Исследование глобальной асимптотики некоторых классов динамических систем адаптивного управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б ОД На правах рукописи

- 1 ДПР (333

УГРИНОВСКАЯ Елена Яковлевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ГЛОБАЛЬНОЙ

Л ГЧТТА ^ПИР^ТТ/П^ТТ Т-ГТТЧ^^НГГМЭТ^ТЛЛ х чу х 1Ш1 ^ х VI

КЛАССОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ АДАПТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фиоию-математических наук

Специальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Нижний Новгород, 1996

Работа выполнена в Нижегородской государственной архитектурно-строительной академии (НГАСА).

Научный руководитель — доктор фиоико-математических наук, профессор В.А.Брусин.

Официальные оппоненты:

- доктор фиоико-математических наук, профессор

В.Б. Колмановский,

- доктор фиоико-математических наук, профессор П.В. Пакшин.

Ведущая организация — Волжская государственная академия

водного транспорта.

Защита состоится Оьп£>. " 1996 года в час. на оасе-

дании диссертационного совета Д 063.77.07 в Нижегородском государственном университете по адресу: ГСП-20, 603600, г. Н.Новгород, пр.Гагарина, 23, корп.2, конференц-оал

С диссертацией можно оонакомиться в библиотеке Нижегородского университета.

Автореферат раоослан алев/»»® " 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат фиоико-математических наук доцент

.И.Лукьянов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность проблемы. Одним ип основных объектов исследования в теории адаптнвиого управления является класс дипа-. мимеских систем, каждая ип которых представляет собой объединение в одну систему уравнений объекта управления ио некоторого множества и уравнений регулятора, общих для всего класса систем. Если отот регулятор обеспечивает требуемое предельное поведение всех фаоовых траекторий любой системы ио оаданпого класса, то он навивается универсальным относительно отого класса систем. Исследование глобальной асимптотики всех фаоовых траекторий всего класса оамкнутых систем является одним ио основных математических методов в теории адаптивного управления (работы Ф.Л. Чер-ноусько, А.И. Лурье, A.B. Куржанского, В.Б. Колмановского и многих других). Такие исследования адаптивных систем автоматического регулирования потребовали расширения математического аппарата теории устойчивости. В работах Б.Н. Петрова, В.Ю. Рут-ковского, К.С. Нарендра, П.В. Мопополи, Ю.И. Неймарка, В.А. Бру-сина, А.Л. Фрадхова и других ученых исследование устойчивости оамкнутых систем, описывающихся обыкновенными дифференциальными уравнениями, проводилось теспо воаимосвяоанными между собой методами: либо предложенным В.М. Поповым методом априорных интегральных оценок, либо путем построения глобальных функций Ляпунова с неотрицательно определенной полной нрожзводпой (с использованием теории абсолютной устойчивости Калмана-Яку-бовича или теорем типа Барбашипа-Красовского).

Уточнение математических моделей объектов приводит к новым постановкам задач адаптивного регулирования, что требует обобщения методов исследования устойчивости оамкнутых систем. К таким моделям относятся рассматриваемые в диссертации системы, описываемые неавтономными дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, и сложные системы со структурпо неопределенными взаимосвязями с оапаодывапием, требующие применения децентрализованной стратегии адаптивного управления. Су-

1

и*г огненным моментом в рассматриваемых задачах является наличие постоянно действующих ограниченных внешних возмущений динамических систем. Для нейтрализации отих возмущений в уравнения регуляторов включаются раорывные олементы. При замыкании такими регуляторами рассматриваемых в диссертации динамических систем возпикают сложные многомерные системы нелинейных неавтономных функционально-дифференциальных уравнений с разрыв-пой правой частью. Поотому совершенствование известных методов исследования асимптотического поведения решений обыкновенных дифференциальных уравнений и распространение отих методов на исследуемые в диссертации системы является актуальной задачей.

Цели и оадачи исследования.

