Исследование и приближенные методы решения негладких полукоэрцитивных вариационных неравенств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА 1. Вариационная задача Мосолова и Мясни-кова с трением на границе по закону Кулона.

§1. Исследование экстремальной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона

1.1 Постановка вариационной и вариационной полусглаженной задач.

1.2 Краевая постановка полусглаженной задачи.

1.3 О существовании решения полусглаженной задачи.

1.4 О единственности решения полусглаженной задачи.

1.5 Оценка близости решений исходной и полусглаженной задач.). :у. v.

§2. Построение устойчивого метода решения.

2.1 О сильной сходимости минимизирующей последовательности.

2.2 Метод конечных элементов.

2.3 Метод итеративной ргох-регуляризации.

2.4 Оценка погрешности конечноэлементной аппроксимации

§3. Алгоритмы оптимизации.

3.1 Модифицированный метод Ньютона.

3.2 Модифицированный метод Ньютона с регулировкой шага

3.3 Метод поточечной релаксации.

ГЛАВА 2. Полукоэрцитивная задача Синьорини с неоднородным краевым условием

§1. Исследование полукоэрцитивной задачи Синьорини с неоднородным краевым условием.

1.1 Переход к задаче с однородным условием.

1.2 Краевая постановка задачи.

1.3 Существование и единственность решения конечномерной задачи

§2. Построение устойчивого метода решения.

2.1 Метод итеративной ргох-регуляризации.

2.2 Построение минимизирующей последовательности.

2.3 Оценка погрешности конечноэлементной аппроксимации.

2.4 Линейная скорость сходимости метода итеративной регуляризации

Актуальность темы. Многие линейные задачи математической физики допускают естественную вариационную постановку. При этом исходная краевая задача сводится к отысканию минимума некоторого выпуклого функционала на линейном множестве. Переход к вариационной постановке позволяет ослабить ограничения на гладкость искомого решения, при этом естественным образом вводится понятие обобщенного (слабого) решения. В последние десятилетия интенсивно развиваются и вариационные подходы для некоторых нелинейных краевых задач, таких, как задача об упруго-пластическом кручении цилиндрического стержня [1, 22, 59, 60], контактная задача теории упругости (как с трением, так и без него) [10, 16, 34, 48, 52, 54, 61, 63, 64], задача Бингама [53, 66] и т.д. Соответствующие вариационные задачи состоят в минимизации выпуклого функционала на выпуклом замкнутом множестве и, тем самым, являются задачами на условный экстремум. Они могут быть представлены и в эквивалентной форме вариационных неравенств. Исследования по вариационным неравенствам первоначально были проведены в школе Ж.Л. Лионса [12, 14, 22, 23, 52], а в настоящее время широко и активно разрабатываются специалистами по дифференциальным уравнениям, механике сплошной среды, математической экономике. Отметим в этой связи работы отечественных исследователей: П.П. Мосолова [31], П.П. Мосолова и В.П. Мясникова [30], В.Л. Бердичевского [4], П.Н. Уральцевой [46], Н.Н. Уральцевой и Т.Н. Рожковской [47], Б.Д. Аннина и Г.П. Черепанова [1], A.M. Хлуднева [48, 57, 58], А.В. Лапина [20] и др.

Для анализа и решения вариационных задач широко используется аппарат выпуклого анализа и математического программирования, развитый в работах Р. Рокафеллара [40, 63, 64] , Б.Н. Пшеничного [38] , Б.Н. Пшеничного и Ю.М. Данилина [39], И. Экланда и Р. Темама [49], Ж.-П. Обена и И. Экланда [36], Ф.П. Васильева [8, 9], Ж. Сеа [43], А.С. Антипина [2, 3], А.А. Каплана и К. Гроссмана [13], Е.А. Нурминского [35] и др.

Исследования по численному анализу вариационных неравенств осуществляется, как правило, на основе метода конечных элементов. Систематическое изложение теоретических основ метода конечных элементов имеется в книгах [25, 36, 37, 45]. Проблема конечноэлементной аппроксимации вариационных неравенств отражена в монографиях Р. Гловинского, Ж.Л. Лионса, Р. Тремольера [12], И. Главачека, Я. Гаслингера, И. Нечаса, Я. Ловишека [54], Ф. Сьярле [45], С. Бренер и Л. Скотта [51], Ф. Скарпини и М.А. Вивальди [65] и др.

В монографиях [11, 12, 54] и статьях [6, 53, 55, 59, 61, 66] отражен опыт численного решения нелинейных краевых задач с использованием методов оптимизации и проводится анализ этих методов с учетом специфики получающихся в результате аппроксимации конечномерных задач.

