Интерфейсные соединения с дефектами в задачах неразрушающего контроля

Натальченко, Александр Васильевич

Интерфейсные соединения с дефектами в задачах неразрушающего контроля тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Натальченко, Александр Васильевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Краснодар МЕСТО ЗАЩИТЫ

1998 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Автореферат диссертации на тему "Интерфейсные соединения с дефектами в задачах неразрушающего контроля"

ИНТЕРФЕЙСНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ С ДЕФЕКТАМИ В ЗАДАЧАХ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КРАСНОДАР, 1998г.

Работа выполнена на кафедре математического моделирования факультета прикладной математики Кубанского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: академик РАН, доктор физ.-мат.

наук, профессор Бабешко В.А.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физ.-мат. наук Пряхина О.Д. кандидат физ.-мат. наук Сыромятников П.В.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: . Кубанский государственный

технологический университет.

Защита диссертации состоится "24 "Р 199 6 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета К 063.73.02 по физико-математическим наукам в КубГУ по адресу: 350040, г.Краснодар, ул.Ставропольская 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Кубанского государственного университета.

Автореферат разослан " И&УЪ^З 199 8 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ.-мат. наук /у У?

А.А.Евдокимов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Работа посвящена моделированию волновых процессов в средах, состоящих из нескольких областей при наличии интерфейсных соединений между ними. Под интерфейсными соединениями понимают упругий или вязкоупругий бесконечно тонкий слой, разделяющий упругие среды. Анализ эксплуатационного состояния таких соединений и оценка их прочностных параметров приводит к необходимости решения динамических краевых задач теории упругости для неоднородных сред, большой вклад в развитие которых внесли В.М.Александров, В.А.Бабешко, В.М.Бабич, А.В.Белоконь, Л.М.Бреховских, В,С.Булдырев, И.Н.Векуа, И.А. Викторов, И.И.Ворович, В.Т.Головчан, В.Т.Гринченко, А.Н.Гузь, Б.В.Костров, В.Д.Кубенко, В.Д.Купрадзе, В.В.Мелешко, П.А.Молотков, В.З.Партон, П.И.Перлин, Г.И.Петрашень, Г.А.Попов, В.Б.Поручиков, В.М.Сеймов, И.Т.Селезнев, Л.Н.Слепян, А.Ф.Улитко, М.А.Черевко, Я.С.Уфлянд и другие ученые.

всех этапах производства и приемки работ, эксплуатации и ремонта конструкций методов неразрушающего контроля, и в частности, ультразвуковой диагностики, в значительной мере способно решить проблему. При этом достоверность результатов проводимых оценок безусловно повышается при построении строгих математических моделей волновых процессов.

Целями работы являются:

1) построение физико-математической модели распространения интерфейсных волн, возникающих вблизи границы раздела упругих сред в результате отражения падающего поля от дефектного участка соединения;

2) установление зависимости параметров интерфейсных волн от упругих характеристик областей, свойств дефектного участка Соединения и частоты зондирующего сигнала.

Методика исследования. В настоящей работе краевая задача теории упругости методами интегральных преобразований сведена к системе фуйкциональных уравнений, решение которой строится на основе применения обобщенного метода Винера-Хопфа, впервые использованного Н.Винером и Е.Хопфом для решения интегральных уравнений с разностным ядром и получившего дальнейшее развитие в работах В.А.Бабешко, Й.И.Воровича, И.Ц.Гохберга, Д.Джонса, В.Койтера, М.Г.Крейна, И.А.Фельдмана, Р.Митры и С.Ли, Б.Нобла, Г.Я.Попова, И.М.Рапопорта, В.А.Фока, Г.Н.Чеботарева, Ю.И.Черского и других исследователей.

Анализ особенностей полученного решения позволил получить аналитическое описание интерфейсных волн на границе раздела упругих сред.

Научная новизна. С помощью метода факторизации матриц-функций решена новая динамическая задача теории упругости для полосы и полуплоскости. Изучены условия возникновения и распространения интерфейсных волн. Рассмотрено асимптотическое поведение построенного решения. Выявлены условия, при которых амплитуды интерфейсных волн максимальны. Анализ результатов численного моделирования позволил установить наличие интервалов частот зондирующего сигнала, оптимальных для диагностики дефектного участка.

Практическое значение работы заключается в применении полученных результатов при разработке методов ультразвукового контроля, методов оценки параметров интерфейсных соединений и критериев качества различных конструкций.

