Инвариантные множества и колебательные свойства решений некоторых классов импульсных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

^ НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ^ ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

Набіль Ахмед АЛІ

УДК 517.9

ІНВАРІАНТНІ МНОЖИНИ .

ТА КОЛИВНІ ВЛАСТИВОСТІ РОЗВ’ЯЗКІВ ДЕЯКИХ КЛАСІВ ІМПУЛЬСНИХ СИСТЕМ

01.01.02 — диференціальні рівняній

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на одобуття наукового ступеня кандидата фіонко-математнчшіх наук

Дисертацією е рукопис.

Робота виконана у відділі звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України.

Науковий академік НАН України,

керівник доктор фіз.-мат. наук, професор

САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович, Інститут математики НАН України, директор

Офіційні доктор фіз.-мат. наук, професор

опоненти: ТЕІІЛШСЬКИИ Юрій Володимирович,

' Кам’янець-Нодільський пед. університет,

завідуючий кафедрою; кандидат фіз.-мат. наук, доцент СТАНЖИЦЬКИЙ Олександр Миколайович, Національний університет ім. Тараса Шевченка, кафедра інтегральних і диференціальних рівнянь, доцент

Провідна Чернівецький державний університет ім.

організація: Ю. Федьковича, кафедра прикладної матема-

тики і механіки, м. Чернівці

Захист відбудеться ______1998 р. о 1500 го-

дині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.206.02 в Інституті математики НАН України за адресою:

252601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України. ’

Автореферат розіслано и,2МЛ'

1998 р.

Вчений секретар сяеціалізованої ради

ОТА А.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У фізиці, техніці, біології та інших галузях науки часто виникають задачі, в яких досліджуються коливні процеси, які зазнають під час своєї інволюції, дію короткочасних обурень. Іноді при розв'язуванні такого роду задач протяжністю дії нехтують, вважаючи, що останні мають характер миттєвого „поштовху“ („удару“, „імпульсу“); Математичними моделями таких процесів є системи диференціальних рівнянь а імпульсною дією.

Ці рівняння з'явились іще на зорі нелінійної механіки. Широко відомим прикладом, що приводить до таких рівнянь, є оапропоиОвана в 1937 р. М.М. Криловим і М.М. Боголюбо-вим модель годинника,-яка приводить до рівнянь о імпульсами. Там показано, що до дослідження таких систем можна успішно оастосозувати асимптотичні методи нелінійної механіки. Подальші дослідження рівнянь о імпульсами пов'язані о роботами ІО.О. Митропольсыюго, А.М. Самойленка, А.Д. Мишкіса, М.О. Нерестюка, С.І. Трохимчука та інших авторів. В цих роботах вивчались якісні питання, пов’язані о такими рівняннями, як, наприклад, стійкість розв’язків, існування періодичних і квазіперіодичних траєкторій, інваріантні множини.

Проте, не зважаючи на велику кількість робіт з даної тематики, багато питань пишаються відкритими. Так, становить інтерес вивчення ехспоненційної стійкості та дихотомії інваріантних торів пінійиих імпульсних розширень, дослідження інваріантних множин в термінах функцій Ляпунова, збереження таких множин при малих імпульсних обуреннях. Актуальною лишається задача асимптотичного інтегрування імпульсних систем, а також застосування чисельно-аналітичного методу А.М. Самойленка до відшукання розв’язків спеціального виду. ■

Перераховані вище питання і стали предметом розгляду дисертації.

Зв’язок роботи в науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно а загальним планом досліджень звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України.

Мета і задачі дослідження. Мета цієї роботи — дослідження інваріантних множин диференціальних рівнянь о імпульсною дією, побудова алгоритмів відшукання розв’язків таких рівнянь спеціального виду.

Наукова яовиона одержаних результатів. Основні результати, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

‘ «

1. Досліджена експоненційна стійкість і дихотомія лінійних розширень імпульсних динамічних систем на торі в термінах матрицанта лінійної імпульсної системи.

2. Одержані умови на імпульси, при яких оберігаються стійкість і дихотомія, в припущенні стійкості чи дихотомії відповідних систем без імпульсів.

