Исследование множеств начальных значений гладких решений дифференциально-операторных уравнений параболического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Мипстерство освгги Укра'йш 'Г 6 ОД Лыйвсысий державниЛ ушверситет

¡м. 1вана Франка

1 3 ШОН 1035

На правах рукопису

ГОРОДЕЦЬКИИ Василь Васильевич

ДОСЛ1ДЖЕННЯ МНОЖИН ПОЧЛТКОВИХ ЗНАЧЕНЬ ГЛАДКИХ РОЗВ'ЯЗК1В ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНО-ОПЕРАТИВНИХ Р!ВНЯНЬ ПАРАБОЛ1ЧНОГО ТИПУ

(01.01.02 - диферешцалъш р1вняння)

Автореферат

днсергаци на здобупя паукового ступею! доктора ф'яико-математачних наук

Лыип 1995

Робота виконана в Черн1вецькоаду вхддШ 1нституту прикладах проблем Mexasiim i математики im. Я.С.ГНдстригача HAH Укра'^ни

0$ii4itai опоненти: доктор $1зико—мат_май!чних наук, професор МАТ1ЙЧУК M.I.

ЪО хв. на заощанш спец1ал1эовано1 вченок ради Д 04.04.01 при Льв1вському державному ун1верситет1 iM. 1вана Франка за йдресою: 290001, м. Льв1в, вул. Ун1верситетська I, ауд. 377

3 диоертац1ею можна 9знайомитиоя в наужшй б10лхотещ Льв1вського держушверситету (м. Льв1в, вул. Драгоманова, 5)

доктор ф! зико-математичних наук, профеоор РОМАНКО В.К.

доктор фiзико-математичшк наук, профеоор ЩЕРБИНА В.О.

Провiдна установа: 1нститут прикладио! математики i мехашки HAH Украйни, м. Донецьк

Зкхист вадбудеться

Автореферат роз iслано

Вчений секретар спед1ал!зовано'1 ради

Мякитюк Я.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Д1;гуащн1стъ теми доол!дження, Останн1м часом значно зр10 1нтерео до вивчення граничних вдаотивостей гладких у шар! 0. *» ^(рГП* ^ Р0зв-нзк1в диференц1ачьних р!внянь з частинниш пох1днши параболгаюго типу (туг 1 дая1 п!д гладкими розумш!-мемо розв'язки, неокшченно ди$еренц!йовн1 по х в 0. ). За до-помогою таких р1вшш> та систем р!внянь описуютася р1знх С1шадн1 явгаца у оучасному природознавств!, <коном1ц1, техн!ц1. Кр1м кла-сичшх задач теллопров1дноот1 1 дифузП вони зустр1чаються, на-

приклэд» у теорГз! тепломасообьину при опиоанн! процес!в сушки

♦

та охолодження, у теорП ядерних лакщогових реакцгй при вивчен-1П лроцесу упов1льнення нейтрошв, у сучаснШ теори сигнал1в, при вивчеш11 багатьох процео!в у х1м1чшй, б!олог1чн1й к!нетиц1 тощ о.

Основними заеданиями теорП граничних значень для вказаних р1вилнь з досладкення граничних властивоогей 1х розв'язив. при наблшсеннг до гшергоющшш ^=»0 (тобто, встановлення 1:снування хх, взагал! кажучи, узагальнених границь при-^-»-ю 1 знаходаен-ня множил початковях значень) та вздпукання формул, що зобра-жують уЫ гладк! в 0. роза'язки через почазковь значения.- Ваяли- -во знати також шведшсу розв'язк1в при 4 + оо . Розв»язання цих завчакь вимагас, з одного боку, усвгдомлення того, що розу-шти пщ початковим (граш-ошм) значениям (зокрема, уточнения та розшкрепня змгсту цих попять) I розвинення засоб^в для одержать I обгрунтування форш зображення, а з тцого боку, В1д1г-рае гачущву роль при постанови! та досл1дженн1 задачI Кош! для таких р1вшпгь.

Взагал1, доелщгешю граничних властивостей гладшгх розв'яз-1ав д11'Тч;ронц1альних р¡впяль з часгиншши пох щипли передувала,

напевно, теорема Фату, осьильки питания про 1снування гранич-них зна^нь у аналйтично! йункц! i р!внооильне аналогичному питанию для гармон!чних функцИ, тобто для розв'язк1в р1впяЕшя Лапласа. Нагадаемо, l;o теорема Фату стверджуе, що яйцо аналогична в- единичному 1фуз1 функц!я ^ обмежена, то при наблияен-H'i до мели по недотичних напрямах вона мае майже скр!зь гракичн! значения, як! утворюють обмежену на KOJii функцЬо. Яндо ввдмови-тиоь взд обмекеност! ^ 1 наклаоти певн! умови на Ti зростшшя при набляженнх до мели, то багагьма авторами вотшоаяено ioiry-вання граничного значения у pi3Hirc фушацонаяьних просторах. Так, у 1922 р. Ф.Рго дов!в, що умова Slip ^ sC

1 g

( С - coftsi ,'t<f><i00 ) e необх!дною i достатнього для 1снуван-ня граничного значения ^ у irpocTopi 1_р(£о,2Ж]) .

,Аналоги теорем Pica для розв'язкхв р1вняння тешюпроввд-hocti та розв'язмв парабол1чних р1внянь другого порядку is зм1нними коефЩенташ у просторах Ц та деяких вагових Lp -просторах встановлен! в працях I.I Д1ршмана, Д.В.У1ддера, Р.Джонсона, А.'В.Князюка. Теор1я граничних значень у просторах Lp та опец1алзних вагових Lp -просторах розв'язк!в лгшйнгос piBHOMipHO парабол1чних за Петровсышм рхвняиь i систем рхвнянь з гладкими в шар: й коеф1ц!еитами, а також -парабол тапи: систем.р1внянь та парабол:них ргвнянь з оператором Бесселя розвинена в працях Й.Шабровоького, С.ДДваситена, В.П.Лавренчу-ка, Т.В.Дутчак, Л.М.Авдросово! та in. При цьому одержано важли-в! -результата з штань зображення розв'язклв у виглядх iimerpa-л1в Пуасоона деякгос функцШ або узагальнених борельових Mip, оукупност! яких утворюють мнояини початкових значень цях роз-В'язк1в.

У той же чао гршшчш властивостг гладких в 0. розз'язкхв рхвнянь з частшшиш похщними парабол1чного типу в р1зних просторах узагальнених функщй (розподШв, ульграрозподШв, гхперрункцгй тощо) дослЦжет у випадку глоделыщх парабол1ч-них р1вняль М.Л.Горбачуком, В Л .Горбачу к, П Л .Дудншсовим, 0Л .Кашпровським, ггр..чому цх результата е насл!дками вхдпо-в1дних результат 1и геор1г граничних значень дай абсграктних диферетиально-операторпих р1Вшшь першого порядку, розвиненох у прадях М.Л.Горбачука, В.1 Л'орбачук, А.В.Киязюка, МЛЛПвто-рака, 1.Т.Машшшга га 1и.

Тому можна вважати адтуадьнии: I) побудогу теори граничних значень у просторах узагальнених функций (розподШв, ультрарозподШв, гшерфункцЫ) гладких в шаргЦ розв'язхив загальних атас Iв рхзшшь з частшшши пох1дними параболхчного типу з рхзними особливостями (коеф1ц1кнтй р!вняння стають необмеяеними при 1зЦ--»-*ео , р1шшшя мокуть матя особлнв1сть при похщн1й по , М1сгити оператор Бесселя або псездодиферен-щальний оператор); 2) розвиток вшювщнох теорЛ задач1 Кои! для вказаних ргвнянь.

Мета робоги. Метою дисертацШюх роботя е:

1) знэходаешщ запального вигляду усЛх гладких вЦ' роз-в'язкхв загальних кдасхв диференц1алышх р1внЛнь з частишшмл' поххдняш парабол голого типу;

2) цобудова нового класу операторIв (зокрема, опсратор!в дробового ди1>еренцшва1шя), як1 д1ють у просторах узагальнених перЪдичша Фл1кц1й; знаходаення загального вягладу.уо1х гладких в Д. розв'яз1йв р1внянь парабол п:ного типу, що М1с-тять вказшп оператор«;

3) досдхцження граничних властивоотей. при наблляешп до гшершмдини 4:= 0 гладких в 0. розв'язклв р!вшшь з частиннк-ми похццташ парабслхчного типу з р!зними особливостявд у р!э-них просторах узагальнених функщй (зокрема, у просторах ультрарозподипв класу Невре);

4) встановпенвя коректно* розв'язностх задачх Коип для вказаних рхвнянь з початковиш даними, як1 з узагальненими функщяш з простор 1П типу 3' ; дослдаення властивоотей лока-л1зацП та^слабко! стабШзац11 розв'язк1в задачх Кони;

5) характеристика шошш почагкових зиачень розв'язк1в • диференщально-операторних р!впянь параболхчного та гшербо-л!чного тип!в з неввд'ешшм самоспряженим оператором Д у тчльбертовому простор! в термшах наближення розя'язк1в цих р1внянь пол томами вгд оператора К , а саме, характеристика множил ачал1тичних вектор1в операторхв /\ , (\ .

