Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.И.ГЕРЦЕНА

На правах рукописи

БОКАРЕВА ТАТЬЯНА АЛЕКСАНДРОВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПРОСТРАНСТВ УРАВНЕНИЯ ГИЛА СОБОЛЕВА С ОТНОСИТЕЛЬНО СЕКТОРИАЛЬНЫЭД ОПЕРАТОРАМИ

01.01,01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степеня кандидата Физико-математических наук

Работа выполнена на кафедре математического анализа Российского ордена Трудового Красного Знамени государственного . педагогического университета имени А.И.Герцена.

Научные руководители: кандидат физико-математических наук, доцент А.И.Поволодкий, кандвдаг физико-математических наук, доцент Г.А.Свиридак. . ■

Официальные оппоненты; доктор физико-математических наук« профессор Л.П*Оскодков, кандидат физико-математических наук, доцент Т.Г.Сукачева,

Ведущая организация - Уральский государственный университет ¡гасни А.М.Горького. .

Защита состоится 11 ^ 1993 г. в 'І £> ^ часов

на заседании Специализированного Совета К 113.05.14 по зашите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герценг / 191186, г, Санкт-Петербург, наб.р.Мойки, 48, торп. 1, ауд. 209/.

С гиссертацией можно ознакомиться в фундаментальной бйблиотеї университета. . . . .

Автореферат разослан " сІЛоьиЛ-' 1993 г.

Учений секретарь Спедиадизированного Совета

Е.Ю.Яшина.

- з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темн. Пусть 21 , Zl,s и "У - банаховы про-

транства, причем W* с ¿f , оператор L«X, оператор 1dom М cZl -* Ї линеен я замкнут. а оператор Fc \ Ї-) еликейный я гладкий. Диссертация посвящена исследованию однозиач-ой разрешимости задачи Коши . • ‘ ,

' ' U (fl) ї 1/а ■ СС.1)

ля операторного уравнения типа Соболева

Lü-Mu + FCu). С 0.2)

При моделировании различных реальных процессов возникают •равнения и системы уравнений в частных производных, не разрешение относительно производной по времени, начально-краевые задачи ия которых редуцируются к задача (0.1),(0.2 ) . Таковы, напри-¡ер, система типа реаиэди-ди<Музии, моделирующая широкий класс дологических процессов, а такие процессы реакций с диффузией; іистема уравнений. Осколкова, моделирующая движение несжимаемой тзкоупругой жидкости Кельвийа-Фойгта. Необходимость исследования зазрешшости таких прикладных задач обуславливает актуальность зазработки соответствующей теории.

... В настоящее время уравнение С0.2> как в абстрактной форме, гак и t . различных, колкретпых его интерпретациях представляет со-5ой обгект, внзывшэдий интерес многих исследователей. Среди тех, сто исследовал абстрактную задачу С 0.1 ХСО.г) , отметим здесь забота М.ЙіВашкаї'С.Г.КреШіа и его учеников С.П,Зубовой и К.ИЛзр-пгшова; Й.А.Сздоровй к его учеников 0.Л.Романовой и М.В.Оалапеева; Т.В.НельнпксшсЯд А.Н.Ф.'Уптаокі. К работам тех, кто занимался ис-їлгдоваїгаем разрешимости. начально-краевых задач для конкретных ин-герпрзтшгй уравнения ( 0,2 ) , г.та.'ЛО отнести рабом С.А.Гальперна; иГ.Коствчёпко п Г.И.Эсгана; Є,&ЛАл\уaßter *а и T-W.Tlng ’ а; М.&оЬш'а; Д.Й.Кожанова; А.П.Глддкова; Л.Л,Осколкова; C.üulUopt*. Зрзди тех, кто проводам исследования в обоих указплкых направлениях, отметим работы Г.А.Свирлдагл а Т.Г.Сукачевой.

П.ель габотн. Проблема описания множества допустимых начальных значений, т.а, тех, для которых задача (0.1),СО.2) однозначно разрзпптма, была обнаружена екэ в первых исследованиях модельных задач вида (0.1),(0.2) . Удобно понимать эти множества допустимых начальных значений как базовые пространства ( в смысле Л.В.Амосова ) уравнения вида (0.2) . Целью работа является описание "<fop-

їлі" фазового пространства уравпенші (0,2) , . ,

Матого исследования. ОскОвням кетодом исследования слуги? катод фазового пространства, который разработал' Г.'Л.Свйрндак. Посредством аналога метода Дйпуяоза-Щедта ешпулярное уравнение ■ .(0,2) сводится к регулярному.но определенному ‘но на все:,і . 21 м а на ' некотором его подмножестве, 'являвщемей фазоші'■ пространством уравнения <0,2) . ■ . • ■ - - - ■ 1

Научная новизна. В работе получены следующие ноше'розулвта-та: .' . . ; 1 .

- определены условия., необходимые идостаточные для существо-

вания фазовых пространств .уравнения (0.2} в' случае, когда Й -линейный,, за-.жнутый, но 1, -ограниченный оператор; ' ' *. .

- на основе обобщения'понятая і> -сект'ориальнойти оператора М на случай, когда о» аатяется цолюоф 'порядка рс

операторнозначной функцш С Ь - К У1 Vполучеші сбобкешз екєз-щихся результатов для і -секториашшя операторов; .' ■> . /" ./. ,

- определены у словия, достаточна ■для"' существовали'фазовах'

пространств уравнения' С0.2) - в слутоз ( і , р)-векториальности оператора М ; . . : . .. ... . . ; ' . /. ...

