Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Г,"" О п

ИО и и

ФЕДОРОВ Владимир Евгеньевич

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩИХ ПОЛУГРУПП ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА СОБОЛЕВА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 1996

На правах рукописи

ФЕДОРОВ Владимир Евгеньевич

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШАЮЩИХ ПОЛУГРУПП ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ТОПА СОБОЛЕВА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург 1996

Работа выполнена на кафедре математического анализа Челябинского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Свиридюк Г.А.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Мельникова И В.

- кандидат физико-математических наук, доцент Макаров А.С.

Ведущая организация - Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН.

Защита состоится "19" июня 1996 г. в 15. СО часов на заседа нии диссертационного совета К 063.78.03 по присуждению ученой степеш кандидата физико-математических наук при Уральском государственно», университете имени А.М.Горького по адресу 620083, Екатеринбург, К-83 пр. Ленина, 51, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Уральского государственного университета имени А.М.Горького.

Автореферат разослан "_"_ 1996 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета fo/j —

кандидат физико-математических наук, доцент' В.Г.Пимено£

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Пусть U и Т банаховы пространства, оператор L : U —+ Т линеен и непрерывен, оператор М : dorn Л/ —» .F, dorn А/ = ZV, линеен и замкнут, функция /(•) : R —» Т. Рассмотрим задачу Коши

"(0) = Щ (0.1)

для операторно-дифферендиального уравнения

L й = Ми + /. (0.2)

Задача Коши (0.1),(0.2) представляет собой абстрактную форму многих начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений, моделирующих различные реальные процессы. Первым начал рассматривать начально-краевые задачи для уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, С.Л.Соболев, поэтому такие уравнения, в частности уравнение (0.2), будем называть "уравнениями типа Соболева".

Если оператор L непрерывно обратим, то уравнение (0.2) можно редуцировать к паре эквивалентных ему уравнений

ü = Su + h, 9-Т9 + /. (0.3)

Здесь операторы S — L~1M, Т ~ ML~X, функция h = L~lf : R —► U. Уравнения (0.3) удобно рассматривать в рамках уравнения на банаховом пространстве V

i = Av + z, (0.4)

ЗотЛ = V, г(-) : R —" V.

Задача Коши

t>(0) = vq, do € dorn Л (0.5)

для однородного

ii = Av (0.6)

уравнения полностью решается методами теории полугрупп.

Основным результатом классической теории полугрупп является теорема Хилле-Иосиды-Феллера-Филлипса-Миядеры (теорема ХИФФМ), устанавливающая взаимно однозначное соответ-

ствие между разрешающей полугруппой уравнения (0.6) и оператором Л, называемым инфшштезимальным генератором полугруппы. Критерием того, что оператор А является инфинитези-мальным генератором полугруппы, служат некоторые условия на резольвенту ЯДЛ) = (м' ~ А)~1 оператора А. При этом можно выделить три "версии" теоремы ХИФФМ: мы их назовем С0-непрерывной, аналитической и равномерной, в зависимости от того, о каких полугруппах идет речь. (В равномерной версии речь идет о группах, аналитических в равномерной топологии.)

Решение задачи (0.5),(0.4) с подходящей функцией г(<) выражается через разрешающую полугруппу {V : I > 0}, если она существует, уравнения (0.6) с ледующим образом :

I

= + 1У1-*}1{8)<18: о

Естественным выглядит желание распространить теорию полугрупп на случай уравнения типа Соболева (0.2). Полугруппы, дающие классическое решение задачп (0.1),(0.2), рассматривались в работах А.Га\чш и АЛ^, Г.А.Свпридюка, И.В.Мельниковой и М.А.Альшанского. При всей схожести результатов подходы авторов к задаче построения полугрупп существенно различаются. Характеристической чертой разрешающей полугруппы уравнения типа Соболева является то, что ее ядро, вообще говоря, является нетривиальным. Другими словами, эта полугруппа является "нулевой" на некотором подпространстве пространства Ы. Поэтому при начальных значениях из этого подпространства задача (0.1) для уравнения

Ьй = Ми (0.7)

не имеет решения. Таким образом, важной задачей при исследовании решений уравнения типа Соболева является нахождение его фазового пространства. (Фазовое пространство уравнения - это множество, содержащее все его решения и являющееся замыканием множества допустимых начальных значений задачи Коши для этого уравнения.)

