Исследование электромагнитных полей в неоднородных средах методами математического моделирования - решение задач идентификации, синтеза и оптимизации слоистых диэлектрических структур и некоторых проблем медицинского приборостроения

Худак, Юрий Иосифович

Исследование электромагнитных полей в неоднородных средах методами математического моделирования - решение задач идентификации, синтеза и оптимизации слоистых диэлектрических структур и некоторых проблем медицинского приборостроения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Худак, Юрий Иосифович АВТОР

доктора технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

1997 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Исследование электромагнитных полей в неоднородных средах методами математического моделирования - решение задач идентификации, синтеза и оптимизации слоистых диэлектрических структур и некоторых проблем медицинского приборостроения»

Автореферат диссертации на тему "Исследование электромагнитных полей в неоднородных средах методами математического моделирования - решение задач идентификации, синтеза и оптимизации слоистых диэлектрических структур и некоторых проблем медицинского приборостроения"

ЯНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный институт радиотехники, _р электроники и автоматики (технический университет)_

- 2 MAP На правах рукописи

УДК В?6. 25

ХУДАК Юрий Иосифович

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ МЕТОДАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ — 3ЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ, СИНТЕЗА И ОПТИМИЗАЦИИ

СЛОИСТЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР И НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ МЕДИЦИНСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Специальность 01.04.03 — Радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 1997

Работа выполнена в Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техническом университете)

Официальные оппоненты:

- член-корреспондент РАН, доктор технических наук, профессор Бахрах Л.Д.

- доктор физико-математических наук, профессор Дмитриев В.И.

- доктор технических наук, профессор Нефедов Е.И.

Ведущая организация:

- Московский научно-исследовательский институт приборостроения (МНИИП)

Защита состоится " " _1998г.

на заседании диссертационного совета Т 063.54.02 в Московском государственном институте радиотехники, электроники и автоматики (техническом университете) по адресу: 117454, г. Москва, пр. Вернадского, 78.

Автореферат разослан " Я» _1992 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доцент, кандидат технических наук : Э.А.Засовин

Современное состояние радиофизики и радиотехники характеризуется значительным усложнением стоящих перед ними задач.

Так, например, переход к более высоким частотам или более коротким импульсам, как правило, повышает уровень требований к допускам на согласование и ширинам полос частот, в которых необходимо хорошее согласование соответствующих радиоустройств.

Актуальность темы.

Ужесточение требований к условиям согласования радиоаппаратуры ставит в повестку дня задачи о принципиально достижимых — предельно возможных, — уровнях согласования в "максимально" широких интервалах частот.

Подобные задачи синтеза предельно "хорошей" аппаратуры можно решать только на базе более глубокого исследования характера теоретико-функциональной зависимости основных электродинамических характеристик этих устройств от частоты.

Аналогичная техническая проблема имеет место при создании обтекателей радио или акустических антенн на подвижных объектах. Для них требуется обеспечить заданный уровень прозрачности обтекателя в заданном диапазоне частот.

Та же самая проблема является чрезвычайно важной и в оптике просветляющих покрытий для качественных линзовых систем.

Прямо противоположная задача возникает при создании диэлектрических покрытий для зеркал и зеркальных антенн, когда требуется добиться предельно высокого коэффициента отражения для таких устройств в максимально широком диапазоне частот.

Во всех указанных выше классах научно-технических задач возможны дополнительные технологические ограничения на используемые материалы и толщины соответствующих покрытий, еще больше

усложняющие исходные задачи синтеза таких устройств.

Другой большой класс технических проблем сводится к задачам идентификации некоторого устройства по той или иной информации о входных и выходных сигналах этого устройства, а возникающие при их решении сложности, носят качественно иной характер.

Однако, и здесь, для успешного их: исследования и решения, необходимо углубленное изучение характера функциональной зависимости основных рабочих характеристик анализа рассматриваемых систем, а также подходящих для их исследования входных воздействий и их выходных реакций, от параметров задачи, в качестве которых могут выступать, например, границы частотных интервалов, длительности импульсов или наборы физических параметров, определяющих эти системы.

В настоящее время самым мощным средством изучения любых технических систем является их математическое моделирование с привлечением компьютеров и соответствующего программного обеспечения. Такое "углубленное" изучение конечно же не может заменить необходимое количество натурных экспериментов и тем более испытаний новой техники, но, при правильном сочетании с традиционными методами разработки и технологической подготовки производства аппаратуры, методы математического моделирования позволяют, как правило, значительно сократить физические объемы требуемых экспериментов .

*) Математическое моделирование тем более необходимо в тех областях науки и техники, в которых прямые эксперименты либо вообще невозможны, либо чрезвычайно дороги.

Проблемы классической электродинамики (КЭД), как и другие научные и технические проблемы, математическая постановка, которых связана с дифференциальными уравнениями, естественным образом подразделяются на прямые, обратные и оптимизационные.

К настоящему моменту, с разной степенью строгости исследовано большое количество прямых задач КЭД, в которых по заданным физическим параметрам среды и источникам электромагнитного поля требуется найти это поле или некоторую его характеристику. Однако, ввиду сложности таких задач в случае общей неоднородной среды, и, несмотря на продолжающийся интенсивный поток исследований в этой области, направленный, в основном, на изучение важнейших специальных случаев прямой задачи, еще не создано сколько-нибудь полной классификации возможных типов решений прямых задач КЭД, а также недостаточно изучены многие их свойства.

Особая важность проблемы выделения классов решений системы уравнений Максвелла и изучения их свойств обнаруживается в исследованиях, связанных с обратными и оптимизационными задачами КЭД, где указанная информация используется уже при их математической постановке. Так, например, в типичной обратной задаче КЭД требуется по какой-либо заданной характеристике электромагнитного поля, принадлежащей пекоторому классу функций, найти параметры среды, в которой существует это поле, или его источники, которые описываются функциями, принадлежащими некоторым, вообще говоря, совсем другим классам функций.

Обратные и оптимизационные задачи КЭД, как правило, являются некорректно поставленными и исследованы еще значительно меньше, чем прямые. Этот недостаток теории особенно значим, если учесть, что именно к обратным и оптимизационным задачам, обыч-

но, приводят проблемы разработки, конструирования и производства современной техники.

Общие методы решения некорректно поставленных задач были созданы в основополагающих работах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М. М. Лаврентьева.

В применении к классической электродинамике дальнейшее развитие методы решения обратных задач получили в важных исследованиях многих других авторов.

Новые подходы к выделению классов решений системы уравнений Максвелла и исследование свойств этих решений позволяют эффективно использовать полученную таким образом дополнительную информацию при решении обратных и оптимизационных задач КЭД.

Цель работы.

