Исследование качественных свойств решений параболических псевдодифференциальных уравнений с негладкими символами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

?гз од

1 ^ НЮЛ,е®9?"ький дер^авний унлзерсшет

ни. Ю.Федькови а

На правах рукогшсу УЖ 517.956.4

Дрть Роман Ярославович

ДОСЛ1ДШШЯ ЯК1СНИХ ВЛАСТИВООТЕЙ РОЗВ'ЯЗЮТ ПАРАБ0Л1ЧИИХ НСЕВДОДИФЕРЕШЦАЛЬНМХ Р1В11ЯНБ 3 НЕГЛАДКИМИ СИМВОЛАМИ

01.01.02 - диферептэлып р!снятая

Авторефорат ■дисертацм на здоЗуття паукового стутня кандидата ф1зико-матемптичних наук

Чертвш - 1997

Дисортшиею е руконис.

КоОота виконана у в1ддш крайових задач для р1внянь з частишпши пох 1 дшиди (м. Чершвц!) 1нституту прикладник проблем мехашки 1 математики 1м. Я.О. Шдстригача HAH Украиш.

Пауков! кершшки: доктор ф!з.-мат.-наук, профосор ЕПдельман Саму 1 л Давидович;

доктор ф1з.-мат.-наук, лрофосор ■ 1васишвн Степан «Шитрович

Офшшп опононти: доктор ф!з.-мат.-наук, ирофесор Житарашу Микола Васильович;

кандидат ф!з.-мат.-наук, доцент Свердан Михайло Леонович

Ирошдна орган1зац(я - Тнститут математики HAH Украши

Захист В1дбудеться червня 1997 р. о годин i

на зас1д?нн1 спец1ал1зовано1 вчено! ради К 07.01.04 В Черн1вець-кому державному ун1варситет1 за адресою: 274012, Черн1вЩ-12, вул. Ушверситетська, Jfi, математичннй факультет.

3 дисерташею можна ознайомг ися у сИОлютет Чершвец.кого державного ун!верситету за адресою: м. Черк!вц|, вул. Л. Украшки, 23.

. у/„

Автореферат роз 1 слано " 16 " травня 1997 р.

Вчений секретар

спешал1зовано1 вчено! ради p/^-i А. М. Садов'як

ЗЛГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЬШСТЬ ТЕМИ. Теор1я псевдодиференц!алышх оператор!в (ПДО), яка в сучасшй форм! булэ створена в середин! шютдесятих рок!в, в предметом багатьох досл!джень. 1х число злачно зб1льшилося шсля того, як виявилося, що ПДО тюно зв'язаш з трудними 1 важли-вими задачами анал!зу 1 математично! ф1зшш. Так, наприклад, ВДО особливо важлив) в теори елттичних крайових задач I мшролокаль-ному анал131. На даний час досить широко розвинена теор1я ПДО 1 псевдодиференцюльних р!внянь (ЛИР), Я1 э викладена у всесв1т«ьо в!-домих монограф!ях М.О.Шуб!на, М.Тейлора, Ф.Трева 1 Л.Хермандера.

Серед нових рзд!Л1В Ц1в1 теорИ заслуговуе особливо1 уваги те-ор!я г1др з негладкими символами. Так! р!вняння мають важлив! засто-суЕання в теорП випдкових процвов. Твор!я 11д0 з негладкими символами тюно зв'язана з сучасною теор!ею фракталов, яка осташим часом бурхливо розЕИваеться.

Л1Н1ПШ параболгш! псевдодиференщальн1 р1вняння (ППДР). з .негладкими символами сули визначеш С.Д.Ейдельманом 1 Я.М.Др!нек на початку омдесятих рок!в. Ними будувався 1 досл!джувався фундамен-талышй ризв'язок (ФР) задач! Кош1 для таких р!внянь. Заувакимо, що при цьому ощнтч функцп з ощнок ФР в степеневими, а не експонен-ц1альними як, для дифоренц!алъних р!внянь. Це шдтвердив М.В.Федорюк, якиЯ знайшов точну асимптог-ку при |зг[-да фр задач 1 Кош! для1 ППДР з сталим одноршшм символом.'

Вг-шшу роль у далыюму £звитку теори ППДР г негладкими сим-лами в!Д1грали пращ А.Н.Кочубея в яких в!н уперше звернуй увагу на те, що ВДО 4 негладкими символами могуть трактуватись як Пперсин-гулярн! Штегральн! оператори (ГСЮ). Це дало можливють при дос-Л!дженн1 задач! Кош! для таких р!внянь використати, дойре розвинену теор!ю ГСЮ. На цьому шляху А.Н.Кочубею вдалося побудувати I вивчи-ти ФР задач! Кош!, довести теореми про розв'язн!сть задач! Ко-!, вказати на ц!кав! зв'язки одержаних результата з теор!ею випадко-вих пронес(в. • ■ •

Р як1сн1й теори диференц!альних р!внянь з частинними пох1дю(-ми ютотну. роль вШграють метода, в основ! яких лекить поб^довя спещальлх клас!в пробних функц!й (суб- I суперрозв'язк!в, бар'?-.

piB). Найглибш! результата одержат цими методами в теорп елштич-них та парабол1чних р1внянь другого порядку, для розв'язк!в яких ви-конуеться принцип максимуму. Для р1внянь i систем р1внянь дов1лыю-го порядку, для розв'язшв яких не виконуеться принцип максимуму, тчхшка побудови I досл1дження потр1бних клас!в проОних функшй ви-могае 1 статно I модиф1кацп. Досл1дженням у цьому напрямку присвяче-ш пращ В.0.Кондратьева та С.Д.Ейдельмана. в яких мютиться р!зно-маштпа 1нформац1я про властивост! н°в1д'емних розв'язк!в р!внянь 1 гнетем р1вняпь будь'-якого порядку t певно! структури.

Дисертац1йиа робота приовячена досл!дженню якюних в^астивос-Tott po3B4i3iB ГПЩГ 'а систем таких р!внянь.

