Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

рг б од

г УДК 517.9

2 1 ДПР Ш7

ЕФРЕМОВ Александр Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕИНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА СОБОЛЕВА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Г.А.Свиридюк

ЕКАТЕРИНБУРГ—1996

На правах рукописи УДК 517.9

ЕФРЕМОВ Александр Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА СОБОЛЕВА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Г.А.Свиридюк

ЕКАТЕРИНБУРГ — 1996

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре математического анализа.

Научный руководитель доктор физико-математических

наук, профессор Г.А.Свиридюк

Официальные оппоненты доктор физико-математических

наук, профессор А.И.Короткий, кандидат физико-математических наук, доцент А.С.Макаров

Ведущая организация Институт математики СО РАН

Защита состоится " 16 " декабря_ 1996 года в 15 ч.

00 мин. на заседании диссертационного Совета К 063.78.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Уральском государственном университете имени А. М. Горького по адресу:

620083, Екатеринбург, просп. Ленина, 51, комн. 248. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уральского государственного университета.

Автореферат разослан » » /иОЯс^ЬЯ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физико-математических

наук, доцент . В.Г.Пименов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Целью работы является постановка и исследование разрешимости задачи оптимального управления для линейного уравнения типа Соболева

где оператор L € С(Х;У), ker L ф {0}, оператор M : dorn M —> J' линеен, замкнут н плотно определен, оператор В 6 С{Ы',У), X У и U - гильбертовы пространства; а также получение необходимых и достаочных условий оптимальности такого управления.

Актуальность темы. Задача минимизации квадратичного фуйкционала на решениях системы (1), (2) в конечномерном случае рассматривалось ранее L. Pandolfi, Г. А. Куриной, И. К. Асмыковичем и В. И. Яновичем. Кроме того, задачи управляемости и наблюдаемости для систем (1), (2) ставили и изучали S. L. Campbell и W. J. Terrell, N. К. Son, I. Bock и J. Lovisek, и другие исследователи. В их работах неоднократно встречалось предположение об однозначной разрешимости задачи Коши (2) для уравнения (1) при любых начальных условиях ц-о и любых управлениях и. Данное предположение, естественно, некоторым образом подразумевало множества допустимых начальных условий го и управлений и, но к четкому определению таких множеств не привело.

С другой стороны, в последние годы Г. А. Свиридюком и его учениками Т. Г. Сукачевой, Т. А. Бокаревой, В. Е. Федоровым был разработан общий метод исследования уравнений типа Соболева, основанный на теории групп и полугрупп операторов с ядрами и понятии фазового пространства. В рамках данной теории была изучена разрешимость задачи Коши (2) для уравнения (1), и получены ее классические решения в случаях (L, а)-ограниченного и (£,р)-секториального оператора М.

Li = Мх + Bu, х(0) = х0

(1) (2)

С точки зрения автора диссертации, представлялось актуальным поставить и исследовать задачи оптимального управления системой (1), (2) в бесконечномерном случае и при этом с максимально возможной четкостью определить те условия на управление и начальное состояние системы, которые приводили бы не только к минимизации некоторого квадратичного функционала, но и к однозначной разрешимости системы (1), (2) в рефлексивных пространствах. Кроме того, интересным представлялось получение необходимых и достаточных условий оптимальности управления.

Подчеркнем интерес автора именно к уравнениям с необратимым оператором при производной по времени, то есть при условии кег Ь ф {0}.

Методы исследования. Для решения указанной выше задачи используется теория разрешающих полугрупп операторов с ядрами и метод фазового пространства, а также принцип максимума в форме вариационного неравенства.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

• доказано существование и единственность сильного решения задачи (1), (2);

• получены достаточные условия управляемости системы (1), (2);

• для поставленной задачи оптимального уравнения доказаны существование и единственность решения;

о получены необходимые и достаточные условия оптимальности управления;

• абстрактные результаты применены к конкретным задачам математической физики для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной и эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, а также к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теоретическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых задач, а также при изучении вопросов наблюдаемости и стабилнзируемости решений. Кроме того, эти результаты могут быть использованы при исследовании задач оптимального управления для конкретных систем, сводящихся к абстрактной системе (1), (2).

