Исследование моделей теории протекания и модели изинга на иерархических и пространственных решетках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

т о я 9 ?

Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации

Удмуртский государственный университет имени 50-летня СССР

На правах рукописи

БОВИН Владимир Павлович

УДК 538.91+514.752

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ ПРОТЕКАНИЯ И МОДЕЛИ ИЗИНГА НА ИЕРАРХИЧЕСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЕШЕТКАХ

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ижевск 1992

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Удмуртского государственного университета имени 50-летия СССР.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. А. Журавлев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А. А. Белавнн; кандидат физико-математических наук А. К. Аржников.

Ведущая организация — Институт прикладной физики РАМ, г. Нижний Новгород.

Защита состоится «¿6.» СйШ -3-Щ) И_ 1992 г.

. л ре о

в _часов на заседании специализированного совета

К 064.47.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Удмуртском государственном университете имени 50-летия СССР по адресу: 426037, г. Ижевск, ул. Красно-геройская, 71.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан «.

Л > - Т^С, Д V.

njjtA.ua

I~ С?/ л

'специализированного совета Йбда^аГ^из^)ко-ма^сматических наук,

1992 г.

•с

" 0 1 С ".Ь

А. Г. Иванов

асг ¡¿ця8

—5 ОШЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Вт^Л

143

Актуальность теш. Интерес к моделям теории протекают и ыо-. долям фазбьых переходе» не угасает? на протяжении уже десятков лет. Быстро увеличивается число я разнообразие моделей. Они маалн ..ра-менекие не только в самих различных областях физики, но и шагнула в биологии, химию, экономику и другие наук::. Существует глубокая аналогия между фазовьжи переходами второго рода и процессом образования бесконечного кластера в теории протекания. Образованно бесконечного к.таетерз есть фазовый переход, для описания которого вводят набор критических показателей погаюстьо аналогичный показателя« сущёствуюцим в термодинамических разовых переходах. Б обеих теориях критические показатели связаны между содой сотношенилт подофил. Эти утверждения об'яскяются существование у системы области промежуточной асимптотики. где все характеристики кластеров подобии их характеристикам в самой критической точке. Эти свойства позволяют эффективно в обоих случаях применять ренормалгоацйоннув группу в реальном пространстве.

Веркеру А. Н. и Остлунду С.Ш прянадлеаит замечание, что ре-курснонное соотношение вознякавдое в «етода рекорнаяжзационной группы может интерпретироваться как точное ренормалнзациониое преобразование на некоторой решетке, которая строится рекурсивным образом. Подобные решетки получили в литературе название иерархк-

i.Berker A.H..Ostlund S. Renormallsation - group calculation of finite systems:order parameter and specific heat for epitaxial odering. J.Phys.C; Solids Slate Phys., 1979, v. 12, pp.4961-4973.

ческах. После рзооты Кауфмааа И. и Грифритса Р. 5.121 было понято, что решение моделей фазовых перехода» и моделей .теории протекания га таких решетках самостоятельная и интересная-проблема.

Истерически первое появление иерархической решетки связано с иыекеы Шеннона К. t31, при рассмотрения Ш-пройлемы создания надежных схем аз ненздеяшх реяе. Цель работы состоит;

1) в установлений обеда свойств моделей протекания на иерархических решетках, которые вдают строгое математическое обоснование,

2) б нахождении способа точного вычисления спонтанной намагниченности. м критических индексов в модели Изинга на иерархических решетках,

3) построение и обосюаание метода эффективной среды, для решеточных моделей неупорядоченных сред, у которых матрица уравнеаИ Киргофа представима в виде суши некоррелированных между собой слагаешх.

Научная ноаизна и положения еыносишэ на ваюдту.

1. Байдена Еерхняя оценка полного числа кластеров в задаче связей па квадратной решетке. В общем случае, оценка выражается через статсушу модели Поттса.

2. Установлены обвде свойства функций геометрического а физического протекания на иерархических решетках. С поыоаьь неравенства Мура-Шеннона устанавливается совпадение критических точек указанных функций.

¿.Kaufiran М., Griffiths R, В. Exactly soluble Izing aodels on hierarchical lattices, Phys. Rev. 8, 1981, v.24, pp. 496-438.