Найти дифференциальные уравнения регуляторов, универсальных но отношению к описанным в рабрте классам динамических систем, генерирующих ограниченные ыа бесконечном временном интервале процессы управления.

— Доказать, что эти регуляторы нейтрализуют (в определенном смысле) произвольные, постоянно действующие,, равномерно ограниченна внешние возмущения в любой системе из отих классов.

— Исследовать глобальную -асимптотику процессов, возникающих в оамхнутых системах, которые описываются многомерными систе-:.;г.ыи неавтономных нелинейных функционально-дифференциальных у равнений с -разрывной правой частью. •

Методы исследования. Проводимый в диссертационной работе апа-г го глобальной асимптотики решений систем дифференциальных уравнений основан на методе априорных интегральных оценок. При этом используется общая теория функционально-дифференциальных уравнений, а также некоторые разделы функционального анализа и теории интегральных преобразований. Используемое в диссертации понятие решения систем^ с разрывной правой частью связано с понятием "пограшппого слоя".

Научная новизна. В работе содержатся следующие новые научные реоультаты.

1. Найдены дифференциальные уравнения универсальзшх мишчма-мерных регуляторов для исследуемых в работе классов управляемых динамических систем. Каждый такой класс обладает следующими свойствами:

— состоит ио всевосшожпых линейных, устойчивых по входу (таг. называемых минимальпо-фаоовых) управляемых систем, с са- ■ данными степенями числителя и знаменателя передаточной функции, а также опаком старшего коэффициента числителя, которые являются характеристиками класса;

— входящая в правую мачь у равнений ДИПлМпЧССХОц СйСТСглЫ функция времени, характериоующая внешнее возмущение, принадлежит множеству непрерывных, равномерно ограниченных на [0,+оо) функций, с произвольным опаченнем ограпичиваю-

\ щей константы; \- в правые части уравнений системы могут входить с произвольными кооффицпептами члепы с запаздывающими аргументами, причем значения оапаодываний также являются произвольными.

2. Исследована глобальная асимптотика поведения замкнутых систем адаптивного управления, описывающихся нелинейными неавтономными дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом и разрывпон правой частью. Докапано, что найденные регуляторы генерируют ограниченные на [0, -fco) функции управления и обеспечивают требуемое предельное поведение траекторий любой системы ио описанного класса.

3. Рассмотрена актуальная оадача децентралиоованного асимптотического сближения выходпых процессов каждой подсистемы сложной системы неавтономных функционально-дифференциальных уравнепий со структурно неопределенными взапмоспяоямн

с выходными процессами устойчивых, не свяоанных между со- • бой, линейных неавтономных систем'сравнения. Доказано, что найденные универсальные регуляторы, действующие автономно в каждой подсистеме и оависящие тольхо от выходных переменных отой подсистемы, решают эту оадачу.

3

Практическая ценность работы. Сиитеоцроцаиццс алгоритмы управления поор.оляют решать ряд иовестпых оадач теории управления, таких как: оадача о преследовании объекта, оадача стабилиоации динамической системы с оапаодывающим аргументом, оадача децентрализованного управления сложными системами с оапаодыванием во воаимосвяоях в условиях неполной информации и постоянно действующих неизвестных внешних воомущений. Предложенные и исследованные алгоритмы управления не требуют предварительной идентификации объекта, онания структуры и параметров внешних воомущений и (или) взаимодействий между подсистемами, то есть соответствуют регуляторам прямого действия и адаптивны по отношению к структуре, виду н границам изменения вненпшх воомущений и взаимодействий между подсистемами. Предложенные в работе динамические системы управления физически реализуемы в режиме реального времени.

Проводимые исследования свяоаны с НИР "Сиптео адаптивпых алгоритмов децентрализованного управления колебаниями и стабили-оации упругих систем", № Гос. регистрации 0194005416, выполняемой в соответствии с научно-технической программой "Архитектура и строительство" , номер темы 3.2.1.14. Результаты исследований вошли в отчеты по НИР оа 1994 и 1995 годы.

