Исследование квазистационарных движений механических систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ггп од

На правах рухопцси

СИДОРЕНКО Владислав Викторопнч

ИССЛЕДОВАНИЕ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 01.02.01 - Теоретическая механика

Автореферат диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1997

Работа выполнена в Ордена Ленина Институте прикладной математики им.М.В.Кеддыша РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук» профессор Ю.Ф.Голубев;

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Г.Мартыненко;

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Самсонов.

Ведущая организация:

Институт проблем механики РАН

Защита состоится "_"_" 1997 г. на заседании диссертационного совета Д 002.40.01 при Институте прикладной математике им.М.В.Келдыша по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладное математики нм.М.В.Келдыша РАН.

Автореферат разослан "_"_" 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Употребляемое преимущественно в работах физического уровня стрости, понятие «квазистацконарное движение» отражает интуитивные гедставлекия о сходстве данного движения с некоторым тривиальным ационарным режимом в рассматриваемой механической системе или системе, близкой в определенном смысле к рассматриваемой. Один ; формальных признаков квазкстационарного движения - существенно лее медленное изменение фазовых переменных или каких-то других па-шетров движения по сравнению с частотами малых колебаний, которые нут возникнуть в системе.

При изучении квазистационарных движений используются упрощен-хе математические модели механических систем. Корректность модели ляется необходимым условием достоверности полученных результатов. 1жной характеристикой системы, предопределяющей выбор методов по-роеяия и исследования ее упрощенной модели, служит мера множества .чальных условий, приводящих к квазиспцяон&рным движениям. Существуют системы, в которых движение имеет квазистационарный рак тер при любых начальных условиях. В частности, таким свой-вом обладают системы, содержащие деформируемые элементы боль-)й жесткости. Упрощенную математическую модель подобной системы ределяют уравнения «установившегося» движения, описывающие вли-ие деформируемых элементов на поведение системы после завершения реходных процессов (Ф.Л.Черноусько, В.Г.Вильке, А.П.Маркеев и др.). »рректность уравнений «установившегося» движения можно обосновать тодами теории интегральных многообразий (Е.Н.Боголюбов, Ю.А.Ми-опольский, О.Б.Лыкова, В.В.Стрыгин, В.А.Соболев). Во многих системах квазистационарные движения существуют, по не ляются типичными. Примером данного типа движений являются ре-пярные прецессии с медленно изменяющимися параметрами, рассма-иваемые в исследованиях по динамике гироскопа Лагранжа при нали-и малых возмущений (В.А.Самсонов). В подобной ситуации изучение иистационарных движений целесообразно дополнить анализом малых мябаний системы в окрестности этих движений. Результаты такого ализа дают определенное представление и о качественных особенностях намики системы в целом.

Следует отметить, что при анализе колебательных движений особый герес вызывают резоналсы, возможные при медленном изменении чаге колебаний. Методы современной теории многочастотных систем

позволяют подробно последовать эффекты, связанные с прохождепи резонансов (А.И.Не'Лштадт).

Цель работы состоит в развитии и углублении представлений свойствах квазистационарных движений, совершенствовании методов ; следования данного класса движений механических систем и в peí нии с помощью этих методов ряда новых задач механики кссмичесш пол era.

. Научная новизна. В работе предложен новый подход к построен приближенных уравнений квазистационарното движения механнчесг систем, включающих деформируемые элементы большой жесткости.

Разработана методиха качественного исследования возмущенных д) жений твердого тела, близких к регулярным прецессиям.

Впервые при рассмотрении резонансных движений конкретных ыа: нических систем изучена связь между параметрами движения в моме захвата в резонанс и в момент выхода из резонанса.

Впервые исследовано запаздывание разрушения квазистационарж режима движения в модельной механической системе при медленн изменении параметров.

Все результаты диссертации являются новыми.

Практическая ценность работы. Анализ динамики на основе р смотрения квазкстацнонарных движений достаточно «асто использует при решении практических задач. Поэтому полученные в диссертан качественные результаты о свойствах таких движений, разработали строгие методики их изучения могут найти широкое применение в п] кладных исследованиях.

Приведенные в диссертации результаты анализа вращательного Д] жения спутника с пассивной системой ориентации, основанной иа ¡ пользовании сил светового давления, косят характер конкретных peí мендаций, которые необходимо учитывать при практической реализав данной системы.

Результаты исследования вращательного движения спутников с деф< мируемыми элементами можно использовать на этапе предварительж проектирования больших космических конструкций. В частности, ] лученные результаты указывают иа особенности применения пассивн методов ориентации таких объектов.