3. Hyp Э.,Ееннон К. Надежные схемы из ненадежных реле. Кибернетический cdcpHKK. М.: ИЯ, ,1660, я1,109-148.

- о -

3.Дан строгий ьнзод формулы для спокгаяной кгл-агнйчеиноети в модели Изингь I» "йуйнавоЯ" иерархической решетке при двух способам БКЛЕЧейИЯ поля.

4. Показано, чго свободная энергия и огонталная аамагнячелносгь в модели Иэкнга на иерархических решеткам удсЕЯ«всрявт функциональным уравнениям, та коториз находятся точные выражения для критических индексов «, р, у, 6.

3, Введен критический индекс и для иерархических моделей, который »месте с другими найденыш критическими покааатеммк точно удовлетворяв* соотношениям подобия- в которая роль пространственной размерности играет разкериостъ подобая иерархической решетки.

6. Предложен иетод эффективной среды дяя вычисления гяектропрогод-кгс:* ^ваточных неделе.! няуперядеиенныч сред, ь которых матрица урыиеяяЛ Киргофа предотглкыа в виде яокорелифованнаг слагаемых. Проведены ътаспеккя иа примера задачи узяоз. Покагзко, что полученное решение удовлетворяет решеточному аналогу известно?^ для непрерывных сред соотеоиенл» дзойсгве.-гяосл:.

7. Сформулирован вариациоаннй принцип для решвточннх моделей неупорядоченных сред. Получены верхняя я кйзшяя оценка эффективней проводимости в задача связей, аналогичные сценкам Г^аимна-Стржк'ана в непрерывной случае. Сценки различии для решеток с разлйчкнмп координационными числами.

Практическая эпашмость рзйотьг. Полученные з днсоертацгзт тео- '• ретичкекие результаты иогут бить использованы а различных областях теории неупорядоченных систем и физики фазовых переходов: при нахождении критических индексов и спонтанной намагниченноетя в ыетодэ ренормализациоиной группа в реальном пространство для моделей фазовых переходов, при приближенном вычислении и оценке эффективных кинетических коэффнционтов неупорядоченных сред, таких как прово-

дикость, магнитная проницаемость, диэлектрическая пронвцаешсть, пронллаямость двухфа^^й зоны кристаллизующегося сплава и т.д. Апробация работы. Результаты работы докладывались на -4-ой Всесоюзной конференция "Про<5«еш исследования структуры аиорфных материалов" {Ижевск,19923

-на Ижевском городском ттеыатачеокок семинаре СИк<?аск,1385) -на теоретическом семинаре Фйамкс-технического института УрО АН СССР С Ижевск,1988)

-на школе сем&наре "Фиаиха аморфных сдладов" (Ижевск, 1Ш4> -на семинаре но данашческиь' системам и статистической физике на мехаяйко-катекатическон факультете МГУ ем.М.В.Ломоносова

Публикации, Основные результаты спу&такоганы в шеста работах, список которых приведен в Конце рс-фарэта.

Структура диссертации. Диссертация изложена нэ 128 страницах в состоит из введения, четырех глав, ваклсченяя и списка цитируемой литературы. В ней содерите» 6 рисунков и 6 таблиц. Список цитируемой литературы включает 106 наименований.

(ЗДЕШНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит краткое изложение содержания диссертации, обосновыьаатся актуальность работы, показана новизна, приведены основные положения, внносимыо на защиту

& первой главе работа;приводятся основные общепринятые положения теория протекания. Оригинальным! результатами являются введение среднего координационного числа к вычисление верхней оценка додаюго числа кластеров.

Пусть б^.к - член возраставшей последовательности графов, соотовт вэ Мк узлов и рейер. 11рм к -» и , в Ик —» » так,

что их отношите

остается конечвыи. Назовем это о-ногсшшэ средним коорякноциоитл числом. Если кусо:с решетки Сои. Риа. Кя)3, лкнейиый рзсмер которого при к —♦ » стреыигоя к бесконечности, то г совпадет с лоординациойнш числом решетки- Пусть в каждой уз та графа гадана переменная о^, которая мояет приникать <5 вядчепиЯ, так что 1,2,... С зкеиним полем Ь, гакилътовяаи югелй 11оттса ячеет вид

Н/ЪТ » -<:■£ .а ) - К-£и(а ,о>

«О» Л 5

(Т(сг. ,С.) S « J

1, eemt at = Uj

О, в ароттаноя случае

где перза* сумка «дет по вое« pedpaM, а вторая «о всей уэтаы решетки. Используя гамяльтоноиу -формулировку теории протекания в варианта предлогенном Bv U3, ь 5 3,1 вычисляется верхам оценка полного числа кластеров через статистическую сукну- модели Пот-тса

