Исследование дифференциального уравнения необходимого условия экстремума с особой точкой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

— л а С Л

! '6 ОЕВ

На правах рукописи УДК 517.993

СВЯТСКОВ Виктор Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НЕОБХОДИМОГО УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА С ОСОБОЙ ТОЧКОЙ

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЕКАТЕРИНБУРГ-1997

Работа выполнена в Чувашском государственном педагогическом инст» туте на кафедре информатики и вычислительной техники.

Научный руководитель - доктор технических наук, академик МИА,

профессор Панченкоп А.Н.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Алсш&ов Ю.З.; кандидат физико-математических наук, доцент Кремлев А.Г.

Ведущая организация - Ленинградский Областной педагогический

институт

Защита состоится Л_ 199?г. , часов на заседани)

диссертационного совета К 063.78.03 но присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском государственном университете имени А.М.Горького (620083, г.Екатеринбург, К-83, пр.Ленина,51 к.248).

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке Уральского государственного университета

Автореферат разослан " ^•к^.-с^и^7 199 Т^г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-матснатических наук, доцент

" В.Г.Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми. В последние годы теория сингулярно возмущенных задач получает все большее развитие как в теоретическом плане, так и через решение конкретных задач математики, механики, физики, химии, биологии, различных отраслей человеческих знаний. В связи с этим проблема построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений с особыми точками является весьма актуальной задачей. В настоящее время нет общей теории нахождения решений таких уравнений. Поэтому анализ проводится для отдельных классов уравнений. В зависимости от исследуемой задачи весьма эффективными методами получения решений сингулярно возмущенных уравнений являются метод усреднения, метод пограничных функций А. Б. Васильевой, метод регуляризации С. А. Ломова, метод сращиваемых асимптотических разложений. Не менее активно развивается теория экстремальных задач. Особое место в этой теории занимают некорректные задачи. Такие задачи тесно связаны с сингулярно возмущенными задачами. В начале восьмидесятых годов А.Н. Панченковым введен в рассмотрение один класс некорректных экстремальных задач. Для этого класса задач одним из характерных свойств является следующее: существует одна или несколько точек, в которой нарушено усиленное условие Лежандра. Типичной становится ситуация, когда дифференциальное уравнение, из которого определяется решение экстремальной задачи, имеет по крайней мере одну особую точку. В этой проблеме актуальным является получение решений предельных сингулярно возмущенных задач . со следующим свойством: при малом параметре равном нулю, порядок уравнения не понижается, но само уравнение становится уравнением с особой точкой.

Целью работы является разработка метода получения решений предельных задач сингулярно возмущенных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в виде функционального ряда Пюизе.

Методика исследования. Основными методами исследования в диссертации являются методы качественной теории дифференциальных уравнений, асимптотические методы, методы представления решений дифференциальных уравнений в виде сходящихся функциональных рядов.

Научная новизна. Работа содержит следующие новые результаты:

- на основе асимптотических методов получена формула для лагранжиана достаточно общего вида на промежутке, включающем

особую точку;

- выведено дифференциальное уравнение необходимого условия экстремума - уравнение Эйлера в промежутке, содержащем особую точку; описан класс функций, на котором определяется решение сингулярно возмущенной задачи для этого уравнения в предельном и допредельном случаях;

- доказана теорема о структуре решений предельной сингулярно возмущенной задачи;

- сформулированы и доказаны условия сходимости ряда к точному решению предельного уравнения;

-в качестве приложения предложенным методом получены решения некоторых известных задач теории оптимальных аэродинамических форм.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы представляют интерес для дальнейшего развития общей теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Элементы работы использовались в учебном процессе: при изложении курса теоретической механики в Чувашском государственном университете, при чтении курса численных методов студентам физико математического факультета Чувашского государственного педагогического института. Результаты работы использовались при написании монографии "Асимптотические методы в задачах оптимального проектирования и управления движением /Панченков А.Н., Ружников Г.М., Данеев A.B. и др./ - Новосибирск: Наука, 1990. - 271 е.", в исследованиях Республиканского инженерного центра автоматизации проектирования (Н. Новгород).

