Использование методов коллективных изменения и интегральных уравнений в статистической теории анизотропных флюидов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ФІЗИКИ КОНДЕНСОВАНИХ СИСТЕМ

СОКОЛОВСЬКА Тетяна Георгіївна 4 удк 532783

ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДІВ КОЛЕКТИВНИХ ЗМІННИХ ТА ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ У СТАТИСТИЧНІЙ ТЕОРІЇ АНІЗОТРОПНИХ ФЛЮЇДІВ

01.01.02 — теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ЛЬВІВ - 1998

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті фізики конденсованих систем Національної академії наук України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

Мирослав Федорович Головко

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, професор Ігор Павлович Пінкевич, завідувач кафедри теоретичної фізики Національного університету ім. Т.Шевченка, м. Київ

кандидат фізико-математичних наук Євген Миколайович Сов’як, старший науковий співробітник Інституту фізики конденсованих систем НЛН України, м. Львів

Провідна організація

Інститут теоретичної фізики НАН України ім. М.Боголюбова, м. Київ

Захист відбудеться “32” травня 1998 року о “1530” на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.156.01 при Інституті фізики конденсованих систем Національної академії наук України за адресою: 290011 м. Львів-11, вул. Свєнціцького, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту фізики конденсованих систем НАН України за адресою: 290026 м. Львів-26, вул. Козельницька, 4.

Автореферат розіслано “11” квітня 1998 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, кандидат фіз.-мат. наук

Т.Є.Крохмальський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Анізотропні флюїди — це просторово однорідні системи з наявним у них орієнтаційним впорядкуванням. Для них характерна надзвичайно рухлива структура, яка змінюється під дією порівняно слабких зовнішніх чинників, і це веде до зміни макроскопічних властивостей. Отже, анізотропні флюїди (плини) — матеріали з легко керованими властивостями, і в останні роки вони знаходять все ширше наукове та промислове застосування.

Побудова послідовної статистичної теорії анізотропних плинів, до яких належать нематики та рідкі магнетики, передбачає розв'язання задач, що пов’язані з особливостями даних систем. По-перше, наявність в анізотропних флюїдах складних взаємодій вимагає адекватного розгляду як далекосяжних, так і короткосяжних потенціалів. По-друге, на відміну від простих рідин, в анізотропних плинах на додачу до флуктуацій густини існують орієнтаційні флуктуації, що зумовлює необхідність коректного опису їх кореляцій. З останньою задачею пов’язані головні труднощі сучасних теорій, викликані відсутністю послідовного методу розрахунку кореляційних функцій в анізотропних континуальних системах, що не дозволяє проводити коректні мікроскопічні дослідження на більш високому рівні, ніж одно-частинковий підхід типу середнього поля. Слід підкреслити, що в анізотропних плинах є особлива причина для послідовного врахування кореляцій — аномально великі флуктуації локального напрямку впорядкування (директора) при відсутності зовнішнього поля. Відповідні кореляції мають голдстоунівський характер, і з ними пов’язані такі специфічні фізичні властивості анізотропних флюїдів, як аномальне розсіяння світла та еластичність не-матиків.

У даній роботі розвинуто статистичний підхід для опису анізотропних плинів. Унарна та парні кореляційні функції розраховуються на основі методу інтегральних рівнянь, при цьому безпосередньо забезпечується коректний опис голдстоунівських мод. Природне врахування різних типів взаємодій та послідовний розвиток вищих наближень у методі колективних змінних відкриває додаткові можливості для вдосконалення відомих теорій. Пропонований статистичний підхід застосовується до відомих простих моделей анізотропних флюїдів.

Дисертаційна робота виконана в Інституті фізики конденсованих систем НАН України згідно плану робіт по темі шифр 1.4.8.9 № 0194022988 “Дослідження властивостей складних рідин”.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова послідовної статистичної теорії анізотропних флюїдів, яка передбачав коректне врахування різних типів кореляцій, присутніх в даних системах; розрахунок та дослідження термодинамічних і структурних характеристик континуальних моделей, що допускають орієнтаційне впорядкування.

