Внутренние симметрии в статистической механике адронных и кварк-глюонных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА КВАНТОШХ СИСТЕМ С

ВНУТРЕННЕЙ СИММЕТРИЕЙ.

§ I.I.Статистическая суша бесцветной системы цветных кварков и глюонов.

§ 1.2.Статистическая механика квантовых систем с внутренними симметриями

§ 1,3.Функции распределения в квантовых статистических системах с внутренней симметрией

Глава 2. ЭФФЕКТЫ КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА В ТЕШОДИНАМИКЕ

КВАРК-ГЛЮОННЫХ СИСТЕМ НА РЕШЕТКЕ

§ 2.1.Проблема нулевых мод в решеточной термодинамике безмассовых полей.

§ 2,2.Эффекты конечных размеров решетки в низкотемперату рной термодинамике калибровочных полей

§ 2.3.Эффекты конечных размеров в термодинамике бесцветных янг-миллсовских систем на решетке

Глава 3. РОЛЬ ВНУТРЕННИХ СИММЕТРИИ В ТОЧНО РЕШЕШХ МОДЕЛЯХ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ СИЛЬНО

ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ МАТЕРИИ.

§ 3.1«Внутренние симметрии в проблеме фазового перехода деконфайнмента.

§ 3.2.Фазовый переход деконфайнмента в барионной системе бесцветных кварк-глюонных мешков.

Развитие статистического описания адронной материи на протяжении своей сейчас уже довольно длительной истории прошло очень своеобразный путь. До самого недавнего времени оно было связано с решением двух фундаментальных задач - с одной стороны, с построением статистической теории адронного газа, т.е. вычислением статистической суммы систем сильновзаимодействутощих частиц, а с другой стороны, со статистическим описанием процессов множественного рождения адронов [Д] • Ясно, что задачи эти - взаимосвязаны, и принципиально невозможно было решить одну из них, не решив другой, поскольку сама статистическая сумма системы адронов существенно зависит от характеристик процессов рассеяния, которые в свою очередь необходимо описывать на основе знания статистической суммы. Подобная ситуация требовала с необходимостью рассмотрения обеих задач одновременно и введения при этом определенных требований самосогласованности 12]. Появление квантовой хромодинамики (КХД) -теоретико-полевой схемы, в которой сильные взаимодействия описываются на языве цветных кварков и глюонов L33 , существенно изменило проблемы построения статистической теории адронной материи, прежде всего значительно уменьшив в них феноменологический элемент.

Как и квантовая электродинамика (КЭД), КХД является локально калибровочно инвариантной теорией. Однако, поскольку вместо абеле-вой группы 1Ж) в основе КХД лежит неабелева калибровочная группа SU(3) , эта теория имеет целый ряд принципиальных отличий от КЭД. Так, в отличие от фотонов калибровочные бозоны 01/(3) - глюоны - оказываются заряженными. При этом в КХД появляется самодействие калибровочных бозонов. Если в КЭД виртуальные пары экранируют заряд, то в КХД имеет место асимптотическая свобода [4,5] и говорят об антиэкранировании. Особо важную роль играют в КХД непертурбативные эффекты.

Лагранжиан КХД имеет вид

Здесь напряженность глюонного поля определяется выражением где верхние индексы Q, с = ^ 8 у F^ и полевой переменной А^ нумеруют генераторы Я?; группы $1/(3) , F - ароматы кварков. Теория параметризуется безразмерной константой взаимодействия Cj и массовыми параметрами кварков пг\г .