Апробация полученных реоультатов. Основные реоультаты диссертации докладывались па VIII Всесоюзной конференции по проблемам технической кибернетики (г. Горький, 1988 г.), 5-ом Ленинградском симпозиуме по теории адаптивных систем (г. Ленинград, 1991 г.), Украинской конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем" (г. Киев, 1993 г.), па III конференции по нелинейным колебаниям механических систем (г. Н.Новгород, 1993 г.), конференции "Integrated system engineering" (г. Вадеи-Бадеп, Германия, 1994 г.), па 2-ой Российско-Шведской конференции по автоматическому управлению (г. С.-Петербург, 1995 г.), на семинаре "Теория адаптивных систем" (рук. проф. Ю. И. Неймарк и проф. С. В Шильман), на семинаре "Устойчивость и управление" (рук. проф. В.В. Колма-новский и проф. В.Р. Носов), на научных семинарах Нижегородской

4

государственной архитектурно-строительном академии.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 9 печатных работах [1—9].

Личным вкладом диссертанта в совместные с В.А. Брусйным работы являются формулировки и доказательства теорем, раоработка примеров. Б.А. Брусину п отих работах принадлежат постановка оадачи и общий подход к ее решению на основе метода априорных интегральпых оценок, а в работе [1] — и решение оадачи в случае новостных границ внешних воомущений.

Структура и объем диссертации. Оспс-пс:: т"ст диссертации состоит ио введения, трех глав, оаключения и оанимает 113 машинописных страниц. Список литературы содержит 56 наований. Кроме того, в работе имеется приложение на 3 страницах, включающее сведения, не вошедшие в основной текст диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В введении дано обоснование актуальности темы, приведен краткий обоор литературы, примыкающей к теме диссертации, и краткое положение содержащихся в работе реоультатов, а также даются основные определения.

Первая глава диссертации посвящена исследованию асимптотического поведения выходных переменных y(t),yT{t) G Я1 оамкпутой дппамической системы, состоящей ио:

1) управляемой системы, с управлением ti(i) б R1 и ограниченным внешним воомущением Ç(t) 6 Л1, описывающейся о быкновенным дифференциальным уравнением

D(p)y(t) = B(p)u(t) + N(p)Ç(t), (Р = . (1)

где D{p) -рп + dip"-1 +... + dn, В(р) = Ь0рт + bip™"1 + ...'+ Ьп, Щр) = vop' + vip1'1 + ... + n > m > i, ô0 5й 0;

2) устойчивой системы сравнения

D(p)yT(t) = B(p)uT(t), (2)

где yr,ur€R\ D(p)=p% + 21pn-1 + ... + lnt Щр) = Ъорт + Ъ1Рт-1 + ... + Ът, Ь0 Ф 0;

3) регулятора, описывающегося системой уравнений

тi = ff + Au,

2я—2 .

У-о

d -

-тЛ- = -Pj/ie, Р/ > 0, j = 0,..., 2п - 2

Ди(1) = -рФ(1)у>(е), р > 0, Ф(0) = 0,

(4)

~Ф(0=И01,

1-1, £<0 -1 < <р < 1, £ = О 1, £ > О

(5)

где e(t) t= y(t)-yr(i),

Mt):=v(t), МО := Si := \А(р)

Гр»-У-1

ад

yn-j-3

ад

v(0* J = 1.....П- 1,

u(0> i = n,... ,2n - 2.

(6)

(Здесь п далее z(t) = i(i) обооначает любой процесс z(i), удо-

аяетворякмций уравнению 2?(p)z(t) — -4(p)?(i), р = d/Л; Д(р) — произвольный устойчивый многочлен степени п — 1.)

• В пункте 1.1 описывается множество (класс К) исходных систем (1) и систем сравнения (2), удовлетворяющих следующим предположениям:

1) -®(р) — произвольный гурвицев многочлен степени т, bo Ф 0. Знак коэффициента Ь0 для определенности будем считать положительным (в случае, когда он отрицателен, онак функции управления сменится на противоположный).

