Некоторые задачи устойчивости по действующей силе в критических случаях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

РГб ОД

« q-uu imiuiruMiiier* ïAxUsusnts 3 1 №

<ииШ1РЭПЬи31ГЬ ШШЧЫ. iUmUï^iï»

eus иэапч. пьс№ ъпзпгьпмэ-бцъ ш» -шгы*

Iu'bO-bP'btrP ii№S№C№rirb Ч-ЬадЬРПМХ

U.02.01 — SbumljmQ ûhjumûlilim duiuQmq[iinni pjuuip" ¡}>|iqjiliui-lîuipbiluiinliliuiljuiû q]imrupjniGGtip{i pbliGuidm{i qfunuiljuiû uium}i6uiG|i huijgiSuiû uimhQuilunimipjuiQ

иьяитшФР

b-Pb-JUTb - 1998 ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ H АН РЕСПУБЛИКИ АРМЕНИИ

АМБАРЦУМЯН САМВЕЛ РАЗМИКОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ДЕЙСТВУЮЩЕЙ СИЛЕ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности — 11.02.01 — Теоретическая механика

ЕРЕВАН - 1998

ШпЬОифдпитедшй рШшв Ьшитшт^Ь^ 1" Ьришй]! ^ЬтшЦшО иЭДииШ^иу}! фшЦтрпЬттй: О-^тш^иШ пЬ^шЦшр1 ф^-гёшр. с^т. дп^шпр,

ицшфЬипр и.и.0-иРР№иЗЦЪ, п1ш2тпСш1|шО рОод^йш^иСЬр" шЬ^ий. фш. дп^ишр,

ицшфЬипр Щ.иТМиМГЗ(ГЬ, ЭДщ-йшр. фиг. рЫ|Ош&т, ицшфЬипр и.^1.РЫЛЬР№6Цгг Цпш§шщшр ЦищйшЦЬририрзтй' ЬрЬшй^ ■6шртшршщЬшш2Ь0шрш-

рш1|шС Миифишип ЦтЪ0ш1ш1ишр.)шС щи^тщшОтр^Ор 1|1]цу1и0ш иЬирпЬйрЬр)! 25-}1р. дип1р 16°°-[1Ц. 047 йшийшфшш^шС кгарЬрц^ й^иити!: <шидЪ' р. ЬркшС, 1Гшр2Ш1Ршщ1ш^шй ирщ. 24р:

ЦтЬаш1шшп1р.|шй ЬЬш ¿шрЬ^ Ь дшОприШш[« 0-Ш1 ЦЪ1ишО}г11Ш]1г {Шиифишшф цршцшршОгшЗ:

иЬ1ц5ш^11ро шпшрфий I; Д0.0<8.98р. ЦшиСшфшш1риЦ ЬтрЬро11 фшш1{шО ршритщшр, тЬ]иВ1г11ш11шС Ч^ттрзтООЬр!1 ЦпЦишр. ицшфЬипр Ч^^/^^^У ХЫПфрш^пирий

Тема диссертации утверждена на факультете механики Ереванского Государственного Университета. Научный руководитель: доктор физ-мат. наук,

профессор М.С. ГАБРИЕЛЯН Официальные оппоненты: доктор техн. наук,

профессор Л.А. МОВСИСЯН кандидат физ-мат. наук, профессор М.В. БЕЛУБЕКЯН Ведущая организация: Ереванский Архитектурно-строи-

тельный Институт Защита диссертации состоится 25 сентября в 16°" ч., на заседании специализированного Совета 047 по адресу: г. Ереван, пр. Маршала Баграмяна 246.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Механики НАН Армении. Автореферат разослан^ ,о&.98г.

Ученый секретарь специализированного Совета, технического наук, профессор / • Р.М. КИРАКОСЯН

та, доктор РиЛ1ПСи с, профессор / • р.м.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория устойчивости движения широко применяется в механике, физике, астрономии, химии и т.п. Задачей устойчивости движения занимались многие виднейшие математики и механики.

