Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

1 ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ^-ОГРАНИЧЕННОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

1.1 Необходимые условия относительной а- ограниченности.

1.2 Достаточные условия относительной ^-ограниченности

1.3 ^-ограниченность относительно фредгольмова оператора

1.4 сг-ограниченность относительно бирасщепляющего оператора

Пусть Ы и — банаховы пространства, а операторы L £ и М £ Cl{li\T\ Введем в расмотрение L-резолъвентное множество pL(M) = {(i £ С : {¡ib - И)'1 е C{T-U)} и L-спектр aL(M) = С \pL(M) оператора М. Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств оператора М в случае его сг-ограниченности, р-секториальности и р-радиальности относительно оператора L. Теоретические результаты прилагаются к конкретным задачам для уравнения fiL — М)и = / , (0.1) где L и М — эллиптические операторы, возникшие в приложениях.

Обоснование интереса к проблеме. Рассмотрим случай, когда существует оператор L~l G L{T\IÁ). Построим оператор L~x М е Cl{U). Отметим, что pL(M) = p(L~lM) и aL(M) = cr(L~lM), где р(А) и cr(Á) — резольвентное множество и спектр оператора А соответственно. Теперь предположим, что спектр а^^М) ограничен, то есть

За > 0 V/íGC OI > а) (¡j, е p(L1M)).

Тогда существует единственная группа : í G М} разрешающих операторов уравнения

Líl = Ми , (0.2) 5 которую можно представить в виде интеграла Данфорда-Тейлора 1 и1 =

2тгг

0.3) где Вц(Ь 1М) = {¡А — Ь гМ) 1 — резольвента оператора Ь 1М, а контур Г = {/л Е С : \ц\ = г > а} ([18], [19], [22]).

Данный случай удобно проиллюстрировать следующим примером. Пусть О С Iя — ограниченная область с границей <90 класса С°°. Пусть < ■,• > — скалярное произведение в соболево ском пространстве ИПусть, наконец, функции ац € С00 (О) г,^ = 1,. ,гг, причем const |£|2 , ац = а^ . .

0.4)

Тогда по теореме Рисса формулой Б и, у >= ! а^иХ{ухЛх п о о задается линейный непрерывный оператор 5 :И/21 (О)

Как нетрудно видеть, оператор 5 = Ь~1М: где операторы о

Ь,М -.У/ъ (О) —> (О) задаются соответственно формулами

1и,у) = J ищухЛх , (Ми,у)= I а^щ/ихЯх , о о, а (•, ■) — скалярное произведение в 1/2(Г2). Поскольку оператор о о

5 (О,) —(Г2) ограничен, то его спектр а (Б) тоже будет ограниченным множеством.

Далее, предположим, что оператор Ь~1М секториален, т.е.

7Г

18], [22]) существуют константы иВе (—, 7г) такие, что сектор

Sa^L-'M) = {¡i G С : I arg^ - а)\ < 0 , ц ф а] С р^М) , причем . ^ const

R^M)\\UU) < 1—^ • при всех /л £ 5a;e(L1M). В этом случае тоже существует единственная полугруппа {U1 : t G М+} разрешающих операторов уравнения (0.2), которую тоже можно представить интегралом (0.3), где контур Г С Sü,q{L"1M) таков, что | argyu| —У 6 при и ->оо, fj, G Г ([18], [22], [83]).

Этот случай тоже проиллюстрируем примером. Пусть простан-ства U = Т — оператор L положим равным тождественному оператору I, а оператор М : dorn М Т согласно теореме Рисса определим формулой

Ми, v) = J(aijUXjvXi - biUXiv - cuv)dx , ii о dorn M =Wl (ß), v G domili , где коэффициенты a^, с G C°°(Q), г, j = 1, 2,. , n, причем выполнено условие (0.4). Хорошо известно, (см. например, [32]), что оператор М будет секториальным.

Итак, в случае, когда существует оператор Lrl G C,{T\U\ информация о спектре и поведении резольвенты оператора L~lM помогают нам однозначно решить задачу Коши для уравнения (0.2). Вернемся к этому уравнению и предположим, что оператор L не является непрерывно обратимым, в частности, считаем, что его ядро kerb ф {0}. Заметим, что в этом случае уравнение (0.2) принято называть уравнением соболевского типа ([37], [44], [90], [98],). В дальнейшем всюду мы считаем этот термин и термины "псевдопараболические уравнения" [9], [46], "соболевские уравнения" [45], "уравнения типа Соболева" [3], [14], [39], [44], [53], [54], [55], [60], [61], [62], [64], [66], [67], [70], [72], [80], "уравнения типа C.JI. Соболева" [37], [38], "уравнения типа Соболева-Гальперина" [97] синонимами.

