Исследование и решение некоторых самосопряженных краевых задач для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РГБ ОЛ

. 1( На правах рукописи

« I

Асланян Анна Адольфовна

ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1996

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского физико-технического института

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Абрамов A.A.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ГУлин A.B.

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Филиппов O.G.

Ведущая организация:

Московский Государственный Университет

Защита состоится " М- X

. 1996г. з ч.

на заседании Диссертационного совета Д 002.32.01 в Вычислительном центре Российской Академии наук по адресу: 117967, Москва, ул.Вавилова, д.40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИ РАН.

/4? /7

Автореферат разослан " . / ' " _(Л_ 1996г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

Терентьев Е.Д.

Актуальность. Самосопряженные краевые задачи, в частности, задачи на собственные значения (с.о.) для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (о. д. у.) возникают при изучении широкого круга вопросов физики и механики. Отыскание тех значений входящего в систему о.д.у. спектрального параметра, при которых система имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее заданным граничным условиям, и вычисление соответствующих им собственных функций (с.ф.) — основные этапы решения многих встречающихся в практике динамических задач. Разработка и исследование устойчивых методов решения самосопряженных спектральных задач, в том числе нелинейных по спектральному параметру, — важное направление, развития вычислительной математики.

Численное определение с.з. и с.ф. самосопряженной задачи в ряде случаев представляет определенную трудность. Так, спектр задачи о свободных колебаниях тонкой упругой оболочки вращения образует неоднородное множество со сложной структурой, при этом с уменьшением толщины оболочки плотность распределения частот возрастает, что делает расчет собственных частот п форм колебаний достаточно трудной вычислительной задачей.

Особенно сложными для изучения являются сингулярные краевые задачи, которым соответствуют системы о.д.у. с особенностями. Вопрос о постановке граничных условий, возникающий в связи с такими задачами, наиболее полно был рассмотрен в работах А. А. Абрамова, Н. Б. Конюховой, Е. С. Биргера, К. Балла. Тем не менее, разумная постановка краевых условий для многих сингулярных задач по-прежнему представляет определенную трудность и требует дальнехгшего подробного изучения.

Отметим, что спектральные задачи, близкие по свой-

ствам к задачам теории оболочек, часто встречаются в математической физике. Поэтому желательно разрабатывать численные методы, применимые к возможно более широким классам подобных проблем.

Цели диссертации: разработка и исследование методов решения самосопряженных двухточечных краевых задач для линейных гамильтоновых систем о.д.у. и связанное с этим теоретическое изучение некоторых спектральных свойств таких задач; их численная реализация, создание комплекса программ для отыскания с.з. и с.ф. упомянутых задач; исследование вопроса о постановке граничных условий для систем, рассматриваемых на неограниченном интервале; применение разработанных методов к численному исследованию свободных колебаний тонких упругих оболочек вращения.

Методы исследования. В диссертации использованы методы математического и функционального анализа, теории возмущений самосопряженных операторов и вычислительной математики.

Научная новизна. В диссертации исследован эффективный метод отыскания с.з. и с.ф. самосопряженной задачи для гамильтоновых линейных систем, основанный на применении варианта дифференциальной прогонки. Этот метод был предложен А.А.Абрамовым в 1991 году; он обладает рядом преимуществ по сравнению с другими известными способами решения таких задач. Ранее применение этого метода было обосновано его автором лишь при выполнении определенных предположений, не охватывавших ряда задач, возникающих в приложениях. С этим обстоятельством была связана проблема — обобщить упомянутый метод на более широкий класс задач. Одним из новых результатов, излагаемых в диссертации, является такое обобщение. Этот результат дает возможность применять метод к ряду прикладных задач,

в том числе из теории оболочек.

Понятие сопряженной точки является важным при исследовании осцилляционных свойств решений системы дифференциальных уравнений и при поучении спектральных задач. В диссертации проведено исследование поведения сопряженных точек линейной гамильтоновой системы. Выяснен основной для возможности применения исследуемого метода факт: при каких условиях, налагаемых на задачу, сопряженные точки задачи не заполняют собой никакой интервал. Это позволило сформулировать условия, при выполнении которых данный метод может быть реализован на практике применительно к гамильтоновой системе для любых самосопряженных граничных условий.