МЕТА РОБОТМ. Метою роботи е поширення на окрем! класи ШЩР 1 сиотим ПГЩР (СПГ1ДР) з негладкими символам результата як!сно1 теорп парабол 1чиих р1впянь 1 систем р!вняпь з частишшми пох1Д1гами. Зокрема, це розвиток 1 р-'отосування вищезгаданого методу нробних Функшй, одержання точних оц!нок t, дуже Сажано, асимптотики ФР задач! Копи, досл!дкеннй повед1нки розв'язк!в при великих значениях часово! змишо! (с.абП1зац1я I ст!йк!сть за Ляпуновим розв'язк1в, теореми типу Л!ув!лля).

МЕТОДИ Д0СЛ1 ДЖЕННИ. У дисертацП використовуються метода пере-творення Фур'с, теорп слешальних функшй (зокрема Еироджених г")-иергеометричних функц!й, функцШ похибок), теорп ГС10 та теорп парабол 1чпих диференцк-иьних р1вняпь I систем р!внянь.

Для одержашга оц1нок для дошлышх i>0 ФР зада'.-! Кош! для СПГ1Д!' використовуеться методика, розроблона в скалярному випадку Л.Н.Кочубеем. При опиеанн! множини зг чеиь ПДО, визначеиих на il,асах нрилу-стимих пробних фупкщй, розроблена спеЩальна методика, яка ютотно модиф1куе в t дому для диференц!.альних р!внянь методику B.c. Кондратьева t С.Д.Ейдельмана.. Теореми про стабипзгщио розп'язкю.задач! Kouil для С1ВДР ! деяких 1ДЩР доводяться за допомогою модиф!кацп методики, розробленэ! в диферешиалыюму ншшдку С.Д.Мдельманом, Е.Д.Регш!ковим, Ф.О.Порпером, Ь.М.Валицьким.

НАУКОВА Н0£"'ЗНА РОБОТИ. Бона полягае в:

- <..'Д9ржакн1 асимптотичного зобрэжшшя при ф!ксочаному 1>0 ! |х|-оо ФР задач'1 Korat для /1еняшш дифузп з нсевдодиференшальшш додатом, по..удоватм за симг^пом |о|, oelR", для вшгадку, коли

- о^'.санн! множини значень ИДО з негладкими однорштми еннво-

ламп порядку ye(0,2);

- доведенн! теореми про един1сть нев1д'емних слабких розв'язк1в задач! Копи для р1вняння дифузи з псевдодиференц1алышми доданка-

т

ми, побудованими за символами |о| oeR"*, 7ft€(0,2), tft-1,...,m};

- виведенн! точних ощнок у твпростор! Пн{(í,i)11>0, яеК'1} фундаментально 1 матриц! розв'язк!в задач1 Кош! та II жшдних для СШЩР з сталим однор!дним символом;

- знаходженн! достатн1х умов р!вном1рно! на кожному компакт! 1 piBHOMtpHO! в усьому простор! R" стаб!."!зацИ розв'язк!в задач! Komi для СПЩР з сталим однор!дшм символом;

- вс-'ановленн! необх!дних tl достатн!х умов точково1 стабш-зацн розв'язк!в задач! Кош! для одного ППДР з символом порядку 7-1 ! нев1д'емних розв'язк!в у вшадку, коли порядок символа 7е(0,2) 1 .число просторових зм!нних п> 1;

- доведенн! теореми про Ьг-ст!йк!сть за Ляпуновим три-в!алыюго розв'язку задач! Нош i, а також теореми типу Л!ув!лля для розв'язк!в СШЩР з сталим однор1дшм символом;

- одержали! формули та ощнок для ядра Пуассона крайово! зада-41 в п1вп(\остор! по просторових ¡fítmmx, у р!вняння 1 крайову умову яко! входять диферентювання по нормалъшй зм!нн1й та ПДО по дотич-

них 3míhhhx.

ТЕОРЕТИЧНА I ПРАКТИЧНА "IHHIGTb РОБОТИ. ДисертаЩя май теоре-тичний характер. Результат« та розвинена в роботI методика можуть знайти ■ застосування при досл1джепн1 властйвостей розв'язШв 1 ко-ректно! розв'язност! задач! Кош! та крайових задач для липйних 1 квазшншил: парабол1ч!шх псевдодиферонц1альних р!вяянь, у теорн випадкових процес!в, у ф!зиц! фрактаЛьних сервдовщ. ■.

НА ЗАХИСТ ВИНОСИТЬСЯ: • '

- теорема про аслмптотичне зображення ФР задач! Кош! для р!в-нятш лифуз! i я псевдодиферэнц!альним додатом;

- георема про ото множили значень ДЦО з негладкими' однор!д-ними символами порядку 7€(0,2), визначсних на класах припустнмих проОнях функщй типу бзр'ерних функц!й;

- теорема про един! ть нев1д'емного слабкого розв'язку задач1' Кош! для р!вняння дифузи з псевдодиференталышми доданками;

- оцижи в п!впростор1 и фундаментально! матрицГ розв'язк!в задач! Кош 1 та 1! пох!дних для СПЩР з сталим однор!дним символом;

- теореми про р!вном!рну на полному компакт! i р|вном!рну в

усьому простор! R" стаб1Л1зац!! розв'язшв задач! Кош! для СШЩРв. сталим одиор1днга.1 символом;

- необх!дн1 та достатн1 умэви точково1 стаОипзац! I розв'язк1в задач! Кош! для одного ППДР з сшволом порядку 7=1 t нев!д'емних розв'язшв у випадку, коли порядок символа 76(1,2) 1 п> 1;

- теорема про Ьг-ст!йшсть за Ляпуновим (Нг^п) трив!алыюго розв'язку задач! Кош! t теорема типу Л!ув!лля для розв'язшв СППДР з стадии одпор!дним символом;

- формула та отнки для ядра Пуассона крайово! задач! в П1в-простор! по ггросторових зм!нних, у р1вняння 1 крайову умову ЯКО! входять дифьренц1юв°чня по нормалыий ' змшьий та 1Щ0 по дотич!шх

ЗМ1ННИХ.

Ус! результати, що виносятьдя на захист, налэжать авторов!.