При исследовании разрешимости задачи Коши для уравнения соболевского типа в [53], [55], [60] были введены в расмотрение относительно спектрально ограниченные операторы (т.е. такие операторы, относительный спектр которых ограничен) и соответствующие им группы операторов с ядрами уравнения (0.2). Очевидно, что класс относительно сг-ограниченных (т.е. спектрально ограниченных) операторов включает в себя операторы с ограниченным спектром вида Ь~гМ в случае существования оператора £ С(Т]Ы). Кроме того, в [54], [59],[62], были введены в расмотрение относительно р-секториалъные операторы, класс которых включает в себя секториальные операторы вида L~lM в случае существования оператора L~l £ C{T\U), и соответствующие им полугруппы разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.2). И наконец, в [80] были введены в рассмотрение и изучены относительно р-радиальные операторы, класс которых включает в себя относительно р-секториальные и относительно сг-ограниченные операторы. Эти операторы позволили распространить теорему Хилле-Иосиды-Феллера-Миядеры-Филлипса на уравнения вида (0.2).

В настоящее время теория относительно сг-ограниченных, относительно р-секториальных и относительно р-радиальных операторов и соответствующих им групп (полугрупп) операторов с ядрами интенсивно развивается [81]. Основной целью этой теории является поиск условий, при которых фазовое пространство ([59], [66]) уравнения (0.2) совпадает с образом группы (полугруппы) разрешающих операторов. Развитие теории идет по направлениям, намеченным в [57], [58]. Что же касается спектральной ее части, то ее развитие идет параллельно классической спектральной теории линейных операторов ([8], [19]).

Результаты теории уже сейчас помогли объяснить различные интересные явления, встречающиеся при изучении начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных, возникающих в последнее время в приложениях. Основываясь на результатах теории, различные прикладные задачи удается редуцировать к задаче Коши для уравнения (0.2), либо для более сложного в изучении полули нейного уравнения соболевского типа

Основным феноменом при изучении задач (0.5), (0.2) и (0.5), (0.6) является факт принципиального несуществования решения при любых начальных данных щ 6 Т (или щ £ Ы) [89], [94], [99].

Объяснению этого феномена посвящены многие работы. Наиболее интересными с нашей точки зрения являются результаты, и(0) = щ

0.5)

Ьй — Ми + Р{и).

0.6) полученные A. Favini [92] и R.E. Showalter [97], [98]. Основной особенностью этих работ является весьма изощренный способ исключения проблемы из рассмотрения в первом случае путем введения многозначных линейных операторов, а во втором — путем построения полугильбертовых пространств, ассоциированных с задачей.

Другой подход в изучении задачи (0.2), (0.5) предложен И.В. Мельниковой и ее учениками [29]-[31]. Здесь предполагается априорное расщепление пространства задачи на ядро оператора L и образ разрешающей полугруппы. Причем все цитируемые подходы обобщают случай устранимой особой -точки в оо у L-резольвенты оператора М.

Объяснить эту интересную особенность удалось с позиции метода фазового пространства, основы которого заложены в [46], [50], [63] и суть которого заключается в редукции сингулярных (т.е. ker b ф {0}) уравнений вида (0.2), (0.6) к регулярным уравнениям вида й = Su , и = Su + G(u) , определенных , однако, не на всем пространств^ ZY, а на некотором его подмножестве ([59], [66]). Пользуясь этим методом, удалось показать, что в ряде интересных с точки зрения приложений случаях ([48], [49], [51], [52], [56], [67], [61]) фазовым пространством уравнений вида (0.2), (0.6) служит банахово многообразие С°° — диффеоморфное образу разрешающей группы (полугруппы) уравнения (0.2) (в линейном случае (0.2) фазовое пространство просто совпадает с образом, как это было отмечено выше). Отметим, что аналогичные явления в [87], [88], [96] могут быть исследованы сходным образом.

Итак, при исследовании разрешимости задач (0.5), (0.2) и (0.5), (0.6) весьма важной является информация об образе разрешающей группы (полугруппы) уравнения (0.2). Используя результаты теории [58], можно конструктивно вычислять образы группы или полугруппы разрешающих операторов этого уравнения в случаях, когда оператор М сг-ограничен, р-секториален или р-радиален относительно оператора Ь соответственно. Кроме того, знание относительного спектра позволяет глубоко изучить прикладные задачи, как например, задачи оптимального управления [14] или задачи поиска дихотомии решений [21].

Однако до сих пор не существовует общей теории, позволяющей однозначно определить ст-ограниченность, р-секториальность или р-радиальность оператора М относительно оператора Ь. Уже давно возникла потребность найти такие достаточные условия относительной сг-ограниченности, р-секториальности или р-радиальности, которые легко проверялись бы на практике и не требовали бы обращения к ¿/-спектру или ¿-резольвентному множеству оператора М, а связали бы сами операторы Ь и М. Планомерное исследование этой проблемы было начато в [12]. Первые результаты приведены в [58]. Дальнейшее изучение относительно спектральных свойств операторов является актуальной задачей.

