Исследование и численное решение некоторых задач об усвоении данных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ
|
Пармузин, Евгений Иванович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Российская академия наук Институт вычислительной математики
РГВ од
> 2 5 МАЯ Ш
На правах рукописи
ПАРМУЗИН Евгений Иванович
ИССЛЕДОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ОБ УСВОЕНИИ ДАННЫХ
01.01.07 - вычислительная математика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кан()и()шпа физико-математп'чсских наук
Москва 2000
Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН
Н а у ч н ы н ]) у к о в о л и т е л ь: доктор физико-математических наук ШУТЯЕВ В.П.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор ЗАЛЕСНЫЙ В.Б., кандидат физико-математических наук, доцент ЩЕГЛОВ А.Ю..
В е д у Ш а я организация: Институт математики п механики УрО РАН
Зашита состоится 1С " нюня 2000г. в ° часов на заседании диссертационного совета Д. 003.47.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 117333. Москва, ул.Губкина. 8.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.
Автореферат разослан 15 " мая 2000г.
Ученый секретарь
диссерташн>нн(>го совета
кандидат физико-математических наук
С.А. ФИНОГЕНОВ
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В настоящее время в связи с исследованиями глобальных изменений на планете Земля возрастает интерес к задачам усвоения н обработки данных наблюдений с целью ретроспективного анализа в различных отраслях знаний. К числу проблем, решение которых не может обойтись без четырехмерного анализа данных наблюдений можно отнести проблемы глобальных изменений климата нашей планеты, состояния и защиты от загрязнений окружающей среды, сохранение биосферы в условиях резкого увеличения народонаселения, интенсивного развития промышленного производства и многие другие. Все это потребовало комплексного изучения задач идентификации для эволюционных процессов.
В последние годы возникли новые постановки проблем, требующие детального изучения с применением теории сопряженных уравнений. В частности, следует отметить проблему анализа полей данных наблюдений, с помощью которых изучаются течения Мирового Океана, идет уточнение параметров океанических моделей, а также исправление самих наблюдаемых полей. Также стоит отметить бурно развивающуюся в Последнее время отрасль человеческой деятельности - наблюдение Земли со спутников. В этом случае большое значение приобретает решение проблемы обработки данных, получаемых со спутников. Вариационная формулировка этой задачи может быть сформулирована следующим образом: введя функцию стоимости, измеряющую расхождение между наблюдаемыми величинами и результатами моделирования, найти неизвестные входные параметры модели, для которых функция стоимости принимает наименьшее возможное значение. Обработка получаемых данных является, таким образом, задачей огромной важности и в этом случае, с помощью методов усвоения можно превратить их в полезную информацию, что в конечном счете позволяет производить уточнения и самих наблюдаемых данных. Поэтому весьма актуальным являбтея развитие методов исследования и численного решения задач вариационного усвоения данных.
Математические постановки задач об усвоении данных могут быть сформулированы как задачи оптимального управления в терминах систем уравнении состояния и сопряженных к ним. Начиная с работ Р.Беллмана, Л.С.Понтрягнна, Н.Н.Красовского, Ж.-.Я.Лнонса, Р.Гло-вннского, А.Балакршпнана, Г.И.Марчука, Ю.С.Осипова, А.Б. Кур-
жанского, постановки и изучение таких задач с применением теории сопряжённых уравнений привлекают внимание многих исследователей. Наибольшее развитие эти методы получили в задачах ядерной энергетики, физики атмосферы и океана, охраны окружающей среды, и др.
Как известно, задачи усвоения данных в некотором смысле эквивалентны некоректно поставленным задачам и поэтому, требуют при-атсчення методов регуляризации, предложенных в работах А.Н. Тихонова, М.М.Лаврентьева. Ж.-Л.Лпонсаи др.
Касаясь разрешимости задач оптимального управления, следует отметить результаты, полученные Ж.-Л. Лионсом для линейных задач оптимального управления. Другие подходы к исследованию подобных задач раесматриватись в работах К. Бардоса, А.И. Егорова, A.B. Фурсикова и др. Для нелинейных задач аналогичные результаты были получены в .работах B.II. Агошкова, В.И.Агошкова и Г.И. Марчука, D.M. Ипатовой, В.П. Шутяева.
Один из подходов к исследованию разрешимости задач об усвоении данных заключается в получении так называемого оператора управления. Как оказывается, знание свойств этого оператора, в особенности его спектральных свойств, важно для исследования разрешимости задачи управления, а также для разработки и обоснования численных алгоритмов ее решения. Наряду с изучением структуры спектра данного оператора важно получить оценки границ спектра, так как их знание позволяет оптимизировать численные алгоритмы решения задачи оптимального управления. В частности, некоторые из таких оценок для непрерывных задач получены в работах Агошкова В.И., Шутяева В.П.
Как отмечалось, знание свойств спектра оператора управления важне для разработки, обоснования и оптимизации численных алгоритмов решения задач оптиматьного .управления. Классические методы для решения подобных задач были разработаны в работах H.H. Красовско-го, А.М. Летова, H.A. Крылова и Ф.Л. Черноусько, Р.П. Федоренко, Евтушенко Ю.Г. и др. Ряд новых итерационных алгоритмов решения задач усвоения данных предложен в работах В.И. Агошкова и Г.И. Марчука, Г.И.Марчука и В.Б. Залесного, Г.И.Марчука и В.П.Шутяева.
Наряду с исследованием непрерывной задачи важное значение имеет
исследование разностных аналогов вариационной задачи об усвоении данных. Отождествляя в некотором базисе оператор задачи с его матрицей, можно получить разностный аналог уравнения для управления. Свойства полученной "матрицы управления" оказываются подобными свойствам оператора соответствующей непрерывной задачи. При некоторых условиях границы спектра матрицы управления могут быть точно вычислены, что позволяет получить необходимые и достаточные условия сходимости итерационных методов и оценить их скорость сходимости.
В связи с этим актуальным является изучение разностных задач вариационного усвоения данных, исследование спектра матриц управления и анализ на основе их свойств численных алгоритмов решения задач.
Целью диссертационной работы является исследование разностных аналогов вариационных задач об усвоении данных, разработка и обоснование итерационных методов их решения, численный анализ алгоритмов.
Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются оригинальным вкладом в исследование разностных аналогов вариационных задач об усвоении данных, разработку и обоснование численных алгоритмов их решения.
Исследован разностный аналог линейной эволюционной задачи об усвоении данных с целью восстановления функции начального условия. Получены оценки для границ спектра матрицы управления. Доказана устойчивость разностной задачи оптимального управления.
Разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы решения разностных задач об усвоении данных с целью восстановления функции начального условия. Проведена оптимизация итерационных алгоритмов на основе свойств спектра матрицы управления.
Проведено численное исследование итерационных алгоритмов решения конкретных залач об усвоении данных, среди которых задача о восстановлении начальных данных в линейной и полулинейной параболических задачах, проблема восстановления граничных функций в задаче переноса частиц.
Практическая значимость. Разработанные в диссертационной работе итерационные алгоритмы, основанные на одновременном использовании основных и сопряженных уравнений, могут быть при-
менены для решения практических задач об усвоении данных с целью восстановления функций начального условия или граничных функций.
Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах Института вычислительной математики РАН.
Результаты диссертации докладывались на 3-ей международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса. динамики, управления в конденсированных системах и других средах-1 (Тверь, 1998), конференции по обратным и некорректно поставленным задачам (Москва, МГУ, 1999).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 печатных работ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (97 наименовании): изложена на 93 страницах и включает 26 рисунков и 25 таблиц.
Во введении обосновывается актуальность темы и дается обзор содержания диссертации.
В первой главе рассматривается проблема об усвоении данных в линейных эволюционных задачах с оператором, который в обшем случае может быть не симметричным и зависящим от времени. В §1.1 дана постановка вариационной задачи об усвоении данных и ее эквивалентная формулировка с использованием сопряженной задачи.
Рассмотривается эволюционная задача вида:
где A(t) - линейный оператор, действующий в некотором гильбертовом пространстве Н с областью определения D(A), f £ L¿(0., Т: Н). if £ Я. Вводится функционал
где о =со1Ы> 0; (р = - заданная функция. || • || - норма в пространстве Я. Функция <р(1) определяется, как правило, априорными
Содержание работы
(1)
данными наблюдений. Весовой коэффициент а принято называть параметром регуляризации. Далее всюду предполагается, что все рассматриваемые пространства и функции вещественны.
Рассмотрим задачу (1) с неизвестной функцией и € Н (т.е. неизвестным управлением и) в начальном условии. Задача об усвоении данных может быть сформулирована следующим образом: найти функцию (1з = ()з(<) и управление и такие, что они удовлетворяют (1), причем на множестве решений уравнения (1) функционал (2) принимает наименьшее значение.
