Исследование методов решения устойчивых и неустойчивых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ^ ,, ^ ^ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукоп'лс

ДЖУМАЕВ Сухроб , )

УЖ 517.9(Г

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ РЕ01ЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ И НЕУСТОЙЧИВЫХ ЗАР

01.01.01 - математический аиали

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1993

Работа выполнена в Математическом институте с ВЦ АН Республики Таджикистан.

Официальные оппоненты - доктор физико-матоматичесгак. наук ,

чл.-кор. АН ЭСТОНИИ Г.М.МИНЖКО ; доктор физико-матоматических наук , профессор В.В. ВАСИН; доктор физико-математических наук , А.Л. БУХГЕШ.

^ Ведущая организация - Вычислительный центр СО РАН ГСР

8ащдга диссертации состоигоя " cieMÖß ä 1993 г.

ICCO

б К>_„ часов на заседании Специализированного совета

Д 063.98.02 в Новосибирском государственном университете по адресу:630090 Новосибирск 90,ул.Пирогова,2,ауд.31?

С диссертацией цонно ознаконитьсн в библиотеке Новосибирского государственного университета

Автореферат разослан » HüdÖpei 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета

д.ф.а.н. /Г / Л КАЕИХОВ A.B.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Основной объект изучаемых в диссертации некорректных задач описывается уравнением

Ан =£ , (I)

где К - линейный или нелинейный оператор, действующий из Е в Р ( в основной части работы предполагается , что £ и Г являются гильбертовыми пространствам« ). Диссертация посвящена исследованию приближенных методов решения уравнения (I) в различных ситуациях: при точных и приближенных исходных данных , при дискретизации уравнения (I). Такие исследования актуальны и вакны при анализе широкого круга проблем , описание которых приводит к необходимости рассмотрения моделей с некорректной математической постановкой. Это направление исследований интенсивно развивается многими учеными ( см. обзоры В.А.Морозова и О.А.Дисковца).

В качестве теоретической основы методов решения некорректных задач общепризнанными являются фундаментальные труды

A.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева,и В.К.Иванова. Применительно к нормально разрешимым задачам и методам их решения первоначальные работы, наряду с уже упомянутыми , принадлежат также Е.Муру, А.Бьерхамару и' Р.Пенрозе. Дальнейшие исследования проводились в работах А.Б.Бакушинского, Г.М.Вайникко, В.В.Васина,

B.А.Винокурова, В.В.Воеводина, А.С.Леонова, О.А.Лисковца, В.А.Морозова, В.А.Танана, Г.В.Худака, Л.А,Чудова, А.Г.Ягола и других авторов. *

Одним из основных проблем приближенного построения решения уравнения (I)' является вопрос о связи погрешности приближенного решения с погрешностью исходных данных, а также с погрешностью дискретизации. Таким вопросам посвящены исследования многих авторов ( А.Б.Бакунинский, А.Л.Бухгейм,-В.В.Васин, Р.Ведан, В.В.Воеводин, О.А.Лисковец, В.А.Морозов, В.И.Мелешко, Р.Пенрозе, Л.А.Чудов и другие). Эти исследования привели к пониманию важности решения вопроса о•максимальном порядке погрешности приближенного решения , в частности , вопроса о том, когда этот порядок совпадает с порядком погреш-

ности исходных данных. Актуальной является и проблема разработки специальных методов решения задачи, которые бы "максимально" использовали свойства исходных данных в том смысле, что .приводили бы к приближенным решениям, порядок погрешности которых был бы неулучшаем.

Цель работы. Построение и анализ методов приближенного решения уравнения (I) , обладающих тем свойством , что полная погрешность решения имеет максимальный порядок исходных данных. ( 'ошибки правой части и операторов, ошибки дискретизации). Разработка и исследование методов, максимально использующих свойства возмущенных и исходных данных, а также построение новых данных с нужными свойствами.

Методика работы. При исследовании рассматриваемых в диссертации задач использовались методы теории некорректных задач , разработанные А.Н.Тихоновым, М.М.Лаврентьевым и В.К.Ивановым, а также методы псевдообращения; принятый в диссертации подход базируется на методах функционального анализа и приближенных методах решения операторных уравнений.