Задача об устойчивости движения впервые во всей ее общности была поставлена A.M. Ляпуновым. Ляпунов же дал строгое определение устойчивости движения. Определение А.М. Ляпунова оказалось настолько удачным, что оно принято как основное. После А.М. Ляпунова теория устойчивости движения развивалась по различным направлениям. Углублялись методы и уточнялись результаты А.М. Ляпунова, расширялся круг понятий, введенных A.M. Ляпуновым в теорию устойчивости движения, в частности, усилия многих ученых были направлены на определение условий устойчивости при больших начальных и постоянно действующих возмущениях, а также на конечном промежутке времени и при случайных воздействиях.

Затем появились работы Н.Г.Четаева, И.Г. Малкина, Е.А. Барбашина, М.Г. Крейна, H.H. Красовского, К.Л. Персидского, Н.П. Еругина, В.В. Румянцева, Г.В. Каменкова, К.А. Абгаряна, A.A. Лебедева, В.И. Зубова, Д.Р. Меркина, Б.М. Матросова, Х.Л. Массера и др.

Вопросы устойчивости движения упругих систем глубоко и всесторонне изучались многими исследователями. Существенный вклад в этой области внесен армянской школой механиков: работы С.А. Амбарцумяна, Л.А. Мовсисяна, Г.Е. Багдасаряна, В.Ц. Гнуни, М.В. Белубекяна, А.Г. Багдоева, Б.А. Костандяна и др.

В работах М.С. Габриеляна, С.Г. Шагиняна поставлены и решены задачи устойчивости динамических систем при интегрально-малых возмущениях. Дано новое определение устойчивости — устойчивость по действующей силе. Для линейных систем с постоянными коэффициентами найдены необходимые и достаточные условия устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости по действующей силе. Построены функции Ляпунова, обеспечивающие устойчивость, неустойчивость и асимптотическая устойчивость по действующей силе линейных систем. Для нелинейных динамических систем указаны достаточные условия, при которых устойчивые по Ляпунову системы остаются устойчивыми по действующей силе. Найдены

также достаточные условия, при которых устойчивые по Ляпунову системы неустойчивы по действующей силе.

Известно, что все случаи, которые могут представиться при решении задачи устойчивости, когда уравнения возмущенного движения имеют вид

можно подразделить на две категории: на случаи некритические, когда задача решается уравнениями первого приближения, и случаи критические, когда требуется рассмотрение членов более высоких порядков.

С математической точки зрения критические случаи можно рассматривать как исключительные. Однако с точки зрения механической эти случаи имеют очень важное значение. Следовательно, очень важно иметь методы, позволяющие решать задачу устойчивости в критических случаях.

В настоящей работе рассмотрены задачи устойчивости по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений, асимптотически устойчивых по Ляпунову и систем нелинейных дифференциальных уравнений в критических случаях при к нулевых корнях, а также задачи устойчивости движения ракеты.

Целью работы является определение достаточных условий в критических случаях, при которых тривиальное решение таких систем нелинейных дифференциальных уравнений будет устойчивым, неустойчивым или асимптотически устойчивым по действующей силе. А также определение достаточных условий (при возможности и необходимых условий), при которых движение ракеты будет устойчивым или неустойчивым по действующей силе.

Метод исследования. Использованы методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения. Задача устойчивости или неустойчивости решаются первым и вторым методом Ляпунова, а также использованием полученных результатов теории устойчивости по действующей силе.

Научная новизна. В диссертационной работе определены достаточные условия, при которых тривиальное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений, асимптотически устойчивых по Ляпунову, будет неустойчивым по действующей силе. При этом возмущающие силы, определенные на конечном

отрезке времени выбираются из класса функций, суммируемых по Лебегу.

Для систем нелинейных дифференциальных уравнений в критических случаях получены достаточные условия, при которых тривиальное решение таких систем будет устойчивым, неустойчивым или асимптотически устойчивым по действующей силе.