- изучены квазистацконарные'подутраекторки уравнения. <0.2'і и описаны фазовые пространства уравнения < 0.2V' в случае, 'когда

И - сильно ( и, р) -секторпалеп;

- исследованы 'начайшо-адевиэ задачи для линеаризованной-'.. систеш типа реакщаьдайуапи и-для 'ыодазш-двпаешш; ііесжкмашій вязкоупругой кадкости КельвлЕа-Фоісгса .первого порядка с 'їермокои-векцией в првблгаеншг'Обербзка-Ду.сипюска.- V-. •'. .

Есе результати лігиззса . . •'

Теоретическая и втетачтчесжін ■'■ртта<пг.:остт. ■' Основная часть результатов работа пост тсоротачосйі;і .хараі;тор, Прсгдс; всего, к пел относятся обобщения результата во'.' ш-^ітвчйкііг полугщшад с'ядрами в случае с І і •)>У^^о^^по'^'лів^рра^:":М':;<']Ша(учвпг кие результаты позволгої ^здШай"^ііШеи^'і^нвЙшик;'^мог доваций в ойіасгл іізучз'н'й 'фагЬвііх'сГфОс’грщсй урав:їешій.:С. 0.2 ■) . Сни'могут быть допоЛьобішоддля ;^внтііТ'';їс6рЬи.'для'лщгеШк и полулинейных уравнений типа Соболога. \. --'.г-

Практическая 'целиость' результатов дарсёртёц'й; заключается в том. дар'' она' позчШф'-'5№Ї^оШ£^^ . ■

яяадньи- задач, -$ги • •осіїЬву.'їзпец- . '

курса "Фазовые с относительно

. - 5 - '

сакгортідоат операторами". Получению результати долаш буть не— пользоваїш при построении чкслсгппис алгоритмов решения прикладних задач для уравнений систем уравнений в частных произведших, рс-дуц:фус:ллс к уравнения типа Соболева.

Алгюбзття шботн. Результата', кзлогешше в дкссзртацпи. докладывались на Всесоюзной сколо-ссмшшро "Модолпрозанкэ и исследо-ванка^отсйтайостл физических процессов" (Киев, 1991 X 1 ] ) . па XVI П’коло по.теории операторов в функщгсналыпис пространствах. ( Нетшй. Новгород, 1901 [2 Л ) , яа семгиаре "ПолулянеВгао уравнения типа Соболева в банаховых пространствах". ( Челябинск, 1991 £3]), на математической кколз "іїонтрягинские чтения - 4" ( Воронеж, 1993 ) . .' ' ; •

ВЙ22ШІ12а* Основино результата диссертации опубликован« в работах С, 1.-5 ]. . Результата, опубликованные в совместных работах с нзучшалг руководителями, подучены автором самостоятельно.

ЙЗШіїїШ Д 112й22Ы. Диссертация состоит из введения, четырех глов 'и Списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 107 страниц машинописного текста. Библиография содержит 64 наименования работ .отечественных и варубенпих авторов.

■ . ’ содвгавта работы ■

Бо введении обосповнвается актуальность выбранного направления исследования, дается краткий обзор литератур} по теме диссертации, {Г-ормулнруатся ооновккв результаты исследования. .

. • 3 ппгтоЗ гляне исследуется'разрешимость задачи Коши ■

. . ' и Го) •= ио С1 .п

для ллпелпего Уравнения типа Соболева

' !. й. -■ Ми - Си?.)

в случае, когда липейниП, зпгяшутнй оператор М :сіо/пМс 2.1 -> Ї ограничен относительно оператора 1с ■£( ?<; 5П , Эта глава содержит четирз параграфа. ' '

3 пег.вом плтттфп вводится и обсугшается понятие замкнутого, относительно ограниченного оператора. '

Определение 1,1. ІЛіог.аства

. /(М/> . {рС С : (р1-~ М) 1 еЛСУ.ЙО]

и _

0^ ( М } - С N }>Ч ^ )

назкр.т»'7ся 1, -рмолм'очтмкм (людством и- и -спектром оператора

М СРОТПГГСТР'ЧШО. . ,

Определение 1.2. Функции ЙдСм)«(/ьі-иУЧ«ЛС2і) и ^м)* тМ)*1 £ XС?) называются правой и левой

I -резольвентами оператора М соответственно.

Для любых точек п,р*-р1(Н) имеют место правое

• «»-ЯївІСмЖіСи)» йх(*> СІ.З)

и левое

<*-/ии»СМ>1.},(Ю» 1^0)-Сї. СМ) (1.4)

1. -резольвентные тождества, которце являются аналогами тождества Гильберта, Операторнозначные функции (М) и (м) ана-литичны по ]Ц в р1'(М). .

ОпределениеІ.З. Замкнутый оператор М называется ограниченным относительно оператора ( юш просто

і -ограниченным), если

3/і.>о V/* е С («¿її >^г.) (¿¿а-МГ^е .

Пусть контур £ с С таков, что

(р«ї) С */<* ')»« »</«.> » С1.5)

а замкнутый оператор И I, -ограничен. Тогда имеют смысл еле- . дующие интегралы типа 9,Риоса: . .

