Исследование математической модели восстановления эффективного показателя преломления плавнонерегулярного тонкопленочного волновода по результатам лучевого зондирования тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

к.. р Г !

6 .3-й ■ •

' '' ордена дряеи народов ' российский .университет дрлбы народов

На прэппх рукописи

БЕЛЯКОВ Глеб Вячеславович

• У.ЛК 535.3+621.3

исследование »дАталАТИЧЕскоЯ модаи восстаномения ; вшивного показателя преломления ш1авнонерегулярного т0шсплен0ч1юг0 волновода по результатам-лучевого зондирования

(01-01.02 - теоретическая физика)

Автореферат

сртощщ на со. .кание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москиа - 1992

Работа шполнона в Российском Университете дружбы народой -

Научный руководитель :

доктор физико-математических наук, профессор Я.П, Тер,чецкий ■ . . ■

Официальные оппоненты:

доктор ^рчко-математячоских наук, профессор В.В. Шевченко ,

..андидат физико-математических наук, доцент - К.П. Ловецкий

Ведущая организация - Объединен;:нй институт ядерж« иоследопаний. г.. Дубна .•-

Защита диссертации.состоится " " г.

в мае. С9С> мин. на засе.ввнии специализированного согетг К 053.22.01 в Российском Университете дружбы народов во адреоу: 117305, г. Москва, ул. Оддконикидэе, 3, а ял И..

С днссертпгдисй можно ознакомиться в научной ^'и^лиотеке' Российского Унирарситоте двукбы народа» по здрве-у: 117192,' г. Москва; ул. 15иклухо-Махлая, 6.

Лг-'п^пфврат разослан '•/г* 199Р г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-ыатомьтич&оких нпук

доцент Ю.И. Заппротшкй

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Появление оптических квантовых генераторов привело к формированию в конце 60-х годов нового научно-технического направления -оптоэлектроники (используются также названия интегральная оптика, пла-парная оптика). В оптоэлектрониже вэучая»-ся электромагнитные явлена происходящие при распространении света в тонких слоях прозрачных материалов, а также аоггросы ко-исгруюроватн» тоикопяеиочгтх волноводов с ждга-НЫМП CI ЙСТВ-.*и.

Важным и широко расггрооу<тениым классом эяементоэгттефалъ-нооптичесих устройств является класс токкопленоЧк^гх волноводных лит» ("ВЛ) [1]. Одно из назначений ТВЛ состоит в коллимации световой волны, распространяющейся вдоль волноводного слоя. Эффект коллимации может быть обеспечен за счет изготовления волиоводаого ело» со спегдадаитым распределением толщины [2].

Фокусирующие свойства волновода •существенно' зависят от степеют соответствия изготовленного покрытия требуемым характеристикам!. Для отладки процесса создания высококачественных безаберрадиоптагя линз необходим неразрушаюшкй точный количественный' контроль. фоку-.

сируюших евлнегв ТВЛ, называемый диагностикой. Диагностика ТВЛ доэт>-

■ .

дна по данным измерений не только ответите fra вопрос, обладает ил» нет произведенный образец заданными свойствами^ по>» выяснить, в- какой- сте-

пени не обладает и какие необходимы изменения процесса для производства высококачественных линз.

Традиционные методы диагностики: прямое про&члометриро-вааие (измерение физической толщины волноводного слоя в центральном . сечении линзы), профилоиитерферометрия (измерение оптической толщины волноводного слоя в центральном сечении линзы), интерферометрия (измерение оптической толщины волноводного слоя в области утолщения), - обладают рядом недостатков, основным нз которых является дополнительная модельная ошибка из-за пересчета измеряемых величин в оптические характеристики волновода.

Поэтому актуальной является задача разработки новых способа! диагностики, не связанных с измерением толщин, а также соответствующих иь математических моделей.'

Содержание данной диссертации составляет теоретическое исследова ние и дальнейшее развитие способа диагностики, основанною на а гализ! видимых траекторий световых лучей в изучаемой ТВЛ. Такой способ дн агностики получил название лучевого зондирования [3].

