Исследование акустических волн в слоистых гидроупругих средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ

На правах рукописи УДК 532.546:534-18

Ильясов Хисам Хисамович

ИССЛЕДОВАНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН В СЛОИСТЫХ ГИДРОУПРУГИХ СРЕДАХ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Институте проблем механики РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор С.Я. Секерж-Зенькович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор C.B. Нестеров кандидат физико-математических наук Д.Н. Михайлов

Ведущая организация:

Физический факультет Московского госудрственного универститета им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 16 февраля 2006 г. в 1500 час.

на заседании диссертационного совета Д 002.240.01 в Институте проблем механики Российской академии наук по адресу: 119526 Москва, проспект Вернадского, д. 101, к. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМех РАН. Автореферат разослан "_"_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Изучение процессов распространения, отражения и преломления акустических волн в слоистых средах тесно связано с приложениями в области сейсморазведки и гидроакустики. В пионерской работе Р. Стоун-ли (1924 г.) исследовалась возможность распространения поверхностных воли вдоль границы раздела двух упругих сред. Эта задача была обобщена в работах Л.М. Бреховских, М.А. Наймарка, К. Сезава, К. Канаи, М. Юинга и других на случай слоистых упругих и гидроупругих сред. В последнее время активно развиваются исследования акустических волн в средах, содержащих пористые флюидонасыщенные прослойки.

Согласно работам Я.И. Френкеля (1944 г.) и М. Био (1956 г.) в толще пористой флгоидонасыщенной среды наряду с обычными для теории упругости продольной и поперечной волнами может распространяться медленная продольная волна, часто называемая волной Био. Для практических приложений представляет интерес то, что наличие пористых прослоек может изменять свойства поверхностных волн в слоистой среде. Ввиду трудности и дороговизны лабораторных и натурных измерений, актуальными являются теоретические исследования волны Био и поверхностных волн в слоистых средах. Результаты в этом направлении получены в основном с использованием численных методов. Однако, для понимания таких сложных многопараметрических процессов, представляется актуальным построение аналитических и аналитико-численных решений.

Цель работы

- Аналитико-численное исследование распространения, отражения и преломления акустических волн в слоистых гидроупругих системах, образованных жидкими, пористыми и упругими средами.

— Моделирование лабораторных и натурных измерений.

Научная новизна работы

- Показана возможность существования поверхностных волн в пористом полупространстве для ранее неизученного случая сочетания скоростей волн.

- Выполнено математическое моделирование лабораторного эксперимента (О. Келдер, Д. Смелдерс, 1997 г.), в котором впервые зарегистрирована волна Био в пористом образце естественного происхождения.

- Разработан метод приближенного решения задач о распространении волн на границах тонкого флюидонасыщенного слоя.

- Поведено математическое моделирование натурных наблюдений сверхдальнего распространения сейсмоакустических волн вдоль океанского дна (Р. Баттлер, С. Ломниц, 2002 г.).

Практическая значимость

Результаты работы могут быть использованы в промысловой геофизике для обнаружения нефте- и водонасыщенности пород, для интерпретации наблюдений в гидроакустике и морской сеймологии.

Разработанный пакет аналитических процедур может применяться для расчета волновых полей в различных слоистых гидроупругих средах.

Методы исследования

В основу исследований положены уравнения акустических волн в жидких и упругих средах, а также уравнения Био для волн в пористых флюидонасыщенных средах. С помощью методов компьютерной алгебры (система Maple) строились аналитические решения задач, которые анализировались с помощью численных методов. Применялись интер-гральное преобразование Фурье и асимптотические разложения.

Достоверность научных положений и выводов подтверждается согласованностью с известными для частных случаев результатами работ, сравнением результатов компьютерного моделирования с данными лабораторных экспериментов и натурных измерений.

Автором представляются к защите

- Решение задачи распространения поверхностных волн на границе пористого полупространства для ранее неизученного случая сочетания скоростей волн.

- Решение задачи о преломлении акустического импульса пористым слоем в жидкости. Анализ адекватности использованных моделей пористой среды известным экспериментам.

- Метод приближенного решения задач о распространении волн на границах тонкого флюидонасьнценного слоя.

- Аналитические выражения для коэффициента отражения монохроматической волны тонким пористым слоем в жидкости.

- Решение задачи распространения поверхностных волн в модели океана с придонным слоем осадков, моделируемом упругой или пористой средами.

Апробация работы

Результаты исследований были представлены в докладах на 61 конференции EAGE (Хельсинки, 7-11 июня 1999 г.); на международной конференции "Современная теория фильтрации", посвященной П.Я. Полуба-риновой-Кочиной (Москва 6-8 сентября 1999 г.); на научном семинаре МГУ им. М.В. Ломоносова "Граничные задачи электродинамики" под рук. А.Г. Свешникова, A.C. Ильинского (2005 г.); в Институте механики

МГУ, на семинаре по механике сплошных сред под рук. А.Г. Куликовского, A.A. Бармина, В.П. Карликова (2005 г.); на семинарах в Институте проблем механики РАН.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [7].

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, рассматриваются современное состояние и методы исследования задач о распространении волн в слоистых гидроупругих средах, содержащих иористые прослойки. Там же формулируются цель работы, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту. Приводится краткое содержание каждой из глав.

В первой главе приводятся уравнения распространения акустических волн в безграничной пористой флюидонасыщенной сргдо в приближении теории Био и выражения для вычисления коэффициентов модели через параметры среды. Выписываются формулы для нахождения скоростей распространения быстрой, медленной продольных волн и волны сдвига. Здесь же приведены варианты модификаций уравнений Био, позволяющие учитывать различные свойства среды.

Рассматривается двумерная задача распространения гармонических волн вдоль свободной границы пористого флюидонасыщенного полупространства. Такая задача изучалась в работах Л.Я. Косачевского (1959 г.) и Л.А. Молоткова (1999 г.) для сред, у которых самой медленной полагалась поперечная волна. В диссертации эта задача обобщается на распространенный в геофизических приложениях случай, когда скорость медленной продольной волны меньше скорости поперечной волны. Определяются смещения частиц скелета u(x, z) и поровой жидкости U(x, z), которые на свободной границе удовлетворяют условиям равенства ну-

лю компонент тензора напряжений пористой среды и давления поровой жидкости, а в самой среде описываются следующими уравнениями Био

д2й d2w

Н grad div и - д rot rot й - С grad div w = р-^ - р/—^

д^й d2w v dw С grad divu - М grad div w p/ ^ ~~ ~ Pf~a~dt'

где w = 0(u — U)- относительное смещение жидкости, (3 - пористость, Н, С, М - упругие модули теории Био, р = (1 — /3)рг + fipj - средняя плотность пористой среды, pr, pf - плотность частиц скелета и жидкости в порах, v - кинематическая вязкость жидкости, к - гидравлический коэффициент проницаемости пор, ш = (1 + а)р///3, а - коэффициент дополнительных (присоединенных ) масс.

Смещение частиц скелета й и относительное смещение жидкости w в среде представляются общепринятым способом через скалярный и векторный потенциалы и решение задачи строится в виде линейной комбинации быстрой, медленной продольных и поперечной волн с неизвестными амплитудами, подлежащими определению. Подстановка потенциалов в граничные условия приводит к системе уравнений относительно амплитуд этих волн. Затем из условия существования нетривиального решения полученной системы выводится дисперсионное соотношение для волнового числа к и частоты ш. Для облегчения процедуры поиска решений дисперсионное соотношение приводится к полиноминальному виду.