Обобщение прямого утверждения равномерной версии теоремы ХИФФМ, т.е. получение достаточных условий существо-

ванпя разрешающих групп, на случай кег Ь ф {0} получено Г.А.Свиридюком при помощи понятия относительно а-ограниченного оператора. При этом возникает три различных случая, связанных с понятием (£, (^-ограниченности оператора М: точка оо является устранимой особой точкой, полюсом порядка р с N или существенной особой точкой Ь-резольвснты (/'£- Л/)"1 оператора Л/. Сразу заметим, что в первом случае у оператора Ь нет Л/-присоедпненных векторов, а во втором их высота не превышает р. Ядро же разрешающей группы в первых двух случаях совпадает с М-корневым пространством оператора /,. а в третьем ядро полугруппы, вообще говоря, содержит Л/-корневой линеал. Показано, что если оператор М (Ь, сг)-ограничен, то в случае устранимой особой точки или полюса в бесконечности фазовое пространство совпадает с образом разрешающей группы уравнения.

При помощи понятий (Ь.р)-секториалыюго и сильно (Ь,р)-секторнального оператора Л/, введенного Г.А.Свиридюком и Т.А.Бокаревой, получен аналог прямого утверждения аналитической версии теоремы ХИФФМ (достаточные условия существования разрешающих полугрупп уравнения (0.7)), обобщающий в равномерной версии,случай, когда оо - устранимая особая точка (при р = 0) либо полюс (р £ N0. Так же, как и в равномерной версии, ядра разрешающих полугрупп уравнения (0.7) совпадают с Л/-корневым пространством оператора Ь, которое, помимо кегЬ, содержит только М-присоединенные векторы оператора Ь высоты не больше р.

Как и в относительно ^-ограниченном случае, показано, что в случае (¿,р)-секториальности оператора М фазовое пространство уравнения совпадает с образом разрешающей полугруппы {П1 :

В работах A.Yagi, И.В.Мельниковой и М.А.Алыианского и Г.А.Свиридюка о сильно непрерывных полугруппах уравнения (0.7) в том пли ином виде присутствуют одни и те же условия на операторы Ь и М, обобщающие условия на резольвенту в теореме ХИФФМ. Этих условий не хватило для того, чтобы построить полугруппу на всем пространстве Ы в общем случае. Для того, чтобы обобщить теорему ХИФФМ на случай уравне-

кия (0.7), И.В.Мельникова и М. А.Алыпалский используют условие И - кег Ь ф ¡т(/¿Ь - А/)-1! в качестве одного из достаточных для существования полугруппы уравнения (0.7) на всем пространстве.

Все эти результаты, касающиеся сильно непрерывных полугрупп, в равномерной версии обобщают лишь случай устранимой особой точки, а в аналитической - случай р = 0. Другими словами, ядро единицы разрешающей полугруппы совпадает с ядром оператора Ь.

Цель работы. Перед автором диссертации стояла задача развить теорию йолугрупп операторов с ядрами, используя подход, предложенный Г.А.Свиридюком.

В равномерной версии необходимо было получить обратное утверждение теоремы ХИФФМ, т.е. достаточные условия (Ь, а)-ограннченности оператора М в терминах аналитических групп операторов с ядрами. Кроме того, требовалось исследовать фазовое пространство в случае существенной особой точки в бесконечности ¿-резольвенты (цЬ — М)~1 оператора М.

В случае аналитических полугрупп операторов с ядрами надо было найти те необходимые условия (£,р)-секториальности оператора Л/, которые оказались бы ее достаточными условиями, получив тем самым аналог соответствующей версии теоремы ХИФФМ.

Наконец, в сильно непрерывной версии возникла небходимость получить такой аналог теоремы ХИФФМ, чтобы в относительно а-ограниченном случае он обобщал случай устранимой особой точки пли полюса, а в относительно р-секториальном - случаи р € {0} и N.

