Приближенные методы исследования полукоэрцитивных вариационных неравенств в задачах механики с односторонними граничными условиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Р Г Б ОД

2 3 ОПТ 1095

государствен® комитет российской федерации

ТО ВЖШГ/ ОБРАЗОВАНИЮ Хабаровский государственный технический университет

На правах рукописи

на мм роберт викторович

УДК 517.93+519.6

приближенные методы исследования полукоэрцитивных вариационных неравенств в задачах механики С односторонними граничили условиями

01.01.02 • дифференциальные уравнения »

Автореферат диссертации на соискание ученоЛ степени доктор! физико-математических наук

Хабаролек - 1ЭД5

Работа вшгаянена в Хабаровском государственном техничэск университете

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор £.А. Нурминский

на заседании специализированного совета Д 064.62.01 по завд-те диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Хабаровском государственном техническом университете (680035, г. Хабаровск, Тихоокеанское шоссе, 136).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотек«! Хабаровского технического университета.

доктор физико-математических наук, профессор В.Я. Огеценко

доктор физико-математических наук, профессор A.M.Хлуднев

Ведущее учрездение- Институт математики СО РАН

км. С.Л.Соболева

Заашта состоятся

Автореферат райослан

Ученый секретарь специализированного

совета, кандидат фйз.-мат, наук Д)'/......(' А.Г. Лодгаев

СМвдя характеристика работы.

Актуальность теки. Краевые задачи для линейных дифференциальных уравнения эллиптического типа допускают вариационную постановку. При этом нахождение слабого решения исходной краевой задачи сводится к отыскании базусловного минимума некоторого выпуклого функционала. Переход к вариационной постановке позволяет ославить ограничения на гладкость искомого решения. Кроме того, применение вариационных принципов при дискретизации рассматринаеиой задачи для ее численной реализации, позволяет получггь заведомо устойчивые разностные схемы. '

В последние два-три десятилетия интенсивно развивается теория линейных дифференциальных уравнений с; односторонними граничными условиями, а такте приложение этой теории к решению конкретных задач, например, к задаче od упруго-пластическом кручении цилиндрического стерзшя, контактной задаче теории упругости, задаче.о препятствии и т.д. Одностороннюю зддачу в теории упруготга впервые рассмотрел А. Синьорини. Г. Стампаккья исследовал односторонние задачи, связанные с несимметрическими козри ативнйш! йю линейными форкамя. Выдающийся вклад в развита» теории односторонних краевых задач внесли Г. Факера, Ж -Л. Лионе, Г. Дово, X,Врсзис, А.Фридман, П.П. Мосолов, В.П. Мявялхов, A.C. Кравчук, Б.Д. Анпин, A.M. Хлудкев, H.H. Уральцева и другие.

Задачи с односторонними краевыми условиями сводятся к вариационным задачам, решение которых состоит в «яншиэаплн выпуклого Функционала на выпуклом множестве, не являвщикся

линэйлым подпространством. Экстремальная задача эквивалентна решению соответствующего вариационного неравенства.

Исследования вариационных неравенств проводились, как правило, в предположении строгой козрцитивности минимизируемого функционала в исходном гильбертовом пространстве. Однако для ряда важных в прикладном отношении задач с односторонними граничными условиями выполняется лишь ослабленное условие коэрцитивное™. Поэтому вопрос о существовании и единственности решения требует дополнительного исследования, а при построений приближенных решений приходится применять специальные меры, обеспечивающие их сходимость.

Цель работы. Исследование некоторого класса односторонних краевых задач, приводявшк к пояукаэрцитивнкм вариационным непавенствам (имекшм нетривиальное ядро). Разработка основанных на аппарате теории односторонних краевых задач общих подходов к исследованию однозначной разрешимости такого рода задач. Развитие приближенных методов решения полукоэрци-тчвиых вариационных неравенств с использованием аппарата вариационно-разностных аппроксимаций, выпуклого анализа к математического программирования,

Научная новизна и практическая значимость работ. В диссертации получены следуетш новые результаты:'

а) установлено характеристическое неравенство для полукозр-цитившх функционалоб, соответстувдих односторонним краевым задачам;

б) получены теоремы единственности в полукозрщш;ышх вариационных неравенствах, соотсотствуювшх задачам с трением;

в! установлена сильная сходимость ыинимиаирувди последом

тельностей для полукоэрцитивного негладкого функционала а задаче с трение«; г) получены оценки скорсст.ч сходимости метода конечных элементов в норме исходного гильбертова пространства для по-лукоэрцитивжх бариав,ионных неравенств с краевыми условиями типа Синьорин«;' ■ д) построен и обоснован алгоритм с пошаговой ргох-регуляриза-зацией для решения задачи с трением; е) исследована скорость сходимости в итерационных процессах с ргск-регуллризаачей, применяемых для решения полукоэрцитивных вариационных неравенств; к) установлена зависимость определяемого в методэ с ргох-ре-гуляризацаей рещения полукоэрцитивного вариационного неравенства от вырабатываемых точек процесса и рассмотрено приложение к контактной задаче теории упругости; Полученные в работе результаты носят {сак теоретический, так и прикладной характер. Они могут быть использованы при численном решении вариационных неравенств в механике.

* Аппробация работы. Основные результаты работы докладыва-

»

лнсь на семинаре по механике деформируемого твердого тела в Институте гидродинамики СО РАН в 1392, 1993 г.г., на Международной конференции по задачам со свободными границами в механике сплошной среды, в 1991 г. С г. Новосибирск), на советско-японском и роесийско-ягокском симпозиумах по вычислительной гидродинамике в 1938, 1992 г.г. С г. Хабаровск, г. Владивосток), на 'Всесоюзной конференции по интегральным уравнениям и краевым задачам математической физики р г. (г. Владивосток), на Всесоюзной конференция по уо.ч- . I •

/

ректным задачам математической физики и анализа в 1992 г. <г. Новосибирск), на Международной конференции по современным проблемам вычислительной и прикладной математики в 1995 г. С г. Новосибирск), на Международная конференции па математическому моделировании и криптографии в 1995 г. С г. Владивосток), на научных семинарах по дифференциальным уравнениям Хабаровского технического университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликована в работах 11-151. Работа C5J опубликована совместно с А. А. Калланом, причем результаты, полученные Капланом по регуля-риэоваиному С с использованием ргсх-отобракашш) варианту метода штрафов, в диссертацию не включены. Работы ill, 13) опубликованы совместно с А. Я. Золотухиным.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения, разбитых на параграфы .• fô 1-3 е главе /, 1-5 в главе H, M 1-2 в главе Ш, « 1-2 в главе IV, $ 1-2 в приложении. Нумерация формул и теорем и т.д. а одной главе состоит из двух чисел; первое число есть номер параграфа, второе - номер формулы, теорекы и т.д. внутри параграфа. Работа нзлксана на 199 страницах, вкгячг.эт библиографию из 119 названий.