Исследования нелинейных краевых задач эллиптического типа проводятся, как правило, в предположении, что минимизируемый функционал является коэрцитивным в исходном гильбертовом пространстве. Этот факт обеспечивает как существование и единственность обобщенного решения, так и квалифицированную сходимость к искомому элементу решений аппроксимирующих задач [11, 12, 49].

Однако для ряда важных в прикладном отношении нелинейных краевых задач выполняется лишь ослабленное условие коэрцитивности. Поэтому вопрос о существовании и единственности решения требует дополнительного исследования [11, 14], а при построении минимизирующей последовательности, как правило, приходится применять специальные меры, обеспечивающие ее квалифицированную сходимость.

Цель работы. Исследование некоторого класса негладких (не-дифференцируемых) полукоэрцитивных вариационных неравенств и развитие приближенных методов их решения с использованием аппарата вариационно-разностных аппроксимаций, выпуклого анализа и математического программирования.

Методы исследования. В работе использованы вариационные принципы механики сплошной среды, методы функционального анализа, теория выпуклого анализа и вариационных неравенств, методы вычислительной математики и математического программирования. Применяется теория пространств C.JI. Соболева [44], общая теория нелинейных краевых задач [14,22,36].

Научная новизна. В диссертации исследуются задача Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона и задача Синьорини с неоднородным краевым условием. Для данных задач получены следующие новые результаты: а) для задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона получена краевая постановка для соответствующей полусглаженной задачи; доказаны теоремы существования и единственности решения полусглаженнои вариационнои задачи; установлена оценка близости решений исходной задачи и соответствующей ей полусглаженной задачи; установлена сильная сходимость минимизирующих последовательностей для полукоэрцитивного негладкого функционала в полусглаженной задаче; построен и обоснован алгоритм с пошаговой ргох-регуляризацией для решения полусглаженной задачи; установлена оценка погрешности конечноэлементной аппроксимации; построен и обоснован модифицированный метод Ньютона, разработанный для минимизации негладких функций; построен и обоснован модифицированный метод Ньютона с регулировкой шага, разработанный для минимизации негладких функций; проведены численные эксперименты; для задачи Синьорини с неоднородным краевым условием исследована краевая постановка для эквивалентной вариационной задачи с однородным условием на границе; установлена сильная сходимость соответствующих минимизирующих последовательностей; построен и обоснован алгоритм с пошаговой ргох-регуляризацией; установлена оценка погрешности конечноэлементной аппроксимации во вспомогательных задачах; установлена линейная скорость сходимости метода итеративной ргохр егуляризации; проведены численные эксперименты.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры оптимального управления факультета "Вычислительная математика и кибернетика" Московского государственного университета (рук. д.ф.-м.н., проф. Ф.П.Васильев, к.ф.-м.н., доцент М.М.Потапов), на научном семинаре по механике деформируемого твердого тела в Институте гидродинамики СО РАН в 2001 г.(г. Новосибирск, рук. чл.-корр. РАН Аннин Б.Д., д.ф.-м.н., проф. Соснин О.В.), на семинарах "Дифференциальные уравнения" (рук. д.ф.-м.н., проф. Зарубин А.Г.), на семинаре "Функциональный анализ" при ВЦ ДВО РАН (рук. чл.-корр. РАН Степанов В.Д.), на научном семинаре в Хабаровском отделении ИПМ ДВО РАН (рук. чл.-корр. РАН Кузнецов Н.В.), на секционных заседаниях Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В. Золотова во Владивостоке в 1999, 2000 и 2001 гг., в Дальневосточной школе-семинаре по математическому моделированию и численному анализу в 2001 г., на Восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике в 2001 г. (г. Пермь).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ (6 статей и 5 тезисов выступлений), которые отражают ее основное содержание.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения, разделенных на параграфы: §§1-3 в главе 1, §§1-2 в главе 2, §§1-2 в приложении. Общий объем диссертации составляет 107 страниц машинописного текста, включает список литературы из 80 наименований. Нумерация формул в диссертационной работе состоит из трех чисел; первое число есть номер параграфа в главе, второе - номер пункта, третье - порядковый номер формулы в этой главе. Нумерация теорем состоит из двух чисел; первое число есть номер главы, второе - порядковый номер теоремы в этой главе. Нумерация приводимых во введении теорем совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы, указана актуальность темы исследования, цель и новизна полученных результатов, а также сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Первая глава посвящена исследованию экстремальной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона и построению устойчивого итерационного метода её решения.