Методы исследования. Для исследования указанных задач используются методы функционального анализа, в частности обобщение методов классической теории полугрупп на случай уравнения типа Соболева.

Научная новизна. В работе получены следующие результаты:

- доказала достаточность некоторых из необходимых условий относительной сг-огранпченности в терминах аналитических групп операторов с ядрами;

- исследовано фазовое пространство уравнения (0.7) в случае, когда оператор М (Ь, сг)-ограничен, а бесконечность является су-

щественной особой точкой Ь-резольвенты (//¿-Л/)-1 оператора М при некоторых дополнительных ограничениях на операторы Ь н М: приведен контрпример, показывающий существенность этих ограничении:

- доказана достаточность некоторых из необходимых условий относительной р-секторпальности в терминах аналитических полугрупп операторов с ядрами;

- исследовано фазовое пространство уравнения (0.2) в случае, когда оператор М сильно р-секторпален;

- найдены необходимые и достаточные условия относительной сильной р-радиальностп в терминах сильно непрерывных полугрупп операторов с ядрами;

- исследовано фазовое пространство уравнения (0.2), как однородного, так и неоднородного, в случае, когда оператор М сильно /ьраднален;

- полученные результаты прилагаются к исследованию фазового пространства уравнения в частных производных, моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости.

Все результаты являются новыми.

Теоретическая п практическая значимость. Основная часть результатов носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых задач.

Практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что они позволили исследовать разрешимость конкретных прикладных задач, сводящихся к абстрактной задаче (0.1),(0.2) с соответствующими операторами Ь и М. Данные результаты могут быть использованы для чтения спецкурсов по теории полугрупп операторов с ядрами в университетах.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались п обсуждались на семинаре им. И.Г.Петровского в Московском государственном университете в 1995 г., семинаре профессора Ю.Г.Борисовича на Воронежской зимней математической школе в 1995 г., на Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К.Йванова, "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" в 1995 г., на международной конфе-

ренщш по математической физике в Челябинском государственном техническом университете в 1995 г., на Сибирской конференщш по неклассическнм уравнениям математической физики в Новосибирске в 1995 г., на семинаре кафедры математического анализа в Челябинском государственном университете в 1995 г., на Международной научной студенческой конференции в Новосибирском государственном университете в 1993 г., на студенческой научной конференции "Студент и научно-технический прогресс" в Челябинском государственном университете в 1993-1996 гг.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7]. В совместных работах научному руководителю принадлежит постановка задачи, результаты же автором получены самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит m введения, четырех глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 116 страниц. Библиография содержит 76 наименований отечественных и 32 наименования зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранного направления исследования, сформулированы цели исследования и его основные результаты, дан краткий обзор основной литературы, выражены благодарности.

В первой главе изложены результаты теории аналитических групп операторов с ядрами. Эта глава содержит четыре параграфа.

П. 1.1 носит характер вводного. Здесь определяются понятия и приводятся результаты, необходимость в которых возникает во всех четырех главах.

В п. 1.2 кратко изложены результаты Г.А.Свиридюка о существовании пары инвариантных подпространств операторов L и М при условии (L, «^-ограниченности оператора М.

Определение 2.1. Оператор М называется спектралът ограниченным относительно оператора L (или просто (L,o)

ограниченным), если

Ва > О У/1бС {\ц\ > а) => ((/х! - МГ1 € Обозначим Я =

Определение 2.2. Для операторнозначной функции (цЬ—М)~1 бесконечно удаленную точку будем называть устранимой особой точкой, если Я = О; (п)полюсом порядка р £ N. если Нр Ф О, а Яр+1 = О: (ш)существенно особой точкой, если Ур 6 N Яр ф О. П. 1.3. содержит описание групп уравнения (0.7) и его фазовых пространств.