Известно, что наличие в задаче на с.з. больших значений спектрального параметра вызывает дополнительные трудности при реализации различных численных методов, в том числе рассматриваемого в данной работе. В диссертации для ряда ситуаций предлагается преобразование, позволяющее модифицировать предложенный ранее метод, и избежать сложностей, связанных с присутствием в задаче большого спектрального параметра. Доказано утверждение о связи решения модифицированного прогоночного уравнения с исходным; на этом утверждении п основано усовершенствование метода.

В работе также рассмотрены задачи на бесконечном интервале. Здесь, в частности, обсуждается вопрос о постановке граничных условий на бесконечности. Один из подходов к решению таких задач состоит в выделении линейного многообразия ограниченных решений системы уравнений и переносе условия ограниченности из бесконечности в конечную точку. Работы А. А. Абрамова, Н. Б. Конюховой и других авторов по данному вопросу оказали большое влияние на содержание настоящей дис-

сертации. В диссертации изучаются свойства переноса условий из бесконечности для гамильтоновых систем о.д.у. и рассматриваются возможности дальнейшего решения задачи на с.з.

Результаты исследований и методы решения, изложенные в диссертации, применяются к решению задачи о свободных колебаниях тонкостенных упругих оболочек вращения. Собственные частоты колебаний таких оболочек и соответствующие им формы колебаний вычисляются с помощью исследованного и развитого в работе метода решения самосопряженной граничной задачи. Численное определение собственных частот и форм свободных колебаний тонкой оболочки является непростой задачей, особенно при малых значениях толщины оболочки. В работе проведено численное исследование локализации спектра при разных числах волн вдоль параллели и для различных видов граничных условий.

Практическая ценность работы. Метод вычисления с.з. и с.ф. гамильтоновой системы, исследованный и развитый в диссертации, реализован в виде комплекса программ. Эти программы достаточно универсальны. Раз работанный комплекс программ может быть применен к решению практических задач, в частности, к расчетам собственных частот и форм свободных колебаний оболочек вращения. Разработка этих программ и решение задач теории оболочек осуществлялись в рамках сотрудничества с Акустическим институтом им. Н.Н.Андреева.

Следует отметить, что задачи на расчет свободных колебаний упругих оболочек представляют большой практический интерес, связанный с рядом важных технических приложений в теории упругости.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: на научных конференциях МФТИ 1992 и 1994

г.г., на IV Международной конференции по численному анализу (г.Москва, 1995 г.), на VI Крымской осенней математической школе по спектральным и эволюционным задачам (Крым, 1995 г.), на семинаре "Методы решения задач математической физики" в Вычислительном центре РАН, на семинаре "Теория несамосопряженных операторов" в МГУ, на семинаре "Математические задачи теорфизики и механики" в МФТИ, на семинаре кафедры дифференциальных уравнений МАИ, на семинаре отдела вычислительных методов ВЦ РАН.

По теме диссертации опубликовано шесть работ, перечень которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, списка использованной литературы, 7 таблиц и 34 графиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко излагается содержание диссертации, формулируется, в чем состоит новизна полученных результатов. Дается обоснование актз-альности темы работы.

В главе I поучаются свойства и исследуется метод решения самосопряженной задачи на с.з. для линейной га-мильтоновой системы 2п о.д.у.

(1)

где 3 =

О Г

-I

о

^21 А22

У

У1

У2

, А = А* =

t £ [я, /)]. А — вещественный спектральный параметр. Заданы также граничные условия

(2)

фау{а) = фьу(Ь) = О,

где фа и фь — матрицы полного ранга, фа3ф1 = фьJФь — = 0.

Задача на с.з. для системы (1) ставится следующим образом. Пусть спектральный параметр Л, входящий в систему (1), меняется на некотором интервале. Требуется найти те значения Л из этого интервала, при которых система (1) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее условиям (2). Такие значения Л называются с.з. задачи (1), (2), а соответствующие им решения — с.ф.