Апробация работы проведена на следующих всероссийских и международных конференциях: VII Всероссийская школа-семинар по современным проблемам математического моделирования (г.Ростов-на-Дону, 1997г.) [3], III Международная конференция по современным проблемам механики сплошной среды (г.Ростов-на-Дону, 1997г.) [1], Международная Воронежская Школа по современным проблемам механики и прикладной математики (г.Воронеж, 1998г.) [5], XII Всероссийская конференция по теоретическим основам и конструированию численных алгоритмов решения зайач математической физики (г.Новороссийск, 1998г.), XVI Международная конференция по математическому моделированию в механике деформируемых тел (г.Санкт-Петербург, 1998г.) и II Международная научно-техническая конференция по проблемам пластичности в технологии (г.Орел, 1998г.)[4].

На защиту выносятся:

1) физико-математическая модель диагностики состояния интерфейсных соединений и метод решения соответствующей краевой задачи динамической теории упругости;

2) результаты проведенных исследований параметров интерфейсных волн, возникающих вследствие отражения зондирующего сигнала от дефектного участка соединения;

3) новые факты об особенностях возникновения и распространения интерфейсных волн;

4) результаты анализа построенного решения и результаты численного моделирования, определяющие физическую суть изучаемых явлений.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. В работе выполнен литературный обзор по исследуемой проблеме. В приложении приведен список основных обозначений, перечень параметров, использованных автором для численного моделирования, и список цитируемой литературы, содержащий 113 наименований работ отечественных и зарубежных авторов. Текст диссертации содержит 17 рисунков. Общий объем равен 113 страницам.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, перечислены причины, приводящие к необходимости построения математических моделей и решения соответствующих краевых задач для упругих сред с интерфейсными соединениями.

Первая глава диссертации содержит обзор работ, относящихся к теме диссертации. В ней выполнен сравнительный анализ методов и моделей, предложенных ранее другими исследователями, и указан круг проблем, оставшихся при этом нерешенными. Обсуждается содержание основных работ, посвященных применению метода факторизации, использованного автором при решении задачи.

Во второй главе указаны цели и задачи проводимого исследования. Рассмотрена математическая постановка двумерной динамической задачи теории упругости об установившихся во времени колебаниях области П:

П = иГ22, (1)

где

П,={у:;0,ге(-«>,+=о)}, (2)

П2 = {У6[0,Ь],26(-«,+СО)}, (3)

есть упругие изотропные полуплоскость и полоса шириной Ь (рис.1)!

Приняты следующие обозначения: Г. - верхняя граница у=Ь области П2 > Гц - зона интерфейсного соединения у=0 областей С^ и П2-Под Гд и. Г,* понимаются подобласти Гп (Г.) при гХ) и г<0 соответственно.

В основу модели положены следующие предположения и гипотезы:

1) материалы считаются изотропными идеально упругими средами;

2) механические свойства областей Пт (т=1,2) в общем случае различны и вполне определяются постоянными Ламе - Хт, цт и плотностью материала рт;

3) свойства интерфейсного соединения в областях Гд и различны (наличие дефектов);

4) считается, что в области О! находится источник колебаний, расположенный на достаточном удалении от Га, который моделируется падающими продольными (угол падения - 0!, амплитуда - А^) и поперечными (угол падения - 62, амплитуда - А®) упругими волнами; циклическая частота со обоих типов волн одинакова;

5) предполагается, что: Ь«Ь0, (4)

где Ь - ширина полосы Г22, Ь0 - ширина интерфейсного соединения;

6) применяемый источник колебаний имеет малую мощность и справедливо предположение об упругих деформациях сред;

7) граница Г* области П2 свободна от нагрузок:

<*2,у1у=Ь = 0> (5)

<*2у*1у=Ь=°- (6)

Краевым условиям на бесконечности в области £2! будет соответствовать требование стремления к нулю компонент вектора перемещений и тензора напряжений при Я = -^у2 + г2 -> оо, дополненное принципом излучения Зоммерфельда.

Задача состоит в анализе интерфейсных волн, возникающих на границе раздела сред в результате отражения зондирующих волн от дефектного участка соединения.

Важным моментом является выбор подходящей модели интерфейсного соединения. Для этих целей предлагались различные подходы. В настоящей работе использована модель С.И.Рохлина, имеющая хорошее экспериментальное подтверждение. Механические параметры интерфейсного соединения описываются четырехмерной матрицей:

[В]

Гв, в2

|Вз В,.