Наукова новизна одержаних результатів. На основі послідовного врахування короткодії та далекодії в методі колективних змінних отримано розвинення для вільної енергії анізотропних флюїдів, побудовані на унарній функції розподілу по орієнтаціях та екранованому потенціалі, який є розв’язком анізотропного рівняння Орнштейна-Церніке (ОЦ) у середньосферичному замиканні. Показано, що метод розрахунку унарної та парних кореляційних функцій на основі самоузгодженого розв’язку рівняння ОЦ та рівняння Ловетта забезпечує опис голдстоунівських мод в анізотропних фазах. Запропоновано точне алгебраїчне представлення рівняння Ловетта для одноосьових плинів. Отримано точний аналітичний розв’язок анізотропного рівняння ОЦ разом з рівнянням Ловетта для середньосферичної моделі нематика (потенціал моделі містить внески від взаємодії твердих сфер, далекосяжних ізотропної та анізотропної взаємодій). Розв’язок отримано без жодних додаткових наближень, крім середньосферичного замикання для рівняння ОЦ. Проаналізовано структуру нематич-ної фази, розраховано асимптотичну поведінку на великих віддалях особливих гармонік повної кореляційної функції, що пов’язані з голдстоунівськими модами. Розраховані залежності констант пружності Франка від температури та густини, побудовані ізотерми та фазові діаграми. Отримано аналітичний розв’язок системи ОЦ+Ловетт для континуальної класичної моделі Гейзенберга у середньосферичному замиканні. Побудовані ізотерми та фазова діаграма даної моделі. Виявлено, що критична точка переходів газ-рідина знаходиться у феромагнітній фазі.

Практичне і наукове значення одержаних результатів. Проблема виходу за рамки одночастинкового підходу в теорії анізотропних флюїдів розв’язується на основі методу інтегральних рівнянь. Отримане точне алгебраїчне представлення рівняння Ловетта для анізотропних плинів дозволяє поширити метод інтегральних рівнянь на анізотропні фази без жодних додаткових наближень і відкриває нові можливості для дослідження різноманітних моделей як аналітичними, так і числовими методами. Пропонований підхід дає коректний опис голдстоунівських мод і добре кількісно узгоджується з наявними даними машинно-

з

го експерименту. Розроблений підхід може застосовуватись для вивчення впливу зовнішніх полів і допускає узагальнення на випадок двоосних плинів. Отримані в рамках методу колективних змінних розвинення для вільної енергії анізотропних рідин дозволяють коректно враховувати різні типи взаємодій, контролювати зроблені наближення і вказують шлях до вдосконалення відомих теорій.

Особистий внесок здобувача. У спільних публікаціях авторові належить точне алгебраїчне представлення рівняння Ловетта в одноосьових флюїдах, отримання точного аналітичного розв’язку анізотропного рівняння ОЦ разом з рівнянням Ловетта для серед-ньосферичної моделі нематика. Автор брав безпосередню участь у поширенні методу колективних змінних на випадок анізотропних плинів. Дослідження голдстоунівських мод, розрахунок констант пружності і фазових діаграм, обговорення та інтерпретація отриманих результатів проведені спільно зі співавторами. Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідались і обговорювались на таких конференціях:

• Українсько-французький симпозіум “Конденсована речовина: наука та індустрія” (Львів, 1993р.);

• Міжнародна конференція, присвячена 150-річчю від дня народження І.Пулюя (Львів, 1995р.);

• Міжнародна робоча нарада “Статистична фізика та теорія конденсованого стану” (Львів, 1995р.);

• Науковий семінар з статистичної теорії конденсованих систем (Львів, 1997),

а також на семінарах Інституту фізики конденсованих систем Національної академії наук України та на семінарах відділу теорії розчинів.

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 9 робіт, а саме: 3 статті в наукових журналах, 2 препринти та тези чотирьох конференцій.

Структура та об’єм дисертації. Робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, а також списку використаних джерел та двох додатків. Кожний розділ дисертації починається зі вступу, в якому проводиться більш детальний розгляд вибраних проблем, і завершується висновками. Робота викладена на 122 сторінках (разом з літературою та додатками — 137 сторінок), включає бібліографічний список, шо містить 125 найменувань у вітчизняних та зарубіжних виданнях.

ЗМІСТ РОБОТИ

Вступ. Подано огляд сучасних теоретичних методів дослідження флюїдів, у яких відбуваються орієнтаційні фазові переходи. Відзначено основні проблеми, що виникають при вивченні анізотропних плинів. Висвітлено актуальність теми дисертаційної роботи, її мету, новизну, практичну і наукову цінність, викладено короткий зміст кожного розділу.

Перший розділ називається “Дослідження анізотропних плинів у методі колективних змінних”. В рамках методу колективних змінних проводиться послідовне врахування короткодії та дале-кодії в анізотропних флюїдах. Для оріентаціїшо впорядкованих систем, в яких, поряд із короткосяжними силами відштовхувального характеру, діють залежні від орієнтацій частинок и>і та и>2 далекосяжні сили 0(1,2) = 0(Ді2,ил,дисперсійної природи, отримано розвинення для вільної енергії. Основою ряду є явно виділена унарна функція розподілу по орієнтаціях /(^)- Розвинення відрізняються як послідовністю врахування короткодії і далекодії, так і способом визначення /(^). Доцільність використання того чи іншого ряду визначається основними факторами впорядкування в конкретній досліджуваній системі.

