Инварианты типа периода для одномерных динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

.-1 о .

/ ^ ' '

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВ А

механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515.126.1

ДЁМИН Александр Иванович

ИНВАРИАНТЫ ТИПА ПЕРИОДА ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

Специальность 01.01.04, . геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации На соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: '

кандидат физико-математических наук, доцент С.А.Богатый.

Официальные оппоненты:

доктор физико-матсматических наук Е.Т.Шавгулидзе,

-кандидат физико-математических наук А.Ю.Жиров.

Ведущая организации:

Математический институт им.В.А.Стеклова РАН

Защита диссертации состоится 1996г.

о 16 час. 05 мин. на заседании диссертационното совета Д.053.05.05 при МГУ по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет,,аудитория 36-24'.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ■ - ' механико-математического факультета МГУ (Главное здание,14 эт.) Автореферат разелан "7^" 1996г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.05 при МГУ д.ф.-м.н., профессор

ВН.Чубарико».

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ .

Одномерные динамические системы — постоянный объект исследований в общей теории динамических систем. С одной стороны, траектории этих систем обладают исключительно богатым спектром динамического поведения, а, с другой стороны, — просто задаются и допускают достаточно полное качественное исследование.

Одна из особенностей одномерных динамических систем — сильная взаимная зависимость Между поведением ра личных троектори".

В 1964 году А.Н.Шарковский доказал теорему, дающую неожидан" ный и красивый ответ на вопрос: какие периоди': ские т^чки должны существовать у непрерывного отображения / отрезка в себя, если / имеет точку периода к!

Теорема Шарковского [1].Упорядочим натуральные числа, следующим образом:

3 >t 5 >t 7Ч 9 Ч • ■ ■ 6 >s Ю >, 14 ^ 18 >s ■ ■ ■ >s 12 £ 20 > 28 :> 36 > • • •

...>si>s23>t2*>s2^l

Если отображение / £ С([0,1]) имеет точку периода к, то f имеет точки любых периодов, "меньших" .k в этом упорядочении.

Попытки обобщения этой теоремы предпринимались в различных направлениях. В частности, изучались возможные множества периодов преобразований более общих пространств. Выяснилось, например, что для отображений окружности сосуществование орбит зависит не только от периода, «о и от перестановки точек орбиты при отображении. Окончательный лзультат здесь еще не получен. \2]._

1. Шарковский А.Н.Сосуществование циклов непрерывных ото-

бражеяяй прямой в себя. Украинский математический журнал, 1964, 1, с.61-71. \ '

2. block L., Coven Е.М., Лоакег L., Misiurevica М.,Primary cycles on tbe circU. Trails, AMS, 1989, v.311,1, p. 323-335.

Результаты, наиболее близкие по форме к теореме Шарковского удалось получить для одномерных пространств с порядковой топологией. В 1991 году С.Балдвия [3] доказал 06061 зние теоремы Шарковского для п-ода ( п-од легче всего описать как подмножество комплексной плоскости Хп = \z 1 С : zn € [0,1)}, т.е. п отрезков, расходящихся из общего центра). Множество периодов непрерывного отображения n-ода в с; бя есть объединение начальных сегментов упорядочений ;>,;>,•• :>, где ^ и ^ совпадают с порядком Шарковского, а для i > 2 порядки > уже являются частичными и нелинейными.

Другое естест' -шное направление исследопаний в этом вопросе — изучение орбит более общих, чем периодические. С точки зрения топологической динамики орбита 0(x,j) точки х относительно отображения / ^сть результат действия полугруппы натуральных чисел {N,+). Замыкание орбиты [О (ж, /)] естественно представляется как результат действия пол} .руппы (/JJV,+). стоун-чеховского расширения N с продолженной операцией сложения. "Периодическими" относительно fi'N оказываются рекуррентные точки отображения /, т.е. точки, кото-. рые в любую свою окрестность возвращаются под действием некоторой итерации /.(В литературе встречается также термин "устойчивые по Пуассону".)

В 1989 году Е Сяндун доказал обобщение теоремы Шарковского для точек более узкого класса, чем рекуррентные, а именно; для почти периодических точек отображений отрезка [4]. Он сопос. хвил почти периодической точке инвариант — D-функцию соответствующего минимального множества, и Показал, что периодические и почти периодические точки отображения / € С([0,1]) сосуществуют согласно

частичному линейному порядку на множестве периодов и Д-функций.