Целью работы является развитие теории синтеза сложных технических систем с предельно хорошими рабочими характеристиками и проблемы идентификации таких систем применительно к магни-тодиэлектрическим слоистым системам, а также теории синтеза и методов математического моделирования фокусирующих систем линзовых литотриптеров.

Для достижения этой цели было необходимо:

— провести исследования по широкому кругу задач КЭД для неоднородных сред, включая их математическую постановку, и изучение свойств решений таких задач;

— выделить класс квазипотенциальных электромагнитных полей и исследовать их основные свойства;

— изучить вопрос о существовании решений системы уравнений Максвелла в виде квазиплоских волн;

— разработать теорию анализа слоистых систем до такой степе-

ни, чтобы стало возможным проанализировать зависимость основных рабочих характеристик таких систем от физических параметров и частоты,

— доказать свойство квазипериодической зависимости от частоты основных электродинамических характеристик слоистых диэлектриков;

— исследовать вопрос о единственности решения обратных задач для слоистых систем;

— получить в удобном для исследования и последующего использования виде дифференциальные уравнения, возникающие из законов преломления и отражения, для корректировки волновых фронтов в линзовых литотриптерах;

— разработать программы для персонального компьютера, позволяющие "наблюдать" за процессом распространения волнового фронта ультразвуковой квазиударной волны;

— провести комплексную отладку указанных программ на тестовых примерах и отработать методику отыскания важнейших "моментов" распространения волновых фронтов таких, например, как зарождение и развитие особенностей на них, связанных с повышенной концентрацией энергии в окрестности этих точек;

— исследовать возможности и выработать рекомендации для улучшения фокусировки квазиударных волн в линзовых литотриптерах.

Научная новизна, теоретическое и прикладное значение.

Большая часть принципиальных результатов диссертации является абсолютно новыми научными фактами, представляющими серьезный теоретический интерес и имеющими важное практическое применение.

- 81. Идея использования условия ортогональности в некоторой области пространства комплексных амплитуд электрического и магнитного полей для выделения класса квазипотенциальных (КП) в этой области полей является принципиально новой. Непосредственно она связала только с классификацией векторных полей с точки зрения пфаффовых форм. Класс КП решений уравнений Максвелла (СМ) выделяется инвариантным, т.е. не зависящим от системы координат в пространстве, образом.

;Г 2. Важный подкласс КП полей образуют квазиплоские (КПл) электромагнитные поля. Для класса полей КПл в диссертации получены необходимые и достаточные условия их существования, а также их эффективное описание в терминах решений характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений для классического уравнения эйконала, традиционно используемого при построении приближенных решений СМ методом геометрической оптики.

3. Большое количество работ посвящено классическим задачам электродинамики, связанным с плоскими электромагнитными полями в слоистых средах. Однако, в этих работах, кале правило, нет достаточного для математической постановки и, тем более, решения обратных задач, анализа зависимости таких полей от физических параметров среды и частоты.

В диссертации показано, что коэффициенты отражения и пропускания слоистых диэлектриков являются квазипериодическими функциями частоты, специальным образом зависящими от параметров среды.

4. Выяснение структуры коэффициентов отражения и пропускания позволило доказать теорему единственности для практически важной обратной задачи отыскания физических параметров слоисто-

го диэлектрика по его амплитудному коэффициенту отражения.

Этот результат — аналог теоремы единственности А.Н.Тихонова для чисто проводящей слоистой среды.

5. Свойство квазипериодичности основных электродинамических характеристик слоистых диэлектриков позволило исследовать и решить целый ряд прямых и оптимизационных задач КЭД для таких сред.

6. В литотриптерах, применяемых для разрушения камней в почках, основным рабочим инструментом является ультразвуковая квазиударная волна, которая возбуждается тем или иным способом и затем фокусируется на заранее выбранной мишени в теле пациента. Как показывает практика, такая фокусировка не бывает полной, а ее "качество" существенно определяет степень "безопасности" использования литотриптера.

В диссертации предложено теоретическое исследование влияния неправильности формы возбуждаемых в линзовых литотриптерах "плоских волн" и основанное на нем программное обеспечение, позволяющее "наблюдать" за распространением фронта ударной волны. Это исследование являлось первоочередным и было проведено в рамках "геометрической модели" распространения квазиударных волн.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзных школах-семинарах по теории и методам решения некорректно поставленных задач (Фрунзе, 1979 г., Саратов, 1985 г.), Всесоюзном научном семинаре "Методы синтеза и применение многослойных интерференционных систем" (Москва, 1984 г.), XI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах

(Челябинск, 1986 г.), международной конференции по некорректным задачам (памяти А.Н.Тихонова) (Москва, 1994-96 г.), на научно-исследовательских семинарах в ИРЭ, МГУ, университете г.Кардифф (Великобритания), МФТИ, МИРЭА, Институте прикладной физики (г.Нижний Новгород) и ряде других семинаров.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 17 работ. Большинство из них — в ведущих радиофизических и математических журналах.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 78 наименований. Полный объем работы 280 страниц.

Содержание работы.

Во введении содержится характеристика направления, развиваемого в диссертации, и кратко излагаются результаты работы.

Первая глава диссертации содержит ряд теоретических результатов, связанных с общей классификацией электромагнитных полей в неоднородных, но изотропных средах.

Здесь изучены условия квазипотенциальной представимости комплексных амплитуд стационарных во времени (зависимость вида

— ¿ш£\

е ) электрического и магнитного полей в виде

ИгФо л

ц — ае , а = ^аахо-

V = Ье , Ь = graа , где Ф^ = Ф;(М), X] = ^ = 0.1 — комплекснозначные функ-

ции точки М 6 (? С Д и, вообще говоря, частоты и.

Выражения полей {и,у}, похожие на (1), постоянно встречаются в физической литературе в качестве "типичного" представления

- и -

электромагнитного поля в виде "бегущей" волны и сопровождаются как правило словами: "Будем искать решение в виде...", часто без строгого математического исследования возможности такого представления.

В § 1.6 приведепы такие условия для представления (1).

Теорема 1. Для того, чтобы в области С С И. существовали комплексные функция Фj, Х]> 3 = 0,1 такие, что выражения (1) представляли бы в С? решение системы уравнения Максвелла (СМ):

где ё = £ + га/к, е = е{М), ц = ц(М) — диэлектрическая и магнитная проницаемости, а а = сг(М) — проводимость среды, необходимо и достаточно, чтобы в С выполнялось условие ортогональности

Теорема 2. Система уравнений (2) с дополнительным условием (3), эквивалентна системе дифференциальных уравнений

где [., . ] — векторное произведение векторов, а к^ = grad 7 = 0.1, относительно функций Ф^ ] = 0; 1-

Доказательства теорем 1, 2 опираются на необходимое и достаточное условие квазипотенциальности комплексного векторного поля А.