В §1 главы I наряду с постановкой задачи кратко излагается предложенный А.А.Абрамовым метод отыскания с.з. и с.ф. рассматриваемой задачи. Первоначально при обосновании этого метода среди существенных ограничений, налагаемых на систему, было следующее: правый нижний блок матрицы А положительно определен, Л-22 > 0. В то же время, для важного класса задач, рассмотренного в диссертации, имеет место лишь А22 > 0.

Основным результатом §1 главы I является обобщение исследуемого метода. Показано, что метод применим и к тем задачам, для которых выполнено условие А22 > 0; необходимые ограничения являются более слабыми, они относятся к свойствам расположения так называемых сопряженных точек, о которых будет сказано ниже. Для обоснования этого факта используется преобразование, сохраняющее гамильтоновость системы (1) и приводящее исходную задачу на с.з., для которой А22 > 0, к эквивалентной ей задаче с положительно определенным блоком Л22- Упомянутый результат дает возможность применять данный метод к ряду прикладных задач, в том числе из теории оболочек.

Центральным вопросом §2 главы I является исследование поведения сопряженных точек задачи (1), (2). Понятие сопряженной точки играет важную роль в рас-

сматриваемом методе решения этой задачи. Точка 6 [а, Ь] называется сопряженной левому концу (далее просто: сопряженной), если для уравнения (1) левое граничное условие нетривиально совместно с условием У1(£») = = 0. Свойства сопряженных точек, присущие им в случае монотонной зависимости матрицы системы А от спектрального параметра, можно использовать при решении возникающей спектральной задачи.

В диссертации проведено изучение сопряженных точек линейной гамильтоновой системы в рамках метода, излагаемого в §1 главы I. В §2 главы I выяснен основной для возможности применения этого метода факт: при каких условиях, налагаемых на задачу (1), (2), сопряженные точки задачи не заполняют никакой интервал [о,Ь]. Для формулировки и доказательства результатов

Во

составляется блочная матрица С$

3

1,2,

В !

В,

, где В0 = А

22,

(п х п)-блоки.

В] = -{В3^у + В^А12,

Определяется условие

(*) Начиная с некоторого j0, для > ранг равен п на (¿1, ¿2)-

В §2 сформулирована и доказана теорема: требование, чтобы для любого интервала [а, Ь] существовал подынтервал (¿1, ¿2)? Для которого выполняется условие (+), является необходимым и достаточным для того, чтобы сопряженные точки системы (1) при любом выборе граничных условий не заполняли никакого интервала.

При переносе граничных условий, т.е. применении обсуждаемого варианта метода прогонки, нужно численно решать задачу Коши для нелинейного о.д.у. типа Риккати. Точнее, при реализации метода интегрируется численно

матричное прогоночное уравнение вида (3) /«' + ЦА22Ц + цАц + А12Ц + Ли = 0

с начальным условием

КМ = Мо, /А) = /iS-

Решение такого о.д.у., как известно, может быть неограниченным, с этим обстоятельством связаны некоторые сложности в использовании метода прогонки. Наличие в задаче на с.з. больших значений спектрального параметра вызывает дополнительные трудности при практической реализации рассматриваемого в данной работе метода.

В §3 главы I рассматривается самосопряженная система п о.д.у. второго порядка

х" + (P(t) + Л 21)х = 0

с граничными условиями

аах(а) + рах'(а) = 0, аьх(Ь) + ¡Зьх'(Ъ) = 0.

В результате соответствующей замены данная задача сводится к системе вида (1) с условиями (2). Для этого случая предлагается преобразование

Jcos(A(i — a)) Jsin(A(t — а)) —/sin(A(i — a)) /cos (A(t — а)) '

позволяющее модифицировать исходный метод и избежать сложностей, связанных с присутствием в задаче большого спектрального параметра. Это преобразование тем эффективнее, чем больше Л. Приведем доказанное в §3 утверждение о связи решения модифицированного прогоночного уравнения с исходным.