Исследуются условия существования неизлучающихся решений дисперсионного соотношения для неизученного ранее случая, когда скорость медленной продольной волньг меньше скорости поперечной волны в пористой среде. В пренебрежении вязкостью жидкости в порах находится область значений модуля сдвига скелета пористой среды, для которой существуют такие решения. Результаты расчета, для среды с плотностью материала скелета рт = 2700 кг/м3, плотностью жидкости р/ — 1000 кг/м3, объемным модулем упругости скелета Кг = 36 ГПа, объемным

модулем упругости жидкости К} = 2,3 ГПа, коэффициентом присоединенных масс а = 0,25 и коэффициентом Пуассона скелета пористой

среды п — 0,25 приведены на рис. 1. /I, ГПа

Рис. 1.

Нижняя кривая на рис. 1 соответствует случаю, когда скорость медленной продольной и сдвиговой волн совпадают (область ниже этой кривой исследовалась в других работах), верхняя кривая - границе между излучающимися и неизлучающимися решениями. Область между кривыми соответствует неизлу чающимся решениям дисперсионного соотношения, когда скорость медленной продольной волны меньше скорости волны сдвига. Как следует из рисунка, эта область сравнительно невелика и для большого диапазона значений параметров реально встречающихся пористых сред волны на границе будут излучающимися. В случае малой пористости среды в работе выведены аналитические соотношения для границ области существования неизлучающихся решений.

Решение дисперсионного уравнения численными методами показывает, что для многих пористых сред скорость поверхностной волны близка к скорости поперечной волны. В этом случае выводится приближенное аналитическое соотношение для корней дисперсионного уравнения Результаты вычислений по полученным выражениям для различных при-

меров пористых сред сравниваются с решениями дисперсионного уравнения, найденными численными методами.

Рассматриваются свойства волн на границе пористой среды с учетом потерь, обусловленных вязкостью жидкости. Проводится анализ скорости распространения и затухания волны в зависимости от модуля сдвига скелета пористой среды. Исследуется переход от поверхностных волн к "вытекающим".

Во второй главе изучается отражение и преломление акустических волн пористым слоем в жидкости Первый параграф главы посвящен моделированию лабораторного эксперимента (О. Келдер, Д. Смелдерс, 1997 г.), в котором впервые была обнаружена медленная продольная волна в пористой среде естественного происхождения с жестким скелетом.

Определяются необходимые для проведения моделирования параметры пористой среды. По значениям скоростей быстрой, медленной продольных и поперечной волн, взятым из эксперимента, находятся коэффициент присоединенных масс, объемный модуль упругости и модуль сдиига скеле!а пористой среды. Поскольку эти параметры нелинейным образом зависят друг от друга и от частоты, то для их вычисления предлагается процедура, позволяющая за несколько итераций (2-3) получить значения с приемлимой для расчетов точностью.

Излучатель г ^ г=Н+Н

/ Жидкость

— ШВШтттв^

Пористая

пластина

Приемник / г = -(Л + Н)

Рис. 2.

Рассматривается следующая модель эксперимента, в которой в жидкости параллельно друг другу находятся плоские источник и приемник

акустических воли (рис. 2). Между ними симметрично располагается пористая пластина толщины 2h, которая может поворачиваться относительно начала системы координат XZ. Возбуждаемая источником нестационарная волна, преломляясь пористой средой, порождает за пластиной волну, регистрируемую приемником. Краевые эффекты, связанные с конечными размерами пластины, источника и приемника сигнала при моделировании не учитываются.

В системе координат XZ', связанной с пластиной, потепциал смещения частиц в жидкости представляется в виде следующего интеграла Фурье

+0О

фи = _L J (s(üj)eMV-kx'+T>{z'~h)) + Д(ш)ег^-Ь'-Г'<г'-Л>>) du, - 00

где S(uS) известная спектральная плотность волны, излучаемой источником, R(u)) - спектральная плотность отраженной от пластины волны, t — t — (Я + h(l — cosa))/Vf, kf = ш/Vf sin а, г/ = u/Vf cosa, Vf -скорость акустической волны в жидкости, а - угол между нормалью к плоскости пластины и осью Z. В этой же системе координат потенциал смещения частиц в жидкости за пластиной представляется следующим образом

+00

фз/ = тг Í +fc»dw,

2тг J

-00

где D(u) - искомая спектральная плотность амплитуды прошедшей через пластину волны. Потенциалы смещения частиц твердой и относительного смещения частиц жидкой фаз пористой среды представляются в виде суммы продольных волн обоих типов и поперечных волн, распространяющихся вдоль положительного и отрицательного направления оси Z'. Связь между спектральными плотностями волн в каждой из сред

определяются условиями на границах раздела жидкость-пористая среда. В них требуется непрерывность движения жидкости внутри и вне пористой среды, равенство нормальной компоненты тензора напряжений в пористой среде давлению в жидкости, равенство нулю тангенциальной компоненты тензора напряжений пористой среды, пропорциональность скачка давления жидкости на границе относительной скорости жидкости в пористой среде. Удовлетворение выражений для потенциалов граничным условиям приводит к системе из восьми уравнений относительно амплитуд волн в средах. Из нее с помощью программы Maple определяется зависимость спектральной амплитуды прошедшей через пластину волны D(lj) от спектральной амплитуды падающей волны S(uj).

Форма прошедшей через пористую пластину волны определялась с помощью дискретного преобразования Фурье. По результатам расчетов строились зависимости давления в точке наблюдения от времени и угла падения импульса на пластину (микросейсмограммы, они показаны на рис. 3 а).

Для выбора модели пористой среды, наиболее адекватно описываг ющей результаты эксперимента, в расчетах использовались различные модификации уравнений Био. Расчеты проводились по "традиционной" модели Био с постоянными коэффициентами; по моделям, учитывающим потери в пористой среде за счет введения комплексного модуля сдвига скелета или комплексной плотности среды; по модели "динамической проницаемости", в которой учитывается изменение коэффициента вязких потерь в зависимости от частоты; по модели "боковых течений", в которой жидкость течет в порах не только в направлении параллельном распространению волны, но и в поперечном. Анализировались различные варианты условий на границе между пористой средой и жидкостью, учитывающие полное и частичное протекание жидкости, а также полное непротекание.

Сравнение результатов расчетов показало, что некоторые модели и используемые в них граничные условия имеют ярко выраженную тен-

денцию подавления медленной продольной волны (модель "боковых течений", частично проницаемые границы) при практически не изменяющихся свойствах других типов волн. Некоторые модели вызывают вычислительные трудности (ограничение по частоте, связанное с корнями функций Бесселя в модели "боковых течений").

195.0 205.0 215 0 225 0 235 0 190 200 ¡>10 220 230

а Ь

Рис. 3.