Возьмем а € р1'{Щ и преобразуем уравнение (0.7) двумя способами:

Д£(Д/)« = (аЬ - М)-1Ми, (3.1)

¿£(Л/)/ = М(аЬ - Л/)-1/- (3-2)

Теорема 3.1. Пусть оператор М спектрально ограничен относительно оператора Ь <Е С(Ы\Т). Тогда существуют аналитические разрешающие группы {Ц1 : ( 6 К} и : í € Н} уравнений, соответственно, (3.1) и (3.2), имеющие вид

и* = ¡(рЬ- >' = | Ь{цЬ - МуЧр, (3.3)

7 7

гс)е контур 7 можно взять следующим 7 = {/х 6 С : = г > а}.

Определение 3.4. Фазовым пространством уравнения (3.1) называется множество V С и, если

(¡) любое решение и = и(€) уравнения (3.1) лежит в V, т.е. и(£) € V при любом ? £ И ;

(11) при любом щ 6 V существует единственное решение задачи (0.1),(3.1).

Теорема 3.3. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен, оо - существенно особая точка Ь-резольвенты (цЬ — М)-1 оператора М, а решениями уравнения (3.1) ((3.2)) считаем только аналитические функции. Пусть

зс > о эл" е N - V* > IV ||я*||цИ<^ < £

Тогда фазовое пространство этого уравнения совпадает с образом разрешающей группы ]хп.и (ш»/7 ).

В п. 1.4 завершено обобщение теоремы Хилле-Иосиды-Феллера-Фп л липса-Миядеры.

Выделим четыре условия.

(А1) Существуют аналитические группы II 6 С=С(Н;£(^))

(А2) Существует линейный гомеоморфизм Li : U1 —» Т1 такой, что L\S = TL\.

(A3) Существует линейный замкнутый биективный оператор М0 : dorn М0 — dorn М0 = W.

Теорема 4.1. Пусть выполнены все условия (А1)-(А4). Тогда: (1) оператор М (X, о)-ограничен: (и) справедливы представления групп (3.3). Во второй главе, содержащей семь параграфов, кратко изложенные результаты Г.А.Свпрщдака и Т.А.Бокаревоп, касающиеся аналитических полугрупп операторов с ядрами, существенно дополнены новыми результатами. Вместе они составили обобщение теоремы Хилле-Иосиды-Феллера-Филлипса-Миядеры для аналитических полугрупп на случал полугрупп с ядрами.

В п. 2.1 вводится понятие (£,р)-секториального оператора и рассматриваются его свойства.

Определение 1.1. Оператор М называется р-секториалъным относительно оператора L (короче, (Ьсекториальныи). если существуют константы К > 0, а £ Б., в £ (7г/2,тг) такие, что сектор

и F e C°°(R;£(JF)).

SUM) = & € С : | argt/i - e)| < в, ß ф а} С /(Л/),

причем

К

fl ~ а|

У/н 6 sU-U), * =

где R^p]{M) = fio fi^(M), L[pJM) = ¿^(M).

Замечание 1.3. Не теряа общности, можно положить а = 0 в определении 1.1.

В п. 2.2 строятся разрешающие полугруппы без единиц для уравнения типа Соболева.

Через (2.1), (2.2) обозначены те же уравнения, которые в предыдущей главе обозначены через (3.1), (3.2), соответственно

Теорема 2.1. Пусть оператор М (Ь,р)-секториален. Тогда существует аналитическая в секторе {г £ С : | arg rj < 9 — т/2, г ф 0}, где в из определения 1.1, и равномерно ограниченная разрешающая полугруппа {U' : t £ R+} ({F' : t £ R+}) уравнения (2.1) ((2.2)), имеющая тот же вид, что и соответствующая группа в предыдущей главе, только контур 7 имеет вид 7 = {ц G С : arg /х —► ±0 при )/ij —+ 00}.

П. 2.3 посвящен изучению ядер п образов построенных полугрупп.

В п. 2.4 изучаются фазовые пространства уравнений (2.1) п (2.2).

В п.2.5 приведены условия на операторы L и Л/, достаточные для существования единиц полугрупп.

Теорема 5.1. Пусть пространство U (F) рефлексивно, оператор Л/ (Ь,р)-секториален.ТотяМ =U®QU1 (F = F°Q Fx).

Теорема 5.2. Пусть оператор М сильно (L, р)-секториален справа (слева). Тогда существует единица полугруппы {Ul : t £ R+} ({F<:f€R+}).