Рассматривается экстремальная задача Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона

J (и) = Н\Vu\2dtt - f fudti + f gAVuldtt + f g2\u\dT - min,

Q fi fi Г (J) и e где Ос В? - ограниченная область с достаточно гладкой границей Г, 01,02 - const > 0, / G Ь2{О) [53].

2)

Функционал J (и) недифференцируем. Воспользуемся процедурой его частичного сглаживания

J£(u) = |Vu|2dQ - j fudVt + J giyJ\Vu\'2 + e2dti + J g2\u\dT - min,

Q Г иен1^), где £ - достаточно малый параметр.

Задача (2) эквивалентна вариационному неравенству (v« • V(v -и)+ - - «)) № + f 92(\V\ - M)dT > 0

3) дл яУ^еяЧо).

Вариационная задача (3) соответствует краевой задаче

-Аи

1 + д (gi(du/dxi) \ ^ д f д1(ди/дх2) дхх V^/|Vw|2 + £2/ дх2 W|V«|2 + e2,

91 ди

02, 1 +

9м в Q и + д2\и\ = 0 на Г.

Здесь и далее в краевых задачах через п обозначен единичный вектор внешней нормали на Г.

Очевидно, что функции и = const принадлежат ядру соответствующей билинейной формы a(u,v) = fVuVvdfl.

В пункте 1.3 главы 1 исследуется проблема существования решения полусглаженной задачи (2). Основным результатом этого пункта является

Теорема 1.1. Пусть выполнено условие

J g2dT - / fdQ

Г Q

0,

4) тогда решение задачи (2) существует.

Далее в предположении, что решение задачи (2) принадлежит пространству Я2(0), доказана следующая теорема о единственности решения полусглаженной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона.

Теорема 1.2. Пусть выполнено условие разрешимости (4). Тогда решение задачи (2) единственно в пространстве Я2(0).

В пункте 1.5 главы 1 установлена связь между решениями. Получена следующая оценка близости по полунорме [66]

J |V(u* - u0)\2dQ < 2giemesti, fi где и* £ Я2(П) - решение задачи (2), щ - произвольное решение задачи (1).

Построению устойчивого метода решения полусглаженной задачи (2) посвящен §2 главы 1.

Определение. Последовательность {ип}} принадлежащая Н1(С1), называется минимизирующей для задачи (2), если lim Js(un\= JJu*).

В пункте 2.1 главы 1 доказана теорема о сильной сходимости минимизирующей последовательности (в предположении, что и* £ Н2(0))

Теорема 1.3. Пусть выполнено условие (4). Любая минимизирующая для задачи (2) последовательность {ип} сходится в норме пространства к решению и* задачи (2), т.е.

К&К-«1я.(О)=0.

Решение вариационных неравенств эллиптического типа, как правило, осуществляется на основе их последовательной аппроксимации конечномерными задачами выпуклой оптимизации. Построение минимизирующей последовательности сильно сходящейся к некоторому элементу оптимального множества (множества решений) в полукоэрцитивных вариационных неравенствах, требует существенной модификации основных опимизаци-онных методов, основанной на регуляризации вспомогательных задач.

В §2 главы 1 диссертации исследуется итерационная регуляризация с использованием ргох-отображения. В отличие от методов, построенных на основе регуляризации А.Н. Тихонова, методы с ргох-регуляризацией требуют выполнения несколько более жестких условий последовательной аппроксимации допустимого множества (множества, на котором минимизируется функционал) и иной техники исследования. Однако, при этом обеспечивается существенно лучшая устойчивость решения вспомогательных задач и, следовательно, большая эффективность применяемых средств выпуклой оптимизации.

Для решения задачи (2) применим метод итеративной ргох-ре-гуляризации в сочетании с конечноэлементной аппроксимацией на последовательности триангуляций области Q. Для классической (без условия трения на границе области) задачи Мосолова и Мясникова исследования по сходимости метода итеративной ргох-регуляризации были проведены в работе X. Шмидта [66].

Пусть последовательность {zk} (к = 0,1,2.) удовлетворяет неравенству

J£(zk) + X\\zk - < шй]{Ми) + А||« - z*"1!!!^} + е*, (5) оо где А > 0 — const, > О, ^sk < оо , zо Е hl(q) - любая начальная точка. к=1

Доказана

Теорема 1.4. Последовательность сильно сходится к решению и* задачи (2).

