Исследование краевых задач в областях типа резонатора Гельмгольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ии. В.А.СТЕКЛОВА (Санкт-Петербургское отделение)

РГБ ОД

- 5 СЕН 1334.

На правах рукописи »

ГАДЫЛЬЕЙИ РУСТЕМ РАЕНТОВКЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ ТИПА РЕЗОНАТОРА ГЕЛЬЙГОЛЬЦА

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1904

Работа выполнена в Институте Математики с ВЦ У(*чмского Научного Центра Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор М.М.ПОПОВ доктор 'Шзико-математвских наук, профессор С.А.НАЗАРОВ доктор физико-математических наук профессор В.В.КУЧЕРЕНКО

Ведущая организация - Институт Ыатеыатиш и механики Уральского отдаления РАН (г.Екатеринбург)

Защите состоится ■_" г—к-^ ^ ^ 199 4г. в_

часов на заседании специализированного совета Д 002.38.04 при Санкт-Петербургском отделений Математического института им. В.А. Стеклова РАН (С.-Петербург, н.р. Фонтанки, 27).

С диссетацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института зш. В.А.Стеялова РАН.

Автореферат разослан 1ЭЭ^/г.

Ученый секретарь

Слециализнроваыгого оарга л

А.П. Осколков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Сингулярно возмущенньа уравнения и краевые задачи издавна привлекают внимание широкого круга специалистов в области дифференциальных уравнений • и математической физики. Наиболее эффективными в исследовании такого рода задач являются асимптотические методы, развитые в работах Н.Н.Боголюбова и D,А.Иитропольского, А.Н.Тихонова и

A.B.Васильевой, Л.С.Понтрягина, Е.Ф.Мищенко и Н.Х.Розова, О.А.Олейкик, М.И.Вкшка и Л .А. Люстерника, О. А1 Ладыженской,

B.П.Каслова, В.М.Бабича, B.C. Болдырева, Л.«Ильина, М.В.Федорюка, В.Г.Назьи, С.А.Назарова и Б.А.Пламеневского и др.

Одними из наиболее обсуждаемых в последнее время задач являются краевые задачи для эллиптических уравнений в сингулярно возмущенных областях. Типичными задачами, относящимися к этому классу, являются краевые задачи в областях с малыми отверстиям или со сменой типа граничного условие на малой части границы, задачи во внешности тонкого тела или, наоОооот. в областях с узкими отростками к каналами связи, краевые задачи в перфорированных областях и т.п.

Старейшей из подобного типа задач является задача рассеяния на резонаторе Гальыгольца, изучение которой восходит к работам Рэлея. Дальнейшее развитие эта тематика получила в работах А.А Арсеньева, 1т.Т. Била, C.B. Петраса, Е. Сейчас Палвнсии, К. Фернандеса, П.Д. Хислопа и А. Цартииеца, B.C. Павлова и М.Д. Фаддеева и других.

Однако, для классического резонатора Гельигольца (: идеально тонкими стенками и граничны' л условиями Неймана на лих) строгие математические результаты до последнего времени , отсутствовали. Также оставался открытым вопрос (а той числе и длч репонагорда СО стснкаии конечной, тилщина) о точной асимптотика решений соотиетствусякх .чраеиих задач. С другой сторонм, сравнительно

недавние результаты И.Ш. Бирмана и Ц.З. Солокяка по проблемам входящих ребер в краевых задачах для системы уравнений Максвелла открывают возможность исследования полного электромагнитного аналога классического резонатора Гельмгольца. Вса эти вопросы и являются предметом исследования настояцей диссертации.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1! Изучить вопросы разрешимости краевых задач, соответствующих классическому резонатору Гельмгольца и его аналогам.

2) Рассмотреть возможность аналитического продолжения решений указанных краевых задач по спек.ралькому параметру на вса комплексную плоскость С.

3) Исследовать представление решений возмущенных краевых задач в окрестности собственной частоты закрытого резонатора.

4) Построить полные асимптотики по малому параметру (размеру отверстия резонатора) полссов аналитического продолжения решения, имеющих малые мнимые части.

5) Получить главные члены асимптотик решений возмущенных краевых задач в окрестности собственных частот ' закрытого резонатора.

ЫЕ ЭДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследования, проводимые в диссертации, основаны на использовании результатов теории эллиптических псевдодифферекциальных операторов, функционального анализа и метода согласования асимптотических разложений.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми для сингулярно возмущенных краевых за^дч типа резонатора Гельмгольца и его аналогов.

НАУЧНАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Научная и

практическая ценность работы определяется широкой применимостью

теоретических результатов^ри исследовании рассеяния на объектах

. >вушечного типа. Разработанные в диссертации кетоци дапт

возможность изучать поведение решений краевых задач для болывдго ■1

класса сингулярно возмущенных областей.

АПРОБАЦИЯ РАБОТН. Результаты диссертации докладывались на совместных заседаниях Московского математического общества и семинара им. И.Г. Петровского (1991,1993,1994) на семинарах В-.М. Бабича, О. Л. Ладыженской и М.Ш. Бирмана в ПОЫИ РАН, В.Р. Вайнберга в МГУ, Института математики УНЦ РАН, Башкирского госуниверситета и др.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в

а

работах [1J-127).

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТН. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Список литературы содержит 132 наименований. . Объем диссертации - 257 с.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении содержится общая харвктеристика работы и приводится обзор результатов, полученных в этом направлении.

