Исследование эффектов, связанных с выбором вакуума в моделях статистической физики с фазовыми переходами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ЕРЕВАНСКИЙ ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

на правах рукописи

СААКЯН ДАВИД БАГРАТОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ, СВЯЗАННЫХ С ВЫбОРОМ ВАКУУМА

В МОДЕЛЯХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ С ФАЗОВЫМИ ПЕРЕХОДАМИ

Специальность 01.04.02 - Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических на.ук

Р^б од

1 * Ш011 1993

ЕРЕВАН-1993

Работа выполнена в Ереванском физическом институте

Официальные оппоненты: профессор, доктор физико-математических

наук Э. м. Казарян (ЕрГУ, Ереван) доктор физико-математических наук А. Г. Седракян (ЕрФИ, Ереван) доктор физико-математических наук профессор А. О. Меликян (ЕрШ, Ереван) Ведушая организация: ОИЯИ,Дубна

и ¡и

Защита состоится * "- 1993г. в ——— на

заседании Специализированного совета Д. 034.03.01 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук при Ереванском физическом институте (375036, г.Ереван, ул. Братьев Алиханянов, 2).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотека ЕрФИ. Автореферат разослан " " А-4-1993г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат физ.-мат. наук.

В.А.ШАХБАЗЯН

ОбЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ

Актуальность темы. Спиновые стекла являются одним из самых

сложных и интересных физических объектов. Точно можно решить лишь очень простые модели, и то в приближении среднего поля. Пзризи развил технику проведения расчетов для этих моделей, используя идеи нарушения репличной симметрии. Однако, как физические, так и математические аспекты не ясны окончательно. В обычной статистической физике (а также в евклидовой квантовой теории поля) основной величиной является статистическая суша (амплитуда перехода вакуума в вакуум). Она вычисляется суммированием по всем статистическим переменным.

В спиновых же стеклах переменные бывают двух типов. При фиксированных значениях некоторых переменных (случайные константы связи) вычисляется свободная энергия, затем она усредняется по распределениям констант связи. Лишь последняя величина считается физически наблюдаемой.

Такое деление переменных на два разряда временами приводит к существованию нового физического состояния, к фаз© спинового стекла.

Если обычно в статистических моделях (наг^иу'-ф в ферромагнитной фазе) существуют лишь несколько вакуумов, то в фазе спинового стекла существует множество (экспоненциально большое по объему) вакуумав. В пределе бесконечного объема между вакуумами могут существовать бесконечные барьеры.

Хотелось бы понять глубинную сущность спиновых стекол, уж

очень необычна фаза спинового стекла. В последнее время появилась гипотеза, что состяние струнных моделей в реальных измерениях (л>1) может быть типа спин-стекольного. Это было бы просто примечательно, поскольку эти две (одинаково сложные и важные, по моему мнению) проблемы одинаково не поддаются решению.

В такой обстановке было бы интересно максимально подробно и глубоко изучить простейшие модели, обладающие еще спин-стекольной фазой. Такой является модель Деррида. Если в обычных статфизических моделях спины взаимодействуют парами, то в этой модели - одновременно р штук, где р стремится к бесконечности.

Соурлес выдвинул идею о том, что модель Деррида дает возможность оптимально кодировать информацию (при передаче по непрерывным каналам связи с помехами). Возможна, это связано с уникальным свойством модели Деррида (наблюденной Гроссом и Мезердом), что она точно решает уже при однократном нарушении регомчной симметрии в рамках техники Паризи.

Другими интересными объектами являются матричные модели (от эрмитовых матриц большого порядка к). С их помощью можно описать статфизические модели, в которых суммирование идет не только по спиновым состояниям, но и по решеткам. Оказывается, что такие модели проще решать, чем соответствующие модели на твердых правильных решетках. Суммирование по решеткам • является эквивалентом интегрированию по метрике (квантованию гравитации). Поэтому эти модели соответствуют (в критических

точках) двумерной гравитации с полями материи и на сегодняшний день являются единственными удачными (решенными) примерами струн. В работе рассматривается их статфизический аспект. _________Целью работы является

I. Точное решение обобщенной модели Дзрриг". нахождение условий появления фазы спинового стекла, как при полной связанности, так и при редких связях.

Исследование ферромагнитной фазы модели.

3. Нахождение модификации модели, дающей оптимальную кодировку для заданного шума.

4. Нахождение информационной емкости моделей нейронных сетей (типа спиновых стекол).

