Исследование критического поведения неупорядоченных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Бородихин Василий Николаевич

ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ

01.04.02 - Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2005

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Омского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Прудников Владимир Васильевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник Аплеснин Сергей Степанович,

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Холопов Евгений Викентьевич.

Ведущая организация: Институт физики

Даг.Н.Ц. РАН, г. Махачкала

Защита состоится " Д- " 2006 г. власов на заседании диссерта-

ционного совета К 212.179 02 при Омском государственном университете по адресу: 644077, г. Омск, пр. Мира, 55а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета.

Автореферат разослан " ^ " декабря 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

" Вершинин Г.А.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Исследование критического поведения неупорядоченных систем с замороженными дефектами структуры представляет большой теоретический и экспериментальный интерес. Это обусловлено тем, что большинство реальных твердых тел содержат замороженные дефекты структуры, присутствие которых влияет на характеристики систем и, в частности, может существенно сказываться на поведении систем при фазовых переходах. Влияние беспорядка обычно проявляется как случайные возмущения локальной температуры для ферро- и антиферромагнитных систем в отсутствие внешнего магнитного поля или как случайные магнитные поля для антиферромагнитных систем в однородном магнитном поле.

Исследования показали [1, 2], что присутствие случайно распределенных замороженных точечных дефектов структуры изменяет критические свойства систем, теплоемкость которых в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с показателем а > 0 (критерий Харриса). Данному критерию удовлетворяют системы, эффективный гамильтониан которых вблизи критической точки изоморфен гамильтониану модели Изинга. Критические характеристики модели Изинга со случайными немагнитными примесями являются предметом тщательного исследования как теоретического [3|, экспериментального [4], так и численного [3] Экспериментальные исследования [4] показали хорошее согласие теоретических результатов для слабо неупорядоченных систем с беспорядком типа случайная температура с опытными данными. Однако по-прежнему много вопросов здесь остаются открытыми и являются предметом многочисленных исследований.

Для систем с беспорядком типа случайное магнитное поле наблюдается противоположная ситуация. Несмотря на многочисленные исследования, продолжающиеся с 1975 после работ [5], в которых впервые был описан данный тип беспорядка, в настоящее время существует немного надежно установленных фактов о поведении подобных систем. В частности, природа фазового перехода в модели Изинга со случайными полями все еще остается невыясненной, а получаемые как при ренормгрупповом описании, так и при компьютерном моделировании таких систем результаты являются во многом противоречивыми. Так, по одним данным это фазовый переход I рода [6] вплоть до очень низких значений случайного поля, по другим переход II рода [7].

Для описания влияния случайных полей на поведение магнитных систем используются две на качественном уровне эквивалентные модели: ферромагнитная модель Изинга со случайным магнитным полем (ЯР1М) [8] и неупорядоченная антиферромагнитная модель Изинга во внешнем однородном поле (БЛЕГ) [9]. Реальные магнитные системы с эффектами случайных полей являются антиферромагнетиками с замороженными примесями немагнитных атомов, в поведении которых наряду с антиферромагнитным взаимодействием ближайших атомов проявляются эффекты влияния ферромагнитного взаимодействия атомов, следующих за ближайшими. В модели БАРР не учитывается конкуренция ферромагнитного взаимодействия, поэтому область ее реального применения, как и модели [ШМ, довольно ограничена Это указывает на необходимость применения для описания эффектов случайных полей более реальной модели неупорядоченной системы, учитываю-

Ь , . ГХА

щей наряду с антиферромагнитным взаимодействием ближайших атомов ферромагнитное взаимодействие следующих за ближайшими.

Цель работы

Целью настоящей диссертации является:

- исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло с учетом ферромагнитного взаимодействия спинов, следующих за ближайшими соседями;

- определение природы возникающих в системе фазовых переходов в зависимости от концентрации примесей и величины внешнего магнитного поля посредством анализа поведения различных термодинамических и корреляционных функций, таких как намагниченность и "шахматная"намагниченность, восприимчивость, кумулянты Биндера и другие, исследование возможности и условий возникновения в системе спин - стекольной фазы;

- исследование влияния случайных магнитных полей на поведение систем при фазовых переходах с использованием точно решаемой модели Шнейдера - Штола - Бека;

- определение критических параметров (амплитуд взаимодействия флуктуаций парат метра порядка и критических индексов) трехмерной модели Изинга со слабым беспорядком типа случайная температура.

Научная новизна результатов

1. Впервые на основе результатов численного исследования термодинамического поведения трехмерной неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга во внешнем магнитном поле, учитывающей ферромагнитное взаимодействие атомов следующих за ближайшими, выявлено, что при концентрации спинов в системе меньшей пороговой, эффекты случайных магнитных полей разрушают фазовый переход второго рода из парамагнитного в антиферромагнитное состояние с реализацией фазового перехода первого рода в новое фазовое состояние системы, характеризующееся сложной доменной структурой из антиферромагнитных и ферромагнитных доменов, разделенных областями спин-стекольной фазы.

2. Впервые построена фазовая диаграмма для антиферромагнитной модели Изинга со случайными магнитными полями для всей области изменения концентрации немагнитных атомов примеси.

3. Впервые определены значения основных критических индексов в рамках точно решаемой модели Шнейдера - Штола - Бека с учетом гауссовсого и бимодального распределения случайных магнитных полей. Осуществлено неоднородное феноменологическое обобщение данной модели.

4. Впервые методом компьютерного моделирования определены значения критических параметров эффективного гамильтониана системы с беспорядком типа случайная температура, задающих фиксированную точку ренормгрупповых преобразований модели.

Научная и практическая значимость работы

В настоящее время компьютерное моделирование различных систем становится альтернативой физическому эксперименту и зачастую единственно возможным способом получения достоверной информации. Важной областью применения методов компьютерного моделирования является теория критического поведения сильно неупорядоченных систем, когда невозможно проведение аналитического описания из-за высокой концентрации де-

фектов. Практически все реальные материалы содержат примеси и другие дефекты структуры. Исследование их влияния на тип и характеристики фазовых переходов - насущная задача современной физики.

Разработанные в диссертации методы и полученные результаты вносят существенный вклад в разработку численных методов, обоснование и развитие представлений теории критических явлений неупорядоченных систем, являются отправной точкой для последующих исследований в данной области теоретической и компьютерной физики.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Существование для систем со случайными магнитными полями зависимости характера осуществляющегося фазового перехода от концентрации примесей и величины внешнего магнитного поля, а также важной роли в процессе фазовых превращений в неупорядоченной системе эффектов примесной перколяции.

2. Возникновение при концентрации спинов меньшей значения порога примесной перколяции сложного смешанного состояния, представляющего собой структуру из совокуп-

I ности ферро- и антиферромагнитных доменов, разделенных областями спин-стекольной

фазы.

3. Процедура определения значений критических показателей в рамках точно решаемой модели Шнейдера - Штола - Бека с учетом влияния случайных магнитных полей, а также неоднородное феноменологическое обобщение данной модели.

4. Методика определения значений критических индексов и критических параметров эффективного гамильтониана системы с беспорядком типа случайная температура, задающих фиксированную точку ренормгрупповых преобразований модели, с учетом конечно - мерного скейлинга.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XXIX Международной зимней школе физиков-теоретиков "Коуровка-2002" (Кунгур, 2002), Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма" (Омск, 2003), Втором Евро-азиатском симпозиуме "Прогресс в магнетизме"ЕА8ТМАС - 2004 (Красноярск, 2004), а также на научных семинарах кафедры теоретической физики и физического факультета ОмГУ.

Публикации

Список публикаций автора по теме диссертации включает 11 статей и тезисов докладов, опубликованных в российских журналах, сборниках трудов и материалах конференций.

I Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, и заключения. Объем диссертации -139 страниц машинописного текста, в том числе 35 рисунков, 8 таблиц, и список цитируемой литературы из 161 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы и сформулированы основные цели исследований.

В первой главе, носящей обзорный характер, в краткой форме излагается содержание

ряда концепций и методов, применяемых для описания критических явлений. Основное внимание уделяется влиянию беспорядка типа случайной температуры фазового перехода и случайное магнитное поле на критическое поведение систем.

Во второй главе осуществлено исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло. Моделирование проводилось на простой кубической решетке с учетом взаимодействия как ближайших соседних спинов, так и следующих за ближайшими соседями. Случайное магнитное иоле задавалось введением примесей с концентрацией с,тр = 1 — р и включением внешнего поля Ь.

Неупорядоченная антиферромагнитная модель Изинга определялась как система спинов с концентрацией р, связанных с N = рЬ3 узлами кубической решетки с периодическими граничными условиями. Гамильтониан исследуемой модели имеет вид:

= Л £Р'Р]17^} + ]СР'Рк^к р,(Г„ (1)

■ь7 М: *

где <7, = ±1; .7] = 1 характеризует обменное взаимодействие ближайших спинов, носящее антиферромагнитный характер; ^ = — 1/2 характеризует ферромагнитное взаимодействие спинов, следующих за ближайшими соседями; к— напряженность однородного магнитного поля; р,, р} -случайные переменные, описываемые функцией распределения

рС*)=р*(Л-1) + (1-РЖЛ) (2)

и характеризующие распределенные по узлам решетки замороженные немагнитные атомы примеси (пустые узлы).

Для характеристики магнитного порядка двухподрешеточного антиферромагнетика вводят понятие "шахматной|,намагниченности М,1д - разность намагниченностей подре-шеток, являющейся параметром порядка. Для анализа характера фазового перехода в работе вычислялись кумулянты Биндера (10(

и 2 (3)

В данном выражении угловые скобки обозначают статистическое усреднение, а квадратные скобки - усреднение по различным примесным конфигурациям. Следует отметить, что применение кумулянтов позволяет хорошо тестировать тип фазового перехода в системе. Так, в случае фазовых переходов второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов имеют ярко выраженную точку пересечения, в то время как при фазовых переходах первого рода кривые кумулянтов характеризуются специфическим видом без взаимного пересечения.