С помощью предложенных в диссертации методик было изучено в; щательное движение спутников «Интеркосмос - 24», «Регата - MKJ ряда больших космических конструкций.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на III Всесоюзной школе «Метод функций Ляпунова?* (Иркутск, 1985 г.), на

Всесоюзной ЧетаексЕой конференция (Казань, 1987 г.), на симпозиуме IU'TAM по проблемам динамика си стоя с деформируемыми элементами (Мссхга, 3390 г.), ла VJI Всесоюзном съезде по теоретнче-жзЗ механике (Москва, 1891 г.); на симпозиумах «Дни динамики -32, 94» (Познань, 1992 г.; Будапешт, 1904 г.), на конференции «Га-аильтокоБЫ системы с тремя и более степенями свободы» (С'Агаро, LS95. г.), на 1G5 коллоквиуме IAU «Динамика естественных н искус-гтвениых небесных тел» (Познань, 1996 г.), на семинаре «Динамика зтнссителътюго движения» з МГУ им.М .В.Ломоносова под руководством проф.В.В.Беледкого н прсф.Ю.Ф.Голубгва (1997 г.), на семинаре руководством акад.Л.Ю.Ишлккского (1990 г.) и на семинаре по теории управления и оптимизации под руководством акад.Ф.Л.Черноусько (1997 г.) з Институте проблем механики РАН, иа семинаре по теоретической механике я МГУ ии.М.В.Ломоносова под руководством мад.В.В.Румянцева и д.ф.-м.н.А.В.Карапетяиа (1935, 1997 гг.).

Публикации. По результатам работы имеется 13 публикаций

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пятя глав и заключения, содержит 211 страниц, включая 28 страниц рисунков. Список цитируемой литературы - 155 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность рассматриваемых задач, дан обзор литературы соответствующей тематики и кратко описано содержание диссертации.

Первая глава посвящена методическим проблемам изучения динамики систем, для которых квазкерцяоиарные движения являются типичными. Основное внимание уделяется Sa + <Sx> -системам - механическим системам, состоящим из двух взаимодействующих подсистем ¿я и So • Предполагается, что при устранении взаимодействия подсистема Зц становится гамильтоиовой системой, подсистема Sp - линейной колебательной системой. Характерный период колебаний в подсистеме 5ц и характерное время затухания этих колебаний сопоставимы по величине и существенно меньше характерного временя движений в подсистеме 5я •

Sa + Sd -системы рассматриваются в диссертации как конечномерные модели систем, встречающихся при изучении вращательно-поступатель-ного движения деформируемого твердого тела. В частности, можно считать, что подсистема Sg описывает движение тела как целого без

учета деформаций, а подсистема характеризует дефорлацяю на оск зз конечномерной ащкжсимации поля смещений, использующей форм сзабодных колебаний, отвечающие N нкзшш частотам тела.

Уравнения движения + Бо -системы записываются в форме Раус

р = , д = уРл, (

Здесь Р = (Р1.....Р„), Q = - канонические переменны

используемые для описания движений в 8и » <1 = (?ь • • • - вгктс обобщенных координат в 5д , V = ч. Точки означают днф ференцирои вле по времени.

Функция Рауса Я в (1) является комбинацией гамильтониана . Еодстсгемы 5л, лагранжиана Ь подсистемы Б о н некоторой функщ К, характеризующей взаимодействие подснсгем: Д = Я + К - 1 фут;цая Ф описывает диссилацыо энергии в .

В соответствии со сделанными предположениями лагранжиан Ь дисошагивная функция Ф подсистемы 5г» можно записать в виде

Иу,ч,е) = \ [(у,Му) - е-3(я,Хч)] , Ф(у,е) = ¿(у,В у), с = То/Та < 1

где А/, Л, положительно определенные симметричные матрицы с к схояннымв коэффициентами, Тр к Тд - характерные времена ароцессс в Зоя Бд.

В разделе 1.1 доказывается, что при достаточно малом значения пар нгтра е система (1) обладает интегральным многообразием Б, опмсыв емым соотношением

у«У.(Р, <},£), Ч = Ч.(Р,д,е) (

Многообразие Е - аятраатор. В некоторой окрестности £ отношеш текущего и начального расстояний до многообразия £ для произвольно: решения системы (1) ограничено сверху функцией С8 ехр(—ОД/е), г; С«, С» - положительные постоянные.

Подстановка соотношений (2) в уравнения для Р, С} приводит к з мкнутой системе уравнений, определяющих изменение переменных Р, в решениях, лежащих на многообразии £:

Р = - Vqй'(P, 9, у.(Р, С*, е), Ч.(Р, С*,е)), (

сI = +УРЯ(Р, д, у.(?, д, с), Ч.(Р, д, е)).

Уравнения (3) в диссертации названы уравнениями установившегося зпхения. Свойство многообразия Е притягивать фазовые траектории зволяет использовать зти уравнения з качестве упрощенной математикой модели Зц + -систены при изучении движений, устанавливаются в подскстеке после затухазшп колебаний . В разделе 1.1 также сбсуздаются проблемы, возникающее при по-роенхи интегральных многообразий и уравнений установившегося дви-!иия з конкретных системах. Описывается итерационная процедура ыскания пркЬлнлешшх выражений для у.(Р,£>,£), ч«(Р,С),с.). С нощыо данной процедуры получено, что в установившейся дзизеении с грешностью О (с3)

у=-е3Л"1{и,Я} • (4)

: погрешностью 0(е<)

4= -е'Л-Ч+е'Л-^Л-Чи.Я} (5)

есь

п(Р, Ч) = .....ит(Р, д))Т = УчЙГ(Р,С},0,0),

{Ц)Я}= ({щ,Н},...,{ит1Н})7, , •} - скобка Пуассона подсистемы Бд.