Ряд, побудований на унарній функції повної системи, має наступну структуру:

-Р = Р0 4- Рвтн + -Рнхф - квТ (і?2 + В3 + • • •), де і*о — вільна енергія системи твердих ядер з унарного функцією

/Н ;

дг2 Г

^втн = ^ у Ф( 1,2)/(Ші) [1 4- Л°(1,2)] /(и;2)і(1)гі(2)

— високотемпературний доданок,

*НХФ = ^2 I ¿(1М2) І сх;ф(1,2)/(иі)д(1,2,0/(іо2)

о

— наближення хаотичних фаз (£ - параметр включення взаємодії). Екранований потенціал д(1,2,£) є розв’язком анізотропного рівняння ОЦ (р(3) — р/(оі3))

/і(1,2) = с(1,2) + І р{3)/і(1,3)с(3,2)й(3), <і(3) = йП3сЬ3, (1)

у середньосферичному замиканні:

с(1, 2) — с°(1,2) = —£ф( 1,2)/квТ над поверхнею твердого ядра, д{ 1, 2) = h( 1,2) — hP(l, 2) = 0 під поверхнею твердого ядра

(Л.0(1,2) та с°(1,2) — повна та пряма кореляційні функції базису). Функція д( 1, 2) служить основою для побудови вищих наближень (І?2, В$, ■ ■ •). Відзначимо, що виділення системи твердих частинок п базис дозволяє провести оптимізоване розділення взаємодії, з яким пов’язують можливість подолання важливої спільної проблеми теорії неоднорідних флюїдів: виникнення розбіжностей на рівні наближення хаотичних фаз.

Отримані розвинення містять у собі, як частинні випадки, ряд відомих теорій, а саме: теорії Онсагера та Майєра-Заупе, метод модифікованого середнього поля, узагальнену Ван-дер-Ваальсівську теорію та інші. Достоїнством пропонованого підходу є послідовний розвиток вищих наближень, що дозволяє проаналізувати межі застосовності відомих підходів і вказати шляхи їх вдосконалення.

Як приклад застосування отриманих групових розвинень, розглядаються моделі анізотропних флюїдів з парним потенціалом, що складається з внеску твердого ядра та далекодії типу 73/(yR)Pi(cosui2), де Pi(cos ^12) — поліном Лежандра, 73/№) — потенціал Каца. Для випадку молекул з твердим ядром у формі онсагерівських сфсроциліндрів в границі 7—^0 записується скінченний точний ряд для вільної енергії анізотропної фази. На відміну від моделі Онсагера, ці моделі дозволяють досліджувати залежні від температури орієнтаційні фазові переходи.

Другий розділ носить назву “Дослідження анізотропних плинів

методом інтегральних рівнянь”. У вступі до розділу висвітлюються проблеми врахування кореляцій в анізотропних флюїдах, де застосування інтегрального рівняння ОЦ значно ускладнюється, оскільки анізотропний флюїд описується одночастинковою функцією розподілу р(1) = що виникає замість густи-

ни ізотропної рідини. Тому ми потребуємо, крім замикання для анізотропного рівняння ОЦ, додаткового співвідношення для р{ 1).

У даному розділі пропонується метод розрахунку унарної та парних кореляційних функцій на основі самоузгодженого розв’язку рівняння ОЦ (1) та рівняння Ловетта для анізотропних плинів:

VWllnp(l) + = J c(l,2)VW2p(2)d(2), (2)

де VWl — оператор кутового градієнта, г>( 1) — потенціал

взаємодії з зовнішнім полем. Показується, що рівняння (2) безпосередньо випливає з ідеї обертової коварінваріантності Боголюбова, і його застосування разом з рівнянням ОЦ передбачає появу голдстоунівських мод при відсутності зовнішнього поля: / /і(1,2)сЖі2 —> оо.

