Исследование модели теории протекания и модели изинга на иерархических и пространственных решетках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

м V

•г.; а и г> ^ .у

Л\ииистерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации

Удмуртский государственный университет имени 50-летия СССР

На правах рукописи

БОВИН Владимир Павлович

УДК 538.91+514.752

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ТЕОРИИ ПРОТЕКАНИЯ И МОДЕЛИ ИЗИНГА НА ИЕРАРХИЧЕСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЕШЕТКАХ

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

<•4 и .- 11РОуЬ- ':<•,<

Ижевск 1992

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Удмуртского государственного университета имени 50-летия СССР.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. А. Журавлев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор А. А. Белавин; кандидат физико-математических наук А. К. Аржников.

Ведущая организация — Институт прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород.

Защита состоится «_» _ 1992 г.

в __ часов на заседании специализированного совета

К 064.47.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Удмуртском государственном университете имени 50-летия СССР по адресу: 426037, г. Ижевск, ул. Красно-геройская, 71.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Удмуртского государственного университета.

Автореферат разослан «_»- 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических наук, доцент

А. Г. Иванов

ОБЩАЯ ЮФАКТЕРИОТШ РАБОТЫ

Акгуаяъкоет'ь теми. Интерес к моделям теории протекаки« и мо. долям фазовых перехода» на угасает ка протяжении ухе десятков лет. Быстро увеличивается число я разнообразие моделей. Они наали ..рн-иенекие на тальк» в самых различных областях физики, но и шагнул» в биолопш, химио, ¡экономику и другие науки. Сукузстаует глубокая аналогия нёаду фазовшж переходами гторого рода п процессом образования бесконечного кластера в теории протекания. Образованно бесконечного кластера есть ^азовий переход, для описания которого «водят набор критических показателей полиость» аналогичный показателям суцёстаущиы в термодинамических фазовых переходах. В обета теориях критические показатели связаны «езду собой сотиошеииями подобия. Эта утверждения об'ясклются существование у системы области промежуточной асимптотики, где все характеристики кластеров подобны ил характеристикам в самой -критической точно. Эти свойства позволяет эффективно в обоих случаях применять ренормагогеационную группу й реальном пространстве,

Беркеру А.Н. и Остлунду 0, £ 13 принадлежит замечают, что ро-курсиоиное соотношение возникающее в метода реноркаляоацношюй группы мошт интерпретироваться как готов реаормализациовйо© преобразование на некоторой решетке, которая строятся рекурсивным образом. Подобные решетки получили в литературе название•иерархи-

1. Berker А.Н. ,0stlund S. Renormallsation - group calculation of finite systems;order parameter and specific heat for epitaxial odering. J.Phys.C: Solids State Phys.. 1979, V.12, pp.4961-4973.

часкнх. После раоот» Кауфмана М. и Грй$фаггса Р. Б. 123 было понято, что решений моделей фазсзкх переходов и моделей теории протекания на таких решатках самостоятельная н интересная проблема.

Исторически первое появление. иерархической решетки обязано с именем Шеннона К. (35, при рассмотрения кы-проблемы создания надежных схеи кз ненадежных реле.

Цель работа состоит: 1) в установлений ckJ«hx свойств моделей протекания на иерархических решотках, которые wsur строгое математическое обоснование, 2> ь нахождении способа точного вычисления спонтанной намагниченности и критических индексов в модели Изинга на иерархических решетках,

3) построение л обоснование метода эффективной среды, для решеточных моделей неупорядоченных сред, у которых матрица уравневИ Киргофа предстаЕима в виде суммы некоррелированных ыехду собой слагаемых;.

Научная новизна и положения выноояшэ на ваакту.

1, Найдена верхняя оценка полного числа кластеров в задаче связей на квадратной решетке. В общем случае, оценка выражаатся через статсумау модели Поттса.

2. Установлены обаде свойства .функций геометрического и физического протекания на иерархических решетках. С помощью неравенства Мура-Юэянока устанавливается совпадение критических точек указанных функций.

2.Kaufman М., Griffiths R. В. Exactly soluble Izing models on hierarchical lattices. Phys.Rev.B, 1981, v.24, pp.496-4S8.