Подстановка выражений (4),(5) в (3) приводит к следующим прибли-нным уравнениям установившегося движения:

Р = - У^Н г е^дЛ^ОЛ-1 {и, Я} (6)

ч = \7рИ + е3иРА-1ОЛ-х{и,Н}

С/Р =

0Q^ 1Х/1

0«,« Г

яе-псН "л«.

од. •~а<}„

Н(Р,€),е) = ЩР,<3) + е,Я3(Р, Я), Я,(Р,С1)= —(«.Л-'о)

Близкая к гамильтоиовой система уравнений (б) описывает влияние содействия с диссяпативной подсистемой на динамику подсистемы с точностью 0(г4) на интервале ~ 1.

В разделе 1.2 рассматривается зволюцяз установившихся движений в гегрируемой лощсжсмме .

Пусть I = (Ii,...,7„), w = (шь...,wn) - переменные «действие-упнк в Su- В переменных I, w уравнения установившегося движения имеют вид

1= -е^^Я-^Л-'Ш"1^, (7;

w = ы(1) + е'УГЯ + ¿Uth^DK^Vlu)

Здесь w(I) = Vi#(I) - вектор частот подсистемы Su.

Переменные в (7) разделяются: переменные I являются медленным! (I — 0(с3)), переменные w - быстрыми (w = 0(1)) • Это позволяет изучать поведение медленных переменных методой усреднения.

Вдали от резонансных поверхностей изменение медленных переменны? с точностью 0(е) на интервале времени е-3 описывается эволюционными уравнениями (для усредненных переменных используются исходны« обозначения)

1= -У„Ф£М1),1) (в;

где

Фв(«,1) = De = <{V^Dh-'Vl))

4 ' о о

Квадратичная форма $£(u,I) в (8) является аналогом функцш $(v,e) в (1) и характеризует диссипацию энергии в установившемся движении:

<(ф(у.(1, W,£),£)» = ФЯИ1),1) 4- 0(е<)

Вторая глава посвящена изучению конкретных механических систем содерхыцих компоненты с квазист&ционарной динамикой.

В разделе 2.1 рассматривается движение орбитальной тросовой систе мы (ОТС). Предполагается, что система состоит из двух точечных масс связанных невесомым достаточно жестким вязкоупругим тросом. Цент] масс системы движется по круговой орбите.

Движение ОТС относительно центра масс описывается Sa + S о -сис mot, в которой подсистема Sa (п = 2) определяет вращательное дви хеше связки с нерастяжимым тросом, подсистема S о (m = 1) характе ризует продольные колебания ОТС.

Основное внимание уделяется эволюции быстрых вращений ОТС, об условленной диссипацией энергии в тросе. Уравнения, описывающие асимптотическое поведение подсистемы Sg, в данном случае принимаю следующей вид:

/,•=-«(3 + /1-2/|+/гЧ4)/1, (9)

/г- = -4«(1+/Г27г2)/2,

це 1\ - модуль кинетического момента ОТС относительно центра масс, 1 - проекция кинетического момента на нормаль к плоскости орбиты, к положительный коэффициент, зависящий от параметров, характеризу-|щих механические свойства троса.

Анализ поведения фазовых траекторий системы (9) позволяет сделать ывод о постепенном замедлении быстрых вращений ОТС, солровожда-!1ым уменьшением угла между плоскостью орбиты и вектором кине-(гческого момента снстены. Подобный эффект ранее был обнаружен .В.Велепдим при изучении влияния приливных деформаций на враще-ие планет. В дальнейшем этот эффект отмечался во многих исследо-ешиях динамики деформируемого твердого тела в гравитационном поле \,.П.Маркеев, Е.В.Синицын, О.В.Холостовг, Ю.Г.Марков, В.С.Бардин и р.). Анализ динамики ОТС отличается ог предшествующих исследозз-!1Й отсутствием некоторых упрощающих предположений.

Когда скорость вращения связки становится сопоставимой с орбиталь-эй угловой скоростью, характер движения претерпевает качественное вменение - происходит «гравитационный захват». В процессе «гравита-Я01Ш0ГО захвата» движение системы превращается из вращательного в элебателыюе, причем в некоторые моменты может происходить ослаблене троса. Предельным является асимптотически устойчивое стационаров движение, в котором связка вытянута вдоль радиуса-вектора центра асс.

В разделе 2.2 исследуются особенности динамики 5'и + -системы, >ладающей группой симметрия. Система состоит из нескольких одкна-эвых вязкоупругах стержней, прикрепленных к жесткому однородному ару; центр шара является неподвижной точкой системы. В недеформи-звалном состоянии стержни направлены вдоль лучей, идущих из центра ара в вершины вписанного в шар правильного многогранника. Общее шичество стержней совпадает с числом вершин правильного много-•анника и равно 4,6,8,12 или 20 в зависимости от типа многогранника еграэдр, октаэдр, куб, икосаэдр или додекаэдр). Посистема Бд (п = 3) в данном случае описывает вращение тела с аровым тензором инерции. Взаимодействие с (то = оо) устраняет 1ырождение» динамики подсистемы 5//.