Научная новизна. В диссертации разработаны теоретические положения, на базе которых проведен анализ ряда методов решения устойчивых и неустойчивых задач и выявлены их свойства, которые позволяют получить оценки полной погрешности, имеющие неулучшаемый порядок, а также указать пути построения новых возмущенных данных, обеспечивающих, возможность получения таких оценок. На основе разработанных положений в диссертации получены следующие результаты:

а) Получены различные формы представления псевдообратного оператора и изучены его аппроксимация с оценкой погрешности посредством ряда методов псевдообращения.

б) Доказаны общие теоремы сходимости нормальных псевдорешений возмущенных уравнений и тихоновских приближений к нормальному псевдорешению точных уранений с оценкой точности приближения, совпадающих с точностью исходных данных, а также предложены способы построения новых возмущенных данных, обеспечивающих выполнение условий таких теорем.

в) Изучены свойства неустойчивых задач, позволяющие сводить их к устойчивым с последующим обоснованием методов их дискретизации. "

Практическая значимость. Работа теоретическая. В ней проведено исследование ряда методов решения устойчивых и неустойчивых задач. Полученные результаты позволяют для конкретных практических задач указать пути их решения на основе целенаправленного анализа математической постановки задачи.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международных, Всесоюзных и Республиканских конференциях, симпозиумах: на Всесоюзной школе-семинарз по теории некорректных задач и ее приложениям- ( Фрунзе, 1979 г.; Самарканд, 1983 г. ) , III симпозиуме по методам решения нелинейных уравнений и задач оптимизации ( Таллин, 1984 г. ), Международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1978 г., 1986 г. ), Школе-семинаре "Условно-корректные задачи математической физики и анализа" (Красноярск, 1986 г.), Международной конференции "Некорректно поставленные задачи з естественных науках" ( Москва, 1991 г.). Результаты диссертации обсуждались на семинарах: семинаре ВЦ СО АН СССР "Метода вычислительной и прикладной математики", (г. Новосибирск),-семинаре СЭМ СО АН СССР ( г. Иркутск), семинаре Отдела вычислительной математики Вычислительного центра Иркутского филиала СО АН СССР.

Публикации. Все основные результаты диссертации опубликованы в 19 печатных работах автора.

Структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 247 страницах машинописного текста, состоит из введения, четырех глав, содержащих II параграфов и библиографии из наименований отечественных и иностранных источников.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Во введении изложено состояние исследуемой проблемы, дана краткая характеристика работ, примыкающих к томе диссертации, приведен краткий обзор основных результатов диссертации.

В первой глава анализируются различные формы представления псевдообратного оператора А+ для оператора А , действующего из гильбертова пространства Е в гильбертово пространство F , устанавливается ряд его новых свойств и изучаются его аппроксимации с оценкой погрешности.

- б -

- Часть результатов §§ I .и 2 носит вспомогательный характер; в них изучаются свойства псевдообратного оператора. В § I рассматривается случай конечномерных пространств, а в § 2 -случай гильбертовых пространств.

Пусть А,* - определитель матрицы А А + о<1 где

Ы. > 0 и I - тождественный оператор на Е , а А* -сопряженная к А матрица; Вс< ~ присоединенная^матрица для матрицы А*А + о( 1 ; m - кратность нулевого собственного значения матрицы А*А и M - 0 , если ciel A*Ai- О Теорема I.I Имеет место равенство

где

А^ 4 Г , о

<Г » „ сГ(ВХ)

г =

ы- 0 dа

т.

о¡=0

' Эта теорема , как показано в § 2, допускает естественное распространение на интегральные уравнения Фредгольма второго рода на спектре.

Одним из методов приближенного вычисления А+ является операторный способ регуляризации. Известна следующая оценка

II М*-А+Н 4 <*НА+113, (2)

где = ( A*A + с! > 0 . Из этой оценки следует , что

для достижения заданной точности £ параметр регуляризации не должен превышать величину £ И А+ И"3 • Поэтому оценка (2) становится неэффективной с вычислительной точки зрения в случае, если норма оператора Д+ велика. В связи с этим представляет интерес нижеследующее утверждение, позволяющее приближенно строить матрицу А+ с привлечением матрицы Ro( при фиксированном Ы > 0 .

Теорема 1.2. Справедливо равенство

«- ; • | , . / оСЦ

■II СА*-А+ 11= II* » (т^йп

п+1

В § 2 теорема 1.2 распространяется на случай замкнутых и нормально разрешимых операторов в гильбертовых пространствах (теорема 2.2).