5. Изучение скачков асимптотик свободной энергии во время фазовых переходов (сколько свободной энергии тратит система для выбора вакуума).

Научная новизна

Впервые решэрч обобщения модели Дерриды для случая мнопю цветов;

Впервые решены модели Доррвды длг jsrvr.-o ¡-¿¡в взаимодействия.

• Вгорвыв установлен вид гамилътовж •.. ^ ."эр^ -ферромагнитная фаза наступает при минимальной связанности

(при заданном распределен™ констаг:

Впервые решен матричный вариант модели Изинга для решеюл с любым фиксированные родом (вне критической точки).

Научная и практическая ценность работы

Метода и результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы в исследованиях по теории спиновых стекол, оптимальному кодированию, распознаванию образов, в матричных моделях и при изучении фазовых переходов в точно решаемых моделях.

На защиту выносятся следующие основные результаты

1. Модель Деррида с типом взаимодействия решена двумя . способами: приведением к модели случайных энергий и методом •реплик. Вычисленные термодинамические величины совпадают, что говорит о надежности техники Паризи нарушения репличной симметрии в данном конкретном случае. вычисляется также параметр порядка q(X).

2. Для случая Поттсовского типа взаимодействия методом реплик вычислены термодинамические величины и критическая температура, при которой происходит фазовый переход из парамагнитной фазы в фазу спинового стекла.

3. Для случая случайного распределения констант связи на группе г<0) и при слабой связанности вычислены термодинамические функции и критическая температура перехода системы из фазы парамагнетизма в фазу спинового стекла. Вид функции взаимодействия любой. Уравнения среднего поля решаются уже при пбрвом порядке. нарушения репличной симметрии в рамках теории Паризи. Во всех моделях типа Деррида при высоких температурах система находится в парамагнитной фазе. При

снижении температуры (в случае достаточно сильной связанности) до хфитической энтропия исчезает. С этого момента система

переходит в фагу гпиковсго стекла, где свободная энергия

4. Найг.-.: • .•/ >зкя возникновения ферромагнитной фззы в МП ПЯЛЯТ Г ттптепт» ид ПРЯНОСТЬ« для 2 и Поттсовских ТИПОВ

ззаиксдейстзяг. Эти условия совпадают с пределами, у станов. ®ыш1«и '¿онноном для оптимального кодирования в Ж'.трсрызных каналах с ауком.

5. НЭЯДР'НЫ ВЭ^НЯ феррОМаТТГИТНСЙ о квантовой модели Деррида.

6. Для случая асимметричного распределения констант связи на группе гш) найдены условия возникновения ферромагнитной фазы при любой связанности и любом определении энергии взаимодействия. В ферромагнитной Фазе существует полная намагниченность.

Для данного типа распределения констант -зг-м ну гьупгк-2(0) найден г;*д Функции ззаимодействия. .т.;' ■ • -.г к ферромагнитная фаза возникает при минимальной • ччланн>:." :?*■■> соответствует пределу 'Леннона длг. отпималыг:" хг,дк; -; •■ ъ дискретном симметричном каняле п; и \ ;г>й от-""- • -л

8. В приближении сохранения репличной . »жет подучены вырз:нения для максимального число . с •:•. : -м-'

МОДОЛЬ^ нейронной СОТИ С Ц-ЦШТНшМИ ОПИНати. и олнач У - 4

получаем, что можно запомнить до N образов, 1де N - число

Г^ГЦТОП'В ,

9. Рзсскатривается модель типа Деррида для распознавания образов в случае редких связей. Найдена степень связанности, при которой еще возможно распознавание образов.

10. Взшена модель Изинга на случайных динамических решетках с фиксированной топологией вне критической точки. Оказывается, что асимптотическое разложение логарифма статсуммы (по числу узлов)в критической точке терпит скачок на glп2, где g-poд поверхности.

11. Решена та же модель Изинга в магнитном поле. Получены выражения, которые связывают свободную энергию на решетках с любым родом ц.с решением для случая сферы. При исчезновении магнитного поля ниже критической температуры логарифм статсуммы терпит скачок на 1 л2 в случае любого g.

12. Вычислен скачок асимптотики логарифма статсуммы в . одноматричной модели на решетках с топологией тора. Скачок равняется 1п2.

•13. Получены уравнения, позволяющие определить вклад диаграмм разных топологий в одноматричный интеграл по эрмитовым матрицам большого порядка.

14. Предложен предел N = 1 дяя матричных моделей. Решена модель Изинга для этого случая.

