О движении твердого тела с жидким наполнением тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

московским государственный университет

им. М.В.ЛОМОНОСОВА

— ~ -Л 2 3 ДПР й98

На правах рукописи

КАЗМЕРЧУК ИНЕССА МИХАИЛОВНА О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ЖИДКИМ НАПОЛНЕНИЕМ.

Специальность 01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

МОСКВА 1996

Работа выполнена на кафедре теоретической механики миханкко-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.А.Самсонов.

Официальные оппонент» - доктор физико-математических наук, профессор А.И.Кобрин, доктор физико-математических наук, профессор С.Я.Секерж-Зенькович.

Ведущая организация - Вычислительный центр РАН.

За!цита состоится /ЛИхА 1996 г.в/1? часов

на заседании Диссертационного совета Д 053.05.01 при МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, главное здание МГУ, ауд. / 6 '¿О С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " 1996 Г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

доктор физико-математических наук Д.В.Трещев

общая характеристика работы.

Диссертация посвящена исследованию вращения волчка с жидкостью по плоскости с трением. Построено в аналитическом виде приближенное решение соответствующей гидродинамической задачи и качественно исследованы квазистационарше движения волчка.

Актуальность темы. Задача о движении твердого тела с. жидким наполнением является одной из классических зядяч механики. Интарегляя (■ тег-.^^ти^яской точки зрения, это задача ямвпт больше« прикладное значений. Интерес к этой проблеме значительно усилился в связи с развитием летательных аппаратов, несущих вязкие массы. Подобные задачи возникают также в теории корабля, проектировании гироскопических приборов, центрифуг и других технических объектов. Задача о вращении волчка с жидкостью по плоскости с трением удобна для экспериментальной проверки результатов теоретического анализа.

Цель работы. Целью работы является построение математической модели движения тела с жидким наполнением и изучение 'влияния ясидкого наполнения на движения волчка по плоскости с трением.

Научная новизна. Впервые построено в аналитическом виде приближенное решение серии гидродинамических задач. Исследуются регулярные прецессии тела с цилиндрической полостью, целиком заполненной вязкой слоисто-неоднородной жидкостью (частный случай - частичное и полное заполнение одной жидкостью). На основе решения гидродинамической задачи выяснена функциональная

зависимость момента вязких сил, действующа: на тело со сторонш жидкости от угловой скорости прецессии, угловой скорости

собственного вращения, угла нутации. Благодаря этой зависимости

качественно исследованы квазистационарные движения волчка с жидкостью плоскости с тре-нием.

Теоретической и практическое значение. Создание расчетной

методики для обработки экспериментальных данных по прямим измерениям внутреннего трения.

Апробация работа. Материал диссертации был изложен и обсужден на семинаре "Динамика тел, взаимодействующих со средой". Механико-математический факультет. Руководители семинара лроф.В.Г.Вильке и проф. В.А.Самсонов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С1-31.

Объем работа: Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка используемой литературы, содержащей 36 наименований. В работе 70 страниц, 13 рисунков.

содержания; работы.

Во введении дан обзор наиболее важных работ, относящихся к теме диссертации- Рассмотрите ведется с первых работ по исследования движения твердого тела с полостью, целиком заполненной жидкостью, проведенных Стоксом, Н.Е.Жуковским и др. Обсуждаются как экспериментальные, так и теоретические исследования. Методики исследований квазистационарных движений, порождаемых силами малой интенсивности, предложена в работах В.А.Самс.онова. Далее кратко изложено содержание работа.

В работе рассматриваются ккззистационарнме. движения твердого тела с жидкостью по плоскости с трением. Внутреннее трение вызывается влиянием вязкой жидкости на стенки полости.

Для исследования поведения такой системы задача разбивается на две части:

1) Для заданного движения тела - регулярной прецессии решается гидродинамическая задача, где в условиях стационарного режима (в прецессирукхцей системе отсчета) определяется течете жидкости и находится искомый момент, гидродинамической силы, действующий на тело со стороны жидкости.

2) Записываются приближенные уравнения движения твердого тела с жидкостью и проводится анализ их решения.

Первая глава. Гидродинамическая задача - задача о движении

цвух несмешиватацихся вязких несжимаемых жмидкостей, целиком

заполняющих бесконечно . длинный цилиндрический сосуд, который совершает регулярную прецессию с произвольным углом нутации

рассматривается в первой глава. Предполагается, что угловая скорость собственного вращения ш намного больше угловой скорости прецессии 0 и, следовательно, что безразмерный параметр е = 9 в уравнениях Навье-Стокса и граничных условиях мал. Поэтому решение ищется в виде рядов но степеням е. Решение поставленной задачи в первом приближении по е представляет собой течение, которое состоит и:3- двух потоков, один и;>. которых направлен по оси цилиндра Ог, а другой в противоположном направлении. Рассматриваются

предельные случаи малых и больших чисел Рейнольдса д = —-¡т—

' " I

(где а -радиус цилиндра, р1 , - соответственно плотность и

коэффициент динамической вязкости 3-ой жидкости, индекс 3

указывает к какой жидкости относятся величины - внешней (3=1) или

внутренней (3=2)).Для предельных случаев максимум скорости потоков

жидкости достигается при различных значениях координаты <р (г, ср,

2 - оси цилиндрической систем-; координат, вращающейся с угловой

скоростью прецессии вокруг неподвижной оси £). Для больших чисел

тг Ятг

д. максимальная скорость достигается при ср = ^ и поток имеет положительное направление впереди по ходу прецессионного вращения Сер = р) ■ Для малых чисел Рейнольдса скорость максимальна при <р=Оги и поток имеет положительное направление при ср = 0.