Теорема 3. Для того, чтобы комплексное векторное поле А было квазипотенциально в области О, т.е. чтобы в 3 такие функции и = х(М), х = чт0 А = ^йгас! х, необходимо и достаточно,

гot и = гкц V, кйу = — г7:еу

(2)

(3)

[к0 , и] = /iv, [кх, у] = -ей.

(4)

чтобы в G выполнялось условие:

(rot А, А) = 0. (5)

В § 1.7 приведены примеры квазипотенциалъных электромагнитных полей, широко используемых на практике для решения задач: электродинамики. Среди них специально отметим: 1.Поле плоской волны (см. § 1.2) — простейшее квазипотенциальное синфазное поле, когда Ф0 = <&! = Ф = (к, г — г0) — линейная функция волнового вектора к и радиус-вектора текущей точки М £ R . 2.Поле электрического диполя. З.Поле магнитного диполя. 4.Одномерные электродинамические поля. 5.Двумерные ("плоские") электродинамические поля.

Далее, в § 1.9-10 рассмотрен важный подкласс (1) — квазиплоских электромагнитных полей, т.е. синфазных ФДМ) = Ф(М), j = 0,1 электромагнитных полей в непроводящих средах а = а(М) = 0, когда = к, к = grad Ф, j = 0,1.

Теорема 4. Система векторных уравнений (4) для квазиплоских электромагнитных полей эквивалентна системе скалярных дифференциальных уравнений

| grad Ф | 2 = п2

(gradхо, gradФ) = (gradФ, gradxi) = (grad хо, grad Xi) , (6) e | grad Xo | 2 = P | gradxi | 2

относительно функций Ф, Хсь Хь где n2 = e/i.

Заметим, что первое из уравнений (6) есть классическое уравнение эйконала, которое, по крайней мере локально, разрешимо при помощи характеристической для него системы обыкновенных диффе-

ренциальных уравнении:

ах

с! е!

а(Ьп)

'I, = ^ас!(1пп)--з-г^е 1,

(1Б " (1Б ° ~Ч.....' с!з

(.? — натуральный параметр вдоль луча), и "дополнительного" урав нения

= п.

(8)

если только начальные условия для системы (7) заданы на некоторой гладкой поверхности

х = х7г(о!,/3); ха = =

и удовлетворяют на ж необходимым условиям регулярности: а).Согласования (начальных данных с уравнением)

х(0) =Ф\а,р), в1(0) =е?(а,/3).

7Г 7Г

б). Трансверсальности

(ха5 х/з>е?) ф 0- (9)

Теорема 5. Для того, чтобы в области (•? существовало решение системы (6) необходимо и достаточно, чтобы для решений системы (7), (8) в С выполнялись условия:

< , \ / \ с!(1П\У) . _

(rote2,C2) - (roteз,eз) = —^—-31п20,

(го1е2,е3) + (к^е3,е2) = соя 20,

(10)

где е2, е3 — единичные поля главных нормалей и бинормалей к лучам 1 /2

(7), ю = {ц/е) — волновое сопротивление вещества в точке М области С, а в = в(з) — решение дифференциального уравнения:

Ав 1

= (п)

а я т

где £ — кручение луча (7), с начальным условием 0(0) = 8° (а, ¡3).

Условия существования квазиплоских волн (10), являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы "нулевое приближение" геометрической оптики являлось точным решением СМ (2). Поэтому, выполнение или невыполнение (10), при решении (2) методами геометрической оптики (7)-(9), может служить индикатором точности или приближенности получаемого решения, а также указывать величину допускаемой при этом погрешности.

Отметим, наконец, что в § 1.3-5 изучены вопросы непрерывного сопряжения КПл электромагнитных полей на границах Г разрыва физических параметров среды, которые в КЭД обычно называют граничными условиями (для электромагнитного поля). Рассматриваемые в этих параграфах вопросы тесно связаны с классической теоремой Малюса-Дюпина геометрической оптики и матричными методами непрерывного сопряжения плоских электромагнитных полей в слоистых средах и существенно использованы в главах 2-3 диссертации.

Во второй главе диссертации продолжается изучение класса КПл решений СМ (2), однако, уже в специальном случае слоистой среды, когда е, ¡1 и а являются кусочно-непрерывными функциями одной переменной х.

В § 2.2 этой главы описана специализация для слоистых сред общих представлений, развитых в главе 1.

Пусть

х = ак, (й = 0,...,ЛО; о0 =0 (12)

все точки разрыва хотя бы одного из физических параметров среды. Тогда, условия сопряжения КПл полей из § 1.5, имеющие обобщенную

запись:

[£ + £} = [£ + £) , (13)

г_ г+

где Г^ — разные стороны ориентированной границы Г, а £ — двойственное (относительно Г) поле по отношению к £, с использованием специфики представления обобщенных плоских воли (см. § 1.3) в слоистой среде:

И Ч /М]\ • W , ^ c,Ufc(x-r) + Ci / L \ (14)

где с0, сх — произвольные комплексные постоянные, а порождающий" вектор 0 ф О, ортогонален волновому вектору к, вытекающую из структуры решения (4) для рассматриваемого частного случая, и специальный выбор порождающих векторов вна Г. можно записать в виде 4-х линейных алгебраических уравнений относительно 8-ми неизвестных {], т = 0,1) в блочно-матричном виде:

(Лоо Аи\ /Со\

= о. (15)

Ах/ \Ст/

где введены обозначения:

гкто —{кто гкт\ —гкт1

(гкто —гкто гкт\

ц0е fi0e -цхе -ще

ikr0 —ikrо ikr¡ —ikri

Toe -7„e ~1\e 1 ъе

, _ , _ /о о о о

0 0 0

л _Í£oeikT° s0e-ikro -exeiku -e.e'1^ ~ \7oeikTa -J0e~ikro Tle-'fcri

'Cl = (c°)' = (i,i = M)

а также: т} = kjnd, = kjn.

теорема 6. Существование в мпгнитодиэлсктрической среде электромагнитного поля (14) при наличии в этой среде границы "раз-

дела" однородных изотропных диэлектриков (12) возможно тогда и только тогда, когда система однородных алгебраических относительно с:)'га,с;'т уравнений (15) имеет нетривиальное решение.

Система (15) распадается на две подсистемы, содержащие по 4 неизвестных с^-то, с;т, ('] = 0,1) каждая:

/ гкго , —гктп > Ист\ > — Игт!