ДСр) a lim -5е ^ ~ ■ log С1-р5 * lim ~ -log Z Cp.qJ k-wa N^ 2 k-wa R^ 4 •

Здесь nfc среднее число кластеров в графе р - вероятностный параметр теории протекания задающий ййваркое распределение: каадоз pedpo независимо от других с вероятностью р целое л с вероятность») 1-р разорвано. Статистическая сумиа модели Г,оттса должна ¿5нть вычислена для h = 0 и - 1 - р. Для квадраткоп решетки при g = 2 правая часть неравенства вычисляется череэ известное решение моде-

ли йзшга

&Ср) 5 1од II + С1 - р)а3 +

к

1 г Г 1

г-г. * . * 1 2

•С1 + /Г-«5^5*

4 р(1 - р) -{2 - р)

с рг - 2-р + г ]г

Для одномерной решетки статистическая оумиа модели Потгса известна при любом д, ЛСр),в 1 - р, а оценка имеет £ид

ДСр) 1одч (д - Сд

Вторая глава посвящена моделям протекания на иерархических решетках. " •.

Пусть ■■ псоледоеательнссть графов с двумя выделенными вер-щиками А^ к Вк. которая строится по начальному графу <Зо в по графу Й спрэделяЕщему переход от Зк к . Подставляя ьцеото каждого ребра графаграфа вк , получим Иерархическая решетка по-^учае-сся в результате бесконечного числа итераций. Прямер, приведенный на Рио получил » литературе название бубноьой решетки.

При получении графа Gk + i иогшо только часть ребер графа G заменять на (5fc, таким образе« получается решеткг Бете <Рис.£С<Ш. Решетки, при получении которых зее ребра Графа G подвергается итерации обладает точным самоподсбием и для них вводятся размерность подобия

1л Р

Г» = -1,

i п. У

г„е у - число, покапывающее во сколько раз увеличивается минимальное число pedep соединяют*, выделенные узлы при переходе от графа Gt к GH); а Р - число р«5ар в графе Другой важной характеристикой иерархических решеток является среднее координационное число z. Модели теории протекания на иерархически* рекетках определяется обкчнш обраоом. Каждое ребро графа независимо от других с вероятностью р провопит и с вероятность» 1 - р является изолятором. Электрическую проводимость бк проводящих ребер считают одинаковой и выбирает га условия равенства проводимости графа единице, если все его ребра целке. Вводятся следуете величины; gfc{p) - вероятность наличия цепочки прозодявдх petíep, соединявши Ак И Bk; r^Cpi = H?k, где ífc - проводимость случайной цепи Gfc ыек-

ду точками А и В , о„Ср) - lint gvCp> и г_(рУ = lía г. fp). Фупк-

* . ™ к ta

ции да<р) я гф{р) называет фумэдгяш геометрической я физнчзско.1

проводимости, a pg = supíp: ga)Cp)=0>, pr = supfp; гга(р)=0> - геометрическим к физическим порогом. Обе функции могут быть определены на, любой последовательности графов с двумя выделенными вершинами и ,з частности, последовательность можно выбрать гак, что дотСр) совпадет с плотностьп. бесконечного кластера на пространственной решетке. Чтобы gm(p) совпала с плотность» бесконечного кластера на квадратной решетке, нужно отождествить границу каздого квадрата GK на Рис, 1 в точку В^ , а точку А^ выбрать в центре квадрата.

- го -

(а)

С 6)

А В

о о

А < > В, А <

Л> О'

V "

> в ^

1

О- а<Г>в-

А ? п

А ' б

Рис.2 а). Бу<1коейя решетка; б). Решетка Бете.

Случайные сред« можно разделить на устойчивые (11га В?. = 0) и

к-ко к

неустойчивые С11ш * 0). В работе доказывается неравенство к-ад

ив я> * с1 - Яа1(р»т*Ср)

кФШ К ч» «1

В частности, для устойчивых сред С1 -д^рЗЗг^Ср) - 0, и при условии совпадения порогов рг функция геометрической проводимости имеет значение 1 для всех р > р&.

Для иерархических решеток таких, что

б

° А

В.