В начала приведем абстрактную постановку гаучаагап: в главах /, ii экстремальных (вариационних) аагзч.

Пусть в гильбертовом пространстве H задан квадратичный

Функционал

где а - билинейная, симметрическая, неотрицательчая, ограни-

• СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ.

чэнная фсрка на II х Н, L -ограниченный линейный функционал на It.

Пусть R адоэтчан? ядро билинейной flop мы а, Заметим, что из принятия предположен«? относительно формы а вытекает существование постоянно» Н > 0, такой, что выполнено неравенство.

аСи,и.! £ И gujj i'vB, у ti.vcM

i

Пусть Q- оператор ортогонального проектирования на R, Р » 1-Q, где 1 - тождественный оператор.

/

Рассмотрим задачу

{ JCu) =4aCu,ti>LCiD-min | ^ CD

t u <н G,

где 6 - замкнутее выпуклоэ ннокоство в И. Сделаем относительно формы а еледувике предположения 1) а пелукозрцитавна, т.о.

aCv,v) Z «JFuR1, V v е И Си > 0 -const)

23 ядро R формы а является конечномерным множеством. Экстремальнуо задачу Ш можно представить в эквивалентной $орме вариационного неравенства; найти элемент 'и*е г? такой*'что

аСи*,и-и*) - LCu~u*) г 0, у и е в. (2)

О первой главе диссертации принимается дополнительное предположение, а именно,

2') ядро R является одномерным множеством, причем

L(7.~) * 0, у z eR, 2 * 0.

Предположение'2'1.гарантирует единственность решения к* задачи СЛ.

В докапывается основная тоорнма первой гл;.,-,,:.

-б-'

Теорема 1. Пусть для билинейной, симметрической, неотрицательно:?, ограниченной формы а справедливы предположения 1) и 2'). Тогда для.решения и" задачи (1) существует постоянная (3 > (I (¡3 * /3(ы* )), что для любого и из кно-жестаа б имеет ц-эсто шраеиство

jcid - ЛиЪ г /з <ч-и*>,

гдэ <и-и*> - ainfBuVj.EuVfl1;.

В параграфе Z гяяеы I ксследуется задача об установившейся движении кядкости в области, ограниченной полупроницаемой мембраной С задача Синьоргаш).

Рассматривается задача минимизации квадратичного функционала

Хч) = к i I С(Ш - I /и <Ю С3>

на выпуклом замкнутой мнокестве

б = iuefeTft} : уи к ^ п. в. на D, Ci)

$ £ - -

где fi е R" - ограниченная область с достаточно гладкой границей Г, I 6 L^CCl), р е L^CD - заданные функции, 1/«

rii 6 in - след функции и & г СП) на Г.

Очевидно, что функции и = const принадлежат ядру Р. соответствугцей билинейной форма afu.tO = J yuyutffl.

(Известно (Г.Тикера), что при условии

J IdQ < 0, С 5)

П

решение задачи (3), С4) существует и единственно.

Вариационное неравенство С2) в рассматриваемой задаче . »'V вид . • '

S уи*ч<и-У.*Ж< - / {CV-U>:Ù > P, V 1) € G. П fi

Крзевся постановка задачи агичъ аотсл так -Ли = I в О

§ê > О, ь-у к О, gjCii-vO = О на г.. Зде-Я; через а обозначен единичный вектор внеитй нормали па Г.

Предположим дален., что Я ê R' - многоугольник, а у п О

на Г. Рззобь&и область 0 m конечнув систему эаькнутых треугольников ( Tf >( çr, такую, что

« 2 Ï", • 1 tt i

r m

T^Tj- ~ [ œ У i j\

где A и l - сбаля вершина и общая сторона Т( и. Г,соответственно. îa;;oe разбпега-га называется триангуляцией области '.1.

Каждая триангуляция характеризуется двумя параметрами: •иаиАшжЗ стороной h и наименьшим внутренним углом a ъcex^ ее треугольников. Обсзна-ям такуя триангуляции Г^ к рассмотрим регулярную систему гриангуляций ( J при h —» +0.

,Каждой трингуляции Гь a поставим в соответствие конечномерное пространство h* ^CW кусочио-аф?«ших функций:

■<,нсш 8 ЧК<ссаз'"Л € Р,(Г)> *7 £ W'

где CCCÙ - пространство непрерывных па ù функций, PfCD - множество полиномов степени m вит 1, определенных на Г. Легко видеть, что V .fil) с ï/COJ.

Обозначим И^ - множество узлов триангуляции Ст. е. вер-

шшш Г( ), лекажах на Г. Определим

е», - : W vaie V-

Из определения вытекает, что вь~ выпуклое замкнутое многест-во в k'i. СП>. При этом, так как у 3 0 на Г. a fi есть многоугольник, то Ghc б, у h > 0.

В качестве приближенное к задаче Cl) рассмотрим конечномерную задачу

РЧ>31 - Ij № (б)

Условие разрешимости CS) гарантирует существование и единственность решения ьадачи С6). Известно, что

Ш ï"*-<V«b » -

Однако скорость сходимости оценивается только в полунорме пространства а именно, предполагая, что решение ¡/ис-

ходной задачи принадлеаят пространству V^CfD, доказываете? оценка

■ С'^'-ф!1 dO),/es ch'",

где с>0 - постоянная, зависящая от и*. Если же сделать ряд дополнительных предположений о регулярности решения и', та обосновывается оценка СФ. Бреззи, В.В. Хагер, П.А. Ра&ьяр)

|u*-u*| < сСи"ж

В (2 диссертации доказывается

Теорема 2. Пусть П - многоугольник в R*, уэЭ на Г, выпол-

jf

н<?но условие разрешимости (5) и решение и принадлежит прост-ргнетеу I^Cto Тогда имеет место оценка

Теорема остается верной, если у является выпуклой на оторонах многоугольника 0.