Наукою новизна результат1В дисертацП поллгае:

- у побудов! тeopii граничних значень гладких в 0. розв»яз-

к1в р!впянь парабол1чного тину з р!зними особливостями (р1внян-

«

нл мохуть мати особлив1сть при похщшй по 1 , мтотити опера-гор Бесселя аб- псевдодиферетйалъний оператор) у просторах узагатьнених фунгаЦй типу роз под Ш в га ультрарозподШв кла- • су Же вг;е;

- у побудов1 нового класу псевдодииеренцхалышх оператор!в,' як1 д1ють у простор! узагальнених першдичних фунщ!й, знаход-жеюа загалъного вигляцу уо1х гладких в Л розв*язк1в р1внянъ паробсыпчного гиду, що м1стягь вкaзaнi оператори;

- у энаходкока! загалъного виглдду уС1Х гладких: а) розв'яз-к!в па]ибал 1чши за Петровоьгам р1ВНЯнь з! сталиш кое ¿пцента-

ми (пергодичний вппэдок); б) розв'язк!в специального клаоу р1в-кянь парабол 1тпюго типу !з зростаючигли при -♦-*•«> коеф1ц!ен-тами;

- у розвитку теори задач! Кош! для р1вдянь парабалхчного типу з р!зними особливостяш з початковими даними, як! е узагаль-ненимя функщями з прос?ор!в типу 5 ;

- у розвитку теор12 сумування форглальних ряд!в Фур'0-Ерм1та, Фур'е-Лагерра, тригонометрични* рядхв методами типу Абеля-Пуаооо-на;

- у одержали! полпюгпального зобратенн:; розв'язк1в диферен-ц1ально~операторнюс р1внянь парабол1чного та г!пербол1чиого ти-П1в з особливостяш в коеф!ц10нтах у шльбертовому простор! та у характеристик шожш аналтгшкх вектор!в нев!д'емкого само-спряжепого оператора в терм1нах наближень розв'язк!в вказа-1шх р1внянъ пол1ноыами в ад оператора N.

При знаходаенн! загального вигляду гладких розв>яз1ив вказашх рхвнянь та дослвдсенн! 1х грагшчних властивостей у просторах узагальнених функцхй вдосконалгаеться х розвиваеться методика досупдаень М.Л.Горбачука I В.1.Горбачук з теор!х граничишь зпачень розв'язкхв абсграктних диференщалыю-оператор-,*них рхЕпяпь перш го порода,, а також методика досл!даень Г. е. Шилова, 1.1'Л.Гельфавда, О.Д.йГщельмана з теорН нарабал^чих р!в-ия;п> I систем рхвпянь.

Дш характеристики шожшх апал1тичних вектор!в операторхв в торшнах пзближень розв'яз1пв дпференщально-опе— раторшк ршхяпь параболиного I г1пербол1чного тшпв 1з саио-спрякеним оператором А^О полшомаш вад оператора Д розроб-лено метод, шин базуеться на наближенн! гладких функцШ на.

niBOci полиномами Чебишова-Лагерра i використовуе ооновну спект-ральпу теорему для оамоспряжених onepaTopiß.

Наукопа i практична цкдпсть роботи. Робота носить теоретич-ifflfi характер. Результата та методика дясертацМЬюх робота мотуть знайти застосування i подалышй розвиток у теорП граничних значень та теорГх задач! Кош! доя л!н№шх параболхчних рхвнянь при досл!даенн1 властивоотей розв'язкхв, у математичшй ф13ИЦ1 при розв'язашй задач теплоф1зики, гвдродинамш1, при вивченн! масо-обмшних та°дифуз1йних процес1в; у теорП узагальнених функц1Й.

Результат роботи иожуть знайти також застосування при зна- ■ ходкенн! наближених розв'язмв р1внянь з частишшми похвдшш, як1 мсжпа розглядати язе диферешйалъно-операторш р1вняшя пара-бол!чного та г1пербол1чного тшпв з нешд'емним самоспршсеним оператором у г!льбертовому npocTopi.

Аггообашя роботи. Ociiobhi результати дисертацП доповща-лиоь на: наукових ceMiHapax з функцгонального ан?л1зу та рхвняш з частинними пох1Дними 1нотитуту математики HAH Укра'хни (Kjü'b,

кер!в1шки - акацем1к HAH Укра^ни Ю.М.Березанський, доктор фхз.1-

*

;лат. наук, профеоор С.Д.Ейдельман, 1984 р., 1985 р.); пауковому ceMinapi з дифе: зшцалышх р1внянъ (М1нськ, керхзиик - доктор ф!з.-мат. наук, про]«сор МД.Юрчук, 1985 р.); наукових ceuiiia- ■ pax з Tfopix p¡впяль з частишшми поххдними (Чершвщ, держуш-верситет, кэр1вник - доктор ф1з.-мат. наук,'профеоор С.ДДваси- . шеи, 1980-1994 pp.); науковому ceMinapi Чер1пвехи>кого вщцигу 1кстптуту прикладних проблем механхки i математики 1м. Я.С.Пвд— отригача HAH У крайни (кер!вник - доктор {пз.-мат. наук, профи-j сор С.ДЛвасиаен, 19ЭЗ р.)» Льв1вському мхському науковому ceMinapi з дг.£1оренц1альнюс р!вня1п> (кер!вники - доктор ф1з.-мат.

наук, про&зсор Б.й.Пташшк, доктор фхз.-мат. наук, професор В.Я. Скоробогатько, 1991 р., 1993 р.); науновому оемпицн з р1вняиь з частшши.чи похвдшми Хнотитуту математики НАЛ Украхни (Кихв, кергашкй - доктор йпз.-мат. наук, профеоор "»".Л.Горбачук, доктор ф1з.-!дат. наук, професор С.Д.Ейдельман, 1994 р.); оемхнар! "Ефек-тивн! кетоди математич1то1 ф!зкки" (Харн1в, деркушверситет, ке-р1вники ~ доктор Ф1з.-мат. наук, професор И.О.Щербина, доктор ф1з.~кат. наук, професор Ю.В.Гапдель, 1Э95 р.); науковаму оемша-р1 1нституту прглдацнох математики I механпш НАН Украхни (До-нецьк, керхвник - академик НАН Украхни 1.В.Скрмтнйк, 1335 р.); "УИ/Ж РеспуЗлисшських конререкцхях "Нелинейные задачи математической физики" (1ерн1вцх, 1589 р., Донецьк, 1991 р.);Л. Всесоюзна колферзнцП "Ношз подходы к решению дифререетиальных уравнений" (Дрогоблч, 1991 р.'); Республхкансыай науково-мегодич-Н1й конференцП, присвячешй 200-рхччю з дня народження МД.Лоба-чевського (Одеса, 1992 р.); ШжкароднШ конференцП, нрисвяченш пам'яп академии М.П.Кравчука (Ки1в, 1992 р.); Всеукрахноькхй науковы конфсренцП "Новх пвдходи до розв'язуванкя дифорешиагь-пих ранишь" (Дрогобпч, 1994 р.); !Икол1-се.\инар1 "Нелшши кра--йоги падачх матемдтичноХ физики та 1х застосування (Терноп1ль, .1994 р.); Шзшариди.Ш датематичнхй конферешца, нрлонячен!й пам'ят! Ганса Гана (Чернхвц1, 1994 р.).

Публхкацн. По тпмх. лпсертацп опубл1ковано 20 робхт. 0сновн1 рззультотп 1Г.ииадст:п г, ирацях [1-23] . 3 результат 1в суг пенях ираць у нпссртанхп зкточоно тглыси Т1, акх налегать автору дясер-мш х.

та. об' см роботи. Дисертацхя склздасться з всгупу, трьох пив га списку цитованох лггерагури, що мхстить 137 най-Иолний об-си робота сщда 326 машинописпих сторпюк.

31ЯСТ Р0Б0ТИ

У вступ! приводиться коротки! оглдц праць по тем1 дисерта-цН, обгрунтовусться актуальн!сть теми доыпдження, визначаеть-г мета доол1дкэння, описуеться зм!ст дисергаци та И ооиовн! результата.

Глава дерша приовячена: I) питаниям зобржсння загального вигледу усIX неок!нченно ди?>еренц1йовнюс по х : а) розв'язк1в спец!алыюго кшеу р!внякь парабол1чного типу 1з зростаючими

и

при |сс,| —>+со коеф1ц1енташ (§ I), б) розв'азк!в парабол1чних за Петровоькдм р1внянь з1 сталями кое$1ц!ентами (пер1одичний випадок), а також ргвнянь з псевдодиферешдальнши операторами, що д)ють у просторах узагальнених перюдичних фунмцй (но-виЛ клас таких оператор1в (зокрема, оператор!в дробового дифе-ренцхюваннп) побудовано у § 2); 2) питаниям коре::тноЗ£ розв'яз-коот1 задач! Кош1 дня вказаних р!внянь з початковими дашми, як! с узагальненими функц1ями типу ультрарозподШв Жевре.