и при построении которых все рефа графа заменяется графами 0к, с помощь» неравенства Мура-Шеннона [33 доказываются следуваде

О

- и ~

утверждения.

- Функция геометрической проводимости дш(р> определяется из соотношения д^СрЭ * дСд^(р>) , доСр) » р, где д(рЭ = д^р) совпадает о вероятность» наличия кепочка проводящих ребер в графе С, соеди-шажей А я В.

- Предел НпиСр) = д(р) существует и совпадает с одной из нвяод-

Ыда

вшшых точек функции д,

- Если дСр) д? р , то у нее не может бать более одной неподвижней точки на интервале ГО,11. Если такая точка есть, То ока всегда неустойчива и совпадает о рд.

- Если д!р) < р {дСрЭ > р) для всех х е <0,13, то р 1

Vй'

- Дуальная решетка к плоской иерархической решетке (граф б плоский) обладает порогом рд удовлетворяют« соотношению рд + р^ * 1.

- В любой иерархической решетке порог рг совпадает с о дне,., из неподвижных точек функции д.

- Если рр< 1, то рг= рд. В чаотностй Физический и геоыетричес-кий пороги совпадапт на иерархических решетках (си. Рис.ЗСаЗЗ.

В третьей главе исследуется модель Изиага на иерархических решетках.. Гамильтониан модели Изинга определяется обшшым образом

Н/кТ " .)•£ с -а * Ь-£сг , * 1

где первая сумма берется по всем ребрам реветки, с^ - переменная связанная с узлом 1 я пршшкавдая значения +1 и -1, Ь - внешнее поле. Проблема вычисления статистической суммы на иерархической решетке сводится к изучений некоторой динамической систем. Специальным выбором переменный от нее отделяется автономная динамическая система, траектории которой определяют свойства системн. Конкретные вычисления проводятся для бубновой решеткя. При нулевом

- 12—

кагннтаои шде динамическая сиотеш для лее имеет вид

Ч..

X » о

21

1

г

♦Ч? ]

ет1 , Ъ ' * вг'}

Свободная анергий вачисяекная кг одно рейро решетки равна

« 1 I 1 ш 1

Г » 14и —г-1п & = - - • 1г* 11- + - : £ —П- ln.il +. • к « 4* * . 2 ■ - • * г МО 4К

| к> г е 1 (в 1. (ь»

+ гг • а )1 а 2 - --1п I +£ ф <г - а„з>, ш

0 " 8 0 к=о 4к 0 '

гд® I" а означает к - раз прикененное преобразование

Г к 1с. Характер траекторий одномерной динамической системы 1 с ГС Ц) определяется велодвагными точками. На интервале (0,1) имеются три неподвижные точки, две из которых совпадают с концами интервала и суяерустойчиви, а третья Ь «г 0.296 неустойчива, так как ГСО а « 1*679. Траектории автономной одномерной система пра 1о< Ц сходятся в точку 0, а ври 1-о> 19 - в точку 1. В точке I ~ 1г наЗлвдается фаговый переход, что доказывается вычнс-яаикек к анализом , ороизводиых свободной анергии по температуре. Показано, что третья ароизводная имеет оеоЗеняость в точке I е I,. & вида рада Ц> коадо получить, что оВосЬдная энергия удаалегео-ря-гг функциональному уравнения

ГСГСШ * 4-ЕСР +

■К в - -Ее -(Гд'ЮфСКЕ сг -сг э

Ъ со> д а < л1

где

дС1) » 2-1п I - «« - 1п «Ш. 2

Функаиональное уравнение позволяет; установить, что сингулярная часть свободной энергии в окрестности точки фазового перехода Спри I - 1ЯС< 1> ведет себя степенный образом и найти крктш кнД «адеко

. а 2 - 1п4/1гЛ1 .

Корреляции ыс-«ду спинами в выделенных узлах и В^ графа 0к списываются функцией 1

•Е а.-сгя-егфС}'

где 2 - статистическая суку.а иа к-таге. Вычясленяя проведенные для бубновой решетки показывают, что ври ¿1 « 1 - 1ч<< 1

I

К екрС - ).

где Ь расстояние между выделеньшн узлами А и В, понимаемо© как

. 1м

нияималъное число ребер их соединявши, а величина £ (ди*^ играет роль корреляционной длшш. и, следовательно, критическая индекс V равен 1пН/1пХ1.