Первая глава посвящена исследованию классического резонатора Гельмгольца, представляющему собой поверхность Гс-Г"о\£Т, получающуюся из границы Го ограниченной области П в R3 вырезанием малого отверстия ь>с, имьлиего диаметр 0(с), 0<с<<1. и соединяющего внешность П"'-К3\П и внутренность О1"«О резонатора. Соответствующая краевая задача имеет вид

<Д+кг)и - 0, х«П , flu /ви - р f, х«Г , (1)

е со с с

u - 0(r"1), au /аг - ilcu - о(г"*), г-+», (а)

с с «

где £1 «ЙЭЧГ , .:->(* ,х ,х_), г—1x1 , v - внешняя нормаль а О, ktIR,

В с 12 3 ' '

Г«С"(Г ), р сужение на Г . Решения задачи (1),(2)

О с с

рассматриваются ' в .классе функций^ из Я* •

Поверхность Г*€> понимается как ^вухст^рокипя. 1 * 1 < - .,

Здесь и всгеду далее ' C°°(Q) - мисжостьо бесконечно; дифференцируема* функций, L (Q) и W*(Q) - пространства ¡ Соболева'

с кормами I•, ^ и «••„«(„) соответственно. Если X - символ

какого-либо банахова пространства, то

Х1ооО» - {и: иеХ(П»у5(Н>) УН}, где БСЮ - открытый шар радиуса Я с центром в начале координат. Под сходимостью в Х[ос(Ю) понимаете сходимость в ЖГ^СЮ) для любого (всех) Я.

В акустике к решению (1),(2) сводится задача отыскания поля с потенциальной скоростью у^-Чи^, возникающего в однородной и изотропной жидкой или газообразной среде при дифракции внешнего поля уои<"»9ис>и1 на идеально жесткой поверхности Г . В этом случае 8иои1/в1». Если £ - произвольно, то (1>,(2) естественно рассматривать как задачу излучения.

Основные идеи доказательства разрешимости краевой задачи (1). (2), существования у ее функции Грина аналитического продолжения е нижнюю комплексную полуплоскость и исследования ее зависимости от малого параметра с заключаются в следующем.

Пусть Е(к;г)-(4пг)"1ехрИкг), к«С, фвС^СГ^. Известно, что в этом случае нормальная производная потенциала двойного слоя

и(х,к) - (*<к)«Кх) ■ - ( ф(.у) — Е(к;1х-у|Ма

> в\> *

непрерывна на «* , а сам потенциал удовлетворяет однородному уравнению Гель»гольца вне Г0 и граничному условию ди/Ву-£ на Го, где для € справедливо равенство

(А (Ю0)(х) « - — [ ф(у) — Е(к; |х-у| )йз - Их) (3)

ЯУ I , ЗУ у

«г • у о

При к«й функция и удовлетворяет условию излучения (2), а для к из верхней полуплоскости и экспоненциально 'убывает на бесконечности.-Если, к тому »а, (где С®((}) - множество

финитных бесконечно дифференцируемых функций, носитель которых

содержится в Ч), то и является решением (1), аналитически зависящим от к и удовлетворяющим (2).

Таким образом, разрешимости краевой задачи (1), (2) и существование аналитического продолжения ее решения

и (х.М - [г(>0* Кх>

с с:

свелись к вопросу существования "достаточно гладкого" решения уравнения

А (к)$> - I (4)

с с с

на Г , где { «р А (к)-р А (к), и оценке обратного оператора в

с с с с с о

подходящей норме.

Пусть -п<з<о>, Нв(Г0) - пространств!' Соболева-Слободецкого.

о

Обозначим через Н^(Гс) подпространство функций иэ Н>(Го) с

носителями из Г(, а через Н^ГМ обозначим пространство

обобщенных функций в Г , допускающих продолжение на Г ,

с о

принадлежащее Н (Г ). Норма в ¡1 (Г ) определяется по формуле

а о »с

1и» - Лп! »1 и»

в,Г ж ■ ,Г

с о

где й'Л^ г - норма в Н,/1",,). а нижняя грань берется по всем

* о

продолжениям 1си«Нв(Го).

о

При любом кеС оператор Ао(к) отображает в (Гц).

А, с другой сторгчы, потенциал двойного слоя с плотностью из

о

Н <ЗГ ) принадлежит искомому классу функций. Поэтому А^СЮ

о

рассматривается как оператор, отображающий ^ (Г ) в Н_ 1 ^г(Г);).

Ключевую роль а исследовании зависимости решения (1),(2) от с играет следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 1.2.1. (а) Уравнение А^И)ф-{ однозначно разрешимо

° 1

в Н СГ ) при любой ,„(Г ), а оператор А Ш равномерно

1/2 с — 1/3 е с

ограничен по в. ■

(б) для любого Г«Н 1^а(Го) яри с—Ю имеет .место сходямосль

вНг,»<Го>:

А"'(1)р Г - А'ЧОР

С *С о

Это утверждение позволяет использовать А~1(1) как

с

регуляризатор для А (к).

с

Обозначим Ва(М - А~5(1)Ал<Ю. По определенно Вл(к) есть

. V о

ограниченная на Н. „(Г.) ( Н. „(Г_)-Н ,„(Г„) ) голоморфная

1/2 о 1/2 О 1/2 О

оператор-функция, для которой справедливо следующее представление

В4(к) - 1в + ТаШ. где 1в- единичный оператор, а

- А",(1)Рл(А„Ш - А (1)) 6 д в о о

о

.является компактным оператором в , равномерно

ограниченным по & и к«К; К произвольный компакт в С. Если

О ч

£ еН „(Г.) и [ —»Г при с—*0, то в силу определения Т (к) имеет

в 1/2 в «О в

место сходимость Тс(кНс—»Т0(кН0 в Н1/3(Г0). Последняя играет роль аналогичную той, которая принадлежит слабой сходиности в теории регулярных возмущений.