*/.(***/* * О'¿г | 1*01) «О*. 0.6)

Операторы Р«£(&> и С? с^О?) являются проекторами и. рао-щеїшгот пространства 21 ш У : Й« 2і*©2і * ^ ЗГ ^ У*, •

где «. сет РСш'О ), %л* ($ *) » Ї*« Р ( Г** О V . Щи этой

расщепляется действия операторов А а М : Ь •-&*-* З-*-,, М;<&>мМ(ї2ік-» 3\ прэтем сущзствуют операторы 1,'/ с Д ($■*•, 2і‘) и К, с ХСЇ1*і $1). ;

Теорема 1.1.-Пусть замкнутей оператор МіоіошМ -г ?

І -ограничен, а контур удовлетворяет С 1.6) . Тогда І. -

спектр <*ч( м) озер&гора м . ссдераит только бесконечно удаленную точку. : .

. Следствия 1,1. В условиях теоремы 1.1 существует оператор м.-1 є * С У, &*). ' ' * '

Взежу того, что спереторкозначная функций с в

(р Є -1 Vі ?С яажявтса целой функцией а может быть представлена рядом Тейлора, а;диз «вераторнозиачноі функции ( иі., - М<)-1 . СрТ -ту* |// тога существует разложение ( 2 * м;'1» є2(г<), Г« С/Ч, & ^ (&‘) ) . имеет место следующее разложение

^ (¿я"г Р •

Определение 1.4. Для операторчсзначноЯ Функции (juL-iïy% точка °° pcv(M) является

- устранимой особой точкой, еоли Æ «

- полюсом порядка р е 0V , если йр f- О , а Йр ■* О;

- существенно особой точкой во всех оетшшх случаях.

Во втором параграфе дополнительно предполагается, что

ker L + {° j.

Определение 1,5. Упорядоченное МНОЯЄСТВО іазнвается цепочкой М -присоодииешшх векторов собственного вок-юра Я1. « car L \ { о 5 , если LVm, - МУ* t =0,1,...: V’t іі

С -1,2.... . Линейная оболочка собственных и М -

рисоединенкых векторов напивается М -корневым линеалом оператора L . Если М -корневой линеал .замкнут, то он называется М -корневнм пространством оператора L . Цепочка М -лрисоеди-енных векторов конечна, если существует такой М -присоединенный ектор Ч’р , что

L Vf. -гМ^р.| и либо Ур І cio*” Iу! . либо M4y>-i <f ¿»і L .

Здесь устанавливается, что М -корневой линеал оператора І* овпадает с корневым линеалом правой L -резольвента оператора М.

Теорема 1.2. Пусть оператор М I -ограничен, и точка 05 является:

(.") устранимой особой точкой операторнознячной функции (ju L - М )-І . Тогда оператор L не имеет М -присоединениях

зкторов, и to L > ttf Р , ôn L ' ! Q , гдо оператори

Р • и G определены в ( 1.6 ) ;

. fiî) полюсом порядка peütf опертгорнозітчной функции [ ¡и L - М)'1 . Тогда длина любой цепочки М -присоединенных яек-эров оператора L ограничена числом р , и Г--' -корневой ли-

зал оператора 1- совпадает с ядром гч Р.

Тветий патоггаА посвящен построении аналитической группм раздающих операторов уравнения (1.2) .

Определение 1.6, Решением уравнения < I.? 1 нізнчч-гсл функция w с У" ( К , 2i ) , удовлетворягапая уравнеттл < 1.й ).

О п р е д е Л о « и е 1.7, Отображение о ' : О? 2 < ■'> )

ізивается группой рлзрг.щагших операторов уравнения fl.i) . »г.пи;

(i ) S1 5і • Su - V'U S с 5? ; t

сГодля любого </„ ( il рркторнозначная пункти «<<) S к. ювлетворяет уравнению ( 1.2) .

Т е о р а м а 1.3, .1устъ линейный, замкнутий оп^гат^р

М : dan м -> S- ограничск о'гиоск'.гедьно оператора І-еЙ£& а і;оптур % удовлетворяет уаюа.га (1.5) , Тогда существует ^ группа раоревадакх операторов уразкеикя 0.2-) *

Используя тождество ( 1,0 ) , кс-'.-рудпо показать, что искомая группа задастся иктегрзяоу типа Дап^орда-ТеШгора '

5*=ДГ/ J ^

Определение 1,8. Пусть Iі-' ■ “ - группа раз-

реващкх операторов уравнения С 1.2} . {.‘ашксство

ка- S ‘ -- { и с Z¡ ¡ SV ■- о В í с Й } нагцвастс;! ядром, а и:о:::остео _

LI гч о ^ W с ’¿/ • U v/

назидается образе?.: груша {$*: t с R ¿.

По сосхрсокв» едикщей гкдшы і $* ’ t е fi j будет проектор Р(~ г") , .сирсдеяеайвЗ d (1.6'j. В силу определения 1.Б

cu- s' - tit р ь°, і m г • * г..! р - г л

0 ирод о .ч с к и с 1.9. .Рпохссстео «Г1 с ti наилааста?: фа-coüin.i »jpca:piHcito:.; ура&:ігнгл ('¡.і;') , осли:

ii'ixsCoc тязгние « «и (і) урешонгщ CI.S’) дс.\:п? e ¿s • t.q. а СЮ с «£, V te £?■

(и}до жебого «„ « «& судостьует единственное p::::ü:no ездачи С 1.1),(1.2 ) .

1 e o i; s з l.í. Пусть »илолаевц усло;ия теорегл 1,3, прк-чогл ®° ~ усграл:::.:пя особая «5ка либо волка порядка р е fiv' сператорнозначной дункц;:;: f /■’ í- * М Г1. Тогда 2J3 совпадает с фазовим прсстр-анстео.м ураиюйи: ( 1,2 ) .