3.Baldwin S.,An extension of Sharkovskii's theorem to n-pa. fcJrgod.

Th. & Dynain. Sys., 1991, v. 11, p. 249-271. '

4.E Сяндун. Минимальные множества я сосуществование почт nej.iiодических точек преобр-зоваяяй отрезка ДАН СССР, 1989, т.309, 5, с. 1019-10517

о,

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Построить аналог периода для рекуррентных точек динамических , систем, исследовать его свойства и доказать обобщение теоремы Шар-

ковского для периодических, почти периодически., и рекуррентных то*

чек непрерывного преобразования п-ода.

НАУЧНАЯ НОВИЧКА ■ '

В работе получены следующие новые результаты: ^

1. Для рекуррентных точек динамических систем построены инварианты: максимальный общий делитель стабилизатора ч /^-функция рекуррентной точки, исследованы их свойства, связь между ними, и показано, ч ) их можно считать аналогами периода д.1.л рекуррентных точек. '

2. Получено обобщение теоремы Шарковского для г риодичс ких, почти периодических и рекуррентных точек непрерывных преобразований п-ода.

3. Проведено исследование множества периодов и О-функпий на устойчивость в пространстве непрерыв! лх преобразований п-ода с топологией равномерной сходимости.

ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ . Диссертация носит теоретический харрактер. Результа гы могут найти применение в топологической динамике и эргоди 1еской теории одномерных динамических систем.

АПРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Результаты диссертации докладывались автором на научном семинаре кафедры обшей топологии и геометрии МГУ (семинаре им. П.С.Александрова), на вторых Чебышевских чтениях 1004 г., на семинаре по динамическим системам под руководством акад. А.Д.Аносова и проф. А.М.Степина.

.ПУБЛИКАЦИИ Основное содержание диссертации опубликовано в работах автора [1 , 2,], приведенных в конце автореферата.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на 8 параграфов. В тексте диссертации находится 9 рисунков. Диссертация снабжена оглавлением и списком литературы из 38 наименований. Общий объем диссертации 8Э страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дан краткий обзор результатов и Методов исследова-, ний, связанных с темой работы,- описано содержание диссертации по главам и сформулированы основные результаты.

В первой главе строится инвариант дла рекуррентных точек динамических систем — аналог периода для периодических точек. Построение ведется методами динамики ультрафильтров. В § 1 приведены .необходимые определения а также свойства стоун-чеховсхой компактн-фикации, существенно используемые в построениях и доказательствах. Стоун-чеховская компактификация множества натуральных чисел /Ш реализуется как множество ультрафильтров на N.

§ 2 посвящен, собственно, построению инварианта. Рассматривается продолжение арифметических операций (сложения и умножения) с ТУ на ¡ЗА' и действие полученной компактной право-топологической полугруппы на замыкании орбиты рекуррентной точки. '

Лусть X — топологическое пространство, / € С(Х,Х), х € А'. Отображение тг : А —» 0(х,/), 7г(п) = }п{х) однозначно продолжается до непрерывного отобр? ления тт : /ЗЛГ —» [0(х, /)], 7г(() = (:г).

Стабилизатором точки х называется множество --- —

{£:/'(*)=*}• ^ ' -

Доказывается, что ультрафильтр £ 6 Б1Х в гом и только том случае, когда ^ содержит базу.фильтра 7 = {7г_1(Сг "1 0(х, /)), II € Г*} , где Гг — база окрестностей точки х. , .

Следовательно, в терминах ультрафильтров рекуррентными являются точки для которых стабилизатор непуст, то есть, существует £ £ /ЗЛГ , такой что У* (ж) = х. Это напоминаем определение периодической точки, можно считать множеством всех ультрафильтроп-периодов. Задача — выделить в некотором смысле'"минимальный" период. Для периодической точки истинный период -.вляется наибольшим общим делителем всех псевдоиериодов.

Определение. Ультрафильтр £ назыше/ся максимальным >6-щгт делителем множества А € /ЗДГ , 09111 для любого п £ Лг, п делит £ в том гг только том случае, когда п делит А , (то ^сть А ь п х (Ш).

Доказывается, что в любой замкнутой подполугруппе /ЗИ по сложению существует максимальный общий делитель.