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на Воронежской зимней математической школе 1995 г., Всероссийской научной конференции "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" (Екатеринбург), Сибирской конференции по неклассическим уравнениям математической физики (Новосибирск), Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач (Понтряпшскне чтения - VII)", 6-й межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара), Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа), Международной конференции по неклассическим задачам математической физики (Кисегач); на семинаре проф. В.Н.Врагова в Институте математики СО РАН, семинаре проф. Г.А.Свиридюка в Челябинском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[9]. В совместных статьях [1], [5] автору настоящей диссертации принадлежат третий и четвертый параграфы,

в совместной статье [2] - третий параграф.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации составляет 102 страницы машинописного текста. Библиография содержит 100 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит краткий обчор основной литературы по теме диссертации. В нем же сформулированы цели и обозначены методы исследования, дается представление о содержании диссертации, приносятся благодарности.

Первая глава содержит результаты о разрешимости задачи Коши (2) для линейного уравнения типа Соболева

Ы = Мх + у (3)

с (Ь, ст)-ограниченным оператором Л/.

В первом параграфе приводится определение (Ь, а) - ограниченного оператора М, проводится расщепление уравнения (3) на регулярную и сингулярную части и строятся их разрешающие группы.

Второй и третий параграфы посвящены построению фазового пространства однородного варианта уравнения (3), описанию его свойств и связи с разрешающими группами. Приводятся также условия существования фазового пространства.

В четвертом параграфе строится классическое решение задачи (2), (3) и доказывается теорема о его существовании и един-.

ственности.

Основным результатом пятого параграфа является теорема о существовании и единственности сильного решения задачи (2), (3):

ТЕОРЕМА 1.5.1. Пусть оператор М (Ь,сг)-ограничен и оо - несущественная особая точка порядка р 6 {0} II К I-резольвенты оператора М. Тогда при любых у € И^^У) и хо 6 Му существует единственное сильное решение х € И^(Л') задачи (2), (3), имеющее вид

х{1) = (Ах+А2)у{1) + Х1х о,

где

А1У{1) = - £ к=0

(

А3у{1) = / П1"у(з)ёз, о

Здесь пространства

\УЯ\Х) = {х 6 ьч(0,т-ху,х' е 1,(0,7-;*)}, 1 <<?<сх>, Щ+\У) = {уе 1>ч(0,т;уу,у№ 6 1,(0,г;Э>)}, 1 < д < оо, а множество

= е X : (I - Р)х = - £ ПчМо\1 - д)у(,)(0)} •

Шестой параграф содержит вспомогательные результаты, касающиеся свойств относительных резольвент оператора, сопряженного к М в банаховых и гильбертовых пространствах. Доказана эквивалентность (Ь, о) - ограниченности оператора М и (Ь',о) (£*, а) - ограниченности оператора М' (М*).

В седьмом и восьмом параграфах исследуется разрешимость задачи Коши для уравнения типа Соболева с сопряженными

в банаховом и гильбертовом смысле операторами. Результаты, полученные в терминах исходной задачи, устанавливают существование и единственность сильных решений таких задач.

Девятый параграф содержит определение управляемости системы (1), (2) и посвящен получению достаточных условий управляемости. Основной результат - следующая

ТЕОРЕМА 1.9.1. Пусть оператор М {Ь, а)-о граничен и оо -устранимая особая точка Ь-резолъьенты оператора М. Пусть также оператор В такой, что 1ш В = у. Тогда система (1), (2) управляема.

Вторая глава посвящена исследованию задачи Коши (2) для линейного уравнения типа Соболева (3) с (£,р)-секториалышм и сильно (Ь,р) - секториальным оператором М.

В первом и втором параграфах приводятся определения (Ь,р) - секториального и сильно (Ь,р) - секториального оператора М, уравнение (3) расщепляется на регулярную и сингулярную части, строятся разрешающие полугруппы.

Третий праграф содержит результат, аналогичный четвертому параграфу первой главы, касающийся существования и единственности классического решения задачи (2), (3) в случае сильно (Ь,р) - секториального оператора М.

Основной результат четвертого параграфа:

ТЕОРЕМА 2.4.1. Пусть пространства X, У рефлексивны и оператор М (Ь,р)-секториален. Тогда при любой у € их об .МуПс1от М существует единственное сильное решение задачи (1), (2), имеющее вид

*(*) = {А1 + А2)у(0 + Х*х0.