(7)

где в модели С.И.Рохлина [В^] - матрицы 2x2 со следующей структурой:

В,

■Р. :]•

в, =

о ± К,

-1- о к„

(8)

в,=

О -ш2М„ -ш2Мр 0

(9)

Матрица [В2] описывает упругие свойства интерфейсного слоя, а матрица [В3] учитывает плотность материала соединения. Элементы матрицы сопряжения определяются по следующим выражениям:

К.-?. к (10)

По * п0

п = р0Ь0, Мр = Мп[1-4(к/к?)2(1-^)], (11)

1-2^ = -^-, (12) 1-у0

где

Я.0, Но ' постоянные Ламе интерфейсного соединения; р0 - плотность интерфейсного соединения; К, - коэффициент поперечной жесткости; Кп - коэффициент продольной жесткости; Мп - элемент массы;

Мр - так называемая "эффективная масса", зависящая от Мп и механических параметров материала;

к - проекция волнового числа падающей продольной волны на область соединения;

со - циклическая частота падающих волн;

у0 - коэффициент Пуассона интерфейсного соединения.

Условие сопряжения областей Г2т с учетом наличия дефектов на участках Г^ границы Гп будут задаваться интерфейсными матрицами [В1]:

VI ст1уу = [В"] °2уу , при г еГп, (13)

VI = [В" ] °2уу , при г еГд, (14)

причем [В~]*[В+].

В третьей главе задача нахождения неизвестных потенциалов продольных и поперечных волн в областях Пт методами интегральных преобразований сведена к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение системы уравнений Гельмгольца определяет общий вид искомых потенциалов:

Ф.^Т'пе^-^а, 2тг '

Ф2 = — / к,еа21У + а21е-а21У]

-00

(15)

(16)

(17)

(18) (19)

В выражении (19) первый индекс обозначает принадлежность к области Лт, второй индекс соответствует типу волны (1 - продольная, 2 - поперечная); кщ - волнорые числа упругих волн в средах.

Для векторов, составленных из неизвестных функций с^(Р) и ^пуСР) приняты обозначения:

Ч:;;)- ■>■-(£)• «

Аналогичные обозначения использованы для компонент вектора перемещений и тензора напряжений в областях Пт:

(21)

и компонент вектора перемещений и тензора напряжении, порождаемых источником колебаний в области ^:

"■=(::)■ Ч:::)

Выполнение условий сопряжения на качественном и дефектном участках интерфейсного соединения Гп областей и П2 приводит к необходимости решения следующей системы уравнений:

и! = В|"и2 + В2 Е2 - и^ + М?, (23)

2,=^и2+ВГ2:2-1Г+М?, (24)

и! = В^и2 + В222 - Ц^" + МГ, (25)

= В^и2 + В^Е2 - + М2. (26)

Здесь М* - двумерные векгор-функции, возникающие в результате продолжения граничных условий (13) в область Гд и граничных условий (14) в область Г^.

После подстановки выражений для векторов ит, 2т и применения интегрального преобразования Фурье система (23-26) переходит р систему функциональных уравнений вида:

\У|С[ - В^ОДО, + ДУ2202 ] - В^[П210, + П22Б2] = мГ - П, (27)

П|С| - В^А + ЭД^О^-В^Г^А + П2202] = Ш - и, (28)

- в^210, + \У22В2]-В£[П210! + П22Б2] = МГ - Еь (29)

П1C1-BJ[W2^D1+W22D2]-BПП2ID, + П22D2] = M¡-П, (30) где Щ, W2j и П2] есть матрицы-функции второго порядка. Верхняя

черта обозначает трансформанту Фурье соответствующей вектор-функции.

Четвертая глава содержит сведения из теории факторизации функций и матриц-функций. В ней подробно описан процесс приведения системы уравнений (27-30) к системе функциональных уравнений относительно векгор-функций Х±, допускающей применение метода факторизации:

(1 + д0)х~ = х+ + с>0ь. (31)

Здесь X1, Ь - вектор-функции четвертого порядка:

ЧЭ-О- «

<30- четырехмерная функциональная матрица.

Использование обобщенного метода Винера-Хопфа позволяет определить неизвестные Х±:

х'—д^кс^-сиьг, (зз)

х^сусс^-сиьг. (34)

Выполнение обратных преобразований и проведение замен переменных приводит к нахождению искомых функций с^(Р) и с1пу(р).