Сформулированную задачу запишем в виде:
^ + .4(09 = /. *е(о,т)
И,=о = " (3)
5(<^>) = пин 5(9). й
где (р - решение (1) при 9|/=0= й. Задача (3) эквивалентна системе для отыскания функций 9=1р{{), <р* = <р*(Ь) и управления и вида:
= /, t £ (0, Т)
<Л=о = v'lt=r = o,
(4)
(5)
tm -v*U()= 0, (G)
где A*(t) оператор, соП1)Яженный к A(t).
В §1.2 рассматривается разностная формулировка задачи и выводится уравнение для управления Lu = G. Для аппроксимации задачи (4)-(G) по пространственным переменным в случае конкретного оператора Л можно использовать либо традиционные конечно-разностные методы, либо метод конечных элементов. После аппроксимации задачи (4) (G) по всем переменным (за исключением t) мы имеем следующую систему:
+ = /, « Пх((),Т)
А=» = п
1 + = « Qx(О,Г)
1 • ¥>*Lt = l)
л" - <А=о=
(9)
где fi - сеточная область, Л(<) - сеточный оператор, полученный путем аппрокснмацнп линейного оператора А из (4), A*(t) - оператор, сопряженный к Л(/), iр ~ <p(i), ip* = <p'(t), f = f(t), = сеточные функции. Индекс параметра с етки h для простоты опущен. Пусть Я обозначает пространство сеточных функции с нормой ||-||, порожденной скалярным произведением (■, •). Отождествляя оператор A(t) с его матрицей в некотором базисе Я, мы будем считать, что A{t) - вещественная квадратная матрица порядка Лг, и -4*(i) = (Л(£))Г - матрица, транспонированная по отношению к A(t).
Для дискретизации задачи по временной переменной t введем равномерную сетку на отрезке [0,Т] с шагом т:
__Т
0< t0< ... < th! =Т, Ч. = тк, к — 0,М — 1, T =
Для аппроксимации эволюционных задач (7) и (8) воспользуемся схемой Кранка-Ннколсон. Тогда приходим к следующей разностной схеме:
I
+ ^ = рк+1/2^ k = О,M - 1
(10)
I
т ^ - 2 Y I
7
(П)
где
au ~ - 0,
р рИ-1/2 = ЛЫ +№+1) t v-HI/2 = rlLki+^i'l+i) ,
(12)
A™» = А(1ш/г), = A*(tk+42), к = 0, M - 1.
где 1рк, {р*к, а векторы длины N. Тогда разностную схему (10) (12) можно записать в матричном виде:
Агиг = Рг
(13)
с матрицей
АГ=(ЛА" 2")-
V А-я )
где
Ли =
о
1/2
; а22 =
1Е \ о
(1-Е+\А'1'2 0 0
о ••. ••. О
": О
О ; О \Е + О
V -Е 0 ... "О иЕ )
-167+и'-"-3'2 О 2
А'л =
& 0 0
IЕ 0
0 0
0 0 \Е №
0 0
(00 О О —~Е + \
А,, -
\
О .........
О .........
О .........
о о о о
о о о о
Е единичная матрица, а вектор правой части задается равенством:
О
о
о
При достаточно гладких ip, ip', и разностная схема (13) аппроксимирует задачу (7) (9) с порядком 0(т2).
В Jjl.2 нз (10) (12) получено уравнение для управления и вида:
Lu = G, (15)
где
L = аЕ+ \\
Т = тЛЕт
^ i=l j=i j = i
(11 w-vys^^Yi Я>-х1>)) + S*l/1Rx/l + S'l/2). j-i i=i
G = t[S'"V/2+ 2: (П J?j_l/2)*S'i+1/V+l/2] - -{S'4*Sll2Fx'2+ ¿=1 j=i 2
j=i k=M-1
5H1/2 _ ^41+1/2^-1 ЛН1/2 = _ 1.4a'+1/2),
Ц-* = S' +'Z2£ Z^-'/2, к = 1. Л/ - 1. i=k
Матрицу L из (15) будем называть п дальнейшем матрицей управления. В §1.3 исследованы свойства матрицы управления. Введем следующие обозначения
Р, = Si+l" п я*1'2- i = UM, Рм = s1/2.
j=i
Теорема 1.3.1 Пути, для каждого к — 0. М - 1 существуют обратные. матрицы (Е it rj^*1'2)-1. Тогда при о > 0 матрица L симметрична и положительно определена. Для границ спектра матрицы L справедливы равенства
/|,„ш = iuin Aji.(I) - о + итт. )imax = maxAx(L) = о + i>„>as. (16)
где ;'„,,„ и i/in;lx минимальуюе и максимальное собственные значения матрицы V, для которых имеют место оценки
м
,п.>тЕ1|/7 ¿=1
И
1=1
(17)
Следствие. Если для каждого к = О, М — 1 матрица положи-
тельно полуопределена, т.е. (Ль+1/2м,и) > О, V« £ Н, а Е — обратима, то для границ спектра матрицы L справедливо
/'min > /'шах < (У + Т.
Предположим теперь, что матрица А не зависит от времени. В этом случае молено получить более тонкие оценки для спектра матрицы управления. В частности, справедливы следующие утверждения
Лемма 1.3.1 Пусть существуют обратные матрицы (Е i rjA}~~]. Тогда длл границ спектра матрицы L справедливы равенства
/'min = min Ajb(L) = <v + Mmill, //„,„ = max\t(L) = а + i/msx, (18)
где Kllin и
минимальное и максимальное собственные значения
матрицы V, для которых имеют место оценки
".„■„ > г Л£ 115-'^'Г2, «/,„„ < г Л£ ||^5||2,
j=a ;=н
где матрицы .9 и П определяются по формулам
(19)
<? —
= (Е + -АГ\ П = (Е + -А)'1(Е--А).
Лемма 1.3.2 Пусть А А* — А" А, существует обратная матрица (-Б + 7-4)-1 'а А - собственное значение матрицы А. Тогда выражение 11 = п + I/, где
(А+Л)
-1
1 -
1 - гА/2
1 + rA/S
2 И
Т
Г2|\|2/7>
1 + г2|А|74
лалястсл собственным, значением матрицы L
, Ве\ ф 0 Tie А = О,
Отметим, что
lim (Л + Л)
-1
1
1 - тА/2
2 Л /
1 + гЛ/2
Т
1 + т1\Х\1/А
В условиях леммы 1.3.2 минимальное и максимальное собственные значения матрицы V определяются по формулам
1 - тА/2 '2Л'1
I'miu = Ulin{(A+ Л)"
'Лпах = шах{(А + А)
-1
1 -1 -
1 + тЛ/2 1 - гА/2
2 ЛГ
(21)
1 + г А/2
где min и max берутся по всем собственным значениям матрицы А.
Лемма 1.3.3 Пусть матрица Л положительно полуопределена, т.е. (Аи, и) > О V« € II; и А нормальная матрица, тогда
. , 1 [, /1 - п/1ШП/4У2ГА-| /'max < 'V + - 1 - —----< а + Т.
'/mml U + n/mill/4/ где. //mj„ минимальное собственное значение матрицы .4 + .4*.
Лемма 1.3.4 Если .4 = .4* и А положительно полуопределена, то
(22)
'Лпш — (2А„1ДХ) '[1 -I
2Т/т
1 +- тАшах/2
где Ашах, Atl,jn максимальное и минимальное собственные значении матрицы А. В случае А,,,;,, = 0 получаем. ;/|||ак = Т.
Лемма 1.3.5 В услоаиях леммы 1.3.2 справедливо соотношение
1 _ r-(A+Ä)7'
lim /i = а +
т—И)
Па])аграф §1.4 посвящен исследованию устойчивости рассматриваемой разностной схемы. Для векторов UT. FT из (13) определим нормы
\\UT\\r = шах Ук\\ + шах + ||н||,
" " !<«.< Л/ " 11 0<А<Л/ -1 11 11 11
\\F% = шах max \\Fk^%
I Д/ 1^-к^.М
В §1.4 доказана следующая оценка
1П|г<С||Щг, (23)
1Ж
2 Т 2Т Т2 С=Т тах{1 +-+-, 1+Т+-+-).
/'min /'min /'min /'min
Лемма 1.4.1 Пусть А не зависит omt и положительно полуопределена. Тогда при а > 0 разностная схема (10) (12) устойчива и справе ihnen оценка (23) с постоянной С, на зависящей от шага сетки т. Если а = 0 и выполнены условия леммы 1.3.4, то при достаточно малых т оценка (23) остается, справедливой с постоянной С. не зависящей от т.