Перейдем теперь к изложению' результатов, относящихся к приближенному построению псевдорешения уравнения (I) (под псевдореяением уравнения (I) понимается любой элемент 2 £ Е минимизирующий функционал 51 Лз-у И )• Это построение осу-, ществляется комбинированием методов простой итерации и усреднения. Задача построения псевдорешения уравнения (I) стандартными приемами монет быть сведена к задаче решения уравнения

' н = Ьа + 9 » 3е Ь!*(Ы) О)

с некоторым линейным оператором 1_ . При этом в зависимости от накладываемых на оператор и условий решения уравнения (3) совпадают с псевдорешением или нормальным псевдорешением Д+£ уравнения (I).

Пусть в (3) и - матрица размерности М. х т. со спектральным радиусом !_) - 1 , причем числа А - ± 1 являются ее полупростыми собственными значениям!. Рассмотрим итерационные процессы:

2ця12пН+ V I , , (4)

п

II 2К(И), 1=1,2,- ; 2к(0)=гк. (5)

к= 1

Обозначим через Ь максимальный порядок кордановых клеток матрицы 1_ , соответствующих расположенным на единичной ок-рукности ее собственным значениям, а через 2 € Iпа(Т - I.) -- единственное псевдорешение уравнения (I).

Теорема 1.6. Справедлива оценка

Нгт- 211 = О(п-ЧЛ) (ЬЕП).

П 7Т

Равенства (4) и (5) однозначно определяют операторТ^Ш:

T^Ci)^ = Za(t) i причем подпространство im.(i~L) инвариантно для оператора Trt(i) • Поэтому из теоремы 1.6 следует оценка

WH^-Z^ И, (6)

где Кп)=0() Далее, в силу того, что неравенство (6) верно для любого Q £ Lm(l- L) и кавдого а -1,2, • • • справедлива

Теорема 1.7. Имеет место оценка

•"--•■*(«») И $-2*11»

причем если а^ — ■=•••■= ■= п .то

<=. tiWllj-Z^U -

Пусть L ' tm(I-L)—Im(I-L)- индустированная на Im(I-L) матрица, порожденная матрицей L . Образуем последовательность z^i«•)= Lz^aHCj С 1=1.2»«.•) \ где

л п

0 и+1 к-и к '

a ZK определяется по (4).

Теорема 1.8. Пусть £= 1 . Тогда верна оценка

llz.(n)- z* 11 6 j>l(L)aiit)iij-z#ll •

Образуем последовательность где 20(И,е)= VOfl

Теорема 1.9. Справедлива оценка

. HZjlMW^p^lVtMllfl-Z^II .

Глава 2 посвящсна развитию ряда методов приближенного по-строенкя нормального псевдорешения линейных нормально разрешимых уравнений с возмущенными данными, главным образом, развитию методов псевдорешения и операторного способа регуляриза- ^ щга. В § 3, косящем вспомогательный характер, приводятся оп-роделзния, играющие существенную роль в построениях главы.

Оператор А назовем расщепляемым (04 ,

если интервал ( пг) не содержит точек спектра операторад^д.

Пусть йядаиы последовательности чисел { и | ти }

такие, что 0< и 1п{тн>0 .Последовательность операторов назовем С Рп.»^) — устойчивой, если существует натуральное число я0 - такое, что при п. ^ п0 оператор А п является ( -расщепляемым. В частности, (0»пга)-у-

стэйтавуп послздоЕательность операторов { А«.^ назовем псевдоуотойчивой.

Последовательность операторов { Аа ^ будем называть корректно разрешимой, если если существует последовательность чисел та> 0 такая, что ¡1 А,г2а11> 2П1| 0Ц(пп>О Оператор (А) = (А ) А* ~ ( А*А + «*1 будем на-

зывать рогуляризатором оператора А

В § 3 приводится также критерии (рп ч т,г) - расщепляемос-ти операторов в конечномерном и гильбертовом пространствах, сцепки корм регулярна',трующих операторов.