где

к=о

А2у(1) = / п'-'у^я, о

На основе результатов §0 первой главы в пятом и шестом параграфах устанавливается относительная р-секториальность сопряженных операторов М' и Л/*, а затем доказывается существование и единственность решения задачи Коши для уравнения с сопряженными операторами в терминах исходной задачи для уравнения с сильно (Ь,р) - секториальным оператором М.

Седьмой праграф посвящен исс ледованию управляемости системы (1), (2) с сильно (Ь,р) - секториальным оператором М и содержит достаточное условие управляемости:

Теорема 2.7.1. Пусть оператор М сильно (£,0)-секториален. Пусть также оператор В такой, что 1т В = У. Тогда система (1), (2) управляема.

Третья глава содержит постановку и исследование задачи оптимального управления для уравнения

Ьх = Мх + у + Ви (4)

в случаях, когда оператор М либо (Ь, сг) - ограничен, либо сильно (£,р) - секториален. Все рассмотрения здесь ведутся в гильбертовых пространствах.

В первом параграфе строится функционал стоимости 1 Т р+1 I

*=0п 4=0 Й

и задача оптимального управления рассматривается как задача

о Р+1

поиска такого щ £Hq \U), что

J(u0) = min J(u). (и)

Основной результат этого параграфа:

ТЕОРЕМА 3.1.1. Пусть оператор М (Ь,о)-ограничен, причем. оо - несущественная особая точка порядка р L-резольвенты оператора М. Тогда при любых у 6 НР+1(У) их о £ М.у суще-

о р+1

ствует единственное оптимальное управление щ £Hg (U).

Во втором параграфе строится система, сопряженная к (4), (2) и с ее помощью доказывается основной результат второго параграфа:

ТЕОРЕМА 3.2.2. Пусть оператор М (L,о)-ограничен, причем оо- несущественная особая точка порядка р £ IN L-резолъвенты оператора М. Тогда при любых у G НР+1(У) и х G Му оптимальное управление для системы (4), (2) характеризуется соотношениями

Li = Мх + у + Ви0, z(0) = хо,

-1/£ = МЧ + С'Л(Сх(*,щ)-го), £(г) = 0,

Р+1 г

£ / UülB'^\t;u0) + jviftt),«<«>(<) - «^(i)) > о

о р+1

VU енд (U),

где

x(t-,uo) € Н\Х\ € НР+1(У*),

причем для р = 0 эти условия являются необходимыми и достаточными, а для р ф 0 - только достаточными.

В третьем параграфе функционал стоимости (5) минимизируется на решениях уравнения (4) с сильно (L,p) - секториальным оператором М. Доказана

теорема 3.3.1. Пусть оператор М сильно (Ь,р) - секто-риален, р 6 N. Тогда при любых у € НР+1(У) и 1г0 € Му су-

оР+1

ществует единственное оптимальное управление «а £Нд Щ) для задачи (4), (2).

Четвертый параграф содержит результаты, аналогичные §2, но касающиеся уравнения с сильно (Ь,р) - секториальным оператором М. Основной результат:

Теорема 3.4.2. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален. Тогда при любых у £ НР+1(У) и х £ Му оптимальное управление для системы (4), (2) характеризуется соотношениями

Ьх = Мх + у + Ви0, х(0) = хо,

-¿Ч = М*£ + С'Л(Сх(и «„) - го), = О,

/>+1 Т

Е / (л^в-^щ) + - «о?)(<))„ > О

7—0 о . и

оР+1

Уи ена (и),

где

причем при р — 0 эти условия являются необходимыми и достаточными, а при рф 0 - только достаточными.

Четвертая глава посвящена приложению абстрактных результатов первых трех глав к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.

В первом параграфе рассмотрена начально-краевая задача для уравнения Баренблатта - Желтова - Кочиной

(Л-Д)х = оДг + у, (6)

ф, 0) = ^ € П; ф, г) = 0, (я, ^едПх И,

где Г2 С И" - ограниченная область с границей дИ класса С°°.

С помощью редукции к уравнению вида (1) с (Ь,а) - ограниченным оператором М на основе результатов третьей главы доказала

ТЕОРЕМА 4.1.1. При любых у € и^,1^) и £(>.€ Му существует единственное управление щ (Е ^И-'г (У)^ > минимизирующее функционал качества

для уравнения

(А - Д)£ = аЛх + у + и.