Лучевое зондирование заключается в следующем: вдоль волновод

ного слоя пропускается семейство параллельных на входе зондирующих л>

чей - узких лазерных пучков. В однородном тонкопленочном волново;

свет распространяется вдоль волноводного слоя без искажений. В той Ч1

■ ста волновода, где имеется локальная неоднородность в толщине волноводне 2

пленки, лучи света искривляются (Рпс.1). Наличие в волиоводной пленке мелкозернистых неодпородностей размером порядка длины волны ^¿ета. используемого для зондирования, приводит к тому, что часть света рассеивается в пространство над волноводом, и та становятся видимыми сверху. Следы лучей можно сфотографировать или зарегистрировать с помощью [13С матрицы (с постоянной зарядовг'1 связью). Координаты точек лучей щифровываются, и дальнейшая обработка про! дится с помопп ю ЭВМ.

ис. и Схема прохождения лучей через тонкопленочную волноводную лнизу.

Цгльлабосы»

Обчшя цель работы - исследование математической модели неразру-аюгаей диагностики тонкопленочных полноводных линз для способа луче-

"V

)ГО зондирования и разработка математических методов и устойчивых

алгоритмов для диагностика различных ТВЛ способом лучевого зокдлрокгша, я том числе линз, не обладающих симметрией ' »<■> конкретизуется в следующих пунктах:

1. Математическая постановка и исследование задачи диагностики тонкопленочных волноводкых линз по данным лучевого зондирования включая вопросы существования и единственности решения такой зад ши.

2. Разработка устойчивых методов решения задачи диагностики ТВЛ по данным о следах зондирующих лучей, применимых как для централь-иоснмметричных линз, так и для линз, не обладающих центральной симметрией. Алгоритмизация этих методов.

3. Исследование модели разработанного способа диагностики методом вычислительного эксперимента для выяснения границ его применимости и формулировки рекомендаций по методике получения данных о следах зондирующих лучей в ТР Л.

Научная новизна. ...

Б диссертации исследована задача восстановления оптических характеристик ТВЛ по данным лучевого зондирования и сформулированы условия, при которых задача имеет единственное решение. Разработан новый устойчивый способ математической обработки результатов лучевого зондирования, отличающийся от ранее известных тем, что, во-первых, он применим к линзам различного тепа, в том числе не обладающим симметрией, и 4

во-вторых, обеспечивает более высокую точность восстановления оптических характеристик ТВЛ при типичных значениях уровня шума в данных.

Пракпшескдалешюсгь»

Разработанный на основе результат з диссертации комплекс программ-по-матемал!ческого обеспечения для диагностики топкопленочных полноводных линз по дискретным даш 'м о следах лучей реализован на алгоритмическом языке Turbo-Pascal ипозвочяет проводит» расчеты »... любых IBM-совмсстлмых персональных компьютерах.

Возможно использование созданного программно - математического к^мапексл на ЭВМ, сопряженной с измерительной аппаратурой. В этом случае разработанный метод диагностики может служить средством оперативного нсра рушаюцего контроля ТВЛ в процессе их изготовления.

Разработанный метод диагностики одинаково пригоден для следующих типов волнонодных линз: во-перяых, - для топкопленочных полнополных линз лкшеберткекого типа (в планарных линзах этого типа искрммл^нме лучей п их фокусировка достигается за счет изменения толщины волчоиплншо слои !i:i плоской похюжк.е); во-вторых, - для градпент-ин:; линз, фокусирующие свойства которых обеспечиваются за счет ХИМИЧЕСКОЙ lICO.DIOpO.'lili'CTH полноводного моя постоянной толщины на плоской шмпжке; п-третьих, - для геодезических линз, в которых фокуси-. . pont-n достигнете» за счет искривления поверхности с однородным по

' 5

толЩ'Не и химическому сос;иьу слоем полнородной пленки, вдоль которой расщюсгрлняегся скетов^я волна.

Оснопн'ыг результаты диссертации опубликованы в 7 работах, перечень к о го;) их приводен е конце автореферата. Аа&дблллт,

Результаты диссертации докл.;дывились на:

- Научных семинарах кафедры теоретической физики РУДЫ (Москва, 1900-1992 гг.)

- Научных конференциях факультета фнзико-матемагических и естественных иаук РУДН (Москва, 1990-1992 гг.)

- Н Всесоюзной конференции ""Вычислительная физяка и математическое моделирование" (Волгоград, 1989 г.)

- Конференциях молодых ученых и специалистов РУДН (Москва, 1990-19У2 гг.)

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка

литературы. Объем диссертации - страниц. Список литературы включает в

себя 100 наименований. 6

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ На_видении обосновывается актуальность тены, формулируется

I

цель работы и лается схема изложения результатов диссертации.