В § 4 изучается задача приближенного построения нормального псовдорешезшя нормально разрешимого

уравнения (I) посредством нормальных псевдорешеявй уравнения

где - линейный ограниченный оператор, действующий из

гильбертова пространства Еа в гильбертово пространство Га , а . Рассматриваются два случая:

а) Еп= Е и Г

б) М Е и *** *

. В случае а) предполагается, что

¡1 Ал- А 114 Сп . И 4 (Гп • (8)

Теорема 4.3. Пусть при п п0 выполняется равенство t&n,К АЛ= tank А и м = |1А+1Г1-СЛ>0 • Тогда справедлива оценка

A№iBAll-AU4C«. ^ PHAIlJ^^

где

<fc)=

i , если r/CC)=-| £ £ Е г С£ = 0 } ^ { 0 } О , если /У(С) = •{ 0 | .

Дальнейшие исследования показали, что для получения оценок близости между Д"^ и А* в общих ситуациях определяющим является введенное понятие псевдоустойчивости. В частности, это понятие позволило распространить утверждение теоремы 4.3 на случай а) ( теорема 4.5 ).

Естественным является вопрос о том, как по последовательности операторов | » удовлетворяющих условию (8), но не обладающих свойством (0, И1а') - устойчивости ( псевдоустойчивости) построить другую последовательность операторов | 8П|-аппроксимирующих исходный оператор и уме обладающую указашши свойством.

Пусть И А+Г-20п>0 . Тогда интервал (Са, ^ )

Сп ) не содержит точек спектра оператора А^А^ (теорема 3.11). Поэтому можно оперделить оператор Ра •

Р = (2дЦ)->| I ,

Ш=<Г-

2 г 2

где С^ < Оп < . Положим

А = ла-рл)- о»

Теорема 4.8. Пусть НА"4-!!"1- Qcn > О . Тогда оператор (9) является (О, -расщепляемым с OiA+H"'1-Cn. )2 и

выполняется неравенство IIВ Л ЛII4 2са •

■ Кз теорем 4.3 и 4.8 следует, что если II А^Н"^-2с(1"> 0 ,

то

бар 11(1-РХ-^^-21'А+11(1+—(10)

где И А+1Г - еа.

Оценка (10) и теорема 4.8 могут служить основой построения аппроксимирующих операторов для оператора А"'г ; при этом возшжает задача построения операторов .В ко-

нечномерном случае конструктивный метод получения оценок типа (10) на основе модифицированного. метода Гревилля дает теорема 4.12.

Пзрейдзм к задача приближенного построения нормального ысэвдорешения уравнения (I) в той общей постановке, что была сформулирована в начале, т.е. в ситуации, когда операторы А и кц действуют в различных пространствах (случай б)). Будем предполагать, что линейные операторы Фа: Е —£ц и

Г—> г., определены всюду, где того требует постановка задачи.

Положи |п(- )= М( 4>яА - А п • Ц. (Гп = И ^- И •

*пСО = н С А;АЛ- ФПА*А>И;

где ортогональный проектор на Д/(А*)={£6ё : А*£ = 0} >

О , если С I } (_ 1 , если £ С Сю Л

Так как оператор А нормально разрешим, то уравнение г имеет решение; ниже через ^ будем обозна-

чать одно из решений этого уравнения.

- 12 -

Теорема 4.9. Пусть оператор А п является {0, -расщепляемым. Тогда справедлива оценка

Пусть теперь последовательность операторов ] А и, \ явля- . ется , (Па) - устойчивой и Р^ - проектор Рдсса гга собственное подпространство оператора А£АГ1, > отвечающее лежащей в интервале СО, ] части спектра, т.е.

(2511 г4 J" M-AUnT4^

Теорема 4.10. Пусть последовательность операторов является (fa, - устойчивой. Тогда справедлива оценка

где U № ) = ia( А+0+ Мп,гЫ » А+* » •

Перейдем теперь к изложению результатов § 5. Полоши

(*!„.+А^Г1, Со<>0)

в указанном параграфе получены оценки

Sap Hz^A^M+V*)11*» » «I)

еслик4сп4« ¿к2са и -J е lm А ;

для любого ^€ Г и К}СП б с{ К2СЛ . При этом указываются значения постоянных (1=1,2) и в;, С I - 4 * 2 ) как при наличии условия II А+|-Г< - 2сЛ > 0 (в силу теоремы. 3.1 это условие обеспечивает (с^ ? СII А1 Ц'^-С^)2 ) - расщепля-емость оператора Аа ), так и при его отсутствии.