Историография вопроса. В классическом случае при исследовании разрешимости уравнения Фредгольма второго рода вида

Я - Б)и = д 11 весьма важным (если не сказать — основным) является изучение спектральной задачи вида

Би = /ш.

Аналогично этому в нашем случае исследование разрешимости уравнения (0.1) естественно начать с изучения спектральной задачи вида

Ми = цЬи. (0.7)

В истории изучения задач (0.1), (0.7) можно выделить два направления. К первому мы отнесем результаты, лежащие в области функционального анализа, приложения которых к начально-краевым задачам для уравнений в частных производных носят характер иллюстративных примеров. Ко второму направлению относятся результаты, лежащие целиком в области теории уравнений с частными производными, хотя, быть может, эти результаты получены методами функционального анализа.

Исследования уравнений вида (0.1), (0.7) к настоящему времени составляют обширную библиографию, содержащую работы, в которых эти уравнения изучаются в черезвычайно разнообразных аспектах. Поэтому в нашем весьма кратком обзоре мы ограничимся рассмотрением только тех работ, в которых явным или неявным образом возникают относительно сг-ограниченные, относительно р-секториальные либо относительно р-радиальные операторы.

В рамках этих ограничений исторически первыми результатами по задачам (0.1), (0.7) следует считать результаты К. Вейер-штрасса и Л. Кронекера. Именно они первыми и независимо друг от друга в случае, когда пространства Ы — Т = Мп, а операторы I и М представлены квадратными матрицами порядка п, ввели понятия регулярного и сингулярного матричного пучка цЬ — М. Именно, матричный пучок цЬ — М называется регулярным, если существует точка А £ С такая, что 6.еЬ(ХЬ — М) ф 0; и сингулярным в противном случае. Заметим, что если пучок цЬ — М регулярен, то оператор М сг-ограничен относительно оператора Ь. Действительно, в данном случае определитель с[еЬ^Ь — М) является многочленом степени не выше п. Поэтому он имеет не более п корней, лежащих в комплексной плоскости. Следовательно, Ь-спектр а1(М) оператора М состоит из конечного числа точек, и значит, ограничен.

Это несложное рассуждение позволило Г.А. Свиридюку выделить весьма простые достаточные условия сг-ограниченности оператора М относительно оператора Ь и применить их к исследованию системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида (0.6) [47]. Затем эти результаты были развиты Р. А. Свиридюком и Т.Г. Сукачевой ([64], [65], [77]). Отметим отличие их результатов от результатов Ю.Е. Бояринцева [5].

Непосредственное распространение результатов [7] на случай бесконечномерного банахова пространства было сделано учениками С.Г. Крейна С.П. Зубовой и К.И. Чернышевым [17]. Они рассмотрели случай фредгольмова оператора Ь (т. е. тс1£ = 0), и показали (в нашей терминологии), что оператор М будет а-ограниченным относительно оператора Ь в случае существования специальным образом построенного конечномерного оператора М-1. Заметим, что в данном случае С.П. Зубова и К.И.

Чернышев называли операторный пучок ¡iL — М регулярным.

Результаты С.П. Зубовой и К.И. Чернышова существенным образом опирались на результаты В.А. Треногина [6], который первым ввел в расмотрение цепочки М-присоединенных векторов оператора L. В дальнейшем мы разъясним смысл этого понятия, играющего фундаментальную роль во всех наших построениях, а сейчас заметим лишь, что в случае существования оператора М~1 Е С(Т]Ы) цепочка М-присоединенных векторов вектора р> Е ker L \ {0} совпадает с цепочкой присоединенных векторов вектора ip Е ker M~XL \ {0}. В [6] в качестве критерия (L, ^-ограниченности оператора М взята полнота М-жорданова набора фредгольмова оператора L. Забегая вперед, отметим, что нами доказан более простой критерий (I/, сг)-ограниченности оператора М в случае фредгольмовости оператора L.

Абстрактную спектральную задачу (0.7) исследовал В.В. Дит-кин [11] в случае, когда оператор L компактен, а оператор М непрерывен. Весьма сложным способом он показал, что если L-резольвентное множество оператора М не пусто, то L-спектр <jL(M) дискретен, конечнократен и сгущается только к бесконечности. Действительно, пусть точка а 6 рь{М). Тогда iL — М = XL + (aL — М) = (АК + I){aL - М), где оператор К — L{aL—M)~l : U —> U компактен по построению. Отсюда сразу вытекает основной результат работы [11].

В рамках второго направления наиболее значительным вкладом в теорию спектральной задачи (0.7) являются работы P.A. Александряна, Т.И. Зеленяка и М.В. Фокина. Отталкиваясь непосредственно от задачи Коши-Дирихле в ограниченной области Q С I2 для уравнения Соболева [74]

Аutt + uzz = 0 , они дали подробный анализ L-спектра aL(M) оператора М в о зависимости от области Здесь пространства Т =W21 (О), д2

JF — W9 ЧШ, а операторы L = А, М = — 7—г. Поскольку операо у1 тор Лапласа А в данном случае непрерывно обратим, то вопрос об L-спектре оператора М редуцируется к вопросу о спектре оператора S = L~1M.