Фое Фое —ф\е -ще

{кт0 —хкто *ктх — Ист 1

Лое 7ое -71 е 71е

( Со т\ СОп с1гг \cirn/

= 0, (16)

где т = 0,1, а — < ^ ' ™

I I У^т 1 £. ^ ПрИ т—\1

Физический смысл того, что (15) распадается на независимые подсистемы (16), заключается в том, что каждая из плоских волн — ТЕ — волна, которая получается при Со ф 0; с2 = 0 (в этом случае (и, и) — 0), или — ТМ — волна, которая получается при с0 = 0; с\ ф О (теперь — (лг!п) = 0) — может существовать в двухкомпонентной среде независимо одна от другой, а общий случай, когда с0с1 ф 0, является линейной комбинацией двух указанных выше простейших, когда оба поля присутствуют в среде одновременно.

В § 2.4 показано, что для кусочно-непрерывных физических параметров слоистой среды с разрывами на плоскостях (12), когда для СМ выписывается фундаментальная система ее решений, условия (13) на каждой из плоскостей (12) образуют "основную" математическую модель слоистой среды — систему (2ЛГ -Ь 2) -х алгебраических уравнений с (2N + 4) -мя неизвестными:

Ч = (.7 = 0,...,Л0> (17)

где матрицы передачи имеют вид:

/ 1/2(1 + 1/2(1 - \ ( . 3 V 1/2(1 1/2(1 + ) К )

и зависят от физических параметров у-го и (_?' 4- 1)-го слоев системы

вз = Рз/Рз-1, Рз = »з = - а3' - аз-1 и

а;, а двумерный вектор с^-, ^ — 0,..., N + I) — вектор "комплексных амплитуд" прямой и обратной волн в ^'-ом слое.

Изучены условия существования и "единственности" решения системы (17), а также получены формулы представления для ее решения:

в силу которых с;(ш) являются каазипер и одическими функциями волнового числа к с показателями Фурье

ЛлМ=Х>1)3т^ (20)

т=1

и коэффициентами Фурье N + 1

= П 2[1 + М)'"1"19^™], ^т — Рт/Рт—1 ф 1, (21) где Л в (19) является любым двоичным вектором:

•!= = 0,1; 5 = 1,2, ...,Лг;.м+1 = 0.

(22)

Используя (19), закон сохранения энергии для непроводящих систем (сг] =0, (з — 0,..., N + 1)) можно записать в виде

I с0(и>) | 2 - | С1(ы) | 2 = 0, 9 =р„+1/ро (23)

или в стандартной форме Щы) + Т(ш) = 1, если ввести энергетиче-

ские коэффициенты отражения и пропускания:

| со И |

I Со и |

В § 2.6 получены важные следствия из представлений (19)-(25). В частности, показано, что основные электродинамические характеристики слоисто-однородных диэлектрических систем являются квазипериодическими функциями частоты. Проведена простейшая классификация таких систем по спектру их характеристик и получены представления:

т=( £ +( £ (-1Г40)^с) , (26)

\||£Ц=2» / \||£||=2п+1 /

где "вычислительные" параметры слоистой среды а с связаны с коэффициентами (21) формулой:

«с = £(-1)(АЛ)<Эл, (2?)

£ — двоичный Лг-мерный вектор {?ь... ,1^}, а тригонометрические мономы-функции имеют вид:

Фс=и4у'кк, (28)

к-1

где хк = совг/кШ, ук = 51пг/кш, (к = 1,...

В § 2.7 получены эффективные, т.е. нетривиальные и точные оценки сверху для коэффициента отражения и снизу для коэффициента пропускания слоистой системы в зависимости от значений волновых сопротивлений слоев системы. Обе оценки получаются при помощи эффективной оценки функции "рабочего затухания" слоистой

системы

. I 2 2

Ь{ш) = | Со(и) | < Я(р) = таха£

и (23)-(25), в силу которых Т(и>) = в/Ь(ш), = 1 - Т(ш).

В частности, из (29) следует, что только монотонные (рк > р;.+ 1 или Р1; < Рк+\, Vк) слоистые системы обладают "равномерно" просветляющим свойством, т.е. уменьшают коэффициент отражения Френеля между полупространствами без системы в иекоторых диапазонах частот, не увеличивая (!) его на всех (!) остальных.

Кроме того, оценка (29) позволяет получить оценки производных функций Ь[ш), Т(и>) и Щи/), которые основаны на теореме Бернштей-на об оценке производных целых функций конечной степени.

Для задач синтеза из § 2.9-10 важна равномерная (Уи : —оо ^ ^ ш ^ П2 ^ + оо) оценка:

(1- Дм)

ХИ

-1

< Д(ш) ^

од в

(30)

где Ям = шах Щи) ^ 1 — б/таха^. п^ы^пз с

В § 2.9 вычислено среднее значение:

С = М[£(а;)] = Шп ^ / Ь(и>) йи>

£1—»со а 2 J

(31)

функции рабочего затухания возможных слоистых систем.

Оказывается, что для почти всех слоистых систем, т.е. за исключением слоистых систем, имеющих в пространстве параметров I/ -, (7 = 1,..., Дг)) меру нуль, указанное среднее значение является строго выпуклой функцией

С~ С(рг,...,рк)

Кк=0

1 +

(Рк+1 V Рк

PN+l Ра

(32)

волновых сопротивлении слоистои системы.

Среди других, решенных в главе 2 проблем анализа слоистых систем, отметим, что в § 2.6 приведен вывод из уравнений Максвелла рекуррентной формулы Эйри для расчета амплитудных коэффициентов отражения, обычно получаемой из представлений геометрической оптики:

. ¿21'¿к

(к) = ? 0 = N + 1, ■ ■ •, 1), = 0, (33)

1 + д

где qj = — параметры Френеля слоистой системы, гдг+1(^) = 0, а г0(ш) — искомый амплитудный коэффициент отражения от всей системы, и получено представление этого коэффициента в виде абсолютно и равномерно сходящегося тригонометрического ряда

-(") = Х>к(ч)е'Лк • к ег+, (34) к=0

Ак = 2 (35)

5=1

N+1

А* = П к0 = 1,к„+1 = 0, (36)

{

3=1

ст

¿а , т = 0

где Ь^={чт, к = 0

'PÍm\^)=t(-l)icLckk+j-гtj.

}=1

Если воспользоваться представлениями геометрической оптики, то формула (34) имеет наглядный физический смысл — это ряд из многократноотраженных на каждой из границ слоистооднородной системы волн.

Отмечены специфические особенности спектра п.-п. функции, вытекающие из представления (34)—(36), необходимые при исследовании обратных и оптимизационных задач.

Кроме того, в § 2.8 введено новое понятие производящих функций слоистых систем, полезное как при анализе таких систем, так и при их синтезе.

Определение. Функции

где

= (з?)

т=1

а коэффициенты определены формулой (21), назовем производящими функциями ТУ-слойной системы.

По Л -слойной системе обе ее производящие функции строятся однозначно, но всякая пара производящих функций порождает целое семейство реальных Лг-слойных систем, если задать "направляющий" вектор такой системы V — {и^,... и в (36), (37) положить

1т = итк (пг= 1,...,Л0. (38)

Важно подчеркнуть, что вся вторая половина 2-ой главы диссертации, в основном, посвящена решению обратных и оптимизационных задач для слоистых магнитодиэлектрических систем.