1‘ «<пт-~т-:<~ч тт><рг,гр-'ч. дли joro, чтобл построить ('.азсьео пространство урашгпвг: С U2 і , ка пространства 2J , 5 опера; орп г. , М г-алагаотс;; ;:е:;о;орле услоггл.

( А 1 >' to« Ессх цс’лоче;: М -нрлсоедппенгах поиторов оператора І огу&тчот ш&:о$1а ’Д;глс«* pof/.

Сгослгтаз черса 2l* М -кэр^кой лднеал. оператора L.

( ■'* 2 У 2J° ~ дополняете- пгсстргпстдо Ь 2/.

Пусть 2J ^ 21 а Й( - некоторой елгсбраячоскоо к топологическое дополнение. Пусть З-"0- М L £i£l j: 3*J ^ L С c’JА j ^ где 2tZ - Bt°0 ííc.'.í М.

С л 3}' S- • ГфЗ’\ .

Обозначим через Я.-С М<) cyz-зшю оператора И »а педироагранствэ (&4>. '

(.Л 4 )' Оператор М. с7,” -»3“ иепрерцвпо обраизл.

(А 5 V Оператор Г-1, '• 2[‘1 -> У ограничен,

Пусть ї!с:пол:;с!;:і все условгл (А 1)'~ С А 5)' , Тогда уравнение ;і.2) редуцируется к эквивалентно’! системе уравнений

Ий° * и” і 3 и і , ч1 ^ Ти \ це оператори 2 е X СЬ") . 5сХ(2/і;,г./'0>Те2С2/1) есть

ухенис операторов О, ) М , ОМ

а пространства 2/“ , 2/1 , 'И1 соответственно; (1-Р-)

J,■ ~ Р< и : Р,: ^ и Р, : О' -■> 3~1 ~ проектори вдоль 2і°

У" соответственно; Ц - сужзнпа оператора и на подпространство &1.

Пологим

г- г.' 5тк е х сг/1 і г/*)

Л V? 7 '

введем МНОЯОСТЕО

сп - {и ей •. и^о-Пи^^ег/'М.- ■

Теорема 1.5. Пусть оператор І.сХС^і'^} , оператор

Чіс/ол М -* » ликоен. огмтшут, к выполнены все условия :а 1 / - С Л 5) . Тогда множество Оі - (газовоз пространство уравнения С 1,2) . ‘

Г о о р о м а 1.6. Пусть линейный, замкнутий оператор Мгс/опМ -V £ ограничен относительно.оператора І, с--І!(2/; 3") . Тогда сле-ушке условия эквивалентны: ' -

С і> с» - устранимая особая точка либо полвс порядка ре Ы пэратор-’ог::а'шоХ функции С/л 1* - М Г1

' С ї і ї сстолненц условия ( А 1)'- (А о') ,

Втогяя глава состоит кз семи параграфов и посвяцона исследована фазового пространства лилейного уравнения типа Соболева с 1 «2 % і случае, когда лнпеШшй, замішутаЯ, плотно опрэделзнпай опоратор "А кіот (А с 2/ -*• •? сектсриолен относительно оператора I (¿(Ъ-,3) : чкелом р =0,1»..'. •

Для этого в п?шюм паппт^й вводится понятие С Ь . р ) -сек-'орналыгого оператора М . Здесь аналогично § 1 главы 1 вводятся

і рассмотрение I- -резольвентное множество р‘ С М ) и і -¡пектр ІЧ) оператора И , правая- СМ) н левая , СМ) I -резольвенте оператора 01 , устанавливается аналог

’оадестпа Гильберта.

Определен иег.1. Оператор М нпзнпаетел сякторя-

игьнкм относительно оператора 1- о'числом р «-0,1,.». (

іросто ( I. , р) -секториальним ) . роли существуют Л С 0 15

- 10 -

9* (^/.l ,ir ) такиэ, что сектор

'S'ft.sO) - {/<€ С: cpL(M),

причем: f; > 1/ju e Ji<e ( M) \ Sr ( )

11 i IK/OI,

где PCju) - многочлен степени p =0,1...P(ft) * О,

f* e (ü); (il ) Є ¿¿„OOVVfiO L*0,J,...,p

^{Л1 (M) koo >Üо11 b*CM)!W)J 4 ffTjsrar ’

где .SrCßJ’iAeC! lA'Q 1* Г) . Если p =0, то оператор M называется L -секториальным. .

Если существует оператор U *•?(■?; 20, то из секториальности оператора L'JM : domM ~^Zi следует С L , p) -векториальность оператора М. .

Т е о р е м а 2.1, Если оператор М L -ограничен, и (АО

- устранимая особая точка либо полвс порядка р е (¡7 операторнозначной функция (juL - И У1 , то оператор М ( L , р ) -секториа-лен,- . f t

Во втором пагогпаФе вводятся б рассмотрение правая = Д( ß.Lftc См) и левая ~ йь 1 //кСм) мульти-

резольвенты оператора М , изучаются их ядра и образи. Для этого аналогично § 2 главы 1 вводятся М -корневые линеалы оператора L , устанавливается совпадение М -корневого линеала оператора L и корневого линеала правой t. -резольвенты См) оператора М. . , . ■

Более того, в случае С і. , р) -секториальности оператора м длины всех цепочек всех ненулевых векторов ядра оператора L ограничены степень» многочлена Р . ..