Асимптотическими методами проведено исследование функций = (^21>-у21')Т и ^21= (ст21уу>ст21у2)Т (возникающих в решении

вследствие наличия границы Г* области С12 и соответсвующих граничных условий) в зоне интерфейсного соединения Гп. При Ь-юо, у «Ь

и использовании безразмерного параметра Р = — полученные оценки принимают вид:

Ш21 = ^(£|^.(122(0)[1 + 0(Ь-1)]хе1ко(2Ье22-УЕ22-^/4к0))

ум ^-¿(£^3/2с121(0)[1 + ОСЬ"1)] ж еЛо(2ЬЕ21-уе21-Л/4к0) ?

021уу + 0(Ь"')]х еЛо(2Ье21-У821-,г/4к0)1

ст21ух = + ОСЬ-1)] X е^о(2Ь822-уЕ22-я/4к0)}

Епд = кщ/к0.

Приведенное выше решение исходной краевой задачи охватывает самый общий случай, когда компоненты матриц [В+] и [В-] полностью отличаются друг от друга. В настоящей работе также подробно рассмотрены представляющие практический интерес случаи, когда матрицы, описывающие свойства интерфейсного соединения в областях Г^ и Г^ разнятся не полностью, а лишь по некоторым компонентам. За счет этого может быть достигнуто упрощение структуры системы (31) и процедуры ее решения.

В пятой главе проанализирован случай различных коэффициентов упругости интерфейсного слоя при одинаковых значениях плотности материала.

Применение метода Винера-Хопфа приводит к факторизации матрицы-функции Т(Р)=||1тп(Р)||ш^п_^2 относительно контура Г, обходя-

щего вещественные особенности факгоризуемой матрицы-функции в соответствии с принципом предельного поглощения. Анализ элементов 1тп(Р) показывает, что для проведения факторизации матрицы Т(Р) необходима предварительная нормализация. В работе пркведен вид функциональных матриц, выбранных в качестве нормализаторов.

Изучение особенностей построенного решения показывает, что возникновение и фазовые скорости интерфейсных волн определяются вещественными полюсами функции ТГ!(р):

Р=т1, р=т;, т;>1, (35)

которые, в свою очередь, являются решениями следующих уравнений:

*ц(Р) = 0, 122(Р) = 0, р>1. (36)

На рис. 2,3 изображена зависимость расположения полюсов т* и т2 от безразмерной частоты кг и параметра материала е = /\т (уь, ут - скорости продольных и поперечных волн в средах Ош). Отметим, что полюс Р = т!, характеризующий первую моду, существует на всем диапазоне частот источника колебаний. Вторая мода интерфейсных волн, соответствующая полюсу Р = т2, возникает при условии со >со0, где ш0- зависит от механических параметров областей Пш и коэффициента поперечной упругости соединения Кп. На рис. 4 приведены графики, отражающие зависимость <в0 от безразмерного модуля поперечной упругости КПо и коэффициента е.

Для проведения численных экспериментов выбраны параметры, описывающие соединение стальных областей сварным швом. В качестве иллюстраций на рис. 5 приведены результаты расчета компоненты вектора перемещений \у^2)(у,2) для второй моды, а на рис.6-7 зависимость

фукцви jXJ^j = +[vi1)]2 (первая мода, область iîj) и функции

^втоРая мода» область Q2) от безразмерной

частоты кг.

В шестой гпди^ исследован случай, при котором коэффициенты упругости качественного и дефектного участков совпадают, а параметры, связанные с плотностью материала интерфейсного слоя, различны. Решение задачи приводит к факторизации матрицы-функции V(P) =Цутп(Р)11ш,а»ц» которая так же, как и матрица Т({3), требует предварительной нормализации. Анализ получаенного решения показывает, что поведение интерфейсных волн в рассматриваемом случае определяется вещественными полюсами функции УГ'(Р) :

р=с *;>i. (37)

которые являются решениями уравнений:

vu(P) = 0, V22(p) = 0, Р>1. (38)

На рнс. 8,9 рассмотрены положения полюсов Çi и Çj в зависимости от частоты кг и параметра s. На рис. 10-11 изображены графики функций и |uj2)|. Зависимость аз0 от безразмерного элемента массы М^ при фиксированных остальных механических параметрах системы приведена на рис. 12.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

' ' /? //

////

i /У/ А

LI ///А:

! г/А/ ""0'4

Y//Ä i

- u,s

i а 1

IS M M • « *г

Рис. 9.

Рис.10. Рис.11.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1)В диссертационной работе построена физико-математическая модель диагностики состояния интерфейсных соединений и развит аналитический метод решения соответствующих краевых задач об установившихся колебаниях полосы и полуплоскости.