Определены необходимые и достаточные условия, при которых движение ракеты в линейном приближении будет устойчивым или неустойчивым по действующей силе. Получены также достаточные условия, при которых движение ракеты в нелинейной постановке, когда рассматриваются члены до третьего порядка, будет устойчивым по действующей силе.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач в области небесной механики, динамики твердого тела и других разделах теоретической и прикладной механики.

Обоснованность и достоверность. Поставленные задачи математически решены точно. Приведены конкретные примеры, утверждающие достоверность полученных результатов.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

а) на семинарах кафедры теоретической механики Ереванского государственного университета, Ереван — 1994-1998 г. г.;

б) на республиканской конференции "Современные вопросы оптимального управления и устойчивости систем", Ереван — 2830 октября 1997 г.

в) на общем семинаре в Институте Механики HAH Армении, Ереван — 1998г.

г) на семинаре кафедры механики сплошной среды Ереванского государственного университета, Ереван — 1998 г.

Структура и объем работы. Настоящая диссертационная работа содержит 107 стр., включая введение, три главы, основные выводы и библиографический список, содержащий 35 наименований цитируемой литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введение дан краткий обзор работ, относящихся к проблемам устойчивости систем по Ляпунову и вопросам устойчивости по действующей силе.

В настоящей диссертационной работе рассматриваются вопросы устойчивости по действующей силе в критических случаях.

Пусть имеем систему нелинейных дифференциальных уравнений

*/ »•■•>*„) (¿ = 1,■-,«),

(1)

где ^.(х,,---,^):^" Я1 —непрерывные функции, удовлетворяющие всем условиям существования и единственности решения системы (1) в области |л||<оо, ^(о,■••,())= 0 (¡ = 1,•■•,«).

Пусть на систему (1) действуют возмущающие силы ср,(0 удовлетворяющие соотношениям

а)

/

|ф (/)А

± №)*

<оо;

(2)

б) ф,(0=° ПРИ / = (Г > /0 — заданная величина).

Дифференциальные уравнения системы (1) при наличии возмущающих сил имеют вид

х, =^(лр-,*в) + 91(0 0' = 1.-.и) (3)

В дальнейшем используются известные определения устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости по действующей силе:

Определение 1. Решение х -0 системы (1) называется устойчивым по действующей силе, если для любого е > 0 существует 5>0 такое, что для любого решения х(() системы (3)

т

< £ при г>Т, если р(/0): < 8,

< 5 для любого

возмущения (р(г), удовлетворяющая условиям (2).

Определение 2. Решение х-0 системы (1) называется асимптотически устойчивым по действующей силе, если оно устойчиво по действующей силе и

lim l*(0' = 0.

о 11

Определение 3. Решение x = 0 системы (1) называется неустойчивым по действующей силе, если для некоторых б > 0 , t0, Т, и любого числа 5 > 0 существуют: сила cp(f), удовлетворяющая условиям (2), решение x(t) системы (3) и момент времени

>Т такие, что Ь:(/0) < о,

|ф(/У/| < 8 , но \x(t] )| > е.

В первой главе проводится исследование неустойчивости по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений (1), асимптотически устойчивых по Ляпунову.

В первом параграфе первой главы поставлена следующая задача;

Задача 1. Определить достаточные условия, при которых тривиальное решение системы нелинейных дифференциальных уравнений (1), асимптотически устойчивых по Ляпунову, будет неустойчивым по действующей силе.

Во втором параграфе этой главы доказаны следующие теоремы о неустойчивости по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений (1), асимптотически устойчивых по Ляпунову:

Теорема 1. Если решение х = 0 системы (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову только в области < И {к < со), а при > И выполнено условие

с1У(х)

dt

>0, при \A>h, (4)

со

то решение х = 0 системы (1) неустойчиво по действующей силе. Теорема 2. Если в области ||х||<й для системы (1)

существует определенно-положительная функция У(х), полная производная которой в силу системы (1) определенно-отрицатель-

II I1 7

на, и в области Щ>п система допускает вдоль некоторой координаты только строго монотонно возрастающее неограниченное

решение, то тривиальное решение х = 0 системы (1) неустойчиво по действующей силе.