Теорема 2,2. Пусть t.ü.J,Тогда:

(i) im С c^lPJ С М > ~ ihn С(л,р>(М);

im Ll(/v(p, Сн) - -

iü) ядро ttr ß'ijUjfjCM) есть множество собственных векторов оператора L и М -присоединенных векторов высоты, не большей

Р 5 . : - '

(ін) ter ~ ttr d dom М '

Следе т в й e 2.1. Пусть оператор (Ч ( i, . ^ -се'кториа-лен. Тогда: (! ї tu (М) ПГm £^/>j Ctt) -

<п) ttr 11(Пр,См)П f«. L^.p) O) -- i®Jr. . .

. - 11 -

В третьем параграф.? строится разрс’ла;:га;т полугруппа урарнсн/т (1.2) , Решением задачи Кони назовем (Функции и ( 01. - Ь) ПЛ й^Ь)

удовлетворяющую уравнению (1.2) и у слоти (1.0 .

Определение 2.2. ( ?) Отображение о *с- ^ С ¡5, у! (їїУ;

называется полугруппой, если 5*^ Уі.ї'е -

(її) Полугруппа { ^1; і £ называется разрешавшей полугруппой уравнения (1.2 ) . если для любого и „ с 2/ функция и ^,

будет удовлетворять уравненга> П.2) .

Теорема 2.3. Пусть оператор М ( (, , р)-секториалон. Тогда существуют две полугруппы \ 5* *. і с- $. I и { Т*: ^ £ (¡5. \ ( первая из которых является разрешающей полугруппой уравнение с 1,2") . Искомые полугруппы задается интеграла-.;;: типа ДакФорда-Тейлота

Ль * -^-г і ^І ^ас1рс т.с <2.1)

0 ЛТІ % > і >

Т* = _і_ і ¿1 (2.2)

«І?" і ї

да -д

с (ґ'О - контур такой,

■ что ^ -V ± О при і р 1 -* *■ °° • (2.3)

Отметгал, что полугруппа {Т*: ке $4] , определенная интегрален С2.2 ), я&ляетея полугруппой разрешающих операторов уравнения . . . .

ІЛ(М)5 » МС*І~М) (2.4)

где л ер1 См).

Обе полугруппы аналитически продолжкмц з сектор {.ЇС С :

<Э-г/а} • Кроме того, имеет место оценка

іг^а-х { К ^Иа(гі) •> І1тіІ|<гст) ^ * с“мі' '

■ В четвертом параграфе изучёатся ядра и образи полугрупп (2.1) и (2.2). і

4 О п р,е д о. л е н п е 2.3. Пусть { $ • ¿6 $*5 - аналитический секторе А ^е' С : £ і полугруппа. Ядром этой полу-

гругаи'называется множество. . ■ ,

- ■ ю.г &" ^ { 1Р с 21 •' V * О 3 (£?., }. .

Пусть оператор М ( д , р) -секториален. а полугруппы 15 >' іе К-, і;‘.и ІТ *гН &> 5’.. определены интегралами ■ (2.1) и ( 2І2 ).'.соответственно. Обозначил через )•»( 4-І сужение оператора ,1.' (• М ) . на .1г£г З' С *’е-г 5» * Л Ыо»> й V . Нетрудно показать, что■ ¿о • к£г &" -? кіт- Т \і. и* М*.*, КІГ,5*(1 Ыо»и М -*> ссг Т*.

Как и в случае L -ограниченности оператора М имеет !.;есто Т с о р е а 2.4. Пусть оператор ҐЧ (Í., р)-ссктор'.шлен, а контур 'J' с € удовлетворяет ( 2.3 ) . Тогда /.» -сцектр оператора М содержит только бгскопечно удаленнув точку.

Из теорема 2.4 следует суаюствоваике оператора МІ1 є2(urТ ^

(сег- ) . Полсккм S - t'-i'J L^zlCcir S'), в сішу їаорсьін 2.4 ояера-торнозначиая функцій CjuK-T Г1 является целой функцией перемзкной-fj с- £ . Поэтому се мояно представить ряде:.! Тейлора .

с и R -1 у1 •=. - ÉL ¡г/* ак. ■

* íCtp * .

Назовем точку о* устранимой особой точкой, если й * © j • полюсом порядка р с- CV' , если R1' / О . a ©> ; сущест-

венно особой точкой во всех остальных случаях.

Теорема 2.5. В условиях теорекк 2.4. следувдис утвердде-ния эквивалентны:

(С) оо _ полис порядка р о (¡V еяераторнозкачной функции С /4 ft -1 >~3 •

tu) ter Л* = fccr > •

cu;) tw т' -г cí-г сїм ). t

О в р е д о л с in е 2.4. Образом полугруппы i & ¡ t-eíñ.5

называется множество . ч

:£Х5 Ч -Ч>У

Теорема 2,6. Пусть заполнены условия теореми 2.4, Тогда:

(*) S' ^ Гп, .

О t ) ttrt X 3 îî>î L сp,p} ( P’i j * -

С л e д с т в к e 2.2. ( « ) Cm $>’ О ¿¿r S* - {

( ■' * ) t T* к cr- T * •*- i О J .

■ В пятом nararrafte исследуется фазовое иростраютсо уравнения С1.2 ) в случае С 1- . р ) -секториаяьиостк оператора И .