Таким образом разрешимость уравнения (3),(4) свелась к разрешимости уравнения Фредгольма второго рода

<1а ■+ Тв(к))«в - . (5)

Уравнение (5) однозначно разрешимо в указанном классе функций при всех к за исключением множества нулей собственных значений *в(Ю оператора В^СЮ, которое совпадает со множеством полюсов аналитического продолжения функции Грина (I), (2) при а-с>0 и с объединением множества полюсов Т.** аналитического продолжения функции Грина^ предельной внешней задачи (задачи Неймана для уравнения Гельмгольца в Я**) и множества собственных

частот £1п предельной внутренней задачи (задачи Неймана а О1") 'при 5-0. Напомним, что пос. зднее множество совпадает со множеством полюсов соответствующей функции Грина. Учитывая вышеупомянутые свойства Тл(Ю , удается показать, что А=(к>—»*0(к) при с—Ю равномерно по к, принадлежащим ~)бому компакту в С. Отсюда в силу теоремы Руие следует сходимость полюсов возмущенной задачи к полюсам предельных задач.

В результате исследование аналитического продолжения решения задачи (1),(2) сводится к исследованию представления

и (х.к) - [г(к)В_1{к)А"1(г)р Г](х), -(6,

с с с с

анагиз которого приводит к следующим результатам.

ТЕОРЕНА 1.2.3. Пусть К - произвольный компакт в С такой, что Ео(-)К-в. Тогда Е^пК-а для любого достаточно малого с.

ТЕОРЕМА 1.2.4. Пусть К - произвольный компакт в С такой, что £о(-)К-о. Тогда для любого достаточно малого с аналитическое продолжение ис задачи (1),(2) является голоморфной функцией из "а 1оо(0с> при равномерно ограничено!' по си при с—>0

сходится к решениям предельных задач ' в равномерно по к«К.

ТЕОРЕМА 1.2.5. Если ко«£о, то существует т^еЯ^, сходящийся н к0 яри с~*0.

ТЕОРЕМА 1.2.6. Пусть к0«Х|п, к0»0, {» - соответствующая, нормированная в Ь (О) собственная функция предельной внутренней задачи. Тогда при к. близких к к0,

(а) для функции Грина 6в(х,у.к) справедливо представление

9 (х)* (х)

с « -

б (х,у,к) - —--— + в (х,у,к).

где Св(х,у,к) голоморфная в окрестности к0 функция, сходится к к при а. обобщенная собственная функция *

о • с

сходится к ф в к'са1")»»^ loo(Q**);

(б) для аналитического продолжения решения (1),{2) справедливо представление

4Мх)

u (х;к) - —г-— í Í* И ds + U (х,к). (7)

г* - К* J

о

где при с—Ю функция Ue сходится к регулярной части решения предельной внутренней задачи в И^СЛ1") я к решению предельной внешней задачи в W* lo<¡(0**) равномерно по к,

•l¡ « » BU • л С ip Í» _

с «'(SIBKÓI с «i«.» * с -1"г'гс

3 2

равномерно по к и с, а скачок [í ) —» ^ в Н (Г ).

к 1/2 0

В формулировке последней теоремы означает • множество

корней из простых собственных значений предельной внутренней задачи. Заметим также, что ®с является решением (1/ при k->tc и f-О и экспоненциально растет при г—*» для фиксированного с.

Указанный подход для решения задачи Неймана переносится на пространство любой размерности. Единственным отличием кечвтномерных пространств от четномеркш' является то, что для последних решения аналитически продолжается на Сесконечколистнув риманову поверхность, соответствующую фундаментальному решении. Аналогичный подход применяется и к задаче Дирихле

(i+ka)u - О, х«0 , ц ш р f, х«Г ,

с в' с гш ' с'

и - о(г"1), аи /ег - i leu - о(г"1), г—»

с ОС

Решение (в) и его аналитическое продолжение представляются в виде

u -{4(k)A"l<k>P f1, *

, в с с ч

®

где 4(к) потенциал простого слоя на Г , Aq(1c) - его прямое значение на Г , a A (k)~p А_(к) - оператор, отображающий

О с ш о

- u -

Однако, функциональные методы имеют свои ограничения. Например, в квазистационарном случгч (к0-0) для (1),{2> ситуация несколько иная. Дело в том, что функция Грина предельной внутренней задачи в окрестности простого собственного значения имеет вид

G,n(x.y,k) - (к*-кгГ1#(хЖу) + g"4x,k),

где ф - соответствующая, нормированная в La(0)* собственная функция, а функция gln(x,k) аналитична по к. Так как kQ-0 является полюсом второго порядка, то, вообще говоря, у возмущенной задачи может существовать либо один полюс второго порядка, сходящийся и нулю, либо два полюса первого порядка. Функциональные методы не дают ответ на вопрос какая именно ситуация реализуется. Аналогичная картина имеет место и j окрестности кратного собственного частота (корня из кратного собственного значения) предельной задачи.

Крон/ этого, даже для случая простого kQ«0 формула (7) не очень конструктивна для приложений, так как она не позволяет, например, оценить вклад резочансного члена (первого слагаемого в правой части (7)) в а силу того, что *0 в этой области.