Во второй главе рассматривается задача устойчивости по действующей силе систем нелинейных дифференциальных уравнений (1) в критических случаях, когда характеристическое уравнение соответствующего линейного приближения системы может иметь несколько нулевых корней.

В первом параграфе дана постановка задачи устойчивости по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений (1) в критических случаях при к нулевых корнях.

Рассмотрена система нелинейных дифференциальных уравнений (1), при предположении, что функции /^(д;,,—,х„) —

аналитические в ||х||<со.

Предположено также, что корни характеристического уравнения системы линейного приближения (1) удовлетворяют следующим условиям:

^,=0, ЯеА^сО (/ = 1, —,А;/ = А + 1, — ,и), (5)

причем нулевым корням соответствуют простые элементарные делители.

Известно также, что при условии (5) с помощью неособого линейного преобразования систему (1) можно привести к виду:

(х, = Х,(х1,...,х„) (1 = 1,-,*),

+- + а,„х„+Х.(х,,...,х„) (/ = к +1, — ,и),

где компоненты вектор-функции Х(хр.. ,,хп) содержат члены не ниже второго порядка переменных х,,...,хп.

Затем доказываются ряд теорем, в которых указываются различные достаточные условия, при которых тривиальное решение системы (6) будет устойчивым, неустойчивым или асимптотически устойчивым по действующей силе.

Во втором параграфе исследуется задача при одном нулевом корне, т.е. п—к = 1. В этом случае система (6) примет следующий вид:

причем

где g0,g¡ ••• — постоянные, а т>2.

Показано, что если степень первого члена разложения правой части уравнения (7) четное число, или нечетное число с положительным коэффициентом, то тривиальное решение этого уравнения неустойчиво по действующей силе.

Затем доказаны следующие теоремы:

Теорема 3. Если разложение функции Х(х), входящей в уравнение (7), содержит только нечетные степени переменной х с неположительными коэффициентами, хотя бы один из которых отличен от нуля, то тривиальное решение уравнения (7) асимптотически устойчиво по действующей силе.

Теорема 4. Если разложение функции Х{х), входящей в уравнение (7), содержит только нечетные степени переменной х, причем коэффициент первого члена разложения отрицателен, а остальные — неотрицательны, хотя бы один из которых отличен от нуля, то тривиальное решение уравнения (7) неустойчиво по действующей силе.

В общем случае при одном нулевом корне система (6) примет вид:

(/ = 2,-,и).

(9)

В этом случае доказаны следующие теоремы: Теорема 5. Если система (9) имеет вид

Г*, =£„*;"+г, ДТГ' + :„),

1А =а,2х2+- + а1ях„+Х,{х1,-,х„) (/ = 2,-,и),

а уравнение

асимптотически устойчиво в целом и

п

отрицательная знакопостоянная функция при < оо, то

тривиальное решение системы (9) асимптотически устойчиво по действующей силе.

Теорема 6. Если правые части системы (9) удовлетворяют условиям

1=2 ./=2

/ \ " (где /,(/ = 1,•■•«)— постоянные и ^0) и для системы

№

х, =а12х2 +-- + а,„хи +Х,(х1г...,х„) (/ = 2 ,--,п) (10)

существует определенно-положительная функция

/ \ 1 " " У2(х2,---,хп) = XX^х>Х] • Удовлетворяющая условию

2 ,=2 7=2

lim v2(x2,-,x„)=co,

И ,,-1-»ю

производная которой в силу системы (10), равномерно по л,, удовлетворяет условиям:

а) V2 < 0 вне К ,

б) V2=0 на К,

где К — многообразие точек, не содержащее целых полуграекторий системы (10) при T<t< со, то тривиальное решение системы (9) устойчиво по действующей силе.