Самоузгоджений розв’язок рівняння ОЦ та рівняння Ловетта без додаткових (до замикання для рівняння ОЦ) наближень викликає певні труднощі і не був раніше отриманим для жодної моделі. Для подолання ускладнень, пов’язаних із застосуванням точного рівняння (2), пропонується алгебраїчне представлення рівняння Ловетта для одноосьових флюїдів у формі точних співвідношень. Використовуючи загальний розклад за сферичними гармоніками (нормованими на 4-7г) для прямої кореляційної функції лінійних частинок

ми отримуємо наступні співвідношення у матричній формі:

де Стп = Jc^l0(R)dR, Ymn = <••■)„ =

Співвідношення (5) є алгебраїчним представленням рівняння (2) за відсутності поля (и(1) = const). Вони пов’язують параметри порядку (Р/(cos#))^, нульові фур’є-компоненти гармонік прямої кореляційної функції і коефіцієнти розкладу унарної функції. Співвідношення (5) легко узагальнюються на випадок ненульового зовнішнього поля. На основі (5) та (1) показується, що особливими в одноосьових рідинах є гармоніки h( 1,2), які пов’язані з

кореляціями флуктуацій директора: hmnoW 00• Зазначимо, що згадувані гармоніки не дають внеску в структурний фактор, забезпечуючи механічну стійкість анізотропної фази. Для випадку, коли в матриці Стп ненульовим є тільки доданок з т = п = 2, ми отримали просту умову орієнтаційної нестійкості ізотропної фази: 1 = р f c\12Qi'JSO'> (R)dR, і умову біфуркації нематичного ро-

(3)

тпі ці* А

та експоненційну форму для унарної функції

(4)

L = CYL = СР,

(5)

f f(uj)(---)duj, L, = у/Щ+TjA,, Pi = р^а + 1)(2/+Т)(Р,(соз0))ш.

зв’язку 1.1142 1 = р J с220

ІІО(пега)

(R)dR.

Запропоновані співвідношення (5) використовуються для аналітичного розв’язку анізотропного рівняння ОЦ у середньо-сферичному замиканні в моделі з потенціалом:

г;(1,2) = «т.с.СЛгз) + ї-'о(Йі2) + '¡'’2(^12) А (сов 1^2),

де утхХВ,12) — потенціал твердих сфер з діаметром а. У літературі така задача отримала назву середньосферичної моделі нематика і досліджувалась методом інтегральних рівнянь в ізотропній фазі. Кореляційні функції моделі в анізотропній фазі шукаються

(4), а значить і всі середні типу (Рі(сози)))ш.

. Для нашої моделі можлива тільки одноосьова нематична фаза, що приводить до факторизації (1) на рівняння з різними пі. При т ф 0

Для т = 0 маємо систему інтегральних рівнянь, яка в /с-просторі набуває матричного вигляду:

де (fm) = hi]0(k), (c(kj) = Cij0(k), (p)tj = р(Ъо(и>)Ъо(и>))ш.

Задача самоузгодженого розв’язку анізотропного рівняння ОЦ та рівняння Ловетта на цій стадії звелася до розв’язку рівняні, (7) та (8) при умовах (6) та самоузгодженій унарній функції f(u) = const exp (/12F2o(w)).

Як відомо, у простих рідинах розв’язок рівняння ОЦ за допомогою факторизаційного методу Бакстера-Вертхайма може бути представленим у вигляді системи алгебраїчних рівнянь на коефіцієнти функцій Бакстера. Показується, що застосовність факторизаційного методу до анізотропних фаз (при наявності голд-

Vn(R-12) — О’пі^п&У

ехр(-гпДі2)

У формі /2(Д,Ші,Ш2) = Е (1,1 = 0,2), І

1,1' ,т

представлення (5) переходить у звичайні рівності

1=р(|К21Н|2)ш/с22і(R)dR, Л2-(Г2оНЬ/(l^2iH|2)w. (6)

Зазначимо, що /|І2і(^)| ) фактично визначає унарну функцію

h22m(Rl2) — C22m(R\2)

(7)

+ Р

^|^2ііі(^)Г^ У C-22m(Rl2i)h22m(Rz2)dRz

Н(к) = С(к) + С(к)рй(к),

(8)

стоунівських мод) забезпечується умовою стійкості вільної енергії щодо варіацій унарної функції при врахуванні обертової ко-варінваріантності. В результаті отримано аналітичний розв’язок системи ОЦ+Ловетт для анізотропної фази у вигляді системи алгебраїчних рівнянь. Зокрема, знайдена проста залежність

(|УзіИ|2)ш від зведеної температури к&Т/а2 та упаковки т) :

£|л(і^іНІ2)и = /М,

де функція / залежить лише від показника короткосяжності потенціалу г2сг і знайдена б явній формі.

З отриманого самоузгодженого розв’язку системи ОЦ+Ловетт випливає, що гармоніка Н22і{Щ має наступну асимптотичну поведінку:

Іт-221 (Я-+ °о)т7^|У2і(ш)|2^ = (г2а)2у(г2а)а / Я,

функція у(г2а) обчислена в роботі.