Определение 2.5. Множество 01 с Zl называется фазовым пространством уравнения ( 1.2) , если'

( I ) любое решение u_e 3‘"Cliî,'>'i»)r\îfCS,;^i ) лежит в 0L , т.е. и С t ) é oi V L е к , ’

(fîi для любого u0s 01 существует единственное реиеиис задачи Коши для уравнения (1.2). . .

Наряду с задачей Коши для уравнения (1.2) рассматривается обобщенная задача Шоуолтера-Свдорова

l/гГ Ни ОХ ‘ °. . С2.Ь)

- -

С*0

1 'Э

— I V.» ~

Ревоне! задачи С2.5).С1.2 ) нагапзотся ^уіітог: к сї'(Сі,•,£<), удоглетаоряг^м уразнюнга (1.2} н і м)и£* ^->мі_й^(м):1'с,

при і -> О і в нор:.:е пространства У . Ответим, что любое роце-яке зэд.тп: ( 1.1).СІ.2) лзкздтся реасшіси задача (2.5),(1.2). Зйесь устанавливается, что для любого и,с 21 существует

■ едіше?го:шсе репгзнп? седачи ( 2.5),(1,2 ) а ккоот взд « (* )* 4і где {і,'' ■. і с (Я, і - полугруппа. определенна! кнтегралем С2.1) . В силу отого ітет ”оото

Т о о р е м а 2.7. Пусть огоратор М ( і< , р ) -езкторпален. Тогда фаізспсе пространство угагно!н:я С 1.2) совпадает с образом

і іп й ".

Зокетгм, что образ іт Т ’ полугрупп: ("Г : Ь с 1А , і , ои-ределопної интегралом (2.2) , ягяксгся фазогь'У пространством ЗЬ ураВПСІПІЯ ( 2.4 ) .

В ! юсточ іимт'п устачаз-таглстоя сукоствовпнио едіяшц полугрупп (2.1)' и (2.2).

О п редело и и е -2.6, Оператор М назнгается сильно (I , р) -секторкапьтягл спрага ( слета ) , сслл он С і , р )-ееито-рнален при лабчу. .}рр > Я е 5 о <Г^) ( и лтэбом «с е С ^

,-,и г -і і Сса^С

!|- ^ср.п^О іи-м") :1Х(у..?1) < 7яТї/-І-к"7і)7,Т

(кл-кіт-нП^ооі,,,,« ігг^ілі ) •

Слоротор И , сально С і . р) -сеоторкаяш.'й справа и слева, на-

зотзотся сильно ( і, , р ) -ссіггорпатьшіч.

Т о о р о м а 2.П. Пусть оператор М сильно ( 1» , р) -сек-торнален справа, агентур у с £ удовлетворяет (2.3), Тогда существует едізіхца полугруппа (2.1) . . •

С л о д о т в и о 2.3. Пусть оператор М сильно (I* , р ) -секториалеп слева, а контур ¡у с С удовлетворяет С2.3). Тогда суцзствуст единица полугруппа (2.2) .

■ Эти одакяда сэдсзтся формулами

Р «з-б-ш- с- <тсго , О - ^ - ^«7ь є 2СЗ 3. ■

' Обозначил через 2!п линеал Ы014М , снабленппії норггоіі графика 1І.І1Н - !!М.1іу -с Ц.|!г, .

С л е д с ? в и с 2.4, Пусть оператор М сильно С/- , /О -

сахториален. Тогда оператор Р с X (Ьн ~).

В сд.-чАїом п^пгттаі'е рассматривается несобственный интеграл

Л* - -4- і ( ti L- м i"1 (■ X (T'Zt ) Í е й+ ,

*1 *lȒ j J 1

где: fe С удовлетворяет ( 2.3 ) .

'fe о pe май.9. Пусть оператор М сильно ( і , р) -сек-

торатлен. Тогда существует оператор t % (&■ Ct),

Оператор есть сужение оператора '

Г . S- Ь'ы -Р4, Є Х(7\Ь)

- % *'*0’ -ий Л) . _

Обозначим через М< сужение оператора М на А а 0((\сЬ*иМ. Положим Т- i,, Mi : cfom Г-» £ч -» Cí, .По построению оператор линеен, замкнут и плотно определен. .

Следствие 2.5. В условиях теоремі 2.9 оператор . T‘do.>iT-f Ос секториалпн. .

В третей главе изучается Фазовое пространство полулинейного уравнечия типа Соболева СО.2) . где оператор І* с- CfCZ/^?) . оператор М; dc.n м с ?/ -> Ї линеен, замкнут и плотно определен, а оператор F с ■ 0’) . Эта глава состоит из трех параграфов.

В первом пдшгваге определяется область определения iit оператора как одно'из пространств семейства {2/Mi* : 8/н *2^

* 2,'.,1 .rfc 1°.' где g(i - зашкакие линеала в норме ¡t.i¡^^

!l(3-b.¡iMi I1P.K* ,a l.ü, * í(-7a^JC( ,Тй-=Т-ॠ,a > o.

Здссь i’ : 2.( -> IIі - проектор, единица полугруппы ^ І 4 t Є R. і определенной ( 2.1 ) . ■ -

0 п т- е д е л е- и я с 3.1. Решением задачи Коши для уравнения (0.2) называется функция и. с } і<,= і»((/о)>0, удовлет-

г-стаюмая уравнению ( 0.2) и такая, что и (t}и0 при t-»0 в норне пространства Р . . .'

;ідєсь устанавливается, что задача (0.1),(0.2) сводятся к эквивалентно!! нормальной Форме .