Так в § 2.7 доказана теорема единственности восстановления вектора электродинамических параметров

г^ЬииъЧгт'-Лм^.ч, 1} (39)

слоистой системы по заданному ее амплитудному коэффициенту отражения г(ш) и указаны все возможные варианты неединственности восстановления по тем же исходным данным вектора ее "физических" параметров

{£1,^1,11!;.. цн,(40)

В § 2.9 изучена задача согласования в интервале частот (0, +ос) при помощи системы N диэлектрических слоев в следующей постановке: Найти значения параметров в = . ..,0ЛГ+1} слоистой системы, имеющей минимально возможное среднее значение на (0, +оо) ее функции рабочего затухания (32).

Оказывается, что минимум достигается при

Рк = (Ро"+1~У^О1'^1 = РоОк/Ы+1, (к = 1, • - -, ЛГ + 1), в = ^±1,

Р о (41)

когда рк удовлетворяют условиям стационарности:

Рк = (Рь-1Р/ь+1)1/2, '(* = 1.....ЛГ) (42)

функции С (32), причем Ро,Рл~+1 — заданные величины. Показано, что при N —> +оо

М[ЯЙ>Н1 = о(1). (43)

Установлено, что такую же асимптотику, в смысле функционала (32), имеют любые слоистые системы, волновые сопротивления которых получаются путем квадратурных формул из достаточно гладких функций р(х) на отрезке [0, а].

Отмечено, что оптимальные в смысле (32) системы имеют наименьший возможный коэффициент отражения на любой фиксированной частоте среди всех практически реализуемых слоистых систем, коэффициент отражения которых не превосходит коэффици-

ента отражения Я^ оптимальной системы при всех и на (0, +оо).

Поэтому уменьшения коэффициента отражения (по сравнению с Н-орг) на каком-либо интервале частот можно добиться только за счет его увеличения на другом интервале частот.

В § 2.10 приведено решение простейшей задачи равномерного

просветления на заданном интервале частот [Г^, П2] — просветления при помощи одного слоя.

Доказано, что задача имеет единственный глобальный минимум

при

Третья глава диссертации целиком посвящена проблемам, возникающим в медицинском приборостроении при создании ультразвуковых литотриптеров.

При теоретическом прогнозе фокусировки рабочей квазиударпой волны в некоторую точку, в которую и должна помещаться разрушаемая литотриптером "мишень", в реальном аппарате возникает некоторое "пятно" фокусировки, особенно размытое в продольном направлении.

В § 3.2 теоретически обоснованы и развиты основные принципы преобразования волновых фронтов преломляющими и отражающими поверхностями фокусирующих систем литотриптеров. Там, в частности, доказано, что произвольный гладкий волновой фронт при помощи подходящей гладкой отражающей или преломляющей поверхности может быть преобразован в другой такой же волновой фронт.

Этот результат составляет существо известных теорем Малюса— Дюпина и Леви-Чевита геометрической оптики, но доказан оригинальным методом, использующим в явной форме то, что законы преломления и отражения являются дифференциальными уравнениями, связывающими волновые фронты падающей, преломленной и прошедшей волн и поверхности линзы или зеркала соответственно.

Такое теоретическое построение позволяет затем в § 3.8 обосновать возможность "исправления" "неидеального" волнового фронта квазиударной волны, порождаемой генератором литотриптера, в

удобную для теоретического анализа линзового литотриптера форму плоской или сферической волны.

Для иллюстрации общих положений теории фокусирующих преобразований волновых фронтов в § 3.3 приведены некоторые примеры для плоских и сферических волн.

В соответствии с теоретическими построениями § 3.2-3 были созданы программы для персонального компьютера, позволяющие "проследить" процесс распространения квазиударной волны заданной формы во времени. Краткое описание этих программ приведено в § 3.5.

§ 3.6 работы посвящен обсуждению результатов расчета для процесса распространения в линзе и рабочей зоне литотриптера плоского,: сферического и "бесселева" (соответствующего круглой пластине возбуждающего генератора литотриптера, жестко закрепленной по всему ее периметру) волновых фронтов.

Ниже приведена серия рисунков иллюстрирующих важнейшие моменты "трасформации" волновых фронтов в процессе их распространения.

Исходное положение всех трех волновых фронтов перед плосковогнутой линзой с апертурой (1 — 20см очень похоже на изображенное на рис. 1, где положение этих же волн показано "внутри" линзы.

Затем, в некоторый момент времени, и при определенных параметрах линзы, все три разных волновых фронта

Рис. 1. Трансформация волновых фронтов через 9 мкс: кружки — плоского, треугольники — сферического, звездочки — пропорционального основной моде колебаний закрепленной мембраны

Рис. 2. Трансформация волновых фронтов через 56 мкс: кружки — плоского, треугольники — сферического, звездочки — пропорционального основной моде колебаний закрепленной мембраны

практически совпадают на рис. 2, с тем, чтобы стать

22.30

2225

22.20

22.15

22.10

22.05

22.00

X ст

I I I I | I I I 1 | I I ! I | ; I I I | ) I I 1 | I II I | I ы I | I I I 1 | I I I !' |

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45

Рис. 3. Трансформация волновых фронтов через 156 мкс: кружки — плоского, треугольники — сферического, звездочки — пропорционального основной моде колебаний закрепленной мембраны

Хоп

0.000 0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150 0.175 0.200 0.225 0.250

Рис. 4. Трансформация волнового фронта, пропорционального основной моде колебаний закрепленной мембраны через 145,75 мкс

уже совсем непохожими на рис. 3.

Сравнение волнового фронта, приведенное на рис. 4, с аналогичным изображением "бесселева" волпового фронта после прохождения ей нескорректированной линзы показывает, что прохождение одного и того же волнового фронта даже через очепь "близкие" линзы (с не сильно различающимися параметрами!), может приводить к достаточно сильно различающимся картинам их фокусировки, что является достаточным основанием для проведения очень подробных расчетов положения и формы волновых фронтов для медицинских литотри-птеров в области их фокусировки, т. к. каждой особенности волнового фронта отвечает некоторый относительный локальный максимум интенсивности звукового поля. Для того, чтобы лучше представить процесс образования особенностей на изначально гладком волновом фронте, в диссертации приведена форма волнового фронта в момент "зарождения" на этом фропте особенности.

В § 3.7 приведены результаты расчета по соответствующим математическим моделям плотности распределения "квазиэнергии" в пятне фокусировки линзового медицинского литотриптера, где под термином "квазиэнергия" понимается величина, пропорциональная "количеству" лучей, "фокусирующихся" в данной точке пятна фокусировки на его оси. Приведены результаты расчетов для плоской, сферической и бесселевой волн.

