Исследование и численное решение некоторых классов вырожденных систем уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

11ч прича 1 рунопш и

ГАЙДОМАК СВЕТЛАНА ВАЛЕРЬЕВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ВЫРОЖДЕННЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Специальности: 01.01.02 -дифференциальные уравнения, 05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 2005

Работа выполнена в Институте динамики систем и теории управления СО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Чистяков Виктор Филимонович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Апарцин Анатолий Соломонович

Защита состоится 11 июля 2005 г. в 8.30ч. на заседании диссертационного совета Д003.021.01 в Институте динамики систем и теории управления СО РАН по адресу: 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИДСТУ СО РАН.

кандидат физико-математических наук, доцент Фалалеев Михаил Валентинович

Ведущая организация: Челябинский государственный университет

Автореферат разослан $ июня 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Г.А. Опарин

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ

РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из наиболее распространенных эффективных методов исследования в различных областях знаний: физике, биологии, экономике и т.д. является математическое моделирование. Математическая модель ориентирована на анализ изучаемых процессов и их прогнозирование. Часто модель представляет собой систему уравнений в частных производных, разрешенную относительно старшей производной искомой вектор-функции, описывающей изменение во времени и пространстве тех или иных характеристик исследуемого процесса. Такие системы принято называть системами, приведенными к форме Коши-Ковалевской.

При учете балансовых соотношений, в частности, законов сохранения, системы уравнений в частных производных дополняются алгебраическими связями. Если процесс обладает последействием, то математическая модель может включать и интегральные уравнения. Такие системы, как правило, не приводимы к форме Коши-Ковалевской и с ними приходится сталкиваться при исследовании процессов гидродинамики, физики атмосферы, физики плазмы и т.д. Это хорошо известные модели, описывающие малые колебания идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости, распространение волн в пароводяной смеси (уравнение Кортвега-де Фриза-Бюргерса), состояние пароводяного тракта прямоточного котлоагрегата при сверхкритических параметрах рабочей среды, работу адиабатического цилиндрического реактора.

В связи с большой практической значимостью систем уравнений в частных производных, не приводимых к форме Коши-Ковалевской, в настоящий момент имеется весьма обширная литература, посвященная вопросам разрешимости начальных и краевых задач для вырожденных систем, но, к сожалению, это системы с постоянными коэффициентами и вопросы обоснования численных методов их решения разработаны слабо. В основном, изучаются численные методы для конкретных систем не типа Коши-Ковалевской, имеющих большое прикладное значение: система уравнений Навье-Стокса, уравнения Соболева, Баренблатта-Кочиной.

В настоящее время можно выделить три основных подхода. В первом система уравнений в частных производных рассматривается как уравнение с операторными коэффициентами в банаховых (топологических) пространствах Айи/йЬ + Ви = /, и(0) = щ, где А, В - некоторые операторы, кег А Ф 0. Здесь можно отметить работы Альшинского М.А., Вишика М.И.,

Зубовой СП., Крейна С.Г., Мельниковой И.В., Романовой О.А., Свиридю-ка ГА, Сидорова Н.А., Фалалеева М.В., Федорова В.Е., Чернышева К.И., Showalter R.E., Favini A., Yagi A.

Второе направление основано на применении преобразований Фурье с последующим изучением образов системы. Этому направлению посвящены работы Демиденко Г.В., Матвеевой И.И., Успенского СВ. Здесь можно отметить монографию с обширной библиографией по данной теме 1.

И третье направление предполагает применение методов, разработанных при изучении АДС, к исследованию вырожденных систем уравнений в частных производных. Здесь можно в числе первых отметить работы Бояринцева Ю.Е.2 К этому же направлению относятся работы Чистякова В.Ф., Campbell S.L., Lamour R., Marz R., Marsialek N., Trzaska Z.W. , Marzalek W. Следует отметить, что большинство работ вышеуказанных авторов посвящено линейным системам с постоянными матрицами коэффициентов.

Особую роль в развитии теории систем уравнений не типа Коши-Ковалев-ской сыграли труды С. Л. Соболева. Отдавая дань уважения работам С.Л. Соболева, вырожденные системы часто называют системами Соболевского типа.

Данная работа посвящена исследованию и обоснованию методов численного решения линейных систем с переменными коэффициентами, частным случаем которых являются взаимосвязанные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и алгебраических уравнений, а также исследованию возможных постановок задач оптимального управления этими системами и относится к третьему направлению.

Такие системы могут быть записаны в виде

A(x,t)^ + B(x,t)^ + C(x,t)u = f(x,t), (1)

(x,t) e U = [x0,X] x [io.T] CR2, x e Rl. .

При этом допускается одновременное вырождение матриц А(х, t), B(x,t) и пучка матриц ХА{х, t) + В(х, t):

det А(х, t) = 0, det В(х, t) = О V(z, t) € U,

'Демиденко Г.В., Успенский C.B. Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной. - Новосибирск: Научная книга, 1998. 438 с. ил.

21) Бояринцев Ю.Е., Бояринцева Т.П. Замечание о неявной разностной схеме, аппроксимирующей систему уравнений Стокса // Численные методы анализа и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1983. С. 127-131.

2) Бояринцев Ю.Е. Применение обобщенных обратных матриц к решению и исследованию систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка 11 Методы оптимизации и исследование операций. Иркутск, 1984. С. 123-141.

det|A4(a:, í) + B(x, í)j = О V(®, t) e U, VA € C,

где С— комплексная плоскость.

В диссертации приведены примеры, на которых продемонстрировано, что классификация систем (1) по корням многочлена ХА(х, í) — В(х, t), развитая для систем в форме Коши-Ковалевской, не имеет места для вырожденных систем. По виду корней мы по можем отнести систему к какому-то из известных типов (гиперболическому, эллиптическому, параболическому). Помимо типа, вырожденные системы обладают еще одной важной характеристикой, называемой индексом. Под индексом понимается набор целочисленных параметров, указывающих на сложность внутренней структуры системы. Значения этих параметров обычно на единицу больше максимальных порядков частных производных входных данных, от которых зависит решение краевой задачи. В частности, индекс описывает характер зависимости решения от малых возмущений входных данных. В известной автору отечественной литературе понятие индекса явно не вводится, но в записи решений эту роль играют параметры, называемые секториальностью оператора 3 или длиной жордановой цепочки 4. В зарубежной же литературе нет единого понимания индекса и существует большой набор определений 5. В диссертации дается свое определение индекса, наиболее приспособленное к задачам, решаемым автором.

К тому же следует отметить, что терминология в этой области исследования не устоялась. В отечественной литературе системы вида (1) называются системами не типа Коши-Ковалевской, системами не разрешенными относительно старшей производной или уравнениями Соболевского типа. В зарубежной же литературе их чаще всего называют вырожденными системами или дифференциально-алгебраическими уравнениями в частных производных. В диссертации автор употребляет термины: вырожденные системы или системы не типа Коши-Ковалевской.

Цель работы. Основными задачами диссертационной работы являются: 1) выделение классов вырожденных систем уравнений в частных производных с внутренней гиперболической структурой и получение достаточных кри-

31) Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, N 4. С. 47-74.

2} Федоров В.Б. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространствах : Дис... д.ф.-м.н., 01.01.01, 01.01.02. Челябинск: ЧГУ, 2005.

'Сидоров H.A., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, N 4. С. 726-728.

'Campbell S.L., Marzalek W. The Index of Infinite Dimensional Implicit System // Mathematical and Computer Modelling of System. 1999. V. 5, N 1. P. 18-42.

териев разрешимости начально-краевых задач для них;

2) доказательство сходимости численных процессов в условиях теорем существования, организованных по методу прямых и сеточному методу и программной реализации указанных методов;

3) анализ задач управления с квадратичным целевым функционалом и ограничениями в виде вырожденных гиперболических систем, включая программную реализацию с помощью метода прямых.