Сейчас, по-видимому, уже поти никто не сомневается в том, что кварки и глюоны существуют. Они - почти безмассовые, но очень тяжело или даже совсем невозможно выбить их из адрона. Считается, что это странное состояние дел имеет место благодаря свойствам физического вакуумного состояния в том виде, как оно сейчас существует в нашей части Вселенной* С этой точки зрения основное состояние вакуума не является состоянием, подобным вакууму КЭД. Там оно является в основном пустым пространством, в котором в качестве возмущений возникают флуктуации, приводящие иногда к появлению электрон-позитронной пары; В КХД глюонное самодействие приводит к состоянию, которое не может быть описано как возмущение пустого пространства. Вместо этого физический вакуум имеет свойства, которые напоминают свойства физической среды. Нацример. цветное поле полностью исключается или, по крайней мере, сильно выталкивается из физического вакуума. Этот эффект удерживает кварки и глюоны, которые несут цвет, внутри адрона, где создается локальный объем пространства, которое ведет себя очень похоже на пертурбативное вакуумное состояние. Другими словами, локальное присутствие цветных зарядов расплавляет физический вакуум в пертурбативный. Бесцветная же система цветных кварков и глюонов таким свойством не обладает и удерживается давлением В физического вакуума (см.,например, [6] ). Такая идея лежит в основе известной модели мешков [7] . Здесь давление газа кварков и глюонов уравновешивается вакуумным давлением, которое вводится как феноменологический параметр модели. Вакуум внутри мешка - пертур-бативный. И, используя стандартные методы статистической физики Г8-103 , такую систему можно исследовать обычным образом.

Наряду с динамической частью проблемы конфайнмента можно попытаться выделить чисто теоретико-групповую ее часть. Речь идет о бесцветности физических состояний кварк-глюонных систем. В свете изучения теоретико-групповой части проблемы конфайнмента возникает вопрос, какую роль играет принцип бесцветности в удержании и освобождении кварков. Абстрагируясь от динамических механизмов, обеспечивающих бесцветность кварк-глюонных систем, будем стартовать непосредственно с принципа бесцветности. По-видимому, это обеспечит нам, по крайней мере, частичный учет непертурба-тивных вкладов теории и позволит понять, какое влияние оказывают эти непертурбативные эффекты на статистические свойства не только хромоплазмы, но вообще сильновзаимодействующей материи.

Простейшим примером, иллюстрирующим предлагаемый подход будут следующие соображения. Центральным моментом любого статистического рассмотрения является вычисление статистической суммы -шпура по полному набору собственных состояний гамильтониана системы. Однако физическими состояниями, в соответствии с принципом бесцветности, могут быть только состояния системы, преобразующиеся как синглет группы SITC3) • Отбор бесцветных состояний при использовании теоретиковозмущенческих методов необходимо произвести дополнительно в процессе вычисления шпура, В точной теории он должен происходить автоматически. Но механизмы, обеспечивающие такой отбор, относятся уже к динамической части проблемы конфайнмента, от которой мы абстрагируемся. Таким образом, возникает задача научиться выделять из статистических характеристик системы вклады, соответствующие ее состояниям, преобразующимся как заданные представления группы £U~(A/C) цвета. Другими словами, речь идет о проектировании статистических характеристик квантовой системы цветных кварков и глюонов на заданное представление цветовой группы $V(A/J , которое мы проведем в первой главе.

Понятно, что такая задача, впервые сформулированная в [II] для кварк-глюонной плазмы в приближении больцмановской статистики, представляет собой часть более общей задачи. Речь идет о проектировании статистических свойств квантовой системы на заданные зарядовые состояния представлений группы SX/CN) . Интерес к такой технике вполне естественен. Действительно, в ряде случаев в физике сшЕьновзаимодействующей материи рассматриваются системы, возникшие в результате неупругих соударений элементарных частиц. Такая система в целом, естественно, обладает квантовыми числами порождающих ее сталикивающихся объектов. Т.е. эта система в изотопическом, цветовом или ароматическом пространстве ведет себя как известное зарядовое состояние соответствующего представления группы изоспина, цвета или аромата. Естественно, что учет симметрии, которыми обладает квантовая система кварков и глюонов (или адронов) приведет к некоторым поправкам, которые могут серьезно изменить термодинамические характеристики такой системы. Как мы увидим в главе 1,эти поправки носят характер поправок конечного размера.

Одним из наиболее интересных и перспективных методов непер-турбативных вычислений в настоящее время является метод монте-карловских расчетов на решетке. Этот метод представляет собой численную реализацию функциональной формулировки квантовой теории поля. Такой подход дает возможность получать физические результаты непосредственно из лагранжиана КХД без привлечения дополнительных гипотез. Этот метод был разработан и впервые применен для проблемы конфайнмента [121 .

Применение этого подхода к температурной квантовой теории калибровочных полей основывается на решеточной аппроксимации функциональной формулировки этой теории. При этом статистическая сумма квантовополевой системы объема V при температуре Т=1//2> записывается в виде [13!