В работе также проводилось исследование спин - стекольных состояний. Сложный характер спинового упорядочения в таких состояниях может быть описан спин - стекольным параметром порядка:

9- = ¿[< >| (4)

Рис. 1: Температурная зависимость кумулянтов Биндера: (а) р = 0.725, Л. = 3; (Ь) р = 0.5, к=3.

где индексы а и /? характеризуют спиновые конфигурации для различных реплик неупорядоченной системы, моделируемых одновременно при одной и той же температуре и отличающихся различными начальными конфигурациями.

Для достижения равновесных состояний в области температур близких к критическим и определения в них термодинамических характеристик в работе осуществлялась процедура медленного квазистатического замораживания системы из неупорядоченной фазы, начиная с температуры, при которой ни в одной из "прогонок"не было выявлено метастабильных состояний. Процедура квазистатического замораживания состояла из повторяемого при каждой температуре режима релаксации в 5000 шагов, последующего режима усреднения в 10000 шагов и понижения температуры с шагом ДТ = 0 1 с использованием в качестве начальной спиновой конфигурации, созданной на последнем шаге предшествующей температуры. Данная процедура проводилась с целью получения устойчивого равновесного состояния для каждой температуры и устранения возможности попадания в метастабильные состояния [11].

В процессе расчета термодинамических характеристик для каждой решетки размером Ь при фиксированные Н и р осуществлялось статистическое усреднение по пяти "про-гонкам"е различными начальными спиновыми конфигурациями для каждой примесной конфигурации и последующее усреднение по 10-20 различным конфигурациям примесей.

Были проведены исследования температурной зависимости различных термодинамических характеристик трехмерной антиферромагнитной модели Изинга в широкой области концентраций примеси с учетом изменения внешнего магнитного поля к от к = 1 до Л ^ 4 для систем с линейными размерами £ от Ь = 8 до Ь — 64

Исследования показали, что для каждого фиксированного значения магнитного поля к всю область спиновых концентраций р можно разбить на несколько. В области р„ < р < 1, где р„ - величина порога примесной перколяции (для данной модели ря = 0,83), при концентрациях спинов ниже которой примеси образуют протекающий кластер, реализуется фазовый переход второго рода при Тс{к,р) из парамагнитного в антиферромагнитное состояние [И] В области с рс < р < р„, где рс - величина порога спиновой перколяции

Рис. 2: Температурная зависимость "шахматного "параметра порядка р = 0.725, Л=3.

Рис. 3: Температурная зависимость спонтанной намагниченности р = 0.725, Л = 3.

(для данной модели р = 0,17), для каждого размера решетки V можно выделить такую концентрацию р(Ь', Л), что для решеток с Ь < V при р > р(Ь', Л) все вычисляемые характеристики демонстрируют температурное поведение, характерное для фазовых переходов второго рода, а при р < р{£', Л) - поведение, характерное для фазовых переходов первого рода. С ростом поля Л и размера решетки V величина спиновой концентрации р(Ь', Н) растет, приблнжась к пороговой р„ = 0,83. Так, из анализа графиков температурной зависимости кумулянтов Биндера для разных решеток (рис. 1а) следует, что в случае спиновых концентраций, близких к значению порога примесной перколяции р„, кумулянты Биндера перестают пересекаться лишь для решеток с достаточно большими размерами ¿<64, кто время как при р = 0,5 (Л = 3) пересечение кумулянтов отсутствует при всех рассмотренных размерах Ь (рис.1Ь).

Для систем со спиновыми концентрациями р < р(£', к) было выявлено возникновение особенностей в поведении "шахматной"намагниченности МЛд(Т) при всех перечисленных значениях магнитного поля 1), проявляющихся в сильной зависимости МЛд в области насыщения от размеров моделируемой системы (рис.2). При этом можно отметить тенденцию уменьшения ||шахматяойпнамагниченности в области насыщения с ростом Ь. Данное поведение МЛд указывает на отсутствие антиферромагнитного основного состояния системы, а выявленное малое увеличение полной намагниченности М системы с ростом Ь (рис.3) на то, что система разбивается на совокупность антиферромагнитных доменов с размерами Ь < I!, разделяемых стенками с приблизительной компенсацией их намагниченностей. Однако с усилением влияния случайных магнитных полей за счет роста концентрации немагнитных атомов и величины магнитного поля в системе наблюдается сокращение числа я размеров антиферромагнитных доменов и увеличение числа и размеров ферромагнитных доменов при Мл„ + М < 1.

С целью дальнейшего выяснения свойств систем при рс < р < ри была исследована температурная зависимость спин - стекольного параметра порядка (рис.4). При температуре

-А-р=0Л;1-=24

-о-р-олиа*

р=0,7;

Рис. 4: Температурная зависимость спин-стекольного параметра порядка при И = 3, ¿ = 24, р = 0,2 - 0,725.

Л 0,2 СМ ОД О* 1Я

Р

Рис. 5: Фазовая диаграмма антиферромагнитной модели Изинга со случайными магнитными полями при к = 3.

Т, стремящейся к нулю, в системе возникает спин - стекольное упорядочение, характеризующееся конфигурационным замораживанием ориентации магнитных моментов атомов. Таким образом, при р < р„ эффекты случайных магнитных полей приводят в модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями к смене антиферромагпитиого основного состояния на спин - стекольное. При этом изменение состояния неупорядоченной системы для конечных температур характеризуется фазовым переходом первого рода из парамагнитного в смешанное состояние, представляющее собой при высоких спиновых концентрациях структуру из совокупности антиферромагнитных доменов, разделенных областями спин - стекольной фазы. С понижением спиновых концентраций в системе наблюдается сокращение числа и размеров антиферромагнитных доменов и увеличение Числа и размеров ферромагнитных доменов при сокращении относительного объема спин - стекольной фазы.

Как обобщение результатов исследований на рис.5 представлена фазовая диаграмма системы в переменных (Т,р) для случая с Л = 3.

В третьей главе осуществлено исследование влияния случайных магнитных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели.

Рассматриваемая модель отличается от модели ф* тем, что в этой модели учитывается только взаимодействие флуктуаций с равными и противоположно направленными импульсами. Основным приближением модели является замена всех интегралов типа / Лгфгк(т) следующими интегральными выражениями |12] /А-^2* —» У(/<11гф,/\г)к

В принятом приближении модель задается гамильтонианом (к = 2):

г >

1 = 1/ <?г[(Щ{г))> + т.Кг? - иф{т)} + £ (/ сСгф(гГ)2, (5)

где <1 - размерность пространства, V - объем системы, Л - однородное внешнее поле, сопряженное параметру порядка.

Учтем влияние случайных полей вводя добавку к функционалу Гинзбурга*-Ландау

Нгтпр = | / <Ргф(гЩг) как возмущение, где Л(г) - случайное поле, создаваемое замороженными примесями. В данной работе оно рассматривалось как гауссово

р{К) = ®ф(-(Л(г)/>/2Д)2), (6)

причем Л(г) = 0, А(г)Л(г') = Д<$(г - г*), где Д - примесный коэффициент, задающий влияние случайных полей, пропорциональный концентрации примеси. Наряду с гауссовым распределением в диссертация было рассмотрено я бимодальное распределение для случайных магнитных полей:

Р(Ь(г)) = с5(Л(г) + К) + (1 - сЩЦг) - Л') (7)

где с и (1-е) - вероятности двух противоположных направлений случайного поля +Л' и —Л'. Конфигурационное среднее < Л(г) >= Ло(2с - 1), где = Д - также как и в гауссовом распределении примесный коэффициент, задающий влияние случайных полей, пропорциональный концентрация примеси. В диссертация было показано, что влияние на критическое поведение систем случайных полей, задаваемых бимодальным распределением, эквивалентно влиянию случайных полей, задаваемых гауссовым распределением.

Для случая гауссового распределения осуществим усреднение ехр{—(Я + Я;тр)/Т] по всем возможным примесным конфигурациям с учетом приведенного выше правила усреднения случайных полей. В результате статистическую сумму можно представить в виде:

У (¿М:Ыу ехр[- ^(тх + дх2-ху + уф1~ 2кфо + ^^ Ну + <72 + Д))], (8)

где штрих при сумме по д означает отсутствие в ней моды д — 0. Т.к. выражение в показателе экспоненты содержит множителем объем V, интегрирование может быть проведено методом перевала. В пределе V —» оо полученный результат будет точным выражением для статистической суммы.

С учетом вычитания и перенормировки получим следующее выражение д ля показателя экспоненты в (8):

Р - + - УХ + ЧК + г2) + уФо ~ 2Ш + (9)

где ¿Рял,, описывает влияние случайных полей:

+ (10)

и Е'д[(У + = ку(<<~2)/2, к — 5*/(1<иг2а»п(ят*/2)). Седловая точка по переменным х

и у, определение которых позволяет осуществить интегрирование статистической суммы методом перевала, задается уравнениями ^-¡хо.т = = 0 или в явном виде:

У = т'+д'х, (11)

ф^-х- + = 0. (12)

Таблица 1: Критические индексы точно решаемой модели со случайными магнитными полями с учетом однородной феноменологической поправки

у> Д у<А

а 4 < 4 < 6 0 1

4<4 0 1

¿>6 («-<0/2 1

$ 4<ё< 6 (<4-4)/(<*-2) 1/2

¿<4 1/2

¿> 6 1/2 1/2

7 4 < <1 < 6 4/(4-2) 0

¿<4 4/4 0

¿>6 1 0

6 А <6 <6 ¿¡(Л -4) 1

Л<А (¿+2)/(<*-2) 1

«1>6 3 1

В состоянии равновесия при температуре фазового перехода функционал свободной энергии характеризуется минимумом. В результате к уравнениям (11)-(12) следует добавить уравнение = 0, позволяющее определить термодинамическое поведение параметра

порядка фд:

(у + А)А. = Л- (13)

В (12] было показано, что в беспримесном случае из-за того, что разность между точным и редуцированным гамильтонианом вышеописанной модели не мала, значения критических индексов существенно отличаются от изииговских. В связи с этим в (12] была предпринята попытка так модифицировать редуцированную модель, чтобы она оставаясь точно решаемой учитывала вклад отбрасываемых при редукции составляющих гамильтониана.

