Интерполяция некоторых пар аппроксимационных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

¡1 о с л

РОССИЙСКИМ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

ШАЛША Мухамад Нур

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ НЕКОТОРЫХ ПАР АППРОКСИМАЦИОННЫХ ПРОСТРАНСТВ

(01.01.01 — математический анализ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1993

Работа выполнена на кафедре функционального анализа и теории функций Ярославского Государственного Университета.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент Е. И. Б с р с ж и о й.

доктор физико-математических наук, профессор В. И. Б у р е н к о в, доктор физико-математических наук, профессор М. Л. Г о л ь д м а н.

Ведущая организация — Воронежский Государственный Университет.

Защита диссертации состоится » (Р-Л-*^^^^ 199^года,

в 15 часов 30 минут, на заседании специализированного совета К С53.22.23 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Российском Университете дружбы народов гю адресу: 117302, Москва, ул. Орджоникидзе, 3, ауд. 485.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Рос-сгГсксго Университета дружбы пародов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 0.

Официальные оппонент ы:

1У93 г.

Ученый секретарь специализированного с

- а -

. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАЫ/ГЫ

Актуальность темы. В работе рассматриваются интерполяцион-Ы9 свойства алпроксимационных пространств, получаемых с ло-гащьо приближения тригонометрическими полиномами. Ьа ясность лучения задач теории интерполяции линейных операторов опре-1еляетск приложениями в теории уравнений в частных производ-гых и в математическом анализе. Также интерполяция линейных шоратров гшроко применяется для исследования абстрактной (адачи Коши, оценок интегральных операторов, изучения прост-»нств со смешанными нормами. (Лгень многочисленны приложения щтерполяционных методов к пространствам дифференцируемых функция и ч ории аппроксимации. Л наконец, одна из наиболее заяных областей применения теории интерполяции - геометрия 5амаховых пространств. Важность исследоватя вопросов, звязанных с приближением функций тригонометрический« полиномами обусловливается приложениями : в изучении свойств пери6-умеских функций и в задачах численного анализа.

Цель работы. Изучение структуры некоторых пространств интегрируемых функций одной действительной переменной, получаемых с помощью понятия интерполяции. В частности, изучаются интерполяционные свойства семейства пространств, удовлетворяющих условие Липшиц* в обобщенной форме. Предложен вариант К - метода интерполяции для случая, хогда роль интерполяционной пари играет пара конусов в пространствах ({ункций. К таким задачам приводят-задачи об ограниченности операторов, переводящих конус неотрицательных функций в другой конус (монотонно возрастающих ({ункций, монотонно убыва«хцих, ьогнутых и т.п.). Типичным примером такого оператора является оператор интегрирования или, более обще, вольтерровский оператор с монотонным неотрицательным ядром.

Обитая методика исследования, применяются методы общей теории интерполяции, теории аппроксимации, теории приближения периодических функций тригонометрическими многочленами.

Научная новизна. Б.и.Семеновым бил поставлен такой вопрос : "пусть £ - интерполяционное пространство три ( 1-,

Ц» ). Всегда ли пространство (функций удовлет-

воряющих условию Липшица в норме В ) является интерполя--

В настоящей работе обсуждается более общая задача и, таким образом, полученные результаты освещапт и данный вопрос Получены общие теоремы об интерполяции линейных операторов, приводящих неотрицательные функции в некоторый конус. Дня некоторых конкретных пар согласованных конусов вычислен К - функционал.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры теории функций и функционального анализа Ярославского университета и кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа университета Дружбы Народов (г. Москва).

Ооновиыв результаты опубликованы в работах[5 3«<Г71 .

содадаяив работы ■

В первой главе раосяотрешая? я вовроои ян'тврпашхя» обтх ороозраяогв типа НиюлъсяодкБосова В^ •

Цуогь £ - ¿шахово пространстве периода»гаомях (пера еда 2 /7 ) функций. Еудвм продоол&гаяь, что

Ё с С-я ,п I , где йроотранояю Ь, с -а, п 3 кмгегфвдоуых по Лебегу функций иа £-л, п3 м норма в ккварвавтва огкосатвльцо одпига, .