Здесь множество Му имеет вид

Му = {х-€Х : Аа{х,<рк) = {у(0),(рк}, А* = А}, а случай кегЬ ф {0} означает А 6 с(А).

Второй параграф) содержит постановку и решение задачи оптимального управления для системы обыкновенных дифференциальных уравнений,

' х2 = х1 + (/', х3 = х2 + у2,

(Г)

хп == хп~[ +у"-\ {хп + уп = 0,

где функции Xх = г = 1неизвестные функции од-

ного переменного, у1 = у'(0> 1 = - заданные функции.

а;'(0) = Хц, г = 1,..., п, которая также сводится к уравнению (1) с (Ь, а) - ограниченным оператором М, после чего к ней успешно применяются результаты третьей главы и доказывается

Теорема 4.2.1. При любых у е ЯП(ИП) «х0 е Му суще-

о п

ствует единственное управление щ £Нд (И"), минимизирующее функционал стоимости

л(и) = и) - ^(ОНдчл-) + И^Ияч»- ■

для системы (7).

Для данной системы

= -ПЕ+1уЮ(0), 1 = 1,...,П]. *=1 )

Третий параграф содержит задачу оптимального управления для уравнения

(А - Д)х = а&х - /ЗД2х + у, (8)

моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости.

Пусть Гг С К", п > 2, - ограниченная область с границей дО. класса С°°. В цилиндре О х (О, г) рассмотрена задача Коши -Дирихле

аг(з,0) = х0(в),

г) = Да;(в, 0 = 0; (я, <) <Е 30 х (0, г),

При помощи редукции к уравнению (1) с сильно (Ь, 0) - сек-ториальным оператором М доказана следующая

о 2

Теорема 4.3.1". Пусть А е ^(Д). Тогда при любых у (У) и хо € Му существует единственное оптимальное упра-

О

вление и £На (У) решениями задачи (4-3.1), (4-3.2) для уравнения (4.3.17). Здесь

Му = {х € X : {х,<рк) = = (/ЗА2-аА)"1 <»(0),^М = Л4}.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

[1] Sviridyuk G.A., Efremov A.A. Optimal control problem for a class of linear operator equations of Sobolev type // Proc. of ICOTA'95. Chengdu, China. June 12-15, 1995. P.773-782.

[2] Свиридюк Г.А. , Ефремов A.A. , Алчебаев А.Е. Задача Ко-ши для линейных уравнений типа Соболева // Рук. деп. в ВИНИТИ. 1995. Деп. jVa2746-B95.

[3] Свиридюк Г.А. , Ефремов A.A. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева // Тез. докл. Воронежской ЗМШ, Воронеж, 25/1 - 1 /II 1995, С.207.

[4] Свиридюк Г.А. , Ефремов A.A. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно а-ограниченным оператором // Тез. докл. Всеросс. науч. конф. "Алгоритмический к численный анализ некорректных задач", Екатеринбург, 27/II - 3/III 1995, С.109-110.

[5] Свиридюк Г.А. , Ефремов A.A. Оптимальное управление линейными уравнениями типа Соболева с относительно р-секториальными операторами // Днфференц. уравн. 1995. Т.31, №11. С.1912-1919.

[6] Ефремов A.A. Критерий оптимальности управления линейным уравнением типа Соболева // Тез. докл. Сиб. конф. по неклассич. уравн. мат. физики, Новосибирск, 12-15/IX

1995, С.41.

[7] Ефремов A.A. Проблема линейного квадратического регулятора для линейного уравнения типа Соболева // Тез. докл. ВВМШ "Современные методы в теории краевых задач" ("Понтрягннские чтения - VII"), Воронеж, 17-23/IV

1996, С.74.

[8] Ефремов A.A. Сильное решение задачи Коши для линейного уравнения типа Соболева // Тез. докл. VI межвуз. конф. "Математическое моделирование и краевые задачи", Самара, 29-31/V 1996, С.33-34.

[9] Ефремов A.A. Задача оптимального управления для вырожденного линейного уравнения типа Соболева с относительно а-ограниченным, оператором // Вестник Челяб. гос. университета, сер. Матем. Мех. 1996. N°l(3). С.55-62.