Рассмотрим теперь общий случай, т.е. когда оператора Ап и К действуют в различных пространствах. Возможность получения оценок типа (II) и (12) связана со свойством

устойчивости последовательности операторов { Ац} При,этом если последовательность | А|г | близка к А по нор:,"о, то это свойство выполняется. Если кз, например, Ал близки к А поэлементно, то свойство Срп> т^) - устойчивости может нарушаться. Естественной поэтому является

Теорема 5.2. Пусть оператор Ап являетсяф^,- рас-щешшэмым. Тогда при о( ^ справедливы оценки

+ тазе11» С£г»СА+*) + ц Ф„^ и )

И *

^ тая: {1, т^1 ^ Цц>п и + )

для любого ^ е Р 5

Рассмотрим теперь случай, когда операторы Д ^ не обладают свойством , - устойчивости. Здесь полезно следующее утверждение, дающее некоторые точные по порядку близости между г^п ( и 1,2 ) и Ф^А^ оценки.

В силу нормальной разрешимости оператора А . уравнение А*Ай •= А^ разрешимо; ниже через & будем обозна-

- 14 -

чать одно из решений этого уравнения.

Теорема б.З. Справедливы оценки

(<Г*+ ) * 11 11 >' {13)

.« ФИА+* I» ^ ЬГ^СМСЬ*)*^) 4 II ( ФИА*А -

- II ((Гц+^С А^)) + ы »1 II , (14)

И V** II * £ + *

+ + (15)

■V—,((Г„+ + 2И(Ч>ПА*А-А^Мк II це)

для любого € Г •

Анализ оценок (13) и (14) показывает, что ' их молено оптимизировать выбором параметра о{ согласованно с величиной (Га+ С ) , а именно, для этого необходимо минимизировать по о( функции

~ у/ы Ифп{)11 + )сГСА№> , ^ + * " ^" + ^ С{)'

Тогда получим, что справедлива

Георема 5.5. Имеют место оценки

если £ £ 1т. А и Ми-*- кЛп ;

- (щ- ^лЦ 1» ( k»'

9СШ ft i-mA и .

Аналогичным образом оптимизируются оценки (15) и (16); здесь необходимо минимизировать по о; функции

^ + d Ц фаКII + ^ Я СЛ iбАй) ) .

В § Б (п.5.3 ) изучается также задача приближенного построения ¡P^Ä^f для уравнения (I) (в случае, когда зто уравнение но является нормально разрешимым) посредством 3.^1, ( U-i,2 ). '

Пусть для оператора А ' Е —> F существует псевдообратный оператор и образ сопряквнного оператора А* плотен в ортогональном дополнения к ядру оператора Д , а

f е&(А*) ( сЭСД*) - область определения Д"4" ). Пусть нормы в пространствах Е , Е(1 и Г , Ffl сог-. ласованц, т.е.

Citri IIФLi wi - IIZ lip , гe <9СФП)

in-> CO c« c

fem ll^fllp -«f V U <3(4»*).

H->CO a 1t

Теорема 5.7. Пусть ц^'оо I

Тогда существует ы. = cxa -> 0 > ft -> со С <*а > 0 .) , что

tlm II z^-ip^A+f 11=0 , fe«SCA+).

И. —> ОО

' В главе 3 диссертаций изучается задача построения ((^»Ю^) -устойчивых последовательностей аппроксимирующих операторов для нормально разрешимых операторов вида А = I- К , где К - линейный ограниченный оператор и dim \<е% А < «э В § 6 этой главы изучается вопрос о том, для какого класса

операторов возможен переход от заданной последовательности аппроксимирующих операторов -устойчивым последовательностям (необходимость такого перехода обуславливается теоремами 4.9, 4.10 и 5.2). ■„ '

Пусть нормы в пространствах Еа. Е и Ё , р согласованы и для 1т А и геДКА*) выполнены условия

«¿т гп(АЪ)=0, Ьт Хли)=0.

н—> со и а-> сю

Тогда ответ на вышепоставленный вопрос дает следующая

■ Теорема 6.1. Если последовательность операторов { А,г1 яв-ляетсяС^^ м(г) -устойчивой и > 0 при И.->оо , то оператор А нормально разрешил.

В этом же параграфе изучается также вопрос о том, какие свойства аппроксимирующих операторов обеспечивают корректную разрешимость или ограниченную обратимость оператора А (теорема 6.2).

