исследование многочастотных колебаний систем с запаздыванием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ МНОГОЧАСТОТНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ МЕТОДОМ УСРЕДНЕНИЯ.

§1. Обозначения и вспомогательные утверждения.

§2. Постановка задачи для двух классов многочастотных систем с запаздыванием.

§3. Доказательство вспомогательных лемм.

§4. Обоснование метода усреднения для системы (1.2Д).

§5. Обоснование метода усреднения для системы (1.2.9).

ГЛАВА П. КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГОЧАСТОТНЫХ

СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ. 55.

§1. Некоторые обозначения и постановка задачи.

§2. Построение асимптотических приближения системы (2.1 Л ).

§3. Построение асимптотических приближений системы (2.1.2 ).

§4. Условия существования квазипериодических решений системы ( 2.1 Л ).

§5. Условия существования квазипериодических решений системы ( 2.1.2 ).

ГЛАВА Ш. КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ ВТОРОГО

ПОРЯДКА.

§1. О квазипериодических колебаниях систем с степенями свободы.

§2. Колебания маятника с вибрирующей точкой подвеса.

Среди процессов, изучаемых в самых различных разделах естествознания (механике, физике, технике и др.) важное место занимают колебательные процессы. До настоящего времени разработан и математически обоснован ряд эффективных методов исследования колебательных процессов, описываемых как линейными, так и нелинейными дифференциальными уравнениями. /Наиболее плодотворными из них оказались асимптотический метод, метод усреднения, метод интегральных многообразий и метод последовательных замен переменных, развитые Н.М.Крыловым, Н.Н.Боголюбовым, Ю.А.Митропольским и их

Остановимся более детально на втором из этих методов, Основы метода усреднения были заложены в работах основоположников небесной механики времен Лагранжа И Лапласа. Сущность метода усреднения состоит в том, что изучаемая система дифференциальных уравнений при помощи специального оператора заменяется другой системой, называемой усредненной. При этом усредненная система с одной стороны, должна быть в некоторой степени проще исходной, а с другой стороны, она должна описывать главные черты исследуемого явления. В таком случае естественным образом возникает проблема обоснования метода усреднения, т.е. проблема получения эффективных оценок для нормы разности решений исходной и усредненной систем уравнений на достаточно большом промежутке времени.

Несмотря на то, что метод усреднения применяется для решения различных задач на протяжении почти двух столетий, проблема обоснования метода усреднения долгое время оставалась неразрешенной. Лишь в 30- 40 годы текущего столетия были получены основополагающие результаты в этом направлении. Так Н.Н.Боголюбов покаучениками зал [l4j , что для систем стандартного вида метод усреднений органически связан с существованием некоторой замены переменных, позволяющих исключать временную переменную / из правой части системы. Кроме того, Н.Н.Боголюбов исследовал системы уравнений высших приближений, решения которых апроксимируют решения исходной системы уравнений с точностью до величин пропорциональных целым степеням малого параметра <£

Весьма широкий класс нелинейных колебательных систем описывается уравнениями, которые можно свести к системе дифференциальных уравнений относительно /г? медленных и /? быстрых переменных. Правые части таких уравнений, как правило, ^^-периодические по каждой из компонент вектора быстрых переменных или квазипериодические по времени. Для исследования и построения решений уравнений с медленными и быстрыми переменными наиболее широко применяются асимптотические методы нелинейной механики. Для случаяn-J асимптотический метод был развит Н.Н.Боголюбовым и Д.Н.Зубаревым [l5] . Если п>1 , то при применении асимптотических методов возникают существенные трудности, связанные с проблемой резонан-сов. Для исследования резонансных задач в последнее время также разработаны различные варианты асимптотических методов и метода усреднения. Наиболее изучены квазилинейные колебательные системы. Резонансные явления в таких системах возникают как в результате целочисленной соизмеримости собственных частот, так и вследствие воздействия на систему возмущающих сил.