В §1.5 введены в рассмотрение итерационные алгоритмы для решения поставленной задачи. Знание спектра матрицы управления позволило выписать для каждого алгоритма оптимальные итерационные параметры. Проведено исследование и сравнение асимптотической скорости сходимости рассмотренных итерационных методов, доказаны теоремы о сходимости.
Рассмотрим следующий класс итерационных алгоритмов для решения задачи (10)-( 12)(при =
9о и) = uJ
( , + _ мхт
^ т ' 2 ~~ v г '
1 = 0.
(25)
aJb] = и1 + <*j+iBj(ip,0U) - nV) + ßj^C^,' - uJ~' )• (26)
где ajnJijt| итерационны«' параметры, uJ итерацион-
J + КЛ , Jüi
ные последовательности, 9 = -—. Bj.C'j снмме'грпч-
ные положительно оп!)еделенные матрицы. Пусть /'„„„. 1>ши, минимальное и максимальное собственные значения V (см. теорему 1.3.1), а у'*, и точное решение задачи (10) (12). Введем следующие
ооозначення
"Hi =
/'max ~Ь /'nun1 ^
4 Tj{0)
/'max
o. i = o
/^"+1 =
(27)
(28)
J >
где 0 = jt'"^ _ j^'HS /'max " /'mm границы спектра матрицы управления (16), а полином Чебышева 7), определенный по формуле
Тк(в) = 1/2[(0 + + (в - v/^T)1], |0| > 1, (29)
i 0, j = 0
^IMIW"'!!2. ¿>0.
(30)
pj+.Hieiii/rir-^. i = o,i,.
ci ||2
Здесь = auJ
'O(j)
Ij^jll = а умножение матрицы
управления L на вектор и осуществляется как последовательное решение следующих задач:
,.■ + 1 J i+l
2_Z_£_ + Пу + У
0, fc = 0,M-l
Л-il
V
,0 _
(31)
+ у1 _ V + У>
(32)
(33)
~2 ' - — 2~ I = 0,
Lu - пи -
В диссертационной работе рассматриваются различные итерационные алго])итмы вида (24) (2С) для решения системы (10)—(12). Среди рассмотренных чебышевскнн полуитерационнын (двухпараметриче-cKiiii) метод (I). метод сопряженных градиентов (И), метод простой итерации (III). Справедлива
Теорема 1.5.1. (I) Hr.m Dj = C'j = Е и aJ+i, f3j+i определяются по формулам (27),(28). то а алгоритме (24) (26) ошибка подавляется оптимальны и опропом. на каждой итерации и справедлива оценка
шах ||у-
JU)
11! + max И/*"» - + ||tH - ,/|| < С г/, (34)
Г-'
zdeq= {Tj(0))-\
(II) Если Bj = Cj - E, n;+1 = 1//Jj4b /ij+i = ej/Pj* 1 " Pj\\ определяются no формулам (30), то итерационный процесс (24) (2G) сходится и. «цепка (34) справедлива при q — (Tj(ö))-1.
(III) Если Dj = E, = Tj = 7 > 0, Jj+i = 0, то необходимым и достаточным условием сходимости итерационного процесса (24) (2G) является условие
0 < 7 < —--• (35)
л + vmar
Оптимальное значение параметра определяется по формуле
7 = lo,,t =-1---• (3G)
<» + + 1>,п,и)
При этом справедлива оценка скорости сходимости (34), где
v'max ^min) s-, . . ri to'7^
q = qopt = ---С = const > 0. (37)
2« + ("mm + "min)
Отметим, что в случае Bj = Е, aj+i = 1/rv, ßj+] = 0 итерационный метод (24)—(26) совпадаете известным методом Крылова-Черноусько.
В случае, когда матрица A(t) = .4 не зависит от времени был рассмотрен, в дополнение к уже перечисленным, (Л +Л*)-метод, получаемый из (24) (2G) при Bj = (.4 +Л*), вщ = 0 (метод IV). Для данного метода доказана
Теорема 1.5.2 Если А положительно определённая нормальная ма-■трица. а = 0, aj+i = 7 = const > 0, ßj^ — 0. Bj — (Л + Л*), то необходимым и достаточным условием сходимости итерационного процесса (24)—(2G) является
0 < < тт—(38)
(1 - "min)
Оптимальное значение параметра определяется по формуле
2
7 = 1о,,1 = 77Г:-1-----г (39)
При этом справедлива оценка скорости сходимости (34) где
Ч = Чп,ч
& таг
2 &тах in
где
"min = min
1 - -А 2м
1 + Т2Х
"max = max
1 — -А 2М
(41)
где min и шах берутся по веем собственным значениям матрицы А.
В ряде случаев, когда на матрицу-4(f) накладываются дополнительные условия, формулы для о,„i„ и сгта1 могут быть явно вычислены. Если A(t) = А - не зависящая от t симметричная положительно определенная матрица, то для <т„„„ и имеем
(7„
_ /1 ~ r\mj2YTlT _ (I ~ rA,ni,,/2\2J/r
' . \1 + тАтах/2 J ' ~~ \Д + тАт;„/2/ '
где Атш и Ап.,х - минимальное и максимальное собственные значения матрицы А.
При п = 0 в ряде случаев метол IV оказывается предпочтительнее методов I, II. Так, справедлива
Теорема 1.5.3 Пусть а = 0. а .4 - не зависящая от < симметричная положительно определенная матрица и
!>{А)
Am
» 1.
где А„щ, и А,„ах - минимальное и максимальное собственные значения матрицы А, причем. = 0(1) при больших N. Тогда прит < 2/Атах асимптотическая скорость сходимости метода IV выше, чем в методах I, II.
Вторая глава посвящена решению проблемы усвоения данных для параболической эволюционной задачи вида
^ + = /• «6(0,Г)
Я/=п = " S(<p) = liiiuS(^), it
где А - линейный оператор, определяемый выражением 2 О До 2 Л-
а функционал задается формулой (2). Здесь .г = (и'ьл^) € П С П.2, (Л - ограниченная область с кусочно гладкой границей (Ш, функции «и, а предполагаются достаточно гладкими и удовлетворяю-щнми условиям:
1 = 1 U.lj
Е > 1 ¿ Ví; 6 R, 7 = (O'^f > О-
i,j=i í=I
(43)
Оператор А действует из Y — Z,2(Q X (0,T)) в Y с областью определения D(A) = {9:96 Y;Aíp G Y,ip\Bq = 0}. Пусть также / € У, и € Н = Z2(fi).
Как и ранее, заменяем задачу (42) эквивалентной системой для отыскания функций у> = y(t), V5* = V*(t) 11 управления и вида
í §£ + A(t)<p = f, fe (о, Г), (44)
1 (г>|/=0= «.
+ AW = (v - V), í 6 (0,T), (45)
¥>*|<=т=
«w-P4=O=0' (4G)
где .4*(í) - оператор, сопряженный к A(t).
В í}2.2 осушествляется построение разностного аналога системы (44) (4G), а также формулируется численный алгоритм решения этой системы на основе итерационных методов, описанных в главе 1.
Задачи ('14). (45) рассматриваются в обобщенной постановке. Аппроксимацию задачи по пространственным переменным выполним, используя ироекционно-сеточный алгоритм, на основе обобщенной постановки задачи. В этом случае, приходим к следующей разностной схеме для решення задачи (44) (4G):
( = « ttx(l).T) (47,
1 Л=о = ""
]Г,
1 . <р-"и = 0
(\ин - <р,ь = О, (49)
где 1рн — ¡р= (Л), н* - неизвестные векторы длины N,
- заданные векторы, .4Л(*). .4,Л(1), (.АЛ(1))Г - матрицы размера .V х N. Полуднскретная схема (47)-(49) аппроксимирует исходную задачу (2)-(4) со вторым порядком точности относительно 1г = на гладких решениях. Для апп])оксимацни задачи (47)-(49) по Ь воспользуемся разностной схемой (10)-(12).
Уравнение для управления в данном случае имеет вид (15), а для матрицы Ь справедлива теорема 1.3.1 (а также лемма 1.3.1, если коэффициенты оператора А не зависят от Более того, поскольку оператор .4(1) положительно определен, то матрица АНЦ) также будет положительно определенной, и для матрицы управления Ь имеет место следствие из теоремы 1.3.1. Когда а,- = 0, г = 1,2, матрица Лл(<) становится симметричной и справедлива
Лемма 2.2.1 Еслиа,- = 0, то минимальное и максимальное собственные значения матрицы управления (15) определяются по формулам
/<тт = « + (2А1пах) '1- ——Г-7Т ],
\1 + г Атах/2;
где Ашах, А„„„ - максимальное и минимальное собственные значения матрицы А''(().
В §2.3 рассмотрен класс итерационных алгоритмов для решения
(50)
задачи (47)-(49)(здесь к = 0, М - 1):
,„1-И0") _1М) , ,*-+ил . .МЛ
= и>
.к_ У___ т у
, +1/2 у = дЫШ^
= О,
(51)
симметричные положительно определенные матрицы.
