Исследование конвекции жидкости в тороидальном канале тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ ПРОФЕССОРА Н. Е. ЖУКОВСКОГО.

;ГБ ОА

На правах рукописи.

2 7 ОН! 1998

Дроздов Сергей Михайлович.

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ В ТОРОИДАЛЬНОМ КАНАЛЕ.

(01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

г. Жуковский 1998.

Работа выполнена в ЦЕНТРАЛЬНОМ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ИНСТИТУТЕ ИМЕНИ ПРОФЕССОРА Н. Е. ЖУКОВСКОГО.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Жигулев В. Н.

фициальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Липатов Игорь Иванович , кандидат физико-математических наук Сидоренко Николай Владимирович.

едущая организация - Центральный Институт Авиационных

Моторов (ЦИАМ).

ащита диссертации состоится_ _ 1998 г. в

асов на заседании Специализированного Совета К 063.91.07 в

псковском физико-техническом институте.

дрес: 140160 Московская обл. г. Жуковский, ул. Гагарина, д. 16.

диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФАПТ МФТИ, втореферат разослан _ _1998 г. .

ченый секретарь пециализированного Совета зндидат физико-математических 1аук, доцент

А. И. Киркинский.

Общая характеристика работы.

В диссертационной работе, на примере конвекции жидкости в тороидальном канале, выполнено теоретическое, численное и экспериментальное исследование возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом эффективно взаимодействующих степеней свободы. Произведены анализ термогидродинамики моделируемых физических процессов, совершенствование математической модели изучаемых явлений и разработаны новые принципы конструкции экспериментальной установки.

Актуальность темы. Переход от ламинарной к турбулентной форме движения жидкой среды, причины возникновения случайности в эволюции аэрогидродинамических систем, роль нелинейности, неустойчивости, диссипации энергии и количества эффективно взаимодействующих степеней свободы - все эти проблемы характеризуются стойким и пристальным интересом исследователей и являются фундаментальными в механике. Существует несколько гипотетических сценариев перехода к турбулентности (Ландау-Хопф, Лоренц, Рюэль-Такенс и др.) и во всех критерием турбулентности выступает случайность поведения системы во времени.

Теория Ландау-Хопфа относит появление случайности на счет большого количества взаимодействующих пространственных мод или степеней свободы, возбуждающихся в гидродинамической системе при закритических значениях управляющего параметра (число Рейнольдса Яе, число Рэлея Ра и др.). Однако это лишь один из возможных механизмов возникновения турбулентности, причем, по-видимому, далеко не самый общий. Рюэль и Такенс установили, что общий путь возникновения случайности - это образование странного аттрактора, после конечного числа бифуркаций. Выяснилось также, что для возникновения случайности не обязательно иметь взаимодействие большого количества мод илу степеней свободы системы. Оказалось, что стохастическими могут быть уже решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ размерностью три и выше. Ярким математическим примером этого стала систем; Лоренца, где впервые были обнаружены непериодические решения принадлежащие некоторому притягивающему множеству, названному странныл аттрактором.

Исследование системы Лоренца и других динамических систем позволило гичь значительного прогресса в разработке механизма возникновения 1айности в детерминированной системе. Однако большинство результатов ал ось эволюции динамических систем во времени. А турбулентность - не только менной, но и пространственный хаос и априори не известно, в какой степени ематическая система ОДУ не высокого порядка соответствует исходной зодинамической системе, имеющей бесконечное число степеней свободы? Цля того, чтобы выяснить вопрос применимости такого сценария возникновения га к гидродинамике необходимо исследовать его выполнение на реальной зодинамической системе допускающей экспериментальное моделирование и сываемой сравнительно не сложной математической моделью для которой ежно отработаны численные алгоритмы.

Конвекция жидкости в тороидальном канале как раз и является одной из [ельных гидродинамических систем для изучения перехода от ламинарной к эулентной форме движения жидкой среды. Целью работы является:

Разработка новой математической модели конвекции жидкости в тороидальном «нале и определение основных критериев ее физической реализуемости.

Выполнить необходимый объем численных исследований по новой математической модели для изучения основных бифуркаций решений (неединственность стационарных состояний, потеря ими устойчивости, возникновение периодических и стохастических режимов), определить область параметров для экспериментального исследования, провести сравнение с расчетами по модели Лоренца.

Экспериментально получить режимы движения жидкой среды соответствующие модели изучаемого явления: стационарные состояния, бифуркации и неединственность стационарных состояний, потеря устойчивости стационарных состояний, нестационарные периодические и стохастические режимы.

чная новизна:

Аз общей системы уравнений термо-гидродинамики получена новая математическая модель конвекции жидкости в тороидальном канале, эбладающая свойством разделения угловых степеней свободы с

з

формированием замкнутой системы нелинейных дифференциальных уравнен относительно трех пространственно временных функций - степеней свобо; Показано, что, подобно системе Лоренца, эта модель имеет нестационарн решения при стационарных внешних условиях и способна генериров; периодические и случайные режимы движения жидкой среды.

2. Предложен новый метод нахождения периодических по времени решен систем нелинейных дифференциальных уравнений. Реализация метода примере системы Лоренца показала его высокую эффективность и точное Алгоритм метода не зависит от устойчивости циклов и размерности систе дифференциальных уравнений. Серьезными достоинствами метода являе возможность его применения для расчета квазипериодических решений обобщение на случай систем нелинейных дифференциальных уравнений частных производных.

3. Экспериментально получены периодические и стохастические процессы нелинейной гидродинамической системе с тремя эффекта взаимодействующими степенями свободы. Исследованы временные, фазов спектральные и некоторые статистические характеристики таких процесс проведено сопоставление с расчетами и дан анализ природы возникнове хаоса.

Практическая ценность:

• Полученные в рамках диссертационной работы результаты достато убедительно свидетельствуют о том, что механизм возникновения хаоса че бифуркации и образование странного или хаотического аттракторов, откры для дискретных динамических систем, может быть причиной возникнове хаоса и перехода к турбулентности в реальной гидродинамической системе.

• Разработанный и опробованный на системе Лоренца алгоритм мет нахождения периодических по времени решений систем нелиней дифференциальных уравнений может быть использован для рас1 периодических и квазипериодических решений систем ОДУ, а также для рас1 автоколебаний в распределенных системах, описываемых уравнениям! частных производных.

• Использование установки в качестве лабораторного стенда для изуче вопросов динамики нелинейных систем.

/Обация работы.

введенные в диссертационной работе результаты докладывались и получили

южительную оценку на:

Научных семинарах в ЦАГИ, МФТИ, МГТУ.

Международной конференции " Методы аэрофизических исследований " 1992г. (ИПМ СО РАН, г. Новосибирск).

Научно-технических конференциях МФТИ в 1994 и 1997 гг..

Международных школах по Нелинейным Задачам Теории Гидродинамической Устойчивости 1994, 1998 гг. (Институт Механики МГУ).

бликации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6] 1сок которых приведен в конце автореферата.

ъем работы . Диссертация состоит из введения, трех глав и выводов. Содержит страниц текста, 4 схемы и 85 графиков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении диссертационной работы дается формулировка изучаемой облемы возникновения хаоса и турбулентности в гидродинамической системе, эавляемой небольшим числом эффективно взаимодействующих степеней эбоды. Кратко излагаются результаты, полученные для дискретных динамических стем и формулируются основные задачи диссертационной работы. В конце едения приведено краткое содержание глав.