АПР0БАЦ1Я РОБОГИ. Основн! результат дасертаци допов! дались та обговорювались на: науконому семшар! Черн1вецького в1дд!лу 1нсти-туту прикладних проблем мехаШки i математики 1м. Я.С.ГПдстри-гача IIAH Укра!ни (кер!вник - доктор ф1з.-мат. наук, професор 1ва-сишпяС.Д., 1994-1рп.); пауковому семшар! матеМатичного факультету Чершвецького державного ушвзрситету im. Ю.Федьковнча (1996р.);'Льв!вському м!ському науковому ceMlnapi з диференшаль-liiiX р!Р"янь (1996р.); М!жнародн!й математичн!й конферешш, при-г!вячен1й пам'ят1 Ганса Гана (Черн!вц1, 1994 р.); Всеукра!нськ!й на-уков1й конференц 1 "."Нов! шдходи до розв'язання диференщаль-них р!вняш>" (Дрбгобич, 1994р.); Всеукра!нськ1й конференц! Г'Ди-феронщально-функцюнальк! р!вняннч та !х застосування" (Черн!вщ, 1996 р.); науковШ конференцП "Нелппйн! проблем» анал)зу" (1вано-Франшвськ, 1996р.).

ГШШКАЦН. Основн! результата дисэртацп опубл!коваш в 8 роботах,' список яких подано в к!нц! автореферату. У сшльних працях С.Д.Ейдальману натеккть постановка задач! та основн' 1деI 'ix ро.з-Е'язання.

СТРУКТУРА 'ГА ОБСЯГ РОБОТМ. Дисертащя складаеться !з.]>ступу, списку використгтих основних позначень I скорочец;>, трьох роздшв, додзтка'1 списку л1тератури. В кшщ дасертаци коротко.' наведет основн! результата 1 висногси. Иорший розд!л мютить трй параграфа, другий 1 Tpetift - по два. Повний обсяг роботи складае 137 стор!нок. Сппуок л(тератури м!стить 85 назв. •

SM 1 CT ДИСйРТАШ

У встуш обгруптовуеться актуалыпсть томи досшдженнн, внзна-чаетвся мета диеертацп, давтвся стислий огляд л!тератури по том: диеертацп та коротко викладаетвся змют роботи.

Список осноЕци.к позначень t скорочень м ютить ti пооначешш i скорочення, як! е загальтши для Bctei диеертацп.

дасвртац1йно! роСоти 1-3) описумься кла-си рп'.нутнь" I систем р!внянь, яш розглядаються в робот!, та наво-дятьоя разультати, що стосуються ФР задач! Кош! для таких клас!в р!внянь.

У § 1 наводиться означения матричннх ГС10 1 11ДО та доводиться, що ГОК) е продоЕжонням ПДи з вузького класу на ширма клас функщЯ. Hexait П,г=м (i,r) |i£(0,TJ, rei!71}, Кр 3 - сукуингстъ yetx матрипь М poswtpy Гхз, елементами яких е Д1йсш чЛсла, |М| - норма матриц! М, [7] - Ц1ла чаетта числа у, Е - одинична матриця.

ОО'ектом досл1дж€ння в дииертящйшй робот! (якнй описаний у п. 1.1) е резв'язкк Ш1ДР та С1ВДР з на гладкими символа)® еигляду

m

Ötu(t,x) + (А0iL){t,x) 1 £ (AAu)(i,:с)<), (i,x)eIIT. (1) t-t

до Afe - матричний Щ1.0 з символом g : [О.ТЬЙ , Q^k&i. Для одного р;Еняння р=1 1

[Грииуекаються виконаними тазе! умови:

а ) елокенти матриць afe(i,'o), ШОД'1, oilR", О^йвп, е неш-рерштми, а такой оцнор!дними по о порядку функц!ями, до числа 7Ь так!, що , OKkam., причоиу у, <72<. --<7т^70;

а.,) система (1) р1вном1рно парабол!чна на Ш,Т], тобто р-ко-рэн 1 многочлена det (aQ(i ,о)+цЕ) задовольняють иер!вшсть

7

Не pfi,o)$-ö|o| 0

для вс!х tttO.TI I oöf:" з деякою сталою б>0;

а3) елементи матриць aft(i,a), iefO.TJ, ое!К"\Ш}, Oi/еуя, мають N^2n+2C7 J+1 неперервних похшшх по о, для яких правнльн! о тики

а

7^-Ы

|0£аь(£,о)КСн|а| к , ГеЮ.Т], оеК'ЧШ}.

Зазначимо, що символи можуть бути негладкими при о-О, тому при доел!джашп розв'язк1в сиетеми (1), взагал! канучи, на можна за-стосувати стандартна числення ПДО, як це роОилося для ЦЦР з гладкими символами. Перш! результата про розв'язшсть задг>ч! Кош! для одного р!вняшя (1) були одержат С.Д.Ейдельманом 1 Я.М.Дршем. Однак повшстю коректн!,.а в деяких виладках 1 остаточш, результата Сули 'одержан! для одного р!вняння А.Н.КочуОеем, де впершв 1ЩС трак-туються як ГСЮ. У дисертац!йн!й робот! ми дотримуемось такого к трактування. При цьому символи ПДО, як правило, залетать лише В1Д о асю лише в!д о 1 часово! змпшо]

Пехай 7-нец1ле додатке чи^ло, функцп 1 0: [0,со)хбп-1-

р е неперервними i оОмежзшши, рричому функщя / мае обмежеш П0Х1ДН! до порядку [7]+!. Вирао вигляду

0(1.71' )(д^/)(х)|лг(п+т,сй, 1>0, (2)

Кп

до (>7, а - деяка стала, яка залежить в1д чисел п, I, 7, визначае матричний ГСЮ порядку 7 з характеристикою О.

Иокладемо в (2)

й-сгп1(7)== | (|-о"'0,)1|о|"'пп)41, о^гёро), ,0.....0).

Кп

Пехай В| - матричний ГСЮ порядку 7>0 з сталою харак теристикою П=£, тод! штеграл

(ЦТ'/Хх)-^1! Е{А1у/)и)\у\~^п*'у)ау, .г^К", 7>0 - нешло,

с абсолютно збшшм при 1>7 за умови, що функщя / мае обмежош по^ Х1дш до порядку ГуЫ включно. Цей 1нтеграл не залезшть в!д вибор! г>). Лрл цьому онератя е 1гро^овженням ПДО

Р"1 (Е | а 1[/)],

У

яка Ц1ею формулою ьизначена на npooTopi S(li;11).