Как оказалось, алгебраические свойства уравнений «установившего-[» движения определяются базисными полиномиальными инвариантами >ушш симметрий, допускаемой системой. Это позволило свести по-

строение приближенных уравнений «установившегося» движения к выи слеюда нескольких коэффициентов. Кроме того, данное обстоятельств объясняет причины совпадения с точностью до коэффициента уравнени «установившегося» движения, полученных для систем существенно ра: лого строения при наличии группы симметрий правильного ыногогранш ка (Г.Г.Денисов, В.Г.Новиков, Ю.Г;Мартыненко).

В поведении системы обнаружена примечательная закономерноси при ориентации стержней в вершины куба, октаэдра, икосаэдра или дод< каэдра стационарными движениями могут быть только вращения вокр) осей, проходящих либо через противоположные вершины, либо чер< середины противоположных ребер, либо через центры противоположны граней. Тип элемента многогранника, пересекаемого осью вращения стационарном движении (вершина, ребро, грань), однозначно определяе свойства этого движения (соответственно устойчивость в консервативно приближении, неустойчивость, асимптотическая устойчивость).

Ориентация стержней в вершины тетраэдра представляет особый ел; чай. Вращения вокруг осей, проходящих через середины противополоа ных ребер, асимптотически устойчивы. Устойчивыми только в консерв; тивном приближении будут вращения вокруг осей, проходящих через ве] шину и центр противоположной грани. Еще одно семейство стационарна движений образуют неустойчивые вращения вокруг осей, параллельны некоторому ребру тетраэдра.

Исследование стационарных движений конкретных 5я + -систе продолжено в разделе 2.3. В этом разделе рассматривается спугни! кольцо — большая космическая конструкция, образованная нерастяж; мым упругим стержнем, концы которого закреплены в материальном тел пренебрежимо малых по сравнению с радиусом кольца размеров.

Как известно, задача поиска стационарных движений спутника с д формируемыми элементами сводится к поиску элементов конфигурацио] ного многообразия, удовлетворяющих необходимым условиям экстрем; ма измененной потенциальной энергии (В.В.Румянцев, В.Н.Рубановски В.А.Самсонов и др.).

Пусть переменные (} = <32) (¿3) характеризуют ориентацию спу ника в орбитальной системе, переменные q - смещения деформируемк элементов. Выражение для измененной потенциальной энергии запише следующим образом:

ИЧЧ. я] = ИЬ«1) + ИЬ Ш, ч] + ИЪМ ,

где %((}) - измененная потенциальная энергия недеформированно; спутника (я = 0), И^С^,«]} - компонента, отражающая зависимое' измененной потенциальной энергия от изменения моментов инерции спу

ка при смещениях деформируемых элементов, H^q] - потенциальная ергкя упругих деформаций.

Поиск элементов конфигурационного пространства, удовлетворяющих обходимым условиям экстремума W[Q, q], удобно проведать в два ала (Ю.И.Салронов).

На первом этапе разыскиваются смещения q°(Q), удовлетворяющие обходимым условиям экстремума функционала

W»IQ,qJ = Wi|Q,q]+Wj[ci].

временные Q в H/]2[Q,q) рассматриваются как параметры. Для спутника с достаточно жесткими деформируемыми элементами [ещення q°(Q) будут малым» и мсгут быть определены методами орик возмущений.

Второй этап состоит в исследовании критических точек Q° функции (Q) = W[Q,qe(Q)].

Элемент конфигурационного многообразия {Q<,,q°(Q°)} удовлетзоря-■ неообходнмым условиям экстремума функционала VU[Q,qj и задает 1иентацию спутника и смещения деформируемых элементов в стацио-фном движении. Если элемент {Q°, q°(Q°)} доставляет функционалу r[Q,q] минимум, то соответствующее стационарное движение будет :тойчивым в некоторой метрике в фазовом пространстве системы. Описанный двухэтажный алгоритм позволил найти устойчивые ста-юнарлые движения спутника-кольца, в которых данная механическая :стема находится в состоянии относительного равновесия в орбитальной гстеме координат, а плоскость кольца совпадает с плосхостью орбиты.

В третьей глапе изучается разрушение квазистационарных движений системе с медленно изменяющимися параметрами. Рассматривается си-гема Циглера - перемещающаяся в вертикальной плоскости шарнирно-гержневая система с двумя степенями свободы, нагруженная следящей 1лой Р. Угол, образуемый силой Р с горизонталью, пропорционален коэффициентом х (0 < X ^ 1) углу отклонения одного из стержней от >ризонтального положения (T.H.Young, F.Y.Chen).