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались:

- на научно - практической конференции молодых ученых и специалистов Чувашской АССР ( 1985 г.);

. - на научных конференциях молодых ученых кораблестроительного факультета Нижегородского политехнического института ( 1985 г. ), механико - математического факультета и НИИ Механики Нижегородского госуниверситета ( 1985 - 1987 г.г.), Волго -Вятского региона( г. Н. Новгород, 1987 г.);

- на итоговых научных конференциях Чувашского госуниверситета (г. Чебоксары, 1986 - 1989 г.г.), Казанского госуниверситета (1989 г.), Нижегородского политехнического института (1985 г.), , Чувашского государственного педагогического института ( 1992 -

1995 г.г.);

- на научных конференциях "Герценовские чтения" в РГПУ ( г. С.- Петербург, 1989,1990 г.г.);

- на VIII Всесоюзной конференции по теоретической кибернетике (г. Горький, 1988 г. );

- на школах - семинарах "Современные проблемы механики жидкости и газа" (г. Иркутск, 1988 г.), "Гидродинамика больших скоростей" (г. Чебоксары, 1989 г.);

- на Всесоюзной конференции по асимптотическим методам теории сингулярно - возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач ( г. Бишкек, 1991 г.);

- на городском научном семинаре кафедры математического анализа РГПУ ( г. С. - Петербург, 1989, 1992 г.г. );

- на научном семинаре кафедры высшей математики- Чувашского госуниверситета (г. Чебоксары, 1990 г.);

- на Международной научной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" ( г. Тверь, 1996 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-12D.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из VI разделов, в которые входят введение, три главы основного содержания, заключение, список литературы. Объем диссертации составляет 123 страницы машинописного текста. Библиография содержит 124 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Bü введении дана общая характеристика работы: обсуждена актуальность темы диссертации, проведен анализ современного состояния проблемы, приведен обзор литературы, формулируются цели и основные результаты.

Работа состоит из шести разделов. Основное содержание входит в разделы II - IV.

Второй раздел включает в себя три пункта. В первом пункте излагается постановка задачи и выводится формула для представления лагранжиана в промежутке, содержащем особую точку. Рассматривается следующая экстремальная задача достаточно общего вида

(1)

Ф =

1

inf Г

i € U J

L ( u(t), ii(t) ) dt

- б -

р

где лагранжиан Ь : (2 - Д, й с г ,

и = { и | и € Сп[(0,1),!{], п> 1; ( и(0), и(1) ) е Г0> Г0 с в2 };

в предположении, что существует точка tQ е 10,11, в которой условие Лежандра вдоль экстремали имеет вид

II = о ( 0 ко « 1 ) . (2)

ии I t = t0

Здесь о выполняет роль малого параметра, в частности при 0 = 0 характерной особенностью исследуемой задачи являетйя нарушение усиленного условия Лежандра.

Одним из необходимых условий экстремума задачи (1) является уравнение Эйлера' или его различные обобщения. Для задачи (1) уравнение Эйлера имеет вид

-I. - Ъ = 0 . (3)

а и и

Определение 1. Особую точку уравнения (3) при параметре 0 = 0, входящем в условие (2), назовем особой точкой лагранжиана Ь.

Пусть t0 € [0, 1] - особая точка лагранжиана Ь. Не нарушая общности рассуждений, положим * = 0. Установим вид функции Ь на

малом промежутке, содержащем точку t0.

Пусть { и0, и0 У - значения экстремали { и, и } в точке t0. Введем множество допустимых возмущений экстремали следующего вида

5 = ■[ и | й € С1(Ь,Ю , А = СО, 61, 6 « 1,

(4)

и = и - и0 - й0<, и € У, й(0) = и(0) = 0 }■ .