Опишем подробнее алгоритмы усвоения, используемые для решения эволюционной параболической задачи об усвоении данных.
Метод I. Чебышевскин полуитерационный метод.
В данном случае Вj = С] = Е, а и определяются по формулам:
полином Чебышева (29). Скорость сходимости алгоритма (50)-(о2) в данном случае определяется коэффициентом подавления ошибки после к итераций, равным сд. = .
Метод II. Метод сопряженных градиентов.
В данном случае в алгоритме (50)—(52) следует положить В^ = С) = Е, а и определяются по формулам
/'тах "Ь /'пин1
=
«/+1 = 1/ <7л-ь = с^/^+ь
где
<ЫК;Н7Г-'И2- ./ > О,
] = 0.1,...
о,
.7=0
Здесь - auJ - ir"*0(;), = (Lp,?)*/2, а умножение матрицы L
на и осуществляется как последовательное решение задач (31) (33).
Скорость сходимости алгоритма (50) (52) в данном случае определяется коэффициентом подавления ошибки после к итераций, равным 4k — {Тк{в))-\ как и в методе I.
Метод III. Метод простой итерации.
Здесь Bj - Е, ¡ij = 0, <vj = -у = const > 0. Тогда алгоритм (50) (52) имеет вид:
I £--— = /*+1/2) jk = o,M-l
{ " ^U) = UJ
1 Г' " = 0, к = (Ш=т
/'niHvI^-Qü').
Необходимым и достаточным условием сходимости данного итерационного алгоритма является условие 0 < 7 < у ^ . Оптимальное значение параметра определяется по формуле
7 71>1>1 ^ 5
п + -{и таг
а коэффициент подавления ошибки при этом имеет вид:
ЧщА ' | Г*
2о 4- (''»„.X + )
Метод IV. (.4 + 4*)-метод.
Здесь мы предполагаем, что .4(7) = -4 не зависит от I И « = 0— .4 4- Л*,/},- = = Тогда алгоритм (50) (52) имеет вид:
2.---2±_п:— = /Н1/2 /,• = 0,М - 1
1 " = м'
I Г " ^ = 0.
ti'+I = и> + 7 (Л + A*)ip*mi.
Если Л - положительно определенная нормальная матрица, то необходимым и достаточным условием сходимости данного итерационного алгоритма является условие (38). Оптимальное значение параметра определяется по формуле
__2
7 — 7opt ~ /я \ >
( £ — <Т mai — (Г т;„)
а коэффициент подавления ошибки при зтом имеет вид:
&тпах тш (1"1>1 ~~ 9 !
°тах ('min
где
111111
А
Г , Т,
1 — —Л Ш 1 - ТА IM
"max = max
2
1 + ^А
•2 2 а min и max берутся по всем собственным значениям матрицы Л.
На основе сформулированных выше итерационных алгоритмов был проведен ряд экспериментов по численному решению проблемы об усвоении данных с целью восстановления функции начального условия в линейных параболических задачах. В §2.4 приведены некоторые результаты численных экспериментов в виде таблиц н графиков.
Сформулируем основные выводы, к которым приводят теоретические и экспериментальные результаты по исследованию итерационных алгоритмов.
Если параметр регуляризации п равен нулю, то сходимость методов I-III очень медленная, причем практически в редких случаях удается итерационные процессы довести до конца из-за неустойчивости счета при большом числе итераций. Введение же регулярнзатора с параметром п ускоряет сходимость алгоритмов: кроме того, это делает исходную схему устойчивой. В атом преимущество введения регулярнзатора. Недостатком же является тот факт, что при введении регулярнзатора в решение задачи вносится ошибка порядка 0(а). С уменьшением о погрешность уменьшается, но при зтом увеличивается число итераций алгоритмов.
Если а = 0, то итерационный метод IV в ряде случаен сходится быстрое других. Этот метод имеет высокую скорость сходимости.
И)
причем важной особенностью его является тот факт, что при увеличении длины временного интервала Т скорость сходимости метода увеличивается.
Третья глава посвящена проблеме об усвоении данных для эволюционной задачи с уравнением состояния, являющимся полулинейным параболическим уравнением. Рассматривается задача:
а*
+ + >) = /, t £ (О, Т)
(53)
И(=о — " S(9) = idíhS(<^), ft
где А - линейный оператор, определяемый выражением
2 д Ор 2 др Ар = - £ —a¡ j-— + L ai~¿T~ + ¿j=i Oxí 'dx¡ ¡=\ Os i
x = (-'• i, .J -j) 6 12 С RA ti ограниченная область с кусочно гладкой границей 0Q, функции arj. it¡, а предполагаются достаточно гладкими и удовлетворяющими условиям (43), функционал 5(<,з) задается формулой (2). Оператор .4 действует из Y = Li{Q. х (О,Г)) в Y с областью определения D{A) = {р : р £ Y\ Луз £ У, р/т = 0}. Пусть также / € V, и £ Я = L>{ti), F(tp) - нелинейный оператор, задаваемый формулой
Qe-вПМ, ^>0
0, ^<0,
<3,0./> > 0 - физические константы.
Задача (53) сводится к системе для отыскания функции <р = р* = р* п управления ч вида:
Ш + .тр + Г(р) = * € (0.Т) (54)
I "г|/=0 ~ ц>
{ -^+А<[))р' + (1:'(р)Ур' = /6(0,Г) (55)
1 у'!,=7 = 0,
™-Л=„=0, (56)
где -4*(^) оператор, сопряженный к А(1), а оператор Р есть производная Гато от операто1)а Р.
В §3.2 построен численный алгоритм решения задачи. Для аппроксимации задачи (54) (56) по пространственным переменным воспользуемся ироекцнонно-сеточньш методом.
Задачи (54), (55) мы будем рассматривать в обобщенной постановке. Так. обобщенную постановку для задачи (54) можно ((формулировать следующим образом. Назовем обобщенным решением задачи (54) функцию (p{â-,t), которая при всех t £ (0,Т) принадлежит энергетическому пространству IIл, обладает производной ^ £ L>(9. х (0,Т)) и удовлетворяет почти всюду на (О,Т) соотношениям
(|f m + b, t'#) + è À + №), Ф)(П = (/• </>)(i);
t=l V axk ) (57)
lvli=o. V') = (u,i>),
для всех V' € IIл- Здесь (•,■) - скалярное произведение в H. IIл -энергетическое пространство, соответствующее A(t), со скалярным произведением
п ij = 1 aii
и нормой [ip\ = [v?,^]1^2.
На основе проекционно-сеточного алгоритма задача (54)-(56) сводится к системе:
ф) + ь,V'/] + Е V',) + = (/, Л)
(58)
= О- «/',-) + </',] - £ </';) + (¿Ч^М,.. </',) = {Ф - гп, О,)
(59)
= О, / = ПЛ\ (СО)
Введем следующие функции <¿3/, — iph-ïph. = у<4, = "/,-»/,, где решение линейной задачи:
(л|/=0-"А.Ч/'|) = О, </'-) + [Я, Ъ] ~ Е V,) = & - V-.)
(?а|,=7-1'/) =0,
(онА - «.'•,) = 0, 1 = 1,ЛГ. Тогда задача для Г/Л имеет вид:
?>1ч) + [^Л- г,] + Е («^</>,) + + Л) = О (|>5Л||=0-Г'Л' = 0.
+ + = —С^Л, 0,0
(^/.кг'^) = о.
(ой,, - I*,-) = о, ¡ = 1^?.
(62) (63)
(64)
Ж-*'
(65)
(66)
Для её решения рассмотрим метол последовательных приближении:
/-('. + !). -(,.+1) . Ьл I/=!)-"/, V'/) = п,
оф;ых) Л j.r-^+1)-,, л / л .
• ''''j + ь; \ V',] - Е , 0.J +
+ ^"'М, + V'.) = w
(G8)
(о,7<"+1) - й(я+1,и i'i] = », «• = MV- (69)
В §3.3 для обоснования сходимости метода (67)-(69) исследована линейная задача (61)-(63) при фиксированных f,<p 6 У. Доказана
Теорема 3.3.1 Пусть f,<p Ç Y. Тогда при <* > 0 задача (61) (63) имеет единственное решение Tpht Щ, для которого справедлива оценка:
11*Уv + ll^llr + INI < r(\\f\\Y + « = ™nst > 0. (70)
Лемма 3.3.1 Для решения Tph зиг)а1ш (61 ) справедлива априорная оценка
Ш^-Г + >Ш\\ < ^11/Цу + ItoUI2. <71)
где fi = rnesÇî, а у - постоянная, определяющая эллиптичность исходного оператора А.