В предшествующих исследованиях свойства системы Циглера изуча-ись при фиксированном значении следящей силы (J.Roorda, S.Nemat-asser, Н.В.Баннчук, А.С.Братусь, А.Д.Мьшкис и др.). В этих иссле-ованиях указаны стационарные решения, устойчивые при |Р| < р„ и еустойчивые при |Р| > ра-. Методами классической теории бифуркаций ыло установлено, что при определенных условиях потеря устойчивости зязана с прохождением при |Р| — р„ пары собственных чисел через нимую ось (бифуркация Хопфа).

Из результатов А.И.Нейштэдта по теории динамических бифуркац! следует, что в такой ситуации при изменении следящей силы по закон}

\F\^pi + et {0<р1<рсг),0<е<1

происходит запаздывание разрушения квазкетацнокарного режима дв: гейш - до тех пор, пока следящая сила не достигает значения р зависящего от р< и превосходящего рст на величину порядка 1, ф зовые траектории будут оставаться л О(е) -окрестности стационарно] решения системы с фиксированным значением следящей силы, разик «з текущему значению. Численное интегрирование уравнений движет'.: результаты которого приведены в разделе 3.1, подтверждает сущесхвов« ние подобного запаздывания.

В разделе 3.2 для изучаемой системы строится функция входа-выхо; П(-), позволяющая для большинства начальных условий предсказывав момент разрушения квазистационарного решения по заданному начал: ному значению следящей силы:

р0 = ПЫ + 0(£|1п£|) (1<

Поведение функции П(-) зависит от свойств уравнений движения пр комплексных значениях изменяющегося параметра.

В случае системы с достаточно жесткими шарнирами, трение в к< торых также достаточно велико, методами теории возмущений удаетс подучить приближенную формулу (х 6 (5/9, 1)):

{2Рсг -Р, Р7 <Р<Рст pi, о <Р<Р;

где

1 ± ,2

—{—А-

1-х\1-х Ч

При х < 5/9 запаздывание потери устойчивости отсутствует.

Из (11) вытекает, что чем дольше фазовая траектория находится окрестности устойчивого стационарного решения мгновенной системы тем дольше она будет оставаться в окрестности неустойчивого стацис нарного решения. Однако при р к р? развитие колебаний пронехе дат независимо от длительности пребывания траектории в окрестност устойчивого решения. Это значение следящей силы является барьерные сираиичивающим пребывание фазовых траекторий в окрестности неустой > стационарного решения.

Результаты расчетоь подтверждают от'ег.ку длительности запаздывании разрушения кзазистацконарных движений (10).

Четвертая глаза дает представление об особенностях исследования динамики механических систем на. основе рассмотрения движений, близ-жях к КЕазистацконарным. В этой глазе изучается поведение тяжелого динамически агкмотричяпго твердого тала с неподвижной точкой на оси ечтктрии (гзгроскепа Лагранна) под действием малых возмущающих моментов. Анализ влияния возмущений на движение гироскопа Лагран-аа язляется сгособпазкым тестом для методик, предназначенных.для решенма зада'» динамхкя твердого тела, характеризуемых наличием интегрируемого предела, з котором динамически симметричное тело движется под действием потенциального момента. В частности, гироскоп Лагранжа можно считать динамической моделью спутника с пассивной системой ориентации или спускаемого аппарата в атмосфере.

Уравнения движения гироскопа Лагранжа в надлежащим образом введенных безразмерных переменных имеют следующий вид:

= -(АП, - Sly ctgt?)ft, + sin -д + еМх,

^ = (Aft, - П„ ctgi?)ftx + еМ,, .dQ, d%¡> Пу

л—7— = ЕМ.,, = --- ,

at dt sin v

di? du>

Здесь и tp - углы Эйлера, А - отношение осевого и экваториального моментов инерции гироскопа, il^jft^fl, и еМх,еМг,еМг - проекции вектора угловой скорости и возмущающего момента на оси Резаля, е -малый параметр, характеризующий величину возмущающего момента.

В невозмущенной задаче существует двухлараметрическое семейство регулярных прецессий - стационарных движений, в которых ось симметрии тела перемещается с постоянной угловой скоростью W на постоянном угловом расстоянии 9 вокруг вертикали, а само тело вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси симметрии:

Пс = 0, ft, = il,0, ft, = fi,o,

ф = Wt + » 0 = 6, ф = uvo + fai

где

nvo = Wsine, ftl0= д (Wcose-b—) ,

Фазовое пространство невозмущенной задачи локально расслаивается на трехмерные инвариантные торы Т3. В окрестности траектории, соответствующей регулярной прецессия, инвариантные торы допускают следующее параметрическое представление

fir = (lx(WtQ,e,v), ny = n,(W,e,c,v), П, = ilf(W;e), 0 = 4(w,e,c,v), (12)

В (12) параметры № i 9 задают опорную регулярную прецессию. Параметр с характеризует амплитуду нутационных колебаний в движении, близком к регулярной прецессии с параметрами IV, 0 и лежащем с ней па одном совместном уровне интегралоз невозмущенной задачи, отражающих постоянство проекций кинетического момента на ось симметрии тела и на вертикаль:

U = WcosQ +

W

v-w+ф.

Фазы Ф, (mod 2тг) являются координатами на торе Т3. В иевозму-щешюм движении

Ф = utyi 4- Фо , Ф = + Фо, v — ufyt+vо .