В {3 пврвоЯ главы диссертации исследуется скорость сходимости метода конечных элементов в полукоэрцитивном вариационном неравенстве, соответствуете« контактной задаче теории упругости. Приведем вариационную постановку задачи.

Пусть 0 = 0'1/ (1"с К®, гдо (5', П'' - области с непрерывным! по Липшицу границами сЮ', #}", причем П'п П''" Го= #)» п йГ\ гш Го> 0. Для и « С и*, и'^ е [ ^СП'^х х[ СП"}]2 определи« тензор

^-ьа. см* V).

При фиксированных разбиения* 30' = Гци Г., дй" -

а г0 и Г^'и Го СГо, Г , г"г Г^ - взаимно непересекайатеся

открытые части границ, прнчен Гц и Гс кгэпт положительную 1.-5ру) и фиксированных функциях ' '

* ^ - ьг; а»р1 , * а» и

Г *■■ (Г,Г") 5 И (0')}ах II (П")1*,

3 Л

т = (г,г') 2 а/г^'х гг./г

требуется найти ганккум фупкцкспэла

Ли) я ^ аСи,и) - г.Сч?

«а тожестве б = {и с Н : - и'п + 2 0 на Га где

аСи.и; я / а' .е'Си Эе'.СуШ + / а'' .е.",Си Эе'.'СЮоЯ , 1 Л>1 р! > ИР' »Л р!

ЬСЮ = I Г'и'(Ю V ! П'ауст > 1,,Г'и'(1Г 1 /, Г • и' 'сТ ,

а' 1 1 п" 1 1 гт ' 1 г; 1 '

Н * (и-Си',и"): и е [ УЧП'.)Згх[ ^СП")]*, и' - 0 на Гм,

и'п'~ 0 на , ип = и-а, г. - ьолтор единичной короли

внешней относительно (1".

Предполагаем существование такой положительной шгсган-ты ае, для Которой икает место неравенство

V«**» > ао о^СхКх» с^Ы'Сх»,

V еиСикСх^; V х е П'О О"; Я » \ 1,],к,1& = /,,?.

Ядро йнякиейлой форгы а(и,и) на пространстве II в случае Го= 0 имеет вид

£ в |г * Сг',2и; : г'« О,

z"(y¿ = а" - b"x , z"Oú - а" + £»"х ).

1 1 - V. Z Г. 1 J

Оно называется подпространством виртуальны* жестких перокз-аеяий. Его раэк&ряость равна трем. В множество R выделим так называемое "двустороннее" инсхоство допустимых жестких перемещений

Я* * (г с К : г" - г»«.О на Г V

^ . « n о j

При предположениях

Kzl <0, yzeGnRl LCzJ < О, у seCGnP. JnR* С7> существует слабое решение и контактной задачи, & любое дру-

л

roe слабое решакие uosiio представить в сиде и = и*г, где г г L такое, что tí + 2 € б, LCz) - 0.

П

Далее рассмотрим кокечназяеиентнуи аппроксимации контактной'задачи и йбелйдуем скорость сходимости кетода конечных элементов. ■

. • Предполагай, что П'с R" - ограниченные области с многоугольными границами дй', 5Q". Тогда Г представимо в

шде

Г = U Г . , (8)

• _ О 1 о,1 '

где Гц t - замкнутый отрезок с концами Л4 я <4, ,

Пусть Т^ а и а ~ триангуляции многоугольных областей !)' и 0". При этом будем придерживаться обычных правил, сформулированных ранее. Предполагаем, что узяи обеих триая-. гуляний, лоаацио на' области контакта Го> являются обойти. Пара - определяет разбиение множества П я П'иО".

Каждому разбиении поставим в соответствие конечг.о-морпоа пространство

Н„ * {«h [ССПОЗМСССЬГЛ II г е[ РСТ)}*, у TÍTJ,

где,как и panuca, Р.СТХ . - мнохестго'полиномов степени не. вше 1, определенных на Г. •

Пусть ctj, j a i,,, b.í~ верианы Th, легаций на отрезке

П'

единичный вохтор внешней нормали к стороне Г^ (, отнесенной к 0". Определяй гоюяэстео

.■' * • • . , ' i = í,...,r; j -

Легко видеть, что при любон h киоот ь'л-по влоадше G(i с в.

?accMOTpi::j *окечио«ерпу» закачу

• ' 1v •. •. ». •

-.При . wsroauemra условия разрккшосгя • (?), ясло^ствки ^яошш б. с 5, актекает naopcctc«>cib етт&«тяониоЯ sas:*m

■Si ' Г ' .

({?}. Начзчяй яодпрсстразстга гертуа/ляюс seo?Ki¡x перекедениР

обуславливает трудности ь исследовании скорости сходимости метода конечных элементов. Оценки скорости сходимости в общем случае удается получить лишь в полунорме исходного пространства. ,

Приведем постановку кбнтактной задача, в которой, в отлично от ранее известных результатов, получены оцаяки скорости сходимости метода коночных олемептов в норма исходного пространства И.

Предположи!.!, что mes Гр> 0, причем Гв - отрезок, a Ï* представимо в виде (8) и при ffi-i отрезок Г0 на параллелен Г . Не ограничивая обауюсти полагаем, что Г параллелей оси

** Г.

0 I

В рассматриваемом случае подпространство виртуальных жестких перемещений имеет вад

R = ^г = Cz',zV 1 z' ~ 0, а* » cansl, zt" 8 С |

и, следовательно, одномерно. Так как Го не параллелен Г , то условия разрешимости (7) принимает вид

LCz) < 0, у zsSaRjj, г * 0, (10)

что, в силу одномерности R, эквивалентно принятому предположении 2'). Тем самым имеет место единственность слабого

решения.