Предположим далее, что Q Е R2 - выпуклый многоугольник. Для построения последовательности {zk} предлагается использовать метод конечных элементов на последовательности триангуляций с условием lim hk = 0 (hk - параметр триангуляции). к—} со

Обозначим % - фиксированное разбиение области Q на треугольники Г, удовлетворяющие стандартным условиям триангуляции ([25], стр. 109); Nh - множество узлов 7л, Mh = Г П Nh',

Vh - линейная оболочка соответствующих кусочно-аффинных базисных функций.

Используя алгоритм с ргох-регуляризацией на последовательности триангуляций, на итерации с номером к рассмотрим вспомогательную задачу

Je(u) + \\\u-ulkJ\2L[Q) -min

6) и е н1(о), ^

Где u*h - приближенное решение, полученное на предыдущем шаге триангуляции. Относительно точного решения и*к данной задачи сделаем следующие предположения (см. [12] стр. 287, [52], [61] стр. 220):

1 )и\ен2(П),

2)\\ul\\H2(ty < С, к = 1,2., где С - некоторая константа. Затем, в качестве приближенной к задаче (6) рассмотрим конечномерную задачу

Je(uhk) + X\\uhk -ulkJ\\m - min uh e vhk где hk - параметр триангуляции, lim hk = 0. Существование и единственк—>-оо ность решения конечномерной задачи (7) следует из сильной выпуклости минимизируемого функционала [26]. Справедливо следующее утверждение, касающееся оценки погрешности конечноэлементной аппроксимации задачи (6).

Теорема 1.5. Имеет место

IK-<11 h^)<Chl'\ Мк. В пункте 2.4 главы 1, основываясь на теореме 1.5., доказывается оо I/O

Теорема 1.6. Пусть О - выпуклый многоугольник, Е hk' < оо. Тогда k= 1 имеет, место

В §3 главы 1 дано описание метода поточечной релаксации и двух модификаций классического метода Ньютона, исследованы вопросы сходимости, обсуждены некоторые вычислительные аспекты этих методов.

В пункте 3.1 главы 1 диссертации разработана модификация метода Ньютона, предназначенная для минимизации функции, представленной в виде суммы дважды непрерывно дифференцируемой функции и только лишь непрерывной функции. Обозначим конечномерный аналог минимизируемого функционала задачи (7) через Jp(y), где у £ Rm, т - количество узлов триангуляции.

Представим функцию Jp(y) в виде суммы гладкой и негладкой частей

Ш=>Чу) + Ш, Чу) е с2(пт), му)ес(пт).

Если известно п—е приближение уп, то, используя квадратичную аппроксимацию гладкой функции Jo (у) в точке уп, получим функцию

Jn(y) = 4»Ы + Л (у) = ~ Уп) + ^(J'o(yn)(y - Уп),У~ Уп) + Ji{y)

Лемма 1.1. Модифицированный метод Ньютона. Пусть ыу) = ыу) + ыу), My)ec'{Rm), Ji(y)eC(K>

Ж12 < Ьу е Rm, » = const > о,

JS(y)-Jo(z)\\$L\y-z\ y,z £ Rm, L = const > 0. Пусть начальное приближение уо выбрано так, что q = -\yi ~ Уо\ < 1.

Тогда задача минимизации

8)

Л(у«+1) =min Jn(y).

9) разрешима при каждом п = 0,1. и имеет место следующая оценка скорости сходимости метода: лп

U/n-У <тЕ? <Т i-(п = 0,1.

L k=n L I-qz

10) где у* - точка минимума Jp(y) в Rm.

Далее, в пункте 3.2 определяется вспомогательное приближение уп из условия

МУп) = min Jn(y), кт

И) полагается

Уп+i = Уп + ап(Уп ~ Уп),

12) где ап выбирается из условий

Jp{yn) ~ JP(yn+1) > Р<*п [J\(yn) ~ Jn(yn)], 0 < an < 1, (13)

15

3 - некоторое фиксированное число, О < [3 < 1. Формула (13) является ключевой, поскольку, в отличие от классического метода Ньютона с регулировкой шага [8, 9, 39], в правую часть неравенства введена негладкая функция J\{yn). В пункте 3.2 имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.7. Модифицированный метод Ньютона с регулировкой шага. Пусть

Ш = Му) + Ыу), My)ec\rm), ji(y) е c(rm), 2 < (ши) < где /г, М - постоянные, 0 < ц < М. Тогда последовательность {уп}, определяемая методом (11)-(13), при любом начальном приближении Е Rm существует и сходится к у* - точке минимума Jp(y) в Rm. Если, кроме того,

К (у) ~ Jg(z) || < L\y -z\ y,z £ Rm, L = const > 0, то найдется номер щ такой, что при всех п > щ, рассматриваемый метод перейдет в модифицированный метод Ньютона для минимизации негладких функций, скорость сходимости которого - сверхлинейная.