В п. 2.6 вводится понятие сильно (¿,р)-секториального оператора М и показана его достаточность для существования непрерывного оператора L{1.

Определение 6.1. Оператор М называется сильно (Ь,р)-секториальныщ если он сильно (L, р)-секторпален слева п

VA.....f,es,'(4 < с°ш' .

W&W

Теорема 6.1. Пусть оператор М (L, о)-ограничен, и со

- устранимая особая точка либо полюс порядка р Е N L-рсзолъвенты ((iL —М)'1 оператораМ. Тогда оператор М сильно (Ь,р)-секториале к.

Теорема 6.2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-ссь,ториален. Тогда существует оператор Li1 € C{Tl\Ux).

В п. 2.7 обобщено обратное утверждение теоремы Хилле-Иосиды-Феллера-Филлипса-Миядеры об аналитических группах.

Рассмотрим четыре условия.

(В1) Существует пара ({U' : t € R+}, {F' : t (Е Н+}) аналитических в некотором секторе {г £ С : |argrj < f}, £ £ (0, тг/2), сильно непрерывных вплоть до нуля и равномерно ограниченных полугрупп операторов U1 G C(U), F' £ с ядрами.

(В2) Существует линейный гомеоморфизм Li : ¿/' —+ Т^ такой. что L\S\ = T\L\.

(ВЗ) Существует линейный, биективный, замкнутый оператор А/0 : dorn А/о -+ -7"°, dorn A-/Ö =

(В4) Существует оператор Lq € такой, что опе-

ратор Mq1Lo нилъпотептен степени ке больше р, р £ {0}UN.

Положим

L = Lo(I-P) + L1P, М = М0(/~Р) + LiSi Р, dorn М = dorn М0+ dorn S].

Теорема 7.1. Пусть выполнены все условия (В1)-(В4). Тогда оператор М (Ь,р)-сскториален, причем справедливы представления полугрупп из теоремы 2.2.

Теорема 7.2. Пусть выполнены все условия (В1)-(В4). Тогда оператор М сильно (L.р)-секториален.

В третьей главе, содержащей семь параграфов, построена теория разрешающих сильно непрерывных полугрупп уравнения (0.7).

В п. 3.1 вводится понятие (X, р)-радиального оператора М и доказываются некоторые вспомогательные утверждения.

Определение 1.1. Оператор М называется радиальным степени р относительно оператора L (короче, (L^p)-радиальным), если (i) За € R. Уц>а /(М)

(Ü)3A'>0 V/z > a Vn€N maxiiic^CMirii^.iKi^iM))-!!^) < K

Д- a)

Замечание. Так же, как в предыдущей главе, без потери общности в определении 1.1 можно положить a = 0.

П. 3.2 посвящен построению сильно непрерывных полугрупп уравнения (0.7) на некоторых подпространствах двумя способами.

Через (2.1), (2.2) обозначаются те же уравнения, что ив предыдущей главе.

Теорема 2Л. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален. Тогда существует равномерно ограниченная и сильно непрерывная разрешающая полугруппа уравнения (2.1) ((2.2)), рассматриваемого на подпространстве Ы (Т).

В п. 3.3 приведены условия, достаточные для того, чтобы определить полутруппы на всем пространстве.

Теорема 3.1. Пусть пространство Ы (J-) рефлексивно, one-« ратор М слабо (Ь,р)-радиален. ТогдаU = lß®Ux (Т =

Определение 3.1. Оператор М называется сильно (L,p)-радиальным справа (слева), если он (L, р)-раднален и

\\R^p)(M)(\L - М)~хМи\\ц < C°™t[u) Vu 6 domM (существует плотный в линеал J7 такой, что

\\M(XL - мущ^мщг < ^fiü v/ ея

при любых А, ро, ..., fip > 0.

Теорема 3.2. Пусть оператор М сильно (L,р)-радиален справа (слева). Тогда U = U° © Li1 {? = J* ® JF1).

В п. 3.4 показало, что вводимое условие относительной сильной р-радиальностп достаточно для существования оператора LT1 в

С{ТКМ1).