15. Вычислен скачок асимптотики логарифма статсуммы в модели типа Деррида для распознавания образов. Ответ оказался 1пМ, где М- число запоминаемых образов, хотя в задаче нет г(М) точной симметрии.

Апробация работа.

Данные, подученные в диссертации, докладывались на теоретических семинарах ЕрФЙ, Института теоретической физики имени Ландау, ФИАН-а, Института теоретической физики (Киев),

■■ г-у-. >. нз Ссзетоко-Американской встрече

• —-«г-». Т091>.-ренормгруи1;а-01

Сбъем и структура работу, Дкс^епташ.': ::Селон™я,

"птотит 131 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНКЕ ДИССЕРТАЦИИ Зс Ввидвууг-' дается обзор современного состояния проблем,

затронутых в диссертации, обсуждается их актуальность, формируются задачи исследования.

т тт?св«и«ка изучения парамагнитных и спинтстекольных

о' пр;пп!мают ун-т-те пня н:: «ькрзтных корнях еаикищ, з. 1 - комплексные случайные константы с гпуссовским

гик. 1 Улзш» звгязчея как приведением к модели случайных энергии, так и юхнакоа Пзрязи.

При высоких температурах система находится в парамагнитной

фазе. При понижению* температуры до критической исчезав' энтропия и система переходит в 'фазу спинового стекла с однократным нарушением репличной симметрии.

Во 2-ом параграфе решается аналогичная задача с поттсовским типом взаимодействия.

В 3-ем параграфе решается вариант модели, когда в гамильтониане берутся не все совокупности индексов (^, -. , г всего лишь г=си из них, выбранных случайно. Замороженные константы л распределены равномерно и принимают значения, как V б., а энергия взаимодействия имеет вид еГт с.____е. 1,

где Е-любая функция. Найдено решение модели при любом с и выборе функции е.

В 4-ом параграфе найдено решение квантового варианта модели с ассимметричным распределением констант связи.

Во Второй главе изучаются ферромагнитная фаза модели

Деррвды и его применения к задачам оптимального кодирования и распознованию образов. Сюда вошли параграфы 5-10.

В 5-ом параграфе найдено решение модели из параграфа I для случая асимметричнах констант связи. Условие возникновения ферромагнитной фазы соответствует условию Шеннона для оптимального кодирования во время передачи сообщений по непрерывному каналу с сильным шумом.

В 8-ом параграфе найдено решение модели с поттсовским взаимодействием в случае дискретных констант связи с симэтричным распределением и в случае слабой связанности.

ю

В 7-ом параграфе аналогичная задача решается для общего случая энергии взаимодействия и распределения констант связи. Установлена фазовая структура системы, и условия перехода парамагнитной, спин-стекольной и ферромагнитной фаз др.уг в

друга. "Две "первые" фазы "такие же", ~кзк- в - случае - симметричного--------------------

распределения констант связи. Ферромагнитная же фаза возникает при увеличении связанности или аешметрии констянт связи.

Если дискретные константы на своих значениях е..ви2пи/а> имеют вероятность pí , тс в случае выбора энергии взаимодейстивия (в точке е;р( г2лк/о >) следующим образом:

Е = 1 п <р > - У 'п'£у' л о

ферромагнитная фаза в системе возникает самым экономным образом (при минимальном

г а .

тпо то + ^ Рк1пФк>]

Это соответствует пределу оптимального кодирования Шеннона

симметричных каналов, ¡»л осрззок. получается, что в модели Дерриды наиболее г*.:мал связь ;,:с.;кду ■ структурап вакуума и константами связи. Зиять '"словил возникновения ^ягро^.агннтной фазы соответствует иптиглальното кодирования. Е З-о;,: параграфе аналогичный результат шлучен для случая коррелированных каналов связи. Опять условие возникновения

солирования.

В 9-ом параграфе рассматривается модель нейрЬнной сети с

взаимодействием типа Дзррвды для распознавния образов. Информационная емкость оказывается меньше максимально возможной ( в отличие от случая оптимального кодирования) уже для двух образов.

3 10-ом параграфе в приближении сохранения репличноа симметрии вычисляется максимальное количество образов, которое можно распознавать N о -значными спинами с парным взаимодействием. Для случая о=4 получаем, что это число равняется N.

В Третьей главе рассматривается скачок асимптотики

свободной энергии при прохождении через точку фазового перехода. Сюда вошли параграфы 11-16.

В 11-ом параграфе вычисляется статсумма модели Изинга на случайных динамических решетках (даухматричная модель) с любым фиксированным родом поверхности вне критической точки.