. *14(»*е , к »о

Опрвдвяонав I (1.1.1). Вкрахвинв

< Л») » /г* * ¿» -

щзивавтм (сзряоЗ)ра9ноогхг функции / а точке ~ атом '

Па вндукцяя азодагоа поштао Л -08 рваноотя фуки» яга'- ^ а *о*е» х о вето» .Л

Ьдглвк веяраривности порядка, к . Функции / в ор» яроятрваотра £' называется авлгшда

О в р е деле нее 2 (1.1.2) ^

Пространство типа На кельекого-Боооаа Вв (О<0<*, Л 4 м) ооотоп яя фушавиа у ., дяя »торте норма \

ht.0»

J

С •

sps fe = t н (Ja й, Kassau eoossevoxafSWH) tipcjtpassîso крэстраястеом Ляейдд h «¿aaaapá его ¿¿^ - -,

т.е.

oí г'

<, ел

'äsp« д«а«ягв 3(2.1.3}

Лсл

Ц?сгъ »¡п. - îiHSsacrao «раго>к»гагрггас?ш: шыееоыов cícesks ва шз jí. . Нанлувгаы иглЗлгакнаои {¡juama

/ o scmoi'íáa ^рагскошхрнчэеявх- неогочяэеов отеаавд es sí№6 y¡. г корко цроотропотва В кааивадхая 4ssj»

4-Х h

Вросгранзгвй 8 if кэдлгггод агцзракеиаацмяпнаа гфэетр^«, BseiSüa"~ -г.о. она îsoïi» <й»ь вддеашг о всаздиэ соввданш ЕЕзлучшх а£з0дкаан8Й» •

Определение 4 (ХД.4). Говоря®, что вора & Bp005ps£02s9 кааврш« фушзда X обладает OBOBOÏBOU Сагу; еолв as оюдамоога со юр« иоолздозатальяоои jf огрштэнюЯ а пространстве X • еяе^ует,.что недель-«as Фзгшщвя ' у? прянадлвюге X. * DJ® 8ÎCM

п

В дальнейшей Судам предполагать, что пространство £ обладает свойством Фату.

Предложение 5 (1.1,5)

Существуют такие постоянные У, , > О , что для любой ^ ¡$1? ,(1 ¡5 о ^ о« ) будет верно соотношение

£ ияй ь

В дальнейшем нам понадобится следующее определение С 2 1 ,

Определение 6 (1.1.7). Пусть 8 - линай-ное топологическое отделимое пространство, в котором определена нормирующая функция Л : В-> С О , ее ] (функционал

Л обладает всеми свойствами нормы и мохет принимать значение -+■ ), причем будем считать, что пространство В является полным относительно . Пусть

семейство подпространств в 8

такое, что

Яс с Д.^! , I € ЦТ

Для простоты предположим еще, что Я с - £ <?/ при I ^ 1„ (в большинстве приложений это условие выполняется). Определим для а € В наилучшие приближения о поиощьв формулы

Л- (1с) « { "X (и--*) > -Ре А; ] ; I

я ватем определим ашроксиыацаонное пространство ( А > как множество тех и 6 & , для. которых конечна норма

где через IIС^ II в обозначена норма элемента и. в пространстве В

Из предложения 5 в определения 6 следует, что пространство @ является аппрокснмацвоннны пространством.

Определение 7. Будем обозначать через (Б >

пространство последовательностей { ^п] 0 . для которых конечна норма

, " «е."

Пусть £0 , Е1 с. L,c-n,nз два <$анаховых • проотракотва. Тогда

Теоре'ха 8 (1.4.1).

Если ,(1^ у £ со ) является Интерпол».

«ионным пространством шрн (■£/{£ ) . ? (£. )) , то

о 49 г г

пространство Р в является интерполяционным пространством пары ( > ) .