Ни одна из моделей не позволила получить результаты похожие на наблюдаемые в эксперименте. Наилучшее согласование результатов моделирования с экспериментом получено для модели, сочетающей динамическую проницаемость с комплексным значением модуля сдвига скелета пористой среды, микросейсмограммы для этого случая представлены на рис. 3 а. Для сравнения на рис. 3 Ь показаны микросейсмограммы эксперимента (О. Келдер, Д. Смелдерс, 1997 г.). На рис. 3 а, Ь символами РР обозначены сейсмограммы, соответствующие быстрой продольной, Б - поперечной, ЭР - медленной продольной волнам. РРР означает сейсмограмму, полученную в результате кратного отражения быстрой продольной волны внутри слоя. По оси абсцисс отложено время в микросекундах, по оси ординат - угол наклона пластины.

Во втором параграфе главы выводятся формулы асимптотического разложения потенциалов на границах слоя малой толщины, применение которых позволяет уменьшать размерность задач о распространении

волн вдоль слоя или отражении волн от слоя. Уравнение, описывающее распространение волн в безграничной среде записывается в виде

где L\, La - линейные операторы, Ф = {ф1, ■ ■ ■ фп} - потенциалы волн, распространяющихся в слое, г соответствует направлению, перпендикулярному границам слоя. Эти уравнения разрешается относительно производных д2Ф/дг2 и интегрируется по г в пределах слоя. В полученном выражении значения производных дФ/Oz от потенциалов на границах слоя г = ±/г заменяются их разложениями в ряды Тейлора с точностью до членов, квадратичных по г. В результате этой замены значения потенциалов на границах Ф(±/г) представляются через значения потенциалов в центре слоя Ф(0)

Ф(±А) = (in + 1 ¿1 (ф(0) ± g ft) + 0(Л3).

Показывается, что учет в разложениях потенциалов на границах слоя членов квадратично зависящих от толщины, позволяет получить решения задач о распространении и отражении волн с точностью до величин порядка Л2.

Данный подход применяется для решения задачи об отражении плоских монохроматических волн от пористого слоя, погруженного в жидкость. Исходная система уравнений восьмого порядка заменяется эквивалентной ей системой пятого порядка, учитывающей величины, квадратично зависящие от толщины слоя. Из решения полученной системы с помощью программы Maple находится приближенное аналитическое выражение для коэффициента отражения от пористого слоя. На рис. 4 представлены результаты сравнения значений коэффициентов отражения волн от пористого слоя в жидкости, вычисленные по приближенным формулам с точным значением, полученным в результате численного ре-

шения полной задачи. Расчеты проводились для различных значений пористости среды ,6 и углов падения 7 волны на слой. В качестве критерия оценки бралась частота /¡,. начиная с которой относительная погрешность вычислений по приближенным формулам превышала 10% от точного результата.

Л. Гц Л. Гц

а Ь

Рис. 4.

На рис. 4 а представлены зависимости частоты /ь от угла падения 7 в случае учета в разложениях членов, линейно зависящих от толщины слоя, на рис. 4 Ь - в случае учета в разложениях квадратично зависящих от толщины слоя членов. Расчеты показывают, что учет членов квадратично зависящих от Л в разложениях потенциала на границах слоя приводит более чем трехкратному увеличению диапазона частот, в котором применимы приближенные формулы для вычисления коэффициента отражения.

В третьей главе моделируются результаты натурных наблюдений (С. Ломниц, Р. Баттлер, 2002 г.) сверхдальнего распространения порожденной землетрясением сейсмоакустичсской волны вдоль океанского дна. В них была зафиксирована поверхностная, почти монохроматическая волна, скорость распространения которой близка к скорости акустической волны в жидкости.

Как и в работе С. Ломница и Р. Баттлера, рассматривается трехслойная модель океана, включающая слой жидкости, слой донных отложений и упругое основание. Проводится анализ свойств трех первых нормальных волп в зависимости от параметров слоя осадков. В первом параграфе главы решается задача, где слой осадков считается упругой средой, у которой скорость продольной волны немного превышат скорость акустической волны в жидкости, а скорость поперечной волны значительно меньше скоростей волн в жидкости и упругом основании. Изучается случай бесконечно глубокого океана и с помощью аналитико - численной процедуры рассчитываются зависимости от частоты фазовых и групповых скоростей трех первых нормальных волн в системе.

Результаты расчетов приведены на рис. 5. Данные для расчета были взяты такими же, что и в цитируемой работе: плотность жидкости р\/ =1000 кг/м3, скорость волны в жидкости VI/=1510 м/с, плотность осадков р-2 ~ 1100 кг/м3, скорости продольной и поперечной волн в осадках м/с и =-329,67 м/с соответственно, плотность упругого основания рз=1920 кг/м3, скорости продольной и поперечной волн в упругом основании 4400 м/с и Уз.,-2200 м/с, толщина слоя осадков

Рис. 5.

На рисунке толстыми линиями обозначена зависимость фазовой ско-

рости от частоты. Зависимость групповой скорости от частоты обозначена тонкими линиями.

Из рис. 5 видно, что в точках зарождения второй и третьей нормальных волн фазовая скорость совпадает с групповой и равна скорости волны в жидкости. С ростом частоты наблюдается быстрый спад групповой скорости, причем с ростом номера нормальной волны крутизна этого участка уменьшается. Такие участки скачкообразного изменения групповой скорости могут приводить к появлению на сейсмограммах участков с почти постоянной частотой (М. Юинг, 1957 г.). Отметим, что в работах С. Ломница и Р. Баттлера наблюдается разрыв между фазовой и групповой скоростями в точках зарождения второй и третьей нормальных волн (на частотах 1,34 Гц и 3,4 Гц соответственно), с помощью которого авторы объясняют результаты натурных наблюдений.

Далее рассматривается задача распространения волн в случае океана конечной глубины (//=4979 м), которая в работах С. Ломница и Р, Баттлера не изучалась. Для тех же параметров сред, что и ранее, определяю лея зависимости фазовых и групповых скоростей от частоты.

Уф, К-р, м/с Уф, Кгр, м/с

у, 1.UV 4 uu _ tfiW *». W UiUV U. i-VV " W . _ " «v» ww

f, Гц f, Гц

a b

Рис. 6.

На рис. 6 а представлена вторая нормальная волна, на рис. 6 b - третья. Сравнение рис. 5 и 6 показывает значительное различие в поведении

нормальных волн в случае океана конечной глубины и бесконечно глубокого.

Для океана конечной глубины в точках зарождения второй и третьей нормальных волн фазовая скорость равняется скорости поперечной волны в упругом основании. Для обеих волн наблюдается резкое, почти скачкообразное, уменьшение групповой скорости в области низких частот. Соответствующие этим участкам частоты существенно ниже (менее 0,5 Гц) аналогичных значений для бесконечно глубокого океана и не согласуются с результатами наблюдений (1,34 и 3,4 Гц). В той части дисперсионных кривых, где фазовая скорость волн близка к скорости волны в жидкости (1510 м/с), у зависимости групповой скорости от частоты уже нет быстрого спада, что не позволяет объяснить наблюдение почти монохроматических поверхностных воля. Проведенные расчеты с различными значениями параметров осадочного слоя (толщина слоя, скорости собственных волн) продемонстрировали, что эти параметры не оказывают существенного влияния на фазовые и групповые скорости в интересующем нас диапазоне скоростей и частот.