3. Hyp Э. .Ееннон К. Надежные схеш из ненадежных реле. Кнбернеги-ческий сборник. М.; ИЛ., 1960,«1,109-148.

- у -

3.Дан строгай ьывод форму/т для споктакной яауагнйченноети к «одели йзиига на "бубновой" иерархической решетке при двух сдаеооал вкточепия поля. •

4, Локагано, чго свободная энергия а спонтанная намагниченность а модаяи !5зкнга на иерархических решетках удсвлййеряот фуякциокань-ьш уравнениям, иэ которыэ заходятся точные выражения для кряту-ческузг индексов а, (3, г, 6.

Б, Введен критический индекс и дчя иерархических моделей, котсрй? вмс-сте с другими иайденьши критическим! покаяатокяю? точно удовлетворяв соотношениям подобия, » которая роль пространственной рзз-мерности играет раакерность подобия иерар:скчэсксй решетки.

6. Предложен нотод эффективной среда для ыгасяенвя гяектропрсвод-кгО"?- реааточиых неделей ноуперядо'-'инкы.ч сред, з которых награда

Киргофа представима в шаг нокереттрованяш' спагаешх. Проведены вычисления на прикере задачи уэяов. Показано, что полученное решение удовлетворяет решеточшиу аналогу /звестно^ дяч непрерывных сред соотношение двойстБеяяогта.

7. Сформирован вариационный принцип, для решеточных юделей неупорядоченных сред. Получена верхняя я газяяя оценки з^фэкттспей проводимости в задаче связей, аналогичные оценкам Хацшна-Стрзккаяа в непрерывной случае. Оценки различии для решеток с различными координационными числами.

Практическая значимость работы. Полученные з диссертации теоретические результаты могут быть использованы а разлн'шых областях теории неупорядоченных систем и физика разовых переходов: пра нахождении критических индексов л сгсоагакноЯ иашгначегшости з хетодо ренориализацнонпой группы в реальном пространство для моделей фазовых переходов, при приближенно;* вычислении я оценке эффективных кинетических коэф$ициэнтов неупорядоченных сред, таких как лрово-

- б -

¡ж'с-сть, натякткая проницаемость, диэлектрическая проницаемость, прон...аеыасть лвухфааной аони кристаллизующегося сплава и т.д. ЛпроОачкя работы. Результаты работы докладывались на -4-ой Всесоюзной конференции "Проблемы исследования структуры ¡аморфных матери а лоз" СЙхевок.1&93)

-на И?евокоы городской ьатекатнчесхок сешшаре (Игевск, 1983) -на теоретической семинаре Физико-технического института УрО АН СССР СИкэвсх,198йЭ

-на школе семаяаро "Физика аморфных сплавов" {Ижевск, 1984) -на семинаре по динамические системам и статистической $взике на мгхаяико-ыагешгичаскоы факультете МГУ км. М. В. Ломоносова

Публикации. Основные результаты опубликован« в шести работах, список которда приведен в конце речрерэта.

Структура диссертации. Диссертация изложена аэ 128 страницах и состоит из введения, четырех глав, еаключэлия и списка цитируемой питературы. В ней содержится 6 рисунков и 8 таблиц'. Список актируемой литература вешгчзот 106 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержат краткое изложение содержания диссертации, обосновывается актуальность работы, показана новизна, приведена основные положения, внносиьшо да защиту

& первой главе работы1приводятся основные общепринятые положения теория протекания. Оригинальными результатами являются введение среднего координационного числа и вычисление верхней оценки полного чзела кластеров.

Пусть ¿¡..к - член возрастающей сосяедователыюсти градов, состоят аэ узлов и ребер. При к -♦ о> , и Нк -* ю так,

что их отношение

г - lin

' ^ \

остается конечным. Назовем это o-nomemre сродним координационным числом. Если Gt кусок psatTra (est. Рис.Ка)>, лкнейшй размер которого при к —» » стремятся х ¿ескинечности, то z сошадег с координациояню» числом рейэтк». Пусть в каждом узле графа гадана переменная . которая может приникать q зяачениЗ, так что ct~ 1,2,... ,q. С гкевнта пелен h, гаиияькшав полая« Поттса имеет вид

НА-Т » -£-£<5Ссг..СО " h-ZCÇa .cô « tj> 1 J <

• J

1, если crt= Oj

О, в ароткьном случае

где первая суша, идет го всем ребрам, а вторая по все« узлам ре~ истки. Используя гадальтонову форнулнрорху теории протеканая в варианта предложенном By С 43, и 5 3,1 вычисляется верхняя оценка полного чнеяа кластеров через статистическую суиму модели Поттса - '