Теорема 3. Пусть для рассматриваемой постановки контактной задачи выполнено условие разрешимости (10) и решение и*

принадлежит пространству ¡У;(0')]гхР^СП".)]а. Тогда имеет

место оценка < С(и*)Ы

Решение вариационных неравенств эллиптического типа осуществляется на основе их последовательной аппроксимации конечномерными задачами выпуклая оптимизации. Построение кинк-ьшзируодей последовательности сильно сводящейся к некоторому элементу оптимального множества (множества решений) в полукоэрцитивных вариационных неравенствах требует существенной модификации основных оптимизационных методов, основанной на регуляризации вспомогательных задач.

По второй главе диссертации исследуется итерационная регуляризация с использованием ргох-отобракения. В отличие от методов, построенных па основе регуляризации А.Н. Тиаоьова, методы с ргох-рогуляризацкей требует выполнения несколько более жестких условий последовательной аппроксимации допустимого множества (множества, на котором минимизируется $унк-. ционал) и иной техники исследования. Однако, при атом обеспечивается существенно лучшая устойчивость решения вспомогательных задач л, следовательно, большая эффективность приме-■ кясних средств выпуклой оптимизации.

•Известно, что при использовании методов с■ итерационной регуляризацией для решения задач выпуклого программирования в обаеЯ ситуации не приходится рассчитывать на установление оценок скорости сходимости . В второй главы при весьма

-1-5-

й:е:у;ахьних характеристиках тпттищемго функционала и сппшаяьтого кзохэгтва !зкотрехшьксЯ вадача установлена л.1-лсЗаая скорость сяодиыоста («атода итераагггшсЛ ргох-рогуш-ркзаи.:«. Рассн-прагагак;) клисс задач ьхяачает, в частности, л золукоэрцщ-ившг изриацшши'лз неравенства с краэвьгм уеггэ-гнгг:Л1 тзта Синьорина.

Иулт» И - г-ыгЛгргом пространство, Я - ого коасчгго" ьарноо подпрсстрапотго; 0 : К —» Н - ¡ыпзЗшлД проектор, Я я ¡-0 а - тоздсстшшы»: спгратор на Н); Н ~ ОН, Сел -Ссксарозаипоэ ¡.¿мьасг^а.

Отсччаягшо. >;лг,>ш:о1!.о;( аадагла.:'.! л ».чггляоа во Я, кг-знойстсг! си:;мю кщуш5« Со ш;сшг»и:» ¿>0), &с< ; мз х ,х.еЛ, нг-аиг »¡асто

4,;;:. ) •> (¿--ОрС;: :> • ои!-1)Ц-:< а',

Зг^дедялгги^еа, .чго (-^^.длокал / : Л —> Л про.» ^у:.-:■„; «

/¡О - > с; ¡¿> + I СО и),

<>. I 'а У;

» /. - н*» // , и •• випц*; у.-,.;.-«.;-!! и.

6 > 0) и Н от&тооска*»!':;

¡' ¡Сг;> - ¡'Ли

5 .. ! 1;

О' 'по г.,!ьл '.'ч/'.; ¡.'¡с.г.'цто

<• гСС )

Для ресеиая ¡задача (11) рассмотрим итбр?ц;тн"3 глгср-ш« с регуляризацией на каждом и;.Ж<

-131. Выбираем последовательность положительных чисел , та-со

кув, что I 8'NZC(o, и начальный элемент т°еИ. K=t *

Полагаем к = 1. 2. Начиная из точки z*"1, определяем zk по критерий ев

!Сгк) + Jäzk - /J^-1 f + Х||.2ггк - Hz f <

< min {¡СЮ + ¡^u - Q г""' f + - б^'1 fj-

X > 0 - const.

Известно, что последовательность {г*; сходится в норме И к некоторому элементу u*eG*.

Обозначим <•, > - скалярное произведение в Я, öfCtO -суйдиф^еренииал выпуклой функции ( в точке и. В силу теоремы Рнсса можно отождествить гильбертово пространство И с его сопряженным Я*, и рассматривать субдифферекциал dlCvJ как подмножество в W,

Так как-14 есть решение задачи СИ), то существует такое для которого <i*,u-u*> Ö, у Можно считать, что * 0. Пусть = (veH : <6*,v> - 0) и 3 -единичная сфера в //. На основании свойств субди$ф?ренциалов

л

найдутся такие J е<3/ CQ) u ) п i edf <ГЯги ), что

А

X у А у

- Я i * QJ, где й( - оператор, сопр.таешшй с Cli.

А

Относительно < делаем следующее

^ ^ А А А

ß ~ C« где К = ;

= О).

Лпя каждого з е S и лебого фиксированного и > 0 введем

Жи*,з,н) = <иеН : ы » и* + у V а>0>-

л

Предположение 4. Если для некоторого в е Я при лвбом а > 0 имеет место

и* + ая «г О,

то существует такое и = > 0, для которого справедливо одно из условвй

а) либо ?5,кСв^)лб 3 В

б) либо в некоторой окрестности V # решения «'"для лсбого

и

и е Л(и*,з,«С9)) п б выполняется неравенство

Ptvu.ll ) г «

прячем константа С >0 я окрестность V в не зависят от в.

и

Здесь рСи.Ш в 1пГ|и-гЦ.

При сделанных предположениях в (1 главы 2 диссертации доказывается

Теорема 4. Пусть выполнена предположения 3,4 и при подходящих образом выбранном $ € СО,О для всех к справедливо неравенство < Тогда последовательность <ък> метода итерационной ргох-регуляризацкя сходятся к некоторому элементу и*с5* с линейной скоростью.

Б $2 второй Главы на основания результатов $1 устанавливается линейная скорость сходимости штода итерационной ртох-регуяяргзацки в СЗ),С4).

Счатаом, что па области С1 для функций и е ИСП) справедливо неравенство Пуанкаре

/ и"сй1 < А1 |7и|ас£П ♦ БаиЮ>*, • . П

где А > О, В > О - постояшыэ, из зависши от и.

Ранев отмечалось, что ядро R билинейной формы a(u,v3 * я j^urjvdi} состоит из функций и в const.