В следующем параграфе главы слой осадков моделируется пористой средой. Изучаются свойства поверхностных волн с учетом и без учета вязких потерь в среде. На рис. 7 представлены зависимости фазовых и групповых скоростей от частоты для следующих параметров пористой среды: плотность материала скелета рг=2650 кг/м3, плотность жидкости в порах /9^=1000 кг/м3, объемный модуль упругости скелета Кг — 0,43 ГПа, объемный модуль упругости жидкости К/ — 2,28 ГПа, коэффициент присоединенных масс а = 0,25, коэффициент Пуассона скелета пористой среды п = 0,25, пористость /3 = 0,47.

Как и в случае слоя осадков, описываемого упругой средой, в точке зарождения фазовые и групповые скорости второй нормальной волны равны скорости волны сдвига в упругом основании. С увеличением частоты также наблюдается быстрое падение групповой скорости, которое далее замедляется и сменяется участком нарастания до скоростей близ-

ких скорости акустических волн в жидкости. С повышением частоты у групповой скорости снова наблюдается участок быстрого спада в той области, х де фазовая скорость поверхностных волн близка к скорости волн в жидкости.

Уф, Угр, м/с

100 ............................................

0. 1 00 2.00 3 00 Л 00 5 00

{. Гц Рис. 7.

Исследуется влияние упругих свойств пористой срсды и толщины слоя осадков на поведение поверхностных вотн. Показано, что в случае пористой срсды существует диапазон частот, близкий к наблюдаемым, в котором возможно распространение почти монохроматических поверхностных волн. Делается вывод о целесообразности моделирования слоя осадков пористой средой для объяснения наблюдаемых на сейсмограммах волн.

Основные результаты диссертации

1. Исследованы особенности распространения поверхностных волн на свободной границе пористого флюидонасыщенного полупространства для ранее неизученного случая, когда скорость медленной продольной волны меньше скорости поперечной волны. Показано, что при этих условиях поверхностные волны могут существовать в узком диапазоне значений модуля сдвига и пористостей среды.

2. Разработан комплекс аналитических процедур для системы Maple, позволяющий получать уравнения для решения задач об отражении, преломлении и распространении плоских монохроматических волн в слоистых системах, состоящих из пористых, жидких и упругих сред.

3. Проведено математическое моделирование лабораторного эксперимента по возбуждению медленной продольной волны в пористой среде естественного происхождения. Дано сравнение результатов расчетов преломления импульсного сигнала пористым слоем в жидкости для различных методов описания пористой среды. Установлено, что рассчитанные сейсмограммы близки к результатам эксперимента в случае использования моделей, учитывающих изменение с частотой коэффициента проницаемости среды и затухание, вызванное потерями в скелете пористой среды.

4. Разработан метод для приближенного решения задач о распространении волн на границах тонкого по сравнению с длиной волны пористого слоя. Получено аналитическое выражение для коэффициента отражения плоских монохроматических волн от тонкого пористого слоя в жидкости. Проведено сравнение результатов расчетов но полученным формулам с решением задачи, полученным численными методами.

5. Выполнено математическое моделирование натурных наблюдений сверхдальнего распространения сейсмоакустических волн в океане (С. Ломниц, Р. Баттлер, 2002 г.). Проанализированы особенности распространения свободных сейсмоакустических воли с использованием трехслойной модели океана, учитывающей слой придонных осадков. Показано, что в случае моделирования слоя осадков упругой средой не удается описать результаты натурных наблюдений. При использовании для слоя осадков модели пористой среды су-

ществует диапазон частот, в котором возможно распространение волн, близких по своим свойствам к наблюдаемым.

Публикации по теме диссертации

1. Бордаков Г.А., Ильясов Х.Х , Миколаевский Э.Ю., Секерж-Зенько-вич С.Я. О влиянии тонкого флюидонасыщенного пористого слоя на поверхностные волны Релея и Стоунли. // Препринт ИПМех РАН, № 562, М.: 1996. 20 с.

2. Бордаков Г.А., Ильясов Х.Х., Миколаевский Э.Ю., Секерж-Зенько-вич С.Я. О влиянии квазитонкого флюидонасыщенного слоя на поверхностные волны Релся и Стоунли.// ЖВММФ, 1998. Т. 38, JVf4, С. 651 658.

3. Бордаков Г.А., ИльясовХ.Х., Миколаевский Э.Ю., Секерж Зенько-вич С.Я. Расчет отражения и преломления акустического импульса пористым слоем в жидкости. // ЖВММФ, 2000. Т. 40, № 2, С. 233237.

4. Елизаров A.A., Ильясов Х.Х. Свидетельство РФ о официальной регистрации программы для ЭВМ № 2004612048 моделирования распространения акустических волн в слоистых пористых средах (PoroDisp). Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 2.09,2004.

5. Ильясов Х.Х. Распространение поверхностных волн на свободной границе пористой флюидонасыщенной среды // ЖВММФ, 2004. Т. 44, № 12, С. 2268-2275.

6. Bordakov G. A., Ilyasov Kh. Kh., Mikolaevsky E. Yu., Sekerzh-Zen'ko-vich S.Ya. Wave refraction with a porous plate in liquid -comparison of Biot's and BISQ theories. // 61-st EAGE conference Helsinki 7-11 June 1999. № 2-03.

7. Bordakov G. A., IlyasovKh. Kh., Mikolaevsky E. Yu., Sekerzh-Zen'ko-vich S.Ya. Acoustic pulse transmission through porous layer immersed in a fluid. Testing porous media models. // Современная теория филь-iрации. Международная конференция, посвященная П.Я. Полуба-риновой-Кочиной, тезисы докладов, Москва 6-8 сентября 1999 г. С. 104-106.

Исследование акустических волн в слоистых гидроупругих средах

Ильясов Хисам Хисамович

I

Подписано в печать 20.12.2005. Заказ №39-2005. Тираж 75 экз.

Отпечатано на ризографе, ИПМех РАН 119526 Москва, проспект Вернадского, д. 101, к. 1.

»25951

РНБ Русский фонд

2006-4 29701

Введение

1 Поверхностные волны на границе пористой флюидонасыщенной среды

1.1 Уравнения распространения акустических волн в пористой флюидонасыщенной среде

1.2 Волны на границе пористого полупространства.

2 Преломление и отражение акустических волн пористым слоем в жидкости

2.1 Моделирование преломления нестационарного акустического импульса пористым слоем в жидкости.

2.2 Приближенное решение для слоя малой толщины.

3 Распространение сейсмоакустических волн в трехслойной модели океана

3.1 Волны в упругом слое, заключенном между сжимаемой жидкостью и упругой средой.

3.2 Волны в пористом слое, заключенном между жидкостью и упругой средой.

Математическое моделирование волновых процессов в слоистых гидроупругих средах является важной и актуальной проблемой. Интерес к этим исследованиям стимулируется, в первую очередь, потребностями сейсморазведки и гидроакустики в надежной интерпретации данных наблюдений. Анализ работ в этой области показывает, что в последнее время интенсивно ведутся работы по изучению процессов отражения, преломления и распространения акустических волн в слоистых средах, содержащих пористые флюидо-насыщенные прослойки. При этом особое внимание уделяется влиянию на свойства волн движения насыщающей жидкости относительно скелета пористой среды.