2) Предложенный подход может быть использован для решения задач теории упругости, возникающих при изучении волновых процессов в неоднородных средах, а так же при разработке методов неразру-шающего контроля и диагностики качества конструкций.

3) Для решения возникающей системы функциональных уравнений был применен метод факторизации функций и матриц-функций. Полученное решение учитывает все основные свойства и особенности рассматриваемой задачи.

4) Асимптотическими методами выполнены оценки вклада свободной границы в общее решение.

5) Исследован характер поведения и распространения интерфейсных волн, возникающих вблизи границы раздела сред в результате отражения падающего поля источника колебаний от дефектного участка соединения.

6) Путем анализа результатов численного эксперимента установлены интервалы оптимальных частот для диагностики дефектов соединения, а так же изучена зависимость параметров интерфейсных волн от основных механических параметров системы.

7) Разработан 32-х разрядный программный комплекс под управлением Microsoft Windows 95 на языке Microsoft Fortran Power Station 4.0, реализующий расчеты в перечисленных выше задачах.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бабешко В.А., Бужан В.В., Натальченко A.B., Смирнова A.B. К проблеме неразрушающего контроля сварных соединений с дефектами // Труды III Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной среды". В 2т. Т.1. г.Ростов-на-Дону, 1997г. 213с.

2. Бабешко В.А., Бужан В.В., Натальченко A.B., Смирнова A.B. К проблеме расчета прочности сварных конструкций // Известия высших учебных заведений, Северо-Кавказский регион, естественные науки. г.Ростов-на-Дону, 1998г. N2. С.12-16.

3. Бабешко В.А., Смирнова A.B., Бужан В.В., Натальченко A.B. Моделирование сварных соединений при расчетах на прочность // Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара "Современные проблемы математического моделирования". г.Ростов-на-Дону: издательство РГУ, 1997г. 169 с.

4. Бабешко В.А., Смирнова A.B., Натальченко A.B. Поле интерфейсных упругих волн при дефектоскопии неоднородного сварного шва// Тезисы докладов II Международной научно-технической конференции "Проблемы пластичности в технологии". г.Орел, издательство ОрелГТУ, 1998г. С. 29-30.

5. Бабешко В.А., Смирнова A.B., Натальченко A.B., Бужан В.В. Интерфейсные волны на границе соединения сварным швом с дефектами // Тезисы докладов Воронежской Школы "Современные проблемы механики и прикладной математики". г.Воронеж, 1998г. 304 с.

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Натальченко, Александр Васильевич, Краснодар

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи Натальченко Александр Васильевич

УДК 539.3

ИНТЕРФЕЙСНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ С ДЕФЕКТАМИ В ЗАДАЧАХ НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого

твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель-академик РАН, доктор физико-математических наук, профессор Бабешко В.А.

КРАСНОДАР, 1998

ВВЕДЕНИЕ ....................................................... 4

1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР .................................... 10

1.1. Методы моделирования: сравнение и анализ .............. 10

1.2. Модели интерфейсных соединений ........................ 13

1.3. Применение обобщенного метода Винера-Хопфа. Факторизация матриц-функций ........................... 17

2. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ .............19

2.1. Цели и задачи проводимого исследования ................ 19

2.2. Основные предположения и гипотезы ..................... 20

2.3. Модель Рохлина интерфейсного соединения .............. 22

2.4. Основные уравнения линейной теории упругости ......... 24

2.5. Нахождение трансформант Фурье полей перемещений

и напряжений, возбуждаемых источником колебаний.....27

3. ВЫВОД И РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ НЕИЗВЕСТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ УПРУГИХ ВОЛН.............................................. 33

3.1. Вывод системы дифференциальных уравнений ........... 33

3.2. Построение и анализ общего решения ..................... 35

3.3. Интегральные представления неизвестных перемещений

и напряжений в областях 0,т .............................. 36

3.4. Выполнение условий на границе Г* ....................... 38

3.5. Введение матричных обозначений ......................... 40

4. ВЫВОД СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И

ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ........................ 44

4.1. Некоторые сведения из теории факторизации

функций и матриц-функций ............................... 44

4.2. Переход к безразмерным величинам ...................... 52

4.3. Выполнение условий интерфейсного соединения .......... 55

4.4. Вывод системы функциональных уравнений .............. 57

4.5. Применение обобщенного метода Винера-Хопфа .......... 60

4.6. Асимптотические оценки .................................. 63

4.7. Случаи разложения системы функциональных уравнений. 68

4.7.1. Случай А: В± = В}, В^ ф В}, В^ = В} ............ 68

4.7.2. Случай В: В{ = В?, Б2~ = В}, В^ ф В} ............ 70

5. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАВНОЙ ПЛОТНОСТИ ДЕФЕКТНОГО И КАЧЕСТВЕННОГО УЧАСТКОВ СОЕДИНЕНИЯ............. 71