Глава-1 диссертации посвящена построению базовой математической модели нвекции жидкости в тороидальном канале, определению условий ее физической ализации и анализу численного исследования поведения ее решений во времени 1ри варьировании параметров.

В параграфе 1.1 дается постановка задачи о конвекции жидкости в тороидальном нале и вывод ее базовой математической модели, исходя из системы уравнений жье-Стокса и уравнений распространения тепла в сопряженных с каналом средах, осмотрим следующую термогидродинамическую систему (рис.-1). Имеется тор с щиусом средней окружности (диаметр Ос =2 и радиусом поперечного чения (го+Ьг). Тор состоит из нескольких вложенных областей - для

определенности будем считать, что их три. Внутреннюю тороидальную полост назовем каналом. Он имеет радиус поперечного сечения Го (диаметр с!о = 2 Го) радиус средней окружности (оси канала) Канал заполнен жидкостью с следующими свойствами: Жидкость несжимаемая, зависимость плотности о

Теплопроводность - X , теплоемкость - с и вязкость - ц жидкости не зависят о температуры. В жидкости происходит тепловыделение с объемной плотность* мощности со(1, г, ф, г), и суммарной мощностью \Л/. Канал окружен нескольким! (двумя) тороидальными слоями, каждый из сплошного однородного материале Теплопроводности , Х2 теплоемкости - С1 , сг и плотности - Р1 , р материалов слоез не зависят от температуры. С наружи тор окружен средой постоянной температурой. Показано, что при выполнении пяти условий:

1. Канал тонкий Рс/Го = И » 1.

2. Плотность линейная функция температуры (1.1), причем а « 1.

3. Подвод тепла и граничные условия для Т, и осесимметричны относительн! окружности оси канала (не зависят от у).

4. Температура слабо меняется внутри канала, а весь перепад температурь расположен в слое-1 с малой теплопроводностью >., « ?..

5. Жидкость имеет единственную компоненту скорости вдоль оси канал; и~1; V «1; \Л/ «1.

процесс конвекции жидкости в тороидальном канале описывается следующее системой уравнений, которая является частным случаем общей системы уравненш Навье-Стокса и уравнений распространения тепла в канале и в сопряженных I каналом средах: и - скорость, Т - температура, Р - давление (обезразмеренные).

температуры - линейная р=роП-о-(Т-То)]; а«1

(1.1).

3 Т 1 ЭТ 1 д2Т,

•7 + + ■> 7] +

Эу уду Р2Эф2

]+аа<р)

(1.14)

При 1<у<1+Н,

(

ЭТ А ГЭ T 1ÔT 1 д2Т. at пду2 уду R2592 1ри 1+Hi<y<1+H2

ат . га2т i ат i а2т, = Л2[ , + + , J at 2 ay2 у ay r^2

■раничные условия:

= 0: au -о ÔT-o-

ay ay_

= 1: u = 0 • "Г 1-0= T ] + 0, ay -x ÔT • 1 ay ,+0' (1.17)

= 1 + Н, T I+H,-O= T 1+H, ат ат ду1+и,-° 2 ду ] l+Hj+O

ах

= 1 + Н2: T + Ç =0; где Ъ, = const ay

Используя естественную периодичность задачи по углу ф, представим функции Р, Q в виде разложения в ряды Фурье.

00

r(t, у,ф) = T0(t, у) + a(t, у) cos ф + b(t, у) sin ф + £ [an cos Пф + bn sin Пф]

п=2

3(t, У,ф) = P0(t У) + Z(Pn(t, У)cos Пф + nn(t, y)sinn9) (1.18)

П = 1

оо

3(t^) = Q0 +Q, соэф + W, эюф + £[Qn соэпф + Wn этпф]

П = 2

нвекция жидкости в тороидальном канале является уникальным примером цродинамической системы, где математически строго разделяются остранственные степени свободы и формируется замкнутая система для конечной ^ппы основных мод - u(t,y), a(t,y), b(t,y):

(1.15) (1.16)

да

а

дЬ

т

ди

т

да

т

дЬ

т

да

а

дЬ

а

, . .З а 15а а . _ п + иЬ-Л[ . + - =0

Эу2 уЭу И2 1

агЭ2Ь 1 дЬ Ь. .

-иа-Л[ ,+ - ] = 0 Эу2 уду И2

О < у < 1

п ,м ли 5 и 1 5и. п

-РгА[4-а-31Пф0+4-Ь-созф0 + + ] = 0

ду2 уду

, .З а 1 да а <Эу уду ^ д2Ь 1 ЭЬ Ь

(1.20)

= А,[

+

-

= Л2[

= а2[

ду1 уду Р

Э2а 1 да а

, +

ду2 уду Р

д2Ъ 1 ЭЬ Ь

■у + -

ду2 У ду ^

1 < у < 1+ Н,

1 + Н, < у < 1 + Н2

Граничные условия для (1.20) следуют из граничных условий (1.17).

Подсистемы для всех остальных степеней свободы ап(1,у), Ьп(1,у) (п >1) содержат в качестве множителя и(1,у) и тем самым зависят от решений (1.20). Таким образом, подобно модели Лоренца, здесь тоже образуется "генератор" (1.20), определяющий все временные изменения в термогидродинамической системе (1.14+1.16). Если решения (1.20) стационарны, то и решения (1.14+1.16) будут в конечном итоге стационарны. Если в (1.20) появляются случайные по времени решения, то случайность передается всем остальным модам и возникает не только временной, но и пространственный хаос.

Система (1.20) вместе с подсистемами для всех остальных степеней свободы принята в качестве базовой математической модели конвекции жидкости в замкнутом тороидальном канале.

Установим связь (1.20) с моделью Лоренца. При выводе модели Лоренца делаются предположения о прямой пропорциональности тепловых потоков на стенке канала qa, дь средним величинам а, Ь и пропорциональности силы

¡противления Р расходу II (последнее эквивалентно пуазейлевскому профилю :орости жидкости в канале и=21_1(1)[1-у2]).

Рс= -811(1) (1.25)

Яь=рЬ(1) (1.26)

где Р - некоторая константа.

Осреднив (1.20) по сечению канала и используя (1.25, 1.26) получим систему, >добную системе Лоренца : Нп

+ Ьи + Ва-0, =0

Л

аЬ-аи + ВЬ = 0 (1.27)

Л

ёи га . Ь ТТ1 _

- СТ • [ ЭНКр,) + СО5ф0 - и] = 0 , <л 2 2

где; а = 8РгЛ; В = Л( \ + 2 р)

К А.

Дпя высших гармоник ап, Ьп (п > 1) получаются линейные системы уравнений, да входит II (Ц в качестве коэффициента.

С точки зрения возможности экспериментального моделирования, предположения .25 , 1.26) , на которых базируется система Лоренца, оказываются слишком раничивающими. Самой грубой оказывается модель теплоотдачи во внешнюю еду (1.26), которая не учитывает эффекты нестационарного теплообмена между щкостью и слоем-1 теплоизоляции. В конце раздела 1.1 излагается аналитический ;тод учета слабо-нестационарного теплообмена (идея метода предложена лгулевым В. Н.). Применение этого метода не заменяет базовой модели, но зволяет понять механизм влияния нестационарного теплообмена на динамику 13ической системы, которое состоит в замедлении эволюции во времени и еличении коэффициента диссипации ст, что увеличивает устойчивость ационарных состояний (1.27). Оба этих эффекта обнаружены в расчетах (раздел !) и качественно соответствуют данным эксперимента.