Це означає, що кореляції поперечних флуктуацій директора (пх(Ді)пі(іі2))а.ііТ спадають на великих віддалях як |Ях — #2І_1-Цей результат підтверджує передбачення флуктуаційної теорії де Жена-Ландау. На основі отриманих результатів у розділі обговорюється структура нематичної рідини. Розраховані гармоніки Іі( 1,2) показують тенденцію до групування однонаправле-них частинок, причому згустки зі спільним напрямком, перпендикулярним до директора, є малі і мають менше близьких сусідів. Радіальний розподіл мало залежить від орієнтації частинки на віддалях, більших за 2а. Показані також залежності параметра порядку {Р2(созси))ш від упаковки та температури.

Третій розділ названо “Фазові діаграми середньосферичної моделі нематика”. Розвинутий у попередньому розділі підхід застосовується для дослідження термодинамічних властивостей середньосферичної моделі нематика. Отриманий самоузгоджений розв’язок системи ОЦ+Ловетт у середньосферичному наближенні використовується для розрахунку тиску за виразом, що випливає з віріальної теореми. Показується, що в залежності від співвідношення модельних параметрів реалізуються різні фазові переходи. При сильному ізотропному притяганні та слабкій анізотропній взаємодії в системі присутні ізотропна, конденсована ізотропна та нематична фази, причому нематичний фазовий перехід є слабким переходом першого роду (рис. 1). При відсутності ізотропної далекодії відбуваються тільки фазові переходи зі зміною си-

Рис. 1. Ізотерми середньосферичної моделі нематика при г2а = 0.5 і слабкій анізотропній взаємодії. На вставці — область густин, де відбувається перехід газ-рідина.

Рис. 2. Безрозмірні константи пружності для різних г2а.

метрії. При наявності далекосяжного ізотропного відштовхування (ао < 0), на додачу до ізотропної та конденсованої нематичної фаз, у вузькому інтервалі зовнішніх параметрів може існувати розріджений нематик.

З точного виразу для функціоналу вільної енергії отримується умова рівності хімічних потенціалів фаз різної симетрії. Для середньосферичної моделі нематика з анізотропним далекосяжним потенціалом (а0 = 0) отримано фазові діаграми для різних значень 22(7 і розраховано залежності констант пружності нематика від температури та густини. Для розрахунку констант пружності Франка у розділі використовуються формули, відомі з теорії функціоналу густини та теорії гідродинамічних флуктуацій. Обидві формули дають однаковий результат, що підтверджує послідовність розвинутого підходу. Виявляється, що для розглядуваної моделі величина (г2а)2аК/а2(ае К — константа пружності Франка) є співрозмірною при різних значеннях г2а (рис. 2)

Особливість нашого далекодійного потенціалу полягає в тому, що для цієї моделі наближення середнього поля дає однакові результати для всіх г2сг при фіксованих квТ/а2 та т]. По-

Рис. 3. Фазова діаграма температура-густина (у безрозмірних одиницях) для різних параметрів z2a: а) розв’язок для z2a -> 0, співпадає з результатами теорії середнього поля для довільного z-2<J\ б) z2a = 0.5. Суцільні лінії — лінії співіснування ізотропіка (І) та нематика (N), штрих-пунктир — умова нестійкості ізотропіка, штрихи — точки, де виконується умова Хансена-Верлє для кристалізації.

слідовне врахування кореляцій дозволяє проаналізувати вплив далекодійності потенціалу (різних г2а) на фазову діаграму. У розділі проаналізовано лінії співіснування фаз в координатах температура-густина та тиск-температура (рис. З, 4) для різних г2а. Поведінка параметра порядку при фазовому переході свідчить, що при низьких температурах орієнтаційний фазовий перехід супроводжується конденсацією, яка пов’язана з виникненням ефективного сферичного притягання у системі. Використовуючи напівфеноменологічний критерій Хансена-Верлє для кристалізації, ми отримали для нашої моделі точку співіснування трьох фаз: ізотропної, нематичної та кристалічної. Зі збільшенням г2а ця потрійна точка зміщується в область великих тисків та дещо нижчих температур, а область існування нематика значно зменшується.

Четвертий розділ дисертації носить назву “Континуальна класична модель Гейзенберга у підході інтегральних рівнянь”. У розділі розглядається флюїд твердих сфер діаметра о з вбудованими в них гейзенбергівськими спінами, константа взаємодії

Р до3 «2 6

0.4 0.5 0.6 0.7

0.8

0.9

Рис. 4. Фазова діаграма тиск-температура (п безрозмірних одиницях) для різних 22(7. N та Б позначають лінії нематичного та кристалічного фазових переходів. Числа в дужках — координати потрійних точок. Жирна лінія — нематичний фазовий перехід у моделі з 22(7 —» 0 (наближення середнього поля).