Формулы (12) определяют замену переменных

(ft,, П„, П,, ф, 1?, V) (W, е, с, Ф, Ф, V). (13)

Замена (13) позволяет привести уравнения движения гироскопа Jla-гранжа к стандартной форме

d(W£'C) = eFWe,c)(W,e,с, Ф,Ф, I/, е),

= в, с) + eFfrirfiW, е, с, Ф, Ф, f, е). (14)

Специальные эволюционные переменные (W.Q.c,®, Ф,у) удобно использовать при изучении движений гироскопа Лагранжа, близких к регулярной прецессии с медленно изменяющимися параметрами. Различные свойства этих переменных обсуждаются в разделе 4.1.

В общем случае в системе (14) переменные V/ , 9 , с медленные, переменные Ф , Ф ,1/ - быстрые. Поведение медленных переменных можно изучать методом усреднения. В первом приближении метода усреднения в нерезонансном случае уравнения для медленных переменных имеют вид:

¿ИЛ ¿в

^ = £СОс0У,в)+О(£Сг), (15)

В системе (15) в уравнениях для ¿И^/Л и ¿в/Л отсутствуют линейные по с слагаемые. Это означает, что малые нутационные колебания слабо влияют на изменение переменных IV , Э. При качественном исследовании эволюции параметров опорной регулярной прецессии в возмущенном движении гироскопа Лагранжа этим влиянием можно пренебречь и ограничиться анализом системы

= е<7иг(Ф, в), — = еСв( ГС", 0). (16)

Фазовый портрет системы (16) дает наглядное представление об основных свойствах движения в конкретных задачах.

Амплитуда малых нутационных колебаний (г < с < 1) возрастает при условии ЯДИ^О) > 0 и убывает при условии С!с(}¥,&) < 0. Характерное время изменения амплитуды колебаний сопоставимо с характерными временами изменения переменных И', 0. Эволюция возмущенного движения может сопровождаться неоднократной сменой режимов нарастания и затухания нутационных колебаний.

В разделе 4.2 приведены примеры использования описанной методики анализа возмущенных движений, близких к регулярной прецессии.

В качестве первого примера рассматривается эволюция движения гироскопа Лагранжа лод действием малого постоянного момента. Как оказалось, в этом случае эволюция определяется значением проекции возмущающего момента на ось динамической симметрии тела. Можно выделить два класса движений, отличающихся поведением при < -+ ±оо. В движениях одного класса | —> оо при * —► ±оо. В движениях другого класса —► 0 при 1 —* —оо и ¡И^ —► оо при / —► +оо или —► оо при t -*■ -оо и 0 при I +оо.

Второй пример - движение не вполне симметричного гироскопа при наличии линейного диссипативного момента. Установлено, что в нерезонансном случае эволюция движения определяется только диссипатганым

возмущающим моментом, нарушение динамической симметрии никакого влиянии не оказывает. Действие диссипативного момента приводит к увеличению угла нутации ©. Абсолютная скорость прсцессии увеличивается, если |W¡ < 1, и уменьшается, если |W¡ > 1. Изменение парат метров опорной регулярной прецессии V/, 0 не зависит от амплитуды нутационных колебаний и удовлетворяет условию

U{W, 6) IV2 eos 0 +1

4 ' ' — _ — (injíAT

V(W;0) W3 + cos0

Сужение класса рассматриваемых движений позволило избегать проблемы интерпретации результатов, возникающей при исследовании возмущенного движения гироскопа Лагранжа в общем случае (Ф.Л.Черно-усько, Л.Д.Акз'ленко, Д.Д.Лещенко, Б.П.Иващенко и др.).

Трехчастотная система (14) может иметь решения, в которых длительное время 1/е) выполняются соотношения (k,w(x)) — 0(е1?2), к б Я®\{0}. Методика исследования таких решений разработала А.И.Ней-штадтом. В разделе 4.3 методика А.И.Нейштадта используется для изучения резонансных эффектов в случае малых возмущений движения гироскопа Лагранжа, обусловленных нарушением динамической симметрии и наличием линейного диссипативного момента. Резонансные эффекты наблюдаются при прохождении резснансов rí (n = 0, ¿1,...).

Резонанс и 0 возникает в движениях, близких к перманентным вращениям - равномерным вращениям гироскопа Лагранжа вокруг вертикали. Анализ резонансных эффектов начинается с преобразования усредненненной по переменным í', v системы (14) в «маятниковую» систему

AW

2£-y/EHw{W,c,p,9)t (17)

¿Ф -

^ = L(W, с, Ф) + >/¿K(W, с,р, Ф, е). av

Здесь р = <«v/V® » v = >

L(W, с, Ф) = La(W) + Lb{W) sin Ф + 0(с*).

В результате изучение поведения колебательных решений системы (17) получены условия существования движений гироскопа Лагранжа,

захватываемых в резонанс ы^ и С, н построена функция входа-выхода П(-), позволяющая по значению спорости прецессии з момент захвата движения а резонанс, предсказать скорость прецессии в момент выхода из резонанса:

IV) = Л+ | 1в е| + г).