Определение 4.1. Оператор М называется сильно (L,p)-радиалъным, если он сильно (L, р)-радпален слева и

\\R^p)(M)(XL- МТЧсцтц) < ~~Т— VA, ^,...,^ > 0.

л и fit

t=о

Теорема 4.1. Пусть оператор М сильно [L,p)-paduален. Тогда существует оператор LJ"1 G C(Fl\Ul).

В п. 3.5 найдены инфинитезимальные генераторы сужений полугрупп {U1 : t > 0}, {F1 : t > 0} на подпространства U1, J71.

В п. 3.6 исследованы фазовые пространства уравнений (2.1), (2.2).

Определение 6.1. Множество V С U называется фазовым пространством уравнения (2.1), если

(i) любое решение и = u(t) уравнения (2.1) лежит в V, т.е. u(t) €Е V V< > 0;

(ii) для любого щ из некоторого плотного в V множества существует единственное решение задачи (0.1),(2.1).

Теорема 6.1. Пусть оператор М сильно {Ь^р)-радиален. Тогда U1 (F1) есть фазовое пространство уравнения (2.1) ((2.2)).

В п. 3.7 некоторые нз необходимых условий сильной (L,p)-радиальности оператора М использованы в качестве достаточных условий. Это завершает обобщение теоремы Хилле-Иоснды-Феллера-Фштипса-Миядеры о сильно непрерывных полугруппах операторов с ядрами.

Выделим четыре условия.

(С1) Существуют две сильно непрерывные и равномерно ограниченные полугруппы {U* : t > 0} и {Fl : t > 0} операторов If G C{U), F* € C(T) с ядрами.

(C2) Существует линейный гомеоморфизм L\ : Ul —+ J-1 такой, что L\S\ = T\L\.

(СЗ) Существует линейный, биективный, замкнутый оператор Mq : dom Mq —* 3го, dom M0=U°.

(C4) Существует оператор Lq € C(U°; J^) такой, что оператор H = Mq1Lq нильпотентен степени не больше р£ NU{0}.

Положим

L = Lo{I-P) + LxP •

" М = Л/о(/_— Р) + LiS\P^ dornМ = dornMQ+ dornSi-

Теорема 7.1. Пусть выполнены все условия (С1)-(С4). Тогда "оператор М сильно (Ь,р)-радиален.

Следствие 7.1. Пусть оператор М сильно (L, р)-секториален, тогда он сильно (Ь,р)-радиален.

Четвертая глава посвящена приложению теории полугрупп операторов с ядрами к исследованию решений задачи Кошп (0.1) д.тя неоднородного уравнения типа Соболева (0.2). Полученные абстрактные теоремы прилагаются к исследованию начально-краевой задачи, моделирующей эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Список литературы

[1} Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами й линейные уравнения типа Соболева // Спб. матем. журя. 1995. Т.Зб, N 5. С.1130-1145.

[2] Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Относительно сильно радиальные операторы и сильно непрерывные полугруппы операторов с ядрами // Усп. мат. наук. 1995. Т.50, N 4. С.142.

[3] Свиридюк Г.А., Федоров.В.Е., Верясов Г.В. Уравнения типа Соболева с относительно радиальными операторами // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1995, Деп. N 988-В95,18 с.

[4] Федоров В.Е. Сильно непрерывные полугруппы и относительно р-радпальные операторы // Рук. деп. в ВИНИТИ, 1995, Деш-N 2665-В95, 30 с.

[5] Федоров В.Е. Сильно непрерывные полугруппы операторов с ядрами // Тез. докл. Всеросс. конф. Алгоритмическ. и числ. анал. некорр. задач.- Екатеринбург, 1995. С.125-126.

[6] Федоров В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радпальным оператором // Тез. докл. на Воро-нежск. мат. школы. "Современные методы теории функций

и смежные проблемы прикладной математики и механики". 1995, С.236.

[7] Федоров В.Е. Неоднородная задача Коши для линейного уравнения типа Соболева // Тез. докл. Сиб. конф. по неклас-сич. ур. мат. физ.- Новосибирск, 1995. С.91.