Для выяснения указанных выше вопросов во второй главе строятся г~имптотнки г» малому параметру с полюса т^ и соответствующей ему обобщенной собственной функции . Построение этих величин проводится методом согласования асимптотических разложнний. И котя идеи этого метода били высказаны лостаточно давно, ;i сам метод получил ■ лрокое распространение в мехенике, однако, строги» математические обоснования асимптотик решений дифференциальных уразнений с частными производными методом согласовпния исимптвтических разложений появились сравнительно ■ недавио в работах В Н. Бабича, Л Ы. Ильина и их учеников,- Ö.Г./,

Маэьи, С.А. Назарова, Б.А. Пламеневсиого, К.В. Федорюка и других.

Основные идеи метода согласования, применительно к

рассматриваемой выше задаче для случая простого собственного

значения выглядят следующим образом. Пусть в окрестности

начала координат область Г совпадет с полупространством хз>0, а

отверстие имеет форму u -{x:xc"l«uj, где и - односвязная область в

на плоскости х3-0 с бесконечно дифференцируемой границей. Обозначим через R ^ l(Dy ) дифференциальные многочлены J-ro порядка по переменным У^.У-, с постоянными коэффициентами <У-(У,.У2.У3)) и положим в»

^"'"'(x.k) - £ cJ(k=-k3)R'n<el,,(Dy)G",<e,,,(x,0,k),

j-O

где Gln(x,y,k) и G"4x,y.k) - функции Грина (и их аналитические

продвижения) предельных внутренней и внешней задач

соответственно. По определении каждый член ряда (^"'"'(х.к)

удовлетворяет уравнению Гельмгольца в filn'**' и однородному

граничному условию Неймана на Го\(0]. К тому же, на формальном

уровче (Sl"(x,k)—>R'ntKO)|S(x), t»**(x.k)-tO при к-*к . с—Ю. со с о

Поэтому, если ч>(0)»0, то вне окрестности отверстия асимптотику

функции *с(х) (с точностью до умножения на скалярный множитель)

естественно искать в виде Ф>п'тж>(х,х ),. где коэффициенты

« в

многочленов крн и коэффициенты асимптотического

разложения полюса, которое ищется в виде • 18

г - к + У cJT , (9)

® о ¿_ J

J-1

вообще говоря, - произвольны.

Однако, так как в начале координат коэффициенты ряда имеют особенности, то в окрестности отверстия функция *е(х) не может имет_ такие асимптотики. Поэтому в окрестности начала координат для * строится, другое разложение

по степеням с с коэффициентами, зависящими от переменной ¿-хе"1, соответствующей размеру отверст :я. Оно ищется в виде

а

усСО - ]Ге\<€>. (ю)

Краевые задачи для коэффициенте» (10) получаются стандартным для метода согласования способом. В (1) вместо к и и^ подставляем соответственно ряды (9) и (10) и переходим в (1) К переменной С- Затем выписываем отдельно равенства при одинаковых степенях с и переходим к формальному пределу при с—»О. В итоге получаем следующую рекуррентную систему краевых задач:

¡-г _ - %

1-1

- О. С « Г, (11)

где Л1 - коэффициенты ряда , а Г - внешность и на

плоскости ■

С другой сторона, если в *»'"'<»*'(х,т ) коэффициенты

£ С

заменить на их асимптотики в нуле, а затеи перейти як переменной то получим формальный ряд

се

у|.с.>(е) _ £ с^п<"'(е). * О (с, * О),

коэффициенты которого также являются асимптотическими рядами

степенного роста 0(|£|Ъ на бесконечности, удовлетворяют

граничному условию '/а^-0 при £»0 и являются при

Р"IСI —асимптотическими решениями уравнений из (11), гдэ V

заменены иа у'"1"'.

ч

Задача согласования рядов ) а V (с) сводится к

е в с

доказательству существования решений краевых задач (11),

имеющих при р—асимптотики, совпадающие при (С3*0) с

рядами У'"'*1'' (£) • В, этом случае данные ряды а пограничном

области (где х - мало а С - велико), грубо говоря, будут

переходить в друг друга. Достигается же указанное совпадение выбором коэффициент jb f¡^n<*M> и г ^.

Главные члены асимптотик » -к , 1пт и обобщенней

ВО' в

собственной *е зависят от некоторых вполне определенных констант и функций, определяемых ниже. Пусть XeW* , (R1) - гармоническая

2 , Юо

вне ü функция, удовлетворяющая граничному условию Х-1 на и и убывающая на бесконечности. Существование такой функции хорошо известно. Ока имеет асимптотику

XÍC) - сj>'l+ 0(р"а)

при р—*». Постоянная сы>0 есть емкость диска и. Положим

1 - 1 -Х0(О - 1 - - Х(€). С,*0, Х0(С) - - Х<€>. е3«о 2 2

и обозначим

са - Ии | |G*,'(x,0,lco)Jads r"te asiri

Положительную постоянную <?а в приложениях обычно называют

поперечником рассеяния.

Для рассматриваемого случая простой ненулевой собственной

частоты ко согласование асимптотических разложений приводит к

следующему результату.