3. Одержані достатні умови існування інваріантних множин в термінах функцій Ляпунова,

4. Вивчена поведінка інваріантних множин при малих обуреннях.

5. Досліджені обертальні рухи рівнянь другого порядку о імпульсною дією за допомогою чисельно-аналітичного методу А.М. Самойленха.

6. Побудовано алгоритм асимптотичного інтегрування сла- 1 бо нелінійних імпульсних систем.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, одержані в роботі, можна використати для дослідження режимів, які мають коливний характер і виникають в реальних задачах, якщо ці режими зазнають імпульсної дії.

з

Особистий внесок одобувача. По темі дисертації опубліковано б робіт. Внесок в роботи [1, 2, 5] рівноцінний. Результати решти робіт одержані автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались:

1) на засіданні семінару із звичайних диференціальних рівнянь відділу звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики ПАН України та кафедри інтегральних і диференціальних рівнянь Київського університету імені Тараса Шевченка,

2) нашколі-семінарі “Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування” (жовтень 1996 p.),

3) на Міжнародній конференції “Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики” (червень 1997 р., Нальчик),

4) на Міжнародній конференції Третіх Боголюбовських читань “Асимптотические и качественные методы в теории нелинейных колебаний” (серпень 1997 р., Київ).

Публікації. По темі дисертації опубліковано 6 робіт, з них 3 роботи самого автора, 4 роботи надруковано в провідних наукових профільних виданнях, 2 роботи — в збірниках наукових праць.

Структура и обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, двох глав, висновку і списку цитованої літератури, що містить 80 назв. Обсяг роботи складає 111 сторінок машинопису.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюється мета дослідження, дається короткий аналіз сучасного стану проблем, які вивчаються в дисертації, і проводиться анотація одержаних реоуяьтатів.

В першій главі „Дослідження інваріантних множин деяких класів імпульсних систем“, яка складається о трьох параграфів, рооглянуто питання, пов’язані о відшуканням і дослідженням стійкості інваріантних множин деяких класів диференціальних рівнянь о імпульсною дією.

В параграфі 1.1 вивчається система рівнянь виду

(1)

~| = 0М» ^Г = Л(¥>)*> <р€Тт\Г,

Н*€Г=В^)іС’

де аг € 1", <р € Тт> %п — т-вимірний тор,

Г={¥?€Гт: *(у0 = о},

а(<р), А(<р) і В(<р) — 2зг-періодичні функції о простору С1{Тт).

В припущенні відсутності бнттів розв’язків досліджуються ежспоненційна стійхість та дихотомічність її тривіального тору ж = 0, (р€Тт.

Нехай 9і(р) — розв'язок першого о рівнянь системи (1) такого, що <ро(<?) = V3- Позначимо г,(у>) нулі розв’язків рівняння Ф(у?<(у?)) - 0. А через Ф‘ (у>) — >іатрнцант системи

^ = А(ір{((р))х, іфгі{ф),

Н«=г^г В(^))І-

Доведено наступну теорему.

Теорема 1.1. Нехай для системи (1) а{ф) Є С(Тт), о(ір) задовольняє умову Ліпшій,я, А(<р) Є С(Тт). Тоді для того, щоб (1) була експопенційно стійкою, необхідно і достатньо, щоб існували додатні сталі Т id < 1, такі, що

|*o(v>)||<<* Vy>€Tm.

Якщо припустити, що det(E + В(<р)) ф 0 V ір Є %*, то можна визначити обернену матрицю Ф[(<р) = t > т, і

роов’жоати питання експоненційної дихотомії системи (1).

Має місце наступна теорема.

Теорема 1.2. Нехай для системи (1) а(ір) Є С(Тт), а(<р) задовольняє умову Літиіця, А{уз) € С(Тт). При цьому система (1) буде експоненційно дихотомічною тоді і тільки тоді, коли існує проектор С(у>), який задовольняє умову

*о('р)С(ч>) = С(ірі)Ф*0('р), і сталі Т > 0, 0 < d < 1, для яких виконані нерівності

|фЛ^)(Я-£(<Л))||<<* VV€Tm.