В таблице 1. приведены значения критических индексов, полученных в рамках данной модели с феноменологической поправкой с учетом эффектов случайных магнитных полей. Здесь й - размерность пространства.

Из приведенных значений индексов системы со случайными полями при у > А видно, что для критических индексов при 4 < & < 6 размерный сдвиг Л = 4 - 2 переводит значения индексов для модели со случайными полями в значения индексов однородной модели. Этот вывод соответствует результатам, полученным в {13} ренормгрупповыни методами. В случае 4 < 4 эффекты случайных полей несущественны и значения индексов неупорядоченной модели совпадают со значениями однородной модели.

Однако такие значения критических показателей не соответствуют экспериментальным результатам, а также современным теоретическим моделям [14]. Для более адекватного описания поведения случайных магнитных полей необходимо учитывать дополнительный вклад в свободную энергию слагаемого ~ где в - критический индекс, связанный с нарушением масштабной инвариантности, £ - корреляционная длина. Фе-

Таблица 2: Критические индексы точно решаемой модели со случайными магнитными полями с учетом неоднородной феноменологической поправки

у> д у< Д

а 4< А <6 0 1

¿<4 0 1

<*>6 (6-<0/2 1

0 4 < ¿<6 (¿-4)/((<1-2)(с1-в)) 1/2

с£<4 (<г-2)/да-в)) 1/2

¿>6 1/2 1/2

1 4 < «г < 6 ЫЩЛ-ЩЛ-в)) 0

</<4 т-в) 0

<¿>6 1 0

6 4<«г<б ¿/(¿-4) 1

(*<4 (Л+ 2)/(¿-2) 1

<¿>6 3 1

V б<а<4 2/(<< -<?) 1

¿<4 2/(<1-6) 1

(¿>6 1/2 1

номеиологический вклад в свободную энергию с учетом влияния случайных магнитных нолей можно записать в виде 5Р ~ \т"\"лФ(фй){(&), где и критический индекс корреляционной длины, /(Д) - некоторая функция, учитывающая влияние случайных магнитных полей. При Д = 0 - /(Д) = 1. Уравнение (13) мож:ет быть переписано:

+ + № (14)

/

Полный набор критических показателей получаемый в данной модели с учетом случайно полевой феноменологической поправки для размерности пространства <¿<4, 4 < Л < 6 и (I > 6 приведен в табл. 2. Учет неоднородной феноменологической поправки в данной точно решаемой модели с случайными магнитными ползти позволяет получить значения критических индексов сопоставимые с результатами найденными экспериментально и с использованием методов компьютерного моделирования при соответствующем выборе критического показателя в.

В четвертой главе осуществлено компьютерное моделирование слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга,'определены эффективные амплитуды взаимодействия флуктуаций параметра порядка и критические показатели. <

Исходная неупорядоченная модель в критической области термодинамически эквивалентна О (И) симметричной модели Гинзбурга-Ландау-Вильсона. После применения процедуры репличного усреднения по гауссовеки распределенному потенциалу случайного

поля примесей и перенормировки гамильтониан принимает вид:

ЯЛ = / ¿Х{\ £(^а,.л(*))2 + Е ^..«М* + +^Х>.,*(*)2)2 - (15)

ца м>

где индекс К обозначает перенормированные величины, (р = ¿у-ул, = хТГ1% - перенормировочная константа, х - восприимчивость, тд = Х/^2 - перенормнрованная масса модели, £ - корреляционная длина.

Процедура ренормгрушговых преобразований модели характеризуется наличием предельной неподвижной точки (фиксированной точки) в пространстве безразмерных амплитуд взаимодействия флуктуаций параметра порядка дя я ия, которая задает ее критические свойства и позволяет определить критические показатели для основных термодинамических и корреляционных функций системы.

Значения эффективных амплитуд взаимодействия флуктуаций могут быть получены методами компьютерного моделирования путем вычисления различных корреляционных функций или моментов функций распределения для параметра порядка. В настоящей работе впервые методом Монте-Карло определены координаты фиксированной точки эффективного гамильтониана (15) для концентраций спинов р—0.95, 0.80.

Рассматривается трехмерная модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с размерами Ь и наложенными периодическими граничными условиями. С узлами решетки связаны спины а,, принимающие значения ±1, и немагнитные атомы примеси (пустые узлы с <г, = 0). Данная система описывается гамильтонианом:

Я=^Е (16)

где - константа обменного ферромагнитного взаимодействия, р, - случайная переменная, описываемая функцией распределения Я(р,) = рб(р, -1) -I- (1 - р)<5(р»), с р—1-е. где с -концентрация примеси. Для распределения спинов с заданной концентрацией р по узлам решетки использовался алгоритм выращивания перколяционного кластера Хаммерсли -Лиса - Александровича (15].

В основе компьтерного моделирования статистических процессов лежит метод Монте-Карло, суть которого заключается в использовании случайных чисел для машинной имитации вероятностных распределений. В данной работе для получения последовательных спиновых конфигураций был применен однокластерный алгоритм Вольфа (16], который по сравнению с традиционным для метода Монте-Карло алгоритмом Метрополией позволяет получать значительно менее скоррелированную последовательность спиновых конфигураций, что особенно важно для моделирования критического поведения систем большого размера. Поскольку моделируемая система являлась неупорядоченной, кроме усреднения по спиновым конфигурациям проводилось усреднение по различным примесным конфигурациям. В данной работе осуществлялось усреднение вычисляемых термодинамических и корреляционных функций по 500 примесным конфигурациям образцов с р = 0,95 и

по 1000 примесным конфигурациям образцов с р = 0,80. Каждой примесной конфигурации сопоставлялось 10® спиновых конфигураций или Монте-Карло шагов, по которым и проводилось статистическое усреднение.

Эффективные амплитуды взаимодействия флуктуаций параметра порядка ид и дд в гамильтониане (15) вычислялись путем усреднения по всей совокупности примесных конфигураций следующих выражений для кумулянтов и корреляционных функций:

Зуг < > - < >

Индексы а и /3 в (18) характеризуют спиновые конфигурации для различных реплик неупорядоченной системы размера Ь, моделируемых одновременно при одной и той же температуре и отличающихся различными начальными конфигурациями.

Для системы со спиновой концентрацией р = 0,95 измерения проводились при температурах Т=4,275; 4,285; 4,295; 4,315; 4,335, а для системы с р = 0,80 при температурах Т=3,51; 3,52; 3,53; 3,55; 3,57, т.е. в интервале изменения приведенной температуры т — \Т — Тс(р)/Тс{р)| = 10~3 - Ю-2, в которой наиболее ярко проявляются флуктуацион-ные эффекты влияния дефектов структуры. Размеры решеток варьировались Ь—20 - 130 для системы с р = 0,95, £/=20 -170 для р = 0,80. Для каждой температуры исследование ограничивалось тем максимальным размером решетки Ьтах, при котором все вычисляемые физические величины, определяющие критическое поведение системы, выходят на асимптотику.

Известно, что в конечной системе не может проявиться настоящий фазовый переход Тем не менее можно ожидать, что если £(Т) меньше линейного размера £. системы, то конечная система будет правильно передавать термодинамические свойства бесконечной системы при применении методики конечно-мерного скейлинга |17). Данная методика позволяет осуществить выделение термодинамических значений физических величин на основе их значений, полученных для решетки размера Ь, при температурах, принадлежащих критической области т<1.

В табл. 3. приведены результирующие зависимости значений корреляционной длины восприимчивости х и вершин дн и ин от температуры, найденные с помощью процедуры конечно-мерного скейлинга для систем с р = 0,95:0.80.

Из выявленной температурной зависимости перенормированных вершин дя и ия могут быть выделены их критические значения д',и' на основе известных скейлинговых зависимостей данных вершин

дя(т)=дт(1 + ат*), (19)

иа(т)=и'( 1+Ьт°). (20)

с показателем в — иш, задаваемым и - критическим индексом для корреляционной длины и ш - критическим индексом, характеризующим поправки к скейлингу. Показатель 0

Таблица 3: Температурная зависимость поведения физических величин в критической области, выделенная на основе процедуры конечно-мерного скейлинга, для систем с концентрацией спинов 0,95 и 0,80

р Т 4 X 9 и

4,275 20,93 ±0,11 1622 ± 12 31,46 ±1,12 10,36 ±0,68

4,285 15,73 ±0,09 906 ±8 31,13 ±1,03 10,24 ± 0,60

0,95 4,295 12,68 ±0,08 526 ±6 30,87 ±0,99 10,13 ±0,52

4,315 8,33±0,06 343 ±5 30,49± 1,04 9,98 ± 0,40

4,335 6,86 ±0,04 203 ±4 30,27 ±0,92 9,92 ± 0,40

3,51 22,91 ± 0,18 2217 ±17 31,62 ±1.01 11,22 ±0,73

3,52 15,87 ±0,10 1088 ±10 31,19 ±0,88 11,13 ±0,71

0,80 3,53 12,55 ±0,08 679 ±8 30,89 ±0,85 11,07 ±0,63

3,55 9,03 ± 0,06 363 ±6 30,45 ± 0,83 10,99 ±0,51

3,57 7,29 ± 0,04 238 ± 4 30,14 ±0,76 10,94 ± 0,60

характеризует также поправки к асимптотическому температурному поведению корреляционной длины и восприимчивости

£(т)~т-"(1+сгв), (21)

х(т) ~ т~7(1 + (¿т®). (22)

С целью определения значений критических амплитуд взаимодействия флуктуаций параметра порядка в фиксированной точке д",и', была проведена аппроксимацию полученных температурных зависимостей по соотношениям (19)-(20) для дя и иц (табл. 3) для значений показателя в в интервале 0,15 - 0,25. Результаты аппроксимаций представлены в табл.4 для спиновых концентраций р — 0,95; 0,80. Из приведенных в таблице значений видно, что величина изменений д*,и", обусловленная как изменением показателя в, так и концентрации спинов р, находится в пределах статистических погрешностей определения д*,и". Сопоставление полученных значений д',и" с теоретико-полевыми д* = 36,72(32), и* = 11,89(30), вычисленными в тестипетлевом приближении [18], указывает на их достаточно хорошее согласие в пределах погрешности результатов. При этом, вычисленные нами средние значения д" и и* для р — 0,95 и р = 0,80 лучше согласуются с теоретико-полевыми значениями при в близких к в = 0,17, чем к в = 0,25.