Прямое вычисление осевой проекции момента сил гидродинамического воздействия на стенки полости в этом приближении приводит к нулевому значении. Однако использование теоремы об изменении момента количества движения индивидульного объема сплошной среди относительно центра цилиндра дает для этой проекции величину второго порядка малости. Для того, чтобы

в

определить момент сил, действующих на тело со стороны жидкости, непосредственно через касательные напряжения на твердой стенке необходимо построить второе приближение по е. Оказалось, что относительное течение жидкости во втором приближении по е сожержит азимутальную составлянцую, которая имеет характер завихренности, и именно это течение создает тормозящий момент. Значения для # .полученные двумя способами совпадают. Для малых и больших чисел К осевой момент пропорционален К и —соответственно.

/я

Из общего решения для случая двух жидкостей получено рюшепие для случая одной жидкости (частичного и полного заполнения). Формула для осевой проекции гидродинамического момента при д »1 с

цилиндра двумя несмешивавдимися жидкостями, частичного заполнения одной жидкостью и полного заполнения одной ¡кидкостью имеет тот же вид.

Вторая глава. Во второй главе рассматривается движение осесимметричного твердого тела, находящегося на горизонтальной плоскости и касающегося ее единственной точкой р своей поверхности. Поверхность волчка имеет круговое ребро и волчок движется с опорой на ребро. Предполагается, , что центр тяжести о волчка лежит на оси ог его симметрии, которая представляет собой и ось симметрии центрального эллипсоида инерции тела (Л = В / С). Считаем, что в точке р к телу приложена не только вертикальная, но и горизонтальная сила трения у, направленная в сторону.

точностью до членов порядка

случаев полного заполнения

противоположную скорости Ур точки р. Предполагается, что волчок имеет цилиндрическую полость, целиком заполненную вязкой жидкостью и что оси симметрии тела и полости совпадают. На тело со стороны жидкости действует момент вязких сил. Под воздействием малых сил трепил (внешнее трение -- трение скольжения, внутреннее трение вызывается влиянием вязкой жидкости на стенки полости) волчок совершает1 квззистационарше движения типа "быстрой" прецессии, уравнения которых имеют вид:

й = - г/рге;рх + ит, V = -и = vcosв,

где и - момент количества движения тела относительно оси ог симметрии; и - момент количества движения тела относительно вертикальной оси ОС, проходящей через центр масс о тела; 6 - угол 20С (угол наклона волчка); х - горизонтальная ось, ортогональная плоскости ¿С; ур(в), ~ координаты точки р контакта тела с

плоскостью в прямоугольных системах коордиинат хуг и гпС; проекция на ось х силы трения; их - момент относительно оси 02 сил, приложенных к телу со стороны жидкости.

На основе решения гидродинамической задачи выяснена функциональная зависимость момента вязких сил (внутреннего трения) от угловой скорости прецессии, угловой скорости собственного

1. Самсонов В.А. Динамика тела, опирающегося на горизонтальную плоскость. Проблемы аналитической механики и управления движением. ВЦ АН СССР. 1985, с. 82-86.

вращения, угла нутации. Благодаря этой зависимости на базе методики квазистационэршх движений1 проводится исследование семейства траекторий тела на фазовой плоскости.

При этом для внешнего трения (трения скольжения) рассматриваются два случая: I) зависимость между величиной силы трения и нормальным давлением определяется законом Кулона, 2) сила трения линейно зависит от скорости скольжения.

В заключении перечислены основные результата диссертационной работы:

1. Получено в аналитическом виде приближенное решение задачи о движении двух несмешивавдихся вязких несжимаемых жидкостей, целиком заполняющих бесконечно длинный цилиндрический сосуд, который совершает регулярную прецессию с произвольным углом нутации, в предположении, что угловая скорость собственного вращения ш намного больше угловой скорости прецессии П (безразмерный параметр £= § - мал).

2. Проанализированы предельные случаи малых и больших чисел Рейнольдса.

3. Из общего решения для случая двух жидкостей получено решение для случая одной жидкости (частичного и полного заполнения).

4. Определена осевая проекция момента сил гидродинамического воздействия на стенки полости двумя способами. Сначала значение и получено с использованием теоремы об изменении момента количества

I. Самсонов В.А. О квазистационарных движениях механических систем. Изв. АН СССР, МТТ, 11978, № I, с.ЗЯ-ЗГ>.

Я

движения индивидуального объема сплошной среды. При таком подходе оказалось достаточно решения .линейных уравнений Навье-Стокса. Далее проведена проверка полученного результата, и осевая П[юекция момента вычислена через касательные напряжения на твердой стенке. Для этого потребовалось найти часть решения вто{юго приближения по е для нелинейных уравнений Навье-Стокса.

Г>. Ял я задачи о движении волчку с жидкость» по плоскости с трением на основе функциональной зависимости момента вязких сил (внутреннего трения) от угловой скорости собственного вращения, угловой скорости прецессии и угла нутации проводится исследование семейства траекторий тела на фазовой плоскости.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Казмерчук И.М. Движение вязкой несжимаемой жидкости в прецес-сирующем цилиндре, Вестн, МГУ. Математика, механика, 1992. Л 2, с. 93-96.

2. Казмерчук И.М., Самсонов В.А. Движение двух вязких жидкостей в прецессирувдем сосуде. Изв. РАН МЖГ. 1995. Я 5, с. 27-34.

3. Казмерчук И.М., Самсонов В.А. О квэзистэционарных движениях волчка с жидким наполнением. Изв. РАН МТТ. 1996. Л 2, с.32-36.

В опубликованных работах В.А.Самсонову принадлежит постановка задачи и обсуждения результатов, Казмерчук И.М. - проведение вычислений, анализ полученных результатов.