ДСр) а 11в £ J • iog U-рЗ + Пи - -legaZ.Cp,<p

k-WJ fy. Z 4 k-KD 4 *

Здесь nfc среднее число кластеров в графе Gk, р - вероятностный параметр теории протекания эадайаий йинаркоэ расгфеделеяие: каздоэ pedpo независимо от других с вероятностью р целое и с вероятность» 1-р разорвано. Статистическая сумма модели Поттса должна быть вычислена для h = О н е*с - 1 - р. Для квадратной решетхи при g = 2 правая часть неравенства вычисляется через известное решение коде-

г--1

б.

—1

т —

а з

Рис. 1 Послгковательяость возрастающих графов,моделирующая квадратную т>ешетку. •

ля йзияга

&Ср> < 1о3 £1 + С1 - р)8} +

+ - -Г <1х 1од [ ~ -С1 + /Г - Г 5

г-г.1 . * I г

ф а

4 р-сз - рз-сг - р)

с рг - г-р + 2 з2

Для одномерной решетки статистическая суша «одели Поттса известна при любом д, ДСр) » 1 - р, а оценка имеет вид

Мр> ¿-1одч - Сч - 1)-р)

Вторая глава дасвяаеиа моделям протекания на иерархических решетках. , ' .

Пусть вк •• последовательность графов с двумя выделенными вершинами &к у, Вк> которая строится ко начальному графу (Зо и по графу О определяющему переход от СЗк к , • Подставляя вместо каждого ребра графа С граф* Ок , яолучии ^ Иерархическая решетка получается в результате бесконечного числа ктерэдий. Пример, приведенный «а Рис. 2<а< получил в литературе название бубновой решетки.

При получении графа шжно только часть ребер гра&а G заменять на Ök, таким образом получается ршеткэ Бете (Рис.ЕСбЛ. Решетки, при получении которых see ребра графа G подвергаются итерации обладает точным саыоподсбием » для них вводятся рагшерность подобия

п 1п Р*

In у

г„е у - число, доказывающее во сколько раз увеличивается кинииаиь-; ноа число pedep соединяющих выделенные узлы при переходе от графа Gk а Р - число рн5ер е графе G(. Другой важной характе-

ристикой иерархических р<?и>еток является среднее координационное число г. Модели теории протекания ка перархическ:« решетках определяется скЗычным образом. Каждое ребро графа независимо от других с вероятностью р провозит и с вероятностью 1 - р является изоллтерои. Электрическуо прогодимость dk проводяккх ребер считавт одинаковой и вкбирают из условия равенства проводимости графа G^ единице, если все его ребра целые. Вводятся следующие величины: gfc(p) - вероятность наличия цаточкч проводящих ребер, соединявцих Aj, я Bt; г^Ср) = , где ~ проводикссть случайной i-ena иея-

ду 1 очками А. и В. , а (р) - Ив д. Ср> л r„Cp) = lim г.Ср). Функ-* к at M at к ■ , . . к га

ции дш(р) и гго<р) называет функциями- геометрической я физической проводимости, a pg = supip: gro(p)=0>, pr = supip: гюСр)=0> - геометрическим к физическим поротом. Ode функции когут о'нть определены на любой последовательности графов а двуия выделенными вершинами а ,в частности, последовательность wcsho вобрать так, что gœCp} совпадет с плотность», бесконечного кластера на пространственной решетке. Чтобы аго(р) совпала с плотность» бесконечного кластера на квадратной решетке, нужно стоядествять границу каждого квадрата Gs. на Рис, Î в точку Bfc , а точку А,, выбрать в центре квадрата.

- го -

(а) е-^э К к 0 ж а/ 4 : «ц^ п

с - с с . I «1* 1

Ш 0- А о

• <3 о в О п*г

Рис.2 а). БубноЕ&я решетка; б). Решетка Бете.

Случайные среды можно разделить на устойчивые СИш О?.. = 0} и

к-ко *

иеустойчквыз С11® Т)? * 0). В работе доказывается неравенство

1С-КГ

ивм;к * а - д^ср)) т^ср)

В частности, для устойчивых сред (1 -д^СрПг^Ср) - 0, в при условии совпадения ворогов рд= рг функция геометрической проводиюстк Имеет знвчание 1 для всех р > р^.