P.A. Александрян [1] показал, что в случае, когда Q — эллипс, оператор S имеет полную систему собственных функций, но при малых изменениях области у оператора могут появиться участки непрерывного спектра. Спектр оператора S для любой области лежит на отрезке [—1,0] числовой оси, причем если при Л £ (—1,0) рассмотреть гиперболический оператор

A)sa|1 + (I + A)|L и задачу Дирихле для него

L(X)u = 0 , u|an = 0, (0.8) о то нетривиальные решения задачи (0.8), принадлежащие W\ (fi), являются собственными функциями оператора S, в то время как слабые решения из .¿^(П) этой задачи дают обобщенные собственные функции, соответствующие данному спектральному значению Л.

Т.И. Зеленяк [15] построил в случае аналитической границы ино вариантные подпространства Нß оператора S в W\ (Q), описал характер спектра в них и показал, что построенная система обобщенных собственных функций, принадлежащих L2(£l) для некоторых промежутков изменения спектрального параметра Л, является полной. В [16] показано, что сколь угодно малой деформацией границы дО, можно добиться того, что спектр оператора S станет чисто непрерывным. Однако во всех случаях для аналитической границы дО, оказалось, что спектр либо точечный, либо абсолютно непрерывен.

Ответ на вопрос, может ли спектр оператора S иметь сингулярную компоненту, был дан М.В. Фокиным [82]. Представив функцию

Л£(0 = mes{<^ G [0, 2тг], Х§{<р) = - cos2 о$((р) < £} в виде он показал, что, во-первых, собственные числа оператора S совпадают с точками разрыва функции скачков (£); во-вторых, если для данной области О, при некоторых N в. К сингулярная компоо нента непостоянна, то оператор S в W^ (П) имеет нетривиальное инвариантное подпространство SH^, на котором спектр его сингулярен; в-третьих, если в области Г2 с границей д£2 для оператора S существует хотя бы одно собственное число, то при малых вариациях границы достаточно часто у оператора S может появиться сингулярный спектр. Далее М.В. Фокин исследовал ас-симптотическое поведение решений, соответствующих сингулярной части спектра оператора S.

Заметим, что во всех цитированных работах P.A. Алексан-дряна, Т.И. Зеленяка и М.В. Фокина оператор М оказывается cr-ограниченным относительно оператора L.

Спектральная задача вида (0.7) рассматривалась С.Г. Пятко-вым в [42] в предположении, что оператор М ограничен снизу, а оператор L, вообще говоря, определенного знака не имеет. При этих предположениях исследован вопрос о базисности по Риссу (безусловной базисности) собственных и присоединенных элементов спектральной задачи (0.7) в гильбертовом пространстве U с нормой

Щи = т

0.9)

Им найдены необходимые и достаточные условия базисности в терминах теории интерполяции, которые легко проверяются в конкретных ситуациях.

Простейшим примером задачи вида (0.7) является задача

Ми = А д(х)и, х еП С ЕГ , т1и1дп = 0> 3 = °>1>-- где М — самосопряженный в Ьг(О) и полуограниченный снизу дифференциальный оператор порядка 2т, определенный в ограниченной области Г2 С Мп с границей <90, т^ — дифференциальные операторы, определенные на а д(х) — измеримая по Лебегу функция, меняющая знак в области Г2. С.Г. Пятков исследовал вопрос о базисности по Риссу задачи (0.9), когда в качестве М взят эллиптический или вырождающийся эллиптический (или квазиэллиптический) оператор ([40], [41], [43]). К сожалению, сейчас трудно отнести оператор М в задаче (0.9) к классу относительно р-секториальных операторов, однако заметим, что в случае т = 1 и д(х) > 8 > 0 при любом х Е оператор М будет О-секториальным относительно оператора М.

Класс относительно а-ограниченных операторов ввел в расмо-трение Г.А. Свиридюк [53]. Им же было получено большинство необходимых условий сг-ограниченности оператора М Е С(Ы] Т) относительно оператора Ь Е В частности, детально была изучена задача (0.2), (0.5) в случае, когда оператор М (I/, сг)-ограничен, причем оо — несущественная -особая точка Ь-резольвенты оператора М. Кроме того, было показано, что все ранее рассмотренные начально-краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных, встречающихся в приложениях ([44], [45], [55]), могут быть рассмотрены как конкретные иллюстрации абстрактной ситуации [58].