Существенные результаты в области исследования резонансных задач были получены в работах Н.П.Моисеева [61,63] , Е.А.Гребе-никова [27] , Е.А.Гребеникова и Ю.А.Рябова [28-30] , Е.А.Гребе-никова и Н.И.Поповой [3l] , М.М.Хапаева [79-82] , Ф.Л.Черноусь-ко [87-88] , Л.Д.Акуленко и Ф.Л.Черноусько [i] , Н.И.Поповой

67,68] , О.Моррисон [97] , Д.Сандерса [100] и др.

Первые результаты по обоснованию метода усреднения для двухчастотной колебательной системы с аналитическими правыми частями получил В.И.Арнольд И . Основной результат В.И.Арноль да состоит в следующем.

Пусть задана система с/^ aftf а, (ос, , =

I) в которой Если для всех ^аг, х£г выполняется неравенство

2)

ZY^' ^г Ъх7') Я* {Я,

7'с/ то при достаточно малых положительных и О, fJ имеет место оценка

Z - &&JU о VifsJ-.

• л ^

7»/

Здесь С -некоторая положительная постоянная, a j"E/jfJ -^fcCfy., yZn&J/j Xr(oj) - решение усредненной по всем быстрым переменным системы. с/сст f f of* У

О О

При этом условие (2) обозначает, что возмущенная система (I) не будет "застревать" за время lie. С О/ в окрестности резонансной поверхности /bzj +лгг , где

- вектор с целочисленными компонентами^ IKtf-t/kr^/ ФО.

Имеются две основные схемы усреднения для многочастотных систем усреднения по быстрым переменным и усреднение по времени. Первая схема усреднения применяется для систем вида ос g = + (3)

Соответствующая усредненная система имеет вид « • где 2JT a{bcj--f2j]-n/.f Г# fay,, "v^V^функция J определяется аналогично, системе (4) существенно проще исходной системы (3). Для одночастотной системы из результатов Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского [16] следует оценка (/ & ft/ - xLf tjИ Сс интервале времени длиной порядка d"f (если в начальный момент времени ccfa/^x fiij), Основная особенность многочастотных систем вида (3) состоит в том, что в ходе эволюции частоты медленно изменяются и в некоторые моменты времени может возникать их целочисленная соизмеримость (резонанс), которая может сохраняться достаточно долго. Для изучения такого случая схема усреднения по быстрым переменным не всегда применима, о .чем свидетельствуют примеры рассмотренные В.И.Арнольдом \V\vi Е.А.Гребениковым и Ю.Л.Рябовым [30] . Для п>2 результат, аналогичный результату В.И.Арнольда, полученный Е.А.Гребениковым [27] . В случае п=2 оценки работы [7] с одновременным ослаблением условий на систему были улучшены А.И.Нейштадтом [бб] . Дальнейшее развитие проблема обоснования схемы усреднения по быстрым переменным получила в работах Е.Л.Гребеникова и Н.Н.Поповой

31] , Н.И.Поповой [67] . Несколько другой подход к решению этой задачи был предложен М.М.Хапаевым [80] .

Для обоснования схемы усреднения по быстрым переменным на систему необходимо наложить дополнительные условия, сущность кот торых заключается в том, чтобы не допустить "засревание" системы в малой окрестности резонансов. Если такому условию нельзя удовлетворить, т.е. если система задерживается в окрестности резонансов как угодно долго,и в начальный момент в системе имеет место резонанс, то целесообразно использовать схему усреднения вдоль решения порождающей системы. Метод усреднения с учетом соизмеримости частот в начальный момент времени был обоснован Е.А.Гребениковым [27] и получил дальнейшее развитие в работах Е.А.Гребеникова и Ю.А.Рябова [28-30] , Н.И.Поповой [бв] .

Ряд важных результатов, связанных с исследованием многочастотных колебаний не только с качественной, но и с количественной стороны был получен асимптотическими методами в работах Ю.А.Мит-ропольского и А.М.Самойленко [51-53] . Резонансные многочастотные системы изучались в работе Ж.Сандерса [Ю0] . Метод последовательных замен вместе с методом интегральных многообразий применялся для исследования многочастотных систем в монографии Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского и А.М.Самойленко [17] . Этому же кругу задач посвящена работа Ю.Мозера [60] .