Для иерархических рещеток таких, что

С = е-0 А.

В.

и яри построении который все ребра графа бк+1 заменяется графами Ок, с помощью неравенства Мура-Шеннона 133 доказываются следующие

утверждения.

- Функция геометрической проводимости д№Ср) определяется го соотношения дыСрЭ - дСд^Ср)) , доСр5 р, где дСр) => д^р) совпадает о вероятностью наличия девочки проводящих ребер в графе <3, соеди* йягжей. А Я б. •

- Предел Нгад(р) = дт(рЭ существует а совпадает с одной из непод-

•к-ко . •

витакх точек функции д,

- Если дСр) цр, то у нее не ыокет быть более одной неподвижней то*ше на интервале (0,11- Если такая точка есть, то она всегда неустойчива и совпадает ср.

9 -

- Если д(р) < р (дСр) > р) для всех х б СОД), то рд= 1

0). -Дуальная решетка к плоской иерархической решетке (граф б плоский) обладает порогов р удовлетворявшем соота^иепив рд + р^ = I.

- Б лвбоЯ иерархической решетке порог рг совпадает с о дне./из яе~ подвйэшш точек функция д.,

- Если рг< 1, то рг= В частности физический ¿5 геокетричес- . киЯ пороги совпадают ва иерархических решетках (см. Рис.2СаЗ).

В третьей главе исследуется ыо л ель йзинга на иерархических решетках. Гамильтониан иодели Изинга определяется обычяш образом

я Л-З сг,-сг ♦ Ь-2<г', <!,)> 1 1

где первая сугша берется по всем ребрам решетки, а^- переменная евязанкая с узлом 1 и пртамаюа&я значения +1 и -1, Ь - внешнее поле. Проблема вычисления статистической суммы на иерархической ршетко сводится к изучению некоторой динамической системы. Спеня-альнам выбором переменных от нее отделяется автономная динамическая система, траектории которой определяют свойства система. Конкретные вычисления проводятся для бубновой решетки. При нулевом

- 12 -

магнитном поде дашауяческая снотема для нее имеет вад

• 2"У ] ли? I

5£0 в е-5 , ^ « е"^"* Свободная энергия вычисленная г 1 одно ре<5ро решетки равна

■ 1 1 1 в 1 к« 4 * .г 4 е »«Г

11с > ее 1 » 1 (*> '

+ гг а >3 1 »•-■■1я1 + е -..-1пф(г (I з). с» ° 8 0 кГс 4к 6 '

где 1 2 Ц шначает к - раз примененное преобразование

Г к1с. Характер траекторий одномерной динамической систему » определяется неподвижными точками. На интервале

С 0,11 нмеотся три иепсдвяшда точки, две из которых совпадают с концами интервала и суверустойчиви, а третья I «а 0.296 неустойчива. так как ГСО з Х.( ^ 1.679. Траектории автономной одномерной системы при 1о< Ц сходятся в точку С, а пря 1о> - в точку 1. В точке I - каботдаотся фазовый переход, что доказывается вычислением к анализом производных свободной энергии по температуре. Показано, что третья производная имеет особенность в точке I « Из вида ряда С1) можно получить, что свободная энергия удсвлетво-ря-гг функциональному уравнении

• 4 ГСи «- дСО.

где

дСО « 2-1п I - --1п ГШ - 1п ¿Ш. 3

Функхшонаяыгое , уравнение позволяет установить, что свпгулярная часть свободной энергия в окрестности точки фазового: перехода С при I - 1ж« 15 ведет себя степенный образом н найти кркташ гс«й индекс

а р 2 - ШДп*-, • Корреляции между спинами ь вндеяенншс узлах А^ н Вк графа ояйсывавтся функцией •

1

К в - сг. -гг„'еЕрС.Ь £-а, ,

где 2 - статистическая суша та к-шагэ. Вычзсяеняя проведенные для

бубновой решетки тюказиваст, что при М, » I * I. << I

" ' V ■

К ехрС — —- 3-

■ ^ ■ е

где I расстояние нежду эыделеньшн узлами А и В, погашаемое как

»па

минимальное число ребер их соединяющих, а величина (

играет роль корреляционной длина, и, следовательно, критический

индекс г» равен 1п2>1|Л ,

Пря ненулевом .внешней попе свободная эяергяя модели йзнкга также может быть представлена в йидё ряда» но существование споп-тайной намагниченности при теыперат&ре ни*э точка фазового перехода из этого представления неочевидно. В работе предлагается сносок вычисления спонтанной намагявчеиноеги на иерархических реоетмх вычисления для бубнсбоа решетки приводят к наштячвяносгк рамой