Теорема 7. Если правая часть первого уравнения системы (9) не зависит от переменной л, , которая является определенно-положительной функцией по переменным хг,---,хп, а для системы (10) существует определенно-положительная

/ \ 1 " " квадратичная форма V2 (х2, • ■ •, х, J = - b:j xi xj такая, что

2 /=2 7=2

ХИ^Д/ ~ положительная знакопостоянная функция, зави-

Ы2 7=2

сящая от х], ■ ■ •, хп; и область И (9) = 0 — есть многообразие точек, не содержащая целых полутраекторий при Т < ? < оо, то

тривиальное решение системы (9) неустойчиво по действующей силе.

В третьем параграфе задача устойчивости исследована при одном нулевом корне в особенном случае. В этом случае система (9) примет вид:

х = О

1 ' (1 1)

х, = а,2х2 +--- + а<пхп+Х1(х1,---,х„) (/ = 2,--,п),

Для рассматриваемого случая доказаны следующие теоремы: Теорема 8. Если для системы (11) существует определенно/ \ 1 " " положительная квадратичная форма У2 (х2,■■ -,хг1)= XXх,х)

2 ыг 1=1

такая, что

я и

1=2 1=2

является знакопостоянной отрицательной функцией, равномерно

по с, при |[хЦи ( ^^Х!^2^ < со, то тривиальное решение системы

(11) устойчиво по действующей силе. Теорема 9. Если для системы

= о12хг+ — + а1яхп^Х1{с,хг,--,хп) (/ = 2,—,п)

существует определенно-положительная функция У](х2,---,хп), производная которой в силу этой системы

а) К,<0, при ¡х| <к (0 </з< со),

б) > 0, при ||л|| > Ъ ,

равномерно по с, то тривиальное решение системы (11) неустойчиво по действующей силе.

В четвертом параграфе сначала задача исследована при двух нулевых корнях, т.е. п-к- 2. В этом случае предполагая, что правая часть первого уравнения системы тождественно равна нулю, система приводится к следующему виду:

х2 — Х2(х{,х2)

После интегрирования первого уравнения, получим С, X2 .Л^ (С,

причем

где коэффициенты (с)> ¿п (с)>' • • ~ зависят от постоянной

интегрирования с , а т > О.

В этом случае вопрос устойчивости по действующей силе рассматриваемой системы получаются следующий результат:

I. если т — четное число (т = 21) , то тривиальное решение системы (12) неустойчиво по действующей силе.

II. Пусть т — нечетное число (т = 21 +1). В этом случае

g0(c) представляется в виде

где ¿„^р--- — постоянные, а р>0.

Рассматриваются следующие случаи:

а) если р— нечетное число (р = 2/ + 1), то тривиальное решение системы (12) будет неустойчивым по действующей силе.

б) если р — четное число (р = 2г), то в этом случае:

1) при > 0 тривиальное решение системы (12) будет неустойчивым по действующей силе.

2) при ¿0 <0 тривиальное решение уравнения (13) асимптотически устойчиво по Ляпунову. А если тривиальное решение нелинейной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову, то оно может быть как устойчивым, так и неустойчивым по действующей силе. Очевидно, что если тривиальное решение уравнения (13) асимптотически устойчиво в целом, то оно будет асимптотически устойчивым по действующей силе. Но когда тривиальное решение уравнения (13)

асимптотически устойчиво только в некоторой области |х| < к

(к < со), то согласно теоремам 1 и 2 оно может быть неустойчивым по действующей силе,.

Доказаны следующие теоремы:

Теорема 10. Если при всех с правая часть уравнения (13) содержит только нечетные степени переменной хг с неположительными коэффициентами, хотя бы один из которых отличен от нуля, то тривиальное решение системы (12) устойчиво по действующей силе.

Теорема 11. Если при всех с правая часть уравнения (13) содержит только нечетные степени переменной х2, причем коэффициент первого члена которого отрицателен, а остальные — неотрицательны, хотя бы один из которых отличен от нуля, то тривиальное решение системы (12) неустойчиво по действующей силе.