I й 1Ї* - ие •* GC4, > , ue(o)-

1 * # ' • '

I и1 ,-с. Ти ‘ * Н («), и' (о ) ■» о t,

где = (ї-Р)и-< Ри , £? '• J” “>■ Т - проектор. ЄДЙ-

мица полугрупп;/ {Т*: t( (?,i , определенной интегралом (2.2},

С - М* tо с -У (Ъ"') . Т-- /.7 М« - секториалышй оператор, 6 -

kj (!-Ü)F f H--¿;'0Pf y-í2/-. fc‘). •

So Г.ТПГУ1М пагагра-іп исследуется (|.а?овос пространство уравнения ( b.U ) .

- 15 -

Определение 3.2. Множество Ф е 24г казетаетсл ©азозыа пространством урагнякся ( 0,2 } , если

С »> любое решение и ( )ОУ([о,40')^г)

урадкення (0*2> левдг з ^ , т.е. Ц (*)£,& УівЦо.іо);

<»Ч'5ярв любом ц«е& существует адккс?Еекное ретекпе задача (0.1),СО.2 у. ■

Э еяяу везоааовдостя однозначной разрэгкмоста гздачп С 0.1', <0,2) возиккавї необходимость калозеквя некоторых стразнчснгй.'

. Определение 3.3. Пуста пространства ¿1 , ? рао-вешмэтса в прямые сукш: 2} *. &'<$>&* , 3 =• “ ® 3“1 , Пусть

расзеаюэтся действия операторов 2. , «М г I > ¿1* •+ $* ,

М : її« -*ї" «=0,1. Решение задача (0.1ЇЛ0.2) ваззвазтся кга-аиотедгокЕркоЗ соаутраекториеа» еслн ий* - о, где «*{<)« Ь.0 УіеСо.і»),

Пуста оператор М сильно (Ь , с) -секторкгиен. Тогда задача <0.1),С0.2Г аквямяеитна своей норызльиой форме (ЗЛІ . В силу этого ограягпйиэя поисками таких квазкстаїїйоааршд подутразкто-

р$§» что <Ы * « О. . ' • . '

Т о о р в м а 3.1, Пусть оператора ** е£С2/-, , И :<*«* М -*

3 лкавеп, займут я плотно определен, Я € ’,!?}» прячсіі

оператор М сильно (і. , р) -секториалвн, а ядро *£*■<» до-псшнкеао. Пусть и г У°'((о,и')^ }0У(1о1*°У>Уг) - квазкстзипс-кергая водутраектйрш задачн С0,1 >,<0,2) такал, что Ой" ъ о. Тогда Уіе£оДв‘>,$.>о

і)(4) ¿Йг :(?-{>,)(« «С<“))»о}5 .

па г? » { « С !-?.')(Т-?) ( а -а®> - оІ.

Здесь Ра &*-■> Ь 00 , 4хг является проектором вдоль некоторого гадаростракстеа 2(**» 2г в . Теорема ЗЛ устанавливав* кзобходкаоо уеловкэ кзазпстедзеяаркоотя- полутразятортп га-дачя ( 0,1),<0.2 > , Одно из оозмоанвг достатсчнах уатовий одас?-вовавйя квазгстгщЕоягрнш! полутргекторкй ээдача С0.1 ),С0»2 > рзо-окатрзваэт ■ . - ■

Т е о р в и а 3.2. Цусть оператора £• « мМ

-> ? ЛЕпееэ, згакаут а’плотно определен, Р с ^(2^3'}, причем оператор М сюпько ( I » ) -сэктсргглем, а ядро £гг /. до-

полняемо, Пус?г> суЕЭСтаует такал окрестность О с б « что

(Т-РЛСш йСи))^ о У и с СО і пусть точка ■

ч„б^ - {к €(£>:

- 16 -

и пусть имеет место равенство ' .

Ро 6 к Си. ) Р„ я О , '

Тогда существует единственное решение и £ У((оЛо),ги( )(1^С°,М-,2/р) задачи (0.1),(0.2) , являющееся квазистационарной полутраектори-ей. . . ■

СледствиоЗ.1. В условиях теореш 3.2 окрестность Фіо точки «ое^ есть фазовое пространство уравнения (0.2) . Кроне того, множество ігі локально является СҐ -многообразием.

В третьем параграфе выделяются условия, достаточные для сильной ( і , р) -секториальностк оператора . М , проверить которые в приложениях сравнительно просто.

(С 1 ) Оператор і. е.X(2/^ а оператор М ¡с/сиі /Ч —*■ <?

линеен, замкнут и плотно определен.

(С 2 ) Длины всех цепочек М -присоединенных векторов ог-

раничены числом р с- Ц1/ .

Обозначим через 21° ,•! -корневой линеал оператора .1.

(С 3 ) Существует проектор Р, і V -* 21 ° такой, что

Кьхсгін). ■ , . ■

Обозначил через ¿Iі ядро сег Рк , т.е, й°0 і'1 « с(,

Положім 5го ■* М[2/мЗ . &1 ~ ^ С <и А3 , где Л 2/ м .

(0 415.3'©?'.

Обозначим через і е ( Мс ) суконке оператора 1. ( Н ) па ^ (2<м,- 2/) к =0.1, а через Оі'- 3”-> ? проектор

вдоль У1 . В силу теоремы Банаха существует лилейный, замкнутый и плотно определенный оператор Т; гісмч Т ■= 2і1ц Ь1 , равный,

сужению оператора іі1 ( I ~€>и ) М на 211м . .

(С 5) Оператор Т :ЫамТ Ь1 секториален.