У п. 1.2 о зауважепня цодо 7=2Ь парного 1 7 шлого непарного, а такой: випадку, коли функц1я / наделить до ширшого, ни: S(If:"), класу гладких функц riî.

У п. 1.3 розглянутс випадок, коли 76(0,2), де Г(Л0 трангуеться як збшшй за Кош певластнвнй штограл, цт.л рогуляризшц i пкогс, викорио'говуеться р!зниця першого порядку:

1 г

(Ш/Иг) s - Z(m Е(Д./)(.т)|П|"(п+1',1^г, TtS4, (3)

^ ci (7) e—o

" R—'00 {fc^liiKH}

/:!R'1—IK - неперарвно днферешийовна функц!я,

ж(п-1 )/2 Г( (1 +Т)/2)Г(2~7)ЙОЙ7(1С/2)

ci (7)

Г((гг+7)/2)т(1-7)

п+1)/2

при 7»I.

при,7^1,

Г( (л+1 )/2)

Так! ГСЮ використовувться у розд!л! 2, де оиисуетьсл мнохщна значеиь ПДО з символом |о|т, oetër\ 7е(0,2), спзначених на епэшаль-но шдЮраншс класах пробннх функшй. Вигляд пробних функц 1й зумов-лений вявченою в f 2 асимптотнчн-« повед1нксю ФР задач! Кош!, яка узго.цжуеться I ix точною степенеюю ощнкою.

Пункт 1.4 мютить нвобх!дн! шдомост! про сферичш функцÎI 3 праць С.Г.Самка.

У § Z розглядяеться ФР задач! Кош1 для ПЦДР, як! м ютить 1Щ0 з символами, не залежними е!д просторових змпших. У п. 2.1 даеться езначення ФР задач! Кош! для таких р1внянь 1 наводиться приклад.

Розглянемо задачу Кош для скалярного ршшшя (?•)

тп

etu(t,x) + (Л0u)(t,x) + £ (Aku)(i,T) - О, и.хкЦу, (4) fe=1

u(t,:r)| rçlRn. (5)

11=0

Пехай виконуються умови а(-аа. Умова а2 означас, що юнуе стала 6>0 така, що для bcix ielO/lJ 1 дов1льних oçKn виконуеться нер1внють

lie a0(t,o) > ô|о|Т°.

(тачення. 2. К. ФР задач! Кош! (4)-(5) називаеться функц!я

G(t,T.:r). Oi'Ki^ï, £€Kn, така, що штеграл

u(t,x) -J G(t,t,x-V<p(t№, (i.x)çn(XjT]S(T,T]xlRn,

lkn ■ ' e розв'язком р!вняння (4), який задовольняе умову

u(i,x)| -ф(х), I t-г

для будь-якого ttCQ.T) '! дов1лыю1 гладко1 ф1Н1тио1 функци ф-Приклад. Для ршыння

(dt + A,)u = 0,

да А1 - ГЩО з символом |о|, оеК", яка трактуеться як ГСЮ вигляду (3), до К=1, 7=1, ФР задач! Кош! визначаеться формулою

Г((п+1)/2) £ G(t,x) - ——--—-¡тлит? ' (t,^)еП=(0,ш)хк"-.

,д-(Т1+ 1 )/2 (t^+j^Cj^J

У п. 2.2 одержана формула для ФР задач! Kouil (4), (5), а у п. 2.3 наврдяться оцпши ФР задач! Koiul, як! доведен! А.Н.Кочубеем. Осиовиим результатом § 2 е, отримане в п. 2.4, асимптотично зобра-ження ФР задач 1 Кош» для р!вняння дифузи з псевдодиференщалышм доданном

atu(t,x)~cpLxu{t,x)*bk^u(t,x), (i,x)enT, {а,Ь)еК\{0}. (6)

Теорема 2.1. Для ФР задач! Кош! для р!внянш (6) при п-1 ! п-3 правильш в ! дпов 1 дно асимптотичш зображення

1 (Ъггг-э?л Ьх' G,(t,x,a,b) -------ехр<-=-[ 2соз—5 +

1 Рп/^Г 1 4a2t J 2а

;0(|2|-3), (7)

¿¡а/ п bt 1 n(b2t27?;> + a/f

G;J(t.ХЛЬ)-^зтг^зтг еар

ITi | t)|.T|

+

1

4 соэ— з

J 2а2

J 2а2

bt 1

0( |21 ), (8)

ч2 (b2t2 + |;г|2 )'" а2£

ЯШ викснуютьоя при

/ Ь2С2 + |.т|? | X | > I Ь | £ > 0, |2|--—---- и.

2ауг

1з зображень (V) 1 (8) Еишшвають так1 наел 1 дни: 1) ГОЛОЕ1ШМИ членами асимптотичних ргвио'ЛбЯ (7) та (.8) при великих значениях |т| та ф!ксованому г е в!дпов1дно функцп

Ы Ы

%г(Ьггг*\х\г)2

2) при ¡хО функщя О Ц ,х,а,1>), £>0. «К™, гкП.З), не а знако ■ сталою;

3) при Ь;0 функшя о и,.г,а,о), £50, додттна(

■ Отже, при взаемодп локального (дифуз!я) та глобального (1ЩО) фактор 1 в асимптотична поведпша ФР задан Кош! визначаеться нелокальном додакком. Головним членом знайдено! асимптотшш Еизначаеть -ся клас пр!шустимих пробних функтй, як! викоркстовуються у рсзд!-л! 2 при дсведегеп теореми про едишсть нев!д'г.м1шх розв'язшв задач 1 Кош 1.

У § 3 виЕедеш точн! степенен! оц1нки у П1внростор1 II ФР а задач! Каш! для СШЩР типу () )

о^ц.х) » (А0и)(г,х) - о, (£,х)еП. (9)

Теорема 3.1. Нехай символ а0 ЩО А0 но залежить Б!д £ 1 задо-вольняе умови 01,-^3, Дв К^2п+2£т03 + 1. Год! ФР 0 задач! Кош! для системи (9) мае жшдн! й^С, (эе{«N-2«-Гт05. 1 лля яких пра-

гальш каяки

1'70 -1-"1»Т0+1«1 )

|зе|^и-2п-1701; (10)

с 1-11 + 7 г,)

|(34С(£,т,х) I «; (¡[а-т) 0 , (>120, (11)

Доведения ц!еI теореми проводиться розповсюджонням м!ркувань з пращ А.Н.Кочубея на випадок СППДР. Для випадку гг» 1 иершюст! (10) I (11) доведет в скалярному випадку плпим способом у 1грац! С.Д.Ейдельмана ! Я.М.Дртя.