Началом активных исследований волновых процессов в насыщенных пористых средах послужила работа Я.И. Френкеля [28], посвященная так называемому сейсмоэлектриче-скому эффекту. В результате анализа линеаризованных уравнений движения твердой и жидкой фаз Я.И. Френкелем было выведено дисперсионное уравнение для продольных волн в пористой среде и найдено его приближенное решение, соответствующее волнам первого и второго рода. Вслед за этой работой уравнения распространения звуковых волн в газонасыщенной пористой среде в одномерном приближении были получены в книге К. Цвиккера и К. Костена [29]. Одна из широко распространенных в настоящее время моделей была предложена М. Био (М. Biot) в серии работ 50-60-х гг. [36, 37, 38, 39, 40]. Как показано Л.Я. Косачевским [17], предложенная Био система уравнений движения пористой среды опирается на те же соотношения между напряжениями и деформациями, что и в работе Я.И. Фенкеля, но отличается большей общностью. Теория распространения звуковых волн в насыщенной пористой среде также изучалась П.П. Золотаревым [15], В.Н. Николаевским [24] и Х.А. Рахматулиным [26]. Подробный анализ уравнений распространения звука в насыщенной пористой среде, предложенных различными авторами, дан В.Н. Николаевским в [25].

Важным результатом исследований звука в насыщенной пористой среде явилось предсказание существования трех типов собственных волн: продольных волн первого и второго рода (называемых иногда быстрой и медленной продольными волнами) и поперечной волны (волны сдвига). Если быстрая продольная и сдвиговая волны по своей природе близки к волнам в безграничной упругой среде, то медленная продольная волна с ее значительными дисперсией и затуханием, вызванным перемещением частиц жидкости относительно скелета, является новой свойственной именно пористой среде.

Значительный интерес к акустике насыщенных пористых сред породила экспериментальная работа Т. Plona [84], в которой впервые была зарегистрирована медленная продольная волна в пористой среде искуственного происхождения. Несмотря на успешное подтверждение выводов теории для искуственных материалов, результаты экспериментальных исследований демонстрировали значительное расхождение дисперсии и затухания для сред естественного происхождения [59,91,92,93]. С целью получения согласованных результатов теории и эксперимента рядом авторов были предложены новые модели акустики пористых сред. В большинстве своем эти модели в той или иной степени сводились к системе уравнений Био с зависящими от частоты коэффициентами.

Так в работах R. Stoll, Т. Kan, A. Turgut, Т. Yamomoto [90,93], посвященных исследованию осадочных пород, кроме потерь, обусловленных относительным движением жидкости и скелета, учитывались потери от движения частиц скелета в точках контакта. Это делалось за счет введения в уравнения Био комплекснозначного модуля сдвига скелета. С аналогичной целью в работах А.В. Бакулина и J1.A. Молоткова [34] предлагалось использовать комплекснозначные плотности сред. В модели, развиваемой в работах J. Dvorkin, G. Mavko, A. Nur, М. Diallo и др. [56, 59, 60, 61], учитывались дополнительные потери, связанные с течением жидкости в микротрещинах в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. В работах D. Johnson и др. [73, 74] предлагалось учитывать зависимость от частоты вязких потерь, вызванных движением жидкости относительно скелета. Другие модели пористой среды, отличные от модели Био, предлагались в работах Л.Д. Акуленко и С.В. Нестерова [1, 2, 3], Т.У. Артикова [4], И.Я. Эдельман и К. Wilmanski [62].

В отличие от упругих сред волны в насыщенных пористых средах обладают существенными дисперсией и затуханием. Исследованию влияния этих факторов на отражение и преломление акустических волн посвящены работы [9, 17, 18, 30, 32, 50, 51, 53, 55, 58, 65, 78, 85, 90]. Отражение от свободной границы пористой среды изучали Л.Я. Коса-чевский [17], Н. Deresiewicz [50, 51]. Задача отражения и преломления волны на границе раздела двух пористых сред в случае нормального падения решалась J. Geertsma, D. Smit [65]. Ими же были получены решения для нормального падения волны на границы раздела упругой и пористой сред и на границу раздела жидкости и пористой среды как предельные случаи предыдущей задачи. Отражение на границе раздела двух произвольных пористых сред исследовалось в работах Н. Deresiewicz [53]; на границе раздела жидкости и газа в пористой среде - N. Dutta, Н. Ode [58]; от группы пористых слоев - Л.Я. Косачевским [18], Н. Deresiewicz [55]; от пористого слоя с меняющимися по толщине параметрами - М. Stern и др. [89]; от случайной последовательности пористых слоев - S. Pride и др. [85]; на границе жидкости и пористой среды - D. Albert [32], R. Stoll, Т. Кап [90]. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов для отражения волн на границе жидкости и пористой среды проведено D. Johnson и др. [74] и Kunyu Wu и др. [78].

Упрощенные аналитические выражения для коэффициентов отражения и прохождения волны через границу раздела жидкости и пористой среды в предположении бесконечно жесткого материала скелета выведены в работе A. Denneman и др. [49]. Приближенные аналитические выражения для коэффициента отражения низкочастотного сигнала от пористого слоя, заключенного между жидкостью и упругой средой, получены Г. Бордаковым и др. в [9].

Влияние пористости и насыщенности на распространение поверхностных волн изучалось в работах [23, 31, 52, 54, 62, 64]. Поверхностная волна на свободной границе пористой среды как вырожденный случай отражения исследовалась Л.Я. Косачевским [17]. Решение для поверхностной волны на свободной границе пористой среды было получено JI.A. Молотковым в результате предельного перехода при исследовании акустических волн в слое. Поверхностные волны на границе жидкости и пористой среды изучались в работах Н. Deresiewicz [54], И.Я. Эдельман, К. Wilmanski [62], S. Feng, D. Johnson [64].

Разнообразие моделей распространения звука в пористых средах, многопараметрич-ность моделей, зависимость некоторых параметров от частоты требуют тщательного сравнения теоретических результатов с данными экспериментов. В первую очередь это касается одного из ключевых выводов теории - существования в насыщенной пористой среде медленной продольной волны.

Медленная продольная волна впервые была зарегистрирована Т. Plona в 1980 г. [84] в водонасыщенных пористых средах искуственного происхождения. В эксперименте исследовалось прохождение импульсного акустического сигнала через пористые пластины, погруженные в жидкость. Пластины изготавливались спеканием мелких стеклянных шариков. В более поздней работе D. Johnson, Т. Plona [71] были измерены скорости всех трех типов волн в пористых средах с жестким и нежестким скелетами (для нежесткого скелета спекание шариков не производилось). Сравнение результатов измерений со значениями скоростей, получаемых из уравнений Био показало хорошее согласование теоретических и экспериментальных результатов.

Несмотря на успешные результаты экспериментов Т. Plona и D. Johnson, оставался неясным вопрос о применимости теории Био для естественных пористых сред. В работе L. Adler, P. Nagy [82] было проведено исследование естественных пористых материалов с воздушным заполнением. Использование заполненной воздухом пористой среды объяснялось авторами тем, что в такой среде медленная продольная волна обладает значительно меньшим затуханием по сравнению с волной в среде, заполненной жидкостью. Кроме того, при использовании методики, аналогичной Т. Plona, большая часть энергии падающей волны переходит в быструю продольную волну и (если угол падения волны, отличен от нуля) в волну сдвига. В случае заполнения газом доля энергии падающей волны, сообщаемая медленной продольной волне, существенно выше, чем в случае заполнения жидкостью. Кроме этого, из-за более низкого значения вязкости газа, существенно ниже и затухание медленной продольной волны (детальное обсуждение различий в поведении пористой среды заполненной жидкостью или газом дано в работе D. Albert [32].