Більш детально рооглянуто частинний випадок системи (1), а саме

dip dx

7ї~и’ dt~Ax’ . (2)

Дг

Доведено таку теорему.

Теорема 1.3. Для того щоб система з комутуючими матрицями А і В була експопенційно стійкою, необхідно і достатньо, щоб власні значення матриці

А+~Іл(Я + В)

І 7Г

мали від’ємні дійсні частини.

Далі розглянуто випадок, коли матриці А і В не комутують. В цьому випадку також виписано матрицант. Поряд о системою (2) розглянуто дискретну систему виду

Далі розглянуто умови екслоненційної стійкості і дихотомії імпульсних лінійних розширень динамічних систем на торі в припущенні, що ці властивості мас система без імпульсів.

Нехай відповідна система без імпульсів с експоненційно стійкою о коефіцієнтом затухання К > 0. .

Має місце наступна теорема.

Теорема 1.5. Нехай система

експоненційно стійка (з параметрами К і і). Тоді, якщо

Е — одинична матриця, то і система (І) експоненційно стійка.

Далі вивчено питання експоненційно') дихотомії системи (1) в припущенні, що відповідна система без імпульсів має цю властивість. Позначимо

де О’о(г, <р) — функція Гріна- Самойленка. Позначимо через М+ множи ну точок (<р, х) з ТтхЕп, що задовольняють рівність

Е+В{ір) <~£ для <р € Тт,

С(<р)=ао(0,<р)>

С(у>)х = х,& череэ М~ — множину С(<р)х = 0. Нехай матрица Е + В((р) невироджена.

Одержано наступну теорему.

Теорема 1.6. Нехай система без імпульсів експонепційно дихотомічна. Якщо підпростір М+| _сопи інваріантний від-

носно оператора В(<р), а М~

Іуо^сопвк

інваріантний відносно

(Е + В(ір))~1, причому для х Є М+|уо=сопя1

1

мас мгсце ощнка

(Е + В ((р))х

¥><=Тт

а для х Є М~ |У0_СОП5І вірна оцінка

(£ +|| <~ ||*||, <р єТт,

то систеліа (1) експонепційно дихотомічна.

В параграфі 1.2 першої глави вивчаються інваріантні множини системи рівнянь виду 1

¿х

1і

Лх

- X (*,х), її = П(*)= Цх)'

І Ф Ті(х), п(х) <гш(х),

(3)

В припущенні, ЩО функції Х(і,х), Іі(х) неперервні і оадоволь-няють умову Ліпшіця щодо х при і > 0, х €. X?, де 2? — деяка область о Мп. Припустимо, що в системі (3) відсутні биття.

Нехай Б\ — обмежена область, що міститься в В раоом о деяким своїм околом, Нехай також У(і, х) — неперервно дифе-репційовна при і > 0, х € І?і невід’ємна функція. Пооначимо через Щ множину її нулів при і > 0, х € П\. Припустимо, що Рг°іКп = N — комиакт в Б\. непорожня при V І > 0. Нехай всі нулі У{і,х) лежать в області і > 0, х €

Доведено наступну теорему.

Теорема 1.7. Нехай виконуються зазначені вище умови. Тоді якщо при і > 0, х €

V (гі(ж), х + /,(*)) < V (гі(х),х),

то множина

У(*,г) = 0, їЄ^і, *>0,

буде додатно інваріантною для системи (3). Якщо ж

inf V(t,x) = Vs> 0 V£> 0,

__ t>о

xeDitp{x,m>S

то при виконанні зазначених вище умов ця множина буде і стійкою.

В термінах функцій Ляпунова вивчено також локально інваріантні Множини.

В параграфі 1.3 вивчено умови обереження інваріантних множин імпульсних систем о малими обуреннями виду

~ = X(x) + pY(t,x) при іфТі,

Д*|. _ =М(*) (4)

II = Ті

при умові, що неабурена система {ц = 0) має компактну, асимптотично стійку інваріантну множину.

Нехай

і > 0, ті < г|+1, Ті оо, і -+ оо і З С > 0, що рівномірно щодо t > 0,

»(М+Т)<С2\

де i(t,t + Т) — число імпульсів на інтервалі [t,t + Т], ¡і — малий додатний параметр.