Друх'ий розд!л дисертаци присвяченнй роавиткоы методу пробних фуакщй для ШЩР.

При застосуванн! методiв теорх I дифорентальннх ршшнь з час-тшшнш И0Х1 дними з праць Б.О.Кондратьева i С.Д.Ейдельмана для ПДР з но гладкими cm,¡волами вшшкае непроста задача про описания множит значень 11Д0, визначених на спец 1 алию шдюраних класах пробних

фу11кц1й.

У } 4 доведена теорема про множину значень ПДО з символами

т

|о| oiK", 76(0,2), fed.....и), визначених на пробних фушпцях

вигляду

0(t,r;Q) s r(|x|2 t Q 1 , Î>о, хеш", Q>o.

Вигляд cim'I пробних функц1й Шдказуэ асимтотичне зображення ФР задач 1 Кош! для р 1 вняння дифузи з псевдодиференщальним доданком, одержано у п. 2.4. Ця теорема дозволяв побудувати TaKt пробн! функ-цп , за допомогою яких вивчаються якюш властивосач розв'язк1в широкого класу ПДР, зокрема доводиться теореми про единють н-э-ыд'ешшх разв'язк1в задач1 Kouii. При знаходженн! множит значень ПДО, визначених на класах припустимих пробних функц1й типу бар'ер-них функций, розроблаиа спец1альна методика, яка ютотно модифшуе в 1 дому для диферентальних р!внянь методику В.О. Кондратьева 1 О.Д. Ейдольмана.

Снряжеш олэрацп до ГСЮ

A,u(i,.r)«----------llm ff inr(ut'l'b)(u(t,.ri/i)-u(i,x))d?i, (12)

* ci (7 ) e-o -'J

R R-»oo {e^lhKR}

(t.xjellj, 7^(0,2), fed.....m),

визшяаються такими сшвшдпошшшями:

A*u(I,J:)i------—----Urn П W^^blMt.x-W-iHt.x))^, (13)

an i< V JJ

(i,x)fl1T, Tke(0,Z), ted.....m).

Hexaft Q - додатиий параметр, 0<7STfe<2, feil,... ,й> itf-И Лй, l7."V <-(0,-2 ), kii I ,... ,ш> при л- I, 7£ ((1,1 ], 7t.ii1,2), ¡t({\,... ,m > при n-2,

просна функтя. Тод!

А*Фпа.т-М)-Фп( £ ,.г; 0)БП(2';д), (Г .г)!т,

Р |.т;(2) = -1--гш ?,{;-н(х;а),

и-*»

и+ у г. + у

.........г ,_цг1П| г

= Л

„ , , с -(I-г-711 +а) * «йг

!1±1

та юнують Чо>0, 01 >0о так!, що функщя I1 (£¡¿2), яеК", Ое К^.С], I, в нои&рервною 1 обмйжешп.

У § 5 метод пробних функщй застосевуетьея до доведения теоро ми про едтистъ кевгд'емного елабаага розв'язну задач! Коки для р!вняння

н н

у аг дх (akJ^t,x)u(t с

* 3 к'1

^а^.ЦаЦ.Ц^ЛДЦ.адМ'Ц-О, (£ ,х)бП,г, (14) ¡г = 1

дс- Ак - ПДО 3 символом -|а|Т)\ аеЖп, 7^(0,2), 1ее11.....гч>, яка ык-начона сят подношениям (12). Нехай виконуеться умова

р,) аь ак, п0, Ьк - вишрш, обмежеш малою М, функнп у

шар| П„. 1 т

Означения 5.1. Локально мтегрявна в Пт фу таи я и називагтьел слзбким розв'язком р1вняння (14) у шар! II , якщо для ДОВ1.ЯЫЮ1 нескшчешю диферешийовно! I Ф1н!тно1 в Дг функцп Ф правильна 1н-тогральна тотокшеть

п

atdx-ü,

^ £ CJ&(t<S>{t.x)ia0itfx)<Ht,x)*£ (£,х)А*Ф(1.:г)

i.-) k<M

да А* визначеш формулою (13). '

Означетм 5.2. • Слабким розв'язком и задач 1 Кош! для piваяния (f'l) з локально (нтегровною початкоЕою функщею ф називаеться слаб-КИЙ В 11„ рОЗВ'ЯЗОК р1ВНЯ!ШЯ (14), ЯКИЙ ДЛЯ Д0В1ЛЫЮ1 наскщчашю ди.{ырвнщйовно1 1 фпптно! в Кп функцп Ф задоволымз умову

Ни цЦ ,х)Ф(х)<±гч ф(аг)Ф(:г)(1г.

t*о J ■ j

КП Ru

Лбма 5.1. Нехай виконуютвся тат умови:

p.J юнують та неперорвш т П,„ иох1дн1 9„ 0 о. , ä а,; функ-

t- 1 X^ X J KJ хь к

Шя а0 неперервна в 11т;

р3) фу1шц! I Ък мають в Пт'"неперервш по х пох!дШ.

Тод1 дов1льний класичиий в Пт розв'язок р1внянян (14) е слабким розв'язком" цъого р1вня!шя а П^,; класичний розв'язок задач 1 Körnt е слабким розв'язком задач! Komi.

Нехай виконуеться умова т

р4) J dt | |u(ifa')|(l+|x|r(,in)dtclr < ш, о Rn

Теорема b. 1. Нехай виконуеться умова р . Тод! дов!лыщй слаб-кий нбв!д'емний розв'язок и задач! Кош! для р!вняння (14), який за-довольняе умову рд I нульову початкову умову, майке всюди в Пт до-р!внве нулев!.