5.1. Применение метода Винера-Хопфа ........................ 71

5.2. Анализ решения: интерфейсные волны ................... 76

6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРИ РАВНЫХ ПАРАМЕТРАХ УПРУГОСТИ ДЕФЕКТНОГО И КАЧЕСТВЕННОГО УЧАСТКОВ ИНТЕРФЕЙСНОГО СОЕДИНЕНИЯ................................................. 80

6.1. Применение метода Винера-Хопфа ........................ 80

6.2. Анализ решения: интерфейсные волны ................... 84

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................................................. 87

ЛИТЕРАТУРА ................................................... 89

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ ....................... 103

ПРИЛОЖЕНИЕ ................................................ 106

Успешное развитие математического аппарата механики сплошных сред позволило приступить к разработке эффективных путей решения нового круга проблем машиностроения, связанных с неразрушающими методами диагностики и контроля качества конструкций.

Проведенные автором исследования относятся к классу задач моделирования волновых процессов в средах, состоящих из нескольких областей при наличии интерфейсных соединений между ними

(рис. 1). Под интерфейсным соединением понимают упругий или вяз-коупругий бесконечно тонкий слой, разделяющий упругие среды.

Актуальность исследуемой проблемы и её естественнонаучное значение обусловлено широким применением интерфейсных соединений (полученных, например, в результате пайки, клеевых, сварных или каких-либо других технологий) в объектах ответственного назначения: нефте- и газопроводах, летательных аппаратах, хранилищах химически активных веществ и др. В результате длительной эксплуатации таких конструкций, воздействия неблагоприятных внешних факторов и усталости применяемых материалов происходит изменение механических параметров и потеря качества интерфейсных соединений. Ущерб, наносимый при разрушении таких объектов, связан с большими экономическими убытками, тяжелыми экологическими последствиями, а нередко - и с человеческими жертвами. Выходом из создавшейся ситуации может служить широкое и разностороннее применение на всех этапах производства и приемки работ, эксплуатации и ремонта конструкций методов неразрушающего контроля, и в частности, ультразвуковой диагностики. Достоверность результатов последней при инженерных расчетах безусловно повышается при построении строгих математических моделей волновых процессов.

За последнее время по данной тематике как в России, так и за-рубежом, выполнено большое число исследований и предложен ряд оригинальных подходов. Возникающие при этом динамические задачи механики деформируемого тела для реальных сред по праву относятся к категории труднейших задач теории упругости. Сложность их состоит в задании граничных условий, решении интегральных уравнений с осциллирующими ядрами, а так же в описании

интерфейсного соединения. Кроме того, математическая постановка краевой задачи о возбуждении колебаний в полуограниченных средах приводит к необходимости формулировки условий излучения на бесконечности. Успехи, достигнутые при решении рассматриваемого класса задач, во многом обязаны применению для их исследования аналитических методов. Но вопросы, связанные с изучением волновых процессов для сред с неоднородностями (дефектные участки соединения, трещины, дислокации и т.д.), до сих пор остаются во многом неизученными.

Настоящая работа призвана в определенной степени восполнить этот пробел. В ней изучаются динамические задачи об установившихся колебаниях упругих полосы и полуплоскости при наличии интерфейсного соединения между ними. Соединение имеет дефектный участок (заштрихованная область соединения на рис. 1), свойства которого отличны от свойств качественного участка. Для описания соединяющего слоя между рассматриваемыми средами выбрана модель Рохлина (11окЫт) [101], [102], имеющая хорошее экспериментальное подтверждение. Активный контроль свойств соединения проводится с помощью источника упругих волн, падающих на границу раздела сред. Задача состоит в изучении мод интерфейсных волн, возникающих вблизи границы раздела сред в результате отражения падающего поля от дефектного участка. Эта цель достигается путем анализа построенного аналитического решения.

Изложим кратко содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка цитированной литературы, перечня использованных обозначений и приложений.

В первой главе диссертации приведен литературный обзор по изучаемой теме, выполнен сравнительный анализ подходов, предло-

женных другими авторами и обозначен круг проблем, которые остались при этом нерешенными.