Здесь Щ л У/; - скорости прецессии в момент захвата в резонанс з момент выхода из резонанса.

Захват в резонанс и (п = ±1,±2,...) достаточно близкого к регулярной прецессии движения невозможен. Прохождение такого резонанса проявляется в раз бегании фазовых траекторий на расстояние

О^Г1)-

В пятой главе приведены примеры применения анализа квазистационарных движений для решения прикладных задач.

В разделах 5.1 и 5.2 изучается сильно возмущенное вращательное движение осесямметричного космического аппарата с пассивной системой ориентации, основанной на использовании сил светового давления. Основное внимание уделяется построению алгоритмов управления движением такого КА с помощью солнечных рулей - подвижных пластин, поглощающих или отражающих излучение (В.В.Белецкий, А.П.Блинов, А.Ю.Коган, Е.Л.Старостин, \и.Мо<Н, 'ИЛН.Н.Л.ЬипвсЬег, Я-С-Иа^ап).

Разработанные алгоритмы разделяются на «быстрые» и «медленные». При «быстром» управлении углы поворота рулей определяются текущими значениями фазовых переменных, описывающих движение КА. Локально-оптимальные алгоритмы, предложенные в разделе 5.1, позволяют погасить нутационные колебания, уменьшить скорость вращения КА, перевести КА в режим «закрутки» на Солнце. Углы поворота рулей вычисляются из условия минимума значений проекций создаваемых рулями моментов на направление некоторого вектора, выбор которого зазисит от решаемой системой управления задачи. Приведены оценкя быстродействия системы управления вращательным движенизм КА с солнечными рулями в качестве исполнительных органов при использовании быстрых алгоритмов.

В «медленном» алгоритме управления, рассматриваемом в разделе 5.2, углы поворота солнечных рулей остаются неизменными на интервалах времени, существенно превосходящих характерное время в движении КА. При построении «медленного» алгоритма управления предполагается, что исходное движение имеет характер медленной регулярной прецессия, в которой ось симметрии К А перемещается с постоянной угловой скоростью РУ, на постоянном угловом расстоянии О. вокруг направленно! на Солнце оси (такое движение будет типичным для КА со сплюснутым эллипсоидом инерции при наличия демпфирующего устройства).

Анализ детллашг КА по описанной в четвертой главе схеме показал, «лкз Еозмохшы даа варианта эволюции ирдленной прецессии под влиянием гозннкающаго арапеллирующего момента. Наиболее простой вариант состоит в той, что пропеллирующнй домент керезодит КА в рех:км солнечной орке:ггадрш и постепенно раскручивает ьохруг оси симметрии. В более словом варианте зболйцнн КА первоначально переходит в рсггам протнюсолнечкой оркттвцин. Затем продольная ось аскмпто-образом становится перпендикулярно направлению на Солнце. Одновременно КА раскручиваего: вокруг поперечной осе.

Для заданных парамстрез ксходаого движения IV,, 0. нетрудно установить угол поворота солкэтнги рулей, обеспечивающий первый вариант гволюции. Нежели слькой раскрутки К А можно избежать переводом рулей в ношшальаое положение, к котором пластины всех рулей расположены в одной плоскости и пропеллирующий момент не возникает.

Применение пршеллнрукицего момента для управления вращательным двягагкпем КА изучалось В.В.Белецкнм, А.Ю.Когоеш, Е.Л.Старос-тнным а др. Для описания пропеллирующего момента агами авторами использовалось некоторое эмпирическое выражение (без обсуждения правомерности н оценки точности такой аппроксимации).

В разделе 5.3 рассматривается вращательное движение спутника, несущего магнат, расположенный приблизительно, вдоль продольной осн. В геомагнитном поле на спутник действует ыгашп

М* « т™ х Н.

Здесь ш., - магнитный момент спутника, Н - вектор напряженности поля. Величина я направление вектора Н зависят от положенкя спутника на орбите, определяемого значением аномалии V = — <0), где Шо - угловая скорость орбитального движения, 1о - момент прохождения восходящего узла орбиты.

Размещенный на спутнике магнит считается достаточно сильным:

Здесь М' - гравитационный момент, А - поперечный момент инерции спутника, р - гравитационный параметр Земли, /хс - магнитный момент Земли.

Уравнения вращательного движения спутника записываются в канонической форме:

¿С9Н " .

Лг к >

<КФ,4,у) я дН

4т " д{рф,рф,р¥)'

Перзыышыс ■в, V а (18) суть углы Эйлера, определяющие положение спутника в магнитной система координат, одна из осей которой направлена вдоль вектора Н. В качестве независимой переменной в (18) используется безразмерная величина г — E~lv, где е Аномалия V входит в (18) как медленно изменяющийся параметр.

При е = 0, V — сспз( уравнения (18) описывают движение оссснм-ыегрнчного намагниченного тела в постоянной поле и с точностью до обозначений совпадают с уравнениями движения гироскопа Лагранжа ¡3 канонической форме. Это означает, что в (18) можно перейти к переменным действие-угол I = (1и/>,/&)> V = (к;!,^,«^), введеннымя для гироскопа Лагранжа И.М.АксененковоЯ.