Научная новизна работы. В диссертационной работе разработан подход к классификации, основанный на изучении свойств матричных пучков. Введено понятие систем не типа Коши-Ковалевской индекса (1,к). Доказано существование решения начально-краевой задачи для вырожденных систем с внутренней гиперболической структурой индексов (1,0) и (1,1). Впервые в известной автору научной литературе проведено строгое обоснование численных методов решения систем общего вида не типа Коши-Ковалевской с переменными коэффициентами. При этом попутно доказаны теоремы о сходимости метода сплайн-коллокации для линейных и квазилинейных АДС, если они удовлетворяют критерию "ранг-степень". Показана возможность применения полученных результатов к исследованию и численному решению некоторых задач оптимального управления вырожденными системами.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. Введенное понятие индекса вырожденных гиперболических систем позволило выделить классы разрешимости систем, доказать сходимость численных процессов, построенных по методу прямых и методу сеток и указать возможные пути исследования и численного решения задач оптимального управления вырожденными системами уравнений в частных производных.

Апробация работы. Научные результаты и основные моменты работы докладывались на ежегодных конференциях "Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий "в Иркутском Институте динамике систем и теории управления СО РАН (2001-2004гг.), на Международной конференции молодых ученых в Новосибирске (2002г.), на Региональной межвузовской конференции по математике и проблемам её преподавания в вузе, проходившей в Иркутском государственном педагогическом университете (2003г.), на III Всероссийской конференции "Математика, информатика, управление"(2004г.), наХШ-й Байкальской Международной школе-семинаре

"Методы оптимизации и их приложения"(2005 г.). Диссертация частично поддержана грантом РФФИ N 04-01-00857.

Публикации по работе. Диссертация написана по материалам 14 работ, указанных в списке литературы. Основными являются публикации [11-14]. Необходимые сведения, взятые из других источников, отмечены в диссертации ссылками и приводятся без доказательств.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из следующих разделов: введение, три главы, заключение, приложение, графики численных решений, список литературы. Объем диссертации составляет 144 страницы. Список литературы содержит 99 наименований российских и зарубежных авторов. Результаты, опубликованные в совместных с научным руководителем работах, получены автором самостоятельно; соавтору принадлежат некоторые постановки задач и основное направление исследования.

II. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследований, приведен ряд практических задач из различных областей приложений, решение которых сводится к необходимости исследования вырожденных систем уравнений в частных производных, представлен обзор текущей литературы по теме диссертации.

В главе 1 излагаются вспомогательные результаты из теории постоянных и переменных матриц, их пучков, а также доказываются две теоремы о сходимости метода сплайн-коллокации для линейных и квазилинейных алгебро-дифференциальных систем (АДС).

Приведем основные определения и утверждения, которые используются в дальнейших рассуждениях.

Определение 1. Полуобратной матрицей к (m х п)-матрице А(х), х 6 U называется (п х т)-матрица Х(х), удовлетворяющая для любого х 6 U уравнению А{х)Х(х)А{х) = А{х). В дальнейшем вместо Х(х) будем писать А~(х).

Определение 2. Пучок матриц АА + В называется регулярным, если

det(AA + В) ф О,

где А, В - матрицы с постоянными коэффициентами.

Определение 3. Будем говорить, что пучок матриц АЛ(х) + В(х) удовлетворяет критерию "ранг-степень"в области U, если

deg{det(A^(a:) + 5(а;))} = rank А(х) — const 7

для любого х G U.

Определение 4. Если

1) гапкЛ(а;) = г = const, rank S(x) — г + 1 — const для любого х е U, S(x) = (А(х) В{х))\

2) det(A.A(x) + цВ(х) + С(х)) = ao(x)Xrfil + ..., где Л, ц - скалярные параметры (в общем случае комплексные), оо(х) не имеет нулей в области U, то пучок матриц ХА{х) + р.В(х) + С(х) удовлетворяет двойному критерию "ранг-степень".

Поскольку исследование систем (1) опирается на структуру пучков, то очень важными в работе являются утверждения о их канонических формах.

Лемма 1. Пусть пучок матриц ХА+В регулярен. Тогда существуют невырожденные (п х п)-матрицы Р и Q с постоянными элементами такие, что

Р{ХА + B)Q = Ad¡ag{£d, Ed„N} + diag{J, M, Et},

где N = diag{iVb N2, ■■■, N(}, M = diag{Mx, Мг, ■■■, Mk}, M, Nj-жордановы нильпотентные блоки, l = n — d — d\, J - невырожденная (d х d)-матрица жордановой структуры, N1 = 0, Mdl = 0.

Лемма 2. Пучок матриц ХА+В, А = А(х), В = В(х) удовлетворяет критерию "ранг-степень"тогда и только тогда, когда найдутся невырожденные в области U матрицы Pi = Р\(х) nQ\ = Qi(x), такие, что

Pi (АЛ + B)Qi = Adiag{£r, 0} + diag{J, E„.r}

где ЕГ, Еп-Г - единичные матрицы размерности г и п — г, соответственно, J = J(x) - некоторая квадратная матрица размерности г.

Лемма 3. Если пучок матриц А А + цВ + С, А = А(х), В = В(х), С = С(х) удовлетворяет двойному критерию "ранг-степень", то найдутся такие невырожденные в области U матрицы Р2 = fyfa) и Q2 = Qi{x), что

P2{XA + »B + C)Q2

(Ег

= А

Ви\ (C\i Си +

о \

С21 С22 о 0 0 Ер)

(2)

о о\ /л о

0 О 0 + /х 0 Е1 0 V 0 0 0/ \ 0 0 0 где Ет, Е1, Ер - единичные матрицы размерности г, I, р = п — г — I, соответственно, Jl = л (я), Д з = В( з(х), Сц = Су(х), г == 1,2, 3 = 1,2,3 -некоторые квадратные матрицы подходящей размерности.

Далее в первой главе рассматривается линейная АДС вида

^(t)s(í) + B(t)x(t) = /(í), tel = [f0,T],

(3)

где A(t), B(t) - квадратные (n x п)-матрицы, í G /, f(t) - известная, x(t) -искомая n-мерные вектор-функции,

det A{t) = 0 Vi 6 /, (4)

с начальным условием

x(t0) = хо, xq € R", (5)

и исследуется разностная схема (система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)), полученная применением метода сплайн-коллокаций к задаче (3)-(5)

1 m _

A(tk + ir)- J2 jj¿xkJ + B(tk + ir)xkj = f(tk + ít), i = 1, m, (6) T j=o

где к - номер шага процесса, (Т — ¿о)/тт < к < (Т — to)/г, - коэффициенты, отвечающие за аппроксимацию производных искомой вектор-функции x(t), которые выбираются из условия ||¿(íjt + ir) — i + гт)|| =

0(тт).

Доказана теорема о сходимости метода сплайн-коллокации для линейной АДС (3) с условиями (4) и (5).

Теорема 1. Пусть для задачи (3)-(5) выполнены условия:

1) A(t), B(t), f(t) е Сга+1(/);

2) rank A{t) = deg{det{XA{t) + B(t))} = const = г V t G /;

3) rank ^(i0) = rank (A(t0),f(tQ) - B(t0)x0). Тогда:

1) задача (3)-(5) на отрезке I имеет единственное решение из класса Ст+1(7);

2) начиная с некоторого т < т*, СЛАУ (6) имеет единственное решение {zjfc.i, хк,2, a:jt,77i}, для которого справедлива оценка ||x(íjt) - х*,г|| = 0{тт).

Здесь же в главе 1 рассматривается квазилинейная АДС

A(t)x(t) + Г(х, í) = 0, t€l — [ío, T], (7)

с начальным условием

x(t0) = х0, х0 G Я", (8)

где A(t) - квадратная (п х п)-матрица, Т(х, t) - известная, x(t) искомая n-мерные вектор-функции,

det A(t) = 0 Vi 6 I, (9)

относительно которой известен следующий факт.

Для численного решения задачи (7)-(9) был применен метод сплайн-кол-локации и рассмотрена разностная схема (набор конечномерных систем нелинейных уравнений)

1 т _ A{tk + гт)- £ 'YjjXkj + F{xkj, tk + ir) = 0, i = 1, m, (10)

где к - номер шага процесса, (3/тт < к < 0/т, jjj - коэффициенты, отвечающие за аппроксимацию производных искомой вектор-функции x(t).