В § 3.8 рассмотрены основные аспекты задачи об исправлении неидеального волнового фронта, возбуждаемой генератором ударной волны реального медицинского литотриптера. Намечены и обсуждены три возможных подхода к решению соответствующих проблем.

Заключение

В работе рассмотрены важные проблемы современной радиотехники и медицинской литотрипсии. Для них сформулированы и иссле-

дованы адекватные математические модели, базирующиеся на фундаменте классической электродинамики и ультразвуковой акустики. Получен ряд принципиальных результатов, имеющих как научное, так и практическое значение.

Среди научых достижений особенно важной представляется концепция совместного формального исследования прямых, обратных и экстремальных задач электродинамики. Такой комплексный подход продемонстрирован в работе на примере цикла проблем, возникающих в электродинамике слоистых сред.

Важный прикладной характер носят результаты работы, относящиеся к ультразвуковой акустике, т.к. здесь, в частности, удалось смоделировать и представить на графиках возникновение особенностей на первоначально гладком выпуклом волновом фронте после прохождения этим фронтом линзового фокусирующего устройства, а связанное с этим явление локальной концентрации энергии, может быть опасным для внутренних органов пациентов при медицинском использовании литотриптеров.

Одним из способов корректировки фронта возбуждаемой волны может служить замена плоской "передней" границы линзы на подходящую, выпуклую вверх по оси .

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Выделен и частично исследован достаточно широкий класс решений уравнений Максвелла, содержащий в себе большое количество решений классических задач электродинамики.

2. Исследована функциональная зависимость основных характеристик слоистых систем от частоты и параметров среды.

Получены эффективные оценки коэффициентов отражения и пропускания слоистых систем, весьма полезные при их практическом

конструировании.

Обоснованы эффективные методы и разработаны алгоритмы и программы для расчета этих коэффициентов.

3. Исследован оператор одномерной обратной задачи электродинамики слоистых сред.

Доказана теорема единственности восстановления электродинамических параметров слоистой среды по ее амплитудному коэффициенту отражения.

4. Исследованы важные для практики варианты задачи просветления оптики и конструирования обтекателей радиоантенп в заданном интервале частот.

Предложены либо точные решения таких задач и соответствующие им асимптотики по количеству слоев в системе, либо эффективные методы их решения.

5. Показано, что имеющий место в любых литотриптерах эффект неполной фокусировки вполне объясним неточностью исходных теоретических представлений о характере фронта генерируемой в таких устройствах волн.

Составлена программа для персонального компьютера, позволяющая "проследить" "весь" процесс распространения ультразвуковой волны, начиная от момента ее генерации до момента ее фокусировки.

6. Теоретически доказана принципиальная возможность корректировки неидеального волнового фронта, порождаемого реальным генератором, для его более качественной фокусировки.

Написанные дифференциальные уравнения могут служить основой для более подробной разработки методов улучшения фокусирующих устройств литотриптеров.

7. Получены важные положительные результаты по практиче-

ской корректировке волновых фронтов ультразвуковых квазиударных волн в медицинских литотриптерах.

Публикации автора по теме диссертации.

1. О принципах построения специализированных систем машинного проектирования СВЧ-устройств. Сб. Материалы всесоюзного семинара, Новосибирск, май 1973 г., Маш. методы проект. СВЧ-устройств, М. МГУ, 1976г. (совм. с С.С.Гайсаряном, А.С.Ильинским, М.И.Кабановым).

2. О некоторых математических вопросах теории плоских электромагнитных полей в слоистых диэлектриках. Тр.XXV н.-техн. конф., секц. "Математика", М., МИРЭА, 1976, 28-56. Деп. ВИНИТИ, рег.М-307-77, 25.01.77.

3. Аддитивные представления характеристик слоистых сред и вопросы единственности решения обратных задач. Сб. Всесоюзн. конф. по некор. поставл. задачам, Фрунзе, Из-во Илим, 1979, 43-44 (совм. с В.Б.Гласко).

4. О почти-периодичности электродинамических характеристик слоистооднородных магнитодиэлектрических систем. Сб. Машинное проектирование устройств и систем СВЧ , М., МИРЭА, 1980,171-187.

5. Аддитивные представления характеристик слоистых сред и вопросы единственности решения обратных задач., ЖВМ и МФ, 1980, т.20, N-2, 482-490 (совм. с В.Б.Гласко).

6. Метод фазовых функций в электродинамике слоистых сред., Сб. Методы синтеза и применение многослойных интерференционных систем., М., Из-во МГУ, 1984, 33-34.

7. Спектральный подход к электродинамике слоистооднородных сред., Сб. Методы синтеза и применение интерференционных систем., М., Из-во МГУ, 1984, 35-36.

8. О минимуме среднего значения функции рабочего затухания для ступенчатых систем., ЖВМ и МФ, 1985, т.25, N-1, 88-95.

9. О представлении коэффициента отражения слоистооднород-ной магнитодиэлектрической системы рядом Фурье., Изв. ВУЗ"ов, Радиофизика, 1985, t.XXVIII, N-4, 499-506.

10. О локальной структуре одного класса решений однородной системы уравнений Максвелла., Доклады АН СССР, 1985, т.282, N-1, 61-65.

11. Об одном классе решений однородной системы уравнений Максвелла для изотропной среды., Деп. ВИНИТИ, 1985, per.N-4235-85, 14.06.85.

12. Об использовании фазовых функций в электродинамике слоистых сред., Сб. Теор. и мет. реш. некор.-поставл. зад. иихприлож., Саратов, 1985, 147.

13. Об одном классе решений однородной системы уравнений Максвелла для изотропной среды, ЖВМ и МФ, 1986, т.26, N-6, 954956.

14. Об оценке коэффициента отражения системы диэлектрических слоев, ЖВМ и МФ, 1986, т.26, N-7, 1105-1110.

15. О локальной структуре одного класса решений однородной системы уравнений Максвелла, Радиотехника и электроника, 1987, N-2, 225-231.

16. О наилучшем однослойном просветляющем покрытии для интервала частот, ЖВМ и МФ, 1990, т.ЗО, N-2, 325-327.

17. On the differential relations by V.Snellius in medical litotripsy in connection with theorems by E.Malus-Ch.Dupin and T.Levi-Chivita., Сб. Обратные и некорректно поставленные задачи (тезисы докладов международной конференции), М., Диалог-МГУ, 1996, 75.