ЖЪ = (в.З) где ^ - евклидова плотность лагранжиана, it — и на поле наложены периодические граничные условия в температурном направлении: /lyu^t) = А^С?, T+fi) . Следующим шагом [143 в пространстве вводится 4-мерная решетка с /t^3* А^ узлами и постоянными QC1 ад в пространственных и температурном направлении, соответственно. При этом поле заменяется элементом калибровочной группы

Vcj = ^х/э {- с (*<• - Х;)% СС Ъ*Гу)/г)} (В.4)

Как и, А^ССхс+^/г) » Tfjj ассоциируется с ребром решетки, лежащим между узлами с и j . Статистическая сумма теперь имеет вид

В, 5) ад J где решеточное действие дается выражением

S(V)=f{f Z.U - * ReTr^. сеи<Л в.б)

Здесь в первом слагаемом суммирование ведется только по пространственным плакеткам с, а во втором - по плакеткам, имеющим два ребра в температурном и два в пространственном направлениях. Таким образом, вычисление статистических характеристик сильновзаимодействующей материи может быть осуществлено в соответствии с формулой

У>=Гп JV&6WXcvi/SnJV&-SCM (В. 7) методом Монте Карло.

Поскольку функциональный интеграл представляет собой предел его решеточной аппроксимации, есть основания ожидать, что дискретизация при не слишком малых Д/^ и хотя и приведет к расхождению с непрерывным пределом, но не изменит результат качественно» Отклонение результата решеточной аппроксимации от непрерывного предела связано с эффектами конечного размера, которые играют важную роль в интерпретации результатов "численного эксперимента". Изучению этих эффектов посвящена глава П.

Важность изучения эффектов конечного размера связана не только с тем, что,наряду со статистическими ошибками, они представляют собой один из источников ошибок "численного эксперимента". Дело в том, что результаты, полученные на решетках с разными Л^ и ^ , отличаются (т.е. зависят от параметров решетки). И исследование эффектов конечного размера является важным моментом в согласовании между собой результатов монте-карловских расчетов, полученных на решетках разного размера.

Для оценки эффектов конечного размера в работе С15] было предложено воспользоваться моделью свободного безмассового скалярного поля. При этом характеристики модельной системы в решеточной аппроксимации могут быть вычислены точно. Отношение решеточной плотности энергии, например, к ее непрерывному пределу (закон Стефана-Больцмана), выраженному через параметры решетки, дает безразмерные коэффициенты у C^, ffo ) • Эти коэффициенты содержат информацию об эффектах конечного размера решетки. Нормируя результат "численного эксперимента" на коэффициент, соответствующий используемой решетке, можно устранить эффекты конечного размера решетки [153 . Естественно, что такая аппроксимация оправдана только в области достаточно высоких температур. Однако. использование точно решаемых моделей, аппроксимирующих физические свойства адронной или кварк-глюонной системы, для оценки эффектов конечного размера имеет, по-видимому, более широкую область применения. Использование таких моделей для согласования результатов монте-карловских расчетов на решетках разного размера рассматривается во второй главе.

Метод численных расчетов на решетке связан также с целым рядом серьезных как теоретических, так и чисто технических трудностей, Однако всего за несколько лет, прошедших с появления первых результатов, этот метод привел к ряду интересных достижений. По-видимому, наиболее важные из них связаны с проблемой декон-файнмента. Таким достижением стало открытие фазового перехода в S 1Г(2) и S'!/(3) глюодинамике [16,171 при температуре Тс — 200 МэВ. При этом обнаружилось, что поведение высокотемпературной фазы отличается от поведения идеального газа кварков и глюо-нов. (Поправки теории возмущений в этой области уже сильно подавлены из-за высокой температуры). Но, как впервые было показано в работах [11,181 , как в случае классической, так и квантовой статистики поведение бесцветных систем цветных кварков и глюонов отличается от поведения идеального газа на поправку конечного размера. Газ глюонов на решетке в работах [16,17] представляет собой именно бесцветную систему цветных глюонов в конечном объеме. Естественно предположить, что поправка, обнаруженная в"численном эксперименте", связана именно с внутренней симметрией глюонных систем. Учет цветовых симметрии в эффектах конечного размера решетки рассматривается в главе П.