Ця теорема е новою, бо едишсть неви'емних розв'язк1в задач 1 Кош! для НДО лише в класах спадних при функц!й доведена

А.Н.Кочубеем. Методика доведения теорем единост! нешд'вмних роз-В'язк!п задач! Кош! для НДР запозичона з праць В.О.Кондратьева i С.Д.ЕЙдельмана. Зг(дно з шею методикою досл!дження складаеться з таких етап1в: 1). знаходжашш асимптотичнога зображення ФР задач! Кеш1 для модельного р!вняння; 2) визначення с!мМ принустимих про-бних функшй 1 опис множшш значень в1дпов1дних ПДО, визначених на цих <ун1СЦ1Ях; 3} використашш штегрзльно! тотожностч, якою визна-чвсться слаОкий розв'язок.

У третьему роздип за допомогою одоржаних у § 3 оцпюк 3,г> задач! Koiul для СГП1ДР з сталими однор1дгаши символами знайдеш умови стаб!л!зац!1 розв'язшв задач! Кош! (§6), доведена теорема про Ь^-сачйкють за Ляпуновим трив!ального розв'язку задач1 Нош1, а та-кож одна теорема типу Л1.ув!лля для розв'язк!в СШ1ДР (i 7).

ГГ1Д ста01л!зац!ею розв'язку задач! Кош! звнчайно розум!еться пзнування у нього певно! грашщ1 (в тому чи тшому розумиш!) при t-со. Використовуються наступи! означения.

Означения 6.1. Кажуть, що функция и:ГЫКр1 стабтл(зуеться до Функци t>:Rn-IK , при t-oо;

1 ) piBHoMipno на . кожному компакт! простору I:'1, якщо

l.l, £,Х)---->V(X) ptEHOMtpHO по xçlK для будь-якого компакту КспГ." (р!в-

t-»ûû

ном!рна на кожному компакт стаб!Л!зац!я);

2) pIBHOMlpHO В К™, ЯКЩО U(£,X)->t>(X) ptBHOMlpUO по xçR"

t-.«.

(р!Еном:рна стаб!л!зац1я). ' .

Означения В.2. Функц!я и:1ИК стаб1л1зуеться до стало! 7 в точ-ц! x0elf:n, ища u(t,s°)—->1 (точкова стаб1л!защя).

t- со

У п. 6.2 ! 6.3 розглядаеться питания про стаб!л1зацио розв'язку задач! Кош! для системи.(9). Розв'язок тако! задач! з обмеженом вим!рною початковою функтею (p:ffirl-IKp1 визнячастьея штегрэлом Пуассона

иц,х)-| G(i )ф<5 )dl-, (i.x)eri. (15)

Kn

Позначшо через Re один 1з коордипатних кут!в простору [к'1, тобто множину точок хеК". координата яких задоволышють нер!вност1 s ... ,s х jO, е= (е, ,6.,... ,е ) - фиссований вектор, компонента

11* 1 п и 4 1 ' 2 n ^ г

якого набуваыть значень 1 або -1.

Через Я° позначпмо кут з вершиною в точш (л-(sl'a1,"... ,

at>0, t-1,___'!, то м!стить початок координат, рэбра якого параль-

льш коордгаштним осям. Нехай точка Ь=(Ь ,b2.....Чг^а*

через R" позначимо кут, аналопчний R®, що м!стить точку а. Якщо а=Ь, то кути Н° 1 й® е вертикальними.

ПаралелеШпед R Г! Н° позначимо через Re , H il R° Л - через

n

Reab 1 A" li a4 _ об'ем паралелеп me да Rea.

Теорема G.1. Нехай символ aQ ГЩО AQ задовольняе умови з теоре -ми 3.1, а иочаткова функщя <р оСмежена.

Яйцо шжслюна одна з таких умов:

а) функцíя ф мае кутов! граничн! середш, тобто юнують ск tunamil границ! посл1доыгастей - Г ф(í)dí, коли а а незалекно

A' J i п

■ R

еа

ОДИН В!Д ОДНОГО прямують ДО нескшчекност!, при цьему границя ¡ однакова в ycix R ;

0) усt слемонти матричного символа aQ е паршши функц1ями аргументы о(.....ап, а функц1я ф мае центрально-симетричне середне,

тобто 1снуз ск!нчешт грашщя I посл!довностей

— f <p(C)c¡S, 2А J пин

еа —еа

коли складов! вектора а незалежно один в!Д одного прямують до носк!иченност1, при цьому грашщя I однакова в ycix R_U R_e;

в) ус! елемзнти матричного. символа aQ е парними функц!ямя по кожшй 1з ЗМ1ШШХ о1 ,о2,... ,а* окремо, а фузпсщя <р мае гранична середне, тобто

1 п

kr i

2 А

-а, -а

1 п

коли назалекно один В1д одного прямують до неск!нченност!,

прямуе до ск1нченно1 границ! Z, то функтя (15) прямуе до I при t-wo pjBHOMipHO в кожн1й обмекен!й кул! простору Кп.

У п. 6.3 наведена одна теорема про р!вном1рну стаб!л!зац1ю розв'язк!в СП11ДР (9).

Нехай ü(T,a)£{e-(€1.....Sn)eK'l|VJe{1.....n): l^-x^«»,} - пара-

лелогпнед з центром в точц1 я-(я, , ...,xn)eRn t ребрами с^>0, HJKn;

а-(а......а ); min а.; |Р(х,а)|=2п Па, - об'ем Р(х,а).

1 п . ' ' J = 1 3

Теорема 6.2. Якщо початкова функщя ф обмекена 1 мае нульове piDHOMlpiiö гранична середне по паралэлеШпедах Р(х,а), тобто

------ [' ф(6)0Е -о- 0

|Р(х,а)| J

Р(х.а)

р!виомфна по xflü", то роза'язо!; (15) скстеми (9), для яко! вико-

нуються умови з теореми 6.1, plBHoMtpua стабиизусться до О.

У п. 6.4 доведена теорема про необзпдну та достатки умову точ-KOBOl стаб1Л1зацп розв'язку задач! Кош!

(ôt - D'Oud.r) = ü, (t,.г)еП, (16)

u(t,x) I ф(х), xtu:n, (17)

I t=o

де ])' - ПДО з символом |о|т, actRn, 73=1.