В параграфе 1.2 получены основные критерии физической реализуемости зовой математической модели конвекции в тороидальном канале, дополняющие речень требований (1-5), предъявляемых к конструкции экспериментальной

установки, для максимально точного моделирования изучаемых процессов.

Самым принципиальным и труднореализуемым в эксперименте является предположение об одномерности течения жидкости вдоль оси канала. Именно оно первым нарушается в экспериментах, приводя к возбуждению большого числа пространственных степеней свободы, нелинейно взаимодействующих друг с другом. С нарушением одномерности тесно связано и нарушение предположения о слабом изменении температуры в поперечном сечении канала.

Представим результаты исследования двух главных механизмов разрушения одномерности течения, которые следуют из анализа имеющихся экспериментальных данных. Первый механизм есть разрушение квазипуазейлевского течения в канале из-за превышения критической скорости движения, что может привести к неустойчивости типа Тейлора. Для потери устойчивости течения Куэтта в малом зазоре между двумя цилиндрами имеется теоретическая оценка критического числа Тейлора Те которая в наших обозначениях имеет вид:

Заметим, что (1.15) является нижним ограничением предельной скорости течения в канале.

Но одного критерия (1.15) для реализации базового течения недостаточно. Анализ экспериментов показал, что разрушение одномерности течения происходит через образование большой зоны возвратного течения на той части канала, где жидкость поднимается. И здесь основным механизмом разрушения становится неблагоприятный градиент температуры ЭТ/Э(р<0. Рассмотрев модельную задачу об устойчивости течения вязкой и теплопроводной жидкости по вертикальной цилиндрической трубе, окруженной слоем теплоизоляции, при уменьшении температуры с увеличением высоты, можно получить следующий критерий :

адр^сс^о 5Т

цШ <Эф

Таким образом для физической реализации конвекции жидкости в торроидальном канале, описываемой частным случаем (1.14, - 1.17) общей термодинамической системы , необходимо выполнение следующих критериев:

(1.15)

ю

К1: Те = 13е (Г° ) < 84 , ч

Ч 0-16)

К2: На < 544

Неудачи экспериментального моделирования нестационарных режимов секции, соответствующих системе Лоренца и даже более общей эмогидродинамической системе (1.20) были вызван. ! именно нарушением К2 и звитием неустойчивости Рэлея.

В параграфе 1.3 содержится анализ результатов численных исследований секции жидкости в тороидальном канале, выполненных по базовой модели, эведено сравнение с расчетами по модели Лоренца и определены границы ее именимости к реальному физическому объекту. С помощью расчетов :ледованы основные бифуркации решений - неединственность стационарных стояний, потеря ими устойчивости, возникновение периодических и эхастических режимов. Определена область параметров для экспериментального :ледования.

На рис.-2 представлены расчеты эволюции средней по сечению канала скорости нвекции 11(1) при \Л/ = 0.5 Вт, ф0 = 15° по модели Лоренца (Ц и базовой (ВМ). ¡чальные условия - покой и однородная нулевая температура. Данное значение щности выше первого бифуркационного, но ниже критической величины \АГ при горой происходит потеря устойчивости стационарных состояний. Поэтому ализуется устойчивая стационарная конвекция в положительном направлении. Из авнения кривых рис.-2 видно, что расчеты по базовой модели дают колебания эрости с меньшей амплитудой, большим периодом и большим декрементом гухания. То есть, базовая модель (1-20) характеризуется большей ссипативностью.

Причиной данного эффекта, который отмечен и в экспериментах, является рушение предположений (1.25, 1.26) на которых базируется вывод модели ренца. Причем, для данного режима малой мощности, предположение (1.25) о азипуазейлевском характере течения выполняется достаточно точно. Заметно >ке выполняется предположение (1.26) о пропорциональности местного теплового тока, отдаваемого во внешнюю среду, среднему значению температуры в данном чении канала. На рис.-З даны кривые дЬ - первого Фурье коэффициента из зложения теплового потока на стенке канала, и его аппроксимация рь согласно

п

предположению (1.26). На переходном этапе истинное значение теплового потока примерно на 15 % отличается от аппроксимации , причем в большую сторону. Этс приводит к эффекту демпфирования колебаний температуры и общему увеличения диссипации тепловой энергии в системе. В разделе-1.1 данный эффект быг исследован теоретически и получена слабо-нестационарная аппроксимация для теплового потока на стенке канала. Как показали расчеты, новая зависимость на много точнее аппроксимирует тепловой поток. На рис-3 кривая дЬ практичесм совпадает с новой аппроксимацией (пунктир). Это не замедлило сказаться и не динамике конвекции. На рис-2 пунктирная кривая (1_т) представляет расчет пс модели Лоренца с поправкой на нестационарный теплообмен между жидкостью ^ слоем-1 теплоизоляции. Теперь кривая (1_т) почти совпадает с расчетом по базовое модели (ВМ).

При увеличении мощности выше критического значения \Л/ стационарные состояния I, II теряют устойчивость и в расчетах по системе Лоренца реализуют« либо стохастический режим странного аттрактора, либо (при малых |<р|< 1°) слабс притягивающие периодические решения. И здесь впервые возникав" принципиальное качественное различие поведения решений базовой модели о' решений модели Лоренца - существенно большая устойчивость стационарны: состояний. Главным источником значительного запаса устойчивости стационарны: решений базовой модели является тепловое взаимодействие жидкости в канале с< слоем-1 теплоизоляции. Возбуждение тепловых волн в слое - 1 эквивалентн< возбуждению дополнительных степеней свободы, увеличивающих полнун диссипацию в системе. В результате критическая величина мощности, при которо! происходит потеря устойчивости стационарных решений базовой модели 2.',

[Вт], что в 1.7 раза больше аналогичной величины для системы Лоренца.

Если мощность нагрева превышает критическое значение \Л/', т( стационарные решения базовой модели теряют устойчивость и реализуютс: нестационарые режимы с нерегулярной сменой направления движения жидкое™ Рассмотрим результаты расчетов режима \Л/ = 7 Вт, фо =0°. В качестве начальны условий взято стационарное решение - I, которое возмущалось 8 - секундньи отключением нагрева. На рис.-4 представлена фазовая картина процесса. Уход о неустойчивого стационарного состояния происходит уже на 2 - 3 колебании, поел чего наблюдается сложный и непредсказуемый процесс эволюции в некоторо

раниченной части пространства состояний. На рис.-5 даны графики расчета юлюции температуры в местах расположения термопар на установке ИКЖ-5.

Система, находящаяся в состоянии странного аттрактора, характеризуется ¡предсказуемым поведением на больших временах, однако, имеет вполне феделенные статистические характеристики, не зависящие от малых изменений фаметров задачи. Именно с помощью таких характеристик и нужно анализировать >ведение разных систем. На рис.-б представлены кривые квадрата модуля Фурье «образования функции 11(1), полученные расчет^ ,; для системы Лоренца и 130В0Й модели. Плотность мощности, полученная для базовой модели не имеет жо выраженных доминирующих частот, тогда как расчеты по системе Лоренца 1ют доминирующие частоты, кратные 8 ч- 10 милиГерц [мгц]. Другой атистической характеристикой процессов является автокорреляционная функция, з рис. -7 показаны автокорреляционные функции процессов 1_)(1), полученных ючетом для системы Лоренца (I.), и базовой модели (ВМ). На промежутках 1емени меньше 10 минут, процесс (1_) имеет значительно более высокую >едсказуемость, чем процесс (ВМ). Очевидно это связано с наличием мощных (минирующих частот в его спектре. Как показано в главе-2, модель Лоренца имеет 1И этих параметрах периодические решения в окрестности которых и олюционирует система.