й_Д<УШ)Й-..ГЛДЕе введена математическая модель, в которой гонко-пленочння ¡юлноводная линза представляется кг.к плоска? оптическая срспс некоторым эффективным показателем преломления (ЭПП) п(х,у). П1ИМ от точки плоскости. ЭПП является осиознпй харакчеригтиг-пй Т15Л » рамках такой модели. Эффективный показатель гусло'о^пя посчг нчпание коэффициента замедленна.

Дан обзор полученных ранее результатов по проецировании: токко-¡минпннх полноводных линз с различными тинами с;:м;ие\рич, мтисаны формулы, .юзпол1ч<)П|ие строить функции распределения ЭПП п(х,у) дл'! всех рассмотренных пиюг, лчм.;.

г.н'мена математическая модельтокюплгчочнон »олчочо.що':'; лт:.г>1 к л: илог.г.н! оптической гром с заданным р кпрелслечнгч тчрж.гч ппкмаамя ¡'¡к1 юмл.'ний 'щх,у«. Выписаны у р.'шюмя, евчзываю-;1 ии" ЭПП со елсл.'чн с1и'Т(-|:ы'. л\*1:и, раснростран-нопшхсч плоть ваимиод;".

В ».молем а.|ГОригм вп-шсления ф>нкшч! профиля |;,"с;|'|'.мрм

онобшеипой лип Л>'1ис'>ерга с неполной лпертурон 14]. /Ч.тсоритм позволяет ;пя пь'Г1|к.мных ан.пенни лриведемчою фокугммо расстоянии к полуширины пабо"'-м аьертури вычислять функцию распределения ЭПП и се производную ча тыбр.'.ннои сетке узлов.

В § 1.3. описан способ приближенного построения функции профиля идеальной обобщенной линзы Люнеберга с неполной апертурой в рамках параксиального формализма. Полученное решение позволяет значителы о упростить расчрты по сражению с точным решением при хорошей точности.

К § 1.4. в рамках параксиалчюго формализма описан поиближен-ный метод вычисления функции профилз для тонкоплдночной волноводной линзы с эллиптической симметрия. Показано, что в предке это решение переходит в функцию профиля для линзы с круговой симметрией.

В § 1.5. рассмотрена тонкопленочная волноводная линза с аксиальной симметрией, применяемая в некоторых иитегральнооптичесхих устройствах.

В§ {.6 рассматривается задача трассировки лучей через тоикопленоч-ный волновод. Проведен анализ прямой задачи распространения световых лучей в ТВЛ с извес-ным распределением эффективного показателя преломления л(х,у). 2сли возможна однозначная параметризация луча координатой х, то уравненщ (учей записывается в следующем виде: 4 2 2

¿у дп дп а п й у/<1х ...

Лхдх дУ = 1 + (¿у/Лс)1

Функция у~у(х), описывающая след луча, является решением задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (1) с начальными условиями, задаваемыми на входе в оптическую систему

у(х-)»Ь, у'(х-)-у;' ,

;" 8

Сделан обзор к сравнение различных численных методов решения прямой задачи Ойлера, Мон-лпшно, Р>иге-Ку-па, ''предиктор-корректор"). Рассмотрен метод повышения скоросги трассировки лучей через идеальную обобщенную линзу Люнеберга, использующий аппроксимацию функции профиля ЭГШ эрмитовым кусочно-кубическим сплайном.

Во второй главк рассмотрена математическая задача восстановления неизвестного эффективного показателя преломления пи,у) по семейству следов лучей из зондирующего пучка. Исследованы условия, при которых решений задачи восстановления ЭПП п(х,у) существует и единственно. Описан метод численного решения задачи диагностики, использующий специфику входных данных.

В_§ 2.1. дается математическая постановка задачи диагностики

тошеопленочных полноводных линз по результатам лучевого зондирования.

Пусть исследуется область С"[х-,х+) х [у-,у+] (рнс.1). Пусть также следы лучей как кривые в О могут быть однозначно параметризованы координатой х. Семейство функций

у(х)-¥(х,И), (2)

однозначно параметризованное параметром Ь, является математическим представлением экспериментальных данных М1~ода лучевого зонда. розаь.1Я. Удобно называть (2) зондирующим пучком лучей.