В работах Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского [1б] , Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского и А.М.Самойленко [17] . А.Н.Колмогорова [32] , В.И.Арнольда £56] , Ю.А.Митропольского и А.М.Самойленко [51-54,57] , А.М.Самойленко [74] , О.Б.Лыковой [4l] , С.Дилиберто [91,92] , А.Келли [93-95] , Н.Левинсо-на [9б] , Р.Сакера [98,99] , Д.Хейла [86,101] получено ряд результатов посвященных доказательству существования инвариантных многообразий как для гамильтоновых, так и для негамильтоновых колебательных систем и применению полученных теорем для анализа структуры решений на многообразии и в его окрестности.

Многие задачи физики и техники, биологии, экономики и ряда других наук приводят к дифференциальным уравнениям с отклоняющимся аргументом. В частности актуальной является задача исследования колебаний в системах с запаздыванием. Ряд колебательных систем с запаздыванием, также описывается дифференциальными уравнениями, содержащими быстрые и медленные переменные. В настоящее время имеются монографии и обзорные статьи подытоживающие исследования по теории дифференциальных уравнений с запаздыванием. Отметим среди них монографии Л.Э.^сгольца и С.Б.Норкина Р.Беллмана, И.К.Кука [ю] , Э.Пинни [бб] , А.Д.Мышкиса [бЗ] , В.П.Рубаника [70 J , Ю.А.Митропольского и Д.И.Мартынюка [56] , Д.И.Мартынюка [43] , Ю.С.Колесова и Д.И.Швитры [33] , Дж.Хейла р02] .

Вопросы обоснования метода усреднения для уравнений с запаздыванием стандартного вида изучались в работах В.П.Рубаника t?o] , В.И.Фодчука [79] , Ю.А.Митропольского и В.И.Фодчука feoj ,

А.Халаная [86] , Д.Д.Байнова и М.Константинова И и др. Для систем дифференциальных уравнений запаздывающего и нейтрального типа с одной быстрой и медленными переменными в работах В.М.Во-лосова, Г.Н.Медведева и Б.И.Моргунова [18-20] , Г.Н.Медведева

4б] , построены усредненные уравнения первого и второго приближения и дано обоснование метода усреднения на интервале времени [О; L £ 1] .

Для квазилинейных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа асимптотический метод был развит В.П.Руба -ником [69,70] . Этот же вопрос рассматривался и М.М.Методиевой

47] . Отметим также статьи В.И.Фодчука [78] и Д.И.Мартынгока и В.И.Фодчука [45] .

Обоснование метода усреднения для многочастотных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием изучалось в работах М.Н.Хапаева и В.И.Кузнецовой [83] , И.В.Кузнецовой [39] , Я.Й.Бигуна и В.И.Фодчука [II] . Вопросы существования инвариантных тороидальных многообразий с запаздыванием и с постоянным вектором частот рассматривались в работах Д.И.Мартынгока [5б] . В этой же работе для таких систем указывается алгоритм нахождения инвариантного многообразия. Здесь же излагается асимптотический метод построения квазипериодических решений систем с запаздыванием и с постоянным вектором частот.

Настоящая диссертация примыкает к названным работам. В ней изучаются вопросы обоснования метода усреднения для колебательных систем с запаздыванием и с переменными частотами, которым свойственно явление резонанса; исследуются инвариантные многообразия многочастотных систем с запаздыванием, а также вопросы существования квазипериодических решений таких систем.

Актуальность темы. Вопрос об интегрировании или исследовании многочастотных систем дифференциальных уравнений является сложной проблемой. Для систем с запаздыванием эта проблема намного сложнее и до настоящего времени изучена недостаточно.