В переменных I, уг гамильтониан системы принимает вид:

К = К0 + еК1 +0(е2),

где ^(А./а./з»«) - гамильтониан гироскопа Лагранжа, удовлетворяющий условию иеаьфохздснносгй (В.С.Сергеез)

8{1иЬ,1з) Г * шь = ЭКо/д1к, * = 1,2,3

В незырсздашоЯ системе переменные «действие» /ь /}, 13 являются пркблиаптттот интегралами - почти адиабахичеагана инвариантами (В.Е.Аркольд). Анализ этих приближенных интегралов позволил устаг новнть ряд качественных особенностей движений снутаила с магнитен, близких к регулярным прецессиям.

Разрушение адиабатических инвариантов связано с прохождением рэ-зонансов. Получены условия существования в рассматриваемой задаче решений, захватываемых в резонанс, указана связь между параметрами движения спутника при захвате в резонанс и при выходе из резонанса.

В заключения сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1.Вкявлены общие зйхспоиерпостн эволюция движения на асимптотически длительных интервалах времена ы механических системах, включающих демпфирующие элементы большой жесткости. Дохазаво, что уравнения «установившегося» движения таких опем ошкывыот по-ьедение решений на некотором интегральном многообразия в фазовом простралстив. Пэхазаго, что для получошя вволюцкояных уравнений

следует построить эффективную дксскпативную ф\;1КПгяю, являющуюся квадратичной формой с BesTopoi; частот s качестве аргумента.

2.Проведено качественное исследование возмущенных движений тяжелого твердого тела, близких к регулярным процессиям с медленно изменяющимися параметрами. Получены новые результаты в классических задачах об эволюции движения тела под действием линейного диссипативнога момента и под действием постоянного момент Изучены эффекты, наблюдаемые при прохождении через резонанс б ряде задач динамики твердого тела,

3.Исследовано движение относительно центра масс спутника с пассивной системой ориентации, основанной на использовании сил светового давления. Разработаны «быстрые» и «медленные» алгоритмы у яр au ленки движеннием такого спутника с помощью солнечных рулей - подвижных пластин, отражающих или поглащающих солнечное иэлучеине.

4.Нсследозано запаздывание разрушения квазистацконарнаго режима движения s механической системе, содержащей медленно измененяю-щийся параметр. На основе анализа свойств уравнений движешш при комплексных значениях изменяющегося параметра построена функция входа-выхода, позволяющая для большинства начальных условий предсказать момент разрушения квазистационарного режима движения системы.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Садов Ю.А., Сидоренко В.6. Равновесные конфигурации упругого кольца в плоскости орбиты // Косшмлсследования. 1986. 24, N 5. С.659 - 667.

2.Сидоренко В.В. Об устойчивости стационарных движений упругого кольца в плоскости круговой орбиты // Космич.нсследования. 1987. 25, N 4. С.483 - 490.

3.Сидоренко В.В. Эволюция быстрых вращений упругого кольца в гравитационном поле. Препринт N 93. М.: ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1987.

4.Сазонов В.В., Сидоренко В.В. Возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярным прецессиям Лагранжа // Прикл.мат. и механ. 1990. 54, N 6. С.951 - 957.

5.Сидоренко В.В. Стационарные движения спутника с упругими стержнями, допускающего группу, симметрия. Препринт N 6. М.: ИПМ ■к. М.В.Келдыша АН СССР, 1991.

б.Сйдорскио В.В. О сляяэти'л зтропеллярукицего момента ва естетвс КА с солнечным стабилизатором // Ксснич.исследовапия. 1592. 30, N в. C.7S0 - 790.

T.Sidoienko V.V. Capture яла r.scape from resonance in the dynamics cf rigid body in viscous medium Ц Journal of Nor,linear Science. 1994. 4, N 1. P.35 - 57.

З.Сидоренхо В.В. Об управлении Еращательным движением КА с помощью солнечных рулей // Космлч.исследования. 1S94. 32, N 4 -5. С.08 - 75.

9.Сидорекхо В.В. О двиаении твердою тела с гибкими стержнями, допускающего группу симметрий // Изв.РАН. Механ.тв.тела. 1995. N 1. С.З - И.

Ю.Сидоренко В.В. Эволюция быстрых вращений орбитальной тросовой системы Ц Космич.исследования. 1995. 33, N 1. С.36 - 39.

11.Сидоренко В.В. Об эволюции движения механической системы с линейным демпфером большой кесткости // Прик.мат. и мех. 1995. 59, N 4. С.562 - 568.

12.Сидоренко В.В. Разрушение адиабатических инвариантов на резо-нансах: пример из дииамикл твердого тела. Препринт N 76. М.: ЙПМ им. М.В.Келдыша РАН, 1S95.

13.Нейштадт А.И., Сидоренко В.В. Запаздывание потери устойчивости з системе Циглера // Прик.мат. и мех. 1997. 61, N 1. С.18 - 29.