Таким образом, имеется принципиальное качественное и количественное 1зличие поведения решений базовой модели от решений модели Лоренца потому, о на режимах большой мощности серьезно нарушаются оба предположения (1.25, 26). На рис.-8 показано, как соотносятся между собой кривые истинного теплового

тока qb и его аппроксимация рЬ по модели (1.26). Видно, что ни о какой юпорциональности теплового потока на стенке средней температуре в каждом чении канала не может быть и речи. На рис.-9 показаны профили а(1,у) в которые моменты времени. Изменения по у в канале для первой гармоники ¡велики, хотя и заметны.

Проведенный в этом разделе анализ показал, что базовая модель конвекции щкости в торроидальном канале (1.20) имеет достаточно сложную картину олюции своих решений включающую неединственность стационарных состояний, терю ими устойчивости и возникновение нестационарных стохастических и риодических режимов. На динамику конвекции значительное влияние оказывает

нестационарный теплообмен между жидкостью и слоем-1 теплоизоляции, который увеличивает диссипативные свойства системы (1.20) по сравнению с моделью Лоренца (1.27).

Глава-2 посвящена изучению периодических по времени решений систем нелинейных дифференциальных уравнений. Дан общий алгоритм метода нахождения таких решений для автономных систем ОДУ. Предложенный метод применен для нахождения циклических решений системы Лоренца. Проведен анализ полученных решений.

В параграфе 2.1 формулируется г.-етод расчета периодических решений задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим автономную систему ОДУ нормализованного вида с аналитическими правыми частями (М- размерность системы).

с!0 (К

= Р(0,(}), где 0 =

и.

V и М У

Чрм(и1-им.О)

(2.1)

Здесь вектор С1={д1.....дь} - вектор параметров системы (2.1).

Важнейшим частным случаем решений (2.1) являются периодические решения или циклы. Основным методом теоретического исследования периодических решений является метод отображений Пуанкаре, позволяющий переходить от исследования траекторий в фазовом пространстве системы (2.1) к исследованию поведения точек на секущей Пуанкаре. В частности периодическим траекториям или циклам на секущей гиперповерхности Б соответствуют неподвижные точки отображения Пуанкаре.

Метод отображений лежит и в основе большинства численных алгоритмоЕ поиска периодических решений (2.1). Однако, теперь на первый план выходит ря,с принципиальных недостатков этого метода, которые серьезно снижают эффективность численных расчетов, а нередко вообще не позволяют найп циклическое решение. Главным недостатком численной реализации методг отображений является то, что вся; информация об отображающих функциях и и; производных извлекается с помощью многократного решения задачи Коши для (2.1) Причем, требуется очень высокая точность получения как самих траекторий, так I

л

ределения точки и момента пересечения траектории с секущей перповерхностью. Если цикл является простым аттрактором с большой областью итяжения, то необходимая точность достигается. Но, в типичном для нелинейных ЦУ случае высокой чувствительности решений к изменению начальных условий и к тому внешнему шуму (ошибки округления и аппроксимации), такое определение ображающей функции и ее производных может оказаться некорректным.

Второй принципиальный недостаток обсуждаемых методов обнаруживается в стемах с размерностью больше трех. Осложняется построение гиперповерхности /анкаре, резко возрастает объем расчетов для построения отображающей /нкции и др. Следует отметить и то, что наряду с высокой чувствительностью ¡шений задачи Коши к возмущению начальных условий имеется и высокая их вствительность к изменению параметров задачи О. Это осложняет исследование ;менений и бифуркаций периодических решений (2.1) в пространстве параметров.

Рассмотрим метод нахождения периодических решений, не включающий этап ¡шения задачи Коши. Пусть система (2.1) имеет в некоторой области фазового юстранства периодическое решение Тогда оно может быть представлено в |де ряда Фурье:

( 1/

ВД= 1Спе1юп\ где Сп =

1С

V ^п;

(2.6)

л

Здесь и далее верхний передний индекс - номер компоненты вектора, нижний ндекс - номер гармоники. Подставив (2.6) в (2.1) получим следующую систему >авнений относительно коэффициентов Фурье и параметра ш=2л/т .

• ¡сопС„ = ?>(С, ,..Сп...,со) ; п-целое (2.7)

\

здесь Т =

м

Гп(С,...Сп...,со)

V

У

Вектор fп - п член разложения в ряд Фурье вектора Р.

Так как периодические решения (2.1) определены с точностью до произвольно!" начального момента времени 1о , то и коэффициенты Фурье разложения (2.6' удовлетворяющие системе (2.7), тоже определены с точностью до произвольно фазы ср =ш(о. Если вектор С„ есть решение (2.7), то вектор

тоже является решением (2.7).

С другой стороны, система (2.7) не замкнута. В ней количество неизвестны {тСп , ю } на единицу больше числа уравнений, которое равно общему числ учитываемых коэффициентов Фурье { тС„}. Фиксация фазы решений (2.6) как раз является тем единственным условием, необходимым для замыкания (2.7).

Пусть { тв п , о } некоторое решение (2.7), в котором гармоника компоненты порядка р '"Бр^О. Выберем <р таким образом, чтобы эта гармоника поел преобразования (2.8) стала действительным числом (или переменна! представляющая ее мнимую часть , равнялась нулю).

Если правые части (2.1) - аналитические функции своих аргументов то систем (2.7), замкнутая уравнением (2.9), имеет локально однозначные решения (кром точек бифуркаций).

Итак, главная идея предлагаемого метода получения периодических решени заключается в переходе от решения задачи Каши для системы (2.1), к решени системы алгебраических уравнений (2.7, 2.9) для {тСп , со}. В принципе Фурь разложение решений (2.6) не является единственно необходимым элемента метода. Общая суть метода заключается в переходе от решения задачи Коши дг системы ОДУ к решению краевой задачи для той же системы с условиям периодичности на концах, находящихся друг от друга на неизвестной дистанции

Зп=Спе'фП

(2.8)

!т( 1СР) = О

(2.9)

Фиксация фазы решений, замыкающая задачу, эквивалентна фиксации величины эдной из функций при t=0. Эта величина должна находиться между минимумом и максимумом выбранной функции на периоде т.

В параграфе 2.2 предложенный метод применен для нахождения периодических решений системы Лоренца. Пример расчета циклов Р1 и РЗ, рассчитанных для W = 7Bt, фо = 0, показан на рис-10. Величины периодов равны соответственно п = 141.6 [с], т3 = 65.6 [с]. Оба периодических решения неустойчивы и находятся в той же области фазового пространства, где существует и странный аттрактор (точки на рис. -10).

Программная реализация общего метода поиска периодических решений систем нелинейных ОДУ показала его высокую эффективность и точность. Алгоритм метода не зависит от устойчивости циклов и размерности М системы дифференциальных уравнений (2.1). Если разложение в ряд Фурье вектора F правых частей (2.1) производить численно, то алгоритм метода не зависит и от вида нелинейности системы (2.1). К недостаткам метода следует отнести необходимость проверки сходимости решений при увеличении числа гармоник N в рядах (2.6). Серьезными достоинствами метода является возможность его применения для расчета квазипериодических решений и обобщение на случай систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Этому посвящены разделы 2.3 , 2.4.