Если ввести обозначения V = и , V = и ив лагранжиане Ъ

перейти от переменных и, V к и, V , то в промежутке, содержащем точку ¿0 , для Ь будет справедливо асимптотическое представление

I ( и, V ) = Ъ° + и, Ъ ) + г4СДи, Ьм) ,

где 1° = h ( uQ, vQ ), Ll( t, и, v ) = ^ —- d n L(uQ, vQ) ,

n=1

r4 (bu, bu) - остаточный член.

Определение 2. Если в особой точке значение |у| ограничено, то будем называть эту точку слабой особой точкой лагранжиана L.

Дальнейшее исследование в этом пункте связано с изучением свойств лагранжиана t, и, v ) .

В целях упрощения общей формулы для ¿д доказывается следующая

Л е л л а 2.1.1. Пусть функции L^t, и, ù) ' и LJt, и, й) непрерывны вместе со своими частными производными до второго порядка включительно в некоторой области пространства R и имеют вид

L^t, и, ii) = g(t, и, й) + tn ит й ,

LJt, и, ù) = g(t, и, и)--— tn~1 VLm+i + g.(t) + к и1 ù ;

* m +1 7

m > 0 , n р 1 , l > 0 ; ш , п , I - целые числа.

Тогда для лагранжианов Ь1 и Ьг уравнения Эйлера совпадают.

На основании этой леммы выводится формула для

представления лагранжиана при te Д. Если ввести обозначения

L° = L ( tQ, u0,vQ), с = L°2 ,

V ut» tu» U U V

K2 = L°4 , D = L°4 , (5)

V u

Mi = L°i - v0L°i ' h = L°i ' l = 1' 2> u u u u

то эта формула будет иметь вид:

- - - 1 1 L^(t, и, v) = №1 и + vQ Н2 t и + — Нг и + — о v +

1 1 11

+ - vî M, t2 и + - vn II. t иг + - Lu3 + - К, v3 +

2 о з 2 о з 6 з 6 1

1 111

■ (WQ * IV «Л I rt П IV I Л О >V О

+ — и. 0 t ir + — о и vr + — vz. D t и + — ui D t и + 2 0 u 2 u 6 4

1 111

+ — un D t u3 + -D u4 + -K.v4 + — у. Я. t v3 +

6 0 24 24 г 6 0 1u

11 1

' IV <V Я < n А л/ О ' Л/ ЛТП

+ — Я. и v + — а „ t* ir + — vn а 0 t и \т + 6 1и 4 0 и2 2 0 и2

1

+ — а ,йг v2 . (6)

4 и

Второй пункт этого раздела посвящен выводу дифференциального уравнения необходимого условия экстремума. В начале пункта ставится экстремальная задача для 1<д формулы (6):

6

Фд - inf [ t, u(t), u(t) ) dt , (7)

" € " о

A*

где множество U определено формулой (4).

Преобразуя уравнение Эйлера задачи (7), получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

f о + + r2t2 + с ( t, й, v )J Ъ + а ( t, и, v )=b(t). (8)

В последнем уравнении постоянные коэффициенты yf, х2 » функции с, а, Ь известны и определяются через исходный для задачи (7) лагранжиан Ьд :

1

h = ио °U ' *2 = — voa г '

с и

^ „ 1 Z. ^

c(t, и, й) = К. v. + а и + — К0 й2 + и. К. t и + К. и и +

7 U 2 1/7U. # U

- 1 „2 +"0°u2tU+7 °и2 U '

1 1 Л/ Л/ /V I Л/ о ' Л/ о

aft, и, ^ = ^о ^ ~f®u + »0 K1U ) и + -f к1и и +

1 1

+ V20 0 2 tu + vo0 2ии + V0 о t и2 + -— о 2иг и2 -

U U ¿и d U

" " "о »з * " " ~ "з " 7" "о ° " "

1 1 „3

--и. И и"--О и

2 б

Р0 = М, . Р, - Кг. Р3 ' 7- "о В '

ьс*; = р0 + р, * + р2 + р3 . (9)

Если в первоначальной задаче нарушено усиленное условие Лежандра, то а = 0 . Полученные результаты оформлены в виде теоремы.