Ш(3) С Ии —~ в у,

1»«+ аь 0

0 *го 4**4

При I & (парамагнитная область) правая часть С2) обращается в нуль, Функция р удовлетворяет на отрезке ГО.13 функциональному уравнении

рсга зз

1 - , пит-] Л

о

из которого находится критический индекс

/3 = 1п (1 4 ф/1п 0.161?

Критический индекс /3 вычисляется й другим образом. Вводится функция Ф трех переменных, которая на одной из плоскостей в пространстве своих аргументов совладает со свободной энергией модели йзин-га с внешним полем Ь. В.работе показано, что функция Ф/удовлетворяет функциональному уравненао, решение которого в окресности точки ферромагнитного перехода позволяет найти критические индексы а, Д, 6. Результата для а к (3 совпадает с приведенными выше. Для Показателей у й б получено

г »сг-зпд, - п/1п4х(

б = 1п х /а - 1п х).

4 * 4 1

где Xz = 4/(1 + t*). Найденные критические показатели точно удовлетворяют соотношениям подобия

а = 2 - D-i> = Z - 2-/3 - 1

5=1+ у/р D-t> в г-fi + у ,

где D размерность саноподобия иерархической решетки.

Четвертая глава посвящена решеточный моделям неупорядоченный сред. Рассматривается вопрос о вычислении эффективной проводимости неоднородных сред со случайным распределением компонент. В начало главы приводится краткая история вопроса н обзор основных результатов имеющихся в литературе, в простейшем случае смеси из двух компонент с проводогасстяш с, и сгг и концентрациями р и 1-р, соответственно. Смесь предполагается однородной и" изотропной на масштабах больших no сравнении с масштабами неоднородностей. Полного ответа на вопрос не существует. !Зо всем интервале концентраций и произвольной соотношении между проводшостями компонент приходится ограничиваться приближенными эвристическими методами вычисления эффективной проводимости. Наилучшим среди них, следует признать метод эффективной среды, в котором обе компонента фигурируют симметричным образом. Решение, получаемое этим методом, обладает рядом достоинств. Так оно всегда расположено между точной верхней а нижней оценками 'проводимости изотропной неупорядоченной среды Ш.61 , дает правильны!! ответ в двух предельных случаях, где оказывается возможным вычислить в общем виде проводимость смеси. Один случай соответствует малой концентрации одной иэ компонент, другой малой разнице в проводимостях компонент. Для двумерных сред решение получаемое методом эффективной среди удовлетворяет важному соотношению двойственности Дыхяе [7} . Я связи с этим оно дает

- 16 -

точный результат при р = 1/2 для двумерных сре;^

о = ка -а )"'*, t %

у которых статистические свойства в расположении обеих компонент одинаковы.

Введение решеточных моделей неупорядоченных сред вносит новые возможности для исследования: возможность корректного рассмотрения случайных полей, широкое применение комбинаторных рассуждений и компьютерных экспериментов. Для решеточных моделей проблема сводится к решение уравнений Киргофа, имеющими, вид; системы линейных алгебраических уравнений со случайными козффищгантаыи, и последующему усреднении решения tío распределении компонент.

Для задачи связей метод аффективной среды подробно обсуждался В работе 181. Метод обосновывался с помощью разложения обратной матрицы сравнений Киргофа по i - матрицам отдельных связей,, ранг которых равен единице. Оптимальный выбор эффективной проводимости ребра решетки сводится к зануленив среднего от t - матрицы. Однако, как отмечается в работе Г 71 , такой выбор плох для задачи узлов из за корреляций в проводикостях отдельных ребер.