Издательство АО "Диалог-МГУ". ЛР N 063999 от 04.04.95 Подписано к печати 20. И .97 г. Усл.печл. 2,0. Тираж 80 экз. Заказ 948. Тел. 939-3890, 939-3891, 928-1042. Факс 939-38-93. 119899, Москва, Воробьевы горы , МГУ

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, доктора технических наук, Худак, Юрий Иосифович, Москва

оО о Ч -/ д щ/оу

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ МЕТОДАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ — РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИДЕНТИФИКАЦИИ, СИНТЕЗА И ОПТИМИЗАЦИИ СЛОИСТЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР И НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ МЕДИЦИНСКОГО

ПРИБОРОСТРОЕНИЯ

Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет)

На правах рукописи

ХУДАК Юрий Иосифович

Специальность 01.04.03 — Радиофизика

Диссертация на соискание ученой степени

доктора технических наук

Москва - 1991

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ....................... 5

Глава 1. Распространение электромагнитных волн в

неоднородной среде и связанные с этим классы решений системы уравнений Максвелла (СМ) . 30

§ 1.1. Класс квазипотенциальных (КП) электромагнитных

полей и аннотация главы 1............ 30

§ 1.2. Плоские электромагнитные волны — простейшие представители класса КП полей............37

§ 1.3. "Физическая" постановка задачи о падении плоской электромагнитной волны на плоскую границу раздела двух однородных сред............... 41

§ 1.4. Обобщенные плоские волны при наличии плоской границы раздела однородных изотропных диэлектриков. (Математическая постановка задачи и основные формулы для ее решения) ..............48

§ 1.5. Падение плоской волны на плоскую границу раздела двух диэлектриков (продолжение математического исследования, выводы) ............... 55

§ 1.6. Выделение класса КП полей при помощи условия ортогональности. Преобразование СМ для полей класса КП....................... 70

§ 1.7. Примеры классических задач электродинамики, решения которых входят в класс КП.......... 79

§ 1.8. Основные структурные соотношения для полей класса

КП....................... 87

§ 1.9. Класс квазиплоских электромагнитных полей .... 101

§ 1.10. Существование квазиплоских волн в изотропных диэлектриках ....................108

Выводы............................122

Глава 2. исследование и решение задач электродинамики слоистых диэлектриков и соответствующие классы функций..............123

§ 2.1. Класс квазипериодических функций и аннотация главы 2 .......................123

§ 2.2. Описание основной физической системы. Основные математические соотношения.............135

§ 2.3. Исследование основной системы уравнений для слоистой

среды......................141

§ 2.4. Некоторые алгоритмы решения прямой задачи для слоистой среды (общий случай)............148

§ 2.5. Некоторые алгоритмы решения прямой задачи (случай

однородных слоев) ................155

§ 2.6. Структура ряда Фурье коэффициента отражения для

системы однородных диэлектриков.........164

§ 2.7. Решение задачи идентификации магнитодиэлектриче-

ской структуры (случай однородных слоев).....169

§ 2.8. Оценки коэффициентов отражения и пропускания системы диэлектрических слоев...........178

§ 2.9. Отыскание минимума среднего значения функций рабочего затухания для ступенчатых систем......191

§ 2.10. Отыскание наилучшего однослойного просветляющего

покрытия для интервала частот..........204

Выводы........................209

Глава 3. ПРОБЛЕМЫ УЛЬТРАЗВУКОВОЙ ЛИТОТРИПСИИ и их РЕШЕНИЕ МЕТОДАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ......................210

§ 3.1. Постановка проблемы и основные математические модели .......................210

§ 3.2. Математическое моделирование процесса фокусировки

квазиударных волн в линзовом литотриптере . . . . 216

§ 3.3. Преобразование волновых фронтов преломляющими и

отражающими поверхностями...........229

§ 3.4. Преломляющие и отражающие осесимметричные фокусирующие системы для плоской и сферической волн.......................238

§3.5. Программа "LINZ" для построения фронта преломленной волны по заданному фронту падающей волны и заданным преломляющим поверхностям линзы .... 247

§ 3.6. Результаты тестовых расчетов по программе "LINZ" преломленных волновых фронтов для падающих на плоско-эллиптическую линзу плоской, сферической и

"бесселевой" волн ................254

§ 3.7. Распределение "энергии" в пятне фокусировки для различных фронтов падающей волны.........259

§3.8. Задача об исправлении волнового фронта падающей на

линзовую систему волны..............265

Выводы...........................271

Заключение......................272

Литература......................274

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертационного исследования.

Новые проблемы возникают как в традиционных исследованиях, связанные, обычно, с расширением диапазонов используемых частот, сокращением длительности используемых импульсов или с ужесточением режимов работы аппаратуры, так и в связи с использованием новых поколений техники, существенно расширяющих ее возможности.

При этом, необходимо особо отметить принципиальную роль стремительного развития цифровой техники и особенно компьютеров, с учетом их все возрастающей экспансии практически во все области человеческой деятельности.

В радиотехнике компьютеры сейчас используются на всех стадиях разработки, проектирования и эксплуатации соответствующих систем, начиная с процессов автоматизации проектирования их отдельных узлов и систем вцелом и заканчивая системами изучения эффективности использования тех или иных их частей.

Внедрение компьютерных технологий требует адекватного математического моделирования процессов разработки и эксплуатации радиотехнических систем. Переход на качественно новый уровень абстрактного осмысления существующих технологий заставляет по-иному взглянуть и на уже традиционные проблемы радиотехники.

В частности, все сказанное выше имеет прямое отношение к

крайне важной проблеме радиотехники — разработке обтекателей (см., например, [2.20]), закрывающих радио или акустические антенны, расположенные на подвижных объектах, которой посвящено большое количество теоретических и экспериментальных исследований.

Для создания хороших обтекателей необходимо обеспечить заданный уровень их высокой прозрачности в заданном рабочем диапазоне частот.

Та же самая проблема является чрезвычайно важной в оптике (см., например, [2.18]) при разработке просветляющих покрытий для высококачественных линзовых систем.

Прямо противоположная задача возникает при создании диэлектрических покрытий для зеркал и зеркальных антенн, когда требуется добиться предельно высокого возможного коэффициента отражения для таких устройств в максимально широком диапазоне частот.

В указанных классах практически важных технических задач возможны дополнительные технологические ограничения на используемые материалы и толщины соответствующих покрытий, еще больше усложняющие исходные задачи синтеза таких устройств.

Другой важный класс проблем радиотехники сводится к задачам идентификации некоторого устройства по той или иной информации о входных или выходных сигналах этого устройства (см., например, [2.14]).

В таких задачах, возникающие при их решении сложности, носят качественно иной характер, чем в задачах синтеза.

Однако, и здесь, для направленного продвижения по пути их исследования и решения, необходимо углубленное изучение характера функциональной зависимости основных рабочих характеристик рас-

сматриваемых систем (таких, например, как зависимость коэффициентов отражения и пропускания от частоты), а также подходящих для их исследования входных воздействий и их выходных реакций, от параметров задачи, в качестве которых могут выступать, например, границы частотных интервалов, длительности импульсов и наборы физических параметров, характеризующих эти системы.