Пусть Qt: И СО) R - сртопроектор, * 1-Q^l - тождественный оператор на W^ul», Rl = (32УЧйХ Представи;* функционал СЗ) в виде JCiO - ^ аСи,Ю - L(iQ, где LCiQ =>

= ifudfl и подставим it = Q u+G и. Получим Jfu) ~ J (Q Ю * 0 ' * 11

+ J (Q иЭ, где JfQ iO = -LCfl t£>, J СQ uJ ■■ i cuCOt u,Q Ю -

as it i а z с г a

- KQ^tO. Va неравенства Пуанкаре вытекает, что для и е Rx

справедливо неравенство

of«,*) > •

а

Тем са>1л.(, J - сильно гзыпуклиЛ функционал (с константой б ■>

Поэтому, полагая Я = Н , получаем, wo построенные функционала J ,J удовлетворит требованиям, принятым panes относительно I , I соответственно.

'i 'а

РгауктлгЗ (функционал JCvJ дифференцируем по Гато в i/ffl), поэтому в тобой точке u е Ь^СШ субдиф^оренциал dJCu) состоит из одюгетпенного элемента 7JCvJ - производной по Га-то. Аналогичны^ утверждения справедливы и относительно функционалов J , Jt.

Отомостнш плекситы yJCu*}, СQt и*0, yJ^CQ^u*) с злом л Л

ызптаыя i', 4 соответственно. Нетрудно з* ггить, что * J с N : <t,v> = 0j * {и € R J L(v) - oj-

so внимание условна разре'йшости (5) зача-

-18Л

чи, замечаем, что R является тривиалышм множеством и, тем самым, можно считать предположения 3) и 4) выполненными.

Таким образом, для метода итерационной ргох-регуляриэа-ции, в которой последовательность (zK) определяется из условий

JCsb + lia гк-0 zk-' f, + MIS як-« 2к- f s

1 * и* /ГЪ Z £ ,,

+ h

< minijCtO + ца u-Q zfc-' f + ХЦй u-Q гк" f ' ) u eo1- 1 Г(СЬ г ,г wSfli''

г г

(X S 0 -const, »к > 0, £ < со,, г°е 6 - произвольна элемент) справедлива теорема 4.

Введение регулярцзирувдей добавки \\Я u-Q zk~l |!а +

1 ' w"(ft

Е

+ u~Q г ¡1® обеспечивает сеойство сильной вютклос-* г v'tfîi

ти в СО) минимизируемых функционалов, что при использовании метода конечных элементов приводит к хорошо обусяов?гси-ным конечномерным задачам квадратичного программирования.

При реализации метода, ргох-регуляризацгаа удобно проводить не в норме исходного пространства ^СШ, а в норме L^CCl), т.е. на каждом иаге итерационного процесса минимизировать вспомогательный функционал вида

ikCu) = J(iû * ХШЛ-а^-' II (П).

где, как и ранее Gt есть ортопроектора в k^CQJ из соот-Бвтствуваие подпространства. Нетрудно показать, что 5к<Ги.) являвтел сильно выпуклида функционалами. При этом, вырабатываемая последовательность (гк) сходится по норме V fil) к

л

-3.0-

:tcKOTcpcuy реждао доходной задачи. В (2 доказывается

КХШ51.Й,. Пусть нотод итерационная ргох- регуляриза-

:xtj ргализулсл п поисцья ^уакш'оиа.тов

- JC.0 > ;:qu-Q (П, > х^и-а^ % <П).

:-. i

Г' 0ук£0Туу«>т т.чкад постоянная о i СО, i J), ч-хо яри s, Л г/: .:t,c .<vi«* утельпг^ть f2hJ сгодятся к pwcsm и'' »сходной падл' о/с./зохьо.

;•.;■>,!'-.-,сла сскоиаааэтея «•. ^счвсзтпитмсЗ пн-мТ-цу: -с;.с. -..г-толыгл.-с йздач

í ■■ '.or

' 2

■ " {у Ve ÍV : У'¡ 2 *"' l'y

- "v.-.o;.! ;<лл л'^ето'Ш X"í,. T::a :t?:: лдро il Лл.шв'^оа óor:it ее.;'yï^uî^-VKXThin', то !'/rJ ч-íJ з'™"1 ¡:"' (p !■

■ ,■ = л- . .

' - : *■".'. v-'r/Ci/ П ТС".', 40.' "3 ПрОЦ'.СС-.'

:■"•■•..". "•.:"! " >. : ':;:oco;t coyo c ¡л ■

: . - ' ■■ ' .лса (Х'уллч л w ru/í

, ■ -V-." ; г;.-:1 : ■ гчллс-; -лл, ;

' • • . ' : Т;Г\: С ' ' 1'СП tГ-3V¿-ír:.: У-): ■ 'У.1-

■'Г " ' '. : ■ ", ; ■ V

; ; . .on, '■•[■]--.:;■ ' •• \ -: л . v •>:<-!'■ ¡ ■ л . 'м-

'г'.гл.ул xviv-ti . : i: ; i ;. .л > ;;...'

.-■"■.'.!,з/ ".iu-r: ■ .• г;олг! рело.пл. '¡о щ 'ллоддтсл ь ¡п o^iicjvA^HVîû р;л;рол;::.госль глтрсла'чгру д-./

"С ï ::сп1гкзсг,ашк: чистого "е:о-.а ко > • snwx ллс^лгсг- ц ;

-20-

сильнув сходимость их решений.

В {3 исследуется скорость сходимости иетода итерационной ргох-регуляризации в контактной задача теории упругости в случае отсутствия в разбиении границы 0Ü" множества Го, т.е. когда в качестве гильбертова пространства в вариационной задаче берется пространство

Н .= [ийГу/ЧО'Грх р/ЧП'О]21 ; v' ~ 0 на Гц|

В данной постановке подпространство виртуальных жестких перемещений имеет вид

R = jz = (z' ,-z") i г' * 0, 2 "Сх> = а"-Ь"х , г" = a"+fe"x j

% t a е г » J

и его раэшряость равна трои. Если элемент и является реаш--нием задачи, то любое другое решение мокко представить в ьи-

дв и = u*z, где такое, что и + гсв, L(z) = С.

Пусть q] •• íí —• rjj - ортопроектор, <?г - í -(3 (/ - tos-дестаашшД оператор на Ю, ^ = 0гН.