(4) y = Su, S(t) =

Пусть решение ß(t) прогоночного уравнения, полученного в результате замены (4), непрерывно на [t\,t2]'i пусть т\ и Г2 не являются ни сопряженными точками задачи, ни точками разрыва функции f(t) = tg(A(i — а)). Тогда суммарная кратность N сопряженных точек, лежащих на интервале (ti,t2), равна

N = п(к2 - к, - 1) + JV-(n) + iV+(r2), где и к2 определяются формулами

h = ¿(ri - а) - h, к2 = [-(т2 - а) -

7Г Z 7Г Z

N~(t.) и iV+(i) — отрицательный и положительный индексы инерции матрицы ß(t) + If(t) соответственно.

На этом утверждении и основано усовершенствование метода. В рассматриваемой ситуации прогоночное уравнение, получившееся в результате предлагаемого преобразования (4), удобнее интегрировать численно, чем исходное. Это модифицированное уравнение также имеет вид (3), а его коэффициенты, в отличие от коэффициентов исходного прогоночного уравнения, являются малыми величинами при больших значениях спектрального параметра Л. В то же время, доказанное утверждение позволяет решать спектральную задачу, используя лишь информацию о решении модифицированного прогоночного уравнения.

Глава II посвящена рассмотрению задач на бесконечном интервале и, в частности, вопросу о постановке граничных условий на бесконечности.

В §1 главы II рассматривается гамильтонова система о.д.у. (1) на полуоси, 0 < t < оо, при этом предполагается существование lim A(t) = А0 при всех значениях

спектрального параметра. Рассматривается случай, когда АоЗ не имеет с.з. на мнимой оси; правый нижний блок предельной матрицы > 0.

Для такой системы рассматривается решение уравнения Риккати, выделяющее ее ограниченные решения. Для того, чтобы решать приближенно возникающую сингулярную задачу Коши, необходимо найти решение соответствующего матричного квадратного уравнения с предельными коэффициентами

(5) ц0А°22^0 + + А°иц0 + А°и =

т.е. предел при Ь —> оо решения прогоночного уравнения (3), или значения этого решения при больших t. В работе описан метод отыскания нужного решения уравнения (5), выделяемого определенным условием: все с.з. матрицы

Л0 = — ^12 — Я 0^-22

лежат в открытой правой полуплоскости. Показано, что нужное решение (5) удовлетворяет системе

I Я\\ + /¿0<?21 = Цо, 1 ] 1 <?12 + А«0<?22 = -I,

коэффициенты которой С^ определяются численно в результате сходимости следующего итерационного процесса

= л0, - к = 0,1,....

Для так построенной последовательности все (¿(^ эрми-

<3п $12 $21 $22

В §1 доказана обратимость эрмитовой матрицы $22? что дает возможность найти /¿о из второго уравнения переопределенной системы (6).

Именно то решение /¿о, которое удовлетворяет упомянутому условию, выделяет ограниченные при t оо

товы, обратимы, существует Нт = <Э =

юо

решения системы (1). Условие ограниченности эквивалентно для достаточно больших t условию

y2(t) =

где n(t) — решение сингулярной задачи Коши (3) Л lim fi(t) = Hq.

t—*cо

Рассмотрен вопрос о применении полученных результатов к решению задачи на с.з. для рассматриваемой системы.

В §2 главы II наряду с нелинейной спектральной задачей рассмотрен самосопряженный линейный оператор, порожденный гамильтоновой системой (1) на полуоси, О < t < оо, и самосопряженным граничным условием

шу( 0) = 0.

По-прежнему считается, что существует lim Ait, A) =

f—► оо

= A0(A); A) монотонно зависит от А. Линейный оператор

Ly = Jy' - A(t, А)у,

действующий в £-i(0, оо), определенный на функциях, имеющих производную из £г(0, оо) и удовлетворяющих условию в нуле, самосопряжен, непрерывно и монотонно зависит от А.