Для рекуррентной точки х отображения j БЬх является замкнутой подполугруппой ((1М,+). Следовательно, > „ществует ~ максимальный общий делитель ультрафильтров из St1.. Ультрафильтр обладает следующими свойствами периода:

I /Нт) = х,.

2. Для любого т] £ ЗМ, если г/ не кратно к, для некоторого к, делящего то /г'(х) ф х.

Если х ■— точка периода к для /, то — к х (ЗМ и можно считать (.г = к. Для произвольной рекуррентной точки х определяется неоднозначно. Да и, вообще, нельзя конструктивно построить ни одного свободного ультрафильтра на N. Поэтому важно выделить нечто осязаемое, зависящее от вида

В § 3 главы 1 рассматривается, каким образом тшисит поведение отображения / на замыкании орбиты рекуррентной точки х от значения

Для рекуррентной точки х замыкание орбиты [<7(л . /)] совпадает с ^-предельным множеством ш(х,/) = П{[0(/'(а:),/)], г € N}. Рассмотрим действие отображения /" на множестве и(х, /)

«(*, /) = ш(х,Г) и ш[Дх),Г) и - • • и ш(Г~1(х), П

По аналогии с /^-функцией почти периодической точки определяется 1)-функция рекуррентной точки (п) — число несовпадающих и>-пр'-дельных множеств вг 1а и (/'(ж),/"),

Основной результат § 3 показывает, как связаны между собой два инварианта рекуррентной точки — £)-фушщия и максимальный общий делитель стабилизатора.

Теорема.Яусть А' — топологическое пространство, х — рекуррентная точка отоГ ажения / 6 С(Х,Х), тогд \ /х(п) ~ НОД(л,£с).

Следствие.Еслггявляется В-функцией некоторой рекуррентной точки, го з е Е, где Е — множество ф> ккций из ЛГ в Л', удовлетворяющих условиям:

1) для любых взаимно простых тип «(тп) = я (т) х в(п);

2) для л А) б о го простого р существует а (р) € N и {0} и {оо}, такое '. го в(р1) = гагп{р';ра*р)} для всех натуральных г.

Во второй главе получено обобщение теоремы Шарковского для периодических, почти периодических и рекуррентных точек преобразований п-ода. А именно, для отображения / £ С(Х„,ХП) дано полное описание возможных множеств периодов периодических точек и £)-функций почти периодических и рекуррентных точек.

Определим частичные порядки >р на множестве N и Е.

Для этого разобьем Е на счетное число подмножеств.

Е{ = {я € Е : 5(2') = (21', 2>) для любого ] £ Щ

■ = {ве£:«(}х2') = 2' для любых « € Лг, ? - нечетного}

Е«, = {« € Е\Г2~ : в(2*) - 2' для любого ¡еЛ'}.

^Заметим, что множество Е-^ состоит из одной функции, будем обозначать ее 2°°.

Положим

Е* = {5 6 Е : а(р) = р}

6

обозначает функаию ь й Е, такую что 3(5 X 2') = (<],р) х 2' для любого нечетного д и любого N. .

Порядок ^ определяется условиями

•¿'{2т + 1) 2>(2т + 3) ^ Я,- ^ 2г+1(2тг 4-1) ^ Е„ :> 2°° ^ :> 2*'

для любых г,7 > 0,41,'м > О

совпадает с частичным линейным порядком из работы Е Сян-дуна [4]) ;

Порядок >р для р > 1 в общем случае уже не является линейным, но содержит линейную часть из О-функций и натуральных чисел, кратных р. Это, в точности, порядок умноженный на р:

р2>(2т + 1) Р2'(2т + 3) :> Щ :> (2п + 1) Е^ > ...

> р х 2°° > р х 2<+1 > р х 2' р ■ г р

для любых {,> 0, т.. п > 0. •

Кроме того для к не-кратных р

к Ъ гк + ЗР >г Е(р'к)\Ер ^ Ер 1>р х N. > 1 для любых г, j > 0-

Для натуральных чисел порядок :> совпадает с соответствующим порядком С.Балдвина из работьт [3]

' Обозначим 1->Р([) — множество периодов периодических точек / и £>-фушший почти периодических, но не периодических точек /; ОРг(/) — множество периодов периодических точек f и 1?-функций рекуррентных непериодических точек /. Основной результат главы 2 — описание возможных множеств Х>-Р(/) и 1>.Рг(/) для / € С(Хп,Хп).