Из полученных данных по температурной зависимости корреляционной длины ((г) и восприимчивости х(г) (табл.3) в соответствии с выражениями (21)- (22) были выделены значения критических индексов и я у для значений критического индекса поправки к скейлингу в, изменяющихся в интервале 0,15 - 0,25 (табл.4). Из представленных в таблице значений и и 7 видно, что они слабо зависят от изменения в в данном интервале, а наблюдаемые изменения средних значений и и 7 от в попадают в интервал погрешностей определения этих критических индексов При сопоставлении значений критических индексов V и 7, полученных для спиновых концентраций р — 0,95 и р = 0,80, видно, что

Таблица 4: Зависимость координат фиксированной точки {д",и') и критических индексов V и 7 от значений критического индекса в для систем с концентраций спинов 0,95 и 0,80

р в 9' и' V 7

0,15 36,35 ± 1,16 12,21 ±0,66 0,6797 ± 0,0028 1,340 ±0,007

0,16 36,01 ± 1,16 12,08 ±0,66 0,6801 ±0,0028 1,340 ± 0,007

0,17 35,71 ±1,16 11,96 ± 0,66 0,6804 ±0,0028 1,340 ±0,007

0,18 35,44 ±1,16 И, 86 ±0,66 0,6808 ± 0,0029 1,340 ±0,007

0,19 35,20 ± 1,16 11,77 ±0,66 0,6811 ±0,0029 1,340 ±0,007

0,95 0,20 34,98 ± 1,16 11,69 ±0,66 0,6815 ± 0,0029 1,341 ±0,007

0,21 34.79 ±1,16 11,61 ±0,67 0,6818 ± 0,0030 1,341 ±0,007

0,22 34,61 ±1,17 11,55 ±0,67 0,6822 ±0,0030 1,341 ±0,007

0,23 34,45 ±1,17 11,49 ±0,67 0,6825 ± 0,0031 1,341 ±0,007

0,24 34,30 ±1,17 11,43 ±0,67 0,6829 ± 0,0031 1,341 ±0,007

0,25 34,16 ±1,17 И, 38 ±0,67 0,6832 ± 0,0031 1,341 ±0,007

0,15 36,87 ±0,98 12,21 ±0.70 0,6832 ± 0,0027 1,345 ± 0,007

0,16 36,50 ±0,98 12,14 ±0,70 0,6832 ±0,0027 1,345 ±0,007

0,17 36,17 ± 0,98 12,08 ±0,70 0,6832 ±0,0027 1,345 ±0,007

0,18 35,88 ±0,98 12,02 ±0,70 0,6832 ± 0,0028 1.345 ±0,007

0,19 35,62 ±0,98 11,97 ±0,70 0,6832 ±0,0028 1,345 ±0,007

0,80 0,20 35,38 ±0,98 11,93± 0,70 0,6832 ±0,0028 1,345 ±0,007

0,21 35,17 ±0,98 11,89 ±0,70 0,6832 ±0,0028 1 345 ± 0,007

0,22 34,98 ±0,98 И, 85 ±0,70 0,6833 ± 0,0028 1,345 ±0,007

0,23 34,80 ±0,98 11,82 ±0,70 0,6833 ± 0,0029 1,345 ±0,007

0,24 34,64 ± 0,99 И, 79 ±0,71 0,6833 ± 0,0029 1,345 ± 0,007

0,25 34,49 ±0,99 11,76 ±0,71 0,6833* 0,0029 1,345 ±0,007

хотя для каждого значения в наблюдается некоторое увеличение средних значений индексов с ростом концентрации точечных дефектов, однако эти изменения также находятся в пределах статистических погрешностей определения данных критических индексов. Сопоставление полученных результатов с теоретико-полевыми значениями критических индексов 7 = 1,342(10) и V = 0,6837(53) |18] показывает, что они находятся в хорошем согласии друг с другом.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации. Ч

Основные результаты и выводы

1. Осуществлено компьютерное моделирование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло. Моделирование проводилось на простой кубической решетке с учетом взаимодействия как ближайших соседних спинов, так и следующих за ближайшими Исследования были проведены в широкой области концентраций примеси с учетом изменения внешнего магнитного поля к от к — \ до к — 4 для систем г размерами Ь от Ь — 8 до Ь — 64 Построена

фазовая диаграмма данной системы во всей области концентраций примеси.

2. Исследования показали, что для каждого фиксированного значения магнитного поля Л всю область спиновых концентраций р можно разбить на несколько. В области р^ < р < 1, где Ри =0,83 - величина порога примесной перколяции, реализуется фазовый переход второго рода из парамагнитного в антиферромагнитное состояние.

3. Установлено, что в области спиновых концентраций с рс < р < р«, где рг—0,17 -величина порога спиновой перколяции, реализуется фазовый переход первого рода из парамагнитного в смешанное состояние, характеризующееся сложной доменной структурой из антиферромагиитиых и ферромагнитных доменов, разделенных областями спин - стекольной фазы. С понижением спиновых концентраций и увеличением величины внешнего магнитного поля в системе осуществляется сокращение лисла и размеров антиферромагнитных доменов и увеличение числа и размеров ферромагнитных доменов при сокращении относительного объема спин - стекольной фазы.

4. Показано, что в области спиновых концентраций с рс < р < р„ эффекты случайных магнитных полей приводят в данной трехмерной неупорядоченной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями к смене антиферромагнитного основного состояния на спин - стекольное.

5. Проведено исследование влияния случайных магнитных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели Шнейдера - Штола - Века. Отмечено, что использование как гауссовского так и бимодального распределения случайных магнитных полей не меняет существенно характера критического поведения данной модели. Показано, что для значений критических индексов в случае слабых случайных полей характерен размерный сдвиг ¡1 —► й— 2, переводящий значения индексов для ¿-мерной модели со случайными полями в значения индексов однородной модели размерности ¿ — 2. Этот вывод соответствует ранним результатам, полученным ренормгрупповыми методами.

В случае сильных случайных полей выявлено, что восприимчивость системы перестает быть сингулярной функцией приведенной температуры, хотя и может принимать большие значения. Этот результат рассматривается как "размытие"фазового перехода второго рода за счет влияния случайных полей.

6. Проведено феноменологическое обобщение данной модели. Показано, что учет неоднородной феноменологической поправки, задающей нарушение масштабной инвариантности системы за счет влияния случайных полей и определяемой показателем 0, позволяет получить значения критических индексов сопоставимые с результатами, найденными экспериментальными методами и методами компьютерного моделирования.

7. Осуществлено компьютерное моделирование трехмерной модели Изинга с беспорядком типа случайная температура методом Монте - Карло. Исследовались концентрации спинов 0,95 и 0,8. Для системы со спиновой концентрацией р = 0,95 измерения проводились при температурах Т=4,275; 4,285; 4,295; 4,315; 4,335, и размерах ¿=20 - 130, а для системы с р = 0,80 при температурах Т=3,51; 3,52; 3,53; 3,55; 3,57 и размерах ¿=20 - 170. С использованием метода конечно - мерного скейлинга осуществлено определение значений критических параметров эффективного гамильтониана модели, задающих фиксированную точку ренормгрупповых преобразований модели.

8. Показано, что полученные в рамках данной модели для различных р значения коор-

динат фиксированной точки и критических индексов хорошо согласуются друг с другом в пределах погрешности численного эксперимента и с теоретико-полевыми значениями, вычисленными в шестипетлевом приближении, что доказывает универсальность критического поведения слабо неупорядоченных систем.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

I Бородихин В Н , Прудников В.В. Исследование влияния случайных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели. - Вестник Омского университета. 1999, N4. с.37-39.

2. Бородихин В.Н , Вакилов А.Н , Прудников В.В. Определение критических параметров эффективного гамильтониана слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга. -Математические структуры и моделирование, 2001, вып.8, с.56-65.

3. Бородихин В.Н., Вакилов А.Н., Прудников В.В. Определение критических параметров эффективного гамильтониана слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга. -Тезисы докладов XXIX Международной зимней школы физиков-теоретиков "Коуровка-2002" (Кунгур, 2002) Екатеринбург- ИФМ УрО РАН, 2002. с.147-148.

4. Прудников В.В., Бородихин В Н., Вакилов А.Н., Прудников П.В. Определение критических параметров эффективного гамильтониана слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга - Материалы Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма" (Омск, 2003). Омск: ОНЦ СО РАН, 2003 с.32.

5. Прудников В.В., Бородихин В.Н., Вакилов А.Н., Прудников П.В. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга. -Математические структуры и моделирование, 2003, вып.11, с.108-123.

6 Бородихин В.Н., Дмитриев Д.В., Прудников В.В. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга г эффектами случайных магнитных полей - Вестник Омского университета. 2003, N.4 с.24-26.

7 Borodikhin V.N., Prudnikov V.V. Study of a Disordered Antiferromagnetic Ising Model with Random Fields. - EASTMAG 2004, (Krasnojarsk. 2004.), p.66.