Т е о р е л а 2.2.1. Пусть у лагранжиана Ь задачи (1) все частные производные до пятого порядка включительно существуют и непрерывны на промежутке Л. Тогда

- на множестве допустимых возмущений экстремали, заданном формулой (4), асимптотическое представление Ь при í € Д имеет вид (6);

- если в обозначениях (5) хотя бы один из коэффициентов

К1 ' V' К2 ' к1и- а 2 <10>

и

отличен от нуля (если все коэффициенты (10) равны нулю, то о И 0 ), то уравнение необходимого условия экстремума - уравнение Эйлера - для лагранжиана Ь при £ € Д на множестве (4) имеет вид (8).

В третьем пункте этого раздела излагаются свойства функций с, а, Ь из уравнения (8).

Заметим, что уравнение (8) - нелинейное относительно и и имеет достаточно общий характер. Из него следуют решения различных задач математики и механики со слабой особой точкой. При а = О уравнение (8) становится уравнением с особой точкой. Если это уравнение привести к нормальной форме, то задача Коши для него будет иметь вид

й = / ( г, й, и ) , (11)

и (0) = 0, й (0) = 0 . (12)

Начальные условия (12) следуют из выражения (4).В формуле (11)

приняты обозначения:

fit, и, и) =

hit, и, и)

git, и, и) + о

где

git, й, й) = r} t + г2 t2 + eft, и, и) ;

hit, и, и) = bit) - ait, и, и) .

J е л л а 2.3.1. Пусть функция u(t) € Uq , Uq = ■[ и | и € 01(L,R) , A = 10, 63, 6 « 1, u(0) = u(0) - 0 j- .

Функции ait, й, u.) , c(t, и, u) , git, й, u) , bit) определены формулами (9). Тогда

- функции ait, й, и) , cit, и, й) g(t, и, и) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка при i.e А и обращаются в нуль в начальной точке;

- функция bit) € сНь.Ю и Ы0) = р0.

В начале первого пункта третьего раздела на основе свойств степенных рядов доказывается

J е л л а 3.1.1. Пусть даны два абсолютно сходящихся функциональных ряда q(t) и ty(t) :

(■t/2

Vit) = tl £ Ф{ t{ i=0

с областью сходимости Ai= [0, 613,

i/2

l > 0

иг > о ,

(13)

фс^ = tn J ф. t

с областью сходимости h2= [0, ö23 . Тогда ряд

т)(t) = <s>(t)-tyit) сходится абсолютно в области Д - СО, ö 3, 6 = min б2У,

причем

00 1 па) = *т+г I ц. , т)г Ф/Ф{_. .

1'0 ¿-о

В этом же пункте исследуется возможность представления решения задачи (И), (12) в виде следующего обобщенного ряда Лорана (ряда Пюизе):

и = г3/г \ и{ , и0 * 0 . (14)

1=0

В уравнение (8) и его первый интеграл, полученный при уо=0,

входят функции йп , цп , п = 2, 3, 4 ; и, и , й и2 , й и3 ,

и2 и2. Применяя лемму 3.1.1, эти функции можно привести к следующему виду :

ш

ип = г3п/г 1 ае? /г , ае£ * 0 ; (15)

1=0

а>

ик= I , Я* / о ; (16)

1=0

00

ип ик = г(3п+ю/г 2 , * 0 • (17)

г=0

В формулах (15) - (17) постоянные коэффициенты эе? , выражаются через коэффициенты функции В заключение этого

пункта приводится теорема, в которой указаны те случаи отличных от нуля коэффициентов лагранжиана »определенного формулой (6), при которых формальное решение задачи (11), (12) можно представить в виде ряда (14).

Т е о р е л а 3.1.1. Пусть выполнены все условия теоремы 2.2.1. Тогда решение задачи (И), (12) в виде формального ряда (14) можно представить в следующих случаях.