Основная идея предлагаемого метода псстроенияф-^ гя^-ус-тойчивых последовательностей аппроксимирующих операторов, который излагается в § 7, заключается в том, что с помощью операторов сноса Е —> и восполнения ^ц-4' Ь строится последовательность операторов •{ «й^'Р^А'!',^ | . Затем при естественных требованиях на операторы сноса и восполнения устанавливается, что операторы ой^ и дают одно из решений поставленной задачи. При решении конкретных задач использование операторов может оказаться неэффективным; поэтому в § 7

обсуждается также вопрос о замене этих операторов на "близкие", которые также обладают нужным свойством и которые уже можно эффективно использовать.

В качестве приложения в § 8 рассматривается задача постро-ения(£а, т^) -устойчивых и корректно разрешимых последователь- . ностей аппроксимирующие операторов для интегральных уравнений ФреДгольма второго рода. При этом на примере формул трапеции и Симпсона демонстрируется применение метода построения (щ^) -устойчивых и корректно разрешимых последовательностей аппроксимирующих, операторов для приближенного решения указанных уравнений.

В главе 4 рассматривается задача, которую для удобства

ссылок назовем Основной: пусть Е и F - линейные и нормированные пространства., R:E —> F - линейный или нелинейный оператор с областью определения cSC£)C Е . Требуется прибли-жешга вычислить элемент V0= R(X0) (ос0е JÖCR) ) в ситуации, когда вместо £С0 известны его приближения II - f и либо оператор R:Е —> F не обладает свойством непрерывности, либо ос^-£#((?)-

Семейство операторов '• Е —> F («=1»2f» ) назовем регуляризатором оператора i? относительно элемента осо€<®(й) и пары (Е » F ) , если все операторы R ц определены в некотором шаре TiÄVcfo^Icce Е : Uoc-jc0ile4<f0 } и

Eint Luf sap II Rtl(flC)-Rccco)HF = 0.

cf->0 n, 5ceTC3C0,<Tj

Основную задачу назовем ф -квазиустойчивойt если

1) существует метрическое пространство фС <2(R) , содержащее элемент Х0 и такое, что оператор R s ф —> Е непрерывен;

2) существует семейство операторов T(3C0id^) —> ф такое, что

Jim uif sup j> (Pm3t*o)=0,

здесь рф(., •) - метрика пространства Ф

Пусть Еа и Гц ( л=1>!>»••• ) - банаховы пространства и«Ра: Е—> Е^ , Фл: F —> F^ - операторы сноса.

Семейство операторов 4 Яп/Ед-»^ (и= 1»2»••• ) назовем внешним регуляризатором оператора R относительно элемента зс0€ Äi R) и пары ( Е» F) , если все операторы определены в шаре Т ( ос0 , <Г0) и

hm Uf sup 1ииФ„£С-ф„ RCac0) IU = 0. ri->oo п. зсеТС2С0,сГ)

В § 9 устанавливаются критерии регуляризируемости (внешней регуляризируемости ) Основной задачи (теоремы 9.1-9.4).

При этом обнаруживается, что если оператор R обратим, то свойства регуляризируемости и Ф -квазиустойчивостк Основной задачи эквивалентны. Вместе с тем, с методической точки зрения свойство Ф -квазиустойчивости имеет ряд преимуществ.

Во-первых, как это следует из определения, реализующие это свойство пространство ф и оператора Рт связаны лишь с самыми общими свойствами оператора ß и поэтому конкретные пространство Ф и операторы Р^ могут обеспечить свойство ф -квазиустойчивости широкого класса задач. Во-вторых свойство Ф -квазиустойчивости Основной задачи монет естественным образом обеспечить и ее внешнюю рэгуляризируемость, что важно в ситуациях, когда последнее свойство непосредственно нэ устанавливается.

Приведенное понятие внешнего регуляризатора предполагает, что область определения <3( Фя) оператора Фа содержит шар Т(2С0 ,<Г0) при некотором > 0 . Последнее может нэ

выполняться'для выбранных операторов . Произвольная т

замена операторов на другие, удовлетворяющие нужным

требованиям операторы, вообще говоря, приводит, и к другим операторам R а , что далеко не всегда является оправданным. Если же Основная задача является Ф -квазиустойчивой к выполнено включение фПТСЗСо^с^СЛ.СФц.) (последнее требование в силу того, что фС F , менее ограничительно, чем условие ТС Х0, ^Х^СФц) ; при решении практических задач оно обычно удовлетворяется), то можно не изменяя операторы с построить новые операторы сноса , в совокупности с ко-

торыми семейство операторов &п образует внешний регуляри-затор. А именно, справедлива

Теорема 9.8. Пусть для ф - квазиустойчивой Основной задачи выполнено включение фПТ(0Coido") с <SC Фц.) , > 0 , и RC3C0)C . Пусть семейство операторов ^ R^j удовле-

творяет условию

Elm Inf sap и есяо>Цр=0, f n0 » -j.