Затем, следуя классической схеме [83], Г.А. Свиридюк ввел в рассмотрение относительно секториальные операторы [54]. К сожалению, указанный им класс операторов не содержал весь класс относительно сг-ограниченных операторов, как это требовала классическая теория [83]. Этот недостаток частично был преодолен в диссертации Т.А. Бокаревой [3], где рассматривался класс относительно р-секториальных операторов. В дальнейшем понятие относительно р-секториального оператора было неоднократно пересмотрено ([59], [61]) и окончательный вид приобрело лишь в диссертации В.Е. Федорова [80].

Именно В.Е. Федоров [80] первым начал наряду с необходимыми условиями относительной сг-ограниченности и относительной р-секториальности рассматривать и достаточные условия, но только в терминах групп и полугрупп операторов с ядрами [69]. Продвигаясь по этому пути, он смог получить окончательные результаты не только для относительно сг-ограниченных и относительно р-секториальных операторов, но и для более широкого класса относительно ^-радиальных операторов, класс которых в случае р = 0 начал изучать Г.А. Свиридюк ([57], [70], [71], [72]). Основным достижением В.Е. Федорова в решении данной проблемы следует считать обобщение основополагающего результата классической теории полугрупп операторов — теоремы Хилле-Иосиды-Феллера-Миядеры-Филлипса.

К сожалению, результаты В.Е. Федорова носят сугубо технический характер и с большим трудом могут быть использованы в приложениях. Поскольку нас интересуют достаточные условия в терминах самих операторов, то в качестве предшествующих нашим результатов мы должны указать диссертацию Л.Л. Дудко [12]. Имено в ней начато систематическое развитие результатов Г.А. Свиридюка [55], [58] по относительно сг-ограниченным операторам [69]. Однако предложенные в [12] доказательства показались нам черезвычайно трудоемкими, потому мы передоказали их более простыми способами.

Новизна полученных результатов. Основным результатом диссертации являются достаточные условия относительной сильной р-секториальности линейных операторов. Доказан критерий сг-ограниченности относительно фредгольмова оператора и найдены достаточные условия ст-ограниченности относительно бирасщепляющего оператора. Найдены достаточные условия относительной сильной р-секториальности и р-радиальности линейных операторов. Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах.

Методы исследования. Для решения указанных выше задач используются методы функционального анализа и метод фазового пространства, основы которого заложены Г.А. Свиридюком.

Содержание диссертации. Диссертация, кроме Введения, содержит три главы и Список литературы. Отметим сразу, что Список не претендует на полноту и содержит только те работы, которые непосредственно относятся к теме диссертации.

Первая глава содержит все известные на данный момент факты по необходимым и достаточным условиям относительной сг-ограниченности в терминах операторов. Первый параграф носит реферативный характер. В нем содержатся все необходимые условия относительной сг-ограниченности линейных операторов, полученные Г.А. Свиридюком [58]. Во втором параграфе сформулированы все необходимые условия в случае, когда оператор М £ и доказана их достаточность. Отметим, что предложенное здесь доказательство является более простым, чем в [12], [69]. В третьем параграфе рассмотрен частный, но очень важный в смысле приложений случай (£, а)-ограниченности оператора М. Здесь оператор Ь — фредгольмов, т.е. тс! Ь = 0. Именно этот результат является критерием, обобщающим работу [17].

Основным теоретическим результатом первой главы следует считать содержимое четвертого параграфа. Здесь приведены достаточные условия (£, сг)-ограниченности оператора М в случае, когда оператор Ь-бирасщепляющий [4]. Данный абстрактный результат позволил рассмотреть ряд новых задач, возникших в послед нее время в приложениях.

Содержательной частью первой главы следует считать последний — пятый параграф. Здесь представлены приложения абстрактных результатов к конкретным начальным и начально-краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений и систем уравнений в частных производных ([2], [27], [35]-[37]). Отметим здесь, что уравнения и системы уравнений в частных производных относятся к классу неклассических уравнений математической физики ([13], [23]). Редукция пркладных задач к абстрактной задаче опирается на идеи и методы, восходящие к С.Л. Соболеву и предложенные в [28], [79]. Заметим еще, разработанные нами абстрактные положения позволили более просто получить ряд результатов из [85].

Вторая глава диссертации начинается систематическим изложением всех известных на сегодняшний день фактов из теории относительно р-секториальных операторов и аналитических полугрупп операторов с ядрами. Все результаты первых двух параграфов почерпнуты из [58], [70], [71], [80] и [81] и представлены в удобном для нас виде. Третий параграф главы содержит основной результат — теорему о достаточных условиях относительно сильной р-секториальности. Эта теория прилагается затем в четвертом параграфе к уравнению, моделирующему эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости.

Вторая прикладная задача — это хорошо известная начально-краевая задача для системы уравнений Навье-Стокса. Пусть !Г2 С Мп, п = 2,3 ограниченная область с границей дО, класса С°°. В цилиндре Г2 X рассмотрим начально краевую задачу и(ж,0) = щ(х), хеП, (0.10) у(х, ¿) = 0, (ж, Ь) <Е дП х М+ (0.11) для системы уравнений Навье-Стокса = - \7р, 0 = V • v, (0.12) моделирующей в линейном приближении динамику вязкой несжимаемой жидкости.