ТЕОРЕМА II.1.1. Асимптотики полюса х шZ , сходящегося н к ,

в с о

и соответствующей обобщенной собственной функции f имеют вид

в

«0 J»1

г, - /(2к ), 1и т, - - (nftc )а«г /г, (12)

1 'О и О 3 О u О }

* (х) - *(х>а+о(1)), X€Qtn\S(c"'2)

с

*с(х) - *оХо(х/е)(1-ю(1)>, х«3(2с1'г>,

* <х) - с 2тг* с в'Чх.О.к К1+о(1>), х€0"\3(с,/г) с о ы о

8 И* , (0 ). а,I ос с

В вырожденном случае (когда р(О)-О) эрмулы (12) теряют

своп конструктивность. Однако и в этом случае удается построить

полные асимптотические разложения по степеням с и дать явные

выражения в терминах предельных задач для главных членов

асимптотик основных величин, к которым относятся гс-к0, Хяг^ и

? . Показано, что вырожденность существенно влияет на порядю в

сингулярности решения.

В этой главе построены также асимптотики полюсов, сходящихся к нулю и к корив двукратного собственного значения предельной внутренней задачи. Эти построения, в частности, показывает, что в обоих случаях у возмущенной задачи существуют по два несовпадающих полоса первого порядка.

Для системы двух вложенных резонаторов приведен анализ зависимости основных характеристик от того к чьей собственной частоте сходится полюс. В честности, показано', что при вещественных к максимальные значения решения будут наблюдаться в случае, когда к* является собственным экачением "внутреннего* закрытого резонатора и не является собственным значением "внешнего" закрытого резонатора типа шарового слоя, причем эти значения на порядки ваше, чей в случае, одного резонатора.

последнем разделе главы приведены асимптотики аналогичных полисов для задачи Дирихле и краевых задач на плоскости.

Заметим, что идея искать решение вне окрестности отверстия (именно для резонаторе Гельмгольца) в виде функций Грина, как внешней, так и внутренней предельных задач (с коэффициентами, зависящим от некоторого параметра расширения к1) была предложена

в работе B.C. Павлова и Ы.Д. Фаддеева (О рассеянии на полом резонаторе с малым отверстием. Зап. науч. семинаров ЛОМИ. J!. , 1983, т. 126, с. 15У-169) при описании модели щели кулевой ширины в теории расширений. Вопрос же об of основанном выборе параметр'э расширения, по-существу, сводится к сравнении с решениями реальных задач, изучение которых и проводится во второй главе.

Третья глава посвящена исследованию резонатора 0е со стенками конечной толщины и граничными условиями Неймана" на них. Аналогом малого отверстия для такого резонаторя служит узкий цилиндрический какал связи <сс, соединяций внутренность 0(п и внешность резонатора Заметим, что первые строгие

математические доказательства существования полюсов с малой мнимой частью для областей ловушечного типа были даны именно для таких резонаторов Св случае гладкой границы). И, если задача Чирихле достаточно интенсивно исследовалась A.A. рсеньевым (Об особенностях аналитического продолжения и резонансных свойствах решения задачи рассеяния для уравнения Гельмгольца, Шурн. вычисл. математики и мат. физики, 1971» т.12, вып.1, C.ll2~i38), С,В. Петрасом (О расщеплении серий резонансов на "нефизическом" листе, Функцио1 . анализ и его прил., 1975. т.9, вып.2, с.89-90), К. Фернандесом (Fernandez С. Resonances in scattering by a resonator, Indiana Univ. Math. J., 1985, v.34, No 1, p.115-125), П.Д. Хислопом и А. Нартинецом (Hislop P.D., Martinez A. Scattering resonances of Heimholt! resonator, Indiana Univ. Math. J., 1991, v.40. No 2, p.767-788), то для краевой задачи Неймана до последнего времени никаких п; »движений (в плана исследования зависимости решений от малого параметра) пчеле работы Дж.Т. Била

(Beale J.Т. Scattering frequencies of resonators, Coima. Pure and

■ ^

Applied Math., 1973. v.26,JNo4 p.549-564) не было.

В первых двух разделах главы доказано, что, если S^'Winm/h}" где К - длина канала связи *(0,-h), то -к

k»l I С

любому ненулевому ко«;(2:|п\1:с|,)и(£сЬ\£4п) сходится единственной лолюс первого порядна возмущенной задачи, а К нулю стремятся два полюса первого порядка (симметричн'"? относительно мнимой оси).

В остальных разделах главы для всех таких полюсов строятся полные асимптотические разложения.

Пусть 8вк(К) - тар радиуса Я с центром в хо-(0,0,-Ю,

(Г - Ига [ |С"(х,х ,к )|айз, а.».

Г" - {ы х {-«..0)| и В*, й' - С3>0) ,

Обозначим через - гармоническую в Г" функцию из

, 1 ос(Г"), удовлетворяющую однородному граничному условию

Неймана на 8 Г" (вне ребер) л имеющую на при р—к» асимптотики

Y(e)-o(p*t). е„*о. у(?) - + + о(г).

(существование такой функции доназывгчтся).

Основные утверждения третьей главы имеют следующий вид. ТЕОРЕМА III.3.1. Асиыптотш.ч полюса х , сходящегося к

с

(С0«Е|п\£еп, и соответствующей обобщенной собственной функции имеют вид

>-г 1 ,

та - - <» (О) ^(к.д) [<•>{. 1га хз - О, Ш та - - - |ко#(0) ат'Чк^)^!!3 с.

* (х) - цКх)*+ 0(1), х«П \3(«,/г).

с I п

- *(0>(1 + о(1>), х€Б(2е,/г), * <х) ч»(0>5^п"1(к Ь)81п(к (х «*>)(!.-» о(1».