Ооновним засобом досл!джень в формальн1 ряди Фур'е (Фур'е-Ерм1та, Фур'с-Лагерра, тригонометричн! ряди). Це пов'язано з тви, шо вказаи! р!вняння за допомогою певних перетворекь молша звести до диференц1ально-операторних р1внянь першого порядку эигляду

де «Ь>0 - скалярна неперервна на (о,Т1 Функц1я, Р\ - нев!д'см-ил! оамоспряяений оператор зг пыльною областю визначення у се-кароовлыюку г!яьб' »товому простор» п , спектр якого с чисто дяскрстнгл'. (у § I розглддаотъея иростори Н = Ц(|Г) та Ц =

а) (2)

«Ц((о1+4 ' у * 2 - пр°ст1р н» - Оп^аТгГ . -

г!лъберт1в прост!? 2ЛС-пер!одичиих в |^,ивим1рних за Лебегом

та !нтегровних з квадратом функ«1й); многочлен Р(1Т)0) (по змш-

нхй \ при ф1ксованому 4:>0 ) задовольняе певну умову парабо-

лхчност!. Оператор Д будуеться за ортонормованшл базисом

простору Ц так, що вектори , К€ N » е його

власними векторами, а влаша числа маюгь наперед задан! власти-

вост1. При цьому позитивгп та 'негалшн! простора, що будуються

за оператором Д та прост1р Н вкяадагатъся в прост1р форматер

них ряд!в Фур'е вигляду С^б^ » як! отзтожншться з лшШш-ми неперервнямл функц!оналами над простором

Розгляпуванх питания тгсно пов'язап! з сумуванням вказанг:*. ряд!в методами типу Абеля-Пуассона. Тему у п. 1.1 § I досл!д-жуються вяастивоот! вказаних метод!в сумуваяня та 1х ядер, даються застосування до диференц1ально-операторних р!вняш> алгляду (I), (2). Попередньо при цьому наведено основн1 понят-тя 1 твердкення, що стосуються загально! теорП 'Тюрмальних ря-д!в Фур'е, розвиненох в працях М.Л.Горбачука I ВЛ.Горбачук.

У п.1.2 продовжуеться доелдаення властивостей пере^вореиня Абеля-Пуассона

оо_

■?ь: = (ЛК+^С, I ь о, X ^,

к=о

оо

Формшшьтс ряд И) Яур'е-Ерт та лягляду > СД„ ,-кожен з ягах отоголнюстъоя. з певною узагаг.ьиеною Фунвд!ею | з простору

^l/D * де ^K ' ' ~ ®yHIUJi:i ЕРм"а> "1° утворююхь ортонор-

ыований базис в + , - коефЩенти

Фур'е-Ерм1та узагальаеноХ функцп ^ . Тут < 2, > > по знача с д!ю функщонала | на основну функцхю, (S^)' - сукутпсть ycix лШйюх неперервних фунюцона-ив над простором , який вЦноситься до npocTopiB типу S . введение 1.М.Гедьфавдои i Г.Е.Шиловиц. Простip S1| складаеться з ycix функцхй ^еС*^. що задовольнязот i умозу

Зокрека, у reopewi 1.1.10 ствердаусться, цо для перетворення нравилькиы с зображенкя

де - едро методу сумуваккя, вигляд якого тут знайдено явно: -Ill

приношу к, ^с- Si!2" ПР;'- кожному 4. > 0 i Ос.е (К, . Шдзначимо, що при досипджеш-и яластивостей перетворення та його ядра iCTOTKO шкористовуються HOBI cneuiruibui ОЦ1НКИ П0Х1ДНИХ функ-ц1й Еркьга, встаиовлекi в цьому ж пунктi. Граничив значешщ перетворення ^ при ioHye у простор!' (S^)', тобто

^-у | . i->+0 1 У просторt (Sg) . Даеться також ввдповвдь

на питашш про те, як повинно поводитись перетворення при ^-»+0 . щоб Кого граничив значения належало до певних простора. розиЬсшк (S1^4)' .

Для клаоичних ряд!в Оур'е-Ер-.^га мае м1еце аналог ввдомого принципу локал1зац!1 Рхмана для тригонометричких рад!в (про локально посилекня з<Нжност1): я:-сцо фуккц!* {-^^(^(ИС) зб!-гаютьоя на хнтервал1 (сц^с, то на будь-якому Б1дрхзку р1злиця 1х ряд1в Фур'е-Еркгга р1вном1рно збхгаеться до нуля. У к~:ас1 розподШв ней принцип вхе не вико-куетьол. Якцо к ряд Фур'с-Врмхта узагальнено* фушиц! просуму-вати .методом Абеля-Пуассона, то праншш локал1зац1'х мае м!сце вже у досить юироко.-уу кпао! узагалънених щунхц1й неск1нченного порядку.

Теорема 1.1.11 (принцип локал!зад1х). Ягедо ультрарозпод!л ' ' 3<1'1гастъ°я ш 1нтервал1 э не-

перервно;. функцхею ^ , то ^(Ф (. рхвногарно на

д0в1льн0му в1др1зку ЦсД]с (й.,^ .

Аналог хчл! твердаенъд мають мхеде I у зипадку перетворень типу Абеля-Пуассона то

со

ряду Фур*б-Ерм1та узагальнено! функц!* | ,.

Вказанх результата застосовуються для знаходаения загально-го виглдду всхх нескшченно диференщйовних по х розв'язкхв рхвнянпя

Ме(о,ТМ,

де А,: - ноперервна доцатна фунюдя, яка задовольпяе

умову ^¿»«Ь-с«» > <0 - Фасована функц1я 8 проотору С""^ така, що I) |0

- муш.типл1катор у простор! 2) -1- €

/о! неск!нченно даференц!йовн1 по х розв'язки р!вняння (3) опясуються формулою

«ММ. ! *Сф:ад.<*гМ, (4>

да ; и(£,-)с при кожному I > 0 1

' Л-*+0 • У простор! Останне сп!вв!дношекня дозволяв поотавити задачу Кошг дохя р!вяяння (3) так: якцо для (3) задано початкову умову

»М^. о»

до , то розв'язком задачI Кош! (3), (5) назвемо

функц!ю П. ({а}, (^ас^е (оГГЗкК, » яка диференцШов-ла по ^ , дв1ч! диферетцйовна по X , зацовольняе р!вняння (3) та початкову умову (5) у тому розум!нн!, що ц.^/)—♦ | .-^-»+0 » У * простор!

Теорема 1.1.16. Задача Кош1 (3), (5) коректно розв'язна у простор! початкових данях ^ розв'язок зображаеться фор-

мулой (4), яка описуе во! нескЬпенно дкференциовн! по I функ-ц11, що задовольняпть р!вняння (3) ! граничив сп!вв!дпошення чЦ^-Ц Я->+0 , у простор! При цьому, якщо

|е (И^ ^ . , 1 на деякому !нтервал! (а,(Г)с(К

^ узагальпена функц!я ^ зб1гасться з неперервною фунюцсю ^ , то иОЦг} -у ^СФ ,4->+0 , р!вном!рно по а: на дов!лыюму

ПрОМ1жКУ [с,(1] С (&,1Г) • . - ,.

Зазначимо, що тут $ надал1 висловлення типу "Задача'Кош! коректно розв'язна у простор 1 початкових дан их )(' " розум!еть-ся так: для довольного -|е X' *снуе едини* розв'язок в!д~ пов!дного р!вняння такий, що ■) —, 4.-» +0 , у простор! цей розв'язок неперервно залечить в!д^ , тобто якщо еХ' 1 «--»«> , вХ1 , то в!дпов1дно

<чСМ~*иМ . В X' . де ИцД,!^- розв'язок р!внян-

ня, що в!дпов!дае для кожного ф1ксованого пеМ .

Отже, прост хр е максимальним простором початкових

даних задач! Koшí дои р1вняння (3), при яких розв'язки в неск!н-ченяо диференЩйовними по а. функц1ями.

В!дзначимо, що коли на , на (о,Т} , то (3)

перетворюеться в р!вняиня ?...Ч . _ з^ц. 4 Якщо 1П по-

р ^Н Т)Хг даеться у вигляд! е" , то д^стаемо р1вняння

яке зустр!чаеться у сучаснИ теорН сигнал!в (тут Ц. = р' ).

Анзлогхчн} твердяешя у даяому пункт! встановленг I для р1внянь вигляцу (2), дб' оператор (\ будуеться за певною схемою з допомогою неперервно! футсцН От: <*) , яка задо_

вольняе умову

3&0>о Ц,^

а оператор е "р1вном1рно парабол!чним", тобто

У п.Х.З дослдауються р!вняння з частинними пох ¡динго*., якх зводяться до р1внянь СО або (2) з оператором , що д1с у простор г » власними зкаченняш якого е числа =

«4 К.-И . К2Г • а власними функшями - фунюШ Лагерра. Зауваяошо, що розглдцуван 1 рхвняння з частинними похадшми о нер!вном1рно параболхчшиш за Петровським у областх (о^ТЬС0,*») з коефхщенташ, якх зростають при \сс\-> + «> степеневпм чином. При цьому, попередньо, описуигься класи Жевре порядку оператора та клас И«,(К\."И• 0снош1 результата

одержуються за допомогою засоб1в теорГ* сумування формальних

1

ряд!в Фур!с "агерра методами типу Абеля-Пуассона.

Перейдемо до короткого вккладу результат1в § 2 глази I. Пункт 2.1 даного параграфу носить доползший характер. Тут наведено о^човн! понятгя та тверджешя, що стосуються теорзI простор1в основных та узагальненшс першдичних фуккщй.

Пункт 2.2 присвяченяй досиЗдаешно власгявоотей перетворснь типу Абеля-Пуассона формальных ряд!в Фур'в та IX ядер (зокоема, власгивост1 локал1зацГх).

У п.2.3 вязначасться аналог операдх! дробового даференцЬован-ня Вейля у просторах узагальнених пер1одичних функцхй та доо-л1дяуються Н властивостх (авичанна форма дробового дкференцхю-вання Р1мана-Л1уз1ля е непридатною у теорП тригонометрпчних рдд!в, бо вона пер!одичн1 фунгаШ, взагал! кажучи, не переводить у пер1одичнх з тим же периодом функцИ).

Символом х позначимо сукупн1сть уо!х л!н1йних яеперервних функц1онал1в над проотором

1гр*1*ир J

елементи Ф' називаються узагальиеними пер1одичними функц1ямн.