між якими дається потенціалом Юкави

де К > 0, Бі — одиничний вектор, що описує орієнтацію спіна і-тої частинки. У даній моделі взаємодія має іншу симетрію, ніж у нематичшіх (неполярних) системах, і біфуркація анізотропного розв’язку є іншого характеру. Зокрема, при високих температурах орієнтаційний (феромагнітний) перехід є переходом другого роду. Тому розгляд гейзенбергівського флюїду є новим цікавим тестом для пропонованого підходу. Для середньосферичного замикання форма (3) набуває наступного вигляду

2) = Сооо(Д) + сцо(Д) [КюЦ) + Уіо^’г)]

і алгебраїчне представлення рівняння Ловетта запишеться як

l = p(\Yn{u)\2)uJ clu(R)dR, A1=p(Y10(u))uJ clu(R)dR,

причому /(cj) = const exp (ЛіУїо(^)) є самоузгодженою функцією розподілу по орієнтаціях. Рівняння для параметра порядку S\ — (Pi(cosw))w має форму відомого рівняння самоузгодження:

5! = cth(MSi) - де М = 3 (іГцСо;)!2)“1.

Використовуючи факторизаційну техніку розв’язання системи ОЦ+Ловєтт, отримуємо простий вираз для параметра , який повністю визначає унарну функцію розподілу

З рівняння самоузгодження випливає, що цей вираз дає при = 1 як умову орієнтаційної нестійкості ізотропної

фази, так і умову біфуркації феромагнітного розв’язку.

На основі отриманого аналітичного розв’язку системи ОЦ+Ловетт проаналізовано критичну поведінку в околі феромагнітного фазового переходу другого роду. Виявлено, що критичні показники середньосферичної моделі ферофлюїду (/3, 7, V, т]) співпадають з аналогічними показниками граткової сферичної моделі феромагнетизму. Показано, що магнітна кореляційна довжина пропорційна значенню функції Бакстера для гармонік з тп — 1 в точці к = 0. Побудовані залежності намагніченості від температури при різних упаковках та ізотерми моделі.

Збудовано фазову діаграму моделі з га = 1. Розрахунок базується на віріальній теоремі і правилі Максвела. Фазова діаграма в координатах температура-густина показує, що при високих температурах має місце феромагнітний фазовий перехід другого роду. При нижчих температурах він відбувається одночасно з переходом газ-рідина. Цей перехід першого роду не вивчався раніше методами інтегральних рівнянь, так як включає анізотропні фази, де ізотропне рівняння ОЦ не має фізичного розв’язку. Отримана фазова діаграма повністю узгоджується з наявними машинними експериментами: рідинна фаза феромагнітна, а газ є в основному парамагнітним за винятком околу критичної точки, де має місце перехід феромагнітна рідина — феромагнітний газ. У роботі показано, що середньосферичне наближення і через

Рис. 5. Фазова діаграма гейзенбергівського ферофлюїду в координатах температура-упаковка. І та Р позначають ізотропну та феромагнітну фази. Лінія співіснування газоподібної та рідкої фаз і лінія точок Кюрі, отримані в середньосферичному наближенні, зображені, відповідно, товстою і тонкою лініями. На вставці показані результати в околі критичної точки переходів газ-рідина. Штрихова лінія — результати теорії модифікованого середнього поля. Ромбики і чорні кружечки є, відповідно, точки Кюрі і точки бінодалі, отримані моделюванням методом Монте-Карло.

віріальний шлях до термодинаміки, і через вираз для стисливості передбачає відсутність трикритичної точки в системі, на відміну від інших існуючих теорій. Кількісне узгодження розрахованої фазової діаграми з наявними результатами розрахунків методом Монте-Карло для цієї ж моделі є дуже добрим, особливо для лінії переходу газ-рідина (рис. 5).

Основні результати та висновки

1. Побудова групових розвинень для вільної енергії анізотропних флюїдів в рамках методу колективних змінних дозволяє провести адекватне врахування різних типів взаємодії, як стерич-ної, так і дисперсійної природи. Розвинення будуються на явно

виділеній унарній функції розподілу по орієнтаціях та екранованому потенціалі, що знаходиться з анізотропного рівняння Орнштейна-Церніке у середньосферичному замиканні. Отримані розвинення містять у собі, як частинні випадки, відомі теорії: теорію Майєра-Заупє, підхід модифікованого середнього поля, узагальнену теорію Ван-дер-Ваальса та інші.