Если нас интересует асимптотическое значение логарифма свободной энергии, то оказывается, что можно . получить одно дифференциальное уравнение для соответствующих реккурентных констант.

Если представить асимптотическое разложение логарифма статс.уммы в виде

1п1 С Т.М) = 1 ГТ>М 1 1пМ +■ í Г Т > +0(1)

О 12'

где N - число .узлов решетки, то в точке фазового перехода т член *,<т) терпит скачок на иде о-род поверхности.

При охлаждении системы ниже *т/ появляется макроскопический порядок 1п2 и для этого система тратиг свободную энергию

Тса1п2. этот скачок асимпотики свободной энергии можно трактовать как его трату для выбора вакуума.

В 12-ом параграфе аналогичная задача решается для случая модели в магнитном поле. Оказывается, что при занулении магнитного поля при температурах ниже фчзоваго перехода асимптотическое значение статсуммы получается вдвое меньше дая решеток с любым фиксированным родом поверхности.

В 13-ом параграфе рассматривается одномзтричная модель (описывает сингулярность Ли-Янга в точке перехода). Для случая топологии тора получается опять разрыв 1п2 в асимптотике логарифма статсуммы.

В 14-ом параграфе рассматривается распределение диаграмм одноматричного интеграла по топологиям диаграмм. Найдены уравнения для вкладов диаграмм с разными топологиями.

В 15-ом параграфе рассматривается простой (N=1) предел яатричных моделей. Решается модель Изинга для этого случая.

В 18-ом параграфе рассматривается модель нейронной сети ода распознавания образов с взаимодваствмзм как в модели Церрида. Оказывается, что система тратит при распознавании збразов свободную энергию пропорционально шн.

В заключение приведены основные результаты диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих заботах:

: Саакян Д. Б., Теор. мат. физ.,73, (1887), 141.

Модель Деррида при произвольном спине.

!. А. А. СМ-Ипвагуап, N. 0. Юшйоуап, Б. В. БаЬакуап,

G. Z. Zazyan, Preprint XEHPH-992(42)-87

Recognition or correlated patterns with spin-glass Ilk-models.

3. Саакян Д.Б., Письма ъ 8ЭТФ 52 (1990), 717

Об энтропии выбора вакуума во время фазовых переходов.

4. D. В. Sahakyan, Phys Lett. 263В (1991) п. 3

Solution of Ising model on random surfaces of an arbitraty genus outside the critical point.

5. D. B. Sahakyan, Preprint YERPHI-1319 (14) - 91,

On the waste of free energy for the choice of vacuum under phase transition.

6. Саакян Д. Б. Препринт EMf-I334<29)-9I

Об одном простом пределе матричных моделей.

7. Sahakyan D. В. Europhys. Lett. 16 (1991), 597

"Optimal Codes for Shannon Noisy Channels and Random Ener$ Model for arbitrary number of colours".

8. Саакян Д. Б. ЮТФ 100, (1991) н. 1

Решниэ модели Дерриды'при произвольном значении числа цветов и при несимметричном распределении констант связи

9. Sahakyan D. В., Modern Phys Lett 7А (1992) п.1

On the behaviour of statistical sum of a model with Lee-Yang singularity near critical point.

10. Саакян Д. Б., Шагоян Р. М. ЯФ 55 (1992), 278

О распределении вклада диаграмм одноматричного интеграла от эрмитовых матриц большого порядка по топологиям.

11. Саакян Д. Б., Письма ЖЭТФ 55,(1992) н.2, "Решение «одели

Дерриды с редкими связями, асимметричным распределение констант связи и кодирование.

12. Саакян Д.Б., Письма в ЖЭТФ 56 (1992) н.9 Распознавание образов с помощью модели Дерриды.

13. Саакян Д. Б. ТМФ, 94(1993) н.1 Мщение квантовой модели Деррида

14. Саакян Д. Б.,ТМФ 96(1993).

Решение модели Дерриды с редкими связями.

15. Саакян Д. Б., Шагоян Р. М., ЖЭТФ 103 <1993) н.З Максимальная емкость нейронной сети с четырехцветными спинами для некоррелированных образов.

Техни чес кий _£еда кто]э_А ;_С^Аб£амя н____________________

Подписано в печать Ю. 02. 93 Формат 80я84.к16

Офсетная печать. Тираж 110 экз. Зак. тип N ^76

Отпечатано в Ереванском физическом институте Ереван 36. ул. Бр. Алиханьян 2