В настоящее время хорошо известны классические результаты ([25], [78]) о разрешимости задачи (0.10)-(0.12). Основным методом получения этих результатов служит редукция задачи (0.10)-(0.12) к задаче Коши п(0) = п0 (0.13) для операторного дифференциального уравнения вида й = + (0.14) где искомая функция и = и{{) является соленоидальной составляющей исходной вектор-функции у = у(х,£). Однако в последнее время стали появляться работы ([93], [9]), в которых система (0.12) рассматривается как псевдопараболическая система дифференциальных уравнений, т.е. как система

Ьй = Ми + /, (0.15) неразрешенная относительно производных по времени. Мы предлагаем свой взгляд на эту проблему.

Третья глава диссертации имеет сугубо теоретический характер. В первых двух параграфах изложены результаты теории относительно р-радиальных операторов и сильно непрерывных полугрупп операторов с ядрами. Все результаты почерпнуты в основном из работ В.Е.Федорова [80, 81]. Основной результат содержится в третьем параграфе. Здесь представлена теорема о достаточных условиях относительной сильной р-радиальности. Ввиду новизны результатов они пока еще "не обросли" приложениями.

Благодарности. Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за чуткое руководство, ценные советы и консультации. Кроме того, автор благодарен коллективу кафедры математического анализа Челябинского госуниверситета за поддержку и интерес, проявленный к моей работе, а также моим родителям Галине Валентиновне и Алексею Алексеевичу за их терпимость и заботу.

1 ОТНОСИТЕЛЬНАЯ а-ОГРАНИЧЕННОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

1. Александрян P.A. Спектральные свойства операторов порожденных системами дифференциальных уравнеий типа Соболева // Тр. ММО. 1960. Т.9. С.455-505.

2. Баренблатт Г.И., Желтое Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах // ПММ. 1960. Т.24, т. С.58-73.

3. Бокарева Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1993.

4. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов ЮМ. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера // Успехи матем. наук. 1977. Т.32, №4. С.3-54.

5. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

6. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц, 4-ое изд. М.: Наука, 1988.

8. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962.

9. Демиденко Г. В. Задача Коши для псевдопараболических систем // Сиб. мат. журн. 1997. Т.38, №6. С.1251-1266.

10. Дзекцер Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью // ДАН СССР. 1972. Т.202. №5. С. 1031-1033.

11. Диткин В. В. О некоторых спектральных свойствах пучка линейных ограниченных операторов // Матем. заметки. 1982. Т.31, т. С.75-79.

12. Дудко JI.JI. Исследование полугрупп операторов с ядрами. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Новгород, 1996.

13. Егоров И.Е., Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1995.

14. Ефремов A.A. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1996.

15. Зеленяк Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ. 1970.

16. Зеленяк Т.И. Об обобщенных собственных функциях оператора, связанного с одной задачей C.JI. Соболева // Сиб. мат. фурн. 1968. Т.9, №5. С.1075-1095.

17. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения и их примен. 1976. Т. 14. С.21-39.

18. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

19. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

20. Капитанский Л.В., Пилецкас К.Н. О некоторых задачах векторного анализа // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1984. Т. 138. С.65-85.

21. Келлер A.B. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1997.

22. Клемент Ф., Хейманс X., Ангенент С. и др. Однопараметри-ческие полугруппы. Абстрактные дифференциальные уравнения с приложениями. М.: Мир, 1992.

23. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: НГУ, 1990.

24. Крейн С.Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики // ДАН СССР. 1953. Т.93, №6. С.969-972.

25. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, 2-ое изд. М.: Наука, 1970.

26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика, 3-е изд. М.: Наука, 1986.

27. Леонтьев В. Межотраслевая экономика. М.: Экономика, 1997.

28. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

29. Мельникова И.В., Алъшанский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // ДАН.1994. Т.336, №1. С.17-20.

30. Мельникова И.В., Алъшанский М.А. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы // ДАН.1995. Т.343, №4. С.448-451.

31. Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // Успехи матем. наук. 1994. Т.49, №6. С.111-150.

32. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.

33. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

34. Осколков А.П. К теории жидкостей Фойгта // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1980. Т.96. С.233-236.

35. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Труды МИАН. 1988. Т.179. С.129-164.

36. Осколков А.П. Об асимптотическом поведении при —>• оо решений начально-краевых задач для уравнений движения вяз-коупругих жидкостей // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1989. Т.171. С.174-181.

37. Осколков А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теорииуравнений типа C.JI. Соболева // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1991. Т.198. С.31-48.

38. Поволоцкий А.И., Свиридюк Г.А. Задача Коши для сингулярного уравнения типа С.Л. Соболева // Функциональный анализ. Линейные пространства. Ульяновск, 1986. С. 130-135.