[ г '

ф ото^ожшоеться з простором ус!х формальних ряц!в Фур'в:

£ , с к-Ч^'Ч

У простор! ф' розглянемо узагальнену функц!ю '[ И

де мульти1вдекс те- такий, що 1т!- найменше серед натуральная чисел, яке задовольняе умову |тц.1>-<Ь для Л <0 .'За допомогою функцИ в ф' визначаеться оператор ^ так:

Г

Теорема 1.2.5. СЛм'я оператор!в К, мае так1 властивост!:

б)

в) у-И'

М-? ;

.иг*.

Згхдно з властивосгями б) I в), оператор ^ (при ф!ксова-ному ) називатимемо оператором дробового диференц!ю-

вання в 9 . 0

Георема 1.2.6. Нехай - ф1кс.звайе, = КА\ц

зеуження оператора ^ на . 0п,е[о,2Т] • Правшш-

ними е так1 твердження:

а) область визначения оператора щ1льна в Ц ;

б) А^ - замкнений оператор в [-) ;

в) якцо ¿.> о , то - нев1д*синий самоспряжений. оператор в н .

Розглянемо тепер р1вняння

м^, .. (6)

де А/>0 - фасований параметр, оператор, визначений у теорем! 1.2.6. Рхвшшня (6) вацал1 називатимемо ларабешчним псевдодиференцхальним (зокрема, якщо ¿.=2.8 , I) , то маемо {нвном1рно парабол!411 е за Петровським в И р!вняння).

II 1д розв'язком (6) розумЬгимемо функцш К.е С1((о7Г1 •

яка задоволъняв де рхвняння.

Задача Коса для ршшння (6) полягаз у знаходжешп розв'яз-ку цього р1вняння, яки4 задовольняз початкову умову и (о, -4) = = ?1УП.иЙ:,^= | (П- "* розумгеться у сежи зб!жност1 за толо-

лог1ею простору ).

Теорема 1.2.7. Задача Кош1 для рхвняння (6) коректно розв'язва у просторI початкових даних (С^' • розв'язок . зображаеться формулою

л- Е «че**« (£{11л(<4

яка описуе при 4>о во! кеск!отенно диференц!йовн! 1 2/К-пе-*

ркдичн! по х функцН, що зацовольняють р1вняння (6) 1 почат-кову умову , У простор! • При

цьому с (0^) пря кожному 4:>0 • Я»«® А И !

Х"К-пер!одична узагальнена функц!я ^е (^">1 )

зб!гаеться в облает! (} с ^ э неперервною 2ЛС-пер!оцичною функц!еп ^ , то »1-*+0 , р!вном!рно на довигьно-

му компакт! К с С|

Тут (э-^^СОп^) - сукупн!сть ус!х неок!нченно диференц!йов-них 2ЯС-перЬдичних в ^"'фуикц!й, як! зацовольняють умову:

Зоо зьо

де стал! С,Ь>о залежать в!д фушш12 (р ; (С^Щ (Оп^) ~

простер ус и лишних неперервних функц!онал1в над ОС^п^

з! сяабкою збинхотю.

Ввдповхдь на питания про те, як повинен поводитись розв'я-зок рхвняння (5), щоб Кого граничив значения в нул1 належалс до певного простору, розмщеного ми 1-2. (фп) 1 ((^У »

да5 наступна теорема.

Теорема 1.2.8. Лравильшми е так! оп1вв1дношенчд ешпвялент-ноет!:

)

Ыо, . \ б (а^ сод,

Яги

• Аналог!чн} твердаешш маш!> м!оце 1 даш р1внянь зигаяду (6), де оператор Д будуотьоя як звуження на певного операто-

ра згортки, що д1в у простор! ф .

За допомогою мот од I в теорхх формалышх ряЩв Фур'е можна дослхджувати властивост! лар1одичаих розв'язмв рхвняння

= РСЙи^-слЛ, кМ, ад.Д, СО

яке е парабол!чнам за Петровськиы

(тут ЭМчГ Эх

розз'язком р!вняння (7) розум!тимемо фуащт ыЦ ас), ,

диферешцйовну по 4 I неск!нченно диферещдйовну по х , яка задовольняе р1вняння (7).

Теорема 1.2.13. Функцхя «.(•{;£), (Ь,аь)€й , е розв'язком р!в-няння (7) тод! 1 тхльки тодг, коли вона подаеться у вигляц!

де (Оп) при кожному •{: >0 х ,

^->+0 I У простор! •

Отже, (0^' е лрдродшш простором ^Г-пер'юдячнюс

узагальненюс функвдй для постановки задач! Кошх для рхвнянкя (7). Вказаыий простер в максимальним простором початнових данях задач! Кошх, пря яких розв'язки рIвняння (7) в нвсхикченна дифе-ранцЫгавними I 2,Т-пер10дичними по а. функц1ями.

у глав! 2 дослвджуються властивостх класичних фундаменталъ-них розв'язк!в ^ > . ^ . р1вшш>,

параболачних за Г.З.Шиловим, 1.ГЛ1етровським, ^-параболхчних та псевдодиференц1альнйх рхвнянь як абстрактных функцШ пара-метр1в та у просторах типу $ • Класнчнх розв'язки

таких р!внянь, як вхдомо, поцаютьоя у вигляд1 | * а<3°

к ^ И^СЗДС^сЦ , де ^ - звичайяа фуккц!я, що задоволь-

няв пзвнх умови (наприклад, кеперервност1 I обмеженоот1 на ¡К ).

' Тут вказаш формули поширюються до бШн!йно1 фарш »

де ^ ею в узагальненою функц!ею - лппйним неперервним фуик-цхоналом над певним простором типу 5 . елементом якого е ^ хф як фушаия ^ (що забезпечузться умовон парабсшчяостх). В казане продовяеняя зд!йснюеться так, що функц!л иД^ х(,)> е нескхнчеино диференцхйовною по ас. 1 задовольняе в1дпов1дне р1 вняння у звичайноцу розумшп.

Дослцркуються граничш властивост1 вказаних бШнИших форм. Встаноашхо, що ~>| , у просторах уза-

гальнених функщй типу 3'. Гншими словами, описуються множини початкових даних задач1 Кош!, при яких розв'язки е неск}нченно диференц1йовними по X. функщями. Це дозволяв ставит» задачу Кош1 для таких р!внянь так. Розглянемо параболхчие р! вняння зигляду

(А)

з початковою умовою

4.-0 с,

де ![ - деяка узагалънена функцхя э простору типу Тут 1 надал! в ц!й глав1 п!д розв'яэком задач! Кош1 (А), (Б) розу-ьитимемо функд!ю £ , яка задовольняе ргвняння (А)

у звачайному розум^ня!, а лочаткову умову слабко, тобто

—д-^+о , для довольно! основное

функци .

У дан1Й глав1 розвиваотьоя теоргя задач! Кош! дая вказаних р!внянь, а само: вотановлгоеться П коректна розв'язн!сть у випадку, коли початков1 дан1 е узагальненими функн1ями типу розподЪпв та ультрарозподШв класу Жеврё; дося!джуються як!с-в! властивост! розв'язк!в, зОкрема, властивост1 локал!зацп та слабко2 стаОШзацП.

Глава складаеться з чотирьох параграф!в. У § I вказан! нитан-йя вивчаються у випадку парабол1чних за Г.е.Шиловим та 1.Г.Пет-ровсыаш рхннянь 13 особлявоотями при походпй по 4: . Даний параграф м!отлгь к'шька пункт!в. Зушшимось детачыпше на результатах, ■ одержалих у п.1.2. Розглядаеться р1вняння

. ^ = гчС^« + £>кад])Ч *

Р.а^ин ра,х-э)и, а^уа, (в)

де , - функщ*, визпачен! в облает I СоТЗ * ^

- неперервна додатна зростаюча функд!я, ,,яка задо-

волыше умову \ ■ < -и« (тобто, розглядазться випадок слабО ^

кого виродаоння). Прппускаеться тако.к, ,цо: I) дифвренц1апький вираз РД^Х;!)^ задовольняе в умову р1вном1рно* парабол1ч-ност 1, тобто 1снус додатна стала 80 тана, що Р\£ Р0(1 ^

дай ВСIX (-Цх^о. та ^ 5 2) коефЬтДеяти ди-ферешЦалъшго ачразу ,£•,!)) неперервн1 по 4; , причому неперерв;псть по {. коеф!ц1ент1в Р0 ,£.',!)) р1вном!рна в!днос-но ье!,11 ; 3) коефкцепти Р(1: носк1нченно диференц!-

йовн! по X 1 обменен! разом з уо1ма сво1ш поххдяиш в й . Лена 2.1.5. У припущеннях 1)-3) хснуз функц1я ,

^т • Е0" • яка- т Функц!я (•{;,:£) еО. , за-

довольняе р!вняпня (8); при ^Т: вона неск!яченно диференц!-йовна по "X., ^ , причому

х ^{-(Цх-цН^Д)]1"^, им >

л ,

де . 0&Т<4. • р-26 . , стана

О,?о не залежить в1д К» П1 -

Функц1я 2 називаеться фундаментальним розв'язком рхвнян-ня (8).

1з останнхх нерхвкосгей випливав, що при кожному -Ь е (о^Т ] та сее^ Х-О,-) з елементои простору _ ^ ^(Й^з

» який складаетьоя з ус!х неск!нченно дйЬереши-

*овних функцШ , що задоволькяють умову

(стал! 'С. ,Ст>0 залааахь в1д Ц> Зазначш/о, що прост !р

ввдносигься до простор!© типу 2 » е досконалям, у ньому визкачек! 1 неперервн! операцП зсуву, диференхЦювання, множення на незалежну зм!нку.