Впервые медленная волна в заполненной жидкостью пористой среде естественного происхождения с жестким скелетом была зарегистрирована в работах О. Kelder, D. Smeul-ders [76, 77].

В работе A.Turgut, T.Yamamoto [93] при исследовании скоростей и затухания акустических волн в морских осадках проводилось прямое измерение сигнала в толще среды двумя приемниками. По разности времен прохождения импульсов через толщу осадочной породы и различию их амплитуд, регистрируемых каждым из приемников, делалось заключение о скоростях и декрементах затухания собственных волн в среде. По результатам измерений в модель вносилось дополнительное затухание с помощью комплексного модуля сдвига скелета. В отличие от работы Т. Plona в данной работе не рассматривалась медленная продольная волна, что в первую очередь связано с большими значениями затухания медленной волны в низкочастотной области.

Свойства поверностных волн на границе жидкости и пористой среды экспериментально исследовались в работе М. Mayers, P. Nagy, L. Adler [81]. Результаты измерений, по мнению авторов, показали хорошее согласование с теоретическими данными работы S. Feng, D. Johnson [64].

Из проведенного анализа работ, посвященных исследованиям волновых процессов в слоистых средах с пористыми прослойками, можно сделать следующие выводы. Большое разнообразие моделей распространения акустических волн в насыщенных пористых средах требует тщательного сравнения теоретических и экспериментальных данных. При этом особое внимание следует уделять возбуждаемой в пористой среде медленной продольной волне. Для понимания сложных многопараметрических процессов, происходящих на границах пористых сред, представляется актуальным построение аналитических и аналитико-численных решений.

В соответствии со сказанным выше определим основные задачи диссертации:

• Аналитико-численное исследование распространения, отражения и преломления акустических волн в слоистых гидроупругих системах, образованных жидкими, пористыми и упругими средами.

• Моделирование лабораторных и натурных измерений.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6, 7, 8, 16, 14, 41, 42]. По результатам первой главы опубликована работа [16]. Результаты второй главы докладывались на 61 конференции EAGE (Хельсинки, 1999 г.), на конференции "Современные проблемы теории фильтрации" (Москва, 1999 г.). По содержанию второй главы опубликованы работы [6, 8]. По содержанию третьей главы опубликована работа [7]. Для решения задач о распространении, отражении и преломлении акустических волн в слоистых средах, содержащих жидкие, упругие и пористые прослойки, разработан комплекс аналитических процедур для системы Maple (защищено авторским свидетельством [14]). С использованием данного программного комплекса получены результаты второй и третьей глав.

Заключение

В заключение приведем основные результаты диссертации.

1. Исследованы особенности распространения поверхностных волн на свободной границе пористого флюидонасыщенного полупространства для ранее неизученного случая, когда скорость медленной продольной волны меньше скорости поперечной волны. Показано, что при этих условиях поверхностные волны могут существовать в узком диапазоне значений модуля сдвига и пористостей среды.

2. Разработан комплекс аналитических процедур для системы Maple, позволяющий получать уравнения для решения задач об отражении, преломлении и распространении плоских монохроматических волн в слоистых системах, состоящих из пористых, жидких и упругих сред.

3. Проведено моделирование лабораторного эксперимента по возбуждению медленной продольной волны в пористой среде естественного происхождения (О. Kelder, D. Smeulders, 1997 г.) Дано сравнение результатов расчетов преломления импульсного сигнала пористым слоем в жидкости для различных методов описания пористой среды. Установлено, что рассчитанные сейсмограммы близки к результатам эксперимента в случае использования моделей, учитывающих изменение с частотой коэффициента проницаемости среды и затухание, вызванное потерями в скелете пористой среды.

4. Разработан метод для приближенного решения задач о распространении волн на границах тонкого, по сравнению с длиной волны, пористого слоя. Получено аналитическое выражение для коэффициента отражения плоских монохроматических волн от тонкого пористого слоя в жидкости. Проведено сравнение результатов расчетов по полученным формулам с решением задачи, полученным численными методами.

5. Выполнено моделирование натурных наблюдений сверхдальнего распространения сейсмоакустических волн в океане (R. Butler, С. Lomnitz, 2002 г.). Проанализированы особенности распространения свободных сейсмоакустических волн с использованием трехслойной модели океана, учитывающей слой придонных осадков. Показано, что в случае моделирования слоя осадков упругой средой не удается описать результаты натурных наблюдений. При использовании для слоя осадков модели пористой среды существует диапазон частот, в котором возможно распространения волн, близких по своим свойствам к наблюдаемым.

1. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Исследование инерционных и упругих свойств пропитанных жидкостью гранулированных сред резонансным методом. // МТТ, 2002. № 5. С. 145-156.

2. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Инерционные и диссипативные свойства пористой среды, заполненной вязкой жидкостью. // МТТ, 2005. № 1. С. 109-119.

3. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Динамическая модель пористой среды, заполненной вязкой жидкостью. // ДАН, сер. Механика, 2005. Т. 401. № 5. С. 630-633.

4. Артиков Т.У Волны в слоистых пористых средах. // Ташкент, Изд-во "Фан" УзССР, 1987. 268 с.

5. Беликов Б. П., Александров К. С., Рыжова Т. В. Упругие свойства породообразующих минералов и горных пород. М.: Наука, 1970. 274 с.

6. Бордаков Г.А., Ильясов Х.Х., Миколаевский Э.Ю., Секерж-Зенькович С.Я. О влиянии тонкого флюидонасыщенного пористого слоя на поверхностные волны Рэлея и Стоунли. М.: Институт проблем механики РАН, 1996. Препринт № 562. 20 с.

7. Бордаков Г.А., Ильясов Х.Х., Миколаевский Э.Ю., Секерж-Зенькович С.Я. О влиянии квазитонкого флюидонасыщенного слоя на поверхностные волны Рэлея и Стоунли. // ЖВММФ, 1998. Т. 38. № 4. С. 651-658.

8. Бордаков Г.А., Ильясов Х.Х., Миколаевский Э.Ю., Секерж-Зенькович С.Я. Расчет отражения и преломления акустического импульса пористым слоем в жидкости. // ЖВММФ, 2000. Т. 40. № 2. С. 233-237.

9. Бордаков Г.А., Миколаевский Э.Ю., Секерж-Зенькович С.Я. Отражение нестационарных низкочастотных волн в сжимаемой жидкости от пористой среды при нормальном падении. // Вулканология и сейсмология, 2000. Т. 22. № 1. С. 72-76.

10. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 343 с.

11. Бреховских Л.М. Годин О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.

12. Викторов И.А., О вытекающих поверхностных волнах в изотропном твердом теле. // ДАН, 1976. Т. 228. № 3. С. 579-581.

13. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981. 288 с.

14. Елизаров А.А., Ильясов Х.Х. Свидетельство РФ о официальной регистрации программы для ЭВМ № 2004612048 моделирования распространения акустических волн в слоистых пористых средах (PoroDisp). Зарегистрировано в реестре программ для ЭВМ 2.09.2004.