У припущенні обмеженості, неперервності та ліпшіцевості щодо х в області і > 0, х Є D (D — область із R") функцій X(х), У(t, х), /і(аг) доведено таку теорему.

Теорема 1.9. Нехай виконуються зазначені вище умови. Тоді якщо Mq є компактною асимптотично стійкою інваріантною множиною системи dxjdt — Х(х), яка лежить в* D з деяким своїм d-околом, то З/ío > 0, що для всіх ц < ца система рівнянь (4) мас замкнену інваріантну множину М^, для якої

lim sup р (Mo, М*) = 0.

и—о ,>0

У другій главі „Коливні властивості роов’аоків деяких класів імпульсних систем“ розглянуто питання асимптотичного інтегрування і дослідження обертальних рухів деяких класів імпульсних систем.

В параграфі 2.1 другої глави розглянуто систему виду

da ' . . .

— = А0а + єА{а,ір,є),

~ = А + єВ(а,<р,є), (5)

Д а

= І0а + єІ{а,¥,є), (/,^mod 2зг) = єС (а, <р),

Де

О = (ві,... ,«„) — п-вимірний,

— (^1 > * ' • і <рт) — тп-вимірнин вектори, Ао,Іо — сталі матриці,

А = (Аі,..., Ат) — сталий вектор,

/1 (а, <?,£•), В(а,<р,е), І(а,<р,є)

— періодичні щодо іра, а = 1,т, періоду 2г векторні функції, Д а — стрибок функції в при переході розв’язку через поверхню

в фазовому просторі системи (5), £ — малий додатний параметр.

Описано метод побудови асимптотичних наближень для розв’язків системи (5) і досліджено вищі наближення.

Так, за перше наближення до розв’язків системи рівнянь (5) можна взяти вирази

а ~ b + єиі (b,&), ,

<p-0 + et?i (М)> де Ь і в — розв'язки рівнянь першого наближення

також явний вигляд і для «г, г^,

В параграфі 2.2 другої глави досліджуються обертальні рухи розв’язків рівняння другого порядку виду

(!,</> mod 2іг) = sC(a,<p)

— = Ао Ь + є А (Ь, в, 0), іЇЙ

~ = \ + є£(Ь,Є, 0),

ДЬ = /оі»4-є7(Ь, 0,0),

{/, 6 + £ і?і (Ь, 0) mod 2тг) = єС (Ь, в),

Д0 = е7(М,0),

+ (b,0)mod 2зг) = сС {Ь,в).

Для функцій А, В і I, J виписано їх явний вигляд, одержано

о функцією /(х,у), періодичною щодо х о періодом 2т.

Розглянуто обертальні рухи системи, тобто ті, для яких виконується умова періодичності другого роду

о деякими додатними сталими v і Т.

Досліджено деякі властивості обертальних рухів таких систем, дано достатпі умови існування обертальних рухів на основі чисельно-аналітичного методу Самонпенка для імпульсних систем. В кінці рооглянуто приклад м дотниха о лінійним тертям, постійним обертальним моментом і імпульсною дією.

Спочатку вивчено деякі оагальні властивості обертального руху. При деяких припущеннях на fil одержано таку теорему.

Теорема 2.1. Фазова траєкторія у — у(х) обертсмьного руху х = x(t), у = y(t) системи

не перетинає осі х.

Доведено також наступну теорему.

Теорема 2.2. Рух х = аг (¿) системи (?) є обертальним тоді і тільки тоді, коли його фазова траєкторія періодична

Далі розглянуто частинний випадок рівняння (6), а саме:

x(t + T) = vT + x (t)

<і2г . dx

dx

За допомогою чисельно-аналітичного методу А.М. Самой-яеяка одержано умови існування обертальних рухів, а також оапролоновано ітераційну схему послідовних періодичних наближень до такого роов’яоку.

Як приклад рооглянуто маятник о лінійним тертям і постійним обертальним моментом виду

Вхаоано оцінки на параметр А, при яких дана система мас обертальні рухи.

висновки

В цій дисертаційній роботі одержано такі результати:

1. Досліджено експоненційну стійкість та дихотомію лінійних розширень імпульсних динамічних систем на торі за допомогою матрицанта лінійної імпульсної системи.