С С 6 ) Оператор Мо1 '¿/Д 3 0 непрерывно обратим. ,

Обозначим через к е V СЬ"') оператор м«1 •, а через

- сужение оператора м;-1 01 !л на ?^м . ,

СС7) Операторы Л Те <= У (Ъ‘ ^ Ьа) с і ,••• •

Положим 1

Г - £ 5 Тс с 2 (&‘;2Г ) ■

И ВВСнем в рассмотрение множество ■ . . ■ ■

¡>7 {_« с ; и ~ ( I - Г) и ' , .4 і с ь.^ 5 . ,

Тогда, рсли выполнены условия (С1)-(С 7), 01 - фазовое

простіпнетво уравнения (1.2) . причем 2і .

Т'!К»п ИМС'СТ Ь'^СТО .

. - 17 - - .

Теорема 3.3. Пусть выполнены все условия ( С 1) - (С 7). Тогда оператор М сильно ( 1. , р ) -секториалеп справа.

Следуетотметить, что фазовое пространство 01 , определея-

ноэ теоремой 2.7, и Оі совпадают.

3 четвертой глава полученные абстрактные результата прилагаются и конкретіплг начально-краевым задачам для систем уравнений в чпотних производных. '

П§Ш2ІІ ЕЗШИЭФ посвящен исследовании разрешимости задачи Яопи-Дпрахла для линеаризованной система типа реакции-диффузии, нолучепноЗ к'з скстекы уравнения

| ь >,

| ^ » рл IV ч^О,^) . (4,П

пра <* =0« Система (.4,1) моделирует широкий пласс экологических продгйсов, а таїне, описывает процессы реакций с диффузией.

Редуцируя’систему (А1 ) к уравнению (.1.2), полагаем 21 * ^я2/’*'2Г , где ЕГ. - пространство (£гО либо а оператори і а М зададим матрицами

. . /6 © \ М ж/*4*0" а'г \

1ё т ) 7 \ й*( рь*а**)

где (У,]!'/У * ОнV ■* 0<і№, $л.Су,н/ У» Од# У ■+ IV , Далее. Проверяется ШІПОЛЯЄПЕО всех УСЛ02КЙ' (.С 1 ) - ( С 7), ЕОДЄЛЄШШХ в § 3 глай» 3. . .

Т о о р е и а 4.1. Пусть dCm r.tr (с«Д •* 0« }-=■ і , константа и Да» отліягш о? нуля. Тогда для лаСого . й. €-£-{«* Є& : и * (Т-5 ")« 1 , и1 е Ь1 Ь ,

существует, сдтастазнпоо решение ие ї“(Е, У (Л, )

задачи Коши-Дприхле для лянаарззогзинсЯ системі С 4.1) .

Во, втором" р^гг^е рассматривается система уравнений

Г(і-ху4')у< * (у.р)у - р -*а*б ,

‘ <*•*>

, 6>+ -- у'• г© -

модетаррзяіЯ'овояацпз' скорости ОЛ,..-,''«-) > У» * і''.*

градкзнтадазлвнйл р = Ур~ Р} и теглературн © * ©£эгЛ ) песямзн.'іЯ '¿ізноугіругой звдкоста Кельвша-Фойгта порядка 1.

. НатояьнО-яраевая ¿¡дача для: системы (4.2) редуцируется н абстрактной'задаче С 0,1),(0.2 У. Для этого полагается

г. <4.з>

где М„©н£ - (¿í )nvv¿CSi’))aíHe4.€) 8-2 g- ^ (t*ACSi'i)n‘*

ад •* Lir , He -1^(0.). Пространство «мучено вешка-,

нкем линеала Я *• { V е -ССГС^))* '•• V • v ■»,о } по кодов пространства (l/CiQ))4'! Йí- - • Пространство Й* есть пе-

ресечение ^подпространства У*, и пространства fv^íSíín^'(Si'Л'1; Оператор I i Zi~>3: задается матрицей

/гдх2 г.Д*п <о од -

L . ПА* 2. Пй*п О о \ á4

( о о о о

\ О О С> I ' , '

где Д «. ~ Г - * , 21 : Н* © Ht *■* НХ - проектор вдоль Hj-.

П »r-X. Оператор L линеен и непрерывен. -

’ Формулой • л .

/ VZA1 V2.АП О ' О д • ,

I -Р П А2 i>flA П -п О \

^ - (0> , с О О * <4*б5

Д О © ® <Й /

где С: а -» -V • (?•«). задается линейный, замкнутый. плотно определенный оператор M’ cíomMc2í- ~J* &. ", где cícim -М

HÍ*Hr * Нр * Нй • Н£ ■*!*£((Л), Оказывается, что оператор М сильно ( L, 1 i -секториален.

Полагая ft(v) ■»-(v.p) -v', определим оператор ,

/ ‘S.b •* $~\ .

к<о- П 6CV> -^nfe < ífV rft/'.ayw

где Л -V-ге -f-V : I . .

» Mi* X ff P x H© , »tv'i/P.). . C4.7)

Теорема 4,2. Пусть пространства Si , ? и определены в (4.3) и C4.7Í , а оператора L , М и f - в С 4.4 > - £4.6 ) . Тогда для любого (/„6 «И. существует единственное решение u í y'‘(Co,t.),ZJp >0 Cf(fo,£„} , 2le > задачи Коши-Дирихле для системы (4,2)". Множество .

¿It*{íie2<; w € , Vj- * О , & £ ,