В главе-3 дано описание конструкции экспериментальной установки и проверка ее соответствия основным условиям моделирования изучаемого явления. Проведен анализ полученных режимов конвекции (стационарные режимы, бифуркации и неединственность стационарных режимов, потеря устойчивости стационарных режимов, нестационарные, периодические и стохастические режимы). Исследованы спектральные и статистические характеристики нестационарных процессов, проведено сопоставление с расчетами, дан анализ природы возникновения хаоса.

В параграфе 3.2 проводится анализ результатов экспериментов. Если мощность нагрева W меньше критической W** 7.5Вт, то в согласии с теорией, в эксперименте реализуются устойчивые стационарные режимы с конвекцией либо в положительном (стационарный режим - I ), либо в отрицательном направлении (стационарный режим - II). Строго говоря, существует и третий стационарный режим - III с нулевой скоростью Um = 0 при фо =0 или малой отрицательной

скоростью | Uiii | «1 при небольших ф0 << 1. Однако он неустойчив и в эксперименте не реализуется.

На рис. -11 представлены кривые Ti, Т2, Тз эволюции температуры в точках 1,2,3 соответственно (рис. -1). Данный режим (R50) развивался из нулевых начальных условий - отсутствие движения и полное тепловое равновесие с внешней средой. При t=50 сек была включена мощность нагрева W=0.804 Вт. Угол сро центра области нагрева был около +1° , поэтому реализовался стационарный режим-I с положительной скоростью движения U[>0. Колебания температур Т-i, Тг, Тз , вызванные колебаниями скорости (период т = 250 сек) быстро затухают, стремясь к стационарным величинам. На направление скорости U > 0 указывает последовательность изменения температуры - сначала Ti, потом Тг и последний Тз.

На рис. -12 показан переход от одного стационарного режима (R 50) W = 0.804 к другому (R51) после увеличения мощности до W = 1.79 Вт. Переходный процесс сопровождается колебаниями температур Ti, Тг, Тз, которые отражают колебания скорости движения с периодом то® 136 сек. Заметим, что эти колебания происходят около значения Ui стационарной скорости и не приводят к смене знака скорости, чтс сопровождалось бы пересечением кривых Ti и Т3. Увеличение W привело t уменьшению периода т собственных колебаний и ослаблению декременте затухания.

При стационарной конвекции температура уменьшается от выхода из область нагрева к входу (и наоборот при режиме II ). Распределение температуры на oci канала для стационарных режимов (R50) W=0.804 и (R63) W= 1.75Вт показанс маркерами на рис.-13 вместе с результатами расчетов по базовой модели . Видно что эксперимент находится в хорошем согласии с теоретической моделью Распределения температуры по оси канала в разные моменты времени переходной процесса R 63 (включение W = 1.76Вт из нулевых начальных условий) показаны н; рис.-14. Следует обратить внимание, что во время эволюции, особенно в ее начал< (t=59 сек), градиенты температуры могут на порядок превышать стационарны; значения (Stat.). Именно поэтому в установке важно иметь существенный запас П' числу Рэлея.

Для исследования устойчивости полученных стационарных режимоЕ производилось кратковременное (10-15 сек) отключение мощности с последующи! восстановлением до прежнего значения. Результат такого исследовани

тационарного режима (R 64) W=1.75;<po=0° (близкого к R51 и R61) показан на ис.-15. После 4-5 колебаний с периодом т0 = 140 сек. стационарный режим осстановился. На этом же рисунке представлены результаты расчета (по базовой юдели ) температуры в местах установки датчиков (кривые- D1,D2,D3).

При анализе поведения динамических систем много информации дает сследование фазовых траекторий. Диаграмма T2(Ti-T3) представляет фазовую лоскость зависимости четной составляющей распределения температуры по ф от ечетной. И это качественно соответствует диаграмме а(Ь) в системе Лоренца 1.27). Но в зависимости (3.5) присутствуют и все высшие степени свободы (п >1). На ис. -16 показаны две фазовые траектории. Одна из которых (R64) соответствует ереходному процессу после возмущения стационарного режима 10- секундным включением нагрева (рис.-15), а вторая представляет переходный процесс из тационарного состояния W = 1.75 Вт в новое стационарное состояние, оответствующее большей мощности нагрева W = 3.1 Вт (R 65). Видно, что фазовая очка сходится к равновесию по спирали. Небольшие резкие изломы кривых !ызваны погрешностью измерений.

Обобщая материал изучения стационарных режимов, можно сделать вывод о орошем качественном соответствии результатов эксперимента известными войствами модели Лоренца или базовой модели.

При стационарных внешних условиях и постоянной мощности нагрева, |ревышающей некоторое критическое значение W, возможно появление 1естационарных периодических и стохастических режимов конвекции. Это явление :арактерно как для модели Лоренца, так и для расчетов в рамках базовой ермогидродинамической системы (1.20). Пример такого расчета по системе (1.14.17), выполненного для закритического режима W = 7 Вт <ро~0° представлен на >ис.-5. Температура в местах датчиков Di , D2 , D3 испытывает нерегулярные :олебания, причем, смене направления движения соответствует взаимное пресечение кривых Di , и D3. Видно, что смена направления конвекции -юредование пиксз Di и D3, происходит нерегулярно, и сами величины температуры юрегулярно изменяются по времени. Налицо случайный процесс - хаотический либо ¡тохастический. Получение такого рода процессов и было главной целью жспериментальных исследований.

На рис.-17 показан фрагмент процесса С (R96) W = 9.21 Вт, ф0 = 0° на отрезке

130 минут. Весь процесс записан в течении более 6 часов.'Нерегулярность смен! направления движения здесь очевидна. Ниже, на рис.-18 изображена фазова картина процесса С. Видно, что фазовая точка блуждает в некоторой част плоскости и не сходится ни к стационарным точкам, ни к циклическим кривыи которые являются образом периодических решений. Итак, есть достаточн оснований утверждать, что получен именно случайный процесс конвекции. Он бы неоднократно повторен.

Стохастические (хаотические) процессы являются примером н дерменированных решений системы Лоренца или базовой модели. Однако, широк известно, что у системы Лоренца имеются и устойчивые периодические решени! которые являются строго детерминированными и предсказуемыми на любо промежуток времени. Эффективный метод получения таких решений для систе нелинейных ОДУ был дан в главе-2 . В настоящем эксперименте удалось получить периодические решения. На рис.-1!; показаны две гладкие замкнутые кривьк представляющие два различных периодических режима, полученные при близки значениях параметров: Р1 - \Л/ = 9.2Вт, ф0«0° и Р2 - \Л/ = 8.96Вт, ф0«0°. Процесс Р представляет собой периодические (период т=161 сек) пульсации скорост конвекции только в отрицательном направлении. Процесс Р2 представляет собс периодические пульсации (период т=308 сек) в обоих направлениях. В спектра этих процессов существенную роль играют гармоники до порядка п=1! Периодические режимы Р1 и Р2 имеют слабую устойчивость и разрушаютс: переходя в случайные при небольших возмущениях угла <р0 или мощности \Л/. Тг как случайный режим С близок к периодическим по параметрам \Л/ и ф0 , то е! видимо следует отнести к хаотическим процессам.