В §3.4 исследована сходимос ть метода последовательных приближений. Рассмотрим функцию Ф(.г) = х G (0, оо), определяющую нелинейный оператор F(ç).
Лемма 3.4.1 Для функции Ф и ее производных, Ф', Ф" справедливы оценки:
|Ф(.г)|<У, |Ф'(г)|<91(}, |Ф"(:г)| < q-iQ, (72)
где ch = «у, = max(e,,e2), = |Ф"({;)|, i = 1,2, =
<ГП=0^{-^-2х)}/Рх\ x £ (0, оо).
Лемма 3.4.2 Оператор F ограничен из Y в У , непрерывно дифференцируем. по Фретс и
№)l|v < Qy/fmMh \\Р'(р)ф\\у < r/,Q||«/'||v. v ip, ф £ У, (73)
где постоянная <j\ определена в (72).
2.1
Теорема 3.4.1 Пусть начальны: приближение. (pf \ wf лежит
а шаре радиуса П:
Тогда при Q < 1 /(сг/, + где <Ja = + ||^||у + ||йл||), на
каждой итерации метода (G7)-(G9) решение ¡¿J"1, {p'h{n\ uj"1 также остается, в :>том таре.
Теорема 3.4.2 Пусть начальное приближение ^З^1', tif лежит
в шаре радиуса R = r0 = + |И||у + 1|»а||- Тогда при Q < Q0, где
Qo = [2
' ((/l + '/<?2ro)] 'i метод последовательных приближений (67)-(69) сходится.,
Параг]>аф 3.5 посвящен численному решению задачи об усвоении данных. На каждом шаге метода последовательных приближений (67) -(68) необходимо решать линейную задачу вида:
' ^ + Ah(t)<p=f.
(74)
(75)
I <Р%=Т=
<»'-Л=о=о- (7С)
где = y'(f)- '•?* = ■p'U)- 11 ~ неизвестные векторы длины N, Ah(t), .4'" мат1)ицы размера .Y, / = f(t). у — <j(t) - заданные вектор-функцпи.
Для решения системы (74)-(76) использовались итерационные методы, разработанные в главе 1. Один нз таких методов (после аппроксимации задачи по временной переменной на основе схем Кранка-Николсон) формулируется следующим образом:
ЛЫ =
■>\
.-•Нил _ + 1.1/../•> 1.1/1
у г I Л* 4 ^ " 2 = —V +/7 ' •
.•мл
= о,
времени, А: = О, Л/ — 1, т - Т/Л/.
Таким образом, вычислительный алгоритм состоял из внешнего итерационного процесса (С7)-(69), на каждом шаге которого применялся внутренний итерационный процесс, вида (77) (79).
Сформулируем основные выводы, к которым приводят результаты численных экспериментов. Метод последовательных приближении (07)-(09), использованный для решения нелинейной системы (04)-(6б). сходится достаточно быстро - во всех рассматриваемых случаях требовалось '2-3 итерации для внешнего итерационного процесса. Что касается внутреннего итерационного процесса, то его сходимость определяется величиной параметра регуляризации г¥. Если 0.05 < о < 1. то количество итераций невелико, в этом преимущество введения ре-гулярнзатора. Недостатком же является тот факт, что при введении регуляризатора в решение задачи вносится погрешность. С уменьшением о погрешность уменьшаетс я, но при этом число внутренних итераций возрастает.
Результаты по итерационным методам, полученные в главах 1-3. могут быть распространены и на другие классы задач. Так в четвертой главе рассматривается обратная задача для уравнения переноса в плоском слое как вариационная задача об усвоении данных. В §1.1 приведены известные результаты о разрешимости данной задачи.
Рассмотрим задачу переноса в плоском слое г € (О,//) в виде
06 Ь(з)
(80)
й(//,0) = <>,(//) при 0 < // < 1, (/)(//.. Я) = ч'а(//) при -!<//<(),
(81) (82)
где 0 < с < Я, -1 < // < 1, О < Ц;) < bi = const < 1,Я < оо, /, I). г i, !'■> па данные функции, а ф = ф[11,г) неизвестная функция распределения. Введем в рассмотрение следующие области:
-V ={(/<•--): ц £ ( — 1,1), с £ (О, Я)},
;):(,/£ (0,1), л =0) U (// 6 (-1,0). г = Я)},
Г+ ={(/!,-):(//6 (-1,0), г = 0) U (/16(0,1). ~" = Я)},
где Г_ ~ граница влетающего потока нейтронов, а Г+ - граница вылетающего потока. Введем также пространства Н\ со скалярными произведениями и нормами:
) 11
(ф. f.)tj = (ф, ф) =11 vtdtidz, I ни, = |Н1 = (ф,ф),/а,
-1
0),;. = (ф, I'') + , - (|1^|2 + 11^Ц2)1/2 ,
где ¡¡дф/дг £ £,'•> - обобщенная производная по направлению от ф £ Ь?.
Пусть Ь-2 - ~ пространство функций вида 7(_)(/<) = ^[^(р), 7(-)00) (первая компонента определена для /< > 0, а вторая для /г < 0) с нормой
ll7Hlk- =
1/2
а пространство пространство функций 7(+)(/() = ^{^(/0,7(+\(/')) (первая компонента задана при /4 < 0, вторая при р > 0) с нормой
I 1/2
Пусть г - вектор-функция г = ("1 ,?>■>), где С], с-2 граничные функции из (81) и (82). Предположим, что (функция г неизвестна ('"функция управления") и задана (функция " наблюдений" о,,/,., £ ¿ад наГ+. Тогда задача об усвоении данных может быть ( сформулирована следующим образом: для заданных / £ Т^(Л'), ф„1,Л £ /-■_> + найти ф £ Я.]. £ Ь-2-тикие, что
Аф = } в Л'.
ф = г на Г
(83)
inf J(v, ф),
de
J(„, о) = пЦ,.||1., _ + I\Ф - Фоь,||I2i+, « = const > 0. [анная задача эквивалентна системе уравнений для нахождения ф Е ¡I q € Hi v € Li,.:
Aф = f в Л\ ф — V на Г_ (84)
A'q - 0 в .Y, q — ф- Фои на Г+ (85)
т> + <¡ = 0 на Г_, (86)
де А* - оператор, сопряженный к А. Пусть v = («i, w2), ф0Ьз — тогла система (84)- (86) имеет вид:
i
+ o(,i, z) - ^ }ф(»\ z) dt¿ = /(/'. г),
-i (87)
ó = г, (/i), г = 0, /< > 0; ф = vi(/t), : = Я, ft < 0.
-i
(88)
<7 = °(/Í,0) - ФоЬв(ч), /'<0;
q = o(/í, Я) - z = Я, /г > 0,
««•i (/') + <?(/', 0) =0, /i > 0; ш>2(//) + г/(//, Я) = 0, < 0. (89) Справедливо следующее утверждение о разрешимости системы.
Гемма 4.1.1 Пусть а > 0. / 6 1/2, óobs € 1-2 ,+ • Тогда задача (84) 86) имеет единственное решение Ф 6 Н\, q £ Я.], <> £ ¿2,-, п спра-едлива оценка:
IMI//J + Il9ll».j + I'll/,- < ^(ll/IU, + IMkJ- ' = ™nst > 0. (90)
В íj 1.2 разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы реше-ия поставленной задачи, получены оценки скорости сходимости ал-оритмов.
Рассмотрим следующий класс итерационных алгоритмов для реше-ня задачи (84) (8G):
Афк = / в Л', ф1 = гк на Г_
(91)
А*II1 = 0 в Л', <•/' = фк - ф0,„ на Г+,
(92)
= г1 - <Ч.+1Вк(т,к + чк) + - на Г_, (93)
где фк, цк, 1>к - итерационные последовательности, , - итерационные параметры, а В^, Си : ¿2,- -> ^2,- ~ заданные операторы. Введем обозначения:
и = (1 -«да+«),
р = 2/(о + 7|), то;1( = 2/(2а + 7,),
б = 1 + 2а/7,,
П—г^^б-созиц-тг)]-1,
(94)
(95)
(96)
(97)
«А-Н =
' ор( 1
к = О
4 П(9)
; =
о,
л- = о
(98)
где нц. = (2/.- — 1)/2«. к = 1, а Т* - полиномы Чебышева первого рода степени к. Пусть также
с а- =
(99)
0. л = 0
Яд, = п + ||>/|г+ Ц + - с,, к= 0,1..........(100)
где = ас1' + а является решением следующей задачи
.-!;/=() в Л'; »/ = ^ на Г.. (101)
Теорема 4.2.1 (1) Если ак = т, Вь = Е (Е - единичный оператор), ftk =0, то достаточным условием сходимости итерационного процесса (91)-(93) является условие 0 < г < р. Оптимальное значение параметра т = тот1 определяется из (95), и справедлива оценка
\\Ф ~ фк\\щ < С1СЬ ||<7 - 9*11/1« < сгеь ||» - i>4|U,._ < c,et) (102)
где ek = I/O1', в задаётся формулой (96), а постоянные с},с2,сз не зависят от номера итерации и функций ф,фк,д,дк,г>,гк, к > 0. (И) Если Вк = Е, ftí = 0, «t = тк, где параметр тк определен формулой (97) и циклически повторяется с периодом s, то в итерационном процессе (91)-(93) ошибка оптимальным образом подавляется после каждого цикла итераций длиной s. После k = Is итераций алгоритма для погрешности справедлива оценка (102), где ek = (Ts(0))-'.