Влаотивос.т1 фундаментального розв'язку 2 » як абстрактно! функцЛ параметр!в у простор! встановлшться

у лем! 2.1.6.

Дема 2.1.6. Правальними в наступи! твердження:

1) фуикц!я 2(1: ,3ц о, . як абстрактна фуккц!я параметра

у простор! З^С^"") (при Ф^ксованому о~ е НО1 ), ди-ференщйовна по 4: (тобто, граничив сп!вв!дношення

¿иконуеться у розум!шп збшност! за тополог!ею простору

2) функц!я О, , як абстрактна фушщДя параметра

ХеГ у простор! З^СЯ^ (при ф!коованому 1 е Со,Т] ), неск!нченно диферекцхйовна по ел (тобто, гранита! сп1вв1днояен-■ня типу

ьяконуються у розум!ннх зб Лжност! за тополог!ЕЮ простору

За допомотаю гзерджекь I), 2) леми 2.1.6 доводиться наступпа лема.

Лет 2.1.7. пехай со<|,z(^ot-,0,-)> , je (s^cr10))' » де (S^OT"})' - сукугойсть yoix л1н1йних неперервцих функцЮна-л1в на й,,.®1-) 3i с-71^1®» Зб1жн1стю. Тод1: I) функц1я W дя-

¥ ЧТ 1

ферищ1йовна по t (при фЬ:совалому ее ) 1 несдЬганно дяфе-ренцШовка по х (при ф!ксованому )} 2) граничив oníBB 1дно-шення . . виконувться у npocTopi ($.)[. .

Повернемось тепер до р!вняння (8). Функц1я , (t,x)c-ÍI ♦

задовольняе дане р!вняйия у звичайному розукгтп., о га-ильки

- 4 - о.

Зазначимо, що зшдко з демога 2.1.6 bcí зд1йсяен1 тут операщх е корекишмй. Леш 2.1.7 дозволяг поставим для р!вняйня (8) початкову умову

Теорема 2.1.4. Задача Komi (8), (9) коректно розв'язна у простор: початкових данях (S,^ (IR*1))' . ÍI розв'язок диферек-цШвни! по -t , неслйнченно дйференцШовни! по ге. i подаетьоя

у вигляд1

Мей.

Оскиьки узагальнена функция ^ с ( у деяк1й облает 1

0< моле зб1гатась 13 гладкою фушицею, то виникае наступив питания: чи буде розв'язок и задач! (8), (9) збхгатись до ^ при ^->-»0 р1вном1рнс всерединх облает! С| . ?обто, чи мае мгеце у кьому.випадку локальна пооилення збхжност1? Вхдповвдь ка це питания дав наотудна теорема.

Теорема 2,1.5 (принцип локал ¡зацп"). Якщо узагальнена функцхя | (^У збхгаеться в облает! Цс (?»п з неперервною Функ-ц!ею <| , то аС^^Х) —♦^(х') , ^-»+0 , р!вном!рно на довшьному компакт! 0 .

Аналог!чн1 результата мшоть теце для рхвшнь 31 сгалпмя кое-ф1ц!енташ, параболхчними за Г.е.Шиловим (п.1.1 цього параграфу) та для лШйних параболхчних рхвяянь з оператором Бессзля (§ 2 глави 2).

Пёревдемо тепер до викладу основних результат!в § 3. У цьому параграф! розгллдаеться р!вняння

СЮ)

де К - оператор,, який трактуеться як звуження на опе-

ратора згортки спехцального влгляду, що дхе у простор! ф'э р (1КП) - Простор!, тополог!чно спряженому до простору ф , елементами якого е неехшхченно дифережцйовн! на ^ функцП пол!ном!ального порядку спадання на нескшченности При побу-довх оператора використовуютьоя гшерсингулярн! 'хнтеграли (ГС1), ягл в свою чергу трактуються як результат регуляризаци функц!Гх

!з особливостями "степеневого" порядку р>и , де Л — розм!рн!сть простору. Структура основного простору 9 визяа-

«

чавться властивостяш гогасичного фундаментального розв'язку задачI Кош! для парабол!чного псевдодк$еренц1алького р1вняння з! сталям символом & ; в елементом простору Ф (при

кожному фгксованому }_>о )• Встановлювться, що К^а рИ[р.р{\(>У}

У^еФ » Д0 5 - прост 1р Л.Шварца, тобто, на Ф оператор А зй!гаегься з поевдодиференц!алышм оператором (ИДО), а р!вняшш (10) в1даоситься до пссвдодкференц! ельник р!вшшь парабол !чного типу. Класичний розв'язок такого псевдодиференц1ального р!вняння, де ^ - звичайна функцгя, що задовольняз певн! умови, поишрюеться до б!л!н!йно* формя

, де | вже е елементом простору ф'. При

цьому доводиться, ЩО 'V-> ^ »-к->+0 . У просто-

р1 ф' . Останне дозволяв розглядати задачу Кош! для (10) з початковими даними, що налегать до простору ф' , встановити Гх розв'язн!сть, досл!дити властивост1 локал!зацП та слабко! стабШзац!!.

Параграф складаеться з трьох пункт!в. У п.3.1 визначавться тололоИчна структура простору 9 та дослцркуються властивост! найпрост!ших: операщй у ньому.

Нехай | - фхксоване число з шожиня ('1,+°о)\{2,

П., МНм + ВИ , хе^*- >

де <). £ - мультииндекс. Введено в 9 зл1чекну систему норм за формулами

1 позначимо через Яр поповнення 9 за р -ою нормою. Тр - ба-иах1в цроспр, при цьому правильними е вкпадення Ф0 ф, о

1 ф =* Я^р • Тополог1чна структура простору ф така:

ф - повний досконалий простхр з топологхею проективно! грали-Ц1 банахових арооторхв :9я Ьж рг. Фр , причому вкладен-ня с ^ , ре иеперервнх, щыыи I компактх. Зро-

зумыо, що

с 9 . причому - 9 •

У простор1 Ф визначен! 1 неперервн1 операцГХ зсуву та дифе-ренцшвання; при цьому, як вишшва? хз загальног теорп доско-налих т ополог 1 чних простор ¿в, операд!я эсуву е не тш>ки непе-рервно», але 1 нескыченно диферанц1йовною.

У п.3.2 вязначаетьоя простхр ф як сукупнхсть ус1х лШйних й'еперервних функцхоналхв над простором Ф . Оскшьки в основному простор! Ф введена тополог1я проективной границ: банахових простор » причому вкяадення фр+1 сфр , р е неперервн1, щЬпън! I компактах, то Ф а (¿Сщ рг Фр; . Отже,

.( I р->«' Г р-)оо Г

ЯИЦО | е 9 , то ^ € фр при деякому р € • Найменгае з таких р називаеться порядком ^ , тобто кожна узатальнена функция ^еф' мая ок!нченний порядок. В1дзначимо ще, щс з слабко1 повноти прооторхв ф^ , р е , випливае повнота простору ф' .

У ЦЬОМУ К пункт X ДОСУПДЖУЮТЬСЯ ВИПЭДКИ 1снування згоргки (наведено три достатн1 ознаки Гх хснувашш), вивчаються основн1 влаотивост1 операнд'1.

У п.3.3 наведена схема побудови оператора з р1вюшня (10)

вивчаються властивост! -Р*®-',! '::

няння (10) як абстрактноК функцИ тараштраД/^'пропторг-.ф.г »т та поведшка при розв'язкЫ цьо/?'¡Л^гйпш?,' йк!;'Яодаюгко# у лишяд: згортки Ч да- ..

ференцШовними по £ функи1ямя.

вуються при доведений розв'язяоот1 задач! &ошТ'55щ: ЙС^^тчат^" ковими *даяими з простору .-9'? ^По^^м^^зглщаеро'кдщгатш ■ про регуляризация у простор! Ф у функц!й, як: мають в точц! нуль особлив ють степеневого порядку р>п , до'Г|,--~розМ1ря1стЬ' простору Г. Немй

Шрс'У , ЦСЗ^У; орзрпД>дшшчного

рад1уса в Ц^-.СцХ) ). Регуляризац1я функцН у

простор! Ф' мае вигляд

•г-I ■ о/

< Г. -

г ' цэдр ;

де № е Ф .

у/

Нехай с позначае сукугаисть успс фШтних узагальнених фунюд!й з 2)' , що лежить щ1льно в ф' . Побудушо схм'ю операторов , як! дЬть 3 в : Л^51-?*^,!! (зазначдао, що вказана згортка 1снуе). 3 властивосге! лпйй-ност1 ^ неперершостI згорткя випливаз, що при кожному у оператор - лхнгйний I иеперервгш® в ф' .

Нагадаемо, що при означенн1 узагальнено! функцп п не

. в' була явно вказана стала С^ . 1* можна п1д!братл так, що

у

- г1перслнгулярний оператор нейтрального типу порвдку ^ э характеристикою И .

Нехай тепер о.'. Соэ°°) - однор!дна пс^ядку ^ щункц!я (то(5то, аСХ^-Х^й.Ссс.') ,\>0 ), яка: I) нопьрервно диферешд-вовка при сс.^0 до порядку П. + 5 2) пох1дн! функцН (X. зедовольняють лер!вностх

э) ЗЬо аЛа£)>$М*.

Тод! ¡снуе характеристика И така, що

Нехай, дал1, р^ф. - узагальнена функц!я, побудована за функд{ею Л , що в!дпов1дае однор!дн1Й функцН Оь , ^ - вад-пов1дний оператор, який д!е з ? в | . Мае м1сце наступна теорема.