2) Z>(p), D(p) — проиовольные мпогочлены степени п, причем многочлен D(p) — гурвицев, В(р), N(p) — проиовольные мно-

. гочлепы степеней m и I соответственно, причем n > m > I.

6

3) Функции иг{1) и £(0 ограничены на [0г+оо).

Асимптотические свойства пыходпых переменных оамкнутой системы (1)-(б) исследованы в п. 1.2. Для случая т — п — 1 утверждается следующее.

Теорема 1.1. В оамкнутой системе (1)-(б), где (1) и (2) — любая исходная система и система сравнения ио класса К, а регулятор (3)-(6) общий для всех систем данного класса, при любых начальных условиях и непрерывных ограниченных uT(i) и £(4) управление и(1) является ограниченной на [0,+оо) функцией, а фунхцня рассогласования с(1) удовлетворяет следующий условиям:

ии /<

c{t))7dt < const, sup |£(i)| < const, lim e(t) = 0. (7)

о <>0

В случае, когда m < n — 1 модификация уравнений регулятора также обеспечивает выполнение условий (7) для выходных процессов y(i). yr(t) оамкнутой системы для любых исходных систем и систем сравнения ио класса К при любых начальных условиях. &та модификация осуществляется путем замены в уравнениях (4), (ü) s(t) па <S(i), где S(t) — Dk{p)c{t) (Dk(p) — гурвицев многочлен степени к = п - тп — 1 со старшим кооффициентом, равным 1), а функций ио (6) па функции /у(i), j = 0,... ,7i + тп — 1, определяемые уравнениями

Mt):=z(t):=Dk(p)y(t), fj(i) =

m =

0'= 1,...,П -1),

рП+m-l-j

Rm(p)Dk(p)

(j = n,...,n + m-1), (3)

(Rm(p) — проиовольный гурвицев многочлен степени m со старшим коэффициентом, равным 1). Доказательство этого флата, приводится в Теореме 1.2 ио этого же пункта 1.2.

Поскольку в правую часть оамкнутой системы (1)-(6) (если ее оа-писать в нормальной форме) входит рзор'ьтная функция (р{с) (5), решения и траектории такой системы должны пониматься в адекват-пом смысле. В работе мы придерживаемся подхода, определяющего решение в точках рапрыва правой части с помощью»маас^Х-ПОгра-ничного слоя (АГюерман, Пятницкий). Это определение приводится

в разделе 1.3, а в разделе 1.4 показано, что в условиях теорем 1.1, 1.2 система (1)-(6) или ее модикация для случая m < п — 1 имеют единственное непрерывное, дифференцируемое в обобщенном смысле решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Полученные в пункте 1.2 результаты иллюстрируются в пункте 1.5 на примере исследования асимптотики замкнутой системы управления малыми колебаниями подвижного обращенного маятника, па который действуют ограниченные нсизмеряемые внешние возмущения. Путем управления скоростью смещения оси маятника вдоль горизонтали удается добиться асимптотического сближения угла отклонения маятника от вертикали с выходным процессом некоторой устойчивой системы. Проведенное на ПЭВМ численное моделирование поведения всей замкнутой системы, результаты которого также приводятся в отом разделе, полностью подтверждают теоретические рассуждения.

Наконец, в разделах 1.6 и 1.7 результаты предыдущих разделов обобщаются на случай, когда y(i), yr(t) — r-мерные выходные процессы исходной системы и системы сравнения, u(i), uT(t) — г-мерпые управляющие воздействия, £r(i) — ç-мерное и г-мерное входные воздействия — ограниченные'функции, В(р), В(р), N(p) — матричные многочлены соответствующих размерпостей. В Теореме J-Зпри-водится обобщение на векторный случай уравнений регулятора (3)-(6) как для систем, относительная степень которых равна 1, так и для систем с относительной степенью, большей 1, и доказывается, что в замкнутой отим регулятором системе функция e(i) := y(t) — yr{t) при любых начальных условиях и оначениях параметров из некоторого описанного в разделе 1.6 класса принадлежит £з(0, +оо).