Доказана теорема о сходимости метода сплайн-коллокации для задачи (7)-(9) в локальной области.

Теорема 2. Пусть для задачи (7)-(9) выполнены условия:

1) A(t) € Cm+1(I), F{x,t) е Cm+1(U), U = {x,í: ||x0-x||<p, ¿ € [¿о,Г]>;

2) ranM(ío) = max{ranM(í), t e [ío,^]};

3) rank A(to) = rank (Л(^о) F(xo,to))',

4) rank A{t0) = deg{det(A„4(í) + df(x0, t0)/dx)}.

Тогда, начиная с некоторого т < т*, система нелинейных уравнений (10) имеет единственное решение {х^д, хк,2, —,zj¡,m}, для которого справедлива оценка - х*д|| = 0(тт).

Вторая глава посвящена системам не типа Коши-Ковалевской с постоянными и переменными матричными коэффициентами. Здесь вводится определение индекса системы и исследуются вопросы существования решения начально-краевых задач. Поскольку изучение систем уравнений частных производных тесно связано с системами интегро-дифференциальных уравнений, то в одном из параграфов рассматривается вопрос существования решения интегро-дифференциальной системы.

Рассматривается начально-краевая задача вида

А(х, t)— + В(х, í)^ + С(х, t)u = Дх, t), (11)

u(x0, t) = xp(t), u(x, to) = ф(х), (12)

где A(x, t), B{x, í), C(x, í)-(nx тг)-матрицы с элементами, зависящими от х и í, (x,t) 6 U = {(x,í) : х е [х0,Х], t е [ío,r]} С R2, и = u{x,t) - искомая, /(¡г, t) - заданная n-мерные вектор-функции.

Предполагается, что входные данные (включая краевое и начальное условие) в системе (И) обладают достаточной гладкостью и

ranL4(x, t) = г = const < п V(x, £) 6 U. (13)

Определение 5. Системы (11), для которых выполнено условие (13), называются системами не типа Коши-Ковалевской.

Для введения понятия индекса системы (11) используется известное определение левого регуляризирующего оператора системы

A{x,t)~^ + B{x,t)

и(х,г) = СМ (14)

где A{x,t), B(x,t) - некоторые (п х п)-матрицы. Определение 6. Оператор

д д^ Ajt := Lq(x, t) + L\(x, t)~ + ... + Lk{x, t)—k (15)

со свойством

(I) °{Aíx+B)U={í + ^ U e Ck{U)

называется левым регуляризирующим оператором (JIPO) системы (14) порядка к, где L,(x,t), г = 0, к - некоторые (по крайней мере) непрерывные матрицы в области U. Минимально возможный порядок оператора (15) к назовем индексом системы (14).

При выполнении условия (13) найдутся такие невырожденные в области U матрицы L = L(x,t) ип = R(x,t), что при умножении системы (11) слева на матрицу L и замены переменной и = Rz система примет вид

Вц Bu j dz_ / Сц Си \ z _ д ^gj

В21 В22 ) дх \ С21 С22 I

(Er О\дг (

{ О О J dt {

где g = Lf, BtJ = Bl3{x,t), Сг] = Сч{х, t), i,j = 1,2 - блоки соответственно матриц LBR и LAftR + LB-^R + LCR.

Второе уравнение из системы (16) можно записать в виде

('в22^ + С22) %2 = /2, (17)

где h-Qi- £21^1 - C21Z1, (z¡ z¡ )J = z,{ gj gj )T = g.

Предположим, что для системы (17) определен JIPO, тогда из системы (17) можно выразить вектор-функцию z-i через z\. Результат подставим в первое уравнение системы (16). Получим систему интегро-дифференциаль-ных уравнений, разрешенную относительно эволюционного члена

dz\ к d3zi /•

~g¡-+ + jG(x,t,s)z1(s,t)ds = V(x,t), (18)

где iix, t)=gi- (Bu£ + Cu) [Ф(х, t)c{t) + f)].

По аналогии с системой (14) вводится понятие индекса системы (11) и определяется класс гиперболических систем.

Определение 7. Будем говорить, что система (11) имеет индекс (l,fc): 1 - по переменной t и к - по переменной х, если существует JIPO порядка к для оператора #22^ + Сгг-

Определение 8. Систему (11) будем считать гиперболической, если система (18) имеет вид

dz dz ^

+ Bi(x, + В0(х, t)zx + J G(x, t, s)zi(s, t)ds = r){x, t)

и все корни характеристического многочлена det(A£'r — B\{x,t)) вещественные и простые. Систему (11) будем называть строго гиперболической, если все корни характеристического многочлена простые и не имеют нулей в области U.

В диссертации рассматриваются только гиперболические вырожденные системы, поскольку отыскание матриц L и R является непростой задачей. Задача построения коэффициентов JIPO еще сложнее. Поэтому необходимы признаки в терминах входных данных, выполнение которых гарантирует принадлежность системы (11) к классу (1,к) и ее гиперболичность. Эти признаки получены и сформулированы в следующих теоремах.

Теорема 3. Система (11) имеет индекс (1,0) тогда и только тогда, когда пучок матриц А А + В в области U удовлетворяет критерию "ранг-степень". Более того, если все корни многочлена det(AA+5) являются вещественными и простыми, то система (11) - гиперболическая.

Теорема 4. Система вида (И) имеет индекс (1,1), если пучок матриц АА + цВ + С в области U удовлетворяет двойному критерию "ранг-степень". Более того, если все корни многочлена det(A^4 + D), D = В + (Еп — SS~)C, S = {А В), S~ - любая полуобратная матрица к матрице S, являются вещественными и простыми, то система (11) - гиперболическая.

Далее в главе 2 рассматриваются сначала системы с постоянными коэффициентами

A^ + B^ + Cu = f(x,t), (19)

u(x0,t) = Ф(г), u{x,t0) - ф(х),

где А, В, С-(пх п)-постоянные матрицы, u(x,t) - искомая, f(x,t) - заданная n-мерные вектор-функции, (x,t) € U = {(z, t) : х G t € [ío.T]} С R2.

Предполагается, что в системе (19) с1е1 Л = 0 Допускается также вырождение матриц В и С.

И в предположении, что пучок матриц А А + В регулярен, исследуются две ситуации: 1) С — 0 в системе (19), 2) С / 0. В первом случае система уравнений (19) имеет вид

Для системы (20) получены два основных утверждения.

д2 д **

Лемма 4. Общее решение системы уравнений ЛГ—- + — = £>, где г =

от ох

г(х, г), в = 0 искомая и заданная соответственно вектор-функции, = 0, имеет вид

, д(х, г) = [ д(х, Ь)йх,

к-1 .7=0

Г-

где Ф = — ¡х а(д/д1)Ы, Ф = —{д/д^Ы, с(£) - произвольная вектор-функция,

Ф°ё = Ф°с(*) =

Теорема 5. Пусть многочлен ск^АЛ+В) ненулевой и его ненулевые корни положительные и простые. Тогда в области II система (20) с начальными и краевыми условиями

И\и{х, г0) = ^(х), И^(х0, 0 = <М0>

Ж2и(х,<0) = Фг{?), IУ3и(х0,г)

которые удовлетворяют равенствам ^(^о) = фг^о), </>'1(íо) = ^(^о. ¿о) — Jф'1(xo), где <?-1 = (И7^, И^2Т, И^1")7, имеет единственное решение.

Анализ второй ситуации, когда С ^ 0, позволил получить условия, при которых система (19) с ненулевой матрицей С сводится к системе с матрицей

£7 = 0.

Лемма 5. Если система матричных уравнений

лгх + вг2 + С = 0, А2Х = г:А, Аг2 = г2А, вг: = гхв, вг2 = г2в

разрешима относительно матриц 2\ и 22, то заменой переменных и — 22х)г она сводится к системе

Следствие 1. Если найдется матрица 2 : А2 = 2А и В2 = 2В, то в лемме 4 можно принять Z\ = = 2 = Если АВ~1С = С£?-1Л,

то можно принять = Е^2 = -В'1 (А + С).