В § 4:2 обобщаются рдссуадеьця работы 191 на случай рещеточаых Моделей, у которых обратная матрица уравнений. Киргофа «охот быть разложена по некоррелированным между собой t - матрицам, ранг которых больше единицы. В этом случае нельзя выбором одного параметра (эффективной проводимости) добиться обращения в нуль среднего от t-матрицы.. Пусть вектор s, задавший правую часть уравнений Киргофа, удовлетворяет соотношении : t S = t-f^ , где fx - собственный вектор t-матрицы, а\ - соответствующее ему собственное значение. Тогда как показано в § 4.2, наилучший выбор эффективной проводимости соответствует условию :

a-fx>=o

Задачу связей удается свести к данному случая. В модели с порогом, когда проводимости ребер, выходящих из узлов и имеющих концентрации Î - р , не проводят, вычискения ¡приводят к эффективной проводимости'равной :

оСрЗ к _L . р _-L. + otCl-p)*} 1-Х 1-Х

Значения X для- некоторых решеток приведены в таблице 1. Наклон фунщш crCpj .яри р = 1 для квадратной решетки совпадает с модельным экспериментом работа 191. В § 4.3 показывается, что новостное з непрерывном случае соотношение двойственности, для решеточных сред связывает э£фективны& проводимости дуальных решеток. Этому соотношении двойственности удовлетворяют приближенные проводимости дуальных решеток, получаемые предложенным методом эффективной. среды. Соотношение двойственности позволяет точно-вычислить проводимость самодвойственных сред-и оценить скорость стремления к

5. Hashin Z., Sthrikmn S. A variational approach io the theory cf the effeciifve magnetic permeability of multiphase materials. J.Appl., Phys,, 1902," v!33Î. pp3225-3231.

6. Konler W., Papanicolaou £.P. Bound» for the effective conductivity of random media. Lect.notes in Phys., 1982, v. 154, pplll-130.

7. Дыхке A.M. Проводимость двумерной двухфазной системы. ЖЗТФ, 1970, N09. с. 110

8. Kirkpatrik К.S. Percolation and conductivity. Rev. Mod. Phys., 1973, v. 45, pp. 574-614. ;

9. Watson B.P., Leath P.L. Conductivity in Uo-dinensional-slte percolation problem. Phys. Rev. P., 1Э74, v.S, pp.4893-4896.

нули проводимости двухкомпонейткой среда ври уменьшении проводимости одной из компонент к нулю,

В обаеы случав эффективная проводимость бинарной решеточной среды должна удовлетворять неравенству:

1 - р р * JL 2. /0<а**-т—Fp- t33 .

где Г = 2/2 , a z * координационное одело решетки. - Это-неравенство получено из вариационного принципа, сформулированного для решеточных моделей неупорядоченных сред в § 4. i. Для кубической, решетки это неравенство эквивалентно неравенству Хашияа-Стриккана для непрерывной среда I5L Уменьшить "вилку** неравенства <35 можно лишь сухая класс■рассматриваемых систем.

Таблица 1

Решетка . X . а'£13

Квадратная к-1 п ' я

Кулаческая 0.60492 2.53113

Треугольная 0.64100 2.78S52

Шестиугольная 3/4 4

- Т9 -

Основные результата диссертации опубликованы в работах

1. Бовин В.П., Васькин В.В., Шнейберг И.Я. О рекурсивных моделях в теории протекания. Теоретическая и математическая физика, 1333, т. 34 в 2, стр. 286-293.

г

2. Бовин В. Л., Шнейберг И. Я. Вариационная принцип для .решеточных моделей неупорядоченных сред. Сб. 'Чизика аморфных сплавов", Ижевск, 1084, вып.6, стр.81-88, ' ' .

3. Бовин В. П., Васькин В. В., шнэйберг И. .4, .Иэтсд о фиктивной среды в реиеточньи моделях теории протекания. Сб. ."Структура и свойства аморфных сплавов". Устинов, 1986, веш.7, стр.100-114.

4. Бовин В. П., Васькин В. В., Шнейберг И. Я. Метод эффективной среды ■л эффективная проводимость дуальных решеток. Сб. "Физика неупорядоченных систем". Устинов, 1383, вып. 8, стр. 49-54.

Э.Бовин В.П.,. Шнейберг И.Я, Оценкачисяа кластеров.. Сб. "Кристаллизация. Теория я эксперимент" Ижевск, 1087, стр. 63-75. •. б. Бовин В. П,, Шнейберг И. Я. Намагниченность. в модели Изинга на иерархических. решетках. Теоретическая я математическая физика. 1088г. ,.т.74, КЗ, стр. 469-474, ^