Как было показано в { [ З3 , (1.7.3)), что если £

пространство Орлича ¡- ¿г , то ,

будет интерполяционным пространством пары (/е(1 ) и

. 1 * 1

Напомним, что проотранотво Срдича I- д/- , построенное по выпуклой возрастающей функции А/СЬ ) , (АГ(о) - о ) состоит из измеримых функций х (Ь > на (о , ол ) для которых

оО

] ( хси№ <

О

при некотором А > о »и норма определяется равенством:

° Л

Иг результатов В.И.Овчинникова в £4^ , (1.7.3)) V из теоремы 8 следует:

Теорема 9 (1.4.3). Пространство б явля-

ется интерполяционным пространством пары ( , Й ' ® )

'-/V» *7

где {.¿г интерполяционное для пары Орлича^^^ ,1^) . В дальнейшем нам понадобится следующее определение:

Определение 10 (1.4.4). Рассмотрим простран-*

отво последовательностей £ { } ^ ] = ТГ , где

ТгС _ тригономвтричосхий полином степени не выше

Будем обозначать через (£ ) /} Т пространство

последовательностей ? "П- } & Т . ЛМ которых

Л. 1 I т О

конечна норма

Теорема II (1.4.6). Для того, чтобы пространство

R19 , (I £ q g с* , в > о ) было интерполяционным

пространством пары (de, > ) необходимо я

достаточно, чтобы (■£* (£)/]ТГ )6ало интерполяционным проот-

раиогвом ДДР" (¿*(£.)аТ , -¿/Г£,)ЛТ) .

Во второй главе рассматриваются некоторые задача теории интерполяции для специального класса линейных операторов, содержащего операторы интегрирования Больтерровский (В) и близко к нам. Приведем аккуратные определения:

Через $(?> будем обозначать пространство измеримых функция о мерой Лебега р и черзз ЬСГ)* обозначим конуо неотрицательных функций в Ь(р) , есть

{£ ь $(Г) ° ' V х с- (о,о*)1

И также через 5 (Р) обозначим конуо неотрицательных убывании* монотонных фу-ттий в О . то есть

Определение 12 (Г. 1.6). Банахово пространство X называется идеальным пространством, если из ооотно-ше» ^ £ 'X. и почти всюду \ ё \ ^ \ следует, чтя

ЭС е X 11 «Ж«х * ^ ** •

Определение 13 (2.2.1). Цготь X идеальное пространство. Символом X + обозначается конус положительных функци!.

Раосыотриы пару конуоов СХ0 » ^ • Символом

К ( />^ ; ХЛ » йулвм обозначать следующую

величину

г *

4 X.* ' I СХГ

По аналогия о классическим определением пространства (У

Сем. I ) можно определять пространство (X. /Х^^ф

Определение 14 (2.2.2). Пуоть идеальное пространство на ( о , & ) , содержащее функцию 1т*. С"Ь) . Множество ( / XI ) кФ состоит из тех $ е X.* -V 1С ^ • дая котор^ конечен функционал

Пусть X идеальное пространство X обозначает конус ыонотошшх функций ~4 -I . раосыотриы пару конусов

О про деление 15 (2.2.4) я (2.2.5). Символом í Х0 / X, ) будем обозначать следующую величину

по аналогии с определением 14, множеотво ( X 0 ./ X,, ) состоит из тех функций / е Хв + X ^ дм которых конечен функционал .

Определенно 16 (3.1.5). ЛиывИвый оператор Т ■ $ <р)+-> называется оператором класса В

Пусть теперь Т - оператор класса 0 , где

7X* -У, (0 , тогда справедлива следующая

основная интерполяционная теорема

Теорема 17 (2.2.10). Пусть Т: Х^—^у/ ( тогда . ,

т« схг,х:^' —.