Получены достаточные условия существования решения системы (19). Теорема 6. Пусть:

1) выполнены все условия теоремы 5;

2) в произведении РСС} блоки Счг = №>Е + С33 = АоЕ + АхЛГ;

3) РСС} содержит не более двух нулевых блоков вне диагонали и расположенных в одной строке или одном столбце, причем блоки Су и Сц (не совпадающие с выделенными нулевыми) связаны условиями СцМчСц = 0, <? = 0,1, • • •, А* или Сц№Сц = 0, <? = 0,1, • ■ •, к, М° = Ер, № = Ее,

4) ^(0) = ф{0), Аф{0) + Вф'{0) + Сф{0) = /(0,0).

Тогда в области II система (19) имеет единственное решение.

Далее в главе 2 исследовано интегро-дифференциальное уравнение с оператором Вольтерра

(¿1) (11) ГХ

+ ^ + ^ + /о К(х'8' ОФ. = Л(®, г), (21)

у{х, Ьо) = 1>{х), ь(хо, *) = <£(*), (22)

где И^ = Ш(х, <), Ь = £(х, 4), АГ = К(х, 5, 2) - (с1 х о?)-матрицы, все собственные числа матрицы IV положительные и простые в области

и = {(х,1): хе[х0,х], ге[10,Т]},

V = у(х, ¿) - искомая, Л = Л(х, £) - заданная «¿-мерные вектор-функции. Необходимость исследования задачи (21),(22) вызвана тем, что разрешимость систем уравнений в частных производных тесно связана с разрешимостью систем интегро-дифференциальных уравнений. Получены достаточные условия разрешимости начально-краевой задачи (21),(22).

Теорема 7. Если в начально-краевой задаче (21),(22) с достаточно гладкими входными данными все собственные числа матрицы IV положительные и различные для всех (х, £) 6 17, начальные и краевые данные согласованы в точке (хо,<о) со своими производными, в частности ф{Ьо) = ф(хо), то она имеет решение и = и(х, £) в области {7.

В главе 2 исследуются системы с переменными матрицами коэффициентов (11) и получены достаточные условия разрешимости систем индекса (1,1) и (1,0) на основе структурной формы (2).

Теорема 8. Пусть в начально-краевой задаче (11)-(13): 1) пучок матриц А А + цВ + С удовлетворяет двойному критерию "ранг-степень";

2) корни многочлена с1е1;(АЛ + И), О = В + (Е - 33~)С отрицательные, простые и различные для всех (х,£) 6 и, либо равны нулю во всей области II, 5 = {А В), 5~ - любая полуобратная матрица к матрице 5;

3) входные данные достаточно гладкие в области и;

4) начальные и граничные данные удовлетворяют условиям

Л(х0,Ог4(х0,4) =ф{Ь), В(х,Ь0)и(х,1 о) = ф(х)

и предполагаются согласованными в точке (хо, ¿о) со своими производными. Тогда она имеет решение в области и.

Следствие 2. Пусть в начально-краевой задаче (11)-(13):

1) пучок матриц АА + В удовлетворяет критерию "ранг-степень";

2) корни многочлена с!е1;(АА + В) отрицательные, простые и различные для всех (х, Ь) € и, либо равны нулю во всей области (/;

3) входные данные достаточно гладкие в области и;

4) начальные и граничные данные удовлетворяют условиям

Л(х0,1)и{хо, Ь) = В(х, ¿о)и(х, го) = ф{х)

и предполагаются согласованными в точке (хо, £о) со своими производными. Тогда она имеет решение в области и.

Глава 3 посвящена численному решению начально-краевой задачи (11)-(13) методом прямых и методом сеток, а также здесь показана возможность применения полученных в главах 2 и 3 результатов к исследованию и численному решению некоторых задач оптимального управления вырожденными гиперболическими системами.

В первом случае рассматривается разностная схема, полученная путем применения к уравнению (11) метода прямых

А йи>+1 I

1 , г ИГ 7+1

^•+1 = Л+1 + (23)

и.ж(*о) = Ф}+1- (24)

Доказано полезное вспомогательное утверждение.

Лемма 6. Если пучок матриц АЛ(х, Ь) + цВ{х, ¿) + С(х, £) удовлетворяет двойному критерию "ранг-степень", то в системе (23), начиная с некоторого Л < Л*, пучки матриц АА,+1 + Bj+^ = + при любом ]

удовлетворяют критерию "ранг-степень".

Получены достаточные условия сходимости численного процесса по методу прямых для системы (11) индекса (1,1) и (1,0).

Теорема 9. Если для задачи (11)-(13):

1) выполнены все условия теоремы 8;

2) на каждом слое х3 = хо + ¿к, з = 0,1,2,..., N для задачи Коши (23),(24) выполнены все условия теоремы 1;

3) начиная с некоторых т,к : т < т*, к < к* шаги по пространственной и

_ . . т 1 1 »

временной переменным связаны соотношением г = и{п «• ). Тогда система (11) будет иметь решение у = 1,2,..., к = 1,2,..., N2 и справедлива оценка \\и(Х], — = О (/г) равномерно по всем 3, к. Следствие 3. Если для задачи (11)-(13):

1) выполнены все условия следствия 2;

2) на каждом слое х^ = хо + зк, 3 = 0,1,2,..., N1 для задачи Коши (23),(24) выполнены все условия теоремы 1;

3) начиная с некоторых г,/г : т <т*, к < к* шаги по пространственной и временной переменным связаны соотношением т = 0(квй1).

Тогда система (11) будет иметь решение и^к 3 = 1,2,..., N1, к = 1,2,..., N2 и справедлива оценка ||и(а^,£*) — = 0{к) равномерно по всем 3, к.

Далее в главе рассматривается неявная трехточечная разностная схема СЛАУ, полученная в результате применения к уравнению (11) метода сеток

и»,о = Фи Цу = Ф}, где Ац = А{хи Ц), Вц = В(ц,^), Су = С{хи^), /у = /(х<,

Доказана теорема о сходимости численного процесса, организованного по методу сеток для системы (11) индекса (1,1) и (1,0). Теорема 10. Если для задачи (11)-(13):

1) выполнены условия теоремы 8;

2) начиная с некоторых т н к: т < т*, к < к* шаги по пространственной и временной переменным удовлетворяют условию < 1.

Тогда система (И) будет иметь решение иц, ¿=1,2,..., N1, 3 = 1,2,..., N2 и справедлива оценка — \ | = О (к) + 0(т) равномерно по всем г,

Следствие 4. Если для задачи (11)-(13):

1) выполнены условия следствия 8;

2) начиная с некоторых т и к : т < т*, к < к* шаги по пространственной и временной переменным удовлетворяют условию < 1.

Тогда система (И) будет иметь решение щ¿ = 1,2,..., N1, 3 = 1,2,..., N2 и справедлива оценка ||и(х^ — \ | = О (к) + 0(т) равномерно по всем

Замечание 1. Подчеркнем, что когда речь идет о решениях начально-краевых задач для систем вида (11), гимеются в виду только классические решения.

Замечание 2. В виду равноправия в системе (11) переменных х и t теоремы 3,4,7,8,9,10 MOOICHO переформулировать с выделенной переменной х.

Замечание 3. В диссертации приведены примеры, показывающие, что системы индекса (1,0) и (1,1), в частности, системы, удовлетворяющие двойному критерию "ранг-степень", исчерпывают классы систем, для которых гарантированно сходится метод прямых и указанная выше неявная схема.

Это связано, в частности, с тем, что существуют системы (11) совместные при любой гладкой /(х,4), у которых сЫ[АЛ(х, ¿) + /Л?(х, ¿) + С(х,4)] = О У(х, £) 6 и, УА, £ С индекса (1,2). Построение численных методов для систем (11) с полностью вырожденным пучком матриц требует совершенно иных подходов, основанных на методах, использующих продолженные системы или метод наименьших квадратов.