■ Справедливо представление Jfu) = J)Cfi ш + JJQau}, где J CQ tt) а -LCQ o), JJQ„u> a 4 gCQ u,fl u) - ICQ id.

11 I Я Я С 3 2 £

Известно, что билинейная форма aCu,vJ обладает свойством полукоэрцитивности, т.е. a(u,U) i wjfi^uB®, и с И

Си > р - const), 8 . Вн - норма,индуцированная из

¡V СО'-)]2х Qt'4fl";]B. Поэтому функционал - сильно выпуклая в пространстве (с константой б = w3.

'Ген самым, при отождествлении подпространства Я с про-

странством , построенные функционалы 7 , удовлетворяет требованиям, наложенным на функционалы , соответствен-ьенно. Поэте;*1/ нотод итерационной ргох-регуляризации сходится к некоторому реиешш и* контактной задачи.

Приникая во внимание, что функционалы J, , Jz диффо-ргнцируемы по Гато, отоадествиы элементы уХи*}, у Л С0) и'Ъ,.

Л А

^^(О^и*) с элементами ¿*, I, I абстрактной схема. Легко видеть, что

К - {иеЯ : <?, 3 0 ^ = ; КмУ = 0

Тем сашгм, предположение 33 выполнено, Справедливость предположения 4) в диссертации установлена в случае, когда область контакта Го есть прямолинейная отрезок, а множество точек слипания £ - ¿хеГо ~ 0) ненулевой мер»

л сосредоточено по обе стороны от точки пересечения центральной оси системы сил второго тела с Го>. Если совместить ось ох].о Го, то указанная точка имеет координату

I СГ"х -Г"х Мй + / СГ"х -Т"х Ж

1 а 2 1 _„ 1 г а 1

Х«в.Л-^

I Г"ей + I Г'<К о-а г;' *

( ! Г'сЮ + / Т"сГ * О-! I « р» а ^

15з условий разрешимости (7) вытекает, что х* есть внутренняя точка Г .

О •

■ Таким образом, с указанными предположениям* относительно области контакта Гс и множества Е для метода итерационно!! ргох-регуляризавди справедлива теорема 4.

С точки зрения приложений ргох-регуляризацив удооней

проЕодить не в норыо исходного пространства Н, а в корме пространства Y = [LaCfl')]£ х [L^Cfl'O]2, т.е. на каждом таге итерационного процесса минимизировать испомогателышй функционал вида

\OD = ЛиУл BQ-irt^'X + IЬ неравенства Корна вытекаот, что í^CiiJ - сильно выпуклый функционал.

1Ьвестно, что метод со вспомогательными функционалами \Си> сходятся к некоторому решению контактной задачи. Кйк и ранее, обозначая определяемое ревекие через и*.

Теорема О. Пусть иетод итерационной ргох-регуляриза-цеи реализуется оо вспогдага'гельндаа фукцпояалагя? об-

ласть контакта Го есть прямолинейный отрезок, а мкогастш

■ Г. #

точек слипания £ опрошшешго решения и сосредоточено по обе стороны oí' т. х* е Ге. Тогда существует такое q ч С0,13, что при Sk ¿ мотод итерационно.'} ргох-регуляризашш сходится к i/ с линейной скоростью.

Методы итерационная ргох-рогуляркзации более просты в практической.рализания, чем аналогичные методы, пепольэуюаио стабилизирусаий.функционал: в последних несколысо управляете последовательностей должны.с разной скоростью отразится к нул», и это затрудняет поиск решения. С другой стороны, в методах второго типа определяется решение, блшеайвее к заранее фиксированной точке, что во многих задачах имеет реальный смысл. При использований ргох-регуляриэации предельная точка не обладает укаэа:шш свойствам.

В 0 второй глава диссертации исследуется зависимость определяемого решения от точек итерационного процесса.

ö гильбертовом пространстве Я рассматривается квадратичный функционал JCiO = j/i(u,iü-Uiü, где а - билинейная,

симметрическая, неотрицательная, ограниченная форма на 1ЫН,

L - ограниченный линейный функционал на //. Обозначим

л

R з {v : a(\i,v) ~ 0), R = { zeR : Кг) = 0), Решается задача Ш, причем относительно формы а делаются те кэ сам.» предположения 1), 2). Кроме того, считаем, что мнояостйо б*--»

= {ueö : JCtü = in/ JC\o\ непусто, Символами <■,->, ||-Ц ни so

v VG3 '

обозначаются скалярноо произведение и норка элементов в Й.

Длл решения задач! С1) рассматриваотсл метод итерационно!! ргох-регуляриэацш

1. Выбирается последовательность положительных чисел <,

со

такая, что £ J! ( со, и элемент 2°сН. . Полагаем к = 1.

2. Начиная из точки гу~' , определяем гк по критерий

zke в

J(zk) + iS2k-3k-' f 5 aln (jCu) + iu-sk~' f) + 1.., uCT J K

Как было отсечено ранее, последовательность (tk) сходится в норме И к некоторому элементу u*g 6*.

Для любого v*e С? и любых точек ик, к. я 0, /, 8,..., таких, что v.cG, к * 1, 2,..., lim и. = и*, примем следующее

* fc-fM

• л о

Предположение S. Если для s * R имеет место v + seG,. то существует такой номер , ке зависящий от 5, и пистоли-•

'кая я>0, что для всех к 2 М +/ справедливо vk + кзеб. Отметим, что Я ¡зависит от выбора и*, т. е. N а Ц С v* J.

О 0 0

Обозначай pCx.XJ - расстояние от точки х до множества X.

Одновременно с последовательности (Ъ ) рассмотрим последовал v

тельность (и определяемую ко итерационного процесса jcib + fit^-t^-1 Еа в Bin (jCu) +

Си055

Так как точки и*1, к « 1, S, ... фактически определяются по методу-итерационной ргох-регуляризации с 8fc = 0, к = t, S,

А л« v

,,., то iu*.? сходится к некоторому u е в . В доказываотоя такие утверждения.