I. К1 / 0Ш Н1 / 0 ; здг К1 = здг №г

II. К1 = О, М1 = 0; и0 / 0, 0и ф О, К2 ф 0;

Г, = - здг К2.

III.*, = о, а1 = О, 0и = О, К2 = О; К1и * О, Н2 ф 0;

зеп К1и = здь И2. Доказательство этой теоремы приводится в пунктах 2-4 этого раздела. Укажем основные моменты доказательства.

На основании леммы 3.1.1 функции с С t, и, и ) , g ( t, и, и ),

а ( t, и, и ) , Ъ ( t ) , e(t) = g-u приводятся к виду (13). Коэффициенты ut ряда (14) определяются из уравнений

е. + а. = Ь. , i = 0, 1, 2,...

ь V X

Так как во втором и четвертом пунктах существует первый интеграл уравнения (8), то для случая vQ = 0 формулы значительно упрощаются. Этот случай исследуется отдельно.

В пятом пункте этого раздела исследуется сходимость решения в виде ряда (14) задачи (И), (12) к точному.

7 е о р в л а 3.5.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) решение задачи Коши для основного уравнения при нулевых начальных условиях известно и представлено в виде

и = //'с;, t = f2(t) ;

2) функции i^x), f2(х) допускают разложения в степенные ряды

то со

и = х3^Ал1 ,(Ао/0), t = x2lDiKi , (D0t 0) i=0 i-0

с радиусами сходимости соответственно R1 и Яг соответственно, Лг < R1 ;

3) ряд для t обратим, и этот обратный ряд равномерно и абсолютно сходится при t [ 0,

Тогда формальное решение (14) с постоянными коэффициентами и. , определенными в предыдущих пунктах этого раздела, сходится к точному при t € [ 0, аг1, аг < af.

Четвертый раздел посвящен решению различных задач механики, математики методами, описанными в предыдущих разделах.

В первых двух пунктах этого раздела исследуется задача Коши для следующего дифференциального уравнения второго порядка с особой точкой:

~ ~ ~ 1 ' ~ 1 ' -О

К. и и и + — К. и - М„ и--М_ и = 0 ; (18)

7U 2 'U d 2

и ( 0 ) = 0 , и ( 0 ) = 0 ; и € Сг((0, 6), R), 6 « 1 ; sgn К1и = sgn, «2 , tffu f 0. Решение этой задачи можно найти известными методами,

оно определяется формулами : /

3 №г 1

и =---+ - /9«02 + 8 1(, К, Г3

I? 7 и

Л

2

М3 2 И3 •С

г = б к. —===- йх

1 и 1 -

Л

ЭН22 +8 И3 К1и X3

/

. 8 Мз к1и _ При--КГ

9 Чг

это решение можно представить в виде

п=1 п=0

Если принять во внимание, что уравнение (18) является частным случаем результатов исследования в четвертом пункте третьего раздела, то решение задачи Коши для этого уравнения можно получить

в виде й = й ( t ). В этом разделе это решение представлено рядом

" - *3/г 2 "зп *Эп/г • п=0

В третьем пункте этого раздела рассматриваются некоторые приложения, являющиеся составной частью одного класса некорректных экстремальных задач. Этот класс задач введен Панченковым А.Н. и подробно исследован им и его учениками. Исследуется задача определения оптимальной формы тела, имеющего минимальное волновое сопротивление в гиперзвуковом невязком потоке при заданных радиусе донного сечения и объеме тела. Здесь лагранжиан Ь задачи (1) определяется формулой

и и3 _ Ь ( и, и ) =-:- + р м ; е > 0, р <? О ,

1 + е2 иг

где е - относительная толщина тела, р - множитель Лагранжа. Граничные условия имеют вид

и ( 0 ) = 0, и ( 1 ) = 1 . Уравнение Эйлера этой задачи имеет две особые точки : - 0 и t0 = 1. Если по формуле (4) введем множество допустимых возмущений

экстремали и переидем к переменным и, и, то получим уравнение вида (8). Для - 0 получено решение типа (14). Характерным для этой особой точки является то, что решения на отрезке

t0 + 61 для е = 0 ( тонкое тело ) и в > 1 ( тело

произвольной толщины ) совпадают. Этот факт является новым для теории оптимальных аэродинамических форм.