«Г->0 HHo асс<рфся,гсвн«Г a * ' ■

Тогда существует функция W = т(к) такая, что семейство |.ßn} образует внешний рэгуляризатор оператора R отно-

сительно 0Со£ ФПсйС R ) и пары ( Е» F) с операторами сноса Фп. и «р; = фч о 9тш

В § 10 рассматривается задача построения фигурирующих в условии 2) определения ф -квазиустойчивости Основной задачи операторов Рт в предположении, что пространство ф уже каким-либо образом выбрано. Такие построения осуществляются для случаев, когда ф является сепарабельным гильбертовым пространством, банаховым пространством с базисом Шаудера или сепарабельным банаховым пространством. В этих случаях возможно построение конечномерных операторов Рт . Приведен также и ряд примеров, иллюстрирующих, какая именно информация об Основной задаче может быть использована для построения пространства ф и операторов Рт . Кроме того, установлены критерии ф -квазиустойчивости Основной задачи (теоремы 10.13-10.15) и для ряда пространств предложен подход в задаче о регуляризации слабосходящихся последовательностей.

В § II, носящем характер приложений, рассматриваются интегральные уравнения Вольтерра. Для этих уравнений устанавливается устойчивость их дискретных аналогов в различных пространствах и внешняя регуляризируемость. При этом проверка внешней регуляризируемости основывается на отличных от теоремы 9.8 утверждениях; сформулируем их. Пусть для Ф -квазиустойчивой Основной задачи выполнено включение ФЛТ(5С0>с^)СоЭС(Р,г))

сГ0 > 0 , и Rioc^c^e/Vt) . Пусть семейство операторов удовлетворяет условию

?lm II Л = 0. (18)

п -> со ""¡г

Тогда имеет место равенство

llm Lai sap Н^Р^ОС-Ф^ССС,)!! =0,

сГ-> 0 VI 3C£T(OC0,rf) п

только если

lim ifti Sup II RrlipnPm(n)ix:-4'riR(iCo)llc=0.

<Г-> 0 a зеется;0,i) *

При этом устанавливается оценка

Uf Sap НЯД.Р ...ОС-ф RC3C ) II n X€T(sc0,(f) 11 ,П(<Г) л 0 Hi

ЛЬ I С Л-лчО j

В случае, когда й : Е —> Р ~ обратный оператор к линейному оператору Д • р —> Е • а Я«.! > Ра - обратные для линейных операторов А^: > Е Л . условие (18) эквивалентно существованию пространств ф^С Е ^ таких, что

а) HA'JlU .4 М= const <+со,

б) Elm. Ц(ФаА- АЛф.)А"4х0Нф =0.

п.-> со

га

Поэтому в указанном случае оценка (19) примет вид

Uf sup » ^Ч^п*" ^

^М1а|(и(АЛ-ФЛА)А^Иф+ Sap И Р Я-Я0)|| ).

п , n п и. осетсзс0,(Г) mt0J ч*

I .

Эта оценка в определенном смысле обобщает известную в теории приближенных методов теорему сходимости, утверждающую, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость порядка аппроксимации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1) Получены различные формы представления псевдообратного оператора и изучены его аппроксимации с оценкой погрешности посредством рядя методов решения некорректных задач.

2) Установлены общие теоремы сходимости нормальных псевдорешений возмущенных уравнений и тихоновских приближений

к нормальному псевдорешению точных уравнений с оценками полной погрешности приближения, имеющими неулучшаемый порядок (в частности, совпадающими с точностью исходных данных), а также предложены способы построения новых исходных данных, обеспечивающих возможность получения таких оценок.

3) Изучены свойства неустойчивых задач, обеспечивающие возможность сведения таких задач к устойчивым; проведено обоснование методов дискретизации.

л •

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Джумаев С. Конечно-разностный метод построения нормального решения некоторых некорректных задач.-ДАН Тада. ССР, 1975.