Затем рассмотрен случай п = к > 2 .

При этом предполагается, что правые части первых / уравнений (1 < I < к) системы тождественно равны нулю. Тогда система дифференциальных уравнений (6) примет следующий вид:

i,=0 (/ = 1,-,/),

(14)

Xj =Xj(xl,...,xk) (j = l + \,---,k).

После интегрирования первых I уравнений системы (14), получим

х. = с,. (/ = 1,...,/) Xj (J = l + \,--,k) (15)

Очевидно, что система (15) допускает независимые первые интегралы вида

к

^dy Xj =с, -const (i = \,---,l\\<l <&),

где D = {dij)-lxk — постоянная матрица (rangD = /).

Предполагается, что в области |jx|t < h (h > О) тривиальное

решение системы (15) асимптотически устойчиво по Ляпунову. В этом случае:

а) при h~ со и функция V}(xul,---,xk) удовлетворяет также условию

lim Vx , • • ■, xt) = oo,

W k-i->™

то тривиальное решение системы (14) будет устойчивым по действующей силе.

б) При h < оо доказана следующая теорема: Теорема 12. Если система (6) имеет вид (14) и для системы (15) существует определенно-положительная функция Vx(xM,---,xk) , производная которой в силу этой системы

а) F1(x/+1,---,x<)<0, при |{х||k_,<h (0<h<co),

б) Vx (хм • х,) > 0, при |x|u ; > h ,

равномерно по с,(/= 1,■■•,/), то тривиальное решение системы (14) неустойчиво по действующей силе.

Затем снова рассмотрена система (6). Предполагается, что правые части первых / уравнений (1 <1 <к) тождественно равны нулю. В этом случае система (6) будет:

х,=0 (i=l,-,0

'Хг=Х,{х„-,хя) (л = / +1,•••,£) (16)

Xj=ajk+]xk+l+--- + aJ„xn+Xj(x[,---,xn) (j = к + ■■ ,п).

Доказано следующее утверждение:

Теорема 13. Если система (6) имеет вид (16), а функции система

=X,(cl,~-,cl,xl+l,---,xt,0,~-,0) (s = / + 1,■••,£)

асимптотически устойчива в целом, равномерно по с, (/=1,•••,/), и

* dVl(xM'-'xk)v ( Vi А , у ( \

^X ]---------Xs ^,■ • •,С/,хмДi btJxtXj^,■ ■ •,с,,хм ,-,х„)

является знакопостоянной отрицательной функцией, равномерно по с(. (г = 1,••■,/) , то тривиальное решение системы (6) устойчиво по действующей силе.

В пятом параграфе приведены конкретные примеры, относящиеся к доказанным теоремам.

В третьей главе рассматривается задача устойчивости по действующей силе движения ракеты.

В первом параграфе сформулирована задача устойчивости по действующей силе движения ракеты.

Во втором, параграфе исследуется устойчивость по действующей силе движения ракеты в линейном приближении.

Сначала рассмотрено линейное приближение возмущенного движения. После некоторых обозначений система дифференциальных уравнений возмущенного движения ракеты приводится к виду:

л, — Рп ■ хх +• Ри •х3,

х2 — Р12 •х2 + Р2г -х2 + Р24 "Х4,

у — у л3 4 '

— Р42 • х2 + Р43 • х3 + Р44 ■ х4,

х5 — Р55 • х5 + Р56 • х6 + Р5Й ■ х8 + Р59 ■ хд,

X = Р -г

7 "* 77 л7 '

Хд — Рд5 ■ х5 4- /*д8 ■ хг + Р{)<) • Хд ,

(18)

Рассматриваемое движение ракеты описывается системой, которая распадается на две независимые системы (17) и (18). Тривиальное решение систем (17), (18) устойчиво по действующей силе при следующих случаях: 1)

Рп < 0; Р22+Р44 <0; ~{Р21 4-Р44)(Р22Р44 -/>24/>42 ~Р43)-{Р22Р„-РпРп)> 0; р р - р р > о-