На рис.-19 приведены кривые модуля спектральной плотности величины (ТгТ для двух процессов: \Л/ = 8.96Вт, обозначен -Р2, \Л/ = 9.2Вт, обозначен - С. Спею процесса Р2 состоит из набора дискретных частот, кратных главной У1=3.25-10 [Гц.]. Спектр С - сплошной, с нерегулярными размытыми пиками. Первый процесс детерминированный периодический - период т = 308 сек , второй - случайный (рис 17,18). Появление сплошного спектра всегда связывают с возникновение турбулентности в гидродинамических системах .

Вторым количественным критерием классификации процессов являютс корреляционные функции. На рис.-20 представлены автокорреляционные функцу

роцессов R96, R97 (ф0 = 0°, W = 9.2 Вт). Оба этих процесса являются двумя >рагментами (длительностью по 8000сек) одного процесса С. Начальные оменты фрагментов сдвинуты по времени друг относительно друга на 144минуты. втокорреляционные функции быстро, хотя и немонотонно убывают до уровня 0.15 юсле t = 15 мин). Кроме того, обе кривые достаточно хорошо совпадают, что видетельствует о стационарности случайного процесса. С другой стороны, втокорреляционная функция периодического процесса Р2 - периодическая езатухающая функция с амплитудой А=0.95 близкой к теоретической единице. И экой она остается даже по прошествии 3-4 часов. Таким образом, процесс Р2 вляется детерминированным и предсказуемым на время не менее 3-4 часов.

Высокая взаимная корреляция температур в различных точках канала может пужить хорошим аргументом в пользу того, что у системы имеется единый ■енератор" временных изменений и его число степеней свободы невелико.

Анализ спектральных и корреляционных характеристик убеждает, что кспериментально получены как детерминированные периодические процессы, так и епредсказуемые случайные. А там, где имеются случайные события, естественно рименять вероятностное описание. В диссертации рассмотрено кспериментальиио выполнение теоремы Пуанкаре о возвращении фазовых раекторий динамической системы в малую окрестность любой начальной точки раектории принадлежащей странному атрактору. По результатам эксперимента 'Ыли рассчитаны пготности вероятности величины промежутка времени TAU между |вумя последовательными возвращениями. Для периодических процессов Р1 и '2 гистограммы вероятности попадания величины TAU в 10 секундные интервалы -'(TAU) представляют собой столбики высотой 1 на временах соответственно 160 -70 секунд и 300-310 секунд. Для случайного процесса С имеется уже широкое-^определение P(TAU) приведенное в таблице.

TAU [s] < 300 310 330 460 470 480 490 500

Р% 0 5.1 2.6 10.3 15.5 20.5 12.8 12.8

TAU [s] 630 640 670 680 820 830 > 840

Р% 2.6 5.1 2.6 5.1 2.6 2.6 0

В заключении главы приведено экспериментальное подтверждение глобальной 1еединственности состояний изучаемой термогидродинамической системы. При

варьировании мощности нагрева на отрезке \Л/=[2 - 8]Вт " в системе, наряду с устойчивыми стационарными, имеются и устойчивые периодические режимы и, следовательно, существует гистерезис.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Для термогидродинамической системы состоящей из тороидального канала, заполненного жидкостью и окруженного тороидальными слоями из однородного материала, получена математическая модель (базовая модель), обладающая свойством разделения угловых степеней свободы с формированием замкнутой системы нелинейных дифференциальных уравнений относительно трех пространственно временных функций - степеней свободы [а(1,у), Ь(1,у), и(1,у)]. Показано, что подобно системе Лоренца, базовая модель имеет нестационарные решения при стационарных внешних условиях и способна генерировать периодические и случайные режимы движения жидкой среды.

2. Определены основные критерии (числа Рэлея Ра и Тейлора Те) физической реализуемости режимов конвекции, соответствующих базовой модели задачи. Сформулированы условия корректного моделирования в экспериментальной установке, изучаемого механизма возникновения хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом эффективно взаимодействующих степеней свободы.

3. Рассмотрено соотношение между базовой моделью и системой Лоренца, вскрыты важные физические эффекты, не учитываемые моделью Лоренца, изложен метод коррекции системы Лоренца для учета основного эффекта -нестационарного теплообмена на стенках канала.

4. Предложен метод нахождения периодических по времени решений систем нелинейных дифференциальных уравнений. Реализация метода на примере системы Лоренца показала его высокую эффективность и точность. Алгоритм метода не зависит от устойчивости циклов и размерности системь дифференциальных уравнений. Серьезными достоинствами метода являете; возможность его применения для расчета квазипериодических решений ь обобщение на случай систем нелинейных дифференциальных уравнений ! частных производных.

Экспериментально получены режимы движения жидкой среды, соответствующие базовой модели задачи: стационарные режимы, бифуркации и неединственность стационарных режимов, потеря устойчивости стационарных режимов, нестационарные периодические и стохастические режимы. Обнаружена неединственность режимов конвекции и связанный с этим гистерезис при изменении мощности нагрева в достаточно широком диапазоне (\Л/=2^8 Вт.). Впервые экспериментально получены стохастические процессы в гидродинамической системе с тремя эффективно взаимодействующими степенями свободы. Исследованы временные, фазовые, спектральные и некоторые статистические характеристики таких процессов, проведено сопоставление с расчетами и дан анализ природы возникновения хаоса. Полученные в рамках диссертационной работы результаты достаточно убедительно свидетельствуют о том, что механизмы возникновения хаоса через бифуркации и образование странного или хаотического аттракторов, открытые для дискретных динамических систем, могут быть причиной возникновения хаоса и перехода к турбулентности в реальной гидродинамической системе.

Список основных публикаций автора диссертации.

1. Дроздов С.М. Теоретическое и экспериментальное исследование конвекцж вязкой и теплопроводной жидкости в замкнутом канале. Ученые записки ЦАГИ. 1993 том 3, № 6.

2. Дроздов С.М. Хаотические и периодические решения задачи о конвекцш вязкой и теплопроводной жидкости в замкнутом канале. Известия АН СССР. МЖГ 1993, № 6.

3. Дроздов С.М. Экспериментальное исследование конвекции жидкости 1 замкнутом тороидальном канале. Известия РАН, 1995, N 4, стр. 20-28.

4. Дроздов С.М. Гипотеза механизма формирования нелинейных периодически: структур в конвекции Рэлея-Бенара. Сборник трудов научно-техническо( конференции ЦАГИ 1996г.

5. Дроздов С.М. К проблеме возникновения выделенных периодических структур I конвекции Рэлея-Бенара. Известия РАН, МЖГ, (в печати).

6. Дроздов С.М. Экспериментальное моделирование возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом степеней свободы. Ученые записки ЦАГИ, (в печати).

мч

Vz -V

= u.

v2 = w

РиС. i

РИС -2

Тепловой поток (W=0.5 f¡=15)

W=7 fi=0 (base model)

PMC-4

Спектр мощьности U ( СЗА2 W=7 f¡=0 )

О 10 20 30

f [мГц]

РИС-6

Тепловой поток ^=7 К=0)

РИС-8

\Л/=7 Я=0 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ а(у)

Т [С] W=0.804FI=0 (R50)

РИС-11

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Т(Р1) ПО ОСИ КАНАЛА.

РИС-13

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Т(РГ) ПО ОСИ КАНАЛА. \Л/=1.75

1-180 -120 -60 0 60 120 П180

РИС-15

72 [С] W=1.75 Fl=+1 (R64), W=3.1 (R65)

80

60

40

20

т [С]

WF=9.21 FI=+0 С (R96)

-T1

ТЗ

\l

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130

t [Min.]