Тер_рема__6.3^ Для стаб!Л1зац!1 в точщ r°h(Rn до стало! I виз на-ченого формулою (15) розв'язку и задач! (16), (17) з 7=1 нооох!д-но й досить, щоО обмежена функтя ф мала pi вне I кульове гранично середне в точц! х°, тобто

lim--ъ--- [ ф<0

я -« | (К(х ,Н) | J

к Iх°,R)

де К(х°,Н) - куля в рад!уса R з центром у точц! х°.

При доведенш теореми 6.3 'використовуеться методика, яка роз-роблена для вяпадку диференщалыюго р1вня!шя t грунтуеться fia та-уберов!й теорем! Н. Вiпера.

Оауважкмо, що теорема, аналопчна теорем! 6.3, для випздку, коли 7>1, доведена С.Д.Ейдельманом I Я.М.Дргпем.

Пункт 6.5 мютить теорему про необх!дну та достатню умову точ-ково! стаб1л!заци нев1д'емних розв'язк!в р!вняння (16) з 7^(1,2). Так: розв'язки зображуються !нтегралом Пуассона-Ст1лтьеса

u(î,x)»| G(t,o,x-Ç)n(dÇ). (t,x)en, (18)

Rn

дз ц - Mlpa, яка визначена на а-алгебр! борельових множил простору Шп 1 така, :цо зенглеться ттеграл

J(iMei2) 2 n<de>.

Rn

Теорема 6.4. Для стаб1Л1зацп при t-» 1 фшеоватй точщ х=х°еК?, п>1,. ттеграла (18) до стсяог I необх!дно й досить, що б

ц(К(х°,й))

Ilm--к---* Z.

Р.-оо |К(х ,П) |

У п. 7.1 довьденл теорема про стгйкють за Ляпунов™ тришаль-

ного розв'язку задач! Кош! для системи (9) у клас! Р розв'язкиз, як! зображуються штегралом Пуассона у вигляд! (15).

Для функщй и:П-Кр1', вишрних по xtR" при кожному t>0, визна-чаються норми

|U(t.-)|r

U

1/r

|u(t,x)|rcir , якщо Кг«»,

К"

езз аир |u(t,x)|, якщо г=со.

х(№п

' Означення 7.1. Трив1алышй розв'язок задач! Кош! для системи (9) називатшемо Iy-CTtifaaw за Ляпуновим, якщо для дов1ль-

ного е>0 1снуе таке ß>0, що для всякого розв'язку иеР задач! Кош! для системи (9) з початковою фупкц!ею ср такою, що JcpH^ö, викону-еться iieptBHlCTb |u(t, •) | ^е для будь-якого t>0.

Теорема 7.1. Нехай для системи (9) . виконуються умови з теорем» 3.1. Тод! трив!альний розв'язок задач! Kernt' для тако! системи Ьг-ст1йкий за Ляпуновим, Kri».-

Пункт 7.2 мЧстить одну з теорем типу Д!ув:лля для розв'язк!в С1ШДР (9)» як! визначен! в iitBnpocTopt TJ t в кожному inapt

Пг ф1, tn<Т. зображуються у вигляд! ' ■

i tn-1) u

u(t

,х> - [ G(t,t0,x-C)u(t0,£)dC, (t,x)en(i T].

J О'

Клас таких розв'язшв позначаеться через Р0.

Теорема 7.2. Нехай для счетами (9) виконуються умовц з теоре-ми 3.1 . Якщо розв'язок и Тако! системи налэжить до класу Р0 1 задо-вольняе умову

3 0>0 V (1,х)еП(_ооЛ,]: |ии,х)| < с,

то вш е сталою вектор-функц1ею.

У додатку одержано формулу та оцппот для ядра Пуассона крайо-во! задач!

дм(t,x) • а20г и(£,х) + ЫАи)(1,1), (1,х)еП+,

и»,х)| "О, хей", (19)

и-0

(ВиШ.хН -А 0 и{£,х)I^ =0"/(С,Х'), и,Х*)еП\

I п " и I п

да Е^С^Ц.....хп)еКп|гп>0}, ({,т) | {>0, .....

х'еК""1); аеКМО), Ь>0; А - ПДО з-символом -|°'1Т. о'рКп"",> 45И; л - пдо з символом |а'|~р. о'€Ш"",\{0}> 0<р<п-1. Теорема Р. Ядро Пуассона а задач! (19) визначаеться р!вн!стю

аЬ 7 1 4а { Г ■ в Г -V ~ 1 ои,х'.хп)- -г п.ир+2— \ \Pexp\-\z' \~<-1{х' )]&',

2п~1 %П'г I Г

(Г,л:,,л:п)€П4, х'=х' »ЬГ1/Х Для похIдних в!д фупкц!й С правильними е так! оцижи:

ь С п~'¿г2

¡X'I

1 + Ш'-7^

/га , Г г ,-п+1-р-т-|>' |

* С Н 7 [< + ^иг ]

\дхпЪ(Х,х\хп)\ ^

•„ 'ЛГ-. Т ГГ. /'

г

• и,ЛГ)€П+.'

0СН0ВН1 РЕЗУЛЬТАТИ I ВИСНОВКИ

Знайдоно асимптотичне зображення фундаментального розв'язку задач! Кош! для р!вняння дифузп з псевдоди$еренц|альним доданном у ви-надку одше! ! трьох просторових зм!нпих. 3 цього зображення випли-пае, що при взасмоди локального (дифуз!я) та нелокального '(псевдо-диференщальний оператор) фактор)в асимнтотична поведшка фундаментального розв'язку задач 1 Кош! визначаеться нелокальним доданком.

Одержан! точш степенев! оц!нки п!впростор! П=К|{>0, лгеК'1> фундаме!1тально! матриц! розв'язк!в задач! Кош! та п шшдних для системи парабол!чних поевдодиференцюлышх р!внянь I сталим одпор!дним символом. Ц! оц1нки е аналогами в1домих оЩнок (А1) для парабол 1ЧШ1Х систем диференщалышх р!внянь.

Онисаш множини значень одного класу псевдодиференщальних оператора з негладкими символами, визначених на спец!альних с!м'ях 1гробних функщй. Цим забе-печуеться застосувзння в1домого в теорП диференщалышх р!внянь з частинними пох!Д1шми методу пробних функщй до вивчення як!сних властивостей розв'язк1в псевдодиференщаль-шк р!внянь. Цей метод у дисертаци застосов^но до доведения теоре-ми про единють нев!д'емних слабких розв'язк!в задач! Кош! для р!в-няння дифузп з псевдодиференш алышми доданками.