15. Золотарев П.П. Распространение звуковых волн в насыщенной газом пористой среде с жестким скелетом. // Инженерный журнал, 1964. Т. IV. С. 111-120.

16. Ильясов Х.Х.РаспростраЕгение поверхностных волн на свободной границе пористой флюидонасыщенной среды. // ЖВММФ, 2004. Т. 44. № 12, С. 2268-2275.

17. Косачевский Л.Я. О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах. // ПММ, 1959. Т. XXIII. № 6. С. 1115-1123.

18. Косачевский Л.Я. Об отражении звуковых волн от слоистых двухкомпонентных сред. // ПММ, 1961. Т. XXV. № 6. С. 1076-1082.

19. Крауклис П.В., Крауклис Л.А. О затухании медленной интеренференционной волны в трещиноватом слое. // Зап. научн. семинаров ПОМИ, 1998. Т. 250. С. 153-160.

20. Крауклис П.В. Крауклис Л.А. Интерференционная медленная волна в пороакустиче-ском слое Био. // Зап. научн. семинаров ПОМИ, 1999. Т. 257. С. 137-148.

21. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. 464 с.

22. Ляховицкий Ф.М., Юдасин Л.А. Влияние порозаполнителя и пластовых условий на скорости и поглощение упругих волн в песчаниках. // Изв АН СССР. Физика Земли, 1981. №4. С. 43-57.

23. Молотков Л.А. О распространении нормальных волн в изолированном пористом флю-идонасыщенном слое Био. // Зап. научных семинаров ПОМИ, 1999. Т. 257. С. 165-183.

24. Николаевский В.Н. О распространении продольных волн в насыщенных жидкостью упругих пористых средах. // Инж. Журн. 1963. Т. III, вып. 2. С. 251-261.

25. Николаевский В.Н., Басниев К.С, Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. 335 с.

26. Рахматулин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред. // ПММ, 1956. Т. XX. С. 184-195.

27. Филипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. Пер. с англ. М.: Мир, 1969. 267 с.

28. Френкель Я.И. К теории сейсмических и сейсмоэлектрических явлений во влажной почве. // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз., 1944. Т. VIII, № 4. С. 133-149.

29. Цвиккер К., Костен К. Звукопоглощающие материалы. М.: Изд-во иностр. лит., 1952. 160 с.

30. Achenbach J.D., Adler L., Jungman A., Roberts R. Reflection from a boundary with periodic roughness: theory and experiment. // J. Acoust. Soc. Am. 1983. V. 74. P. 10251032.

31. Allard J.F., Jansens G., Lauriks W., Vermeir G. Frame-borne surface waves in air-saturated porous media. // J. Acoust. Soc. Am. 2001. V. 111. № 2. P. 690-696.

32. Albert D.G. A comparison between wave propagation in water-saturated and air-saturated porous materials. // J. Appl. Phys. 1993. V. 73. P. 28-36.

33. Arntsen В., Carcione J.M. Numerical simulation of the Biot slow wave in water-saturated Nivelsteiner sandstone. // Geophysics, 2001. V. 66. № 3. P. 890-896.

34. Bakulin A.V., Molotkov L.A. Application of complex Biot dencities for the description of attenuation and dispersion in porrous rocks // EAGE 60th Conference and technical exhibition -Leipzig, Germany, 8-12 June, 1998. P 085.

35. Best A., McCann C. Seismic attenuation and pore-fluid viscosity in clay-rich reservoir sandstones. // Geophysics, 1995. V. 60. № 5. P. 1386-1397.

36. Biot M. A. Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid. // J. App. Phys. 1955. V. 26. № 2. P. 182-185.

37. Biot M. A. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated porous solid. I. Low frequency range. II. Higher freauency range. // J. Acoust. Soc. Am. 1956. V. 28. № 2. P. 168-191.

38. Biot M.A., Willis D.G. The elastic coefficients if the theory of consolidation. // J. Appl. Mech. 1957. V. 24. P. 594-601.

39. Biot M.A. Generalized theory of acoustic propagation on porous dissipative media. // J. Acoust. Soc. Am. 1962. V. 34. P. 1254-1264.

40. Biot M. A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media. // J. App. Phys. 1962. V. 33. № 4. P. 1482-1498.

41. Bordakov G.A., Ilyasov H.H., Mikolaevsky E.Yu., Sekerzh-Zen'kovich S.Ya. Wave refraction with a porous plate in liquid -comparison of Biot's and BISQ theories. // 61-st EAGE conference, Helsinki 7-11 June. 1999. № 2-03.

42. Bouzidi Y., Schmitt D.R. Definitive detection of the slow compressional wave in saturated syntetic rock. // CSEG Geophysics. 2002.

43. Boyle F.A., Chotiros N.P. Experimental detection of a slow acoustic wave in sediement at shallow grazing angles. // J. Acoust. Soc. Am. 1992. V. 91. P. 2615-2619.

44. Butler R., Lomnitz C., Novaro O. Coupled modes at interfaces: A review. // Geofisica International, 2002. V. 41. № 2. P. 77-86.

45. Butler R., Lomnitz C. Coupled seismoacoustic modes on seafloor. // Geophysical Research Letters, 2002. V. 29. № Ю. 10.1029/2002GL014722, 2002.

46. Chandler R.N., Johnson D.L. The equivalence of quasistatic flow in fluid-saturated porous media and Biot's slow wave in the limit of zero frequency. // J.Appl.Phys. 1981. V. 52. № 5. P. 3391-3395.

47. Chotiros N.P. Biot model of sound propagation in water saturated sand. // J. Acoust. Soc.Am. 1995. V. 97. P. 199-214

48. Denneman A.I.M., Drijkoningen G.G., Smeulders D.M.J., Wapenaar K. Reflection and transmission of waves at a fluid/porous-medium interface. // Geophysics, 2002. V. 67. № i. p. 282-291.

49. Deresiewicz H. The effect on boundaries on wave propogation in a liquid-filled porous solid: I. Reflection of plane waves at a free plane boundary (non-dissipative case). // Bui Seismol. Soc. Am. 1960. V. 50. № 4. P. 599-607.

50. Deresiewicz H., Rice J.T. The effect on boundaries on wave propogation in a liquid-filled porous solid: III. Reflection of plane waves at a free plane boundary (general case). // Bui Seismol. Soc. Am. 1962. V. 52. № 2. P. 595-625.

51. Deresiewicz H. The effect on boundaries on wave propogation in a liquid-filled porous solid: IV. Surface waves in a half-space. // Bull. Seismol. Soc. Am. 1962. V. 52. № 3. P. 627-638.

52. Deresiewicz H., Rice J.T. The effect on boundaries on wave propogation in a liquid-filled porous solid: V. Transmission across plane interface. // Bull. Seismol. Soc. Am. 1964. V. 54. № 1. P. 409-416.

53. Deresiewicz H. The effect on boundaries on wave propogation in a liquid-filled porous solid: VII. Surface waves in a half-space in the presence of a liquid layer. // Bull. Seismol. Soc. Am. 1964. V. 54. № 1. P. 425-430.

54. Deresiewicz H., Levy A. The effect of boundaries on wave propagation in a liquid-filled porous solid: X. Transmission through a stratified medium. // Bull Seismol. Soc. Am. 1967. V. 57. №3. P. 381-391.