8 Бородихин B.H., Дмитриев Д.В., Прудников В.В Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей. - Известия вузов Физика, 2004, N5, с 58-62.

9. Borodikhin V.N. and Prudnikov V.V. Study of a Disordered Antiferromagnetic Ising Model with Random Fields. - The Physics of Metals and Metallograph}', 2005, Vol.99, Suppl 1, p. 24-27.

10 Прудников B.B., Бородихин В.Н. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло. - ЖЭТФ, 2005, т. 128, вып.2, с.337-343.

II Prudnikov V V. and Borodikhin V.N. Monte Carlo Simulation of a Random-Field Ising Antiferromagnet. - e-print cond-mat/0510052

Список литературы

[1] Harris A.B. - J Phys. C, 1974, vol.7, N6, p.1671-1692.

[2] Соколов А И.. Шалаев Б.Н. ФТТ, 1981, т.23. N7, с.2058-2063

|3] Фольк Р., Головач Ю , Яворский Т - УФН, 2003, т.173, N2, с.175-200

[4| Birgeneau R.J , Cowlly R A , Shirane G , Jaccarino V - Phys. Rev. B, 1983, vol.27, N12, p.6747-6757.

(5j Imry Y., Ma S.K. - Phys. Rev. Lett. 1975, vol.35, p.1399.

[6] Rieger H., Young P. - J. Phys A, 1993, vol.26, p.5279.

¡7) Ogielski A.T., Huse D.A. - Phys. Rev. Lett., 1986, vol.56, p.1298.

[8] Belanger D.P., Young A.P. - J. Magn Magn. Mater., 1991, vol.100, p.272.

|9] Grest G S., SoukoulLs C.M , Levin K. Phys. Rev. B, vol.33, p.7659.

[10] Binder K. - Z. Phys. B, 1981. vol.43, p.119.

[11] Прудников B.B., Марков O.H , Осинцев Е.В. - ЖЭТФ, 1999, т.116, с.953-961.

[12] Иванченко Ю.М., Лисянский А А , Филиппов А.Э - ТМФ, 1987, т71, с.441-450.

[13] Parisi G., Sourlas N.- Phys.Rev Lett., 1979, vol.43, p.744.

[14[ Fortin J Y . Holdsworth P С W - J Phys A, 1998, vol.31, p.85-105

[15] Гулд X., Тобочник Я.К. - Компьютерное моделирование в физике, М.. Наука, 1989.

[16] Wolff U. - Phys.Rev Lett,., 1989, vol 62, р.361.

[17] Kim J.-K., de Souza A.J.F , and Landau D.P. - Phys.Rev. E, 1996, vol.54, p.2291.

[18] Pelissetto A., Vicari E - Phys Rev. B, 2000, vol.62, p.6393- e-print cond-mat/0002402.

Подписано к печати 16.12.2005. Формат бумаги 60x84 1/16. Печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 566.

Издательство ОмГУ

644077, г. Омск-77, пр. Мира, 55а, госуниверситет

п/ n/s

РНБ Русский фонд

2007-4 7638

1 llliil i-Лв!

Введение.

1 Критические явления

1.1 Введение.

1.1.1 Критические индексы.

1.1.2 Теория самосогласованного поля.

1.2 Учет флуктуации.

1.2.1 Уравнения ренормгруппы.

1.2.2 Критические индексы с учетом флуктуационных эффектов

1.3 Модель Изинга. Алгоритмы.

1.3.1 Модель Изинга. История и значение.

1.3.2 Основные определения модели.

1.3.3 Алгоритм Метрополиса

1.3.4 Алгоритм Вольфа.

1.4 Влияние примесей.

1.4.1 Влияние примесей: случайные немагнитные примеси

1.4.2 Влияние примесей: случайные немагнитные примеси. Теоретико-полевой подход.

1.4.3 Компьютерное моделирование неупорядоченных систем

1.5 Влияние примесей: случайные магнитные поля.

1.5.1 Фазовые переходы в системах со случайными магнитными полями.

1.5.2 Скейлинговые соотношения

1.5.3 Ренормгрупповое описание беспорядка типа случайное магнитное поле.

1.6 Спиновые стекла.

1.7 Выводы и задачи исследования.

Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло

2.1 Введение

2.2 Модель

2.3 Результаты

2.4 Анализ результатов и выводы

Исследование влияния случайных магнитных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели

3.1 Введение

3.2 Учет влияния случайных магнитных полей.

3.2.1 Гауссово распределение случайных магнитных полей

3.2.2 Бимодальное распределение

3.3 Критические индексы системы со случайными полями

3.4 Феноменологическое обобщение модели.

3.5 Анализ результатов. Выводы.

Определение критических параметров слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга

4.1 Введение.

4.2 Модель.

4.3 Методика компьютерного моделирования критического поведения неупорядоченной модели Изинга.

4.4 Результаты компьютерного моделирования

4.5 Анализ результатов и основные выводы.

Фазовый переход - сложное и многогранное явление. Согласно Ландау фазовые переходы с качественной стороны характеризуются изменением симметрии системы а с количественной-параметром порядка, соответствующим данному изменению симметрии.

Теория Ландау [1, 2] была первой теорией, позволяющей с единой точки зрения подходить к проблеме критических явлений, независимо от их природы. Однако большинство количественных результатов этой теории не соответствовали реальному поведению критических систем. Так в 1944 году Л. Онсагером [3] было найдено точное решение модели Изинга. Полученные им результаты резко отличались от результатов предсказываемых теорией Ландау. Эксперименты на различных физических объектах также показывали отличие критического поведения от результатов теории Ландау.

Начало современной теории критических явлений, учитывающей крупномасштабные долгоживущие флуктуации было заложено в работах А.З. Паташинского и В.Л. Покровского [4, 5, б]. Ими была сформулирована гипотеза подобия критических флуктуаций. Каданов [7] сформулировал идею масштабной инвариантности термодинамических свойств систем в окрестности критических точек.

Основываясь на гипотезе подобия Вильсон [8, 9] развил метод ренор-мализационной группы, применительно к исследованию критических явлений. Все критические индексы были получены Вильсоном в виде ряда по малому параметру е (е = 4 — d, где d - размерность пространства).

Поляков и Мигдал [10, 11] указали на существование аналогии между статистическим описанием поведения систем при фазовых переходах второго рода и квантовой теорией поля. Основываясь на этом Ди Кастро и Иона-Ласинио [12] впервые использовали теоретико - полевой подход для решения проблем фазовых переходов.

Проблема влияния замороженных дефектов структуры на критическое поведение является важной как с теоретической так и практической точек зрения.

Исследования показали, влияние замороженных дефектов, проявляющиеся как случайное возмущение локальной температуры приводит к смене режима критического поведения, описываемого новым набором критических индексов. Это связано с тем, что присутствие точечных дефектов вызывает нарушение трансляционной инвариаитности системы, что приводит к рассеянию критических флуктуаций на дефектах структуры и дополнительному взаимодействию флуктуаций параметра порядка посредством поля дефектов.

В работе [13] сформулирован критерий, определяющий существенность влияния замороженных примесей на критические явления, называемый обычно критерием Харриса. В соответствии с ним присутствие замороженных точечных дефектов (например, примеси немагнитных атомов в ферро- или антиферромагнитных материалах) изменяет критические свойства систем, теплоемкость которых в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с показателем а > 0. Как показали исследования [14, 15, 16, 17] данному критерию удовлетворяют только изин-гоподобные системы.

Ренормгрупповой подход с использованием е - разложения позволил получить значения критических индексов для неупорядоченных систем [18, 19, 20]. В следствии плохой сходимости рядов е - разложения для систем содержащих замороженные примеси был применен теоретико - полевой подход непосредственно в пространстве d = 3 [15, 16, 21], что позволило получить критические индексы в высоких порядках теории возмущений. С рекордной точностью в шестипетлевом приближении для слабонеупорядоченных систем критические индексы были получены в работе [22].

Экспериментальные исследования [23] показали хорошее согласие теоретических результатов для слабонеупорядоченных систем с беспорядком типа случайная температура с опытными данными. Однако по-прежнему много вопросов здесь остаются открытыми. В частности меняется ли значения критических показателей в зависимости от концентрации примесей и возникает ли новая перколяционная фиксированная точка в системах с большой концентрацией примесных атомов. Однозначного ответа на данные вопросы пока не существует.

Для систем с беспорядком типа случайное магнитное поле наблюдается противоположная ситуация. Не смотря на многочисленные исследования продолжающиеся с 1975 после работ [24], где впервые был описан данный тип беспорядка в настоящее время существует совсем немного надежно установленных фактов о поведении систем со случайным магнитным беспорядком. В частности, природа фазового перехода в модели Изинга со случайными полями все еще остается невыясненной, а получаемые как теоретически так и при компьютерном моделировании таких систем результаты являются противоречивыми. Практически единственным надежно установленным фактом является то, что верхняя критическая размерность для этого фазового перехода (размерность системы, выше которой критические явления описываются теорией среднего поля) равна шести, в отличие от однородных систем, где она равна четырем. В последнее время в вопросе о нижней критической размерности перехода di в модели Изинга со случайными полями (размерность системы, выше которой осуществляется дальнее упорядочение при температурах отличных от нуля) при существующих аргументах как в пользу di=2 [24], так и в пользу di=3 [25] после работ [26, 27] исследователи пришли к заключению, что di=2.

Для описания влияния случайных полей на поведение магнитных систем используются две на качественном уровне эквивалентные модели: ферромагнитная модель Изинга со случайным магнитным полем (RFIM) [28] и неупорядоченная антиферромагнитная модель Изинга во внешнем однородном поле (DAFF) [29].