22 43 23 42 ^ ">

И

/>„ <0; Р55 + Р99 <0; -{Р»+Р»){РпР»-Р*Р.«

^55^98 ~~ РцРк > 2)

Ри <0; Р22 +РА4 <0; -(Ри + Р44)(Р22Р4А-РМРА2 -Р43)-(Р22Р43 0;

^22^43 ~ Р23Р42 >

и ^77 Р55-^98 ~ ^58^95 = + Р» < 0; ~ Р59Р95 ~ > 0;

^56^95 = Аб^98 =

3) Ри< 0; Р22Рп - Р21Р42 = 0; Р22 + Р44 < 0; Р22Р44 - Р24Р42 - Р4, > 0,

и РП < ^55+^99 <0; ^55^98 ~ ^58^95 >

4) Ри < 0; Р22РП - Р2ЪРП = 0; Р21 + Р44 < 0; Р22РА, - Р2АР42 - Р43 > О, Р77 <0; Р;5Рде - Р5ВР95 =0; Рц + Рд9 < 0; Р55Рд9 ~ Р<ЛР)5 ~ > 0;

р р _л. р р -л-

56 95 56 98

А при всех остальных случаях тривиальное решение системы (17), (18) неустойчиво по действующей силе.

В третьем параграфе исследуется задача устойчивости по действующей силе движения ракеты в нелинейной постановке. Для этого рассмотрена нелинейная система движения ракеты. Получены достаточные условия, при которых движение ракеты в нелинейной постановке, когда рассматриваются члены до третьего порядка, будет устойчивым по действующей силе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе проводится исследование неустойчивости по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений, асимптотически устойчивых по Ляпунову. Рассматривается задача устойчивости по действующей силе систем нелинейных дифференциальных уравнений в критических случаях, когда характеристическое уравнение

соответствующего линейного приближения системы имеет к нулевые корни. Рассматривается задача устойчивости по действующей силе движения ракеты.

Основные результаты диссертации заключается в следующем:

1. Доказаны теоремы о неустойчивости по действующей силе системы нелинейных дифференциальных уравнений, асимптотически устойчивых по Ляпунову.

2. Сначала задача исследована при одном нулевом корне в частном случае. Показано, что если степень первого члена разложения правой части уравнения четное число, или нечетное число с положительным коэффициентом, то тривиальное решение этого уравнения неустойчиво по действующей силе.

Затем доказаны теоремы, где при помощи построения функции Ляпунова, показано, что зависимо от степени и знаков коэффициентов членов разложения правой части уравнения рассматриваемой системы, тривиальное решение этой системы будет асимптотически устойчивым или неустойчивым по действующей силе.

3. При одном нулевом корне получены достаточные условия, при которых тривиальное решение рассматриваемой системы в особенном случае устойчиво, неустойчиво или асимптотически устойчиво по действующей силе.

4. При двух нулевых корнях доказаны теоремы, где показано, что зависимо от степени и знаков коэффициентов членов разложения правой части уравнения рассматриваемой системы тривиальное решение этой системы будет устойчивым или неустойчивым по действующей силе.

5. При к нулевых корнях получены достаточные условия для устойчивости или неустойчивости по действующей силе тривиального решения рассматриваемой системы. Приведены конкретные примеры, относящиеся к доказанным теоремам.

6. Определены необходимые и достаточные условия, при которых движение ракеты, в линейном приближении, будет устойчивым или неустойчивым по действующей силе. В одном подклассе движений получены достаточные условия, при которых движение ракеты в нелинейной постановке будет устойчивым по действующей силе.