- 18 -

x«c\(Se,,{cl'a)US( с1'3)),

*C.(X) - - с ko#(0)sin'1(lc<)h)|Y((x-xo)/c) + o(l)>],

xeS'-Uc1'8),

*c(x) - - c2 k^OJain'^^h)!«! |G*"(x,xo,ko) + o(l)j.

xcfl \S'K(ci"a)

ЛИ

В L , (R3). 2,Uo

ТЕОРЕМА Ш.4.1. Существует ровно мва полюса первого порядка, сходящиеся к нулю и связанные равенством т^1'.

Асимптотики полюса г 1' и соответствующей обобщенной

с с

собственной функции имеют вид

со

\\ V

4 J.l V,

т4 - (h |Qln| H*,)->/s. Im тз - In тэ - О. In т--- ah's ¡О Г1 lu|a.

4 2 In1 1 '

* (x) - |0, rl/a + o(l), x«0 NSfc1'1).

« 1 lï» 1 In

♦c(x> - I^J-'^d t- o(D). x«S(2c"'a),

* (x) - - с h" ¡0, Г,/а ï(x"/c)(l + o(l)), x«S"(2c"3).

с * in'

ie(x) - |о1ЛГ1/а (i - ь"*хэ)<1+оа)>.

x«KB\(S*"(c1/a)US(e"a)). ®c(x) - c* (h|u|)-J |ain|'l''a|G"'(x,x0>0) + o(l)j,

X<Q \S"(e,/a)

в L , (0e).

2 » loo

ТЕОРЕМА XI1.5.1. Асинптотмни полоса г , сходящегося к

к - (кт/h) в £ch\X"\ о

и соответствующей обобщенной собственной функции имеют вид

со

т - У EJr , г - 2q к /h, Ira т - - k*h"1 |u|*<r. в 1 t ы о г о 1 1

J-i

9 (х) - - С к (2h_1lui )1/г G,n(x,0,k ). xeij \S(c"2,>,

с О » » О 1п

íc(x) _ ко| ^ h|ü||*'Y(x/c), x«S{2e,/2), «в(х> . c"J | i hjojj-'sinCk^).

xe^NCS'-Cc^USfc1'2)), *Jx) , C-l)"*' h|w|]*4((x-x0)/c), X6Se"(2e1/s),

« (x) - c(-l)"k (2Ъ"11ы|)1''гС<",(х,Х„,к ), x<0 \S®x(c1/a)

Ф O 1 1 O O ex

в L , (0е).

г, i oo

В четвертой главе рассмотрена краевая задача для системы уравнений Максвелла с граничными условиями на Гв, соответствующими идеальной проводимости.

На паре трехмерных векторов B»fu1,u2) определим дифференциальные операторы Максвелла:

НО - {i rotu2, -i rotuj, dívsU - (divut, divu^

Краевая задача, соответствующая полному электромагнитному аналогу резонатора Гельмгольца, имеет вид

MU - kU + F, dívaU - О, x«Q , г u -0, хвГ , (13)

* с ti в

и,*хг"' - и. - о(г"1), u.xxr"1 + и, - о(г"*), Г—m (14)

* * 13

?де x-{xt,xa.x3), k«R, F">{FJtF2}, - квадратично интегрируемые, ;оленоидальные функции (divP^-О) с финитными носителями, г^и -

касательная составлявшая вектора т. Решения задачи (13), (14) рассматриваются в (О )~Fl (0 )®Fl (П ), где

loe с loe с loe с

F1(Q) - {u « L (Q): div и е L (Q), rot и е L_(Q)}

3 2 2

- гильбертово пространство относительно скалярного произведения, определяемого нормо"

з г г г

Dut i - «rot un +■ Idiv ut „+ lue

F <Q> L <0> L COÍ LfO> -

3 3 2

Хотя данная модель представляет собой полный электромагнитный аналог резонатора Г<~ чьмгольца, но техника доказательства разрешимости задачи (13), (14), существования у ее решений аналитических продолжений и исследования сходимости полюсов по малому параметру заметно отличается от техники, применяемой в первой главе в задаче о классическом резонаторе.

Для доказательства разрешимости (13),(14) и с- шествования у

ее решений аналитического продолжения применяется подход

основанный на идеях, использование Е. Санчес Паленсией

(Неоднородные среды и теория колебаний. К.: Кир, 1984., 472 с.)

при доказательстве существования аналитического продолжения в,

к -залос- бы, существенно отличающихся скалярных внешних задачах

для уравнения Гельмгольца вне области с достаточно гладкой

границей. Однако относительно недавние результаты и.Ш. Бирмана и

U.3. Соломяка (Операторы Максвелла в областях с негладкой

границей, Сиб.' мат. журя.. 1937, т.27, с.23-36, Главные

особенности эле прической составляющей электромагнитного поля в

областях с экранами, Алгебрэ и анализ, 1993, т.5, вып.1,

с.143-159) по проблемам входящих ребер в краевых задачах для

системы уравнений Ыаксвелла позволяют реализовать упомянутый

u -i* , подход И ДЛЯ (13), (14). 5

Основные идеи доказательства следующие. На восьмимерных вектор-функциях tl-Ju ,u. ,.u.u ) - где u. - векторные

Ъ 1 |3 3 J

(трехмерные), a u^ - скалярные компоненты, определим дифференциальный оператор Я:

Mil - li(rotu2 +■ Vu2), -i div u2, - iírotUj + VUj), i divutJ

Вместо задачи (13), (14) предлагается рассмотреть следующую краевую задачу:

(Л - k)lí - 3, xefle, ylt - 0, х«Ге, (15)