Трудности применения асимптотических методов и метода усред

-1 нения для дифференциально'-функциональных уравнений в многочастотном случае во многом связаны с резонансными явлениями. По сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями ситуация здесь усложняется тем, что в общем случае резонансы в системах с запаздыванием определяются соотношениями вида с, tO(x, cOfa, xu))>z{ xjq (5) где к, /с - целочисленные векторы, 11 £ -tic II ФО} cJfc, хг)-- вектор-функция частот, Т; л -величины характеризующие запаздывание, tfJ^xfAtyJj {','J - скалярное произведение. Если и запаздывание ограничено, то выражение (51 будет малым (порядок) как угодно долго.

Некоторым вопросам обоснования метода усредненияf а также вопросам существования и устойчивости инвариантных многообразий многочастотных колебательных систем с запаздыванием, вопросам нахождения квазипериодических решений таких систем посвящена настоящая работа.

Объект исследования. Объектом исследования являются системы нелинейных дифференциально-разностных уравнений запаздывающего типа с быстрыми и медленными переменными. Запаздывание в системах постоянные. Кроме того рассматриваются некоторые системы дифференциальных уравнений с запаздыванием второго порядка.

Цель работы. I. Обоснование различных схем усреднения на временном отрезке [t'о/ fJ для систем с запаздыванием, которые описывают медленные и быстрые движения. 2. Изучение количественной зависимости оценок нормы разности решений возмущенных и усредненных уравнений от величины малого параметра и от исходных данных задачи. 3. Доказательство существования устойчивых инвариантных многообразий для систем, содержащих позиционные и угловые переменные , а также существования квазипериодических решений таких систем. 4. Применение полученных результатов для исследования некоторых колебательных систем с запаздыванием второго порядка.

Общие методы исследования. Исследование проблемы обоснования схем усреднения в многочастотных колебательных системах с запаздыванием с малым параметром £- основывается на соответствующим образом модифицированной методике В.И.Арнольда [7] . При этом временной отрезокрв/^+^разбивается на множества резонансных и нерезонансных отрезков, на каждом из которых с учетом свойств частот выводятся эффективные оценки. Для изучения условий существования и устойчивости инвариантных многообразий изучаемых уравнений применяется метод развитый Ю.А.Митропольским и А.М.Сн-мойленко в работах [*51-54, 57 J для колебательных систем без запаздывания с постоянным вектором частот, а также обобщение этого метода для колебательных систем с переменными частотами.

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми.

I. Дано обоснование метода усреднения по быстрым переменным для многочастотных систем с запаздыванием на временном отрезке [ioJ-lo+6 (] и изучена количественная зависимость оценок от малого параметра. 2. Получены оценки метода усреднения по части быстрых переменных для колебательных систем, решения которых могут "застревать" в окрестности некоторых резонансов. 3. Установлено существование инвариантных многообразий, квазипериодических решений. 4. Исследовано распространение полученных результатов на колебательные системы второго порядка.

Практическая ценность. Результаты работы расширяют возможность применения метода усреднения для исследования нелинейных колебательных движений систем с запаздыванием. Они могут быть применены при решении прикладных задач небесной и классической механики для которых характерно явление резонанса, а также для исследования систем второго порядка.

Апробация работы.Основные результаты диссертации докладывались на конференции молодых ученых КГУ 1983 г., на научном семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Киевского государственного университета 1983 г., на научно-отчетных конференциях К-П ВВИКу (I981-1983 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ /35-38J м ,

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, состоящего из 102 наименований.

1. Акуленко Л.Д., Черноусько Ф.Л. Метод осреднения в задачах оптимального управления. - Журн.вычисл.матем. и матем.физики, 1975, т.15, №4, с.869-882.

2. Алешин В.В. По поводу одной схемы усреднения. Вестник Моск. ун-та, сер.физ.,матем., 1969, №4, с.35-38.

3. Авдронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Изд-во МГУ, 1971. -507с.

4. Аносов Д.Д. Осреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с быстро колеблющимися решениями. Изв. АН СССР, сер.матем., I960, т.24, №5, с.721-742.