РИС-17

W=9.2 FI=+0 C,P1 ; W=9 P2 T2[C]

С С

-P2

- - P1

T1-T3[C]

-H—i—i—i—i—i—i—i—HÖH—i—h--40 -20 0

-60

20

40

60

f [МГц] РИС-19

Автокорреляция (Т1-ТЗ).( Fl=0 ) .....Rpg _Rq_ _p_

РИС - 20

¿/-'¿У-А ?

У

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ АЭРОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ ПРОФЕССОРА Н.Е.ЖУКОВСКОГО.

Дроздов Сергей Михайлович.

исследование конвекции жидкости в тороидальном канале.

(01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы)

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор Жигулев В. Н.

г. Жуковский 1998,

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Введение..................................................................................................3

Глава - 1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ В ТОРОИДАЛЬНОМ КАНАЛЕ.................................................... 10

1.1 Математическая модель задачи............................................................. 10

1.2 Исследование физической реализуемости базовой математической модели

конвекции в тороидальном канале................................................................ 26

1.3Анализ результатов численного исследования конвекции жидкости в

тороидальном канале............................................................................ 39

Глава - 2. МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ... 50

2.1 Периодические решения задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений....................................... 50

2.2 Расчет периодических решений системы Лоренца................................ 57

2.3 Квазипериодические решения системы нелинейных ОДУ....................... 62

2.4 Периодические по времени решения начально-краевых задач для систем нелинейных уравнений в частных производных..................................... 64

Глава - 3 . ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ ЖИДКОСТИ В ТОРОИДАЛЬНОМ КАНАЛЕ................................................ 69

3.1 Экспериментальная установка и измерительная система....................... 70

3.2 Анализ результатов экспериментов...................................................... 72

3.2.1 Стационарные и переходные к ним режимы конвекции................... 75

3.2.2 Нестационарные режимы конвекции............................................ 78

Выводы .............................................................................................. 85

Литература ....................................................................................... 87

Иллюстрации....................................................................................... 89

Введение

Переход от ламинарной к турбулентной форме движения жидкой среды, причины возникновения случайности в эволюции аэрогидродинамических систем, роль нелинейности, неустойчивости, диссипации энергии и количества эффективно взаимодействующих степеней свободы - все эти проблемы характеризуются стойким и пристальным интересом исследователей и являются фундаментальными в механике. Существует несколько гипотетических сценариев перехода к турбулентности (Ландау-Хопф, Лоренц, Рюэль-Такенс и др.) и во всех критерием турбулентности выступает случайность поведения системы во времени.

По теории Ландау-Хопфа [1, 2] в гидродинамической системе со стационарными граничными условиями имеется управляющий параметр Р (число Рейнольдса Ке, число Релея Ра и др.). Если Р меньше некоторого критического значения Р*, то в системе есть лишь устойчивое стационарное состояние. При Р > Р* стационарное состояние теряет устойчивость и рождается предельный цикл с некоторой частотой ©1 и произвольной фазой ф1. При некотором Рг > Р* мода частоты со1 тоже теряет устойчивость и возникает течение с двумя основными частотами ©1, ю2 , в общем случае, не кратными друг другу. Фазы этих частот произвольны. При дальнейшем увеличении Р > Р3 > Р2 возникает третья частота ш3 и новая произвольная фаза. Далее Ландау полагал, что продвижение в сторону увеличения Р уменьшает интервалы АР между последовательными бифуркациями образования новых частот а вновь появляющиеся моды имеют все меньший и меньший пространственный масштаб. И хотя на каждом этапе механизм Ландау является строго детерминированным, возникновение случайности рассматривается как неизбежный результат большого числа взаимодействующих мод или степеней свободы (по аналогии с кинетической теорией газа).

С точки зрения современных представлений идея Ландау по крайней мере не полна. Она указывает лишьчна один из возможных механизмов возникновения турбулентности, причем, по-видимому, далеко не самый общий. Рюэль и Такенс [3,4] установили, что общий путь возникновения случайности - это образование странного аттрактора, после конечного числа бифуркаций. Выяснилось также, что для возникновения случайности не обязательно иметь взаимодействие большого количества мод или степеней свободы системы. В работах Лоренца [5], Неймарка [69], Рюэля-Такенса [4] и др. было установлено, что стохастическими могут быть уже

решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) размерностью три и выше. Ярким математическим примером этого стала система Лоренца.

(11 йУ

= pX-ZX-Y (1)

А «А

где 6, р, Ь - параметры

Именно в данной системе Лоренцем впервые обнаружены непериодические решения, принадлежащие некоторому притягивающему множеству, лежащему в ограниченной части фазового пространства и названному странным аттрактором [5]. В странном аттракторе сочетаются неустойчивость траекторий по Ляпунову и общее сжатие фазового пространства, которые являются следствием диссипативности и нелинейности системы. В последствии было обнаружено большое количество динамических систем со стохастическим поведением [9-12].

В работе Жигулева В. Н. предложена гипотеза, что " Неустойчивые нелинейные системы в процессе своей эволюции стремятся к некоторым предельным формам движения - особым состояниям, не связанным в своих основных чертах с деталями начальных данных..." [13]. В этом смысле странный аттрактор -частный случай особого состояния.

Исследование системы Лоренца и других динамических систем позволило достичь значительного прогресса в разработке механизма возникновения случайности в детерминированной системе. Неймарком Ю. И. показано как из гомоклинической структуры может возникнуть странный аттрактор [7,9]. Отдельно рассмотрен случай появления хаотических движений в окрестности двух или нескольких слабо устойчивых периодических решений [9]. Переход к хаосу может осуществляться и через последовательность бифуркаций удвоения периода циклов [14,15]. Механизм возникновения странного аттрактора из притягивающего тороидального многообразия предложен Кэрри и Йорком в работе [16].

Однако все эти результаты касаются эволюции динамических систем во времени, тогда как турбулентность - не только временной, но и пространственный

хаос. Конечно они взаимосвязаны но не сводятся один к другому [9]. Априори не известно, в какой степени математическая система ОДУ не высокого порядка соответствует исходной гидродинамической системе, имеющей бесконечное число степеней свободы? В частности система Лоренца, полученная как трехмодовое приближение конвекции жидкости между горизонтальными плоскостями, не может претендовать на адекватное описание механизма перехода к турбулентности в плоских и, тем более, пространственных задачах конвекции.

В гидродинамической системе, названные выше механизмы могут реализоваться следующим образом: Одна или несколько неустойчивых мод, пройдя фазу линейного роста, вступают в нелинейное взаимодействие из которого рождается странный аттрактор. Появившийся временной хаос основных мод, передается всем остальным модам системы, чем вызывается и пространственный хаос. В этом сценарии первичен временной хаос, рожденный нелинейным взаимодействием небольшой группы пространственных мод. Остальные моды системы пассивно следуют за основными (из-за действия вязкости и теплопроводности жидкости) [911,20,31].

Для того, чтобы выяснить вопрос применимости такого сценария возникновения хаоса к гидродинамике необходимо исследовать его выполнение на реальной гидродинамической системе допускающей экспериментальное моделирование и описываемой сравнительно не сложной математической моделью, для которой надежно отработаны численные алгоритмы.

Конвекция жидкости в тороидальном канале как раз и является одной из модельных гидродинамических систем для изучения перехода от ламинарной к турбулентной форме движения жидкой среды. Как показано в работах [8,9] система Лоренца более обоснована именно для этого физического объекта. Но и здесь имеются принципиальные расхождения теоретических и экспериментальных результатов [17]. Поэтому первой задачей диссертационной работы была разработка новой математической модели конвекции жидкости в тороидальном канале и определение основных критериев ее физической реализуемости.