Для численного решения задачи (2) используется аналог метода поточечной релаксации для минимизации негладких функций.

Алгоритм поточечной релаксации выглядит следующим образом: 1)начиная с точки у0 = {у^.-.у^} и предполагая уп известным, будем последовательно уточнять его отдельные компоненты и у™+1 для — 1, .,ш; о\ п+1/2

Z) определяем yi как решение неравенства

7 (vn+l vn+l vn+l/2 vn iin } < Jn\y 1 > yi-liyi Ут) Ъ

Л(уГ+1,-, 2Й1,*, упт) ж е] - оо,+оо[;

Известно [12]что данный алгоритм не годится, вообще говоря, для минимизации недифференцируемых функционалов. Тем не менее, в [12] установлен положительный результат о применимости метода поточечной релаксации для минимизации функционалов вида т

Q(y) = Qo(y) + Evi\yil о, (и) i= 1

Qo коэрцитивный, строго выпуклый и принадлежит классу С1.

Таким образом, для вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона построен итерационный процесс с глубиной вложения равной 3, основанный на комбинировании итеративной ргох-регуляризации, модифицированного метода Ньютона с регулировкой шага и аналога метода поточечной релаксации для минимизации негладких функций.

Во второй главе исследуется задача об установившемся течении жидкости в области, ограниченной полупроницаемой мембраной (задача Синьо-рини)

J (и) = I f \4u\2dtt - f fudti - min, fi fi (15) и £ G = {u\u £ : ф-^и<0 п. в. на Г}, где О С Я2 - ограниченная область с достаточно регулярной границей Г, / £ и ф £ Ьг(Г) - заданные функции, ju £ Н1^2(Т) есть след функции и £ Hl(Q) на Г. Здесь ф> - заданное давление жидкости на границе (жидкость может втекать в О, если и{х) < ф(х), и яе может вытекать ни при каких условиях), / - поток жидкости в П, и - искомое распределение давления.

В дальнейшем для упрощения изложения будем опускать символ 7 у следов функций. Функционал J (и) не является коэрцитивным на множестве G и, поэтому, задача может и не иметь решения. Однако, если то J(y) —> +00, если ||г;||#1(0) —У 00, v Е G и, следовательно, задача разрешима [14, 54]. Условие (16) обеспечивает и единственность решения. Ниже считаем, что условие (16) выполнено.

В ранних работах [16], [34], [61] исследование полукоэрцитивной задачи Синьорини проводилось в предположении однородности (равенства нулю) граничной функции ф. В данной работе это предположение не является необходимым.

Пусть ф - след на границе некоторой функции Ф Е H2(Q). В задаче (15) произведем замену тогда экстремальная задача (15) сводится к эквивалентной задаче J(oj) = If IVcj\2dQ - I ftudtt + /Vw Vtfdft - min,

ZQ 0 0: (17) си e G = {u\lv £ H^tt) : и > 0 п. в. на Г}. Очевидно, что функционал J (и) на множестве G ведет себя также, как J (и) на множестве G, то есть

Задача (17) минимизации функционала J (со) на множестве G эквивалентна вариационному неравенству

16) и — и — Ф

J(u) +00, если ||^||я1(о) —> оо, и Е G.

18) а(и*, v - uj*)> F(v - uj*), v Е G,

19) где а(и>, v) = / Vw • VvdQ, F{u) = J(fu — УФ • Vcu)dfl, и* - решение задачи (17).

В пункте 1.2 главы 2 установлена эквивалентность вариационной задачи (19) и следующей краевой задачи

-Дш = / + ДФ в ' и,

Tn + fn >0, (£ + £)" = 0 П-В- на Г.

В пункте 1.3 главы 2 воспользуемся методом конечных элементов для перехода к следующей конечномерной задаче, соответствующей задаче (17) min

21) h, где Gh = {uh £ Vh Uh(s) >0 Vs E Mh}. Легко видеть, что специальный выбор базисных функций и однородные граничные условия обеспечивают вложение Gh С G. На основании указанного вложения, с учетом (18) получаем, что задача (21) разрешима. Более того, решение задачи (21), как и (17), единственно.