(III) Если Bk = Ck — E и cvjt+ь Дь+i определяются no формулам (98), mo в алгоритме (91)-(93) ошибка оптимальным образом подавляется на каждой итерации и справедлива оценка (102), при zk = (Tk(0))~l.
(IV) Если Bk = Ск = Е, аш = 1/рнь Рк+1 = ек/рк+\ и ек, рк+\ определяются по формулам (99), (100), то итерационный процесс (91)-(93) сходится и оценка (102) справедлива при ек = (Тк(в))~1.
На основе сформулированных выше итерационных алгоритмов была проведена серия численных экспериментов с целью восстановлення граничных функции v\(¡i), 0-2(11) в задаче (87)-(89). Итерационный процесс (91)-(93) для решения задачи (87)-(89) имеет вид:
к ! + фк(ц. :) - фк(»', z) d¡¿ = f(ii, z),
-i (103)
ók = vk(it), r = 0, // > 0; фк = t^/i), 2 = Я, ft <0.
+ qu(n, =) - ^/<?V, z)d/i' = 0. -1
(104)
= 2=0, /х < 0;
с1к = ок(/1,Н)-ф1Ье(11), z = H, // > 0,
"í+1(/0 = "?(/') - ak+iBk(av\(tl) + qk(fi,0))+ CtO'í/«>0,
'4+'(/<) = »'К/О -ажД(«г*(,|)+<,*(//,#))+
/3fc+,Ct(rí -4-1), /( > O,
где € (-1,1), = € (0,Я).
Рассматривались четыре итерационных метода: метод простой итерации (I), чебышевскни ¿-циклический однопараметрическнй метод (II), чебышевскни двухпараметрнчсскнй метод (III), н метод сопряженных градиентов (IV).
На основе метода дискретных ординат каждое из уравнений (103), (104) было заменено их конечно-разностной аппроксимацией. Для решения системы линейных алгебраических уравнений, которые возникают при реализации процесса (103)-(105), использовался Bi-CGSTAB метод.
В §4.3 представлены результаты численных экспериментов. Проведено сравнение рассмотренных итерационных алгоритмов для различных значений граничных функций. Исследована скорость сходимости алгоритмов в зависимости от параметра регуляризации и от размера сетки разбиения рассматриваемой области.
Отметим следующие основные выводы, полученные в результате численных экспериментов для рассматриваемой задачи.
Если параметр регуляризации а стремится к нулю, скорость сходимости методов I-IV очень медленная, а из-за вычислительной неустойчивости, при большом количестве итераций, итерационные процессы редко удается довести до конца. Введение регулярпзирующего параметра а ускоряет сходимость алгоритмов, но вносит ошибку в решение задачи. Наибольшее значение ошибки наблюдалось, как правило, при малых значениях |/¡|. Ошибка уменьшается с уменьшением а. но, в тоже время, количество итераций возрастает.
В заключении сформулированы следующие
Основные результаты работы
• Исследован разностный аналог линейной эволюционной задачи об усвоении данных с целью восстановления функции начального условия. Получены оценки для границ спектра матрицы управления. Доказана устойчивость разностной задачи оптимального управления.
• Разработаны н обоснованы итерационные алгоритмы решения разностных задач об усвоении данных с целью восстановления функции начального условия. Проведена оптимизация итерационных алгоритмов на основе свойств спектра матрицы управления.
• Проведено численное исследование итерационных алгоритмов решения конкретных задач об усвоении данных, среди которых задача о восстановлении начальных данных в линейной и полулинейной параболических задачах, проблема восстановления граничных функций в задаче переноса частиц.
Публикации по теме диссертации
1. Пармузин Е.И., Шутяев В.П. Численное исследование итерационных методов решения задачи об усвоении данных. - Деп. в ВИНИТИ 27.11.95, No. 3121-В95.
2. Пармузин Е.И., Шутяев В.П. О численных алгоритмах решения одной задачи об усвоении данных // ЖВМ и МФ, 1997, т.37, N 7, с. 81G-827.
3. Agoshkov V.l. and Bardos С., Parmuzin E.I., Shutyaev V.P. Numerical analysis of iterative algorithms for an inverse boundary transport problem. - Centre de Mathématiques et Leurs Application, ENS CACHAN. France. Preprint No. 9812, 1998.
4. Пармузин Е.И. Чнсленное исследование итерационных алгоритмов решения обратной задачи переноса в плоском слое. Сб.: Обратные и некорретно поставленные задачи, МГУ, 1999, с.52.
5. Pariuuzin E.I., Shutyaev V.P. Numerical analysis of iterative methods for solving evolution data assimilation problems. // Russ. J. Nuiner. Anal. Math. Modelling, Vol. 14, No. 3, 1999, pp. 265-274.
Введение,.
Глава 1 Численные методы решения проблемы усвоения данных (основы теории)
1.1 Постановка задачи.
1.2 Разностная формулировка задачи
1.3 Свойства матрицы управ.,тения.
1.4 Устойчивость разностной схемы.
1.5 Итерационные методы решения задачи об усвоении данных
Глава 2 Численное решение проблемы усвоения данных в линейных параболических задачах
2.1 Постановка задачи
2.2 Разностный аналог и его свойства.
2.3 Итерационные алгоритмы решения задачи.
2.4 Результаты численных экспериментов.
Глава 3 Численное исследование проблемы усвоения данных для полулинейного уравнения теплопроводности
3.1 Постановка задачи.
3.2 Численный алгоритм.
3.3 Свойства линейной задачи.
3.4 Сходимость метода последовательных приближений
3.5 Численное решение задачи об усвоении данных
Глава 4 Численное решение некоторых обратных задач как задач об усвоении данных
4.1 Постановка обратной задачи для уравнения переноса как задачи об усвоении данных.
4.2 Итерационные алгоритмы для решения задачи
4.3 Результаты численных экспериментов. Основные выводы
В настоящее время в связи с исследованиями глобальных изменений на планете Земля возрастает интерес к задачам усвоения и обработки данных наблюдений с целью ретроспективного анализа в различных отраслях знаний. К числу проблем, решение которых не может обойтись без четырехмерного анализа данных наблюдений можно отнести проблемы глобальных изменений климата нашей планеты, состояния и защиты от загрязнений окружающей среды, сохранение биосферы в условиях резкого увеличения народонаселения, интенсивного развития промышленного производства и многие другие. Все это потребовало комплексного изучения задач идентификации для эволюционных процессов.
В последние годы возникли новые постановки проблем, требующие детального изучения с применением теории сопряженных уравнений. В частности, следует отметить проблему анализа полей данных наблюдений, с помощью которых изучаются течения Мирового Океана, идет уточнение параметров океанических моделей, а также исправление самих наблюдаемых полей. Также стоит отметить бурно развивающуюся в последнее время отрасль человеческой деятельности - наблюдение Земли со спутников. В этом случае большое значение приобретает решение проблемы обработки данных, получаемых со спутников. Вариационная формулировка этой задачи может быть сформулирована следующим образом: введя функцию стоимости, измеряющую расхождение между наблюдаемыми величинами и результатами моделирования, найти неизвестные входные параметры модели, для которых функция стоимости принимает наименьшее возможное значение. Обработка получаемых данных является, таким образом, задачей огромной важности и в этом случае, с помощью методов усвоения молено превратить их в полезную информацию, что в конечном счете позволяет производить уточнения и самих наблюдаемых данных. Поэтому весьма актуальным является развитие методов исследования и численного решения задач вариационного усвоения данных.