Вторая глава диссертации посвящена исследованию процессов асимптотической стабилизации динамической системы, описываемой неавтономной системой дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом (присутствует как сосредоточенное, так и распределенное запаздывание) и постоянно действующим немоделируемым ограничепным внешним возмущением. Исследуется глобальная асим-

птотиха фа&одых псрсиелиыд системы

■х = Лх + В^р ску(1 - тк) + /с0(Оу(< ~ + Л/«(1) + II (0, (9) у(0 = с'х(0, 1/(0 = !й(<). ~ < < < »(0) = ®Ь. (Ю)

где х 6 Л" — п-мерный вектор, 2В = со!(^,... € Я", «(I) — скалярная функция управления, у(0 — скалярный выходной процесс системы, у0(О — непрерывпая па рассматриваемом пптервале функцил, с* — матрица-строка размера п, Л — п х п матрица, В и М — вектор-столбцы размера п. Векторная фунация 11(1) = (/»'(О,... ,ЛП(0) характеризует ограниченные внешние яоомущения системы. В членах с оапаодыванием ск, к = 1 ,...,1 — нехоторые числа, а со(0 — непрерывная, абсолютпо суммируемая на интервале [0,-гсо) скаляр-пая функция, Т| < Тз < ... < т/. Эта система оамыкается уравнением регулятора

(П).

и(0 = ХГ(0 + Д«х(0 + Дг^О, ®(0 = (Аь/.(0) + (*а,Л(0) + Аз/з(0,

^Ау = -Р;/;(0У(0, Р, > 0, 1,2,3,

(12)

Д«,(0 = -7Ф(*МУ). 7>0, Ф(0) = 0,

^ -Г""1, ' у<о

-Ф(0 = |у(0|, <р(у) = | -1 < ^ < 1, У = 0

1,

у > 0

(13)

д«а(0 = -/?Т?(0У(0, Р > 0-<1

л

*?(0 = (1/(0)-.

(14)

где /,(0 = (/п(0,-.-,/1»-1(0)Г, /а(0 = (/«СО...../а—1(*))г, /з(0

определяются следующим обрзоом:

/н:=

„1-1

ОЛР)

«(0,

,.>—I

¿Мр)

у(0, (»= 1.....П-1), /з:= »(0,(15)

9

(.01 (р) — произвольный устойчивый многочлен степени п — 1 со старшим кооффициептом 1).

Иоложение второй главы проводится по той же схеме, что и изложение первой главы в силу испольоуемого в диссертации унифицированного подхода к исследованию поведения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и систем с запаздывающим аргументом. В разделе 2.1 приводится постановка оадачи и покапано, что, исключая х ио соотношений (9), (10), можно получить следующее уравнение относительно выхода системы у(*):

ЭДу = М(р)«(0 + В(р)а(1) + £ Щр)№) + х'), (р = , (16)

<Ь=1 о

В втом же разделе описывается класс систем К., удовлетворяющих следующим предположениям:

1) пара (А,М) управляема, пара (Л, с*) наблюдаема, с'М ф 0;

2) М(р) — произвольный гурвицев многочлен степени п-1, тп0 ф О (знак коэффициента то для определенности будем считать положительным);

3) многочлены В(р), В(р) и №{(р) — произвольные многочлены с постоянными коэффициентами степеней п и п — 1 соответственно;

4) функция со(1) непрерывна и абсолютно суммируема на интервале [0, оо); С] и ту > 0, ] = 1,;.., I — произвольные числа;

5) неизмеряемые внешние возмущения системы — ограниченные

функции, 8ир||#(*)|| < Но, причем значение ограничивающей «>о

константы Но — произвольное число.