Важную роль в исследовании свойств сильновзаимодействующей материи при высоких температурах сыграли исследования, основанные на модельных представлениях. Одной из первых в этом направлении была работа Хагедорна CI9] . В этой работе на основе гипотезы статистического бутстрапа было показано, что спектр адронных состояний экспоненциально растет с массой

Г(т) ъСгп*<г*рС£т) (В.8)

Оо и указывалось на наличие в такой модели некой предельной температуры, выше которой адронная материя не может существовать.Существование такой температуры в рамках кварковой модели адронов указывает С20] на то, что выше некоторой критической температуры кварки освобождаются.

Достаточно убедительные аргументы в пользу существования фазового перехода деконфайнмента при высоких температурах были получены в рамках решеточных калибровочных моделей [21,221 . Если учесть, что в моделях такого типа ранее удалось получить указания на существование конфайнмента в К1Д [14,23] (при низких температурах), - предсказания фазового перехода в сильновзаимо-действующей материи с ростом температуры (плотности энергии) выглядят весьма убедительна.

Таким образом, различные модельные подходы свидетельствуют в пользу того, что при некоторой критической температуре сильно-взаимодействующая материя претерпевает фазовый переход. При этом образуется новое агрегатное состояние материи - кварк-глюонная плазма, удерживаемая давлением физического вакуума. Статистическая сумма такой кварк-глюонной системы состоит из трех частей. Газ квазибезмассовых кварков вносит в статсумму вклад en z ^(т, я) - i^fw- * (4- тпг) J (В.9) с точностью до первого порядка по эффективной константе взаимодействия oi с . Здесь

- параметр вырождения и Я - фугативность, связанная с разностью чисел кварков и антикварков.

Вклад глюонов дается выражением СЮ] в.ю)

Наконец, учитывая вклад физического вакуума (по отношению к пер-турбативному, в рамках которого получены формулы (В.9),(В.Ю) в виде статистическую сумму хромоплазмы обычно записывают в виде в.ii)

I* Z = е* * Щ & Z^ ® .12)

Зная статистическую сумму кварк-глюонной плазмы, можем получить ее термодинамические характеристики.

Говоря об адронах, как о кварк-глюонных мешках (мешках,наполненных хромоплазмой, которую удерживает физический вакуум),и, рассматривая адронную матери:, как систему мешков, мы можем обсуждать поведение сильновзаимодействующей материи при высоких температурах. В качестве простого приближения естественно воспользоваться приближением неидеального газа. С ростом температуры растет давление конституентов каждого мешка. Однако, наряду с этим растет и давление газа мешков, эффективно усиливающее вакуумное давление. Сравнивая поведение вакуумного давления и давления газа мешков с давлением хром#плазмы в мешке, мы можем исследовать вопрос о фазовом переходе деконфайнмента в сильно-взаимодействующей материи (глава Ш) •

Сущность такого фазового перехода будет заключаться в том, что,если давление газа мешков растет недостаточно быстро по сравнению с давлением хромоплазмы при некоторой критической температуре Тс , кварки коллективизируются в один макроскопический по сравнению с адронным масштабом мешок. Удерживаемая одним только вакуумным давлением в хромоплазма будет расширяться, расплавляя физический вакуум КХД. При этом кварки получают возможность двигаться свободно в макроскопических масштабах. Другими словами, произойдет дековфайнмент.

Точно решаемая статистическая модель фазового перехода деконфайнмента, реализующая такую картину, впервые была сформулирована в работах [24,251 • В этой модели сильновзаимодействующая материя рассматривается,как газ кварк-глюонных мешков. Взаимодействие мешков учитывается введением спектра состояний мешка. При этом удается показать, что модель допускает точное решение и позволяет математически корректно описать фазовый переход деконфайнмента. Фазовый переход с ростом температуры (плотности энергии) возникает в модели естественным образом. Вопрос о его наличии и типе определяется предэкспоненциальными функциями в спектре типа (В.8). Уже в работе [251 было высказано предположение, что учет бесцветности кварк-глюонных мешков приведет к получению спектра, обеспечивающего фазовый переход в данной модели. Дальнейшее развитие этой модели и анализ принципа бесцветности кварк-глюонных мешков, его роли в проблеме деконфайнмента, рассматривается в главе Ш.