2. Отримано точні співвідношення для одноосьових флюїдів, що пов’язують Фур’є-образ прямої кореляційної функції при к — 0, параметри порядку системи та коефіцієнти унарної функції розподілу. Ці співвідношення є алгебраїчним представленням точного інтегро-диференціального рівняння Ловетта. На основі отриманих точних співвідношень показано, що гармоніки ^тпо(^) повної кореляційної функції описують появу голдсто-унівських мод. При нульовому зовнішньому полі Фур’є-образи цих гармонік стають розбіжними в нулі: /і^°0 М ~оо. Це означає, що у всій нематичній області флюїд демонструє критичну поведінку стосовно флуктуацій директора.

3. Розраховані унарна та кореляційні функції середньосферичної моделі нематика на основі самоузгодженого аналітичного розв’язку рівняння Орнштейна-Церніке та рівняння Ловетта. За допомогою запропонованих точних співвідношень та фактори-заційного методу Вертхайма-Бакстера згадувана система інтегральних рівнянь зводиться до набору алгебраїчних співвідношень. Метод не використовує жодних наближень, крім замикання для рівняння Орнштейна-Церніке.

4. На основі аналітичного розв’язку анізотропного рівняння Орнштейна-Церніке для середньосферичної моделі нематика були отримані наступні результати:

• обчислені гармоніки парної кореляційної функції та структурний фактор у впорядкованій фазі. Знайдено, що гармоніка, пов’язана з кореляціями флуктуацій директора, спадає на великих віддалях як 1/Р, у згоді з передбаченнями флуктуаційної теорії де Жена;

• побудовані ізотерми для різних модельних параметрів, вказано на можливість виникнення переходу нематик — конденсований нематик у моделі з далекосяжним ізотропним відштовхуванням;

• розраховані залежності констант пружності Франка від температури та густини.

5. Для моделі твердих сфер з далекосяжним анізотропним потенціалом побудовані фазові діаграми у середньосферичному на-

ближенні. Показано існування при низьких температурах потрійної точки ізотропік — нематик — кристал (оцінка густини затвердівання проводилась за критерієм Хансена-Верле для структурного фактора). Виявлено, що з ростом показника ко-роткосяжності потенціалу (z^cr) потрійна точка зміщується в сторону вищих тисків та менших температур, а область існування нематика на фазовій діаграмі швидко зменшується.

6. Отримано аналітичний самоузгоджений розв’язок рівнянь Орнштейна-Церніке та Ловетта у середньосферичному замиканні для ферофлюїду твердих сфер з міжчастинковою спіновою взаємодією класичної гепзенбергівської симетрії. Проаналізована критична поведінка при магнітному фазовому переході другого роду, отримані критичні показники співпадають з аналогічними показниками сферичної моделі феромагнетизму.

7. Розраховані фазові діаграми моделі гейзенбергівського ферофлюїду. Фазова діаграма в координатах темпєратура-густина показує, що при низьких температурах феромагнітний фазовий перехід відбувається одночасно з переходом газ-рідина. Підхід передбачае існування магнітної критичної точки газ-рідина. Побудована фазова діаграма добре кількісно узгоджується з відповідними результатами комп’ютерного моделювання.

Результати дисертації опубліковано в таких роботах:

[1] М.Ф.Головко, Т.Г.Соколовська. Аналітичний розв’язок рівняння Орнштейна-Церніке в середньосферичному наближенні для нематично впорядкованих систем. // УФЖ, 1996, т.41, №10, с.933-939.

[2] Т.Г.Соколовська, М.Ф.Головко, Р.О.Соколовський. Фазові діаграми для моделі нематика з далекодійним анізотропним потенціалом: середньосфєричне наближення. // УФЖ, 1997, т.42 №11-12, с.1304-1313.

[3] T.G.Sokolovska, M.F.Holovko. Exact relations in the theory of anisotropic liquids. // Cond. Mat. Phys., 1997, No 11, p.109-115.

[4] М.Ф.Головко, Т.Г.В’южаніна. Роль короткодіючих і дале-кодіючих взаємодій в системах з нсматичним типом впорядкування. І. Врахування короткодіючих взаємодій методом функціонального диференціювання. — Львів: 1994. — 25с. (Препр./ АН України, ііі-т фізики конд. систем; ІФКС-94-2У).

[5] T.G.Sokolovska. Phase diagram in a continuum model of the classical Heisenberg ferromagnet: mean spherical approximation. — Lviv:

1998. — 17p. (Prepr./ Ac. Sri. Ukraine. Inst, for Cond. Matt. Phys.; ICMP-98-05E).