При ненулевом .внешней поле свободная энергия модели йзияга такяе может, быть представлена в виде ряда, но существование спои-тарной намагниченности оря теиператере иикэ точка фазового перехода из. этого представления неочевидно, В работе предлагается способ вычисления спонтанной намагниченности на иерархических решетках Вычисления для бубновой решетки приводят к кадсагнжчвнностя равиоЭ

оТСЛ.Ы

С —ШИЧИЦ*. .МП е

И» йЬ в

. 5»з-с п а ♦ •),

.1 й в . ^ -

¿со

"^.¿е*2:'.; (2)

При I ¿.Ц (парамагнитная область!) правая часть С2) обращается в куль, функция р удовлетворяет на отрезке ГО, 11. функциональному уравнению

1 - ^

рСГС ХП

из которого находится критический индекс

/3"«? 1П.С1- ♦15Мп к* 0.1817

Критический индекс £ вычисляется н други« образом. Вводится функция Ф трех переменных, которая на одной из Плоскостей в пространстве своих аргументов совпадает со свободной энергией модели йзия-га с внекним полем И.' В работе показано, что функция Ф ¿удовлетворяет функциональному уравнению, решение которого 6 окресноста точки ферромагнитного перехода дозволяет найти критические индексы а, г, <5. Результаты для ой (3 совпадают с приведенными выше. Для Показателей у а б получено

г «сг-зп х - »лп х

* 4 в • 4 I

6 * 1п X /С1 - 1п X Э.

4 Я 4 1

где Хя = 4/С1 + 1*5. Найденные критические показатели точно удовлетворяй? соотношениям подоо'ая

а = 2 - Ъ-1> = 2 - 2-(3 - }-

6 = 1+ г//з

»■г« 2-/3 + Г #

где В размерность саноподобия иерархической решетки.

Четвертая глава посвящена решеточным моделям неупорядоченная срец. Рассматривается вопрос о вычислении эффективной проводимости неоднородных сред со случайным распределением компонент. В начало главы приводится краткая история вопроса„и обзор основных результатов имеющихся в литературе, в простейшем случае смеси из двух компонент с проводасстями и сгЕ и концентрация».« р и 1-р, соот-ветствеяно. Смесь предполагается однородной и' изотропной на масштабах больших по сравнению с масштабами неоднородностей. Полного ответа на вопрос не существует. !Зо' всем интервале концентраций и произвольно« соотношении между проводимостями компонент приходится ограничиваться приближенными эвристическими методами вычисления эффективной проводимости. Наилучший среди них, следует признать метод рфлективной среди, в котором обе компоненты фигурируют симметричным образом. Решение, получаемое этим методом, обладает рядом достоинств. Так оно всегда расположено между точной верхней и нижней оценками проводимости изотропной неупорядоченной среды [3,63 , дает правильный ответ в двух предельных случаях, где оказывается возможным вычислить в общем виде проводимость смеси. Один случай соответствует малой концентрации одной иэ компонент, другой малой разнице в проводимостях компонент. Для двумерных сред решение получаемое методом эффективной среды удовлетворяет ваыюму соотношения двойственности Лыхнь С7) . В связи с этим оно дает

- 16 - .

точный результат при р = 1/2 для двумерных сред*

о = Се> -<гУ/а,

у которых статистические свойства в расположении обеих компонент одинаковы.

Введение решеточных моделей неупорядоченных сред вносит вовне возможности для исследования: возможность корректного рассмотрения случайных нолей, широкое применение комбинаторных рассуждений и компьютерных экспериментов. Для решеточных моделей проблема сводится к решении уравнений Киргсфа, имевшими, вид систеш линейных алгебраических уравнений со случайными ксюффвдгантами, и последующему усреднению решения по распределении компонент.

Для задачи связей метод эффективной среды подробно обсуждался В работе Г8]. Метод обосновывался с помощью разложения обратной матрицы сравнений Киргофа по I - матрицам отдельных связей,, ранг которых равен единице. Оптимальный выбор эффективной проводимости ребра реиетки сводится к занулешш среднего от I - матрица. Однако, как отмечается в работе (71 , такой выбор плох для задача узлов из за корреляций в яроводшостях отдельных ребер.