5. Арнольд В.И. Малые знаменатели. II. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом возмущении функции Гамильтона. Успехи матем.наук, 1963, т.18. вып.6, с.13-40.

6. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике. Успехи матем.наук, 1963, т.18, вып.6, с.91-192.

7. Арнольд В.И. Условия применимости и оценка погрешности метода усреднения для систем, которые в процессе эволюции проходят через резонансы.- ДАН СССР, 1965, т.161, №1, с.9-12.

8. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. - 304с.

9. Байнов Д., Константинов М. Методът на усредняването и неговато приложение в техниката. София: Наука и изкуство, 1973.-156с.Ю. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. - 542с.

10. Бигун Я.И., Фодчук В.И. Применение метода усреднения для исследования одного класса многочастотных систем с запаздыванием. Укр.матем.,Журнал, 1980, т.32, №2, с.149-154.

11. Бигун Я.И. 0 методе усреднения в системах с запаздыванием, содержащих медленные и быстрые движения. В кн.: Асимптотические методы исследования нелинейных систем, К.: Ин-т математики АН УССР, 1980, с.П-19.

12. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике. -К.: Наукова думка, 1969. -246с.

13. Волосов В.М., Медведев Г.Н., Моргунов В.И. Применение метода усреднения к расчету некоторых систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Вестник МГУ, серия 3, 1965, №6, с.89-91.

14. Волосов В.М., Медведев Г.Н., Моргунов В.И. 0 применении метода усреднения к некоторым системам дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Вестник МГУ, сер.физико-астрономия, 1966, №2, сЛ29-131.

15. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. М.: Изд-во МГУ, 1971. -505с.

16. Гадионенко А.Я. 0 периодических движениях маятника с вибрирующей точкой подвеса.-Укр.матем.журн., Т965, т.18, №5,с.97-100.

17. Голец В.Л. К вопросу возмущения уст ойчивого инвариантного тора динамической системы. Укр.матем.журн., 1971, т.23, №1, с.130-137.

18. Голец Б.И., Голец В.Л., Петришин Р.И. 0 существовании условно-периодических решений некоторых систем с переменными частотами. В сб.: Приближенные методы исследования нелинейных систем. - К.: Изд-во Ин-та матем.АН УССР, 1976, с.32-45.

19. Голець Б.1., Голець В.Л., Петришин B.I. До питания про умовно-пер1одичн1 рухи в нелШйних системах. В1сник Ки1в. ун-ту, сер.матем.,мех., 1979, вип.21, с.23-28.

20. Голец Б.И., Голец В.Л., Петришин Р.И. Об усреднении в колебательных системах, проходящих через резонансы. Укр.матем. журн., 1980, т.32, М, с.448-455.

21. Гребеников Е.А. Некоторые оценки метода усреднения для многочастотных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференц.уравнения, 1968, т.4, №3, с.459-473.

22. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971. -442с.

23. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. М/r Наука, 1978, -126с.

24. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы нелинейныхсистем. М.: Наука, 1979. - 431 с.

25. Гребеников Е.А.,Попова Н.И.Обоснование метода усреднениядля одной системы дифференциальных уравнений в резонансномслучае.- Препринт, ИТЭФ.-129.-М.: 1977. -30 с.

26. Колмогоров А.Н. 0 сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.- ДАН СССР,1954, т.98, F4,с.527-530.

27. Колесов Ю.С.,Швитра Д.И.Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс, Мокслас, 1979.- 146с.

28. Крылов Н.М.,Боголюбов Н.Н. Введение в нелинейную механику. К.: Изд-во АН УССР, 1937.

29. Кравец В.И. К вопросу об условно-периодических колебаниях в некоторых системах с запаздыванием. В сб.: Исследования поматем. и мех.Киев, ун-т,Киев,1983,с.74-88,библиогр. 6 назв. Рукопись деп.в УкрНИИНТИ 26 июля 1983 г. ,№816Ук-ДШ.

30. Кравец В.И. Исследование колебательных режимов в системах с запаздыванием при прохождении через резонансы. В кн.: Приближенные методы исследования нелинейных колебаний. К.:Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1983, с.Юб-Ш.