Задача диагностики тонкопленочных волноводеых линз по результа-гам лучевого зондирования формулируется следующим образом:

• 9

1« гг. к с» распределение Мфокмьного показателя преломления мх,у>, чт-.> длг каждого лучл'у (х^У (х,Ь> из зондирующею пула выполнялось 6« у;к1п-1с1и'С (I/. 1

Теорем«. Репеип'; носгаалстои задачи цналкх гиен ТВЛ по зонди-ру!л!11ему пучку О) СуИК'ЛиуеТ, СГЛН ЗОН.КШуКПЦНН пучок удовлетворяет оыу'ЧЩММ у-юыгш:

1) суи,с4ти>ст непрерывная вторая пронзнодпая У„(х,1о:

2) С} мктсует нс^рерыпнл») прч;оводная У(,(х,|!) н У(,(х.Ь>/0 о ксслс-дуемой оплати О';

существует кенрсрыснза сметшими нроизлоанли У>(1(>.)Ь).

Семейство следов лучен мэ злнднрунписл)пучка С2> «дно пычно оп-релелкг: смЫстн) вялшлых фронтов, покрывающих область О. Иуаь грш'ичн.чг > ¿."I о а' и" ш> фусщню п(к,у) залами таким о.'риом, что на каждом фр.ттс-, проходватгм через исследуемую облаем. О, ичест.*« ровно сднй точка с изаесткым значением п(х,у), Тогда имеет ыесю Теорема: Ро-ыеш:с задачи диагн'-стик» ТЗЛ но зондирующему пучку О) единственно.

ГКиишио, что решение задачи диагностики сводится к решению задали Коши для системы обыкновенных дифференциальных ураиьсний

% - Г(х.у)

где

и1х,уЬ 1п(п(х,у))

10

'С<х,у) •=-/¿x,h) I

... , Ухх(х,Ь) , "-----т--

ILjLZi описана численно: решение пестнзлениой задачи ли.-ч^тим» ТВЛ по следам лучей иа зондир>ыш«10 тчка (2) метидич интс ¡/мроплнш вдоль характеристик. Разработан устойчивый алгоритм т.'чп.-'-пич правых частей системы (31 с помощью напряженных ал.«ивиюц.их сплннчоя. Алгоритм использует дополнительную априорную имформ.щим о поведении функции распределения эффективного показателя преломленил п(х.у) и опирается» иа результаты, описанные к главе 3.

Изложены результаты исслеломния рззргбонишпг» сипоЛ) методом вычислительного эксперимента. Точность впеоаиовлсниэ оптических характеристик центральносимметричкых ТВЛ оказалась на пплпорвдкц выше, чем при использовании, ранее разработанных алгоритмов [5].

QjneiiiCiLnusc описан метод построения напруженных сглаживающих кусочнэ-куинческнх сплайнов s(x) с ограничениями вида 6j(x) < s"(x)< 6j(x), где б[ (х) и 6j(x) - известные функции.

В__S__3x1 дана и останов"! задачи аппроксимации таблично заданной

функции кусочно-кубическим сглаживающим сплайном с ограничениям вида oj fx> < s"(x) < б^х). Показаны существование и единственность такого сплайна как решения задачи о минимизации функционала

II

(4)

(5)

* B.JLJL2 изложен способ построения кусочно- кубического сглаживающего напряженного сплайна. Приведен алгоритм вычисления ' 1Э<|>ф|1Ш!е1гтоп сплайна.

И_3аллюнсшш псрсчисляюгся основные оригинальныерезультаты, полученные в диссертации, и раамлгрши/отсы облмсти применения лгих результатов.

Оснок'.ые результаты диссертации можно сформулиро;ыт!> п следующих пунктах.

I. Лицо СИСТСЫ,ПИЧССКОС описание М,)ГСМ;!ТИ'1ГСКИХ МОДСЛи! основных

классов тогкьпленпчных волнозодныч линз с различными типами симметрии

распределения :>ффектииного показателя преломления.

2 Проведен сравнительный аш>ли.« различных численных "\.-то.';оп трас-

сиротки лучей через тонкоплеиочный волновод.