[6] M.F.Holovko, T.G.Vyuzhanina. The contribution of short- and long-range interactions into creation of the nematic phase. / / Ukrainian-French symposium “Condensed Matter: Science & Industry”, Lviv, February 20-27, 1993. Abstracts, information & participants, p.237.

[7] M.F.Holovko, T.G.Sokolovska. Investigation of TLMBW-equation in nematic system. // Міжнародна наукова конференція, присвячена 150-річчю від дня народження Івана Пулюя. Тези доповідей. Львів, 1995, с.96-97.

[8] T.G.Sokolovska. Investigation of the isotropic-nematic phase transition in the mean spherical model. // International workshop in statistical physics and condensed matter theory. Sept. 11-14, 1995, Lviv, Ukraine. Programme and abstracts, p.103.

[9] Т.Г.Соколовська. Класичний гейзенбергівський рідкий магнетик у підході інтегральних рівнянь. // Науковий семінар з статистичної теорії конденсованих систем. Програма і тези доповідей. Львів, 14-15 березня 1997р., с.135.

Соколовська Т.Г. Застосування методів колективних змінних та інтегральних рівнянь у статистичній теорії анізотропних флюїдів.

— Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук по спеціальності 01.04.02 — теоретична фізика. — Інститут фізики конденсованих систем Національної академії наук України, Львів, 1098.

На основі послідовного врахування короткодії та далекодії в методі колективних змінних будується статистична теорія анізотропних флюїдів. Розрахунок унарної та парних кореляційних функцій на основі само-узгодженого розв’язку рівняння Оршцтейна-Церніке та рівняння Ловетта забезпечує коректний опис голдстоунівських мод в анізотропних фазах. Запропоновано точне алгебраїчне представлення рівняня Ловетта для одноосьових плинів. Для відомої моделі нематика та класичного фе-рофлюїду Гейзенберга отримані аналітичні розв’язки анізотропного рівняння Орнштейна-Церніке у середньосферичному замиканні. Розраховані термодинамічні і структурні характеристики анізотропних флюїдів. Побудовані фазові діаграми добре кількісно узгоджуються з наявними результатами комп’ютерного моделювання.

Ключові слова: нематики, ферофлюїди, голдстоунівські моди, метод колективних змінних, рівняння Орнштейна-Церніке, рівняная Ловетта, фазові діаграми.

Соколовская Т.Г. Применение методов коллективних переменных и интегральных уравнений в статистической теории анизотропных флюидов. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 — теоретическая физика. Институт физики конденсированных систем Национальной академии наук Украины, Львов, 1998.

На основе последовательного учета короткодействия и дальнодействия в методе коллективных переменных развивается статистическая теория анизотропных флюидов. Рассчет унарной и парных корреляционных функций на основе самосогласованного решения уравнения Орнштейна-Церкике и уравнения Ловетта обеспечивает корректное описание голд-стоуновских мод в анизотропных фазах. Предложено точное алгебраическое представление уравнения Ловетта для одноосевых флюидов. Для известной модели нематика и классического феррофлюида Гейзенберга получены аналитические решения анизотропного уравнения Орнштейна-Цернике в среднесферическом замыкашши. Рассчитаны термодинамические и структурные характеристики анизотропных флюидов. Построенные фазовые диаграммы количественно согласуются с существующими результатами компьютерного моделирования.

Ключевые слова: нематики, феррофлюиды, голдстоуновские моды, метод коллективных переменных, уравнение Орпштейна-Цернике, уравнение Ловетта, фазовые диаграммы.

Sokolovska T.G. The application of the collective variables and integral equation methods in the statistical theory of anisotropic fluids.

— Manuscript.

Thesis on search of the scientific degree of candidate of physics and mathematics sciences, speciality 01.04.02 — theoretical physics. Institute for Condensed Matter Physics of the Ukrainian National Academy of Sciences, Lviv, 1998.

On the basis of simultaneous account for short and long-range interactions within the collective variables method the statistical theory of anisotropic fluids is developed. The calculation of the single-particle and pair correlation functions by the self-consistent solution of the Ornstein-Zernike and the Lovette equations provides a correct description of Goldstone modes in anisotropic phases. The exact algebraic representation of the Lovette equation in uniaxial fluids is proposed. The analytical solution of the anisotropic Ornstein-Zernike equation with the mean spherical closure is obtained for the well-known nematic model and the classical Heisenberg ferrofluid. The thermodynamical and structural characteristics of anisotropic fluids are calculated. The obtained phase diagrams are in a good quantitative agreement with the available computer simulations.

Key words: nematics, ferroiluids, Goldstone modes, collective variables method, Ornstein-Zernike equation, Lovette equation, phase diagrams.