Вторая глава посвящена математической постановке краевой задачи теории упругости об установившихся колебаниях полосы и полуплоскости с интерфейсным соединением вдоль границы раздела сред. Заданы условия на свободной границе полосы. Сформулированы условия излучения на бесконечности. Перечислены принятые допущения и гипотезы. Дано подробное описание модели интерфейсного соединения Рохлина и её особенностей. Приведены основные соотношения линейной теории упругости.

В третьей главе решение исходной краевой задачи методами интегральных преобразований сведено к системе дифференциальных уравнений и получено ее общее решение. Найдены интегральные представления для компонентов вектора перемещений и тензора напряжений в областях Все полученные соотношения представлены в матричной записи.

Четвертая глава содержит сведения из теории факторизации функций и матриц-функций. Описан процесс вывода системы функциональных уравнений, решаемой обобщенным методом Винера-Хопфа (Wiener-Hopf). Асимптотическими методами проведено исследование слагаемых, возникающих в решении вследствие наличия свободной границы полосы при больших значениях ее ширины. Отдельно рассмотрены два важных с практической точки зрения случая, основанных на предположениях о совпадении механических свойств соединяемых материалов и сохранении значений некоторых параметров дефектного участка интерфейсного соединения при его старении, что приводит к упрощению системы функциональных уравнений и понижению её размерности.

В пятой и шестой главах рассмотрено решение краевой задачи при различии только некоторых параметров дефектного и качественного участков соединения. Для возникающих в процессе решения матриц-функций построены нормализаторы и проведена левосторонняя каноническая факторизация. Получены аналитические выражения для мод интерфейсных волн, возникающих в результате отражения от дефекта, изучены особенности их поведения, зависимость от параметров дефектного участка и частоты источника колебаний. Представлены результаты численных экспериментов, в которых роль интерфейсного соединения играет сварной шов.

Для проведения численного моделирования и анализа изучаемых процессов автором был разработан 32-х разрядный программный комплекс под управлением Microsoft Windows 95 на языке Microsoft Fortran Power Station 4.0.

На защиту выносятся:

2) результаты проведенных исследований интерфейсных волн, возникающих вследствие наличия дефекта соединения;

3) новые факты об особенностях возникновения и распространения интерфейсных волн;

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в публикациях [11], [12], [15], [16], [17] и

апробированы на VII Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам математического моделирования (г.Ростов-на-Дону, 1997г.)[15], III Международной конференции по современным проблемам механики сплошной среды (г.Ростов-на-Дону, 1997г.) [11], Международной Воронежской Школе по современным проблемам механики и прикладной математики (г.Воронеж, 1998г.) [17], XVI Международной конференции по математическому моделированию в механике деформируемых тел (г.Санкт-Петербург, 1998г.) и на II Международной научно-технической конференции по проблемам пластичности в технологии (г.Орел, 1998г.)[16].

ГЛАВА 1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР

В данной главе приведен обзор литературы, посвящённой проблемам моделирования интерфейсных соединений (ИС), выбору оценок их параметров и критериев качества. Выполнен сравнительный анализ разработанных моделей соединений, необходимых для аналитического исследования. В последнем разделе дана библиография по методу Винера-Хопфа, примененного автором для решения уравнений.

1.1. Методы моделирования: сравнение и анализ

Среди разнообразных методов моделирования и анализа интерфейсных соединений можно выделить несколько направлений. Дадим их краткую характеристику.

1) Проведение натурных испытаний [27], [35], [76], [106], [107]. Своё внимание авторы сосредоточили на оптимизации числа и способов проведения испытаний (Huther I.) [76], изучению зависимости результатов экспериментов от внешних факторов (Tewary S.P.) [106], а так же разработке на основе полученных данных критериев прочности и оценок параметров соединения [27], [35], [107].

Данный подход может служить хорошим средством решения конкретных инженерных задач и критерием истинности теоретических исследований. Но, во-первых, проведение натурных испытаний возможно далеко не всегда; во-вторых, объяснение сути наблюдаемых феноменов и явлений на основе анализа только экспериментальных данных для сложных механических систем представляет определенные трудности.

2) Метод конечных элементов (МКЭ) и его модификации за последнее время стали популярным средством анализа и получения приближенного решения в задачах моделирования поведения конструкций [69], [70], [77], [79], [96], [110], [113].

На основании данных конечноэлементного анализа, в задачах для сред с ИС был получен ряд практических рекомедаций [70], [ИЗ], а так же высказаны критические замечания о применимости критериев классической механики разрушения при наличии ИС без учета возникающих особенностей [79]. Недостатком моделирования с помощью МКЭ является большая ресурсоёмкость, заставляющая применять дорогие высокопроизводительные системы [110].