Далее, будем говорить, что оператор 7' положителен, если выполняется условие

| Тс*£Ш I * Т \ Х(1>\~ «>

Следупцая лемма показывает, что для положительных операторов ограниченность на воем пространстве эквивалентна ограниченности на конуо положительных функций.

Лемма 18 (2.2.7). Пусть оператор Т класса

В удовлетворяет условно (I), тогда Т : X —-> у если и только если Т 1 —->> уС

Следующая лемма показывает, что конус положительных функций интерполяционного пространства ( ,

мохе г быть получен из конусов положительных функций пространств X и "X.. ,0 помощью аналогичных конструкций.

"** О »

-г'

Jtf а и к а 19 (2.2.8). Верно равенотво

Приведем примеры вычисления |<гс - функционалов для некоторых пространств. Hau понадобятся следующее определение.

Определение 20 (2.3.1). Пуоть U> некоторая положительная функция (вес), определяем uj через со таким образом:

¿Oft) = i^-f U) (V) С л i

Очевидно, что w ("t? _ положительная возраотавдая функция по Z ' Оледупцая лемма показывает, что норму убывавшей функции ф в пространстве L^CujT можно менять на норму функции $ в пространстве LmCcj>

Лемма 21 (2.3.2). Пусть -убывающая

функция из Сиз У . тогда

Следствие 22 (2.3.2). Цуоть X - идеальное пространство для убывающей функции £ X L ¿со) верно равенство *

Л* cV,t;X Л*

Определение 23 (2.3.1). Пуоть вес ¿о {визирован. И пуоть функция 4 4 • Рассмотрим функцию

тадУю- 410 в м**1(<*> - >0J где о<. > о . Определим функцию таким образом

со

х

Теорема 24 (2.3.4). Для любой убывавшее функции бХ 4 1-, верно равенство у

Следующая лета показывает конкретный пример внчислечия к -функционал для пары ( I, (и)Д„ •

Теорема 25 (2.3.5).

Пусть и. и бо некоторые положительное измеримые веоа, причем для некоторого е У о <•* я для некоторого конотаята с >о со < = с для любш о < & С «а • м Пусть далее для ^ <1 исЫ5 число Г^

выбрано так, что

27« •

/и($)с(ь х <

о

«4

Тогда если /«(5)^5 е , то V 1 е(о,о»)

о

С Г(И ,

«4. О ■

а если < м , то его равенство будет:

> .-:\л' ' ■ ' . ' ' V.

ï а о ? о а а 28 (2.Э.7). Дуег» lim-S (_ 1 < м■<о) а • U) ЕОйжагэдькна вес, гдэ i , soxvta

J5R9 P

°Л ИТЗДдтудо

1. Берг К., ЛефотроыИ. Ентержымцношшв проотранотал. Введение. - M. s lisp, 1*380. - 264 С.

2. БервхноЯ Е.И., Saöpoäao Ияторподащнд чяупрдо- " лддзтявких операторов. - Дом. АН БОСР, IS65. Т.Ш.- '

Ю. - С. I08-IIT. л . #

3. Брудаий D.A. В od. i Гвоштрня линейных проотраяо» в мэрнл операторе]«. - Ярооадвль, 1977. С.З.

4. Овчяншков З.И. Ывтод орбит в'нввхршмапош'ля»в£в»х операторов, Jpponea. ISO?. : Дюоартшвя- ложки» Да и .-мат. наук.

Публикации аохора по теме дкссергации ' о. lüaiora М.Н. 00 одвомвопросв Е.Ы.Семено^а. Двп. а ВИНШ.' 10.03.92. Л 626 - В92* 2. 21 07. . ; ;г

6. dato» U.E. Обобщошоо проограшгао Пикодьокэго г-Бвоовс. Два. в ВИНИТИ ZI.0S.92 11928 - £92. - IS C.

7« EepexHOft Е.И,, Шаша Ы.Н. Цетод ввадойеиноД интер-подлцпи дая спвциаяьЫого kueoa операторов. Sim. в ВШШ 23.12.92 * 5632 - 892. tú¿.