Также в третьей главе показана возможность применения полученных результатов к исследованию и численному решению задач оптимального управления вырожденными гиперболическими системами. Рассматривается вырожденная гиперболическая система

BlL CÏîL

А(х, t)-^ + B(x,t)— + С(х, t)u = f(x, t),

(25)

где А(х, £), В(х,Ь), С(х, I) - (п х п)-матрицы с элементами, зависящими от переменных (х, £) € и = [хо, X] х [¿о,Т] С Л2, /(х, Ь), и = и(х, £) - соответственно заданная и искомая п-мерные вектор-функции. Предполагается, что и{х, ¿) на границах области V удовлетворяет условиям

u(x0, f) = ip{t), и{х, t0) = ф(х),

(26)

причем первое условие (26) на границе х = хо области и определяется из АДС

Â(t)^ + B№ = C(t)v(t),

(27)

где A {t), B(t) - некоторые (n х п)-матрицы, C{t) - (п х т)-матрица, v(t) -управление (m-мерная вектор-функция):

v(t)eC\l), J = [io,T]. 17

Целью задачи оптимального управления считаем минимизацию квадратичного функционала

Av) = J J[{R(x,t)u,u) + (S{x,t)v,v) + (Ri(x,t)u,u) + (Si(x,t)u,u)]dxdt, и

(29)

где R(x, t), Ri(x, t), Si(x, t) - некоторые (n x n), S{x, t) - (m x т)-матрицы, й - некоторое заданное состояние системы, определенное на решениях задачи (25)-(27) при допустимых управлениях, удовлетворяющих условию (28).

В частности, функционал J(v) может иметь вид l{v) = ||u — й||l2(c/), где й - некоторое заданное состояние системы.

Такая оптимизационная задана может возникнуть при расчете последовательных теплообменников, первый из которых описывается сосредоточенной моделью вида (27), а второй - моделью с распределенными параметрами уравнения (25).

Каждую компоненту вектора управления v будем искать в виде многочлена с неопределенными коэффициентами

v,(t) = c,o+c,i(i-io)+c,2(i-io)2+.. .+c,i(t-to)1, I = 1,2,3, • • •, i = 1,2, • • •, m.

Тогда функционал I(v) аппроксимируется конечномерной функцией Я — (си • • - сц C2i • • • сц ... Cmi. ..Cmi) и доказана ее непрерывность.

Теорема 11. Пусть выполнены условия теорем (1), (9) и входные данные (29) дифференцируемы в областях определения. Тогда, начиная с некоторых h<h*, г < т\ справедлива оценка

где С(в) ~ некоторая константа, |q| < g.

Далее в главе 3 описан комплекс программ, реализующий численные эксперименты. Приведен набор тестовых задач, в том числе и задач оптимального управления (25)-(29). Проанализированы результаты вычислений. Проведено решение прикладных задач.

В заключении кратко обсуждено возможное направление дальнейших исследований. Приложение содержит доказательство теоремы 7. В разделе графики численных решений представлены иллюстрации результатов численных экспериментов.

Результаты диссертации, выносимые на защиту. 1. Введено определение системы уравнений не типа Коши-Ковалевской индекса (1,к) и указаны критерии принадлежности систем (И) к классам систем

индекса (1,0) и (1,1) и их гиперболичности. Доказана теорема существования решения начально-краевых задач для систем (11) с переменными коэффициентами индекса (1,0), (1,1). При этом получен вспомогательный результат о разрешимости начально-краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения с оператором Вольтерра, разрешенного относительно старшей производной.

2. Получены условия существования решения граничных задач для системы не типа Коши-Ковалевской с постоянными коэффициентами высокого индекса.

3. Доказана сходимость метода прямых для начально-краевых задач с системами индекса (1,0), (1,1) и получена оценка погрешности. При этом доказана сходимость метода сплайн-коллокации для линейной и квазилинейной АДС.

4. Доказана сходимость сеточного решения неявной разностной схемы к решению начально-краевой задачи для систем с переменными матрицами коэффициентов индекса (1,0), (1,1) и получена оценка погрешности.

5. Рассмотрена постановка задачи управления системой не типа Коши-Ковалевской и указаны условия непрерывности аппроксимации целевого функционала по управлению.

6. Создан комплекс программ, позволяющий решать начально-краевые задачи для систем не типа Коши-Ковалевской и задачи оптимального управления для таких систем с квадратичным целевым функционалом.

III. ПУБЛИКАЦИИ ПО РАБОТЕ

1. Чистяков В.Ф., Гайдомак СВ. О существовании нормализатора для системы дифференциальных уравнений не типа Коши-Ковалевской // Ляпу-новские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИД-СТУ СО РАН, 2001. С. 32.

2. Гайдомак СВ. О существовании решений системы дифференциальных уравнений не типа Коши-Ковалевской. //II Всесибирский конгресс женщин математиков. 2002. С 46-47.

3. Гайдомак СВ. О заменах переменных в системах не типа Коши-Кова-левской II Мсждунар. конф. молодых ученых по мат. моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2002. С. 20-21.

4. Гайдомак СВ. К вопросу о разрешимости систем не типа Коши-Ковалевской Ц Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2002. С. 15.

5. Гайдомак СВ., Чистяков В.Ф. Нормализация систем дифференциальных

уравнений не типа Коши-Ковалевской // Материалы Мсждунар. конф. "Математика, её приложения и мат. образование". Улан-Удэ, 2002. С. 138-145.

6. Гайдомак СВ. К вопросу о существовании решений системы не типа Коши-Ковалевской // Тр. второй Восточно-Сиб. зональной межвузовской конф. по математике и проблемам её преподавания в вузе. Иркутск, 2003. С. 14-17.

7. Гайдомак СВ. Об одной системе с постоянными коэффициентами не типа Коши-Ковалевской // Тр. 4-й Междунар. конф. (интернет-версия) молодых ученых, студентов, старшеклассников и творческой молодежи "Актуальные проблемы современной науки". Самара, 2003. С. 12-15.

8. Гайдомак СВ., Чистяков В.Ф. О разрешимости систем уравнений не типа Коши-Ковалевской с переменными коэффициентами//Тез. докл. II Меж-дунар. конф. "Функциональные пространства. Проблемы математического образования". М., 2003. С 149-151.

9. Чистяков В.Ф., Гайдомак СВ. О численных экспериментах по решению систем не типа Коши-Ковалевской индекса (1,к) методом прямых // Ля-пуновские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИД-СТУ СО РАН, 2003. С. 85-88.

10. Чистяков В.Ф., Гайдомак СВ. Метод прямых для систем не типа Коши-Ковалевской // Современные методы качественной теории краевых задач: Понтрягинские чтения - XV. Воронеж, 2004. С. 22-23.

11. Гайдомак СВ. О сравнении метода прямых и разностного метода при решении вырожденных систем индекса (1,1)//Тр. ХШ-й Байкальской Меж-дунар. школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Т.З. Обратные и некорректные задачи. Северобайкальск, 2005. С 88-93.

12. Гайдомак СВ., Левин А.А., Чистяков В.Ф. Математические аспекты реализации модели конвективного теплообменника с противоточным направлением материальных потоков // Тр. ХШ-й Байкальской Междунар. школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Т.З. Обратные и некорректные задачи. Северобайкальск, 2005. С. 94-99.

13. Гайдомак СВ., Чистяков В.Ф. О системах не типа Коши-Ковалевской индекса (1,к) // Вычислительные технологии. 2005. Т. 10, N 2. С.45-59.

14. Бормотова О.В., Гайдомак СВ., Чистяков В.Ф. О разрешимости вырожденных систем дифференциальных уравнений в частных производных /I Изв. высших учебн. заведений. Математика. 2005. N 4.