Теорема 7. Пусть выполнено предположение S. Тогда лН и л!) л„ л„

• рСи 8 ||u ° - и* в, где Mes М^сЛ. Теорема 8,. Для и* = 11и г* имеет место

j. Л« 00

s Г С* 1=1

В качестве приложения теорел 7, 0 в &5 рассматривается контактная задача теории упругости в ситуации неединственности решения СГо = 0). Предполагается, что область контакта Г0 есть прямолинейный отрезок. Совместим ось o.v с Го. Для от-

А, / Л. Л^ ч

меченного выше и обозначим Е - 4хсГ ; С и*)" - Си )'- 0}.

^ С 1\ п )

ПредпояоЕИм, Что Е есть множество ненулевой меры, а скалярная функция v' ; f u9;^' * о/.Г непрерывна на Гс и дифферея-

' ы

цируема в т. х £ Г .

-ê3-

Ири этих допущениях в iß обосновывается предположение 3 g M0 "О и, следовательно, в г том олучае справедливы теоремы

7, 8, т.е.

рС2°,бЪ « 8z'-u*8, |и*-ц*| S Е<!/г. где u* = lim г*.

in к-м)

Отметим, что если проводить регуляризацию не в исходном пространстве H, а в de.!» слабом V - [i^Cfl'J]* х [LeCQ".3]*, т.о. если определять т. ;:fc как решение задачи

+ J^-z*" 15 < min {j(iù + gu-3fc-! + 8. v- «60 VJ

где S > 0, к. s /, 2, .... <

* Ici.

то теорем 7, 8 остается в сила в корме | • § > (сКГ •, О + S • Ву)'4"'. эквмвалеитной исходной норме Н.

Полученные результаты распространяется на случай вспомогательных функционалов вида

Ф/tD = JCu) + |Q( Си-г*"' + Хва/и-г"''^!;, где <3( - ортопрозктор в И на R, Qt в I-Qf, X i 0.

В главе III диссертации доказываются теоремы единственности для гладких решегиЯ в полукоэрцитивных задачах с трением по закону Кулона и двусторонним контактом.

D il рассматривается экстремальная постановка модель-• nofl задачи с трением

' JCtû = ( .( l7u|adCJ + )(и) - t ludQ - min

■ ' <> n С12)

ueW(il).

e

Здесь fid?3 - ограниченная область о достаточно регулярной границей Г, ¡çL^CM - заданная функция. Функционал- j, связан-шй с учетом трения, имеет вид * JTg|u|ctr. гяэ oÇvmLj r'J

-25- величина силы трений СдЮ на Г).

Задача С12) эквивалентна р'-Ж.'пк вариационного неравенства

уСи-и)») + /д(|и|-|и|}^ г у СО.

» г п *

Соответствующая краевая постановка рассматриваемой задачи гмейт ЕЙД

-ли = I в а

1§£| Ц и + д|и| » 0 на Г - .

Если гкяоякэао условие С Г. Дзво, Ж. Я. Я:онс)

./СО - > 0. (13)

п

то аадача 1123 рэарешша. Б третьей главы диссертации до-кепшается

Теорека 9. Пуагь выполнено условие разрешимости (13). Тогда резение пгдачи (12) едк^тввудо в классе Н'^СШ.

В 0 исследуете* плоская статическая задача теории упругости с тренкеы по закону Кулона и двусторонним контактом.

Пусть (1 с Р.* - ограниченная область с достаточно регулярной границей. Для вектора перемещений и = Сь,ие.) опреде-' яяется тензор деформаций

При фиксированном разбиении 30 = Гои Гг1) , СГо. Гт, Г^ - открытые попарно непересекающиеся подмножества ЗА ) I! фиксировании функциях 6 ¡-^СП) а,]',р, I = 1,2;

= и = <1, л г 15 • р е гг;/г •

Т е П2СГ?)]г, 8- е. С ^ > 0 на требуется

найти минимум функционала

J<tO - к I a. ..ot .o.iKi - I F.u.tXl - I P.u.dT ~ cjjljplljpl fj i i Г

T (14)

- J T и dT + / б|кг|йГ, t> " n rf

ка (шожество !! =• (v e f v s О на Г , ). Здесь

я * п о ■

ип = и-п (через л = Cn>,naJ обозначен единичный вектор

fнешней к ДО нормали), ит - тангенциальная составляющая и.

Ядро билинейной фггш. a£u,v3 - i а,. , о о , d(l со' О ''

стоит из вектор-функцй м р - ("р,, рг?, где pt (>0 = а - Ьх__, = аа+ Ьх(: а(, а , b - произвольные фиксированные числа. Подпространство ^ ** ft ft Н представляет множество виртуальных жестких перемещений.

Если при любом ненулевом векторе р * Ry выполняется неравенство

folArl* - ^^ + f V«*" ti P^cffj > О (15)

то задача (14) разрешима.

В 52 третьей главы диссертации доказывается Теорема 10. Пусть Го и - прямолинейные отрезки.' Тогда, при выполнении условия разрешимости (15), решение задачи (14) единственно в класса (V4CD]*.

. Исследованные в т.вэ III Ьолукоэрцигивпыэ задачи с трением допускают для их ^шения применение метода итерационной • ргох-регуляризации. В главе IV рассматривается метод с ргох-регуляризацией для решения, модальной аадачи с трением. При зтом, ргох-регуляризавдя обеспечивает не только хороауа обусловленность ьспошгс-.тельнмх конечномерных функционалов, но и позволяет при численном решении аффективно учеоть .фактор их иеглэдкости.

Далеа предполагаем, что решение ц* задачи С12) принадлежит пространству P»®Cft)]1 и, тем самым, единственно Стеоре-ма 9),

Определение. Последовательность (un> называется миниш-зиругоцей для задачи (12), если lira JfuD = JCui. В $1

П-И»

доказывается

Теорема 11. ЯгхЗая минимизирующая последовательность (un> сильно сходится к решению «"модельной вадачк о трение«,

т.е. НИ |и" - «/Wm - О.

n-KO а

Пусть последовательность (гп> (n в 1, £, ...) удовлетворяет неравенству

tzn - кп%ЧО> 5 V

где »" есть решение вспомогательной задачи

{' JCu) + а йм-г"" В? л - min

С16)

u е V4Q). со

Здесь а>0 - const, I >0, £ %' < га, 2°е1С*СС1> - произвольная

П=|

начальная точка итерационного процесса.