В природе условия, способные породить хромоплазму в макроскопических по сравнению с нуклонными масштабах,являются достаточно экзотическими. Такие условия могли возникать в первые —5

10 секунды существования Вселенной, В настоящее время они,по-видимому, могут реализоваться внутри массивных нейтронных звезд, где плотность энергии и барионного числа достаточно высоки.Здесь хромоплазма, удерживаемая давлением адронной материи в мощном гравитационном поле, возможно, существует стационарно.

В последнее время огромный интерес вызывают планирующиеся эксперименты по глубоконеупругим соударениям тяжелых ионов, в которых ожидается создание условий, достаточных для формирования хромоплазмы. Макромешки, которые могут возникнуть в таких столкновениях на короткий промежуток времени, в результате быстрого расширения немедленно остынут и адронизируются. Однако характер адронизации (фазовый переход) оставит след в спектрах разлетающихся адронов. Извлечь из этих спектров информацию о хромоплазме, выяснить однозначный сигнал о ее возникновении - представляется одной из важнейших задач современной физики.

Сформулируем кратко основное содержание диссертации по главам.

В первой главе изучается термодинамика хромоплазмы как бесцветного газа асимптотики свободных цветовых кварков и глюонов. Исследуется роль поправок к термодинамическим характеристикам системы, связанных с требованием бесцветности системы. Разрабатывается техника проекционных операторов в статистической механике квантовых систем с S&CM) группой внутренней симметрии. Рассматриваются системы в фиксированном зарядовом состоянии различных представлений группы BVW . Обсуждаются физические приложения такой техники.

Во второй главе мы рассмотрим точно решаемые модели квантовой теории поля на евклидовой решетке. Использование таких моделей для исследования эффектов конечного размера решетки проводится как при высоких, так и при низких температурах. Исследуется роль нулевых мод и внутренних симметрий в решеточных моделях и их вклад в коэффициенты, характеризующие эффекты конечного размера. Эти коэффициенты используются для согласования результатов численного эксперимента, полученных на решетках различного размера.

В третьей главе рассматривается точно решаемая статистическая модель фазового перехода деконфайнмента в сильновзаимодей-ствующей материи. Вычисляется плотность состояний кварк-глюонных мешков. Формулируется обобщение рассматриваемой модели на реалистическую ситуацию ненулевых барионных чисел. Показывается, что учет бесцветности кварк-глюонных мешков является критическим условием в вопросе о фазовом переходе деконфайнмента.

Основные результаты, полученные в диссертацииняой работе, состоят в следующем:

1. Изучены эффекты внутренних симметрий в статистической физике квантовых газов. Показано, что исследование этих эффектов в квантовых статистических системах возможно на основе единого метода, сочетающего формализм вторичного квантования с техникой проекционных операторов.

2. Впервые рассмотрен квантовый газ цветных кварков и глюонов с учетом дополнительного требования бесцветности. Построена статистическая сумма такой системы, порчены ее термодинамические характеристики и исследовано влияние на них этого требования.

3. На примере квантового газа пионов впервые показано, что требование изотопической симметрии может привести к различным.изменениям распределений по энергиям для частиц разных зарядов. В частности, одним из следствий такой модификации функций распределения является то, что из конечной системы нейтральные пионы могут уносить более, чем одну третью часть энергии.

4. Рассмотрена плотность энергии свободного массивного бозе-поля в решеточной термодинамике. Изучены отклонения от континуального предела как за счет конечности объема, так и из-за чисто решеточных эффектов. Обнаружен значительный рост решеточных поправок в области малых (по сравнению с массой поля) температур и отмечена их роль в оценке массы глюбола.

5. Рассмотрена плотность энергии свободного безмассового бозе-поля на решетке. Изучена роль нулевых мод в эффектах конечных размеров решетки. Получены коэффициенты, характеризующие эти эффекты, которые позволяют значительно улучшить согласие между собой результатов монте-карловских расчетов в термодинамике полей Янга-Миллса.

6. Впервые вычислены поправки, возникающие из-за требования синглетности допустимых состояний полевой системы с SV(2) цветовой группой в решеточной термодинамике. Порченные результаты позволяют практически полностью согласовать между собой расчеты термодинамических характеристик глюонных полей на решетках различного размера.