31. Кравец B.I. Досл1дження коливних режим1в багаточастотних систем з зап1зненням методом усереднення. -В1сник,Ки1в,ун-ту, сер.матем.,мех.,1984,вип.26, с.57-62.

32. Кузнецова И.В.Об усреднении в многочастотных системах с запаздыванием .Дифференц.уравнения,1981,т.17, Кб.

33. Ланкастер А. Теория матриц. -М.: Наука, 1978. -280с.

34. Лыкова О.Б. Исследование решений системы «л. нелинейных дифференциальных уравнений в окрестности интегрального многообразия. -Укр.матем.журн., 1964, т.16, М, с.13-30.

35. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. -М.: Наука, 1966, -530с.

36. Мартынюк Д.И. Лекции по '.теории устойчивости решений систем с последействием. -К.: Изд-во Ин-та матем. АН УССР, 1971. --177с.

37. Мартынюк Д.И., Кравец В.И. Исследование колебательных режимов слабонелинейных систем с /<. степенями свободы и с запаздыванием. Укр.матем.журн., 1984, т.36, М, с.115-118.

38. Мартынюк Д.И., Фодчук В.И. Асимптотическое интегрирование квазилинейных автономных систем с запаздыванием. -Укр.матем. журн., 1966, т.18, №3, с.117-119.

39. Медведев Г.Н. Асимптотические решения некоторых систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.ДАН СССР, 1968, т.178, №2, с.293-295.

40. Методиева М. Многочастотни резонансни колебания квазилинейна неавтономна система cle закьеснение и бавко изменящися пара-метри. Годишн.Высш.учебне завед. Прилож.мат., 1976, /1978/, 12, № , с.269-275.

41. Митропольский Ю.А. Проблема асимптотической теории нестационарных колебаний. -М.: Наука, 1964. -431с.

42. Митропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. -К.: Наукова думка, 1971. -490с.

43. Митропольский Ю.А., Фодчук В.И. Вторая теорема Н.Н.Боголюбова и методе усреднения для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. -Укр.мат.журн., 1972, т.24, И, с.49-68.

44. Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Исследование колебательных систем второго порядка. Препринт 76-6. К.: Ин-т матем. АН УССР, 1976. -50с.

45. Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Асимптотические исследования слабонелинейных колебательных систем: Препринт 76-5. -К.: Ин-т матем. АН УССР., 1976, -54с.

46. Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Некоторые вопросы теории многочастотных колебаний. Препринт 77-14. -К.: Ин-т математики АН УССР, 1977. -46с.

47. Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. О квазипериодических колебаниях в нелинейных системах. Укр.матем.журн., 1972, т.24, №2, с.179-193.

48. Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. Условно-периодические колебания в нелинейных системах. Матем.физика, вып.12, К.: Наукова думка, 1972, с.86-105.

49. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. -К.: Изд-во Вища школа, 1979. -245с.

50. Митропольский Ю.А.t Самойленко A.M. Асимптотические методы в теории многочастотных колебаний. В кн.: Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, К.: Наукова думка, 1979,с.93-112.

51. Митропольский Ю.А., Самойленко A.M. К вопросу об асимптотических разложениях нелинейной механики. -Укр.матем.журн., 1979, т.31, №1, с.42-53.

52. Мозер Ю., Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения. -УМН, 1968, т.23, вып.4, с.179-238.

53. Мозер Ю. О разложении условно-периодических движений в сходящиеся степенные ряды. УМН, 1969, т.24, вып.2, с.165-211.

54. Моисеев Н.Н. Асимптотика быстрых вращений. ЖВМ и МФ, 1963, т.З, М, с. 145-158.

55. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. --М.: Наука, 1981, -400с.

56. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. -М.: Наука, 1972, -351с.

57. Нгуен Кхан Лан. Исследование колебаний в нелинейных системахс медленно меняющимися переменными и с запаздыванием. В сб.: Математическая физика. -К.: Изд-во Ин-та матем. АН УССР, 1978, с.40-45.