Теорема 2.3.3. Нехай 1\\г - звуження оператора на ц(г1 . тод1:

а)

эдН^Из^а*»?},

б) ¡\ч - замккений оператор в ЦОК'1);

в)

Врахувавпш властив1сть в), оператор [\у=[\ називатимемо псевдодиференгиалъним оператором, побудованим за символом й. , а р1вняння (10) - парабол 1чним псевдодиференщальним ртваяниям.

зг . ^

П1д розв-язком рхвняняя (10)лроаум1»и19йо.едкиЯ ^^

< жа задовольняа р 1ВНЯННЯ-;(10,)»;,к5 •;.:,,ошпр;п.\ Якцо для (Ю) задано початкову умову ч

иад (п)

де ^ е Ф' , то п!д розв-язкрм,зада^_ „(10 ) ЛИ ) 0

тимемо розв'язок р!вняння (10-),* ((II)

умову (II) у тому сенс!, цо ,

Нехай (II) Д01) хнвдлп 'шгя'нгоЧ

яолтсснумдсхТ ,Ш»

^ с? ....

Властявост1 функцгг & вивчеп! С .Д.ЕйдёЛБманом;т 'ЖМД^нем; зощюва, для И похвдннх вотановяено оцшкй: ' 'и

де с=Ч(№-,Т!-,)() • Зввдси Д1стасм0, що при'котлгог.гу

Ь«(0,ТЗ . тобто ОС!,-) можна розглядати як'аЙстрактну <рунк-цхю параметра ^ !з значениями у простор! Ф . При цьоку' дово- * диться, що функвдя &(!:,■) , як абстрактна фунюця параметра £ , диференщковна по £ .

Оскхльки в ^ визначена ! неперервна операщя зсуву, то для узагальнйнох функщI хснуе згортка , яка випна-

часть ся формулою

Ооновзшй результат даяого пункту складам

Теорема 2,4.4. Задача Коцн (10), (II) розв'язна у клаз! уза-

гальнених функцхй . Ii розв'язок диферевдШвний по -Ь , нес-кшченно диференцшовний по х i подаешься у вигляд!

при цьому и^бф при кожному -teCo,Tl-

Отяе, Í.' утворюе множщу початкоалх даших задач! Komi (10), (II), при яких розв'язхш р'хвняння {10) с HSCKÍH4eHHO диференц!-йовними по х cjymatfawt.

Розв'язки задач! (10), (II) володшгь влаотив1ота локал!за-Ui'i, яка формулюеться гак.

Теорема 2.3.€. Пехай | е t , u(t,pí> - розв'язок задачх Кош! (10), (II), побудований за функц!ев | . Ящо узагальнена функ-ц!я ^ збхгаеться у деякх! облает i QcSU|g>| з неперервнов функ-Uiei: (J , то Ujj^t) при ■к-'»-«) рхвншйрно на довшьному компакт! IKcQ .

Зазначимо, що наведен! туг теореш в в!рними i у тому вапад-ку, коли початкова узагальнена фушецхн е згортувачем у

простор! ф . Досить широкий клас таких згортувач!в складае t'-• cyKynHicTb ycix фпйтних узагальненях fjpuBtfft з 5b' . Тому шдсумуемо ochobhí результата у еягляд! иаступнох теореми.

Теорема 2.3.7.; Задача Komi (10), (Ы) рэзв'язна у F-iaci по-чатковр: узагальнених футщШ huí е згортувачами у

простор! ф . Íí роэв'язок диференяШшш® по i , неякшченно диференц!йовний по X i подаеться у виглядi

причому u(iv>9 При кожному -UCo;T3 - Ягадо J¡ збхгаеться в облает! Qc¡^ з неперервнов функЩЕю q , то «.(^-»ьф

при ■};->+0 piBHOMipHO на дов!льному компакт! К ~ Q .

Четвертий параграф главк 2 присвячений питаниям слаб ко i ста-бШзацП розв'язкхз задач! Komi для параболхчних piBmnffi. Вза-гал!, п!д стаб1я!зац!с;о розв'язку задач! Komi для парабол1чного р!вняння розум!югь хснування у розв'язку u(i.,ct) границ! при

+ , яка трактуеться у тому чи !ншому coHci. Початок дос-л 1джень''зi стабШзаци розв'язгЛв задач! Кош! для piBiifffimi теплоцров!дноот1 було покладено у 50-х роках М.Кж!.жанським. Bin побудував приклад обме:хено'1 початково'£ шункцх: и0 , дал яко5Е розв'язок задач! Komi , не

мае границ! при + . 1дея конструкци прикладу Книжансько-го використовувалась Ьпшми авторами при побудов! приклад ib, як! характеризують повад!нку розв'язк!в у залежноот! в!д влаоти-востей початкових функц!й. У б!льшост! праць, присвячених стаб!-л1зац!2 розв»язк1в задач! Komi для тих чи imm; р!внянь або систем р!внянь параболхчного типу припускаеться, що початкова функщя б звичайною, тобто досл!джуються властивост! розв'яз-кхв класичноХ задач! Komi.

Нас ц!кавитиме слабка стаб Шзацхя до нуля розв'язшв зада-4i Коях для широкого класу р!виянь парабол¡чного типу, а саме, HKi умови повинна задовольняти початкова узагальнена функщя ^ , при виконанн! яких при + « для дов!льно!

основнох функци Ц1 . У випадку задач! Кош! доя рхвняння тепло-провхдност! аналог!чн! питания вивчались Ю.М.Дрожжиновим, Б.1.3ав'яловим, С.Д.Ейдельманом, Ю.М.Валицьким. Отже, розглянемо рхвняння

1т" £ (M^Co.-VK^n, (12)

з обмеженими 1 неперервними при О коерЩентами, яке р1вно-м1рно парабол1чне за Петровоыгам у кожному шар 1 ГЦ-я (о,Т] * ^ Припуотимо, що фувдаментальний розв'язок ос) , (¿.х^П » клаоично! задач! Кош* дая р1вняння (12) задэвольняе умову , де - $1кооване, тобто, при кожному

де , а,-.[Ь,«)Со, - неперервна монотонно

зростаюча функцхя аргумента -I така, що а(р^=0 . й0 . С. , .

, - деяк! сталЬ Зазначиыо, що умову Д"^ з деяким £е(о,1) задовольняють фувдаментальн! розв'язки парабол1чних за Петровсышм р!внянь зi сталями коеф1ц1снтами певного вигля-

ду, сильно парабал1чн! ргвняння з неперервними 1 обмеженими . *

при • коефщ1ентама, як! мгстять лише трупу старших чле-н!в та !н.

1 Янцо фундаментальний розв'язок & задовольняз умову , то при коягому о елементом простору СЙ^.*^ •

Задамо тепер для р1вняння (12) початкову умову

де (• Мае М1сце наступна теорема.

Теорема 2.4.1. Задача Копи (12), (13) коректно розв-язна у простор! шчаткових даних (!?\. I'! розв'язок диферен-

щйовний по 4. I нескшченно диференц1Мовнкй по х ! зобра-жаеться формулою

над - (ЮМ, п,|е СБ^СПУ. •

Розглянемо однопараметричну о1м>ю гшсрповерхонь »

С >о (при ф1коованому t ,t0>0 ), яка волод!е наотупними влестивоотями: I) вона складавться 1з замкнених однозв'язних г!перповерхонь; 2) якцо Т-Сс,^,^ - довжина вектора, цо з'вд-нуе початок координат ts точкою г!перповерхн! ^(а^с t ут-воркж куги1|1.-\ з поят® , , декартово!

оистеми координат, то tCc^t) мае неперервну додатну похвдну по параметру с » 3) для дов!лЫщх с Л виконуються нер!в-

HOCTt

с^Сс,^ * mcs« с^О^Д

де Чу - Т1ла, обмежен! гшерповерхнямй ■С , -

Mipa Кордана таких т1л, С^, С^ - додатиi стал1. Припускаемо та-кож, що при -t —> с!м'я г!перповерхонь т. (х) => с зб!гаетьоя до ciM'jf замкнених гшсрповерхонь f (х) * с . При цьому гранична 01М'я rinepnoBepxoiib F(x) = c мае властивост! 1)-3).

Говоритимемо, що узагальнена функц!я | € (S^ (R^V)' мае узагальнене граничив середне по т1лах Vp ,-р!вне t , i писа-тимемо' ИрШ ** У- > якцо

'V с* к mes Vp ус [j^ru

де ({*ч>Хх)= <|,4>(Х- •)>

Основпим результатом п.4.1 е наступна теорема. Те орет 2.4.2. Лехай фундаментальная розв'язок Q, ргвняння (12) задовольняе умову /Чу, i в

сталим по X на с1м'ях' rinepno-верхощ, (х) = с (з властивостями 1)-3)), як! зб Таиться при

+ «о ,;э QiM'ï гшерповерхонь F(ï)=C . Якщо f « (S^O^V I , то розв>язок U задач! Koai (12), (13) з початко-

БОЮ ФУНКЦ1 сю ^ отабхл1зуетьея до нуля у просторi. (S^CR1))1 - Ягсцо на сочаткову узагалъкеяу функц!» | какласти додагково \ .умову кев:д'Ё1к^:оот1, то характер гхл, по яккх припускаеться icHyr-вання узагаснекого граничного середнього, е не1Стоишм. Оокрема, за так! т!ла i.:o.ï::ia братк кул: з центром у початку координат.