Редакционно-издательский отдел Института динамики систем и теории управления СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, д. 134

Подписано к печати 7.06.05 Формат бумаги 60 х 84 1/16, объем 2 п.л. Заказ 3. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ АДС МЕТОДОМ

СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ

§1.1 Некоторые сведения о постоянных матрицах и их пучках

§1.2 Некоторые сведения о переменных матрицах и их пучках .3G

§1.3 Сходимость метода сплайн-коллокации для линейной АДС

§1.4 Сходимость метода сплайн-коллокации для квазилинейной АДС

§1.5 Основные результаты главы

ГЛАВА 2. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§2.1 Постановка задачи. Индекс системы

§2.2 Системы не типа Коши-Ковалсвской с постоянными коэффициентами. Теоремы существования .GO

§2.3 Теорема о существовании решения системы интегро-дифферепциальных уравнений.G

§2.4 Существование решения граничных задач для систем не типа Коши-Ковалевской с переменными коэффициентами.

§2.5 Основные результаты главы

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИРПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ВЫРОЖДЕННОЙ МАТРИЦЕЙ В ГЛАВНОЙ ЧАСТИ

§3.1 Метод прямых. Доказательство сходимости

§3.2 Метод сеток. Доказательство сходимости

§3.3 Численные эксперименты

§3.4 Решение прикладных задач

1. Предисловие

Одним из наиболее распространенных эффективных методов исследования в различных областях знаний: физики, биологии, экономики и т.д. является математическое моделирование. Математическая модель ориентирована на анализ изучаемых процессов и их прогнозирование. Часто модель представляет собой систему уравнений в частных производных, разрешенную относительно старшей производной искомой вектор-функции, описывающей изменение во времени и пространстве тех или иных характеристик исследуемого процесса. Такие системы принято называть системами, приведенными к нормальной форме (форме Коши-Ковалевской). При учете балансовых соотношений, в частности, законов сохранения, системы уравнений в частных производных дополняются алгебраическими связями. Если процесс обладает последействием, то математическая модель может включать и интегральные уравнения.

Данная работа посвящена исследованию систем, частным случаем которых являются взаимосвязанные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и алгебраических уравнений. В обш,ем случае это системы уравнений в частных производных с тождественно выроэюденными матрицами при производных искомой вектор-функции по врамени и пространственным переменным.

И.Г. Петровский считал изучение таких систем одной из наиболее важных задач теории уравнений в частных производных [38].

Скажем немного о терминологии. В нашей литературе такие системы называются системами не типа Коши-Ковалевской [26, 27, 60], системами не разрешенными относительно старшей производной [28] или уравнениями соболевского типа [40]. В зарубежной же литературе их чаще всего называют выроэюденными системами или дифференциально-алгебраическими уравнениями в частных производных [58,68,71,73,76-85,87-90,96]. В диссертации и работах автора употребляется термины: вырожденные системы или системы не типа Коши-Ковалевской.

Как известно [23], в теории уравнений в частных производных важнейшую роль играет характеристика, называемая типом уравнения или системы уравнений. Наиболее хорошо изучены типы, которые носят названия: гиперболический, параболический и эллиптический.

Помимо типа, вырожденные системы обладают еще одной важной характеристикой, называемой индексом. Под индексом понимается набор целочисленных параметров, указывающих на сложность внутренней структуры системы. Значения этих параметров обычно на единицу больше максимальных порядков частных производных входных данных, от которых зависит решение краевой задачи. В частности индекс описывает характер зависимости решения от малых возмущений входных данных. В известной автору отечественной литературе понятие индекса явно не вводится, но в записи решений эту роль играют параметры, называемые секториальностью оператора [40, 41, 47] или длиной жордановой цепочки [43, 44]. В зарубежной же литературе нет единого понимания индекса и существует большой набор определений [61,05,94,98]. В диссертации дается свое определение индекса, наиболее приспособленное к задачам, решаемым автором.

Несмотря на то, что в настоящий момент имеется весьма обширная литература, посвященная вопросам разрешимости начальных и краевых задач для вырожденных систем, вопросы обоснования численных методов разработаны слабо. Следует все же заметить, что большое развитие получило построение численных методов для конкретных систем не типа Коши-Ковалевской, имеющих большое прикладное значение: система уравнений Навье-Стокса, уравнения Соболева, Баренблатта-Кочиной.

Если система недостаточно изучена с математической точки зрения, то специалисты-прикладники применяют зачастую без обоснования аналоги неявных разностных схем, хорошо зарекомендовавших себя при решении систем с неособенными матрицами при производных искомой вектор-функции. В диссертации приведены примеры вырожденных систем, для которых отсутствует сходимость численных методов при выполнении классических критериев сходимости для невырожденных систем.

При выполнении практических расчетов без обоснования их достоверность иногда может быть подтверждена экспериментальными данными, что далеко не всегда осуществимо, хотя бы в виду дороговизны проведения эксперимента или его невозможности.

В связи с указанными выше трудностями, в диссертации получены условия разрешимости для некоторых классов вырожденных систем общего вида, которые по ряду свойств наиболее близки к системам гиперболического типа. Для их численного решения были обоснованы метод прямых и одна неявная разностная схема. Получены критерии сходимости численного процесса. Разработан комплекс программ, реализующий рассматриваемые в диссертации численные методы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения, набора графических иллюстраций численных решений и списка литературы. Во введении обоснована необходимость исследования систем не типа Коши-Ковалевской, приведены примеры из различных областей приложений, обрисована актуальность изучаемой проблемы, сделан анализ литературы по тематике диссертации. Первая глава посвящена вспомогательным результатам из теории матричных пучков, а также численным методам решения алгебро-дифференциальных систем (АДС). В главе 2 рассматриваются вопросы существования решения систем с постоянными и переменными матричными коэффициентами. В главе 3 изложены численные методы решения вырожденных систем уравнений в частных производных с доказательством теорем сходимости, анализируются результаты численных экспериментов, описан ряд прикладных задач, численное решение которых проводилось с помощью разработанного в среде Delphi 7.0 комплекса программ, предназначенного для решения АДС методом сплайн-коллокации и систем не типа Коши-Ковалевской методом прямых и сеточным методом. В заключении подводится итог проделанной работы и кратко сформулированы основные достижения.

§3.6 Основные результаты главы 3

Третья глава посвящена численному решению систем не типа Коши-Ковалев-ской с переменными матрицами коэффициентов индекса (1,1) и (1,0) методом прямых и методом сеток.

Основными результатами настоящей главы являются теоремы сходимости численных процессов.

Для системы индекса (1,1) справедлива следующая теорема сходимости метода прямых Теорема 3.6.1 Если для задачи (2.1.2)-(2.1.3)

1) выполнены условия теоремы 2.4.1;

2) начиная с некоторых г и h : т < г*, h < h* шаги по пространственной и временной переменным удовлетворяют условию < 1.

Тогда система (2.1.1) будет иметь решение i — 1,2,., N\, j = 1,2,., N2 и справедлива оценка ||u(xj,tk) — Щ,к\\ — 0(h) + 0(т) равномерно по всем

И для систем индекса (1,0).

Следствие 3.6.1 Если для задачи (2.1.2)-(2.1.3)

1) выполнены условия следствия 2.4.1;

2) начиная с некоторых г и h : г < г*, h < h* шаги по пространственной и временной переменным удовлетворяют условию < 1.

Тогда система (2.1.1) будет иметь решение щj, г — 1,2,iVi, j = 1,2,., N2 и справедлива оценка £/;) — Uj^W = 0(h) + 0(т) равномерно по всем

Получена также теорема о сходимости численного процесса по методу сеток для системы индекса (1,1)

Теорема 3.6.2 Если для задачи (2.1.2)-(2.1.3)

1) выполнены условия теоремы 2.4.1;

2) начиная с некоторых т и h : т < т*, h < h* шаги по пространственной и временной переменным удовлетворяют условию < 1.

Тогда система (2.1.1) будет иметь решение Uij, i = 1,2,., j = 1, 2,., N2 и справедлива оценка \ \и(х{, tj) — — 0(h) + О(т) равномерно по всем i,j. И для системы индекса (1,0). Следствие 3.6.2 Если для задачи (2.1.2)-(2.1.3)

1) выполнены условия следствия 2.4.1;

2) начиная с некоторых т и h : т < т*, h < h* шаги по пространственной и временной переменным удовлетворяют условию < 1.