Как показано в разделе 2.2, Теорема 2.1, при т = п~ 1 управление, геперируемое системой (11)—(15), является ограниченной на [0, +оо) функцией и обеспечивает асимптотическую стабилизацию выходного процесса и равномерную ограниченность всех фазовых переменных любой системы (9)—(10) ио класса К. при любых начальных условиях

в смысле

оо

[y7(l)dt < const, sup |y(t)| < const, (17)

о <>°

lim (y(0) = 0, sup |x'(i)| < const, i = 1,... ,n. (18)

i—oo (>0

Как и в главе 1, замкнутая система (9)-(15) пе является гладкой. Определение решения такой системы уравнений с запаздывающим аргументом, основанное на методе пограничного слоя, приводится в разделе 2.3, а в разделе 2А доказывается единственность этого решения На слильиящих режимах в случае принадлежности отой системы классу К..

Наконец, в разделе 2.5 описывается класс К\, в который, в отличие от 1С, входят системы с с'М = 0. В остальном описания этих классов совпадают, оа исключением трех моментов, а именно:

1) М{р) — произвольный гурвицев многочлен степени т, 0 < т < п — 1, т0 Ф 0;

2) Функция co(i) непрерывна и абсолютно суммируема вместе со своими к производными, к = п — т. — 1, на интервале ¡0, оо);

3) пеиомеряемые внешние возмущения системы ограничены вместе со своими к производными, причем значения констант Hj, ограничивающих j = 0,1,...к — произвольные числа.

Покаоано, Теорема 2.2, что заменой переменной

z{t) := Dk[p)y{t) = yW + ацЛ"1} +... + ак, , (19)

где Dk{p) — произвольный устойчивый многочлен степени к, любая система из класса К\ сводится к системе с относительной степенью 1, удовлетворяющей условиям Теоремы 2.1, и управление, полученное но (11)—(15) заменой y(t) на z(t), где /i, /j определяются следующим образом:

[и := /м =

Dm{p)

Dm(p)Dk(p)

«(t), (> = 1,... ,m), . (20)

y(t), (i= l,...,n-l), (21)

и

'.и"'(р) — проиовольный устойчивый многочлен степени т со старшим кооффициептом 1), обеспечивает выполнение условий (17)-(18) для фаоовых траекторий системы (9)-(10).

ч Как отмечается в Замечании 2.1, оамкнутая система и в отом случае остается системой того же вида, что и описанная в .раодсле 2.3, она имеет решение в fмыcлe определения этого раодела и ото решение единственно, если исходная система принадлежит классу К\.

В главе 3 алгоритмы адаптивного управления и методы их исследования,. положенные в предыдущих главах, раовиваются применительно к оадаче децентрализованного адаптивного сближения выходов всех подсистем сложной системы с выходами устойчивых систем сравпепия. Постановка оадачи дана в раоделе 3.1. Рассматривается сложная система, представляющая собой совокупность ио N динамических систем — подсистем 5,-,» = описывающихся уравнениями : . '

5с Д(р)у,(0 = + Уи«,ед\

А(р) = Р* + <1ир'*-1 + ... + <к» (22)

Д(р) =. ^.р"4 + • • • + М(?) = Софи + ... + Су,

где У»»«I — выходная переменная и управление подсистемы 5,-; прогресс v¡(tлy),Vi £ Н1 описывает воодействие на подсистему 5; других подсистем. Предполагается, что

».•(<,») = £ Ы* - тьу(< - 71» + / <?,(< - т)9ш{т,у)йт, (23) А-1 О

где — функция от I и у = со1(уь...,улг); <?;(') — неиовест-

ное ядро оператора. Для каждой подсистемы определена система сравнения M¡, описывающаяся уравнением

Щр)уи = (»• = 1, •. •, я), (24)

Щр) = р*- + Зир-1 +... + Щр) = Ъ0.р"1- + • -• +

Класс К определен как множество систем 5 = (5],...,и систем сравнения М = (А/ь-• • ,Л/лг), в которых каждая подсистема Si и

12

соответствующая ой система сравнения Мс (: = 1,...,^) удовлетворяют следующим предположениям:

1) Д(р) — произвольный гурвицсв многочлен степени т,-, Ьо,« Ф О (опак коэффициента Ь0,{ для определенности будем считать положительным);