Реальные магнитные системы с эффектами случайных полей являются антиферромагнетиками с замороженными примесями немагнитных атомов, в поведении которых наряду с антиферромагнитным взаимодействием ближайших атомов проявляются эффекты влияния ферромагнитного взаимодействия атомов, следующих за ближайшими. В модели DAFF не учитывается конкуренция ферромагнитного взаимодействия, поэтому область ее реального применения, как и модели RFIM, довольно ограничена.

Природа фазового перехода в трехмерной модели Изинга до сих пор еще не ясна. Так в [30] было найдено что для модели RFIM при бимодальном распределении случайных магнитных полей существует трикритиче-ская точка. Однако для случая гауссовского распределения случайного магнитного беспорядка трикритическая точка не была выявлена, и т.о. в данной системе реализуется фазовый переход второго рода.

Методом высоко температурного разложения в [31] было найдено что фазовый переход в системах со случайными магнитными полями первого рода. Однако в более поздней работе [32] учет разложения до 15 - го порядка выявил непрерывный фазовый переход для обоих типов распределения.

Использование методов численного моделирования также не дало однозначного ответа. В работе [33] был выявлен фазовый переход первого рода, но в работах [34, 35] фазовый переход второго рода. Позднее в работах [36, 37] как для бимодального так и для гауссовского распределения было найдено логарифмическое поведение спонтанной намагниченности (/5 ~ 0), что подтверждается также ренормгрупповыми исследованиями с учетом преобразований Мигдала - Каданова [38, 39, 40]. Но среди полученных значений других критических показателей наблюдается существенное несоответствие. Так в ранних ренормгрупповых исследованиях систем со случайными магнитными полями [25] был открыт сдвиг размерности пространства d —> d—2, переводящий значения индексов для модели со случайными полями в значения индексов однородной модели. Позднее была обоснована необходимость использования дополнительного независимого критического показателя в [41, 42] для описания неупорядоченных систем со случайными магнитными полями. Однако разработанный в работе Брая и Мура [43] метод 'realspace' ренормгруппы с использованием преобразования Мигдала - Каданова [44, 45], учитывающий три независимых критических показателя не позволил получить адекватные значения основных критических индексов. Найденные данным методом значения основных критических показателей оказались существенно завышенными [38, 39, 40, 46].

Объяснение неадекватности результатов, получаемых пертурбативными методами дано в работе [47], где показана необходимость учета поправок во всех порядках теории возмущений для получения корректных результатов при исследовании неупорядоченных систем со случайными магнитными полями. В связи с этим резко возрастает роль непертурбативных методов исследования данных неупорядоченных систем в частности методов компьютерного моделирования а также использование различных точно решаемых моделей.

В связи с вышеизложенным цель настоящей диссертации является:

1. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло.

В рамках данного исследования провести:

- компьютерное моделирование методом Монте - Карло 3- х мерной антиферромагнитной модели Изинга со случайными магнитными полями с учетом конкурирующего взаимодействия спинов, следующих за ближайшими соседями в широкой области концентраций примесных атомов и внешних магнитных полей.

- определить тип возникающих в системе фазовых переходов в зависимости от концентрации примесей и магнитных полей с учетом спинового порога перколяции посредством анализа поведения различных физических величин таких как спонтанная намагниченность, шахматный параметр порядка, восприимчивости, кумулянтов Биндера и других. Исследовать условия возникновения спин - стекольных состояний.

- построить результирующую фазовую диаграмму модели.

- сопоставить полученные результаты с результатами других исследований систем со случайными магнитными полями.

2. Исследование влияния случайных магнитных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели.

В рамках данного исследования провести:

- развитие методики и осуществление решения модели Шнейдера -Штола - Бека с учетом гауссовского и бимодального распределения случайных магнитных полей.

- определение значений основных критических индексов в данной системе с учетом влияния случайных магнитных примесей.

- осуществить феноменологическое обобщение данной точно решаемой модели с учетом критического индекса нарушения масштабной инвариантности в.

- сопоставление полученных результатов с другими теоретическими, экспериментальными а также результатами компьютерного моделирования систем со случайными магнитными полями.

3. Определение критических параметров слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга.

В рамках данного исследования провести:

- развитие методики и осуществление компьютерного моделирования с использованием алгоритма Вольфа 3- х мерной модели Изинга с немагнитными примесями с концентрациями р = 0.95; 0.8.

- определение значений критических параметров эффективного гамильтониана системы, задающих фиксированную точку ренормгрупповых преобразований модели с учетом влияния немагнитных примесей.

- определение значений критических показателей в данной системе с использованием метода конечно - мерного скейлинга.

- сопоставление полученных значений критических параметров с теоретическими и экспериментальными результатами.

Заключение

В заключении перечислим основные результаты и выводы, полученные в данной диссертационной работе.

1. Осуществлено компьютерное моделирование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте - Карло. Моделирование проводилось на простой кубической решетке с учетом взаимодействия как ближайших соседних спинов, так и следующих за ближайшими. Исследования были проведены в широкой области концентраций примеси с учетом изменения внешнего магнитного поля h от /г = 1 до Л = 4 для систем с размерами L от L = 8 до L = 64. Построена фазовая диаграмма данной системы во всей области концентраций примеси.

2. Исследования показали, что для каждого фиксированного значения магнитного поля h всю область спиновых концентраций р можно разбить на несколько. В области ри < р < 1, где ри - величина порога примесной перколяции, реализуется фазовый переход второго рода из парамагнитного в антиферромагнитное состояние.

3. Установлено, что в области спиновых концентраций с рс < р < ри, где рс - величина порога спиновой перколяции, реализуется фазовый переход первого рода из парамагнитного в смешанное состояние, характеризующееся сложной доменной структурой из антиферромагнитных и ферромагнитных доменов, разделенных областями спин - стекольной фазы. С понижением спиновых концентраций и увеличением величины внешнего магнитного поля в системе осуществляется сокращение числа и размеров антиферромагнитных доменов и увеличение числа и размеров ферромагнитных доменов при сокращении относительного объема спин - стекольной фазы.

4. Показано, что в области спиновых концентраций с рс < р < ри эффекты случайных магнитных полей приводят в данной трехмерной неупорядоченной модели Изинга с конкурирующими взаимодействиями к смене антиферромагнитного основного состояния на спин - стекольное.

5. Проведено исследование влияния случайных магнитных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели Шнейдера - Што-ла - Бека. Отмечено, что использование как гауссовского так и бимодального распределения случайных магнитных примесей существенно не меняет характер критического поведения данной модели. Доказано, что учет добавки случайно полевого слагаемого приводит к сдвигу размерности пространства d —У d — 2 что соответствует ранним результатам, полученным ренормгрупповыми методами.

6. Проведено феноменологическое обобщение данной модели. Показано, что учет неоднородной феноменологической поправки позволяет получить значения критических индексов сопоставимые с результами найденными экспериментально и с использованием методов компьютерного моделирования при соответствующем выборе критического показателя в.

7. Осуществлено компьютерное моделирование трехмерной модели Изинга с беспорядком типа случайная температура методом Монте - Карло. Исследовались концентрации спинов 0,95 и 0,8. Для системы со спиновой концентрацией р = 0,95 измерения проводились при температурах Т=4,275; 4,285; 4,295; 4,315; 4,335, и размерах L=20 - 130, а для системы с р = 0,80 при температурах Т=3,51; 3,52; 3,53; 3,55; 3,57 и размерах L=20 - 170. С использованием метода конечно - мерного скейлинга осуществлено определение значений критических параметров эффективного гамильтониана модели, задающих фиксированную точку ренормгруппо-вых преобразований модели.

8. Показано, что полученные в рамках данной модели для различных р значения координат фиксированной точки и критических индексов хорошо согласуются друг с другом в пределах погрешности численного эксперимента и с теоретико-полевыми значениями, вычисленными в шестипет-левом приближении, что доказывает универсальность критического поведения слабо неупорядоченных систем.

1. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов // ЖЭТФ. - 1937. - T.V1..- С.19.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1976.

3. Onsager L. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Phys. Rev. Lett. 1944. V.65. - P.117.

4. Паташинский A.3., Покровский В.Л. Фазовый переход второго рода в бозе-жидкости // ЖЭТФ. 1964. вып.З. - С.46.

5. Паташинский А.З., Покровский В.Л. О поведении упорядочивающихся систем вблизи точки фазового перехода // ЖЭТФ. 1966. вып.2.- С.50.

6. Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982.

7. Kadanoff L.P. Scaling laws for Izing models near Tc // Physica. 1966. -V.6. - P.2.

8. Wilson K.G., Ficher M.E. Critical exponent in 3.99 dimensions // Phys. Rev. Lett. 1972. V.28. - N4. P.240-241.

9. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е- разложение.- М.: Мир, 1975.

10. Поляков A.M. Свойства далеких и близких корреляций в критической области // ЖЭТФ. 1969. - Т.57. - С.271.

11. Мигдал А.А. Диаграммная техника вблизи точки Кюри и фазовый переход в бозе-жидкости // ЖЭТФ. 1968. - вып.5. - С.55.

12. Di Castro С., Jona-Lasinio G. Renormalization group approach to critical phenomena // Phase transition and critical phenomena, ed. Domb C. and Lebowitz J.L. New York: Acad, press. - 1976. - V.6. - P.508-558.

13. Harris A.B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // J. Phys. C. 1974. - V.7. - N6. - P.1671-1692.

14. Соколов А.И., Шалаев Б.Н. О критическом поведение модели Изинга с примесями // ФТТ. 1981. - Т.23. - N7. - С.2058-2063.

15. Jug G. Critical behaviour of disordered spin systems in two and three dimensions // Phys. Rev. B. 1983. - V.29. - N1. - P.607-612.

16. Mayer I.O. Critical exponents of the dilute Ising model from four-loop expansion // J. Phys. A. 1989. - V.22. - P.2815-2823.

17. Mayer I.O., Sokolov A.I., Shalaev B.N. Critical exponents for cubic and impure uniaxial crystals: most accurate theoretical values // Ferroelectries. 1989. V.95. - N1. P.93-96.