3. Длин математическая постановка яадни ,к;шпи«ликн тот <пленоч

пых полноводных линз по данным лучевого зчиднроилниа. Пий/юны достнточ

ные )С'|Овия сущесгвовлшя и единсгьснности рлнгния костнюснной задачи. 1<

F ft) « Р ) ( ¿т> (х) у tlx + 2 (s(x,) -у,)1 па множестве функций

C-{sCW2m[x„xN| ,6t<s/;(x) <б2 ix) . m_> 2}

4. Получены эффективные численные методы реескйя гадачп оосста-■ ковленад эффективного показателя преломлений тонкоиленочного

волновода по результатам дучеяого зондирования, в том числе для волноводов, не обладающих круговой симметрией.

5. Р -зработгн метод восстановления эффективного показателя преломления тонЕсплеиоштго волновода по зашумленчи»? данным с помощью напряженных сглаживающих сплайнов. Предложенный метод использует дополнительную априорную информацию о поведении функции распределения ЭПП,

6. Построен метод аппроксимации зашунлсиных данных с помощью напряженного сглаживающего сплайна с двусторонними ограничениями из вторую производную, предстаалиг щий самостоятельный интерес. Инстру-. мент сглаживающих напряженных сплайнов применен для аппроксимации следов лучей из зондирующего чучка.

Основные результаты диссертаг | опубликованы в работах:

1, Беляков Г.В., Микулич A.B., С лстьянов Л.А. Трассировка лучей а обобщенной линзе Люнеберга с неполной апертурой// Проблемы . -орстич^» ской физики. - М.: Изд-во УДН, 1990.- С.бЗ-70

2. Беляков Г.В., .Танеев Е.В.,Мик. тич A.B. Численные решения задача

восстановления распределение коэффициента замедления планарной линзы

13

но данным лучевого теста//Математическое моделирование систем. - М.: Изд-воУДН, 1990. -С. 52-54 ,

3. Беляков Г.В. Некоторые математические вопросы обработки результатов лучевого тсста пленарных линз//Тез. докл. XII конф.мол.ученых Унта дружбы народов, Москва, 17-22 апреля 19В9.г., М.: 1989.-Ч.1,- С.14-17,-деп. в ВИНИТИ 12.07.89 N 4615-В89.

4. Беляков Г.В.,Микулич A.B., Севастьянов Л.А. Диагностика планар-ных линз по данным лучепого теста методом шггегрнрования вдоль характеристик// Тез. докл. XII конф.мол.ученых Ун-та дружбы народов, Москва, 17-22 апреля 1989 г., М.: I9S9.-4.1.- C.iO-13.- деп. в ВИНИТИ 12.07.К9 N 4615-В89.

5. Беляков Г.В.,Микулич A.B.. Севастьянов JI.А. Применение сплайнов в задаче диагностики планар-.юй линзы по результатам лучевою зондирования// "Вычислительная физика и магматическое моделирование", Тез.докл. II Всес. научн. конф., Вплго:рад, П-М сентября 1989 г., М.: Изд-но УДН. 1990,-C.-I2-IJ.

6. Поляков Г.В. О математической обработке результатов лучевого зондирования Планерной линзы// Тез.докл. 111 научн.конф. НУЦ Ун-та дружбы народов, М.: Изд-no УДИ. 1930.-С. IB.

7. Беляков Г.В.. Микулкч A.B. Об аппроксимации функции профиля идеальной обобщенной линзы Люне6ерга//Тез. докл. XXVII на) чн.конф. фак. физ.-мат. и есг.пауг. Ун-m дружбы народов, М.: Изд-во УДИ, 1991,- С.32.

М

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Хансперджср Р. Интегральная оптика. - М.: Мир, 1985.

2. Аникин В.И., Шокол C.B. Фокусирующие элемент« t оптики// Зарубежная радиоэлектроника. - 1984. - N 5. - С. 07 -77.'

3. Жидков Е.П., Курышкин В.В., Микулич A.B. Восстать..- •. ■•.•. метров планарной линзы по следам лучей//"Вычислителм)ая фи шка •• ыатическое моделирование", Тез.докл. I Jcec. научч. конф. , 1'с■•■ 12-18 сентября 1988 г., М.: Изд-во УДН, 1989, - С.-32-33.

4. Sochacki J., Gomez-Reino С. Norifull-aperture Luneburg lenses: a nov solution // J. Appl. Opt. - 1985. - Vol. 24., No.9. B- P. 1371-1373.

5. Микулич A.B. Математическое моделирование нсразрушающей диагностики тонкопленочных волнподных линз: Дис. ... канд. физ.-мат. на-ук.-М., 1989- 135 с.