где J - функция из (Я3) с финитным носителем, rW"{rTu1,ri<u¡¡,u2), a tvw - нормальная составляющая вектора к. Решения рассматриваются з классе функций из С, (0 ), где

loe с

¿(D) - F'(D) в W^<D) в F1(D) в if^(D)

При к таких, что IraktO, для всех декартовых компонент v^ вектора К предполага тся выполнение условия излучени т Зоммерфельда

Vj - Oír"1), avezar - ikv^ - 0(г"г), г ® (16)

Связь задач (13),(14) и (15),(16) достаточно простая и

заключается з следующем. Если U-{Uj,uj,Bs,u2J - решение (15),(16)

при 9-ÍFj ,0,Р3.0}, divFj-O, то U-lui,Ua-t-ik"1?ui} является

решением (13), (14) при F—[ F . Ка). И, наоборот, если iMi^.u^,}

является решением (13), (14) и у F -О на Г , то U-íu ,0,u ,0'.

и а в 12

яа. летен решением С.5), '16) .

С другой стороны, задача (15), (16) более удобна для анализа по следующим причинам.

Во-первых, сели в задаче (15), (16) "отрезать* йесксмечность сферой с граничным условием fcU=0 на най, то для полученной таким образом краевой задани в ограниченной области с экраном Г^ применимы результат цитируемых зьвд« paftoT И.Ш. Бирмана и М. 3 Соломяна. Откуда, 3 частности, следует, что спектр такой задачи дискретен при любом фиксированном с.

- 22 -

Во-вторых, решение уравнения (Л-к)У-Э в Й3 (без экрана) его аналитическое продолжение явно выписываются в виде объемны потенциалов.

Последние два результата позволяют перенести технику примененную Е. Саьчес Ппенсией и на анализ задачи (15), (16).

Суть этого подхода состоит а следующем. Решение задачи (15) '(16) и его аналитическое продолжение ищутся в виде суперпоэици решения уравнения (.*-)<;) V-!? в й3 с некоторой неизвестной право частью 9 и решения краевой задачи в ограниченной области (в шар с экраном"), правая часть уравнения которой и граничное условие н; сфере, в свою очередь, определяются через 5. В результате вопрос! разрешимости задачи (15), (16) и существования у ее решени; аналитического продолжения сводятся к разрешимости для ! фредгольмова уравнения второго рода с компактным оператором аналитически зависящим от к.

Для анализа сходимости решений (15),(16) по параметру < ключевую роль играет "равномерная" по с компактность в Ьа(3(й); ограниченных функций И из Ю( 3(Ю\Г ), удовлетворяющи)

с к

однородному граничному условию ?и "О на аЗ(Ю1)Г , что позволяет

с с

применить стандартную технику.

Основным результатом первой ("функциональной") части главь является

ТЕОРЕМА IV.3.7. Пусть кс - простое собственное значение предельной внутренней задачи Максвелла, не являющееся собственной частотой предельных внутренних задач Неймана и Дирихле, Л -соответствующая собственная вектор-функция, нормирование., в 1-а(0) и продолженная иулам в й""1.

Тогда в окрестности точна ко решение задачи (13), (14) и его

аналитическое продолжение имеет вед

к

и (х,к) - (к -к(х) (Г,3 ) , * Й (х,к)

с с с с в3 с

где к «£(П ) - полос, сходящийся к k , J -(J ..J „)

в С О С С 1 ся

соответствующая обобщенная собственная функция, сходящаяся к J я L . (Я3), функция В голоморфна в окрестности точки <с и

Я » Iос с о

сходятся к решению предельной внешней задачи в L , (0**) и

2 t loo

регулярной части предельной внутренней задг. -i s L^CO).

Посредством í•.*в формулировке теоремы обозначено скалярное произведение в L^ÍQ).

Вторая часть главы посвящена построении асимптотики полоса. Коэффициенты главных членов асимптотики ic зависят от некоторых

с

вполне определенных постоянных.

Пусть Xj. j-1,2,3, гармонические з Р3\Г функции из И' , (И'ЧГ), имеющие на бесконечности асимптотики

3,1сс ,

*/«> » * cjV~3 - 0(Р'3>- *í3t0

и удовлетворяющие на Г граничным условиям эХ^/э^-О, и-1,2, и Х3-0. Существование таких функг-'й известно, константы 2с<>>0 являются компонентами матрицы поляризации, а -2с^>0 - аналог средней виртуальной масса для диска ы. ' Обозначим через С диагональную матрицу с компонентами с}. ' '

Пусть G** - компоненты матрицы-функции Грина предельной внешней завдачи для (15),(16),

bm,3i,t bi3(s,e> оэ (в, в >

et(a,3>.H 5 3(5,6) 43(8,»)

обозиачим •«r'ví.w

в„-иш J ie;%<*.o.ke)|* de.

"**" Ss<B>

V" " "í Im J <%(я'0-ко)<Я(х-°-ко)> ds-

в.,- limita J «в2»и(к.0.кв),в--1|<х.0.кв»Л1. m.n-1,2.

я~*°° ез<ю

где <•,•> означает скалярное произведение в С3. Заметим, что матрица вд - симметричная, а ее собственные значения положительны.