39. Поволоцкий А.И., Свиридюк Г.А. О дихотомии решений одного класса уравнений типа Соболева // Операторы и их приложения. Ленинград, 1988. С.71-75.

40. Пятков С.Г. Свойства собственных функций одной спектральной задачи и некоторые их приложения // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики: Сб. науч. тр. АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. 1986. С.65-84.

41. Пятков С.Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков // Сиб. матем. журн. 1989. Т.ЗО, №4. С.111-124.

42. Пятков С. Г. Индефинитные спектральные задачи и их приложения к теории краевых задач для уравнений математической физики // Дисс. . . докт. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1993.

43. Пятков С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов линейных самосопряженных пучков // Мат. сборник. 1994. Т.185. №3. С.93-116.

44. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного уравнения типа Соболева // Дифференц. уравн. 1987. Т.23, №12. С.2169-2171.

45. Свиридюк Г.А. Линейные соболевские уравнения. Рук. деп. ВИНИТИ, №4265. 1985.

46. Свиридюк Г.А. Многообразие решений одного сингулярного псевдопараболического уравнения // ДАН СССР. 1986. Т.289, №6. С.1315-1318.

47. Свиридюк Г.А. Об одной сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. 1987. Т.23, №9. С.1637-1639.

48. Свиридюк Г.А. О многообразии решений одной задачи несжимаемой вязкоупругой жидкости // Дифференц. уравн. 1988. Т.24, №10. С.1846-1848.

49. Свиридюк Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости // Изв. ВУЗ. Математика. 1988. №1. С.74-79.

50. Свиридюк Г.А. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений // ДАН СССР. 1989. Т.304, №2. С.301-304.

51. Свиридюк Г.А. Об одной задаче динамики вязкоупругой жидкости // Дифференц. уравн. 1990. Т.26, №11. С.1992-1998.

52. Свиридюк Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вязко-упругой несжимаемой жидкости // Изв. ВУЗ. Математика. 1990. №12. С.65-70.

53. Свиридюк Г. А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // ДАН СССР. 1991. Т.318, №4. С.828-831.

54. Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно секториальным оператором // ДАН. 1993. Т.329, №3. С.274-277.

55. Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Изв. РАН, сер. матем. 1993. Т.57, №3. С.192-207.

56. Свиридюк Г.А. Об одной модели слабосжимаемой вязкоупру-гой жидкости // Изв. ВУЗ. Математика. 1994. №1. С.62-70.

57. Свиридюк Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами // ДАН. 1994. Т.337, №5. С.581-584.

58. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи матем. наук. 1994. Т.49, №4. С.47-74.

59. Свиридюк Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором // Алгебра и анализ. 1994. Т.6, N0 5. С.252-272.

60. Свиридюк Г.А., Апетова Т.В. Фазовые пространства линейных динамических уравнений типа Соболева // ДАН. 1993. Т.ЗЗО, №6. С.696-699.

61. Свиридюк Г.А., Бокарева Т.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева // Матем. заметки. 1994. Т.55, №3. С.3-10.

62. Свиридюк Г.А., Бокарева Т.А. Число Деборы и один класс полулинейных уравнений типа Соболева // ДАН. 1991. Т.319. №5. С. 1082-1086.

63. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Быстро-медленная динамика вязкоупругих сред // ДАН СССР. 1989. Т.308. №5. С.791-794.

64. Свиридюк Г. А., Сукачева Т.Г. О галеркинских приближениях уравнений типа Соболева // Изв ВУЗ. Математика. 1989. №10. С.44-47.

65. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. (Качеств, теория). Рязань, 1990. С. 108115.

66. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений типа Соболева // Дифференц. уравн. 1990. Т.26, №2. С.250-258.

67. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева // Сиб. матем. журн. 1990. Т.31, №5. С.109-119.

68. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости // Матем. заметки. 1998. Т.63, №3. С.442-450.

69. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко Л.Л. Необходимые и достаточные условия относительной сг-ограниченности линейных операторов // ДАН. 1995. Т.345, №1, С.25-27.

70. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. матем. журн. 1995. Т.36, №5. С.1130-1145.

71. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами // Сиб. матем. журн. 1998. Т.39, №3. С.604-612.

72. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е., Верясов Г.В. Уравнения типа Соболева с относительно радиальными операторами // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1995, Деп. №988-В95, 18 с.

73. Свиридюк Г.А., Якупов М.М. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова // Дифферент уравн. 1996. Т.32, №11. С.1538-1543.

74. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. Т.18. С.3-50.

75. Солонников В.А. Линейные эллиптические системы. Конспект лекций. Л.: ЛГУ, 1979.

76. Солонников В.А. Об оценках тензоров Грина для некоторых краевых задач // ДАН СССР. 1960. Т.130, №5. С.988-991.