В § 4.2 обобщаются рассуждения работы 191 на случай решеточных моделей, у которых обратная матрица уравнений. Киргофа «охот быть разложена по некоррелированным между собой I - матрицам, ранг которых больше единицы. 2 этом случае нельзя выбором одного параметра (эффективной проводимости) добиться обращения в нуль среднего от I-матрицы. Пусть вектор 5, задавший прзвув часть уравнений Кмргофа, удовлетворяет соотношению : 1-5 = , где Г^ - собственный вектор 1-матрии.ы, а X - соответствующее ему собственное значение. Тогда как показано в § 4.2, наилучший выбор эффективной проводимости соответствует услови» •*

<t,'fx> = О

Задачу связей удается свести к данному случая, В модели с порогом, когда проводимости pedep, выходящих из узлов и имеющих концентрация 1 - р , не проводят, вычисления приводят к эффективной проводимости'равной :

о(р) = -Ь- ■ р - — • t- 0СС1-р)гЭ 1-Х 1-Х

Значения X для некоторых решеток приведены в таблице 1. Наклон- фушщи otp) .ар« pel для квадратной решетки совпадает о модельным экспериментом работы £93. В § 4.3 показывается, что известное в непрерывном случае соотношение двойственности, для решеточных сред, связывает . эффективные проводимости дуальных решеток. Этому соотношении двойственности-удовлетворяют приближенные проводимости дуальных решеток, получаемые предложенным методом эффектной. среды. Соотношение двойственности позволяет точно вычислить проводимость самодвойственный сред и оценить скорость стремления к

5. Hashin Z., Sthriknan S. A variational approach to the theory of the effectifve magnetic permeability of multiphase materials. J.AppL.Phys., 1962, v. 33,.pp3223-3231.

8. Konler W., Papanicolaou G. P. Bounds for the effective conductivity of random media. Lect.notes in Phys., 1Q82, v.154, pplll-130. 7. Днхке A.M. Проводимость двумерной двухфазной системы. ЖЗТФ, 1970, ИШ, с. 110 . ; ; .

S. Kirkpatrik K.S. Percolation atid conductivity. Rev. Mod. Phys., 1973, v.45, pp.574-614. ;

9. Watson B.P., Leath P.L. Conductivity in two-dimensional-site percolation problem. Phys. Rev. P., 1974, v.9, pp.4893-4896.

нули проводимости двухкошоневгной среди при уменьшении проводимости одной из компонент к нули.

В общем случае эффективная Проводимость бинарной решеточной среды должна удовлетворять неравенству:

1-Р , , Р

♦ — - ™

<

^ ♦ ----< О < tra + -J— (3)

где Г = Zsz , а г - координационное число решетки, • Это неравенство получено из вариационного принципа, сформулированного для решеточных моделей неупорядоченных сред в § 4.4. Для кубической, решетки это неравенство эквивалентно неравенству Хашшт-Стрикыава для непрерывной среды [5]. Уменьшить "вилку" неравенства СЗЭ можно лишь сухая класс рассматривавши систем. ,

Таблица 1

Решетка X . c'Cl)

Квадратная н-1 я ' л

Кубическая 0.60482 г.зз11з

Треугольная 0.64100 2.78552

Шестиугольная 3/4 4

-19 -

Оснозяке результата диссертации опубликованы в работах

1. Бовин й.П., Васыпш В.В., Шнейберг И.Я. О рекурсивных моделях в теории протекания. Теоретическая и математическая физика, 3883, т.54 в 2, стр. 286-285.

2. Бовин Б. П., 1нейберг И. Я. Вариационный принцип для решеточных моделей неупорядоченных сред. Сб. "Фгзика аморфных сплавов", Ижевск, 1884, вшт.6,. стр.81 -86, ' 1 .

3. Вовин В.П., Васькин В,В., Шаейберг И.Я. .Метод эффективной среды в рйветочиых моделях теории протекания. Сб."Структура и свойства аморфных сплавов", Устинов, 1986, вып.7, стр. 103-114,

4. Бовин В.П., Васькин В.В., Шнейберг И.Я. Метод эффективной среды я эффективная проводимость дуальных решеток. Сб. "Физика неупорядоченных систем". Устинов, 1983, вып. 8, стр. 49-54.

9. Бовин В. П.,. Шнейберг И. Я. Оценка числа кластеров.. Сб. "Кристаллизация. Теория я эксперимент" Ижевск. 1087, стр.65-70. • б. Бовин В.П;., Шнейберг И.Я. Намагниченность, в модели Изшга на иерархических, решетках. Теоретическая и математическая физика. 1988г., т.74, N3, стр.469-474, >.'

№