Назовем приближенным решением задачи (15) сумму + где u*h -решение задачи (21). В предположении, что выполнено условие разрешимости (16) задачи (15) и решение и* задачи (15) принадлежит пространству Я2(О), в работе [62] получена следующая оценка скорости сходимости метода конечных элементов

В задаче (17), как и в задаче Синьорини, минимизируемый функционал J (и) является полукоэрцитивным [16]. Поэтому конечноэлементная аппроксимация формы а приводит к конечномерной квадратичной форме j(uh) Uh G 1 с вырожденной матрицей, что существенно усложняет поиск приближенного решения. Это обстоятельство обуславливает необходимость применения специальных мер, обеспечивающих квалифицированную сходимость минимизирующей последовательности. Для задачи (17), как и в главе 1, эффективный алгоритм решения строится на основе использования метода итеративной ргох-регуляризации в сочетании с конечноэлементной аппроксимацией на последовательности триангуляций области О.

В пункте 2.2 главы 2 доказана теорема о сильной сходимости минимизирующей последовательности (аналогичная теореме 1.3. главы 1).

Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (16). Любая минимизирующая последовательность {соп}, ьоп G G, сходится в норме пространства Н1{О) к решению задачи (17), т.е.

Следуя схеме итеративной ргох-регуляризации, на {к)-й итерации имеем вспомогательную задачу вида

Здесь oj*hkx - конечноэлементное решение, полученное на предыдущей (к — 1)-й итерации, h& - параметр к-ой итерации, h^-^fO.

Пусть Q - выпуклый многоугольник. Для данного hk, как и в главе 1, вводим регулярным способом [25] многоугольную триангулированную область, вершины которой лежат на Г.

Отбрасывая постоянные слагаемые в минимизируемом функционале, заlim IIujn "-" 0.

22) ueG = {veH1(Q):v> 0 п. в. на Г}. меним (22) приближенной конечномерной задачей

Va;bJ2 + 2А u2hk)dQ - /(/ + 2А oj*hkJu;hkdn + f Vujhk ■ УФсШ - min, ft n n u>hk 6 Ghk = G V/JtyKfci) >0 Vi G Mh}.

23)

Обозначим через ш*к и uj*hk решения задач (22) и (23) соответственно. Справедливо следующее утверждение, касающееся оценки ошибки аппроксимации.

Теорема 2.2. Имеет место

1/2

Ук.

Ставя в соответствие последовательности {ек} абстрактной схемы (5) по

1 /2 следовательность {Chk }, заключаем, что для сходимости метода итераоо тивнои ргох-регуляризации достаточно выполнения условия £ hk < оо. к=1

Например, можно менять параметр триангуляции по правилу hk = где hо - некоторая начальная величина. Таким образом, в пункте 2.3 главы 2 доказана следующая

Теорема 2.3. Пусть Q - выпуклый многоугольник, ф есть след функции Ф G H2{Q), £ hk < оо. Тогда имеет место

При практической реализации метода каждую фиксированную триангуляцию естественно использовать на нескольких шагах алгоритма. Кроме того, пользуясь результатами, приведенными в [17], можно доказать следующую теорему об оценке скорости сходимости метода итеративной ргох-регуляризации.

1. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача. -М.: Наука, 1983. - 239 с.

2. Антипин А.С. Методы нелинейного программирования, основанные на прямой и двойственной модификации функции Лагранжа.-М.,1979. -74с. (Препринт ВНИИ системных исследований).

3. Антипин А.С. О сходимости и оценках скорости сходимости проксимальных методов к неподвижным точкам экстремальных отображений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. -т.35, №5. с. 688-704.

4. Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983. 448 с.

5. Булгаков В.К., Липанов A.M., Чехонин К.А. Моделирование течений неньютоновских жидкостей, имеющих предел текучести. //Механика композитных материалов. -1988. №6. -с. 1112-1116.

6. Булгаков В.К., Чехонин К.А. Гидродинамика течений полимеризую-щейся нелинейно-вязкопластичной жидкости, имеющей свободную поверхность. // ИФЖ. 1990. -т.59, №4. - с.764-771.

7. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М., Мир, 1977. 542 с.

8. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.-М.: МГУ, 1974. 374 с.

9. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.-М.: Наука, 1980. 518 с.

10. Галин JI.A. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. -М.: Наука, 1980. 303 с.

11. Главачек И., Гаслингер Я., Нечас И., Ловишек Я. Решение вариационных неравенств в механике. -М., Мир, 1986. 270 с.

12. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. -М., Мир, 1979. 574 с.

13. Гроссман К. Каплан А.А. Нелинейное программирование на основе безусловной минимизации. -Новосибирск: Наука, 1981. 278 с.

14. Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в механике и физике. -М.: Наука, 1980. 480 с.

15. Жанлав Т., Пузырин И.В. О сходимости итераций на основе непрерывного аналога метода Ньютона. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1992. -т.32, JY-6. с.846-856.

16. Каплан А.А., Намм Р.В. К характеристике минимизирующих последовательностей для задачи Синьорини //Доклад АН СССР. -1983. -т.273, JN4.-C.797-800.

17. Каплан А.А., Намм Р.В. Об оценке скорости сходимости итерационных процессов с ргох-регуляризацией. // В сб. "Исследования по условной корректности задач математической физики". -Новосибирск, 1989. с.60-77.

18. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. -М.: Наука, 1970. 250 с.

19. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -М.: Наука, 1973. 456 с.

20. Лапин А.В. Решение вариационных неравенств с нелинейными полукоэрцитивными операторами. В кн. Вычислительные процессы и системы. -М.: Наука, 1986. с.219-264.

21. Лебедев К.А. Об одном способе нахождения начального приближения для метода Ньютона. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1996. т.36, №3. с.6-14.

22. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -М., Мир, 1972. 587с.

23. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. -М., Мир, 1972. 415с.

24. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. 346 с.

25. Марчук Г.И. Агошков Ю.М. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1975. 430 с.

26. Мину М. Математическое программирование. -М.: Наука, 1990.-342с.

27. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Наука, 1970. 454 с.

28. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных.-М.: Высшая школа, 1977. 430 с.

29. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. -М.: Наука, 1966. 432 с.

30. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жесткопластических сред. -М.: Наука, 1981. 208 с.

31. Мосолов П.П. О некоторых математических вопросах теории несжимаемых вязкопластичных сред. // ПММ. -1978. -т.42, вып.4. -с.737-746.

32. Намм Р.В. Приближенные методы исследования полукоэрцитивных вариационных неравенств в задачах механики с односторонними граничными условиями. Дис . докт. физ.-матем. наук. Хабаровск, ХГТУ, 1995. -199 с.

33. Намм Р.В. О единственности решения в модельной задаче с трением по закону Кулона. //Динамика сплошной среды. -1994. -Вып.109. -с.79-82.

34. Намм Р.В. О некоторых алгоритмах для решения задачи Синьорини // Оптимизация. -1983. -вып. 33 (50). -с.63-78.

35. Нурминский Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. -М., Наука, 1991. 167 с.

36. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. -М., Мир, 1988. 510 с.

37. Оганесян JI.A., Ривкинд В.Я., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. 4.1,2. Дифференциальные уравнения и их применение, Вильнюс, 1974, вып. 5,8. - 394 с.

38. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. -М.: Наука, 1980. 320 с.

39. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. -М.: Наука, 1976. 319 с.

40. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. -М., Мир, 1973. 469 с.

41. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М.: Наука, 1989. -403 с.

42. Самарский А.А., Фрязинов И.В. О разностных методах аппроксимации задач математической физики. //УМН. -1976. -т.31, №6. -с.167-197.

43. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. -М., Мир, 1973. -244 с.

44. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. -Новосибирск: Издательство СО АН СССР, 1962. -255 с.

45. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических систем. -М., Мир, 1980. -512 с.

46. Уральцева Н.Н. О регуулярности решений вариационных неравенств. //УМН. 1987. -т.42, вып. 6. -с.151-174.

47. Уральцева Н.Н., Рожковская Т.Н. Теоремы регулярности для вариационных неравенств и односторонних задач. //Дифференциальные102уравнения с частными производными (Труды международной конференции). -Новосибирск: Наука, 1986. с.187-192.

48. Хлуднев A.M. Оптимальное управление пластиной над препятствием. //Сибирский математический журнал. 1990. - т.31, №1.- с.172-178.

49. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.-М.: Мир, 1979. 400 с.

50. Bercover М., Engelman М. A Finite-Element Method for Incompressible Non-Newtonian Flows. //J. of computational physics. -1980. -№3, pp. 313326.

51. Brenner S., Scott L. The Mathematical Theory of Finite Element Methods. -Springer-Verlag, New York Berlin Heidelberg , 1996. 297 p.

52. Brezis H. Problemes unilateraux. J. de Math.Pures et Appliquees, 51 (1972), pp, 1-168.

53. Fortin A., Cote D. On the imposition of friction boundary conditions for the numerical simulation of Bingham fluid flows. //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 88(1991). -North-Holland, pp. 97-109.