Основным результатом второй ("асимптотической") части главы является

ТЕОРЕМА IV.5.2. Асимптотика полюса . сходящегося при

с—»0 к собственному значению kQ, удовлетворяющему условию теоремы IV.3.7, имеет вид

во

к -) cJ*.. Iй к - с® Im к + 0(ет),

С J « 6

J-3

к, - nk <J (0)+J (О),С (J (OKJ (0))>,

3 ОС It W Е И

к - - (2як )а <J.(0)+J„(0),C ОС (J(0)+J (0))>

б Q Б H 4> N и Б N

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гадыльшин P.P. Сингулярно возмущенная задача для оператора Гельмгольца. - В кн.. Дифференциальные уравнения с малым параметром, Свердловск: Изд-во УВД АН СССР, 1984, с.18-35.

2. Гадыльшин P.P. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задач! с малым параметром в граничном условии. - Дифференц. уравнения, 198и, т.22, No 4, .

..с. 640-652,

3. Гадыльшин P.P. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа при сингулярном возмущении граничного условия, - Катем. заметки, 1992, т.52, No 4, с.42-55.

4. Гадыльшин P.P. Расцепление кратного собственного значения в

краевой'задаче для мембраны, закрепленной на малом участке *

границы. - Сибирский матем. журнал, 1993, т.33, сип.3, с. 43-61.

5. Гадыльшин P.P. Об амплитуде колебаний для резонатора Гельмгольца. - Доклады АН СССР, 1990, т.310, No 5, с. 1094-1097.

6. Гадылывик P.P. О квазисобственных частотах резонатора Гельмгольца. - В сб. Асимптотические решения задач математической физики, Уфа: Изд-во БНЦ УрО АН СССР, 1990,

с.33-49.

7. Гадыльшин P.P. О расцеплении полисов функции Грияа для электромагнитного аналога резонатора Гельмгольца. Радиотехника и электроника, 1991. г.36, Ко 10, с.2045-2047.

8. Гадыльшин P.P. Поверхностные потенциалы-и метод сращивания асимптотических разложений в задаче о резонаторе Гельмгольца. - Успехи матем. наук, 1991, т.46, вып.6(282), с.175-176.

9. Гадыльшин P.P. Об аналитическом продолжении функции Грина резонатора Гельыгольца. - В сб. Асимптотические методы решения дифференциальных уравнений, Уф1а: Изд-во ' БНЦ УрО АН СССР, 1992, с.18-26.

10. Гадыльшин P.P. Рассеяние Е-поляриэованного поля на идеально проводящей цилиндрической поверхности с узкой дегью. Письма в ЖТФ, 1992, т.18, вып.4, С.10-13.

11. Гадыльшин P.P. Поверхностные потенциалы и метод согласования асимптотических разложений в задаче о резонаторе Гельмгольца. - Алгебра и анализ, 1992, т.4, вып. 2, с.68-115.

12. Гадыльшин P.P. Метод сращивания асимптотических разложений в задаче об акустическом резонаторе Гельмгольца. - Прикладная математика и механика, 1992, т.56, вып.З, с.412-416.

13. Гадыльшиь P.P. • О слипавшихся полюсах акустического

резонатора. - Доклады АН, 1992, т.234, No 4, 773-776.

14. Гадыльшин P.P. Резонатор Гельмгольца с малым отверстием. -Шурн. вычисл. математики и мат. физики, 1992, т.32, No 9, с.1446-1457.

15. Гадыльшин P.P. О влиянии выбора места отверстия и его формы на свойства акустического резонатора Гельмгольца.- Теор. и матем. физика, 1992, т.93, Ко 1, с.107-118.

16. Гадыльшин P.P. О системе вложенных резонаторов. - Доклады РАН, 1992, т.326, No 6, с.939-942,

17.. Гадыльшин P.P. О квазистационарном, режиме резонатора Гельмгольца. - Прикладная математика и механика, 1993, т.57, вып.5, с.54-61.

18.. Гадыльшин P.P. О полосах акустического резонатора. -функцион. анализ, и его прило»., 1993, т.27, вып.4, с.3-16.

19 Гадыльшин P.P. Расщепление полюсов резонатора Гельмгольца, - Изв. РАН, сер. матем., 1993, No 5, с.44-74.

20. Гадыльшин P.P. Асимптотика второй собственной частоты дпг системы двух тел, соединенных тонкой перемычкой. - Теор. ^ матем. физика, 1993, т.97, Но 1, с.68-77.

21. Гадыльшин P.P. О собственных частотах тел с тонкими отростками. I. Сходимость и оценки. - Катем. заметки, 1993, т.54, No 6. с.10-21.

22. Гадыльшин P.P. О собственных частотах тел с тонкими отростками. X. Асимптотики. - Катем. заметки, 1994, т.55 No 1, с.20-34.

23. Гадыльшин P.P. К рассеянию Н-поляризов иного электромагнитного поля на идеально проводящем цилиндре узкой продольной щелью килечной глубины. - Записки научны семинаров ПОЫИ РАН, 1994, т.210, с.21-26.

24. Гадыльшин P.P. Двумерны., аналог резонатора Гельмгольца идеально жесткими стенками. - Диффер<нц. уравнения, 1994

T.30, No 2 , 0.221-229. ' '>

25. Gadyl'shin R.R. On scattering frequencies of acoustic

resonator. - Preprint, 1992, Bashkirian scientific center of Ural branch of Russian Academy of Seiendes. •

26. Gadyl'shin R.R. On scattering freqi ncies of acoustic

resonator. - C.R. Acad. Sei., 1993, t. 316, Serie I, p. 959-963.

27. Gadyl'shin R.R. On acoustic Helmholtz resonator and on it3

electromagnetic analogue. -J. Hath. Phys., 1994, v.35, No 4, p. 3464-3481.

Til «npHim 3aK. № 80 THpaw jJO 9K3.