийннх ¡мпульсних систем.

Ключов1 слова: штсгро-сумарш nepiEuocxi, системи з ¡мпульспим збуренням, ст!йк1сть.

Борисенко С. Д. Интегро-суммарные неравенства и задачи устойчивости систем при импульсных воздействиях. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 —дифференциальные уравнения. — Институт математики НАН Украины, Киев, 1998.

Диссертация посвящена разработке метода интегральных неравенств для разрывных функций и его применению к исследованию систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Получены общие теоремы метода Беллмана - Бихари для разрывных функций, удовлетворяющих многомерным функциональным неравенствам.

Решена задача сведения многомерных неравенств к одномерным, изучены функциональные интегро-суммарные неравенства Вендрофа.

Получены условия устойчивости и практической устойчивости решений существенно нелинейных импульсных систем.

Ключевые слова: интегро-суммарные неравенства, системы с импульсным воздействием, устойчивость.

Borisenko S. D. Integro-sum inequalities and stability systems with impulse disturbances. — Manuscript.

Thesis for a degree of Doctor of Science in Physics and Mathematics, speciality 01.01.02 — differential equations. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1998.

The thesis is devoted to elaboration of the method of integral inequalities for discontinuous functions and it's application for investigation systems of differential equations with impulse disturbances. The general theorems of Bellman - Bihari method for the discontinuous functions are proved.

The problem of reduction of multidimensional inequalities for one-dimensional inequalities is solved, the functional integro-sum inequalities of Wendroff type studied. »

The conditions of stability and practical stability of the solutions of essential nonlinear impulse systems are received.

Key words: integro-sum inequalities, systems with impulse disturbances, stability.

Иди. до друку 10.04.98. Формат 60x84/16. Ilanip друк. Офо. друк. Ум. друк. арк. 2,09. Ум. фар0о-В1д<5. 2,09. Обл.-вид. арк. 1,65. Тирах 100 пр. Зам. 56. Безкоштовно.

Вгддруковано в 1нституп математики HAH УкраКни 252601 КиГв 4, МОП, вул. Терещенкхвська, 3