Второй основной задачей диссертационной работы была экспериментальная проверка реализуемости механизма возникновения случайности в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом эффективно взаимодействующих степеней свободы.

В настоящее время имеется достаточно большое количество экспериментальных работ по моделированию хаоса в дискретных системах, для которых математическая модель в виде конечной системы ОДУ не вызывает сомнений. Экспериментальные результаты в целом соответствуют теоретическим и расчетным данным. Хорошим примером здесь могут служить работы Анищенко В. С. и Астахова В. В. [18].

Экспериментальное исследование механизмов перехода к хаосу и турбулентности в гидродинамической системе значительно сложнее [19, 20]. Число степеней свободы, необходимое для адекватного описания течения резко возрастает при превышении управляющим параметром критической величины и может меняться в процессе эволюции системы. Конвекция жидкости в тороидальном канале является уникальным примером гидродинамической системы, где математически строго разделяются пространственные степени свободы, и формируется замкнутая система для конечной группы основных мод. Именно поэтому конвекция жидкости в тороидальном канале была взята в качестве объекта для экспериментального моделирования.

Попытки экспериментального моделирования перехода к хаосу в конвекции жидкости в тороидальном канале предпринимались неоднократно. Однако нам не известно ни одного факта, где были бы получены режимы, соответствующие модели изучаемого явления. В качестве примеров можно привести работы американских исследователей Welander Р. [12] (1967 г.) и более поздние работы сотрудников Нью-йоркского университета Gorman М., Widman Р., Robbins К.[21] (1984 г.). В применявшихся ими установках не выполнялись основные требования -квазипуазейлевский характер течения, слабое изменение температуры в поперечных сечениях канала и др.. В результате, если и удавалось получить нестационарную конвекцию, то она совершенно не соответствовала малоразмерной динамической модели. Видимо поэтому авторы этих работ даже не проводят количественного сопоставления данных эксперимента и расчета. Интересная попытка реализации конвекции Лоренца была предпринята в Пермском Государственном Университете. Однако, несмотря на оригинальную конструкцию установки, в ней тоже не удалось нейтрализовать развитие высших степеней свободы и получить стохастические режимы.

На первом этапе экспериментальных исследований» проведенных автором настоящей работы, были получены результаты, аналогичные результатам других

авторов [ 17,22,23]. Приведем основные выводы, сделанные на основе материала работ, упомянутых выше:

При использовании в экспериментальных установках в качестве рабочей жидкости воды, ацетона, керосина, машинного масла и других жидкостей с числом Прандтля Рг~1 , соответствие поведения гидродинамической системы расчетам по модели типа Лоренца имеет место лишь при небольшой мощности нагрева \ЛЛ В плоскости параметров модели Лоренца (1) эти режимы находятся в области сильной устойчивости стационарных решений, и все переходные процессы сходятся к этим стационарным состояниям. Когда же, повышая мощность нагрева \Л/, мы стремимся получить неустойчивость, бифуркации, нестационарные периодические и стохастические решения, в экспериментальной установке обнаруживаются физические явления, несоответствующие модели Лоренца. В частности, не выполняются предположения об одномерном квазипуазелевском характере течения жидкости в канале, и слабом изменении температуры в поперечном сечении канала. На рис.-1 показана схема течения в экспериментальной установке при большой мощности нагрева \Л/ = 30 Вт, построенная на основе прямых наблюдений за процессом конвекции и съемки его на видеокамеру [23]. При общем, почти стационарном, движении жидкости в положительном направлении, в канале имеются три зоны возвратного течения. Зона - 1 появляется первой и занимает сектор с угловым размером до 8ср= 90 на той стороне канала, где жидкость поднимается. Зоны 2 и 3 расположены вблизи выхода и входа в область нагрева. Качественный вид профилей скорости в разных сечениях канала показан внизу рис,-1. Появление зон возвратных токов свидетельствует о более сложном характере течения, чем это предполагается моделью Лоренца. В действительности угловые и радиальные степени свободы жидкости, следующие за тремя основными, возбуждаются и начинают активно влиять на динамику всей физической системы прежде, чем наступает неустойчивость усеченной системы трех основных мод (1). Действие этих высших мод, например, рождает стационарные режимы с зонами обратных токов, которые значительно устойчивее стационарных режимов модели Лоренца при той же мощности нагрева. При дальнейшем увеличении мощности в установке появляются нестационарные и даже случайные режимы конвекции, но они совершенно не соответствуют модели Лоренца. Этот хаос ье является хаосом трех степеней свободы. В него вовлечены и его определяют и другие моды системы.

Отрицательные результаты экспериментального моделирования возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим количеством степеней свободы, поставили под сомнение физическую реализуемость такого механизма перехода к турбулентности.

Потребовался углубленный анализ термогидродинамики моделируемых физических процессов, совершенствование математической модели явлений и выработки на этой основе новых принципов конструкции установки. Этому и была посвящена данная работа.

Глава-1. В параграфе 1.1 дается постановка задачи о конвекции жидкости в тороидальном канале и вывод ее базовой математической модели, исходя из системы уравнений Навье-Стокса и уравнений распространения тепла в сопряженных с каналом средах. Формулируются основные условия справедливости базовой модели. Рассмотрено соотношение между базовой моделью и системой Лоренца (1), вскрыты важные физические эффекты, не учитываемые моделью Лоренца, изложен метод коррекции системы Лоренца для учета основного эффекта - нестационарного теплообмена, на стенках канала. В параграфе 1.2 получены основные критерии физической реализуемости базовой математической модели конвекции в тороидальном канале, дополняющие перечень требований, предъявляемых к конструкции экспериментальной установки, для максимально точного моделирования изучаемых процессов. В параграфе 1.3 содержится анализ результатов численных исследований конвекции жидкости в тороидальном канале, выполненных по базовой модели, проведено сравнение с расчетами по модели Лоренца и определены границы ее применимости к реальному физическому объекту. С помощью расчетов исследованы основные бифуркации решений -неединственность стационарных состояний, потеря ими устойчивости, возникновение периодических и стохастических режимов. Определена область параметров для экспериментального исследования.

Глава-2 посвящена изучению периодических по времени решений систем нелинейных дифференциальных уравнений. Дан общий алгоритм метода нахождения таких решений для автономных систем ОДУ. Предложенный метод применен для нахождения циклических решений системы Лоренца. Проведен анализ полученных решений. В параграфе 2.3 предложенный метод обобщен на случай расчета квазипериодических решений систем нелинейных ОДУ ( на примере системы Лоренца). А в параграфе 2.4, на примере задачи о конвекции жидкости в

тороидальном канале, рассмотрено обобщение метода для поиска периодических по времени решений начально-краевых задач автономных систем дифференциальных уравнений в частных производных.

В главе-3 дано описание конструкции экспериментальной установки и проверка ее соответствия основным условиям моделирования изучаемого явления. Проведен анализ полученных режимов конвекции (стационарные режимы, бифуркации и неединственность стационарных режимов, потеря устойчивости стационарных режимов, нестационарные, периодические и стохастические режимы). Исследованы спектральные и статистические характеристики нестационарных процессов, проведено сопоставление с расчетами, дан анализ природы возникновения хаоса.

Глава - 1. ТЕОРЕТ