18. Хмельницкий Д.Е. Фазовый переход второго рода в неоднородных телах // ЖЭТФ. 1975. - Т.68. - N5. - С.1960-1968.

19. Lubensky Т.С. // Phys. Rev. В. 1975. - V.11. - N9. - Р.3573-3580.

20. Mukamel D., Grinstein G. // Phys. Rev. В. 1981. - V.25. - N1. - P.381-388.

21. Pakhnin D.V., Sokolov D.V. // Phys. Rev. B. 2000. V.61. - P.15130.

22. Pelissetto A., Vicari E. // Phys. Rev. B. 2000. - V.62. - P.6393., e-print cond-mat /0002402.

23. Birgeneau R.J., Cowlly R.A., Shirane G., Jaccarino V. // Phys. Rev. B.- 1983. V.27. - N12. - P.6747-6757.

24. Imry Y., Ma S.K. Random-Field Instability of the Ordered State of Continuous Simmetry // Phys. Rev. Lett. 1975. - V.35. - P.1399.

25. Parisi G., Sourlas N. Random Magnetic Fields, Supersimmetry, and Negative Dimensions // Phys.Rev.Lett. 1979. - V.43. - P.744.

26. Imbrie J.Z. Lower Critical Dimension of the Random-Field Ising Model // Phys.Rev.Lett. 1984. - V.53. - P.1747.

27. Bricmont J., Kupiainen A. Lower critical dimension for the random-field Ising model // Phys. Rev. Lett. 1987. - V.59. - P.1829.

28. Belanger D.P., Young A.P. //J. Magn. Magn. Mater. 1991. - V.100. -P.272.

29. Grest G.S., Soukoulis C.M., Levin K. Comparative Monte Carlo and mean-field studies of random-field Ising systems // Phys. Rev. B. V.33.- P.7659.

30. Aharony A. Critical phenomena in disordered systems // Phys. Rev. B. -1978. V.18. - P.3318.

31. Khurana A.F. et al. // Phys. Rev. Lett. 1985. - V.54. - P.357., Phys. Rev. Lett. - 1986. V.55. - P.856.

32. Gofman et al. // Phys. Rev. Lett. 1993. - V.71. - P.1569., Phys. Rev B.- 1996. V.53. - P.6362.

33. Young A.P., Nauenberg M. Quasicritical Bihavior and First-Order Transition in the d=3 Random-Field Ising Model // Phys. Rev. Lett.- 1985. V.54. - P.2429.

34. Ogielski A.T., Huse D.A. Critical behavior of the three-dimensional dilute Ising antiferromagnet in a field // Phys. Rev. Lett. 1986. - V.56. - P.1298.

35. Ogielski A.T. Integer optimization and zero-temperature fixed point in Ising random-field systems // Phys. Rev. Lett. 1986. - V.57. - P.1251.

36. Rieger H., Young P. Critical exponets of the three-dimensional random field Ising model // J. Phys. A. 1993. - V.26. - P.5279.

37. Rieger H. Critical behavior of the 3D random field Ising model: Two-exponent scaling or first order phase transition // Phys. Rev. B. 1995.- V.52. P.5659.

38. Cao M.S., Machta J. Migdal-Kadanoff study of the random-field Ising model // Phys. Rev. B. 1993. V.48. - P.3177.

39. Falicov A., Berker A.N., McKay S.R. Renormalization-group theory of the random field Ising model in three dimensions // Phys. Rev. B. 1995.- V.51. P.8266.

40. Fortin J.Y., Holdsworth P.C.W. Real space renormalization group analysis of the random field Ising model //J. Phys. A. 1996. - V.29. -P.539-545.

41. Fisher D.S. Scaling and Critical Slowing Down in Random Fields Ising Systems // Phys. Rev. Lett. 1986. - V.56. - P.416.

42. Villain J. // J. Physique. 1985. - V.46. - P. 1843.

43. Bray A.J., Moore M.A. Scaling theory of the random-field Ising model // J. Phys. C. 1985. - V.18, P.927.

44. Migdal A. A. // Sov. Phys.-JETP. 1976. - V.42. - P.743.

45. Kadanoff L. P. // Ann. Phys. 1976. - V.100. - P.359.

46. Fortin J.Y., Holdsworth P.C.W. Critical behaviour of the random field Ising model 11 J. Phys. A. 1998. - V.31. - P.85-105.

47. Feldman D.E. Critical Exponents of the Random-Field O(N) Model // Phys. Rev. Lett. 2002. - V.88. - P.202.

48. Изюмов Ю.А.,Сыромятников B.H. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. М.: Наука, 1984.

49. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980.

50. Доценко B.C. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН. 1995. - Т.165. - С.481.

51. Изюмов Ю.А. Медведев М.В. Статистическая механика магнитоупо-рядоченных систем. М.: Наука, 1987.

52. Ising Е. // Z. Physik. 1925. - V.31. - Р.253.

53. Peierls R. // Helv. Phys. Acta. 1936. - V.7. - supp.2. - P.81.

54. Kramers H.A., Wannier G.H. // Phys. Rev. 1941. - V.60. - P.252.

55. Metropolis N., et al. // J. Chem. Phys. 1953. - V.6. - P.1087.

56. Wolff U. // Phys.Rev.Lett. 1989. - V.62. - P.361.

57. Dunlap R.A., Gottlied A.M. // Phys. Rev. B. 1981. - V.21. - P.6106.

58. Hastings J.M., Corliss L.M., Kunnmann W. // Phys. Rev. B. 1985. -V.31. - P.2902.

59. Belanger D.P., King A.R., Jaccarino V. // Phys. Rev. B. 1986. - V.34. - P.452.

60. Rosov N. et al. // Phys. Rev. B. 1988. - V.37. - P.3265.

61. Ramos C.A., King A.R., Jaccarino V. // Phys. Rev. B. 1988. - V.37. -P.5493.

62. Ferreira I.B., King A.R., Jaccarino V. // Phys. Rev. B. 1991. - V.43. -P.10797.63 64 [6566 676869 707172 73

63. Belanger D.P. et al. // Phys. Rev. B. 1996. - V.54. - P.3420.

64. Hill J.P. et al. // Phys. Rev. B. 1997. - V.55. - P.356.

65. Slanic Z., Belanger D.P., Fernandez-Baza J.A. Equilibrium random-field Ising critical scattering in the antiferromagnet Fe(0.93)Zn(0.07)F2 // Phys. Rev. Lett. 1999. - V.82. - P.426.1.ndau D.P. // Phys. Rev. B. 1980. - V.22. - P.2450.

66. Marro J., Labarto A., Tejada J. Critical behaviour of Ising models with static site dilution // Phys. Rev. B. 1986. - V.34. - P.347.

67. Chowdhury D., Stauffer D. Monte Carlo simulation of three-dimensional diluted Ising model // J. Stat Phys. 1986. - V.44. - P.203.

68. Braun P. et al. // J. Mod. Phys. B. 1989. - V.3. - P.1343.

69. Wang J-S. Chowdhury J. The critical behaviour of three-dimensional dilute Ising model: universality and the Harris criterion //J. Phys. (Paris). 1989. - V.50. - P.2905.

70. Wang J-S. et al. The critical behaviour of the two-dimensional dilute Ising, magnet // Physica A. 1990. - V.166. - P.173.

71. Holey Т., Fahnle M. // Phys. Rev. B. 1990. - V.41. - P.11709.

72. Heuer H-O. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising ferromagnets // Phys. Rev. B. 1990. - V.42. - P.6476., Heuer H-O. // Europhys. Lett. - 1990. - V.12. - P.551.

73. Heuer H-O. Critical crossover phenomena in disordered Ising systems // J. Phys. A: Math. Gen. 1993. - V.26. - P.333.

74. Прудников В.В., Вакилов А.Н. Компьютерное моделирование критической динамики разбавленных магнетиков // ЖЭТФ. 1993. - Т. 103. - С.962.

75. Hennecke М. // Phys. Rev. В. 1993. - V.48. - Р.6271.

76. Ballesteros H.G. et al. Critical exponents of the three dimensional diluted Ising model // Phys. Rev. B. 1998. - V.58. - P.2740.

77. Wiseman S., Domany E. Self-Averaging, Distribution of Pseudo-Critical Temperatures and Finite Size Scaling in Critical Disordered Systems // Phys. Rev. E. 1998. - V.58. - P.2938.

78. Marques M.I., Gonzalo J.A. Self-averaging of random and thermally disordered diluted Ising systems // Phys. Rev. E. 1999. - V.60. - P.2394.

79. Marques M.I., Gonzalo J.A. Dynamic Scaling in Diluted Systems Phase Transitions: Deactivation trough Thermal Dilution // Physica A. 2000.- V.284. P.187.

80. Hukushima K.J. // Phys. Soc. Jpn. 2000. - V.69. - P.631.

81. Swendsen R.H., Wang J-S. // Phys. Rev. Lett. 1987. - V.58. - P.86.

82. Varnashev K.B. Stability of a cubic fixed point in three dimensions. Critical exponents for generic N // Phys. Rev. B. 2000. - V.61. - P.14660.

83. Фольк P., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН. 2003.- Т.173. N2. - С.175-200.

84. Meyer G.M., Dietrich O.W. // J. Phys. С: Solid State Phys. 1978. -V.ll. - P.1451.

85. Cowley R.S., Karneiro K. // J. Phys. C: Solid State Phys. 1980. - V.13.- P.3281.

86. Belanger D.P. et al. //J. Magn. Magn. Matter. 1980. - V.15-18. - P.807.

87. Emery V.J. // Phys. Rev. B. 1975. - V.ll. - P.239.

88. Brout R. // Phys. Rev. 1959. - V.115. - P.824.

89. Parisi G. Field-theoretic approach to second-order phase transitions in two- and three-dimensional systems //J. Stat. Phys. 1980. - V.23. -P.49.