В §2 главы II не делается никаких предположений относительно спектра предельной матрицы системы (1), т.е. у матрицы AqJ могут быть с.з. на мнимой оси. Этот случай наиболее сложен для переноса условия ограниченности в конечную точку. Для того, чтобы избежать этих трудностей, рассматривается также задача с матрицей

Г A(t, A), t <t0 п л

которая является в определенном смысле приближающей для исходной сингулярной задачи. Если для так постро-' енной задачи предельная матрица A(t0)J не имеет чисто мнимых с.з., то, пользуясь результатами §1 главы II, для нее можно перенести условие ограниченности в точку t0 и решать вместо исходной задачи приближающую. В работе получен результат о близости соответствующих с.з. этих двух задач. Точнее, доказано, что изолированные с.з. приближающей задачи стремятся к соответствующим с.з. исходной задачи при tо —> оо. При доказательстве использованы утверждения теории возмущений самосопряженных линейных операторов; изучение связи между с.з. -двух нелинейных спектральных задач и с.з. соответствующих им линейных операторов позволило получить желаемые результаты относительно спектра рассматриваемой нелинейной по спектральному параметру задачи.

Параграф 3 главы II посвящен отысканию ограниченного в окрестности нуля решения у(х) уравнения

(7) у" + р(х)у = О

(здесь вещественная функция р(х) такова, что lim р{х) = = р0 > 0) на интервале (0, оо) и вычислению некоторых характеристик этого решения, представляющих практический интерес. А именно, предложен и опробован метод вычисления интегралов от решения с весом s(x), в частности, вида

+оо

J y(x)s(x)dx.

о

Этот способ не требует нахождения самого решения у{х). Известно, что при некоторых дополнительных предположениях у(х) Äd ccos(yfp^x + в) при больших значениях х,

где с и в — вещественные константы, определяющие поведение решения у(х) на бесконечности. Эти константы также можно найти, не вычисляя решения (7), согласно положенному в работе способу. Описанный метод основан на рассмотрении двух решений уравнения (7): наряду с интересующим нас решением у(х) рассматривается еще одно, возможно, неограниченное в окрестности нуля и используется их линейная комбинация. Для возникающей сингулярной задачи Коши осуществляется отход из бесконечности в конечную точку; получена оценка погрешности, обусловленной таким отходом. Вычислительная часть здесь также сводится к численному интегрированию некоторых вспомогательных уравнений первого порядка.

Наконец, в главе III речь идет о численном решении некоторых прикладных задач теории оболочек. Результаты исследований и методы решения, изложенные в главах I, II, применяются к решению задачи о свободных колебаниях тонкостенных упругих оболочек вращения. Собственные частоты колебаний таких оболочек и соответствующие им формы колебаний вычисляются с помощью исследованного и развитого в главах I и II метода решения самосопряженной граничной задачи. Следует отметить, что система вида (1), описывающая колебания тонких упругих оболочек, содержит малый параметр — толщину оболочки, что создает определенные сложности при ее численном решении. Такая система называется моментной. Наряду с реальными тонкими оболочками рассматривается вырожденный случай — оболочки нулевой толщины, которым соответствует так называемая безмоментная теория. Как известно, спектр моментной системы неотрицателен, дискретен, не имеет конечных предельных точек, в то время как у безмомен-тной задачи есть отрезок непрерывного спектра и воз-

можно накопление с.з. к его концам. Эти и другие эффекты исследуются в §1 главы III, где рассмотрены колебания оболочек вращения при произвольном числе волн т вдоль параллели.

В §1 исследованы некоторые свойства гамильтоновой системы вида (1), описывающей такие колебания. Различные особенности поведения спектра, характерные для произвольной оболочки вращения, изучаются на примере цилиндрической оболочки с условиями свободного края. Приводятся результаты счета с использованием программ описанных в приложении. Эти результаты сопоставляются с результатами теоретических исследований, полученными ранее в работах по теории оболочек. Различные качественные эффекты, возникающие в соответствии с общей теорией, подтверждаются численными экспериментами.