- Т. 18 , Я 8.- С. 3 - 5.

2. Джумаев С. Теоремы сходимости для неоднозначно разрешимых задач. - Препринт й 38 семинара "Методы вычислительной и прикладной математики".- Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977.

- 13 с.

3. Джумаев С. Аналог теоремы Лакса для неоднозначно разрешимых задач.- ДАН Тадж. ССР, 1977.- Т. 20, Л 7.- С. 3 - 7.

4. Джумаев С. Единственность нормального псевдорешения операторных уравнений и теоремы сходимости.- В сб.: "Вычислительные методы линейной алгебры" ( Вып. 3 ).- Новосибирск: ВЦ СО АН СССР', 1978.- С. 90 - 101.

5. Джумаев С. Теоремы сходимости для уравнений с необратимыми операторами.- ДАН Тадж. ССР, 1978.- Т. 21, & 12.- С. 3 - 7.

6. Джумаев С. Непрерывная зависимость псевдообратного оператора относительно малых возмущений. - ДАН Тадж. ССР, 1978.- Т. 21, & 9.- С. 3 - 5.

7. Джумаев С., Мухамадиев Э. Наилучшее приближенное решение операторных уравнений и теоремы сходимости. - ДАН Тадж. ССР, 1977.- Т. 20, )% I.- С. 3 - 7.

8. Джумаев С..Мухамадиев Э. О некоторых свойствах псевдообратного оператора. - ДАН Тадж. ССР, 1980.- Т. 23, й I'.- С. 3 - 5.

9. Джумаев С. Приближенный способ построения нармального псевдорешения систем линейных алгебраических уравнений.- ДАН 'Тадж. ССР, 1981.- Т. 24, J5 8.- C. -3 - 5.

10. Джумаев С. 0 приближенном вычислении псевдорешения. - ДАН Тадж. ССР, 1982.- Т. 25, й 10.- С. 584 - 587.

11. Джумаев С., Мухамадиев Э. Об одной модификации метода простой итерации решения систем линейных уравнений - ДАН Тадж. ССР, 1983.- Т. 26, Л 3.- С. 134 - 137.

12. Джумаев С. О двух способах решения линейных уравнений с 'приближенными данными.- ДАН Тадж. ССР, 1985.- Т. 28, № I.- С. 484 - 487.

13. Джумаев С..Мухамадиев Э. О сходимости метода регуляризации А.Н.Тихонова для решения задач с приближенными данными.-

- ДАН Тадж. ССР, 1984.- Т. 27, № 9.- С. 6 - 7.

14. Джумаев С. Приближенный метод решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода. - В сб. : "Вариационные методы в задачах численного анализа" (под ред. В.В.Пененко). ~

- Новосибирск: ВЦ СО АН ССОР, 1983.- С, 36 - 41.

15. Джумаев С. Методы решения линейных уравнений с возмущенными данными. - В сб.: "Численные методы анализа и их приложения". - Иркутск: СЗИ СО АН СССР , 1987.- С. 127 - 141.

16. Джумаев С. К вопросу о дискретизации одного класса линейных уравнений. - ДАН СССР, 1987.- Т. 302, J6 4.- О. 789 -

- 792.

17. Джумаев С. О сходимости метода регуляризации. - В сб.: "Условно - корректные задачи математической физики и анализа" ( под ред. М.М.Лаврентьева ). - Красноярск: Изд - во Красноярского ун - та, 1988.- С. 82 - 87.

18. Джумаев С., Мухамадиев Э. Об одном приближенном методе решения неустойчивых задач. - В кн.: "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" ( Тез. докл. междун. конф., Москва, август 1991 г. ). - М.: Изд - во ИПМ юл. М.В,Келдыша АН СССР. - С. 125.

19 . J)zhwmaeir S , MwK/iamadieir ô . On the Quesiion c£ B&QnCa-rizaiion cf cpera-ior EQuaiions Bussian . Sci.

J)cÂI. Maih, Vc£. 45. No.3. P. $56- 55 S. 1992. ,

Подписано в печать 10.XI,93 формат 60x3^ I/I6

Печать офсетная Усл.п.л. 1,3 Уч.-изд.л. 1,2

Заказ 1» 647 Тираж ICO экз. Бесплатно

Участок оперативной полиграфии НГУ:630090,Новосибирск,90 ул. Пирогоза, 2.