90. Wegner F.J. // Phys. Rev. B. 1972. - V.5. - P.4529.

91. Brezin E., Le Guillou J.C., Zinn-Justin J., in Phase transition and critical phenomena. V.6. - London: Academic Press, 1976.; Amit D.J. -Field theory, the renormalization group, and critical phenomena 2nd ed., Singapore: World Scientific, - 1989.

92. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena, Oxford: Clarendon Press, 1996., Pelissetto A., Vicari E. Critical Phenomena and Renormalization-Group Theory // Phys. Rep. - 2002. - V.368. - P.549.

93. Scholms R., Dohm V. // Europhys. Lett. 1987. - V.3. - P.413., Scholms R., Dohm V. // Nucl. Phys. B. - 1989. - V.328. - P.639.

94. Бейкер Г. Аппроксимация Паде, М.: Мир, 1986.

95. Le Guillou J.С., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory // Phys. Rev. B. 1980. - V.21. - P.3976.99. von Ferber C., Holovatch Yu. Multifractality of Brownian motion near absorbing polymers // Phys. Rev. E. 1999. - V.59. - P.6914.

96. Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. // Письма в ЖЭТФ. 1999. -Т.69. - С.698.

97. Folk R., Holovatch Yu., Yavors'kii Т. The correction-to-scaling exponent in dilute systems // Phys. Rev. B. 2000. - V.61. - P.15114.

98. Binder K. Monte Carlo methods in statistical physics, Berlin: Springer- Varlag, 1979.

99. Heuer H-O. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising ferromagnets // Comput. Phys. Commun. 1990. - V.59. - P.387.

100. Ye F., Zhou L., Larochelle S. Order Parameter Criticality of the d=3 Random-Field Ising Antiferromagnet Fe(0.85)Zn(0.15)F2. // Phys. Rev. Lett. 2002. - V.89. - P.157202.

101. Villian J. // Physique Lett. 1982. - V.43. - P.808.

102. Bostoen C., Michel K.H. // Z. Phys. B. 1988. - V.71. - P.369.

103. Natterman T. // Ferroelectrics. 1990. - V.104. - P. 171.108. de Gennes P.G. // J. Phys. Chem. 1984. - V.88. - P.6469.

104. Porto J.V., Parpia J.M. // Phys. Rev. Lett. 1995. - V.74. - P.4667.

105. Hook J. // Bull. Am. Phys. Soc. 1997. - V.42. - P.779.

106. Matsumoto K., Porto J.V., Pollak L., et al. // Phys. Rev. Lett. 1997.- V.79. P.253.

107. Clark N.A., Bellini Т., Malzbender R.M., et al. // Phys. Rev. Lett. -1993. V.71. - P.3505.

108. Naga H., Carland C.V. // Liq. Crist. 1997. - V.22. - P.275.

109. Fenzl W., Peisl J. // Phys. Rev. Lett. 1985. - V.54. - P.2064.

110. Blatter G., Feigelman M.V., Geshkenbein V.B. and Larkin A.I. // Rev. Mod. Phys. 1994. - V.66. - P.1125.

111. Giamarchi Т., Le Doussal P. Statics and Dynamics of Disordered Elastic Systems. E-prints archive cond. mat./9705096, 1997.

112. Gutin A.M. et al. Cooperativity of Protein Folding and the Random-Field Ising Model. E-prints archive cond. mat./9606136, 1996.

113. Nattermann T. Theory of the random field Ising model. E-prints archive cond. mat./9705295, 1997.

114. Schwartz M., Soffer A. Exect Ineqality for Random Systems: Appication to Random Fields // Phys. Rev. Lett. 1985. - V.55. - P.2499.

115. Доценко B.C. // УФН. 1993. - T.163. - C.l.

116. Binder K., Young A.P. // Rev. Mod. Phys. 1986. - V.58. - P.801.

117. Alba M. et al. // J. Phys. C. 1982. - V.15. - P.5441.

118. Vincent E.J., Hammann J. // J. Phys. C. 1987. - V.20. - P.2659.

119. Alba M. et al. // Europhys. Lett. 1986. - V.2. - P.45.

120. Cardy J. // Phys. Rev. B. 1984. - V.29. - P.505.

121. Landau D.P. Magnetic Tricritical Points in Ising Antiferromagnets // Phys. Rev. Lett. 1972. - V.28. - P.449.

122. Muller-Krumbhaar H., Landau D.P. Tricritical relaxation in an Ising-Glauber model with competing interactions // Phys. Rev. B. 1976. -V.14, P.2014.

123. Прудников В.В., Марков О.Н., Осинцев Е.В. Особенности фазовых превращений в неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга // ЖЭТФ. 1999. - Т.116. - С.953-961.

124. Binder К. // Z. Phys. В. 1981. - V.43. - P.119.

125. Andelman D., Orland H., and Wijewardhana L. Metastability in the random-field Ising model // Phys. Rev. Lett. 1984. - V.52. - P. 145.

126. Stauffer D., Hartzstein C., Binder K., and Aharony A. // Z. Phys. B: Condens. Matter. 1984. - V.55. - P.352.

127. Yoshizawa H. and Belanger D.P. // Phys. Rev. B. 1984. - V.30. -P.5220.

128. Pytte E., Imry Y., Mukamel D. // Phys. Rev. Lett. 1981. - V.46. -P.1173.

129. Прудников В.В., Бородихин В.Н. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей методом Монте- Карло // ЖЭТФ. 2005. - Т.128. - вып.2.- С.337-343.

130. Schneider Т., Stoll Е., Beck Н. // Physica. 1975. - V.79A. - Р.201-216.

131. Плакида Н.М., Тончев Н.С. // ТМФ. 1985. - Т.бЗ. - С.270-279.

132. Плакида Н.М., Тончев Н.С. // Квантовые эффекты в d мерной модели структурного фазового перехода: Препринт Р17-85-400. Дубна: ОИЯИ. 1984.

133. Иванченко Ю.М., Лисянский А.А., Филиппов А.Э. // ТМФ. 1984.- Т.67. С.143-150.

134. Иванченко Ю.М., Лисянский А.А., Филиппов А.Э. // ФТТ. 1984. -Т.26. - С.2524-2526.

135. Иванченко Ю.М., Лисянский А.А., Филиппов А.Э. О точно решаемой модели фазовых переходов // ТМФ. 1987. - Т.71. - С.441-450.

136. Joyce C.S. Critical properties of spherical model, Phase transitions end critical phenomena, Eds. Domb C., Green M. S. N. Y.: Acad. Press. -1972. - V.2. - P.375-442.

137. Бородихин B.H., Прудников В.В. Исследование влияния случайных полей при фазовых переходах на примере точно решаемой модели // Вестник ОмГУ. 1999. - вып.4. - С.37-39.

138. Newman М. Е. J. et al. Real-space renormalization group for the random field Ising model // Phys. Rev. B. 1993. - V.48. - P.16533.

139. Stinchcombe R.B. Phase transitions and critical phenomena, ed. by Domb C. and Lebowitz J.L., Acad.Press, New York. -1983. - V.7. - P.151.

140. Tsypin M.M. Effective Potential for Scalar Field in Three Dimensions: Ising Model in the Ferromagnetic Phase // Phys. Rev. B. 1997. - V.55.- P.8911.

141. Kim J.-K. Critical renormalized coupling constants in the symmetric phase of the Ising model // J. Phys. A. 2000. - V.33. - P.2675-2684.

142. Гулд X., Тобочник Я.К. Компьютерное моделирование в физике, М.: Наука, 1989.

143. Salas J., Sokal A. Universal Amplitude Ratios in the Critical Two-Dimensional Ising Model on a Torus // J. Stat. Phys. 2000. - V.98.- P.551.

144. Kim J.-K., de Souza A.J.F., and Landau D.P. Numerical Computation of Finite Size Scaling Functions: An Alternative Approach to Finite Size Scaling // Phys.Rev. E. 1996. - V.54. - P.2291.

145. Dotsenko Vic.S., Harris A.B., Sherrington D., Stinchcombe R.B. Replica Symmetry Breaking in the Critical Behaviour of the Random Ferromagnet // J.Phys. A. 1995. - V.28. - P.3093., Dotsenko Vic.S. and Feldman

146. D.E. Replica Symmetry Breaking and the Renormalization Group Theory of the Weakly Disordered Ferromagnet //J. Phys. A. 1995. - V.28. -P.5183.

147. Муртазаев A.K., Камилов И.К., Бабаев А.Б. Критическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // ЖЭТФ. 2004. - Т.126. - С.1377-1383.

148. Майер И.О., Соколов А.И. // ФТТ. 1984. - Т.26. - С.3454.

149. Прудников В.В., Бородихин В.Н., Вакилов А.Н., Прудников П.В. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // Мат.Струк.Мод. 2003. - вып. 11.- С.108-123.

150. Borodikhin V.N., Prudnikov V.V. Study of a Disordered Antiferromagnetic Ising Model with Random Fields // EASTMAG 2004. (Krasnojarsk, 2004), 2004. - P.66.

151. Бородихин B.H., Дмитриев Д.В., Прудников В.В. Исследование неупорядоченной антиферромагнитной модели Изинга с эффектами случайных магнитных полей // Известия вузов. Физика. 2004. - N5.- С.58-62.

152. Borodikhin V.N. and Prudnikov V.V. Study of a Disordered Antiferromagnetic Ising Model with Random Fields // The Physics of Metals and Metallography. 2005. - V.99. - Suppl.l. - P.24-27.

153. Prudnikov V.V. and Borodikhin V.N. Monte Carlo Simulation of a Random-Field Ising Antiferromagnet. e-print cond-mat/0510052.

154. Бородихин B.H., Вакилов A.H., Прудников В.В. Определение критических параметров эффективного гамильтониана слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга // Математические структуры и моделирование. 2001. - вып.8. - С.56-65.