7. Впервые найдена плотность числа состояний бесцветных кварк-глюонных мешков. Этот результат использован для вычисления статистической суммы точно решаемой модели газа мешков. Доказано, что требование бесцветности мешков оказывает решающее влияние на возможность фазового перехода первого рода между адронной и кварк-глюонной материей.

8. В связи с тем, что формирование кварк-глюонной плазмы ожидается в релятивистских соударениях тяжелых ионов, построена статистическая модель сильновзаимодействующей материи, трактующая ее как барионную систему кварк-глюонных мешков. Впервые найден спектр бесцветных мешков с барионным зарядом. Показано, что в переменных плотность барионного числа - температура кривая фазового перехода деконфайнмента переходит в полосу, соответствующую сосуществованию адронной и кварк-глюонной фаз.

В заключение считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность моим научным руководителям Г.М.Зиновьеву и М.И.Горенштейну за постоянное внимание, научную помощь и сотрудничество в течение всего времени работы над диссертацией.

Мне хотелось бы поблагодарить члена-корреспондента АН УССР В.П.Шелеста за внимание и поддержку.

Научное общение и сотрудничество с О.А.Могилевским,В.П.Петровым и А.С.Сориным было для меня очень полезным и я приношу им свою благодарность.

Я благодарен всем сотрудникам проблемной лаборатории Физики Высоких Плотностей Энергии ИТФ АН УССР за дружескую, творческую и в то же время критическую научную атмосферу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, мы рассмотрели роль внутренних симметрий в статистической механике адронных и кварк-глюонных систем» При этом было показано, что все эти результаты могут быть получены в рамках единого формализма (см.§§ 1.2-1,3), частным случаем которого является техника, предложенная не так давно в [27,28] и в настоящее время довольно широко используемая. Показано, что эффекты, связанные с учетом внутренних симметрий системы, носят характер эффектов конечного размера.

В настоящее время все большую роль при изучении сильновзаи-модействующей материи начинают играть методы численных вычислений в К2Д [63-66] . С помощью монте-карловских расчетов на решетке удалось получить ряд важных результатов в температурной КХД, избегая вынужденного разделения эффектов этой теории на пертурбативные и непертурбативные. Однако такие расчеты мохут проводиться лишь на конечных решетках (причем, довольно малого размера). Естественно, поэтому,было изучить роль внутренних симметрий в таких расчетах. Мы показали, что эффекты конечных размеров решетки могут быть практически полностью устранены из результатов численного эксперимента (что позволяет унифицировать результаты, полученные на решетках разного размера) при исследовании высокотемпературной фазы кварк-глюонной материи. Полученные результаты позволяют также существенно продвинуться в интерпретации результатов численного исследования низкотемпературной фазы.

По-видимому, наиболее интересную роль внутренние симметрии играют в статистических моделях сильновзаимодействующей материи.

Так, мы показали, что в рамках моделей газа кварк-глюонных мешков бесцветность этих мешков играет решающую роль в вопросе о фазовом переходе деконфайнмента. При этом дековфайнмент оказывается фазовым переходом первого рода.

1. Hagedorn R. How we got to QCD matter from the hadron side by trial and error.- Preprint CERN-TH.3918/84, Geneva, 1984. -24p.

2. Fritzsch H«, Gell-Mann M., Leutwyler H. Advanteges of the color octet gluon picture.-Phys.Lett.B, 1973, v.47,N4,p.365-368.

3. Gross D.J., Wilczek F. Ultraviolet behaviour of non-Abelian gauge theories.-Phys.Rev.Lett., 1973, v.30, N26, p.1346-1349.5* Politzer H.D. Reliable perturbative results for strong interact ions .-Phys .Rev.Lett., 1973, v.30, N26, p.1343-1346.

4. Rafelski J. Formation and observation of the quark-gluon plasma.-Phys.Rep., 1982, v.88, N5, p.331-348.

5. Johnson K. The M.I.T. bag model.-Acta Phys.Pol.B, 1975, v.6, N6, p.865-892.

6. Morley P.D., Kislinger M.B. Relativistic many-body theory, quantum chromodynamics and neutron star/supernova.-Phys.Rep., 1979, v.51, N2, p.63-110.