Одержан! ощнки у п)впростор1 II фундаментально! матриц! розв'-яз-к!в задач! Кош! для системи парабол!чних псевдодиференщальних р!в-нянь 13 сталим одн р!дним символом застосоваш до доведения теорем про р1вном1рну на кожному компакт! 1 р1вном!рну в усьому простор! отабшзашю розв'яз1ав зада'ч! Кош! для тако! системи, .теореми прг" Ъг~от1йк1сть за Ляпуновим (1$г<оо) трив!ального розв'язку задач! КоШ). а також теореми типу Л!ув!лля для розв'язк!в указано! системи рцзн/шь.

Реал!зована можливють застосуваншш методики, яка ронроблена для диференщалъних р1внянь 1 грунтуеться на таубероних теореыах Н. Втора, до знаходкення необх!дних та достатшх умов точково! стаб!-л!зац1! розв'язк!в задач! Кош1 для одного псевдодиф-ренщального р1вняшя з символом порядку 7=1 1 нев1д'емних розв'язк!в у вияадку, коли порядок символа 76(1,2) 1 число просторових зм1шшх п>1.

Одержана формула та оцпши для ядра Пуассона крайовс задач! в шшростор! по просторових змиших, у р!вняння 1 крайову умову як01 входять диференщювання по норь.альн!й зм!ншй та псевдодаференц*-альш операци по дотичних зм!нних.

OCHOBHI ПОЛОЖЕНИЯ ДИСЕП'АЦП ОЧУБЛ1КОВАН1 В ПР/ЦЯХ:

1. Eldel'man S.D., Drln' R.Ya. About properties of the solution of diffusion equations with the pseUdodifferential summand // Доп. HAH Укра!ни.- 1995.- № 5,- С.9.-12.

2. Eidel'man S.D., Drln' R.Ya. About the investigations of the action of the pseudodifferentlal operators over the special classes of test functions // Доп. HAH Укра!ни.- 1997.- л 3,-G. 32-37.

3. Дрть P.Я. Оцпжа ядра Пуассона одниз! парабол1чно1 псевдодифе-ренщально! крайово! задач! // Нелинейные краевые задачи математической физики: Сб науч. тр.- Киев: Ин~т математики НАН Укра-ШШ, 1994." С.72-73.

Дршь Р.Я. Стаб1л1зашя розв'язкш задач! Кош! для систем пара-бол!чних псевдодифррешппльних р1внянь з негладкими символами // 1нтегралып перетвороння та !х застосування до крайових задач: 36. наук, гграць.- Кшв: 1н-т математики НАН Укра!ни, 1997.-№ 14.- С.88-102.

5. Дршь Р.Я., Ейдельман С.Д. бдиШсть розв'язку задач! Кош! для р!вняш!я дифузи з псевдодиферентальним доданком // Матер!али ' мишародно! математично! конференцм, присвяченоI пам'ят! Ганса Гана.- ЧерШвц!: Рута, 1995.- С.78-88 (див. також Др!нь Р. Про едитпсть розв'язку задач1 Koiui для р!вняны дифузи з псевдодифе-ренц!альним доданком // Лишэродна математична конференшя, при-свячена пам'ят! Ганса Гана (10-15 жовтня 1994 року, м. Черн!вц!)-Тези доп.- ЧерШвц!: Рута, 1994.- С.44.)

Дршь Р.Я., Ейдельман С-Д. Властивост! розв'язк!в деяких лара-бол!ч!гих псевдоди1{«р(лщ1алышх р!внягъ з негладкими символами // Всеукра!. зька наукова конференшя "Нов1 Шдходя дб розв'язання дифсрыщ!альШ1К рП.нянь" (25-27 сччня 1994 р., м. Дрогобич): Тези доп.- К.: 1н-т математики АН Укра1ни, 1994.- С. 53. Цг1п' Н.Уа. /'-out the asymptotic representation of the flreen function cf the parabolic pseudodlfferent.a.i equation // International Conference Nonlinear differential equations (Kiev, August 21-27, 1995). Book of abstracts.- Kiev, 1995.- P.39.

'¡. Ейдельман С.Д., Дршь Р.Я. До як!сно! теорп псевдодиференшаль-ппк р!внянь // Наукова копфоренщя "Нелпийш пробами а;1эл!пу" (24-27 вересня 1996р., м. 1вш-ю-ФранкIвськ): Тчзи доп.- 1вото-1'рэ'!к!вськ, 1996.- С.34. .

Drln' R.Ya. Investigation of the qualitative properties of the solutions of the parabolic pseudodlfferential equations with the non-smooth symbols. Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of Science ( Ph.D ) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.02 - Differential Equtiona, Chemivtsl State University, Chernlvtsi, 1997.

The qualitative properties of the solutions of the parabolic pseu-dodlfferentlal equations and Its systems are investigated: the method of test functions Is developed and applied, the exact estimations in the space t,>0 apd asymptotic approximation of the fundamental solution of Lhe Cauchy boundary problem are proved, the behaviour of the solutions for the large values of time variable are investigated (stabilization and stability solutions by Liapunov, theorem of Liouvllle type).

Дринь P.Я. Исследование качественных свойств решений параболических псевдодифференциальных уравнений с негладкими символами. Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Черновицкий государственный университет. Черновцы. 19^'.

Исследуются качественные свойства решений параболических псевдодифференциальных урарчений и их систем: развивается и применяется MeToj пробных функций, устанавливаются точные оценки в полупространстве (£>0) и асимптотика фундаментального решения задачи Коши, исследуется поведете решений при больших значениях временной переменней (стабилизация и устойчивость ао Ляпунову, теорема тина лиувилля).

ШГОЧ0В1 СЛОВА:•систоми парабол!чних псевдодиференщальних р!в-нянь, задача Кош!, фундаментальний розв'язшс задач! Кош!., метод пробних функц1й, стаб1л!зац!я, ст!Шисть, теорема.Л!ув!лля, крайова задача, ядро Пуассона.