Теорема 12. Для последовательности (гп). имеет место

Ни ||2П - tt'| = 0.

n-KO

В рассмотренном методе параметр а можно менять от итерации к итерации, т.о. вместо а использовать последовательность (e>n) , o>n->0, n - i, 2, ....Для справедливости теоремы И достаточно потребовать ограниченность последовательности (а ). Вспомогательная задача (16) соответствует'краевой

-га-

{-Atz + Sau = I + саг'1"' ifïl S g, ff« + g|u| « 0 п.в.- на Г. Низсе относительно области П и решения un задачи (16) примем следующие предположения

а) Q - многоугольник

б) i/elfCCÎ)

n а

В) Я И* ll^fo) S cflf + 2azn"' JL Л Coi) - const).

г г

Отметим, что справедливость предположений б) и в) установлена для выпуклых областей П с гладкой границей (X. Брезис).

Для реализации рассмотренного выше алгоритма решения с ргох-регуляризацией применим метод конечных элементов на последовательности триангуляция. На n-ой итерации аппроксимиру-

• ем задачу (16) вида

Г ХЮ + alB-uJ^ ^ - min (т

Lue УСШ. "" . * 2

Здесь - приближенно? решение, полученное на предыдущей ■

п—>

итерации,' - шаг сет«! (триангуляции) на Сп-О-сй итера-цйи, lin h =0.

_ n

п-кз ».

Для решения и* задачи (17), согласно предположениям б)

и в) имеем оценку

8 К Vcm - + гК к <rv

з. п -i а

Рассматривая п-Ь триангуляции области Cl, определим, как и

ранее, пространство СП) функций f^ , линейных в каждом

n

треугольнике. Приближеннее решение и^ задачи (17) определя-

п

ется как решение задачи

IS-

Kuh J ♦ «|«ifI- - к* в - л - mm

n n n-. a (18)

- % € Kjl CCD

n n

В 52 главы ¡У показывается, что • если последовательность триангуляций построена так, что узлы fn-O-ofi триангуляции

СО

входят в множество узлов n-ой триангуляция и X hn < ю, то вы-

nti

рабатываемая последовательность ) схэдится в Ь^СШ к peri

X

вению и исходной задачи с трением, ю

Условие I h < & обеспечивается, например, если кзкв-п« п

h

пять hn по такому правилу \ ~ ~ > где hQ - некоторая нача-

£0

льная величина. С другой стороны, для сходимости ряда I h

необязательно дробить сетку на каждой итерации, т.е. какдуо фиксированную триангуляцип можно использовать на нескольких шагах алгоритма.

Отметим, что для решения конечномерной задачи С18) используется метод поточечной релаксации, для применения ко-рого необходимо аппроксимировать выражение J g|hn|dF при помощи одной из формуя численного интегрирования.

В приложении представлены результаты расчетов по модельной задаче с трением и контактной задаче теории упругости .

СПИСОК. РАБОТ ШОРА 1. Намм Р.В. О скорости сходимости алгоритма с регуляризацией для решения задачи Синьорини //Оптимизация. -1985. -Вып. 36. -С. 56-62. Z. Намм Р.В. О скорости сходимости алгоритма с ргох-регуля-

ризаиией лля решения вар1г&ционкых неравенств со слабо коэрцитивным оператором // Оптимизация. -19S8. -Вып. 43. -С. 49-01.

3. Haunt R.V. About the method with prox-regularization for the numerical solution of Signorini's problem // Proceedings/ Soviet Union-Japan Symposium on Computational Fluid Dynamics. -V, mbarovsk, 1988. V. 2.-P. 198-302.

4. Намм P.В. О скороеЛ1 сходимости алгоритма с ргох-регуля-ризацией в задачах иыпуклого программирования, -Владивосток, 198Э. -19 с.-(Препринт ИПМ ДВО АН СССР).

5. Каплан А.А., Намм Р.В. Об оценке скорости сходимости итерационных процессов с ргох-регуляризацией.// Исследо-ния по условной корректности задач математической физики, - Новосибирск, 1989. -С. 60-77.

/>

6. Намм Р. В. О зависимости предельной точки от точек вырабатываемой последогательности в методе итеративной ргох-регуляризации. -Влгдивосток, 1990. -15 с.-( Препринт ИПМ ДВО АН СССР).

7. Намм Р. В. 0 методе решения вариационных неравенств: Тезисы доклада / Всессганая 'конференция по интегральным уравнениям и Kpaersiiw задачам математической физики. -Владивосток, I960. -C.i'S-SO.

Я. Намм Р.В. О скорости сходимости метода конечных элементов в контактной задаче теории упругости ✓/ Динамика сплошной сррды.-1991. -Вып. 103.-С. 100-100.

S. Нап-я R.V. On a rate of convergence of the finite element method in variational inequalities with a weakly coercive operator. -Khabarovsk, 19Э1. -13р. О^г

К 4, Institute for Applied Mathematics F.-E. B.of the Russian Academy of Sciences).

10. Нагая R, V, About the method with regularization for solving the contact problem in elasticity // International series of numerical 'mathematics. -Basel.

, 1992.-V.l Об.-P, 223-228.

11. Nan® R.V., Zolotukhin A. Ya. On a method with prox- regularization for solving a simplified friction problem. -Knabarovsk, 1993.-28p.-(Report, Computer Center F.-E. B. of the Russian Academy of Sciences).

12. Наш P. В. 0 единственности решения в модельной задаче с трением по закону Кулона // Динамика сплошной среды. -1894. -Вып. 1Р9.-€. 79-82.

13. Wima R.V., Zolotukhin A.Ya. On method with prox-regula-rization for solving a simplified! friction problem // Abstracts/ Third World Congress on Computational Macha -nics. -Chiba, Japan. 1994.-p.1916-1917.

14. Камм P. В. 0 единственности гладкого решения в статической задаче с трением по закону Купона и двусторонним кон тактом // Прикладная математика и механика. -1995, Т, 59, К 2, С. 330-335.

15. Нами Р. В. 0 скорости сходимости метода конечных элементов в задаче Синьорини // Дифференциальные уравнения. -1995, Т. 31 К 5. С. 885-886.