54. Glavacek I., Haslinger J., Necas I., Lovisek J. Numerical solution of variational inequalities. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1988. 322 p.

55. Glowinski R. Numerical method for nonlinear variational problem. New York: Springer, 1984. 381 p.

56. Kaplan A., Tichatschke R. On New Proximal Methods for Variational Inequalities. //Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. -Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1994. -V.429, pp. 198-213.

57. Khludnev A.M., Kovtunenko V.A. Analysis of Cracks in Solids. //WIT Press, Southampton-Boston, 2000. 408 p.

58. Khludnev A.M., Sokolowski J. Modelling and Control in Solid Mechanics. //Birkhauser, Basel-Boston-Berlin, 1997. 384 p.

59. Namm R.V. About the method with regularization for solving the contact problem in elasticity. //International series of numerical mathematics. -Basel, 1992. -V.106, pp. 223-228.

60. Namm R.V. On a rate of convergence of the finite element method in variational inequalities with a weakly coercive operator. -Khabarovsk, 1991. 13 p. -(Report №4, Institute for Applied Mathematics F.-E.B. of the Russian Academy of Sciences).

61. Namm R.V. Stable methods for ill-posed variational inequalities in mechanics. //Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. -Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1997. -V.452, pp. 214-228.

62. Namm R.V., Woo G. On a convergence rate of finite element method in Signorini's problem with nonhomogeneous boundary condition. //Дальневосточный математический журнал. 2001. - т.2, №1. - с.77-80.

63. Rockafellar R.T. Characterization of the sub differentials of convex functions. //Pacific J. Math. -1966. -V.17, pp. 497-510.

64. Rockafellar R.T. Convex programming and systems of elementary mono-tonic relations. //J. Nath. Anal. Appl. -1967. -V.19, pp. 543-564.

65. Scarpini F., Vivaldi M.A. Error estimates for the approximation of some unilateral problems. // R.A.I.R.O. Ser. Rouge Anal. Numer. -1977. -V.ll, №2, pp. 197-208.

66. Schmitt H. On the regularized Bingham problem. //Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. -Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1997. -V.452, pp. 298-315.

67. Tanner R.I., Nicrell R.E., Bilger W.W. Finite element methods for the solution of some incompressible fluid mechanics problem with free surfaces. //Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. -1975. -V.6, pp. 155-160.

68. Webster M.F. A technique to solve incompressible non-Newtonian flow problem. //Int. J. Numer. Meth. Eng. -1986. -V.20, pp. 227-240.

69. Webster M.F., Suli E.E., Morton K.W. Numerical case study of a non-Newtonian flow problem. //Int. J. Numer. Meth. Eng. -1988. -V.26, pp. 695-704.Список работ, опубликованных по темедиссертации

70. Золотухин А.Я., Намм Р.В., Пачина А.В. О методе Ньютона для минимизации негладких функций. //Тезисы докладов Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В.Золотова. -Владивосток, 1999. -с.48.

71. Пачина А.В. Решение регулиризованной задачи Бингама. Математическое моделирование: методы и приложения. Сборник научных трудов. Хабаровск, ХГПУ, 2000. -с.94-100.

72. Золотухин А.Я., Намм Р.В., Пачина А.В. Приближенное решение вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона. //Сиб. журн. вычисл. математики. РАН Сиб. отд-ние. Новосибирск, 2000. - Т. 4, №2. - с.163-177.

73. Пачина А.В. Об устойчивом методе решения вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона.- Хабаровск, 2000. 39 с.-(Препринт 2000-48, ВЦ ДВО РАН).

74. Пачина А.В. О единственности решения задачи Бингама с трением на границе по закону Кулона. //Сборник научных трудов НИИ КТ / Под ред. С.В. Соловьева. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 2000. Вып. 10. -с.94-100.

75. Пачина А.В. Исследование задачи Синьорини с неоднородным краевым условием. Математическое моделирование. //Сборник научных трудов. Хабаровск, ХГПУ, 2001. -с.70-76.

76. Золотухин А.Я., Пачина А.В. О решении полукоэрцитивной задачи Си-ньорини с неоднородным краевым условием. //Тезисы докладов Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е.В.Золотова. -Владивосток, 2001. -с.16.

77. Намм Р.В., Пачина А.В. Устойчивый метод решения вариационной задачи Мосолова и Мясникова с трением на границе по закону Кулона. // Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Пермь, 2001. с.447.

78. Пачина А.В. Решение полукоэрцитивной задачи Синьорини с неоднородным краевым условием. //Дальневосточный математический журнал. 2001. - т.2, т. - с.81-89.