77. Сукачева Т. Г. Дальнейшие результаты о разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. ВУЗ. Математика. 1992. №5. С.70-72.

78. Темам Р. Уравнение Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

79. Трибелъ X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

80. Федоров В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1996.

81. Федоров В.Е. Группы и полугруппы операторов с ядрами. Учеб. пособие. Челябинск: ЧелГУ, 1998.

82. Фокин М.В. Существование сингулярного спектра и ассим-птотика решений задачи Соболева // Тр. Ин-та матем. СО РАН. 1994. Т.26. С.107-195.

83. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

84. Хатсон В., Пим Дж. Приложение функционального анализа к теории операторов. М.: Мир, 1983.

85. Якупов М.М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург, 1999.

86. Arendt W., Favini A. Integrated solutions to implicit diffrential equations // Rend. Scm. Mat. Univ. Pol. Torino. 1993. V.51, N4.P.315-329.

87. Aris R. The mathematical theory of diffusion and reaction in permable catalysis, vol.1. — Oxford: University Press, 1979.

88. Chen P. J., Gurtin M.E. On a theory of heat conduction involving two temperatures // Z.Angew. Math. Phys. 1968. V.19, P.614-627.

89. Coleman B.D., Duffin R.J., Mizel V.J. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation ut = uxx — uxxt on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V.19. P.100-116.

90. Demidenko G. V. Lp-theory of boundary value problems for Sobolev type equations // Part. Diff. Eq. Banach center publ. V.27. Warzava. 1992. P. 101-109.

91. Favini A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems // Rend. mat. 1979. V.12, №№3-4. P.511-536.

92. Favini A. An operational method for abstract degenerate evolution equations of hiperbolic type // Funct. Anal. 1988. V.76. P.432-456.

93. Favini A., Yagi A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations // Ann. Mat. Pure ed Appl. 1993. V.CLXIII. P.353-384.

94. Levine H.A. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Dut = —Au + F{u). // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V.51, №5. P.371-386.

95. Lightbourne J.H.A. Partial functional equations of Sobolev type //J. Math. Anal. Appl. 1983. V.93, №2. P.328-337.

96. Sauer N. Linear evolution equation in two Banach spaces // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1982. V.A91, №№3-4. P.287-303.

97. Showalter R.E. Partial differential equations, of Sobolev-Galpern type // Pacific J. Math. 1963. V.31, №3. P. 787-794.

98. Showalter R.E. The Sobolev type equations. I(II) // Appl. Anal. 1975. V.5. N1. P.15-22 (№2. P.81-89).

99. Ting T. W. Certain non-steady flows of second order fluids // Arch. Rat. Mech. Anal. 1963. V.14, №1. P.28-57.

100. Кузнецов Г.А. Об относительно сильной р-секториальности линейных операторов // Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия. Тез. докл. Челябинск, 1997. С.16.

101. Кузнецов Г.А. Об относительно сильной р-радиальности линейных операторов // Алгоритмический анализ некорректных задач. Тез. докл. Всерос. конф., поев. пам. В.К. Иванова. Екатеринбург, 1998. С. 140-141.

102. Кузнецов Г.А. Об относительном спектре линейных операторов // Воронеж, вес. мат. школа "Совр. методы в теор. кр. задач". Тез. докл. Воронеж, 1998. С.116.

103. Свиридюк Г.А., Кузнецов Г.А. Относительно спектральные свойства линейных операторов // Третий сиб. конгресс по индустр. и приклад, матем. Тез. докл. 4.4. Новосибирск, 1998. С.39-40.

104. Свиридюк Г.А., Кузнецов Г.А. Об относительной р-секториальности дифференциальных операторов // Некласи-ческие уравнения мат. физ.: Третий сиб. конгресс по индустр. и приклад, матем. Новосибирск: Ин-т матем., 1998. С.49-57.

105. Свиридюк Г.А., Кузнецов Г.А. Относительная р-секториальность дифференциальных операторов гидродинамики // Воронеж, зим. мат. школа "Совр. методы в теор. кр. задач". Тез. докл. Воронеж, 1999. С. 117.

106. Свиридюк Г.А., Кузнецов Г.А. Об относительной р-секториальности линейных операторов // ДАН. 1999. Т.365, т. С.736-738

107. Кузнецов Г.А. Об относительной сг-ограниченности линейных операторов // Проблемы физ-мат. образ, в пед. вузах России на совр. этапе: Матер. Всерос. науч.-практ. конф. 4.2. Магнитогорск: МГПИ, 1999. С. 18-19.

108. Кузнецов Г.А. Относительная сг-ограниченность линейных операторов. М., 1999. Деп. в ВИНИТИ 19.04.99, №1253-В99. 39 с.

109. Кузнецов Г.А. Достаточные условия ^-ограниченности относительно фредгольмова и бирасщепляющего операторов // Тез. докл. Междунар. конф. Челябинск, 1999. С.71.