И1ГФП ФПМГ

Um b G ш jimum pj m GmiS гфтшрЦфиЬ Uû pum Ljuiupiiûmlli инфгёгцтп-intîl} IjuijniG qliûuu!liliuil[iull huiiSuiljuipqhpli purn uiqrpni nidji mQliuijniûnip-juili JuGnJipp li mjr[u|}iuli hmiïvuljiupqhpli purn uiqrçnq ni(J}i IjuijniGnipjuiû JuQqJipûhpp qpnjiuL[iuû uiptfuimQbpnil ljp|iin[il]iulpuû qbiqpbpniii, littjiqhu ûiub lippjmji ¿tupcMiuQ purn ищцпц nidji IjuijniGnipjuJG IpuiS uiGliiujniGnip-juiû [ийгфрОЬрр :

^bmuiqnmi[ui& LG purn L.juiiqntûnil]i uiufuîiqmnmfilj IjuijtuG qjiûmtfjiljiu-l[Uiû huii5uilpupqbp[i purn uiqipiq md{i uiûljuijinûmpjuiG [иОгфрр: flpn2ilui& bû piui|iupiup ujmjiîuiflûbp, npnûg rç.huipniiS purn LjmujmGni|]i uiu[iiiiqmnmfit[ Ipujniû nj q&uijjiû hujiîmlpupqhp}i qpnjmlpuû рп&тйр IpjiGJi luûljuijniû purn uiqipu] nidfi:

гЦппшр1ц1ш& ЬО п£ цйш^й ц^фЬрШд^и^ 1]Ш1}шишр1тШЬ]:ф Ьшйш^шрс^г рит икррщ пк)^ 1рпрп0ш.р.]ш0 {иОгфрОЬрр Цр^иф^ш^иШ 1}Ь1Црп115, Ьрр Ьш^ш^шрс}^ ц&шфО 15пшшф1рп1.р_]шй 1гш\$ш1цш1пши1ишс рйтрищр^ Ишфцишртйр пгй]1 гЦг ршй}г сццуш1}шй шрйштйЬр: итшдЦшй ЪС ринЦирщр щицйшййЬр, прпйд цЬицзтй ицгрфи)! 1пшки1]шр-с^ф <циуш1ри0 рпйтир 1ц)1Сф ^иупгО, шШририС 1}шй ипфйицтпиф!! ЦиутО риш ищгрц тсЦг:

<Ьтшцпип|ш& ЬО йшЬ 11рр{иф ¿шрдйшО рит ищцпц тч)]: шй^ицтСтр^рий {ийг^рйЬрр: П[ш21(шсг Ьй иШЬршс^т и ршфиршр ири^шййЬр, прпйд цЬицшй Ьрр^гф ц^тшр^пц 2шИЙпи5р qдшJllG йпщшфтртрзш^р ^иутй 1рий шСЩи^тй риш иирри] шеф:

итшдфиЬ Ъй ршфиршр щицйшййЬр, прпйд ^Ьицэпи! Ьрр1т]ч 1).]1шшр1р[пц 2шрдпи5р п^ qдшJll(I щи[шйрт1 1рщтС Ь риш ищгрщ ш_с)]1:

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты настоящей работы изложены в следующих работах:

1. Шагинян С.Г., Амбарцумян С.Р. О неустойчивости по действующей силе,— Ученые записки ЕГУ, 1996, №2, стр. 3036.

2. Шагинян С.Г., Амбарцумян С.Р. Об устойчивости по

действующей силе в критическом случае при к нулевых корнях.—В сборнике статей "Некоторые вопросы теоретической и прикладной механики", Ереван, Изд."Луйс", 199?-стр. 52-57.

3. Шагинян С.Г., Амбарцумян С.Р. Об устойчивости по действующей силе в критическом случае с одним нулевым корнем. — В сборнике научных трудов конференции "Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем", Ереван, 1997, стр. 76-80.

4. Габриелян М.С., Шагинян С.Г., Амбарцумян С.Р. Об устойчивости по действующей силе движения ракеты. — Ученые записки ЕГУ, 1998, №2 (в печати).

5. Амбарцумян С.Р. Об устойчивости по действующей силе в критическом случае.— В сборнике статей „Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоноров",, выпуск 2, Москва, Изд.-во МГУ, 1998 - стр. 7-10. '/