Яило задом! v'ùhîï рхвня фундаментального розв'язку р1внянкя (тобто позо i у npocTopi ^ , на яких фундаментальний розв'я-зок е сташ.! со X ) та ïxui вдастивоотх, то теорем 2.4.2 ыопна уточним. Для таких р!вншь молена встановити не тлдьки достаии, еле й иеобхт.дн! умови слабко'1 стабЬ-пзацП розв'язку задач1 Кош! до нуля, як! Енрат.аатъся в терминах узагальненого граничного середнього початково'1 узагалънзко1 функцП по тыах, позерхняш язсих е лiiïij рîbhs фундаментального розв'язку рхвняння.

7 п. 4.2 5 4 ачалог1чн1 результати отримано у випадку зздач1 Koii/i дал липкнкх параболхчпих р1внянь з оператором Бесселя та парабсипчних псевдодиферешйальних р1внянь. 1

Лерейдемо до виклацу основних результат îb глав;: 3. Багато 1 задач матзматнчнох Й1зики можна подати у виглщи задач1 Koai для: I) оволпцНшого р1вняння парабол1чного типу u\t) + Atl)|\u(iyo,

; 2) еволюцШюго р1вняння гп1ербол!чного типу u*U) +t«KaaVo ,ро , tеВД, u(oVV'. u'(oyo . дв А - • невЦ'емш; самоспряженлй оператор 3Ï щшною области назначения у оепарабсльному г1льбертовому npocropi H , А, - кеперервна дсдатаа на (о,Т1 скалярна фушсц;я, яка задоволышс умову

о

А .В.Бабин методами TeopiY шагового найликсшк фушайй на п!в-ooi одзрлхш зображепкя розв»я.?:йл задач:: I) (у злпадку d ="\ » -teCoTl ) * sawnl 2) (у гсшздку v = 0 ) у вкглад! и» вт-Р^СМ , де r^ (X) - полпюгл степэня YL с:л1;:но1 X фхксовапому -t . у пригул цо вектор ^ натстить до облас?! гизкачекня оператора (тобто, -гчкз, :цо HcSiflO/R^U «о , де И - норма в Н ), sa су:сан1 aoaisoMZ Оеругься полхкски, як! яайлазуэть з!дпоз1цло уунхдГ£ с*4) . на niBoci з зато» • ILp'i с»о;лу дасгъок оцп;ка ашидксог! ябЬшостх: похабж сладас у параболхчяиг; зихтадку як у гiсерболiчхоу.у - як «^(-^кС) , . Ceil,!*! •

У глав: 3 пропонуеться ::етод побудови itwriHOSii» Pa. ,

який базусться на паб.и'лссннх ка п1зоо1 часдагаики сумами

IX рякхз Qyp's, побудовагЕк; за оргогонаяьнкдо многочленами Чеблаоза-чЕагерра, ¡цо утоорввхь оттонорглованлй сазис у простор! L^CCo,1»), , де ¿7-1- фасований параметр, a jl>0 -

число, зале:кн& ьхд вектора | . Цел метод цае точнхшу, к is оцер-:каиу у прадях Л.З.Бабпкг, оцштсу вЦхилекня, але у вужчому xoiaci лонакювпх дакмх. ¿а дояокогоо пього методу в термшах яаближень" розв'яз^пв вказаиях рхикянь пол¡номами вэд оператора ^ огшсують-*ся гайкам» акалхтичшис вгкторхв операторib A , К*" , як1 с шояинами початкозпх гшачень 1'ладких розв'язкхв таких дпферен-тиальпо-операторних pi ваши ь.

Глага 3 окладабться з трьох параграф. Перший параграф носить допоишшй характер. У пьому наведено основах ггоняттяЛ тпердлсеиня, по отосуоться узпгальнеиих многочленiB Чебишова-

Лагерра ид^^М ( \ 6 Со,»^ , , ; - фпссова-

н! парамегри).

У § 2 розглвдаеться ргвняшя

а'С^ + ¿(Щч^-О, Со,Т1, о <-Т< «, (Г4)

де К - иеввд'емний самоспряжений оператор у сепарабельному г!льбертовому 1ростор1 Н з щиьною обласгю визначення 50 (К) ,

о

- неперервна додатна на (о,Т1 скалярна фуккцгя, яка задо-

волыше умову <■ 00 .

о

Якдо для (14) задано почагкову умову

иОМ.^Н, (15)

то пвд розв'язком задач! Кош! (14), (15) розум!тимемо сильно яеперерчяо диферевдшовну фушщт ц: (о|Т1 9) (К) . яка за-довольняс р!вняння (14) I початкову умову (15) у тому сенс!, ню Д-» + 0 .

1

Вщомо, що функщя и. е розв'язком задач! (14), (15) тод1 1 т!лькя тод!, коли вопа подаеться у вигляцт

{ еСо,~т1,

о

Як в1дзначалось виде, у даному параграф! вивчаеться ыожли-в!сть зобракошш розв»язку задач! (14), (15) у випши и(4) =

Д«(оГГ1 . Де РпДЛ - полШом степеня «. зм!нноХ X при ф!ксованому ^ .

За шуканцй полшом вхзьмемэ частинну суму раду Фур'е функ-ц11! » побудованого за многочленами

Я1« утворююгь ортонормований базис у простор! Дании розкяад маз такий вигляд:

%гг„ т'

Нехай Р^-Цц. позначае частинну суму ряду (16). Теорема 3.2.Г. Явщо и.(о) = |е б^ОС) = I) ЗК^р (/А)) , то

для довЬлъного \ ?о !снують стал! с.=сф->0 . I

< V так!, що

Навпаки, якщо для д сякого ~Г"? о 1снують с таги Суо . уА>0 , о так!, що дая •иШ.Ь-Со,ТЗ , з а(о)Ц

виконуетъся умова (17), то • ^ *

Отже, яидо £ - акал!тичшй вектор оператора , тя

5и.р ЦаС^-Р^СЦ^иср11 , де о <. р<1 . Виявляеться, що J J

коли посилпти обмешшя на вектор ^ , то мозша одержати оцш-ку в даилення типу [""М . де 1>о • 3 ц!оэ метою подамо розв'язок задач: (14), (15) у вигляд1 ,

Ь(о,Т] ; де хГф-сЯВДЭД .и/а^-а^ША^

Якдо розкластл тепер функцП ,иГ в рдяи £>ур'е за многочле-наш Чебшова-Лагерра ^^ к I Цг ^ к в1дпов1дно I ^означити через Р^ к , р^ ^ частишп суш цюс рдд1з, то правильною с наступна теорема.

Теоэема 3.2.2. йнцо ^ е С^СК^^и ^ . 1,(3

для дов1Льного~Т>0 хснують стал: С., ,

1= ЦТЬо та«, «¡о

4:еСо,Т] / > «

/л

* зиь +

иДт] Л '

•»Ф /12л и |П+1/

ЫоТП

(18)

Навпаки, яйцо для деякогоТ>о шгують додатнх стал! С 1 I. так!, що для глШ з НооС^ виконуеться умова

Пидкреслш.ю, що многочлена г^ц ^ • Г^ п. виписуютъся явно. 0тг.:е, у теоремах 3.2.1, 3.2.2, використовуючи наблпження розв'я:пив задачI (14), (15) полшомаш в!д оператора , Еоганоплено иеобх.1дн1 \ достаг/п умови, яж\ характеризуют мноялни ана/'нтйчних всктор1в операторов , Д2" . Значено зв'я-зок м1ж шв;*лк1стн наблияешгя та гладглстю початковпх данях. ОукЛ.чы'.ч пол 1 ноггл Ра([0 у &21х випад!сах вига-.суиться явно, то 1||Ч;ои тпс11"лгн!ш вказанпх теорем моэша роэглядати як найлиао-к! исто-у. :<иахоцжсшщ ролв'язкхв вкапано! задач! у в1дгюввдш>:

класах початкових данях.

у § 3 аналог 1чн1 результат одержано для випадку задач! Кош!

для еволюц!йного р!вняння гиперболичного типу и"(0 = 0

рО . , иОй*^ , у припущен^, що вектори

де ]> .

0СН0ВН1 РЕЗУЛЬТАТЛ I ВИОКЗВКИ

1. Доведено теореш про граничнЗ; влаотивоот! при наближетп до г!перш101дини ^ = О гладких в 0. розв'язкхв загальних клас!в р!внянь парабол!чного типу з р!зними особливоотями (коеф!цхенти р1вняння стають необмелсеними, р!вняння можуть мати особливьтгь при похщнШ по /I , шститк оператор Бесоеля або псевдодиферен-ц!альний оператор) у просторах узагальнених функщй типу розпо-дШв та ультрарозпод!л!в класу Яевре.

2. Нобудовано новий клас псевдодиференц!альних оператор1в (зокрегла, операторгв дробового диференцшвання), ша д!ють у просторах узагальненнх пер!одичних функцхй та доалджено 3£хн1 властюост!.

3. ¡люГдено загатышй впгляд услх несглнченно диферечцшовних но ос : а) розв'язкхв р!внянь парабол!чного типу, що М1стять описан! у п.2 псевдо диферешдальн! онератори; б) розв'язхив парабо-лгших за Лотровськнм р!внянь л! сшчими коеф!ц!енташ (пер!одич-шш вппадок); в) розв'яэкхз сигнального клаоу р!в1инь парабшпч-иого тппу !з зросгавчими при 1x1-,+оо коеф!ц!ентами.

4. Доведено теореми про коректну розв'язнхсть задач! Коли для рхЕняль парабсл1чного типу з р1зниш особливостями, початковI дак1 у яких с узагальненими функщями з простор!в типу Б' • ' 5. Дослвдкено властивост! ло!сал1зац11 та слаб ко Л стабыпзацП розв'язк1в задачI Кош! для рхвнянь парабол1чнох'о типу з р1зшши особливоотями.