Теорема.Пусть } £ С(Х„, Л „).Тогда множества DF,(f) и DFr(f) совпадают ti представляют собой конечное объединение Ip(kp). начальных сегментов упорядочении :>, р < п, для некоторых kp € {р х 2°°} U { 00} U Лг\{2,3, • - •, р — 1}. И обратно, любое вышеописанное множество является множеством периодов и D-функций некоторого / 6 С(Х„, Хп), талого что /(0) =0. .

. ' Здесь Ip(k) = {k} U {s £ N UE : s f к} для к € N,

1р(р х 2°°) = {р х 200} ü {р2\ i = 0,1, 2, • • •} . /Р(оо) = {р2,'1« = 0,1,2,■•••}.

Доказательство этой теоремы следует из двух результатов, дающих более подробную картину сосуществования периодических, почти периодических и рекуррентных орбит непрерывных преобразований пода. Пусть известно, что отображение. / 6 С(Х„,ХП) имеет данную периодическую орбиту Р. Чтобы установить, какие именно периодические н почти периодические орбиты'существуют у / в этом случае, нужно знать не только период орбиты Р но и ее тип.

Определение.Пусть я; — периодическая точка отображения / 6 C(Xn,X„), Р — 0(x,f) — ее орбита. Обозначим 0 — центр п-ода, Н[, В>, ■ ■ ■, Вп — отростки п-ода (компоненты связности A'n\{0}j, к пусть x¡ — ближайшая i, центру n-ода точка, Р О ¿J,. Если 0 € Р, дола-rae: ¡ тип Р равным единице.' Для орбиты Р, не содержащей дентр, определим охображенпе g на множестве Б = В->, ■ • •„£?„}: g(B¡) = Bj, если f(x¡) 6 Bj. Так как В ■— конечно, g имеет хотя бы одну,периодическую орбиту. Период этой орбиты называется типом периодической точки х (и периодической орбиты Р).

Аналогично определяется тип рекуррентной точки. Только здесь уже, если [О (г, /)] содержит центр п-ода, отображение g может быть многозначным. Периодическая пли рекуррентная орбита, не содержащая центр n-ода может иметь несколько различных типов.

Теорема.Если у отображения f £ C(Xn,Xn) существует точка периода к и типа р, то / имеет точки периода гп и почти периодические точки с D-функцией s для любых m,s < к.

Доказательство этой теоремы проводится с использованием методов символической динамик! В § 1 главы 2 теорема доказывается для отображении rt-ода, оставляющих центр на месте, а.и § 2 — для произвольных преобразований п-ода.

5 3 главы 2 посвящен решению обратной задачи •- выяснить, какие периодические точки будут существовать у отображения / 6 С(Хп,Хп) при условии наличия данной рекуррентной точки.

Теорема.Если у отображения tf £ С(Л'П,Л"„) существует рекуррентная непериодическая точка х типа р с D-tpyi..;mteñ fT ф р х 2°°, то для некоторого натурального к, такого что к :> fx,f имеет точку . периода к.

Эта теорема является следствием общего результата.

Теорема.Пусть X — конечный односвязный граф (дерево), / £ С(Х,Х-), х —рекуррентная точка f, не являющаяся точкой ветвления, Jr(n) = 1. Тогда в любой окрестности х существуют периодические точки для J периода, взаимно простого are.

В третей главе проведено исследование множества периодов и D-функиий на устойчивость в пространстве непрерывных преобразований и-ода с топологией равномерной сходимости. Основные результаты собраны в следующей теореме:

Теорема.Пусть f £ С(ХП, Л'„) имеет рекуррентную точку х типа р. Тогда ~

1. если х - точка периода к, то существует окрестность U/ ото-браженпя f в ространстве С(ХП,ХП), такая что для любого h £ U; множеств о DF{g) содержит lp (k)\{k} ;

2. если х - не периодическая точка, и fx ф р х 2°°, то существует к £ N, к > fx, ir окрестность Uf, такая что для любого отображения g £'Uf множество DF(g) содержит I?(k);

J. если fx = р х 2°°, то для любого i £ N существует окрестность l/j, .такая что для g £ множество DF(g) содержит Ip(px 2").

В заключение мне хотелось бы поблагодарить моего научного руководителя С.А.Богатого за постоянное внимание и помощь в рабоче.