58. Нейштадт А.И. 0 прохождении аерез резонансы в двухчастотной задаче. -ДАН СССР, 1975, т.221, №2, с.301-304.

59. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. --М.: ИЛ, 1961, -248с.

60. Попова Н.И. Об усреднении по быстрым переменным в многочастотных системах, допускающие резонансы: ПРапринт 77-70. -М.: ИТЭФ, 1977. -30с.

61. Попова И.И. Оценка погрешности метода усреднения вдоль порождающего решения в резонансных задачах: Препринт 78-136,М.: ИТЭФ, 1978. -49с.

62. Рубаник В.П. Многочастотные разонансные колебания вкназили-нвйных системах с запаздывающим аргументом. Радиофизика, 1961, 4, М, с.726-734.

63. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. -М.: Наука, 1969, -287с.

64. Самойленко A.M. Применение метода усреднения для исследования колебаний возбуждаемых мгновенными импульсами в автоколебательных системах второго порядка с малым параметром. -УМЖ, 1961, 13, №3, с.103-109.- но

65. Самойленко A.M. Обоснование принципа усреднения для дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. В кн.: Приближенные методы решения дифференциальных уравнений. -К.: Изд-во АН УССР, 1963, с.90-95.

66. Самойленко A.M. Метод усреднения в системе с точками. В сб.: Матем. физика. К.: Изд-во Ин-та матем. АН УССР, 1971, вып.9, с.101-117.

67. Самойленко A.M. 0 сохранении инвариантного тора при возмущении. Изв. АН СССР, сер.матем., 1970, т.34, №б, с.1219-1241.

68. Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Ташкент, ФАН АН Уз СССР, 1974. -216с.

69. Филатов А.Н., Шарова П.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. -152с.

70. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. -428с.

71. Фодчук В.И. 0 построении асимптотических решений для нестационарных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и малым параметром. -Укр.матем.журн., 1962, т.19, №4,с.435-440.

72. Хапаев М.М. Обощение второго метода Ляпунова и исследование на устойчивость некоторых резонансных задач. -ДАН СССР, 1970, т.193, №1, с.46-49.

73. Хапаев М.М. Об усреднении с многочастотных системах. -ДАН СССР, 1974, т.217, №5, сЛ021-1024.

74. Хапаев М.М. Об усреднении и исследовании на устойчивость в многочастотных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. В кн.: Проблемы математической физики и вычислительной матемаиики. -М.: Наука, 1977, с.298-307.- Ill

75. Хапаев M.M. Проблемы устойчивости в системах обыкновенных дифференциальных уравнений. УМН, 1980, т.35, вып. I,сЛ27-170.

76. Хапаев М.М., Кузнецова И.В. Многочастотные системы содержащие запаздывание. Дифференциальн.уравнения, I982,тЛ8,№2,

77. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1970. 720с.

78. Халанай А. Метод усредения для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Rev. math, pureset pures et appl. Acad. PPR, 1959, Vol.4, N°3, p.467-483.

79. Хейл Д. Колебания в нелинейных системах. -М.: Мир, 1966. --229с.

80. Черноусько Ф.Л. 0 резонансе в существенно нелинейной системе. -Журн.выч.матем. и матем.физ. ,1963, т.З, №3, с.474-483.

81. Черноусько Ф.Л. Резонансные явления при движении спутника относительно центра масс. ЖВМ и МФ, 1963, т.З, Ш,с.528-538.

82. Шиманов С.А. 0 построении асимптотических решений в случае одночастотных колебаний в квазилинейной автономной системе с запаздыванием по времени. -УКр.мат.журн., 1968, т.20, №6, с.814-824.

83. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. -М.: Наука, 1971. -296с.

84. Hale D. Behavior of solutions near integral manifolds.-Arch. Ration. Mech. and Analysis, 1980, t.6, №2, p.133-170.

85. Hale J.K. Functional Differential Equations.- Springer-Verlag, 1971, Vol.3, 238p.