3) Идеи классической механики разрушения для сред с интерфейсными соединениями получили свое развитие в работах [20], [71], [82], причем как в линейной [20], [82], так и в нелинейной [20] постановках. Работа [71] посвящена разработке теории возникновения интерфейсной трещины для анизотропных сред, в ней приведено подробное сравнение с трещиной Гриффитса.

Критерии механики разрушения хорошо себя зарекомендовали при моделировании интерфейсных соединений с макроскопическими трещинами, полостями, но для задач оценки параметров соединения с измененными свойствами без таких дефектов широкого распространения они не получили.

4) Различным методам неразрушающей диагностики и контроля качества посвящены работы [10], [14], [33], [34], [44], [66], [67], [73], [83], [84], [86], [87].

Тема публикаций [90], [44] затрагивает вопросы применения методов оптической и голографической интерферометрии.

Ряд работ посвящен построению математических моделей вол-

новых процессов ультразвукового контроля и развитию аналитических методов решения соответствующих задач динамической теории упругости.

Так, в работах В.А.Бабешко, С.И.Рохлина и коллектива авторов, решены задачи ультразвуковой дефектоскопии в случае двух полупространств с дефектным соединением [10], [14]. Разработке методов ультразвуковой диагностики наличия трещин посвящены работы [66], [67], [86], [87]. Вопросы анализа интерфейсного слоя ультразвуковыми методами разработаны в [83], [84].

Ряд оригинальных моделей был предложен в работах [23], [36], [85]. Авторы предприняли попытку создания критериев качества соединений на основе вероятностной модели [85], теории марковских процессов [36], а так же концепций синергетики [23], [36].

Сочетание перечисленных выше методов в работах [39], [65], [68], [72], [91] позволило получить новые результаты по оценке параметров прочности конструкций и материалов.

Но, несмотря на разнообразие разработанных критериев, теорий и подходов, упругие волны, возбуждаемые искусственным путем, являются для нас одним из главных источников информации о средах со сложной структурой, зачастую недоступных для исследования другими методами. Ключевым моментом при этом становится описание интерфейсного соединения. Поэтому постановка соответствующих краевых задач теории упругости и развитие методов их решения имеет исключительно важное значение.

Существенный вклад в развитие динамических задач линейной теории упругости внесли В.М.Александров, В.А.Бабешко, В.М.Бабич, А.В.Белоконь, Л.М.Бреховских, В.С.Булдырев, И.Н.Ве-куа, И.А.Викторов, И.И.Ворович, В.Т.Головчан, В.Т.Гринченко,

A.Н.Гузь, Б.В.Костров, В.Д.Кубенко, В.Д.Купрадзе, В.В.Мелешко, П.А.Молотков, В.З.Партон, П.И.Перлин, Г.И.Петрашень, Г.А.Попов,

B.Б.Поручиков, В.М.Сеймов, И.Т.Селезнев, Л.Н.Слепян, А.Ф.Улит-ко, М.А.Черевко, Я.С.Уфлянд и другие ученые.

1.2. Модели интерфейсных соединений

Среди большого количества публикаций по проблемам математического моделирования интефейсных соединений можно выделить два направления. Сторонники первого подхода предлагали моделировать поведение интерфейсного соединения на основе гипотезы о жестком сцеплении областей по всей зоне контакта. При этом считается, что интерфейсный слой однороден по своим физическим свойсвам, и в нем отсутствуют трещины, дефекты, дислокации и т.д. Постановка граничных условий в этом случае (жесткое сцепление) подразумевает непрерывность напряжений и перемещений при переходе через соединение [18], [61].

При втором подходе допускается сдвиг упругих областей на границе раздела сред. Граничные условия данного типа предполагают непрерывность нормальных компонент напряжений и нормальных перемещений при переходе через зону контакта, исчезновение тангенциальных компонент тензора напряжений вблизи интерфейсного слоя, а так же разрыв (скачок) тангенциальных компонент вектора упругих перемещений при переходе через всю зону соединения [80]. Физически такая модель соответствует случаю бесконечно тонкого слоя идеальной жидкости, обеспечивающей свободное проскальзывание на границе соединения.

Хотя во многих случаях предложенные модели дают хорошую аппроксимацию и получили экспериментальное подтверждение,

в основе обоих подходов лежит идеализация физического контакта. Реальные соединен