Все указанные выше зависимости могут быть выяснены только в процессе более глубокого, чем это было принято до сих пор (см., например, [2.1]; [2.4]; [2.9]; [2.10]; [2.18]; [2.19]) анализа подобных систем.

В настоящее время самым мощным средством изучения любых технических систем является их математическое моделирование с привлечением необходимой для этого вычислительной техники.

Такое изучение конечно же не может полностью заменить необходимое количество натурных экспериментов и тем более испытаний новой техники, но при правильном сочетании с традиционными методами разработки и технологической подготовки производства аппаратуры методы математического моделирования ее основных характеристик позволяют, как правило, значительно сократить физические объемы экспериментов и, следовательно, время затрачиваемое на их проведение .

Проблемы классической электродинамики (КЭД) (см. [1.1] — [1.32]), как и другие научные и технические проблемы, математическая постановка которых связана с дифференциальными уравнениями, естественным образом подразделяются на прямые, обратные и

оптимизационные.

Однако, ввиду большой сложности таких задач, в случае общей неоднородной среды, и, несмотря на продолжающийся интенсивный поток исследований в этой области, направленный, в основном, на изучение важнейших специальных случаев прямой задачи, еще не создано сколько-нибудь полной классификации возможных типов решений прямых задач КЭД, а также недостаточно изучены многие их свойства.

Так, например, в типичной обратной задаче КЭД требуется по какой-либо заданной характеристике электромагнитного поля найти параметры среды, в которой существует указанное поле, или его источники.

При этом, обычно, предполагается, что заданная характеристика поля принадлежит некоторому классу функций, а искомые параметры среды или функции, характеризующие источники, принадлежат некоторым, вообще говоря, другим классам функций.

Обратные и оптимизационные задачи КЭД, как правило, являются некорректно поставленными и исследованы еще значительно меньше, чем прямые.

Этот недостаток теории особенно значим, если учесть, что именно к обратным и экстремальным задачам, чаще всего, приводят проблемы разработки, конструирования и производства современной техники.

В применении к классической электродинамике дальнейшее развитие методы решения обратных задач получили в важных исследованиях многих других авторов (см., например, [2.15], [2.16]).

Цель работы.

Для достижения этой цели было необходимо:

— провести комплексные исследования по широкому кругу задач КЭД, включая их математическую постановку, изучение свойств решений прямых задач и использование этих свойств для решения обратных и экстремальных задач КЭД;

— разработать теорию анализа слоистых систем до такой степени, чтобы стало возможным проанализировать зависимость основных рабочих характеристик таких систем от физических параметров

и частоты;

— исследовать зависимость плоских электромагнитных волн в плоскослоистой среде от физических параметров среды и частоты;

— доказать свойство квазипериодической зависимости от частоты основных характеристик плоских электромагнитных полей в слоистых диэлектриках;

— создать понятийный аппарат для использования свойства квазипериодической зависимости при постановке и решении задач синтеза и идентификации слоистых систем;

— использовать свойство квазипериодической зависимости основных характеристик слоистых диэлектриков для оценки коэффициентов отражения и пропускания для таких систем в различных смыслах;

— исследовать вопрос о единственности решения и создании алгоритмов решения обратных задач для слоистых систем;

— исследовать свойства коэффициентов отражения и пропускания для решения на этой базе задачи согласования радиотехнических устройств в различных постановках;

— получить в удобном для исследования и последующего использования виде дифференциальные уравнения, возникающие из законов преломления Снеллиуса и отражения, для корректировки волновых фронтов в линзовых литотриптерах;

— разработать программы для персонального компьютера, позволяющие "наблюдать" за процессом распространения волнового фронта ультразвуковой квазиударной волны в рабочем пространстве литотриптера;

— провести комплексную отладку указанных программ на тестовых примерах и отработать методику отыскания важнейших "мо-

ментов" распространения волновых фронтов таких, например, как зарождение и развитие особенностей на них, связанных с повышенной концентрацией энергии в окрестности этих точек;

— исследовать возможности и выработать рекомендации для повышения степени фокусировки квазиударных волн в линзовых лито-триптерах.

Предмет исследования.

Основным предметом исследования является система уравнений Максвелла, моделирующая процессы распространения электромагнитных волн в неоднородной, но изотропной среде, ее различные варианты, приспособленные наилучшим образом для исследования рассматриваемых задач электродинамики и на базе геометрической оптики и общности законов протекания волновых процессов (вне зависимости от их физической природы) — близкие задачи ультразвуковой литотрипсии.

Общее структурное исследование типичных решений системы уравнений Максвелла в виде "распространяющихся" волн в неоднородной среде с непрерывными физическими параметрами создает методическую базу для специализации подобных решений для сред, физические параметры которых претерпевают разрывы первого рода на некоторых фиксированных поверхностях и которые чаще всего и возникают при физическом и математическом моделировании практически важных задач электродинамики и акустики.

Научная новизна.

В работе

— разработан математический аппарат для специального представления решений уравнений Максвелла в неоднородных средах и

исследования важнейших свойств таких решений;

— получены представления основных электродинамических характеристик слоистых сред, пригодные для исследования их зависимости от физических параметров среды и частоты;

— показано, что все основные электродинамические характеристики магнитодиэлектрических слоистых сред являются квазипериодическими функциями частоты;

— разработан понятийный, методический и математический аппарат для исследования и решения широкого круга прктически важных задач анализа, синтеза и идентификации слоистых сред;

— получены и обоснованы точные эффективные оценки для коэффициентов отражения и пропускания для слоистых сред;

— доказана теорема единственности восстановления электродинамических параметров слоистой среды по ее амплитудному коэффициенту отражения;

— исследованы все возможные случаи неединственности восстановления значений физических параметров слоистых систем по коэффициенту отражения;

— сформулированы точные постановки и получены решения задачи синтеза просветляющих и согласующих устройств в двух принципиально важных разных частных случаях — для минимума функции рабочего затухания слоистых систем в среднем по бесконечному интервалу частот и для одного слоя на фиксированном интервале частот;

— разработана методика корректировки волновых фронтов квазиударных ультразвуковых волн для линзовых литотриптеров;

— получены обнадеживающие практические результаты по корректировке пятна фокусировки в линзовых литотриптерах.

Методологический и методический инструментарий работы.

Методологической основой работы являются исследования и разработки отечественных и зарубежных ученых в области анализа, синтеза и идентификации технических систем и дифференциальных уравнений ([1.1] —[1.32], [2.1] — [2.29]).

Методический инструментарий составляют методы математического моделирования научных и технических проблем, в первую очередь такие, как методы описания этих проблем на языке прямых и обратных задач для соответствующих дифференциальных �