Тогда система (2.1.1) будет иметь решение и^, г = 1,2,., N\, j = 1,2,., N2 и справедлива оценка \ \u(xi, tj) — = 0(h) + 0(т) равномерно по всем

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проделанная в диссертации работа является началом исследования линейных систем не относящихся к типу Коши-Ковалевской, поскольку рассмотрены вопросы существования решения лишь для систем индекса (1,0) и (1,1). В диссертации обоснованы метод прямых и метод сеток для численного решения вырожденных систем уравнений в частных производных, которые хорошо себя зарекомендовали при решении систем указанных выше индексов. Изложенные в диссертации результаты можно насколько расширить: ввиду равноправия в системе (2.1.1) переменных х и t теоремы 2.4.1, 3.1.1, 3.2.1 можно переформулировать с выделенной переменной х.

Но в целом следует отметить, что:

В диссертации приведен пример П. 7 из введения, показывающий, что системы индекса (1,0) и (1,1), в частности, системы, удовлетворяющие двойному критерию "ранг-степень", фактически исчерпывают классы систем, для которых гарантированно сходится метод прямых и указанная выше неявная схема. Поэтому построение численных методов для систем (2.1.1) индекса (1,2) и выше требует совершенно иных подходов, основанных на методах, использующих продолженные системы или метод наименьших квадратов. Исходя из опыта изучения АДС, можно ожидать, что для любой разностной схемы моэюно указать пример, при решении которого численный процесс неустойчив.

Во многих приложениях приходится иметь дело с квазилинейными системами уравнений в частных производных sdu .ди .

Л(х, t,u)— + В{х, + С(х, и) = 0, det A(x,t,u) = 0 V(M) е U, где А(х, t, и), В(х, t, и) - (п х п)-матрицы с элементами, зависящими от переменных х, i и от искомой функции и = u(x,t), C(x)t,u) - n-мерная вектор-функция. Поэтому была разработана соответствующая программа, обеспечивающая численное решение таких систем и проведены успешные эксперименты. При расчете коэффициентов, значения искомой функции брались с предыдущего слоя. Было рассмотрено некоторое количество тестовых задач. Поэтому в дальнейшем необходимо теоретически исследовать вопрос сходимости метода прямых и метода сеток для квазилинейных систем.

Намечены подходы к исследованию систем с несколькими пространственными переменными.

Также создана экспериментальная программа по решению смешанной граничной задачи для гиперболической системы с разнонаправленными характеристиками методом прямых ди ди

А{х, £)— + В{х, £)— + С(х, t)u = f{x, £), u(xtt0) = ф{х), u(x0,t)=Tpi(£), u(X,t) = ip2(t). det A(x, £) = 0 V(x, t) e U.

Для решения на каждом слое вырожденной системы ОДУ применялся метод "стрельбы". Проведенные эксперименты нуждаются в теоретическом обосновании.

1. Березин М.В., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Т. 2.

2. Бормотова О.В., Чистяков В.Ф. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. Т.44, N 8. С.1380-1387.

3. Бормотова О.В., Гайдомак С.В., Чистяков В.Ф. О разрешимости вырожденных систем дифференциальных уравнений в частных производных // Изв. высших учебн. заведений. Математика. 2005. N 4.

4. Бояринцев Ю.Е. Применение обобщенных обратных матриц к решению и исследованию систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка // Методы оптимизации и исследование операций. Иркутск, 1984. С. 123-141.

5. Бояринцев Ю.Е., Бояринцева Т.П. Замечание о неявной разностной схеме, аппроксимирующей систему уравнений Стокса // Численные методы анализа и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1983. С. 127131.

6. G) Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы. Методы численного решения и исследования. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998.

7. Булатов М.В. Об одном семействе матричных троек // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2002. С. 10.

8. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Применение коллокационных методов для решения сингулярных линейных систем ОДУ // Модели и методы исследования операций. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние. С. 164-170.

9. Булатов М.В. Методы решения дифференциально-алгебраических и вы-роэ1сдениых систем: Дис. д.ф.-м.н., 05.13.18. Иркутск: ИГУ, 2002.

10. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. О вырожденных линейных системах дифференциальных уравнений в частных производных // Современные проблемы механики жидкости и газа: Тез. докл. V Всесоюзной школы-семинара. Иркутск: Иркутский ВЦ СО АН СССР, 1990. С. 77.

11. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1978.

12. Гайдомак С.В. О существовании решений системы дифференциальных уравнений не типа Коши-Ковалевской. II // Всесибирский конгресс женщин математиков. 2002. С. 46-47.

13. Гайдомак С.В. О заменах переменных в системах не типа Коши-Ковалевской // Междунар. конф. молодых ученых по мат. моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, 2002. С. 20-21.

14. Гайдомак С.В. К вопросу о разрешимости систем не типа Коши-Ковалевской j] Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2002. С. 15.

15. Гайдомак С.В. К вопросу о существовании решений системы не типа Коши-Ковалевской // Тр. второй Восточно-Сиб. зональной межвузовской коиф. ио математике и проблемеа её преподавания в вузе. Иркутск, 2003. С. 14-17.

16. Гайдомак С.В., Чистяков В.Ф. О системах не типа Коши-Ковалевской индекса (1,к) // Вычислительные технологии. 2005. Т.10, N 2. С.45-59.

17. Гайдомак С.В., Чистяков В.Ф. О разрешимости систем уравнений не типа Коши-Ковалевской с переменными коэффициентами // Тез. докл. Второй Междунар. конф. "Функциональные пространства. Проблемы математического образования". М., 2003. С. 149-151.

18. Гайдомак С.В., Чистяков В.Ф. Нормализация систем дифференциальных уравнений не типа Коши-Ковалевской // Материалы Междунар. конф. "Математика её приложения и мат. образование". Улан-Уде, 2002. С. 138-145.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

20. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

21. Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука, 1988.

22. Дезин А.А. Дифференциально-операторные уравнения. Метод модельных операторов в теории граничных задач. М.: Наука, МАИК "Наука/Интерпериодика", 2000. 175 с. (Тр. МИ АН; Т. 229)

23. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998. 438 с. ил.

24. Демиденко Г.В., Матвеева И.И. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши-Ковалевской // Тр. ин-та математики СО РАН. 1994. Т. 26. С. 42-76.

25. Демиденко Г.В., Матвеева И.И. Об одном классе краевых задач для систем Соболева // Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН СССР, 1989. С. 54-78.

26. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

27. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной j j Дифференц. уравнения и их применение. 1976. Т. 14. С. 21-39.

28. Крейн С.Г., Чернышов К.И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Препринт. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 1979.

29. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1970. Т. II. 420 с.

30. Левин А.А. Выбор корректного усреднения в моделях с сосредоточенными параметрами j j Системы исследования в энергетике. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2004.

31. Мельникова И.В., Альшинский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // ДАН. 1994. Т. 336, N 1. С. 17-20.

32. Мельникова И.В., Альшинский М.А. Обобщенная коректность задачи Коши и нтегрированные полугруппы // ДАН. 1995. Т. 334, N 4. С. 448451.

33. Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49. С. 111-150.

34. Накоряков В.Е., Покусаев В.Г., Шрейбер И.Р. Распространение волн в газо- и паро- жидкостных средах. Новосибирск, 1983.

35. Петровский И.Г. Избранные труды. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. М.: Наука, 1987.

36. Рущинский В.М. Пространственные линейные и нелинейные модели котлогенераторов // Вопросы идентификации и моделирования. 1968. С. 8-15.

37. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного операторного уравнения типа Соболева с неположительным оператором при производной // Дифферент уравнения. 1987. Т. 23, N 10. С. 1823-1826.

38. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, N 4. С. 47-74.

39. Сидоров Н.А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией j j Мат. заметки. Т. 95, N 4. С. 569-576.

40. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений // Дифферент уравнения. 1983. Т. 19, N 9. С. 1516-1526.

41. Сидоров Н.А., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Дифферент уравнения. 1987. Т. 23, N 4. С. 726-728.