7. Kapusta J.I. Quantum chromodynamics at high temperature.-Hucl.Phys.B, 1979, v.148, H3/4, p.461-498.

8. Rafelski J., Hagedorn R. Prom hadron gas to quark-gluon matter II, p.253-272 in : Thermodynamics of quarks and hadrons, ed. Satz H., Amsterdam: North-Holland, 1981.-479p.

9. Gorenstein M.I., Mogilevsky O.A., Petrov V.K., Zinovo'ev G.M. On the colourless partition function of quark-gluon gas with SU(N„)-colour.-Z.Phys.C, 1983, v.18, 1Г1, p.13-18.С

10. Creutz Ш. Monte Carlo study of quantized SU(2) gauge theory. -Phys.Rev.D, 1980, v.21, H8, p.2308-2315.

11. Bernard G. Feynman rules for gauge theories at finite temperatures. -Phys .Rev .D, 1974, v.9, N12, p.3312-3319.

12. Wilson K.G. Confinement of quarks.-Phys.Rev.D, 1974, v.10, 18, p.2445-2459

13. Engels J., Karsch P., Satz H. Finite size effects in Euclidean lattice thermodynamics for non-interacting Bose and Fermi systems.-Hucl.Phys.B, 1982, v.205 FS5, N2, p.239-252.

14. Creutz M. Asymptotic freedom scales.-Phys.Rev.Lett., 1980, v.45, 15, p.313-316.

15. Bhanot G., Rebbi C. SU(2) string tension, glueball mass and interquark potential by Monte Carlo computation.-Hucl.Phys. B, 1981, v.180 FS2, КЗ, p.469-482.

16. Gorenstein M.I., Lipskikh S.I., Petrov V.K., Zinovjjev G.M. The colourlessness partition function of the quantum quark-gluon gas.-Phys.Lett.B, 1983, v.123, П6, p.437-440.19

17. Hagedorn R. Statistical thermodynamics of strong interactions at high energies.-Huovo.Cim.Suppl., 1965, v.3, H2, p.147-186.

18. Cabbibo П., Parisi G. Exponential hadronic spectrum and quark liberation.-Phys.Lett.B, 1975, v.59, Fl, p.67-69.

19. Polyakov A.M. Thermal properties of gauge fields and quark liberation.-Phys.Lett.B, 1978, v.72, N4, p.477-480.

20. Susskind L. Lattice models of quark confinement at high temperatures .-Phys .Rev .D, 1979, v.20, H10, p.2610-2618.

21. Kogut J., Susskind L. Hamilton formulation of Wilson's lattice gauge theories.-Phys.Rev.D, 1975, v.11, N2, p.395-408.

22. Gorenstein M.I., Petrov V.K., Zinovjev G.M. Phase transition in the hadron gas model.-Phys.Lett.B, 1981, v.106, 114, p.327-330.

23. Горенштейн М.И., Зиновьев Г.М., Петров B.K., Шелест В.П. Точно решаемая модель фазового перехода между адронной и кварк** глюонной материей. ТМФ, 1982, т.52, № 3, с.346-362.

24. Willis W., ed. Very high energy collisions of nuclei.-Reprint for the Bielefeld workshop on quark matter formation and heavy ion collisions, CERN, Geneva,1982.

25. Turko L. Quantum gases with internal symmetry.-Phys.Lett.B, 1981, v.104, 112, p.153-157.

26. Redlich E., Turko L. Phase transition in hadronic matter with internal symmetry.-Z.Phys.C, 1980, v.5, ШЗ, p.20lr*2,11.

27. Еёлобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. -М.: Наука, 1970. 664 с.

28. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.1. М.: Наука, 1981. 798 с.

29. Anishetty R., Kochler P., McLerran L. Central collisions between heavy nuclei at extremely high energies: the fragmentation region.-Phys.Rev.D, 1980, v.22, Ж11, p.2793-2804.

30. Cerulus P. Closed formulae for the statistical weights.-Nuovo Cim., 1961, v.19, Ю, p.528-536.

31. Kripfganz J. Quantum statistics and isospin invariance.-Nucl.Phys.B, 1975, v.100, H2, p.302-312. /

32. Chaichian M., Hagedorn R., Hayashi M. Ideal relativistic quantum gas and invariant phase space.-Hucl.Phys.B, 1975, v.92, N3, p.445-468.

33. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Статистическая физика, ч.1. -Теоретическая физика, т.5, М.: Наука, 1976. 584 с.

34. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Статистическая физика, ч.2. -Теоретическая физика, т.9, М.: Наука, 1978. 448 с.

35. Muller В., Rafelski J. Role of internal symmetry in PP annihilation.-Preprint UFTP 75/1982, Frankfurt am Main,1982.-1Op.

36. Липских С.И. Функции распределения в квантовых статистических системах с внутренней симметрией. Препринт ИТФ-84-I39P, Киев, 1984. - 16 с.

37. Satz Н. Critical behaviour in finite temperature QCD.-Phys. Rep., 1982, v.88, 115, p.349-364.

38. Gorenstein M.I., Lipskikh S.I. Finite size effects in thermodynamics of non-interacting massless Bose field on a lattice .-Preprint ITP-83-173E, Kiev, 1984.-11p.

39. Celik Т., Engels J., Satz H. The order of the deconfinement transition in SU(3) Yang-Mills theory.-Phys.Lett.B, 1983, v.125, 115, p.411-414.

40. Kogut J. et al. Deconfinement and chiral symmetry restoration at finite temperature in SU(3) and SU(2) gauge theories.-Phys.Rev.Lett., 1983, v.50, U6, p.393-396.

41. Беленький C.3., Ландау Л.Д. Гидродинамическая теория множественного образования частиц. УФН, 1955, т.56, вып.З,с.309-348.

42. Berlin Т.Н., Кас М. The spherical model of a .f erromagnet .-Phys.Rev., 1952, v.86, N6, p.821-835.

43. Kogut J. An introduction to lattice gauge theory and spin systems.-Rev.Mod.Phys., 1979, v.51, N4, p.659-713.

44. Kogut J. The lattice gauge theory approach to quantum chro-modynamics.-Rev.Mod.Phys.,1983, v.55, Ю, p.775-836.

45. Hasenfratz P. lattice quantum chromodynamics.-Preprint TH.3737-CERH, Geneva, 1983.-92р.

46. Engels J., Karsch P., Montvay I., Satz H. Gauge field thermodynamics for the SU(2) Yang-Mills system.-ITucl.Phys.B, 1982, v.205 FS5, N4, p.545-577.

47. Skagerstam B.-S. On the large XT limit of the SU(EL) colour1. С сquark-gluon partition function.-Preprint ITORDITA-83/28, Kopenhagen, 1983.-22p.

48. Skagerstam B.-S. On finite lattice corrections to gauge field thermodynamics.-Phys.Lett.B, 1983, v.133, N6, p.419-422.

49. Kapusta J.I, Bose-Einstein condensation, spontaneous symmetry breaking, and gauge theories.-Phys.Rev.D, 1981, v.24, 12, p.426-439.

50. Gorenstein M.I., Lipskikh S.I., Zinovjev G.M. Model of de-confinement phase transition in baryonic quark-gluon bag system.-Z.Phys.C, 1984, v.22, N2, p.189-195.

51. Горенштейн М.И., Лшских С.И. Роль su(3) цвета в проблеме фазового перехода между адронной и кварк-глюонной материей. -ЯФ, 1983, т.38, вып.5(11), с.1262-1269.

52. Frautchi S. Statistical bootstrap model of hadrons.-Phys. Rev.D, 1971, v.3, N11, p.2821-2833.

53. Chodos et al. Hew extended model of hadrons.-Phys.Rev.D,1974, v.9, N12, p.3473-3500.

54. Горенштейн М.И. Фазовый переход кварки-мешки в квантовой хромодинамике. ЯФ, 1981, т.34, вып.6(12), с.1604-1611.

55. Kapusta J.I. Asymptotic mass spectrum and thermodynamics of the Abelian bag model.-Phys.Rev.D,1981, v.23, N10, p.2444-2454.63. 2амман Д.Р. Компьютеры в физике: общий обзор. УФН, 1984, т.143, вып.2, с.239-256.

56. Вильсон К.Г. Теоретическая физика и расчеты на ЭВМ. УФН, 1984, т.134, вып.2, с.301-307.

57. Кройц М. Физика высоких энергий. УФН, 1984, т.134, вып.2, с.256-265.

58. Макеенко Ю.М. Метод Монте Карло в калибровочных теориях на решетке. УФН, 1984, т.134, вып.2, с.161-212.