С. Вивчено властивост! перетворень типу Абеля-Пуассона формально рядЬ Фур'е (зокрема, формальних ряд1в Фур*е-Ерм1та, Фур'е-Лагерра, тригонометричних рядгв); наведено 1х застосування до диференц!альних р!внянь з частинниыи похвдними.

7. Одержано пол!ном1алъне зображення розв'язклв диферетЦально-операторчих р1внянь параболiчнoгo та г!пербол!чного типхв 13 не-вгд'бмним самоспряженим оператором А у гчлъбертовому простор!. Описано множили початкових значень розв'язк1в таких р!вняш> в тер:ш;ах лаближень розв'язк1в цих р1внянь полшомами В1Д оператора N , а само, описано множили анал1тичних вектордв оператор1в

К

8. Описано тополог 1чну структуру простор1в типу 5 . швархант-них вадпосно оператора Бесселя. Досл1цжено властивост! перетворен-ня Фур'г-Босселг, оператора узагальненого зеуву та 1нших основных операщА у таких просторах.

9. У ^спорадичному випадку побудовано к/тс псевдодиреренвдаль-них оператор1в, язи трактуються як звуження на I. \ (5\°) операто-• р!в згорткк специального вигляду, що цшть у простор! ^'эЦС^11) -простор!, тополошчно спряженому до простору ф , елементаки якого с несн11гчс1ЩО пн['оренц1попн1 на ^ функцГ! полхношальногэ пороку спахакня :;а нескЗшшшость Доели;*ено властивост! тшсих оператор !в та топологЬшу структуру простору 9 .

10. Доведено таореш про властивост1 класичних фундаменталъних розз'язтив р!внякь парабол1чного типу з р1знш<ш особливостяш як абстрактних функщй napaMerpiB t >0 та У просторах типу S-

Тают чином, в дисертацН: I) побудовано теорЬэ граничних зна-чень у просторах узагалытних фучкцш (розподШв, ультрарозпод1-л1в, гтерфушицй) гладких у mapi Q розв'язкгв загальних miaciB piBiMHb з чаотшшими похвдшши парабол1чного типу з р!зними особливостяш; 2) розвинеио теорпо зада-Л Kouii для вказаних рхвнянь у випадку, коли початков i nain с узагальненими функщямя з просто-piB типу S'»

Ochobhï результати дисертащ! опубликован i в працях:

1. Городецкий В.В. Принцип локализации для решений задачи Коши для параболических систем в классе обобщенных (функций бесконечного порядка II Дифференц. уравнения. 1985. - Т. 21,

В 6. - G. 1077-1079.

2. Городецкий В.В, 0 стабилизации решений задачи Коши для параболических по Петровскому систем в классах обобщзнных функций бесконечного порядка II Прямые и обратные задачи

■ спектральной теории дифференциальных операторов: С ci. науч. -тр. - К., 1905. - С. 23-31.

3. Городецкий В.В, 0 локализации решений задачи Коши для общих параболических систем в классах обобщенные функций / Прямые п обратные задачи снекграчьной теории дифференциальных операторов: С б, науч. тр. - К., 1986. - С. II-14.

4. Городецкий В.В. О локализации и стабилизации решений задачи Коши для параболичеегдх систем в классах обобщенных функ-фш Ц Изв. вузов. Математика. - 1987. - № 6. - С. 37-46.

5. Городецкий В.В. О периодической задаче Коши для уравнений параболического типа в массах обобщенных Функций К Диффе-

ренц. уравнения. - 1987. - Т.23, Л 10. - С. 1745-1750.

6.. Городецкий В.В. Некоторые теоремы о стабилизации решений задачи Коши да параболических по Шилову систем в классах обобщению: функций // Укр. мат. журн. - 1988. - Т.40, № I. -С'.. 43-48.

7',. Городецкий В.В. О локализации решений задачи Ковш для 2.1 -параболических систем-в классах обобщенных функций К Дифферент уравнения. - 1988. - Т.24, № 2. - С. 348-350.

8. Городе шшй В.В. 0 методе суммирования типа Гауоса-Вейерштрас-са кратных рядов Фурье в пространствах обобщенных функций •

II Изв. вузов. Математика. - 1988. - № 4. - С. 28-34.

9. Городецкий В.В. Задача Коши для параболических по Шилову уравнений в классах обобщенных периодических (функций // Изв. вузов. Математика.-.. 1988. - № 5. - С. 82-84.

10. Городецкий В.В, 0 суммировании формальных рядов Фурье методами типа Гаусса-Вейерштрасса / Укр. мат. журн. - 1989. -Т. 41, й 6. - С. 831-835.

11. Городецький В.В., Житарюк 1.В. Про розв'язки зздач1 Кода для р1внянь парабол1чного типу з виродженням // Доп. АН УРСР. Сер. А. - 1РЧ9. - X 12. - С. 5-8.

12. ГородецысиН В.В. Про полшом1альне зображення розв'язилв евсьт.лдШшх р!в»шгь парабол1чного типу в гыьберговому простор! Ц Крайов: задач! з р1экими вироджейнями 1 особливостями: 26. наук, праць. - Чер!пвщ, 1990. - С. 4-13.

13. Городецкий В.В. 0 полиномиальном приближении иешешш эволюционных уравнений параболического типа в гильбертовом нрост-рачство ( Мат. заметки. - 1991. - Г.49, вш. 3. - 0. 23-27.

14. Городецкий В.В. 0 полшомлальном представлении решений диь;.е-ге.нциалъпо-операторных уравнений гиперболического типа и

гильбертовом пространстве I Дифференц. уравнения.' - 1991. -Т.27, И 6. - С. 941-947.

15. Городецкий В.В. О представлении решений дифференциально-операторных уравнений гиперболического типа в полиномиальной форме } Изв. вузов. Математика. - 1991. - № XI. - С. 87-09.

16. Городецкий В.В., йдтарюк И.В. О скорости локализации решений заДЬчи Ковш для уравнений параболического типа о вырождением IIДифференц. уравнения.' - 1991. - Т.27, & 4. - 0. 697-699.

17. Городецький В.В., Яитарюк 1.В. Задача Коси для одного класу парабол1Чних систем з оператором Бесселя у просторах узагачь-

■ нених функщй I Доп. АН УРСР. - 1991. - Ш 7.-0. 20-23.

18. Городецький В.В^/Дрхнь Я.М. Парабол1чнх псевдодиференшалып рIвияння у просторах узагальнених пер1одичних фупкц!й // Доп. АН УРСР. - 1991. - С. 18-22.

19. Городецький В.В., .Отовченко В.А. Задача Копя для парабол1ч-' них псевдодиференщальних р1внянь у просторах узагальнених

функщй типу $ IIДоп. АН У1фа1ни. - 1992. - й 10. - С. 6-9.

20.' Городецкий В.В., Житарюк И.В. О разрешимости задачи Коаш для эволюционных уравнений параболического типа с вырождением в некоторых пространствах //.Дифференц. уравнения. - 1992. -Т*28, Я 8. - С. 1373-1381.

. 21. Городоцышй В.В., Йитарюк 1.В., Лавренчук В.П. Про слабку ста-бШзацш розв>язк1в задач1 Кош! для лШйних парабсуичнлх-р1внянь з оператором Бесселя // Доп. АН Украхни. - 1993. -М 2. - С. 5-9.

22. &огоМакУ.У.Л«ипоШ.1. КЫ. У* imm.na.iLon о1 йе

Р соли*- -Hemi.lt ъеях« Ц КБ«Е-ро<луж -

II Доп. АН Украхшь - 1994. - № 6. - С. 20-25.

23. Городецкий В.Л., Дринь Я.М. Параболические псевдодяфферен-вдшыше уравнения в пространстве обобщенных функций. - Львов/ 1992. - 57 с. - Препринт АН Украины. Ин-т прикладгаос проблем ' механики и математики; № 4-91.

Городецотй В.В. Исследование множеств начальных значений гладких решений дифференциально-операторных уравнений параболического типа.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-мате-, ляатичесшах каук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения, ЛьвовскиИ государственный университет им, Ивана Франка, Львов, Ï9S5. Защищается 23 научных работ, которые содержат исследования граничных свойств при приближении к гиперплоскости t = 0 гладких в слое Q.»(o,T] * ^ решений уравнений параболического типа. Построена: а) теория граничных значений в пространствах обобщенных функций (распределений, ультрараспределений, гк^рфункций) гладких в слое Q решений общих классов уравнений с частными производными параболического типа с различными особенностями; б) теория задачи Коши для указавших уравнений с начальными дашшми, являющимися обобщенными (функциями из пространств типа S'.

Borodetski U.U. The research of classes of initial values of the saooth solutions of differential-operator equations of the parabolic type.

The dissertation for a doctor's desree In physics and nathea-tlcs in the specialty 01,01.02 - differential equations,Lvlv State University named after Ivan Franko, Lvlv, 1995. 28scientlflc works ere supported. They contain studies of boundary properties of«the saooth in segnent ^(оД]*^ solutions of the equations of .parabolic type uhsn approachlnfl to the hyperplane t«=o • fHlfclTTo-' ulni have been constructed: a) the theory of the boundary values In rpac?s of the ueneralized functions (disrtibutlong, ultradistributions, hyperfunctions) siooth in seeaent,.]}. solutions of ве-nfiral classes of partial differential equations of parabolic type «1th different pequliarities; bD the theory of the initial-value Cauchy proble« for the indicated equations with Initial data, which are Generalized functions fron spaces such as S •

Югачов! слова:

pimumiut параСол1чного типу, граничн! значешш, гладк! розв'яз-кя, узага-UHoHi ФушсцЦ, задача Koinl.