42. Сидоров Ф.А., Шапаев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.

43. Таиров Э.А., Запов В.В. Интегральная модель нелинейной динамики парогенерирующего канала на основе аналитических решений // ВАНТ. Сер.: Физика ядерных реакторов. 1991. Вып. 3. С. 14-20.

44. Федоров В.Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12. Вып. 3. С. 173-200.

45. Федоров В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространствах : Дис. д.ф.-м.н., 01.01.01, 01.01.02. Челябинск: ЧГУ, 2005.

46. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М., JL: Гостехтеоретиздат, 1948. 432 с.

47. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи: Пер. с англ. М.: Мир, 1999. 685 с.

48. Чистяков В.Ф. О классификации систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами не типа Коши-Ковалевской // Ляпу-новские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2002. С. 37.

49. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН "Наука", 1996.

50. Чистяков В.Ф., Гайдомак С.В. О существовании нормализатора для системы дифференциальных уравнений не типа Коши-Ковалевской // Ля-пуновские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2001. С. 32.

51. Чистяков В.Ф., Гайдомак С.В. О численных экспериментах по решению систем не типа Коши-Ковалевской индекса (1, Л:) методом прямых // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 2003. С. 85-88.

52. Чистяков В.Ф., Гайдомак С.В. Метод прямых для систем не типа Коши-Ковалевской // Современные методы качественной теории краевых задач: Понтрягинские чтения XV. Воронеж, 2004. С. 22-23.

53. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциалъных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 2003.

54. Шилов Г.И. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Изд-во МГУ, 1984. 208 с.

55. Яненко Н.Н. Теориия совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных // Тр. IV Всесоюз. мат. съезда. Л., 1964. Т. 2.

56. Яненко Н.Н. Избранные труды. Математика. Механика. М.: Наука, 1991.

57. Янов С.И. О задаче Коши для одного класса систем не типа 'Коши-Ковалевской // Функциональный анализ и математическая физика. Новосибирск: Ип-т математики АН СССР. Сиб. отд-ние, 1987. С. 125-139.

58. Arnold М. A note on the uniform perturbation index // Preprint. 1995.

59. Bolim M., Showalter R.E. Diffusion in fissured medial // SIAM J. Math. Anal. 1985. V. 16, N 3. P. 500-519.

60. Byrne G.D., Schiesser G.D. Recent Developments in Numerical Methods and Software for ODEs/DAEs/PDEs. World Scientific, 1991.

61. Campbell S.L. DAE Approximations of PDE Modeled Control Problems // Proc. IEEE Mediterranean Symposium on New Directions in Control and Automation. Greate. 1994. P. 407-414.

62. Campbell S.L., Marzalek W. The Index of Infinite Dimensional Implicit System I/ Mathematical and Computer Modelling of System. 1999. V. 5, N 1. P. 18-42.

63. Coleman B.D., Duffin R.J., Mized V.J. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation du/dt = д2и/дх2 — d3u/dx2t on strip // Arch. Rat. Mech. Anal. 1965. V. 19. P. 100-116.

64. Favini A. Laplace trancform method for a class of degenerate evolution problems // Rend. Math. Roma, 1979. V. 12. P. 511-536.

65. G8. Favini A. Abstract potential operators and spectral methods for a class of degenerate evolution problems // J. Piff. Eqns. 1981. V. 39. P. 212-225.

66. G9. Favini A. An operational method for abstract degenerate evolution equations ofhiperbolic type // J. Funct. Anal. 1988. V. 76. P. 432-456.

67. Favini A., Yagi A. Maltivalued linear operators and degenerate evolutions // Ann. Mat. pur. ed appl. 1993. V. CLXII. P. 353-384.

68. Favini A., Yagi A. Abstract second order differential equations with applications // Funkc. Ekvac. 1995. V. 38, N 1. P. 81-99.

69. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. N.Y.: Marcel Dekker, 1999.

70. Jens Lang. Adaptive multilevel solution of nonlinear parabolic PDE Systems // Theory, Algorithm and Application. Berlin: Springer, 2000.

71. Gunther M., Rentrop P. PDAE-Netzwerkmodelle in der elektrischen schallungssimulation // Preprint 99/3. Universitet Karlsruhe, IWRMMM, 1999.

72. Luclit W., Strehmal K., Eichler-Liebenow C. Indexes and special discretization methods for linear partial differential algebraic equations // BIT. 1999. V. 39, N 3. P. 484-512.

73. Kurina G.A. Singular perturbations of control problems with equation of state not solved for the derivative (a survey) // J. of Computer and System Sciences International. 1993. V. 31, N 6. P. 17-45.

74. Levine H.A. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Ddu/dt = — Au + F(u) // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V. 51, N5. P. 371-386.

75. Leung A.W. Systems of Nonlinear Partial Differential Equations. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1989.

76. Lucht W., Strehmel K. Discretization based indices for semilinear partial differential algebraic equations // Appl. Numer. Math. 1998. V. 28. P. 371386.

77. Lucht W., Strehmel K., Eichler-Liebenow C. Linear partial differential algebraic equations. Part I: Indexes, consistent boundery, initial conditions // Report 17. Fachbereich Mathematik und Informatik. Martin-Luther-Universitat. Halle, 1997.

78. Lucht W., Strehmel K., Eichler-Liebenov C. Linear partial differential algebraic equations. Part II: Numerical solution // Report 18. Fachbereich Mathematik und Informatik. Martin-Luther-Universitat. Halle, 1997.

79. Marszalek W. Analysis of partial differential algebraic equations: PhD thesis. North Carolina State University. Raleigh (NC), 1997.

80. Marsialek N., Trzaska Z.W. Analysis of implicit hyperbolic multivariable Systems // Appl. Math. Modeling. 1995. V. 19. P. 400-410.

81. Pilips K.G. Higher Order Moving Finite Element Methods for Systems Described by Partial Differential-Algebraic Equations: PhD thesis. Dept. of Chemical Engineering, Imperial College of Science, Technology, and Medicine. London, 1990.

82. Ping Lin. A sequential regularization method for time-dependet incompressible Novier-Stoks equations // SIAM J. Numer. Anal. 1997. V. 34, N 3. P. 1051-1071.

83. Simeon B. Modeling a Hexible slider crank mechanism by a mixed system of DAEs and PDEs // Math. Modeling of Systems. 1996. N 2. P. 1-18.

84. Showalter R.E. Existance and representation theorems for a semilinear Sobolev equation in Banach spase // SIAM J. Math. Anal. 1972. V. 3, N 3. P. 527-543.

85. Showalter R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type // SIAM J. Math. Anal. 1975. V. 6, N 1. P. 25-42.

86. Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type // Pacific J. Math. 1963. V. 31, N 3. P. 787-793.

87. Showalter R.E. The Sobolev type equations. I,II // Appl. Anal. 1975. V. 5, N 1. P. 15-22; N 2. P. 81-99.

88. Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. V. 1, N 1. P. 1-26.

89. Simeon B. Modelling a flexible slider crank mechanism by a mixed system of PAEs and PDEs // Math. Modelling Syst. 1996. V. 2, N 1. P. 1-18.

90. Soderlind G. Remarks on the stability of high-index DAEs with respect to parametric perturbations // Coputing. 1992. V. 49. P. 303-314.

91. Ting T.W. Certain non-steady Hows of second-order fluids // Arch. Rat. Mecli. Anal. 1963. V. 14, N 1. P. 28-57.

92. Thomas J.Wi, Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. N.Y.: Springer-Verlag, 1995.

93. Trzaska Z., Marsialek M. Singular distributed parametr systems // IEE Proc. Control Theory and Appl. 1993. V. 140. P. 305-308.

94. Wade S. Martinson and Paul I. Barton. A differentiation index for partial differential-algebraic equations // SIAM J. Sci. Сотр. 2000. V. 21, N 6. P. 2295-2316.

95. Weickert J. Novier-Stokes equations as a differential-algebraic systems // Preprint SFB 393/96-08. Technische Universitat Chemnitz-Zwickan, 1996.