Математические постановки задач об усвоении данных могут быть сформулированы как задачи оптимального управления в терминах систем уравнений состояния и сопряженных к ним. Начиная с работ Р.Беллмана [7], Л.С.Понтрягина [91]. Н.Н.Красовского [22]. Ж.-Л.Лионса [30], Р.Гловинского [73], А.Балакришнана [6], Г.И.Марчука
33]. Ю.С. Осипова [88]. А.Б. Куржанского [25], постановки и изучение таких задач с использованием теории сопряжённых уравнений привлекают внимание многих исследователей. Наибольшее развитие эти методы получили в задачах ядерной энергетики, физики атмосферы и океана, охраны окружающей среды, и др. (см. Г.И.Мар-чук [32, 35, 36], [38]. В.В.Пененко и Н.Н.Образцов [90]. В.В.Пененко и Г.И.Марчук [84], Г.Р.Контарев [77], Дж.Льюис и Дж.Дербер [80], И.М.Навон[97], Ф.Диме [68], Ж.-Л.Лионс [81, 82], П.Куртье и О.Та-лагран [67]. А.Лоренц [83], В.И.Агошков [3. 57, 56], Г.И.Марчук и В.И.Агошков [55, 41], Г.И.Марчук и В.Б.Залесный [85], В.М.Ипато-ва [20], В.Б.Залесный и Н.А.Галкин [21], Г.И.Марчук и В.П.Шутя-ев [86], В.Б.Залесный и М.Венцель [9]).
Как известно [55], задачи усвоения данных в некотором смысле эквивалентны некоректно поставленным задачам и поэтому, требуют привлечения методов регуляризации, предложенных в работах А.Н. Тихонова, М.М.Лаврентьева, Ж.-Л.Лионса и др.
Касаясь разрешимости задач оптимального управления, следует отметить результаты, полученные Ж.-Л. Лионсом [30] для линейных задач оптимального управления. Другие подходы к исследованию подобных задач рассматривались в работах К. Бардоса и др. [63], А.И. Егорова [19]. А.В. Фурсикова [71, 72] и др. Для нелинейных задач аналогичные результаты были получены в работах В.И. Агошкова[3, 4, 57], В.И.Агошкова и Г.И. Марчука [55], В.М. Ипатовой [20]. В.П. Шутяева [92].
Один из подходов к исследованию разрешимости задач об усвоении данных заключается в получении так называемого оператора управления [3. 92]. Как оказывается, знание свойств этого оператора, в особенности его спектральных свойств, важно для исследования разрешимое задачи управления, а также для разработки и обоснования численных алгоритмов ее решения. Наряду с изучением структуры спектра данного оператора важно получить оценки границ спектра, так как их знание позволяет оптимизировать численные алгоритмы решения задачи оптимального управления. В частности, некоторые из таких оценок для непрерывных задач получены в работах Агошко-ва В.И. [3, 57]. Шутяева В.П. [52. 94].
Как отмечалось, знание свойств спектра оператора управления важно для разработки, обоснования и оптимизации численных алгоритмов решения задач оптимального управления. Классические методы для решения подобных задач были разработаны в работах H.H. Красов-ского, A M. Летова. II.A. Крылова и Ф.Л. Черноусько, Р.П. Федо-ренко, Евтушенко Ю.Г. и др. Ряд новых итерационных алгоритмов решения задач усвоения данных предложен в работах В.И. Агошкова и Г.И. Марчука [55], Г.И.Марчука и В.Б. Залесного [85], Г.И.Марчука и В.П.Шутяева [86], В.П. Шутяева [93]-[94].
Наряду с исследованием непрерывной задачи важное значение имеет исследование разностных аналогов вариационной задачи об усвоении данных. Отождествляя в некотором базисе оператор задачи с его матрицей, можно получить разностный аналог уравнения для управления. Свойства полученной "матрицы управления" оказываются подобными свойствам оператора соответствующей непрерывной задачи. При некоторых условиях границы спектра матрицы управления могут быть точно вычислены, что позволяет получить условия сходимости итерационных методов и оценить их скорость сходимости.
В связи с этим актуальным является изучение разностных задач вариационного усвоения данных, исследование спектра матриц управления и анализ на основе их свойств численных алгоритмов решения задач.
Цель работы - исследование разностных аналогов вариационных задач об усвоении данных, разработка и обоснование итерационных методов их решения, численный анализ алгоритмов.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Далее кратко рассмотрим содержание работы по главам.
Заключение
В диссертации проведено исследование разностных аналогов вариационных задач об усвоении данных, разработаны и обоснованы численные алгоритмы их решения. Основные результаты состоят в следующем
• Исследован разностный аналог линейной эволюционной задачи об усвоении данных с целью восстановления функции начального условия. Получены оценки для границ спектра матрицы управления. Доказана устойчивость разностной задачи оптимального управления.
• Разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы решения разностных задач об усвоении данных с целью восстановления функции начального условия. Проведена оптимизация итерационных алгоритмов на основе свойств спектра матрицы управления.
• Проведено численное исследование итерационных алгоритмов решения конкретных задач об усвоении данных, среди которых задача о восстановлении начальных данных в линейной и полулинейной параболических задачах, проблема восстановления граничных функций в задаче переноса частиц.
Разработанные в диссертационной работе итерационные алгоритмы, основанные на одновременном использовании основных и сопряженных уравнений, могут быть применены для решения практических задач об усвоении данных с целью восстановления функций начального условия или граничных функций.
1. Агошков В.И. Операторы отражения и методы разделения области в задачах теории переноса // Численные методы и математическое моделирование. 1987. т.2. с. 325-347.
2. Агошков В.И. Обобщенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. М.: Наука. 1988.
3. Агошков В. И. Разрешимость одного класса задач нечувствительного оптимального управления и применение методов возмущений // Research Report DXM 91/2. М.: ИВМ РАН, 1991.
4. Агошков В.И., ИпатоваВ.М. О разрешимости задачи нечувствительного управления // Дифф. уравнения, т.30. №3, 1994. с. 941944.
5. Амбарпумян В.А. Рассеяние и поглощение света в планетарных атмосферах // Уч. записки ЛГУ. 1941. т.82, с 141.
6. Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М.: Мир. 1974.
7. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.
8. Вайникко Г.М. Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректно поставленных задачах. М.: Наука. 1986.
9. Венцель М., Залесный В.Б. Усвоение данных в одномерной модели конвекцирт-диффузии тепла в океане // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1996. Т.32. №5. С. 613-629.
10. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Труды матем. ин-та АН СССР. т.61, 1961.
11. Воеводин В.В. Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука. 1984.
12. Гельфанд И.М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи Математических Наук. (1959). т. XIV, вып. 2(86), с. 87-158.
13. Гермогенова Т.А. Об обратных задачах атмосферной оптики // ДАН СССР. 1985. Т.285, №5. С.1091-1096.
14. Годунов С.К. Рябенький B.C. Спектральные признаки устойчивости краевых задач для несамосопряженных разностных уравнений // Успехи матем. наук. 1963. Т. 18. Вып. 3. С. 3-14.
15. Денисов А.М. О единственности решения некоторых обратных задач для нелинейных моделей процессов динамики сорбции // Условно-корректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1992. С. 73-84.
16. Денисов А.М., Туйкина С.Р. О приближенном решении одной обратной задачи динамики сорбции // Вестн. МГУ. Сер.15. Вы-числ. мат. и киберн. 1983. №3. С.27-31.
17. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизашш. М.: Наука. 1982.
18. Евтушенко Ю.Г. Засухина Е.С. Зубов В.И. О численном подходе к оптимизации решения задачи Бюргерса с помошью граничных условий // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т.2, №12, с.1449-1458.
19. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми процессами. -М.: Наука, 1978.
20. Ипатова В.М. Задача усвоения данных для модели обшей циркуляции океана в квазигеострофическом приближении. М. ИВМ РАН. 1992,- Деп. в ВИНИТИ 17.07.92, №2333-1392.
21. Залесный В.Б., Галкин H.A. Инициализация поля температуры в модели термодинамики Аравийского моря // Океанология. 1995, т.35. №4. с. 514-524.
22. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1969.
23. Крылов H.A. Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. Т. 2. №6. С. 1132-1139.
24. Кряжимский A.B., Максимов В.И. Осипов Ю.С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. №3. С. 291-301.
25. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука. 1977.
26. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: ВИНИТИ, 1994.
27. Лебедев В.И. Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе // ЖВМ и МФ. 1971. Т. 11. №2. С. 425.
28. Лебедев В.И. Агошков В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. М.: ОВМ АН СССР, 1983.
29. Летов A.M. Динамика полета и управления. М.: Наука, 1969.
30. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир. 1972.
31. Максимов В.И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем // Дифф. уравнения. 1990. Т. 26, Хо. 12. С. 2059-2067.
32. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Атом-издат, 1961.
33. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач // Докл. АН СССР. 1964. Т.156. No. 3. С. 503-506.
34. Марчук Г.И. Уравнения для ценности информации с метеорологических спутников и постановка обратных задач // Космические исследования. 1964. т.2. вып. 3, стр. 462-477.
35. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1974.
36. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.
37. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.
38. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992.
39. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов.~ М.: Атомиздат, 1981.
40. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука. 1981.
41. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Наука, 1993.
42. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М., Мир, 1981.
43. Пармузин E.H. Шутяев В.П. Численное исследование итерационных методов решения задачи об усвоении данных. Деп. в ВИНИТИ 27.11.95, No. 3121-В95.
44. Пармузин Е.И. Шутяев В.П. Численное решение проблемы об усвоении данных в сингулярно возмущенной эволюционной задаче. Деп. в ВИНИТИ 27.12.95, Хо. 3494-В95.
45. Пармузин Е.И., Шутяев В.П. О численных алгоритмах решения одной задачи об усвоении данных // ЖВМ и МФ, 1997. т.37, N 7. с. 816-827.
46. Прилепко А.Н. Орловский Д.Г., Васин И.А. Обратные задачи в математической физике // Некорректно поставленные задачи в естественных науках. М.: Мир. 1992.
47. Рябенький B.C. Необходимые и достаточные условия хорошей обусловленности краевых задач для систем обыкновенных разностных уравнений // ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. N 2. С. 242-255.
48. Сивергина И.Ф. Обратимость и наблюдаемость эволюционных систем // ДАН. 1996. т. 351. No. 3. с. 304-308.
49. Сушкевич Т.А. Стрелков С.А., Иолтуховский А.А. Метод характеристик в задачах атмосферной оптики. М.: Наука, 1990
50. Тихонов А.Н. Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.
51. Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. Москва. Мир. 1985.
52. Шутяев В.П. Некоторые свойства оператора управления в задаче об усвоении данных и алгоритмы её решения // Дифф. уравнения. 1995, т. 31. No. 12, с.2063-2076.
53. Шутяев В.П. Об усвоении данных в шкале гильбертовых пространств для квазилинейных эволюционных задач // Дифф. уравнения. 1998. Т.-34. No. 3, с. 383-389.
54. Щеглов А.Ю. Об устойчивости метода получения квазирешения одной обратной задачи для нелинейного гиперболического уравнения. В сб.: Обратные и некорректно поставленные задачи. -М.: МГУ, 1999. с. 70.
55. Agoshkov V.I. Marchuk G.I. On solvability and numerical solution of data assimilation problems // Russ. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1993. V. 8. No. 1. P. 1-16.
56. Agoshkov V.I. Control theory approaches in data assimilation processes. inverse problems and hydrodynamics // Computer Mathematics and its Applications. 1994. V.l. P.21.
57. Agoshkov V.I. Investigation of a class of inverse problems on optimal boundaries // Computational Science for the 21st Century. New York: John Wiley. 1997. P.589-596.
58. Agoshkov V.I. Boundary Value Problems for Transport Equations. -Basel: Birkhauser. 1998.
59. Agoshkov V.I. and Bardos C. Inverse radiative transfer problems: the problem on boundary function.- Centre de Mathematiques et Leurs Application. ENS CACHAX. France. Preprint Xo. 9801. 1998.
60. Agoshkov V.I. and Bardos C. Parmuzin E.I. Shutyaev V.P. Numerical analysis of iterative algorithms for an inverse boundary transport problem. Centre de Mathematiques et Leurs Application. ENS CACHAN, France, Preprint No. 9812. 1998.
61. Anikonov Yu. E. New methods and results in multidimensional inverse problems for kinetic equations, in: Ill-Posed Problems in Natural Sciences. Ed. by A.N. Tikhonov. Moscow. Russia VSP. Netherlands, 1992.
62. Bardos C., Caflish R. and Nicolaenko B. Different aspects of the Milne problem // Transp. Theory and Statist. Physics. T. 16. 1987. 561-585.
63. Bardos C. Lebeau G., Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization of waves from the boundary // SIAM J. Cont. Optim., 1992. V.30. pp. 1024-1065.
64. Carslaw H.S., Jaeger J.C. Conduction of heat in solids. Oxford: Claderon Press. 1947.
65. Case K.M. Inverse problem in transport theory // The Physics of Fluids. T. 16, 1973. 1607-1611.
66. Chandrasekhar S. Radiative Transfer. Claderon Press. 1950.
67. Courtier P., Talagrand O. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equation. Part II: Numerical results // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1987. V. 113. 1329-1347.
68. Le Dimet F.X. A general formalism of variational analysis. CIMMS Rept. Norman. 1982. OIv 73-91. V. 22. P. 1-34.
69. Le Dimet F.X., Talagrand O. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological observations: theoretical aspects // Tellus A. 1986. V. 38. P. 97-110.
70. Freund R.W., Golub G.H. N.M. Nachtigal. Iterative solution of linear systems // Acta Numerica. 1992. pp. 57-100.
71. Fursikov A.V. Lagrange principle for problems of optimal control of ill-posed or singular distributed system // J. Math. Pures et AppL, V.7i. 1992. 139-194.
72. Fursikov A.V. Imanuilov O.Yu. Controllability of Evolution Equations // Lecture Notes. V.34.- Seoul: Seoul Nat. Univ. 1996.
73. Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems.- New York: Springer, 1984.
74. Glowinski R. Lions J.L. Exact and approximate controllability for distributed parameter systems // Acta Numerica. 1994. V.l. P. 269.
75. Gutknecht M.H. Variants of BiCGSTAB for matrices with complex spectrum. Tech. Report 91-14, IPS ETH. Zurich. Switzerland. 1991.
76. Hunt K.K. and McCormick N.J. Numerical test of an inverse method for estimating single-scattering parameters from pulsed multiple-scattering experiments // J. Opt. Soc. Am. A., T. 2. 1985, 11-25.
77. Kontarev G.R. The adjoint equation technique applied to meteorological problems: Techn. Rept. No. 21. European Centre for Medium Range Weather Forecasts. 1980.
78. Kurzhanskii A.B. Khapalov A.Yu. An observation theory for distributed-parameter systems // J. Math. Syst. Estimât. Control. 1991. V.l. No. 4. P.389-440
79. Lattes R. Lions J.-L. Methode de Quasi-Reversibilité et Applications- Dunod. 1967.
80. Lewis J., Derber J. The use of adjoint equations to solve a variational adjustment problem with advective constraints // Tellus A. 1985. "V. 37. P. 309-322.
81. Lions J.-L. Sur les sentinelles des systems distribues. Le cas des conditions initial incompletes // C.r. Acad. Sei. Paris. 1988. T.307. Ser. I. P.819-823.
82. Lions J.-L. El planeta tierra. Madrid: Espasa, 1990.
83. Lorenc A.C. Optimal nonlinear objective analysis // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1988. V. 114. P.205-210.
84. Marchuk G.I. Zalesny V.B. A numerical technique for geophysical data assimilation problem using Pontryagin's principle and splitting-up method // Russian J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1993. V. 8. No. 4. p. 311-326.
85. Marchuk G.I. Shutyaev V.P. Iteration methods for solving a data assimilation problem //Russ. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 1994. V. 9. No. 3. P.265-279.
86. Marchuk G.I. and Agoshkov V.I., Reflection operators and contemporary applications to radiative transfer // Appl. Mathematics and Computation. T.80. 1995, 1-19.
87. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse Problem of Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. London: Gordon and Breach. 1995.
88. Parmuzin E.I., Shutyaev V.P. Numerical analysis of iterative methods for solving evolution data assimilation problems // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, Vol. 14, No. 3. 1999. pp. 265-274.
89. Penenko V. Obraztsov N.N. A variational initialization method for the fields of the meteorological elements // Meteorol. Gidrol. (English transl.). 1976. V. 11. P. 1-11.
90. Pontryagin L.S. Boltyanskii V.G., Gamkrelidze R. V. Mischenko E. F. The mathematical theory of optimal processes. New York: Wiley Interscience. 1962.
91. Shutyaev V.P. On a class of insensitive control problems //Control and Cybernetics. 1994. V. 23. No 1/2. P.257-266.
92. Shutyaev V.P. Control operators and iterative algorithms in problems of reconstructing source functions and initial data // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. Vol.14, No.2. 1999. pp. 137-176.
93. Shutyaev V.P. Iteration methods for evolution data assimilation problem // Integral Methods in Science and Engineering, v.2. Pitman Research Notes in Maths. Series No 375. Harlow: Longman. 1997, pp. 196-199.
94. Sleijpen G.L.G., Fokkema D.R. Bi-CGSTAB for linear equation involving unsymmetric matrices with complex spectrum. Tech. Report 772, University of Utrecht, Department of Mathematics, Utrecht, The Netherlands, 1993.
95. H. van der Vorst, Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsvmmetric linear systems // SIAM J. Sci. Statist. Comput. v. 13. 1992. 631-644.
96. Zou X., Navon I.M. Le Dimet F.X. Incomplete observations and control of gravity waves in variational data assimilation // Tellus A. 1992. V. 44A. P.273-296.