2. Розглянуто стійкість та дихотомію імпульсних • систем при наявності цих властивостей у системи без імпульсів.

3. Вивчено інваріантні множини імпульсних систем в термінах функцій Ляпунова.

4. Розглянуто питання збереження інваріантних множин імпульсних систем при малих обуреннях.

5. За допомогою чисельно-аналітичного методу А.М. Самойленха досліджено обертальні рухи рівняння другого порядку.

Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Али H.A., Янчук С.В. Вращательные движения автономних систем с импульсным воздействием // Укр. мат.. журн. — 1997. — 49, N° 4. — C. 591-596.

2. Янчук С.В, Али H.A. Условия экспоненциальной устойчи-

вости и дихотомичности импульсных линейных расширений динамических систем на торе // Укр. мат. журн. — 1998. — 50, 3. — С. 451-453.

3. Алі H.A. Асимптотичне інтегрування слабко нелінійних імпульсних систем // Вісн. Київ, ун-ту. Сер. Фіз.-мат. науки. — 1997. — Вип. 2. — С. 413-420.

4. Алі H.A. Про експоненціальну дихотомію Імпульсних лі-

нійних розширень динамічних систем на торі // Вісн. Київ, ун-ту. Сер. Фіз.-мат. науки. — 1997. — Вип. 3.

— С. 10-15. .

5. Али H.A., Янчук С.В. Вращательные движения импульсных автономных систем // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. трудов. — Киев: йн-т математики НАН Украины, 1996. — С. 8-10.

6. Али H.A. Некоторые свойства импульсных линейных рас, ширений динамических систем на торе // Нелинейные

' проблемы дифференциальных уравнений и математической физики: Тр. Междунар. конф., посвлщ. 80-летию Ю.А. Митропольского (2-6 июня 1997 г., Нальчик). — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1997. — С. 1618.

АЛЇ Набіль Ахмед. Інваріантні множини і коливні властивості розв’язків деяких класів імпульсних систем. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фі-зико-математичних наук оа спеціальністю 01.01.02 — диференціальні рівняння. — Інститут математики НАН України, Київ, 1998. ,

В дисертації досліджено інваріантні множини деяких класів систем диференціальних рівнянь о імпульсною дією, вивчено обертальні рухи рівняння другого порядку за допомогою чисельно-аналітичного методу А.М. Самоплспка та описаний алгоритм побудови асимптотичних розкладів для слабконеліпІн-них імпульсних систем. Досліджено умови збереження інваріантних множин імпульсних систем при малих збуреннях.

Ключові слова: імпульсна система, інваріантні множини, малий параметр, функція Ляпунова, стійкість розв’язків, асимптотичні розклади, інваріантний тор.

АЛИ Набиль Ахмед. Инвариантные множества и колебательные свойства решений некоторых классов импульсных систем. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения. — Институт математики НАН Украины, Киев, 1998.

В диссертации исследуются инвариантные множества некоторых классов систем дифференциальных уравнений с. импульсным действием, изучаются круговые движения уравнения второго порядка с помощью численно-аналитического метода А.М. Самойленко, а также описан алгоритм построения асимптотических разложений для слабонелинейных имнульс-

ных систем. Исследованы условия сохранения инвариантных множеств импульсных систем при малых возмущениях.

Ключевые слова: импульсная система, инвариантные множества, малый параметр, функция Ляпунова, устойчивость

\0 - ч»

решении, асимптотические разложения, инвариантныи тор.

ALI Nabil Ahmad. Invariant sets and oscillatory property of solutions of some of class of impulsive systems. — Manuscript.

Thesis for candidate degree by speciality 01.01.02 — differential equations. — The Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1998.

Some of class of systems of differential equation with impulsive action is investigated, circular motions of equation of second order are stydied with the numerical-analitic method of A.M. Samoilen-3co, and also algorithm of constructing of asimptotic expension for weekly-linear impulsive system is showed. The condition of invariant sets of impulsive system for small pertubation are investigated.

Key words: impulsive system, invariant sets, small parameter, function of Lyapunov, stability of solution, asimptotic expension, invariant torus.