55. Diallo M.S., Appel E. Acoustic wave propagation in saturated porous media: reformulation of the Biot/Squirt flow theory. // J. Appl. Geophys. 2000. V. 44. P. 313-325.

56. Domenico S.N. Elastic properties of unconsolidated porous sand reservoirs. // Geophpysics, 1977. V. 42. № 7. P. 1339-1368.

57. Dutta N.C., Ode H. Seismic reflections from a gas-water contact. // Geophysics, 1983. V. 48. № 2. P. 148-162.

58. Dvorkin J., Nur A. Dynamic poroelasticity: A unified model with the squirt and the Biot mechanisms. // Geophysics, 1993. V. 58. № 4. P. 524-533.

59. Dvorkin J., Nolen-Hoeksema R., Nur A. The squirt-flow mechanism: Macroscopic description. // Geophysiscs, 1994. V. 59. P. 428-438.

60. Dvorkin J., Mavko G., Nur A. Squirt flow in fully saturated rocks. // Geophysics, 1995. V. 60. № 1. P. 97-107.

61. Edelman I. Wilmanski K. Asymptotic analysis of surface waves at a vacuum/porous medium and liquid/porous medium interfaces. // Continuum Mech. Thermodyn. 2002. P. 25-44.

62. Ewing W.M., Jardetsky W.S., Press F. Elastic waves in layred media. New York: McGraw-Hill. 1957. 380 p.

63. Feng S., Johnson D.L. High-frequency acoustic properties of a fluid/porous solid interface. I. New surface mode. II. The 2D reflection Green's function. // J. Acoust. Soc. Am. 1983. V. 74. № 3,P. 906-924.

64. Geertsma J., Smit D.C. Some aspects of elastic wave propagation in fluid-saturated porous solids. // Geophysics, 1961. V. 26. № 2. P. 169-181.

65. Goloshubin G.M., Bakulin A.V. Seismic reflectivity of a thin porous fluid-saturated layer versus frequency. // SEG 1998 Expanded abstracts.

66. Gurevich В., Zyrianov V.B., Lopatnikov S.L. Seisnic attenuation in finely layred porous rocks: Effect of fluid flow and scattering. // Geophysics. 1997. V. 62. № 1. P. 319-324.

67. Gurevich В., Kelder O., Smeulders D.M.J. Validation of the slow compressional wave in porous media: comparison of experiments and numerical simulations. // Transport in porous media, 1999. V. 36. P. 149-160.

68. Gurevich B. Effect of fluid viscosity on elastic wave attenuation in porous rocks. // Geophysics, 2002. V. 67. № 1. P. 264-270.

69. Hickey C.J., Sabatier J.M. Choosing Biot parameters for modeling water-saturated sand. // J.Acoust. Soc. Am. 1997. V. 102. № 3. P. 1480-1484.

70. Johnson D.L, Plona T.J. Acoustic slow waves and the consolidation transition. // J. Acoust. Soc. Am. 1982. V. 72. № 2. P. 556-565.

71. Johnson D.L., Plona T.J., Scala C. Tortuosity and acoustic slow waves. // Phys. Rev. Lett. 1982. V. 49. № 25. P. 1840-1844.

72. Johnson D.L., Koplik J., Dashen R. Theory of dynamic permeability and tortuosity in fluid-saturated porous media. // J. Fluid Mech. 1987. V. 176. P. 379-402.

73. Johnson D.L., Hemmick D.L, Kojima H. Probing porous media with first and second sound. I. Dynamic permeability. II. Acoustic properties of water-saturated porous media. // J. Appl. Phys. 1994. V. 76. P. 104-125.

74. Jones S.M., McCann C., Astin T.R., Sothcott J. The effect of pore-fluid salinity on ultrasonic wave propagation in sandstones. // Geophysics, 1998. V. 63. № 3. P. 928-934.

75. Kelder O., Smeulders D.M.J. Measurement of ultrasonic bulk properties of water-saturated porous media. // EAGE Amsterdam'96 Extendend abstracts book, 1996. Paper С 025.

76. Kelder O., Smeulders D.M.J. Observation of the Biot slow wave in water-saturated Nivelsteiner sandstone. // Geophysics, 1997. V. 62. № 6. P. 1794-1796.

77. Kunyu Wu, Qiang Xue, Adler L., Reflection and transmission of elastic waves from a fluid-saturated porous solid boundary. // J. Acoust. Soc. Am. 1990. V. 87. № 6. P. 23492358.

78. Lauriks W., Kelders L., Allard J.F. Surface waves and leaky waves above porous layer. // Wave motion. 1998. V. 28. P. 59-67.

79. Lomnitz C., Flores J., Novaro O., Seligman Т.Н., Esquivel R. Seismic coupling of interface modes in sedimentary basins: a recipe for disaster. // Bull. Seismol. Soc. Am. 1999. V. 89. № 1. P. 14-21.

80. Mayers M.J., Nagy P.B., Adler L. et al. Exitation of surface waves of different modes at fluid-porous solid interface. // J. Acoust. Soc. Am. 1986. V. 79. № 2. P. 249-252.

81. Nagy P.B., Adler L., Bonner B. P. Slow wave propagation in air-filled porous materials and natural rocks. // Appl. Phys. Lett. 1990. V. 56. № 25. P. 2504-2506.

82. Norris A. The tube wave as a Biot slow wave. // Geophysics, 1987. V. 52. № 5. P. 694-696.

83. Plona T.J. Observation of a second bulk compressional wave in a porous medium at ultrasonic frequencies. // Appl. Phys. Lett. 1980. V. 36. P. 259-261.

84. Pride S.R., Tromeur E., Berryman J.G. Biot slow-wave effects in stratified rock. // Geophysics. 2002. V. 67. № 1, P. 271-281.

85. Schroder C.T., Scott W.R. On the complex conjugate roots of the Rayleigh equation: The leaky surface wave. // J. Acoust. Soc. Am. 2001. V. 110. № 6, P. 2867-2877.

86. Sharma M.D. Dispersion in oceanic crust during earthquake preparation. // Solid and structures, 1999. V. 36. P. 3469-3482.

87. Shatilo A.P., Sondergeld C., Rai C.S. Ultrasonic attenuation in Glenn Pool rocks, northeastern Oklahoma. // Geophysics, 1998. V. 63. № 2. P. 465-478.

88. Stern M., Bedford A., Millwater H.R. Wave reflection from a sediement layer with depth-dependent properties. // J. Acoust Soc. Am. 1985. V. 77. № 5. P. 1781-1788.t

89. Stoll R.D., Kan T.-K. Reflection of acoustic waves at water-sediment interface. // J. Acoust. Soc. Am. 1981. V. 70.№ 1. P. 149-156.

90. Stoll R.D. Marine sediment acoustic. // J. Acoust.Soc.Am. 1985. V. 77. № 5. P. 1789-1799.

91. Stoll R.D. Velocity dispersion in water-saturated granular sediment. // J. Acoust. Soc. Am. 2002. V. 111. №2. P. 149-156.

92. Turgut A., Yamamoto T. Measurments of acoustic wave velocities and attenuation in marine sediments. // J. Acoust. Soc. Am. 1990. V. 87. № 6. P. 2376-2383.

93. Zhanfang Liu, Boer R. Dispersion and attenuation of surface waves in a fluid-saturated porous medium. // Transport in porous media, 1997. V. 29. P. 207-223.