Параграф 2 главы III посвящен определению нижних частот свободных осесимметричных колебаний тонкой упругой оболочки вращения при произвольных способах закрепления граничных параллелей, в нем изучается связь моментной задачи с безмоментной. Известно, что собственные частоты моментной задачи, лежащие ниже отрезка непрерывного спектра соответствующей безмоментной системы (в так называемой зоне регулярного вырождения), могут быть найдены как возмущения частот безмоментной задачи с помощью методов теории возмущений. Если в зоне регулярного вырождения [0, а) без-моментная задача имеет к с.з.:

О < л!0) < л<0) <... < л!0) <

то при достаточно малых значениях толщины h момен-тная задача имеет в этой области также к с.з.:

О < А<Л> <\[Н) <■■.< \[к) < а

Более того, справедливы асимптотические формулы

Af) = л;о) + А*1^ + 0(м2), j = 1,2,..., к,

где = /г2/12.

В §2 главы III для незамкнутых оболочек с различными самосопряженными условиями на параллелях получены первые поправки к моментным частотам Л'1' в терминах решений безмоментной задачи. Это позволило сравнить полученные численно результаты с теоретическими в тех случаях, например, когда известно точное решение безмоментной системы. Отметим, что без-моментная задача является намного более простой для численного решения, чем моментная (порядок системы ниже, отсутствует малый параметр). Решив такую задачу численно, можно вычислить первые поправки к нижним частотам по полученным в §2 главы III формулам и сравнить эти результаты с результатами численного решения моментной задачи, что и сделано в работе. Результаты расчетов находятся в хорошем соответствии с полученными в рамках теории возмущений, они иллюстрируют эффективность приближенной формулы

Л}А> « А5°> +/lA}1', j = 1,2,...,

В главе III приведены таблицы собственных частот и графики собственных форм колебаний для оболочек различных конфигураций.

В приложении дано описание комплекса программ, реализующих метод вычисления с.з. и с.ф. гамильтоновой системы, исследованный и развитый в главах I и II. В описании отведено место программным модулям, предназначенным для построения граничного условия в точке, близкой к особенности. Приводится также описание модуля, применяемого в ситуации, когда граничные условия зависят от спектрального параметра. Упомянутый

комплекс программ применим к решению задачи общего вида (1), (2). В диссертации он использовался для расчета свободных колебаний оболочек, с его применением решен ряд задач с простейшими условиями на параллелях (такими как условия свободного края, жесткого закрепления, шарнирного опирания), а также задач с особенностями, возникающих при рассмотрении колебаний замкнутых оболочек.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Крапивина A.A. (Асланян A.A.) Об одном методе решения на бесконечном интервале вещественных линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка // Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ. 1992. Т. 32. N. 6. С. 980-987.

2. Абрамов A.A., Асланжн A.A. Обобщение одного метода решения задачи на собственные значения для гамильтоновых систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т. 34. N 12. С. 1896-1901.

3. Асланян A.A. О сопряженных точках линейных гамильтоновых систем // Некоторые проблемы современной математики и их приложение к задачам физики и механики. Междувед. сб. // МФТИ. М., 1995. С. 22-26.'

4. Асланян A.Ä. О решении самосопряженной задачи на собственные значения при больших значениях спектрального параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т.35. N 11. С. 1653-1665.

5. Абрамов A.A., Асланян A.A., Балла К. Сравнение решений прогоночных уравнений при переносе

граничных условий из бесконечности для гамиль-тоновых линейных систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. N 12. С. 1808-1818.

6. Абрамов A.A., Асланян A.A. Об одной сингулярной краевой задаче для линейных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996,

Исследование и решение некоторых самосопряженных краевых задач для линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Т. 36. N 8. С. 45-56.

A.A. Асланян

Подписано в печать 14.06.96 Уч.-иад.л. 0,7. Усл.-печ.л. 1 Тираж 100 эхо. Захао 40. Бесплатно

Отпечатано на ротапринтах в ВЦ РАН 117333, Москва, ул. Вавилова, 40