2) 1){[р), М(р) — произвольные многочлены степени п,- со старшим коэффициентом равным 1, /У,(р), — произвольные многочлены степеней т; п соответственно, причем п,- > тп; > многочлен В{[р) — гурвицсв, и многочлены Д(р) и В^р) пе имеют общих корней;

3) функции, осущесгвллющие взаимодействие между подсистемами — произвольные, непрерывные по у и кусочно непрерывные по I функции, удовлетворяющие неравенствам1

¿ = 0,1,...,/ (25)

}=1

(константы в этих оценках, а также величины запазды-

ваний ъ, к = 1,...,/ — любые положительные числа); функция £?,(*) из (23) — произвольная функция, для которой существуют такие числа С,и > 0, что |С,(Х)| < Се-1";

4) внешние по отношению к объединенной системе (5, М) воздействия ща(1) (г = 1,...,^) предполагаются ограниченными па (0,+оо).

Случай, когда относительные степени всех подсистем равны 1, •.обирается в разделе 312. В Теореме 3.1 показано, что в отом слу-1е, если все подсистемы и соответствующие им системы сравнения шнадлежат классу К., ограниченные на [0, +со) функции управления (£), (» = 1,...,,№), действующие автономно в каждой подсистеме и висящие только от функции рассогласования еД£) :— у;(1) - у;0(1), у;(*), и¿(г) данной подсистемы, при любых начальных условиях л >бых допустимых функциях вц(1,у), С,(г), к,-в(£)> обеспечивают для сходных переменных всех подсистем "большой" системы асимпто-ческое сближение с выходпьши переменными систем сравнения,

иод которым понимается выполнение условии:

+оо

|2

/

О

|с;(«)|2<Й < 00, зир|£;(г)( < оо, £,-(0 = 0. {>0 «—00

Уравнения регулятора в каждой подсистеме имеет вид (11)- (14), с оаменой у, и, Д, к = 1,2,3 па £,-, •и,-, к = 1,2,3 соответственно, причем = со1 • • ■ »/¿»ц—ДО)» * = 1.2, и /¿(О определяются

следующим обраоом: *

Я» =

7* — 1

А<(р)

«¿(г), =

5-1

у.(0, Л(0 = и(0- -(27)

(£)ц(р) — произвольный устойчивый многочлен степени п; — 1 со старшим коэффициентом 1).

Проблема определения понятия решения и его существования в этом случае не требует специального рассмотрения, так как при объединении калмановских реалиоаций всех исходных подсистем, систем сравпопия и уравнений регулятора в одну большую замкнутую систему, получаем частный случай системы, которая уже рассматривалась в раоделе 2.3 второй главы.

Случай, когда относительные степени некоторых подсистем мены» 1, разбирается в раоделе 3.3. По методике предыдущих глав, в этих подсистемах вводятся новые переменные := (¿) =

о^(р)у^), = > ¿¿(*) := 2,(0 - где П^(р) — произвольный устойчивый многочлен степени := П{ — ггц со старшим коэффициентом 1. В Теореме 3.2 показано, что такая оамена сводит эти подсистемы к подсистемам с относительной степенью 1, для которых верны интегральные оценки, аналогичные оценкам ио раздела 3.2, и замыкание этих подсистем уравнениями регуляторов, где £;(*) замёнено на ¿¡(1), а /к, к = 1,2,3 определяются следующим обраоом

и,-, Э =

/.V ~

/э :=

■2.(0, 2 = 1,

(Dmi(p) — произвольный устойчивый многочлен степени тп,) обеспечивает асимптотическое сближение выходов всех подсистем (22)-(23) любой системы класса 1С с соответствующими выходами любой системы сравнения (24) класса К. в смысле (26) при любых пачальных

УСЛОВИЯХ И ЛЮбЫХ ДОПУСТИМЫХ ФУНКЦИЯХ dibit,у), Gi(t), w,-8(i).