В заключении диссертации подводится итог работы, а таюее намечены перспективы дальнейшего исследования введенного автором уравнения.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Святсков В. А. Асимптотическое исследование экстремальной задачи о теле вращения в гиперзвуковом потоке газа на основе уравнений Гамильтона - Якоби. - Чувашский госун-т. - 1985. - Деп. Б ВИНИТИ. - 22.11.85. - Ä 8064 - В.

2. Святсков В.А. Сингулярные решения в экстремальной задаче об осесимметричном теле в гиперзвуковом невязком потоке на основе уравнений Гамильтона - Якоби // Тезисы докладов научной конференции молодых ученых Волго - Вятского региона. - Горький: 1987. С. 45 - 46.

3. Святсков В. А. Уравнение Гамильтона - Якоби в некорректной экстремальной задаче об осесимметричном теле в гиперзвуковом потоке // Асимптотические методы. Задачи механики. - Новосибирск: Наука, 1988. С. 106 - 116.

4. Святсков В.А. Оптимизация осесиметричных тел в гиперзвуковом невязком потоке на основе уравнений Гамильтона - Якоби // Проблемы теоретической кибернетики. Тезисы докладов VIII Всесоюзной конференции / июль 1988 г. / Ч. 2. - Горький: 1988. - С. 103 -104.

5. Святсков В.А. Уравнение Гамильтона - Якоби в некорректной экстремальной задаче об осесимметричном теле в гиперзвуковом потоке газа // Современные проблемы механики жидкости и газа. Тезисы докладов научной школы - конференции. Иркутск: 1988. - С. 79 - 80.

6. Святсков В. А. Исследование достаточных условий экстремума в задаче об осесимметричном теле в гиперзвуковом потоке газа // Гидродинамика и математическая технология. - Горький: Изд-во ГПИ,

1988. - С. 59 - 66.

7. Святсков В. А. Некорректные экстремальные задачи об осесимметричном теле в гиперзвуковом потоке газа // Асимптотические методы в теории систем. - Иркутск: Иркутск, науч. центр СО АН СССР, 1989. - С. 244 - 254.

8. Святсков В. А. Уравнение необходимого условия экстремума некорректных экстремальных задач с нарушенным усиленным условием Лежандра в случае слабой особой точки // Асимптотические методы теории сингулярно - возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач: Тез. докл. Всесоюз. конф., г. Бишкек, 10 - 12 сент. 1991. - Бишкек: Илим, 1991. - С. 95.

9. Святсков В.А. Решение дифференциального уравнения необходимого условия экстремума в случае слабого экстремального погранслоя // Прикладные проблемы теории колебаний. - Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1991. - С.134 - 140.

10. Святсков В. А. Дифференциальное уравнение необходимого условия экстремума в окрестности слабой особой точки // Дифференциальные уравнения с частными производными. - С. - Пб.: Изд-во РГПУ, 1992. - С. 133 - 140.

И. Святсков В. А. Исследование уравнения Якоби для лагранжианов специального вида // Известия вузов. Математика. -1996. - № 4. - С. 81 - 83.

12. Михайлова Т.В., Святсков В.А. Комплексное применение методов вычислительной математики к построению решений сингулярно возмущенных задач // Тезисы докладов на 1-й межвузовской студенческой конференции "Информатика и вычислительная техника в высшей школе". - Чебоксары: Чувашский гос. пединститут, 1996. - С. 28 - 29.

Святсков Виктор Александрович

Исследование дифференциального уравнения необходимого условия экстремума с особой точкой

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 30.12.1996 г.

Формат 60x90/16. Гарнитура Тайме.

Уч.печлистов 0,8.

Тираж 100 экз. Заказ 113.

Отпечатано в издательском центре "РИО".

Тел. 22-20-27. Факс 22-48-60.