Теоретические выводы отой главы иллюстрируются в разделе 3.4 примером исследования глобальной асимптотики замкнутой предложенными регуляторами динамической системы, состоящей ио двух упруго связанных неустойчивых осцилляторов. Доказано, что оти децентрализованные регуляторы обеспечивают асимптотическое сближение выходных переменных осцилляторов с выходными переменными устойчивых систем сравпепия. Мы рассматриваем усложненную, но сравнению с описанной в работе D. Gavel, D. Siljak, Decentralized adaptive control, IEEE Trans. Autom. Contr., 1989, v. AC-34, N. 4, pp. 413-426, модель, где каждый осциллятор подвергается неиовест-аому ограниченному внешнему воздействию. Результаты проведенного на ПЭВМ числешгого моделирования поведения всей замкнутой :истемы, также приводящиеся в отом разделе, иллюстрируют доказанное асимптотическое стремление к 0 обеих фупкций рассогласования и ограниченность фупкций управления па [0, +оо).

В приложении приведены некоторые неоднократно испольоуемые лрп доказательстве теорем реоультаты об асимптотических свой-:твах решений линейных устойчивых дифференциальных уравнений, г также некоторые свойства квадратично интегрируемых на(0,+со) функций.

Публикации по теме диссертации

1. В. А. Брусин, Е. Я. Угрпновская. Синтез адаптивных регуляторов для одного класса о а дач о сближеппи объектов. / В сб. Дппампка систем. Динамика и управление: Межвузовский сб. - Горький: Иод-во Горьк: гос. ун-та, 1984. С.174-185.

2. В. А. Брусин, Е. Я. Угриновская. Об адаптивном регулировании

одного класса нелинейных систем с последействием. // Автоматика и Телемеханика. 1988. N 8. С.97-104.

3. В. Л. Брусин, Е. Я. Угриновская. Синтео оптимального управления для некоторого класса нелинейных систем с последействием. / Тсо. VIII Всесоюзной конференции по проблемам технической кибернетики, ч. I. Горький, 1988. С.56-57.

4. В. А. Брусин, Е. Я. Угриновсгея. Децентрализованное адаптивное управление для некоторых классов динамических систем. / В сб. Адаптивные и экспертные системы в управлении. Тез. докл. 5-го Ленинградского симпозиума по теории адаптивных систем, ч. I. Ленинград, 1991. С.18-19.

5. В. А. Брусин, Е. Я. Угриновская. Децентрализованное управление с оталонной моделью. // Автоматика и Телемеханика. 1992. N 10. C.29-3S.

6. Угриновская Е. Я. Децентрализованная адаптивная подстройка системы двух связанных обращенных маятников к эталонной модели. / Нелинейные колебания механических систем: III конф.: Тез. докл. II. Новгород, 1993. С.184.

7. Угриновская Е. Я. Устойчрвость замкнутой системы адаптивного управления для некоторого класса динамических систем-с последействием. / Моделирование и исследование устойчивости систем:Тео. докл. Украинской конференции. Киев, 1993. С.48.

8. Угриновская Е. Я. Децентрализованное адаптивное управление с эталонной моделью для систем нелинейных уравнений с запаздывающим аргументом. / Тр. II "Российско-шведской конференции по автоматическому управлению. С.-Петербург, 1995. С.60-64.

9. V. A. Brusin and Е. Y. Ugrinovskaya. Decentralized adaptive control for large scale systems with reference model. / Proc. of IFAC Symp. Integrated Systems, pages 11-15, Baden-Baden, Germany, September 1994. Pergamon Press.

Подп. к печ. :Ь. Од 66- • Формат бумаги 60 х 90 1/16. Бумага гаоетная. Печать офсетная. Объем 1,0 печ. п. Тираж 100 эко. Заказ 3

Нижегородская государственная архитектурно-строительная академия. 603600, Нижний Новгород, Ильинская, 65.

Полиграфический центр Нижегородской государственной архитектурно-строительной академии. 603600, Нижний Новгород, Ильинская, 65.