Исследование модельных систем квантовой статистической механики, учитывающих движение центра масс тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ О ОД АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

> ' О

На правах рукописи САТТАРОВ Багпйр ИсраилоЕИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЬНЫХ СИСТЕМ КВАНТОВОЙ «АТОНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. УЧИТЫВАЮЩИХ ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС

OI.DI.CB - математическая фнзНна

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на сиисКанда ученой степени кчндагёчтп фияйко-м«! гёмзттгл»«кюг тук

Кигв ТЧОЛ

Диссертация есть рукопись.

Работа выполнена в Институте математики АН Украины.

Научный руководитель: член-корреспондент АН Украины,

профессор ПЕТРИЛА Д.Я.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

ГОНЧАР Н.О.

доктор физико-матемаЮТесюн наук МИХАШШЦ В.А.

Ведущая организация: Харьковский государственный университет, кафедра кат. физики.

Защита диссертации состоится " в /у . часов на заседании специализированного совета Д 016.50,02 при Институте математаш АН Украины по адресу: 252601 Киев 4, ГСП, ул. Терещеяковская, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " ^ " 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

ЛУЧКА А.Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Одной из р'-пшеяиих задач кьаиюьив ¿патишм ческой йеханики лзляетси теоретическое обоснование яа^ения сьзрх]^ водикости.

Им теоретического обоснования этою янлвния пришщидись ш доаания в даух направлениях: построения макроскопической теории . Дя.Гортера, X.И. Б.Казимира; Ф.Лондона, Г-Лондояз; В.Л.Гинзйурга, Д.Ландау; А.В.Пиппарда и др.) и построешш микроскопической -теории (Г.Фрелшса; М.Иафрота, С.Батжра, Ди.Блатга; Н.Н.Бого.эзбсва; Дк.Ьар дана, Л.Купера, Д-й.ШриЬфера и др.).

Современная теория сверхпроводимости (Зила построена одницжиеь но в классических работах Н.Н.Боголюбова и Дш.Бардина, /.Купора, Л?. Шриффера. Существенный вклад в развот-ие этой теории внс-ли работы Н.Н. Боголюбова, И.Н.Боголюбова (мл.), Дк.Бардина, Дж.Вен-ще-гя, Л.П. Горькова, Д.Н.Зубарева. М.Жирардо, Л.Купера, Д.Я.Петринь, Г.Рикзйэе на, В.а.Толмачева, С.В.Тяблккова, Д.В.Шкркова, Да.ВриМйра, Ю.А.Цер ковникова, В.П.Яцшшна, и других авторов.

При построении своей теории Бардин, Купер я Шриффер рассмотри вали взаимодействие между частицами а лрогиЕопслсашьзш импуж.гепи хотя можно баю бы рассматривать взаимодействие пары часшц ; «уи марким импульсом р * О. Поэтому о тачки зрения нзгемапг.гтехор основания теории сверхпроводимости представляет инте^зс ?г<уч«ишг но,1!ели, учитиваппей двшкиие центра нас с. т.е. подели, нкм«!*'»' рассматривается взаимодействие между чзегицами с проиоьи.м.««'* ■ <* марпым импульсом р.

Настоящая диссертация посвящена изучении иодели, а ксю^я су» нарный готульо ь-ушровской пары !финммэет дискретные значения р * к — 1, 2«.. .,М , М - фиксированное число. Исходя из тсго, что ¡>.-:1'-нь» гсвзитовокеханичэские системы следует расскатривзть в очек'-т-ч»"'» объеме, изучаемая модель рассмотрена при V > со.

Цель работы. Исследовляке модельной систем, учтшктея л»*"-нио центра масс, заданной модяфицирс'ватгьа! иодельши гй^ч-'Ы'ич'т" « теории сверхпроводимости БК5!

н - 11|/(х)( | >■ (|)||.<х)йх ^ии — ^ ■

к" ел"

г,

^(X^^^V^Xj-X^capf- | pk<x;+xp)vk<x^-x;) X

ли все квантовые константы положены равными единица и для просто-'

+

п* не учтены становые переменные; ф(х) - операторы рождения и

уничтожения частиц, \i - химический потенциал; \ < О -константа взаимодействия; действительные функции vk (х) такие, что vk(-x) = -vk(x), 4V (х) е S(të3); интегралы понимается в смысле главного значения, т.е. при V = mes<A) -э оо область интегрирования Л с К3 равнакерно расширяется до К3.

Методы исследования. Основными методами исследования служзт метода функционального анализа, метода квантовой теории поля, метод аппроксимирующего гамильтониана Боголюбова-Зубарева-Церковкнкова.

Научная новизна, практическая и теоретическая ценность, о поноцыо гамильтониана (I) математически обоснована теория сверхпроводимости в модальной системе, учитывавшей движение шатра иэсс. Гаквя модальная система может быть полэзвз для исследования эффекта Дкозефсона, так как в ней, в отличие от модели БКШ, связанная пара свободно движется в сверхпроводящем состоянии. Она будет свободно явкгаться и в той случае, когда система разделена на две подсистемы, расстояние нещцу которыми досгаточно маю по сравнению с числом когерентности ( размером > связанных пар.

Апробация работы. Результаты работы дркладавались на ceraœapai тдала математических методов статистической механики Института ма-гямчтики АН Украины.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах £1-31.

Об кем диссертации. Диссертация состоит кз введения, трех глав, дяглючевия и списка использованной литературы, содержащего 45 наше -■I-г.онил, qsa.ua объем диссертации - 84 страниц машинописного текста.

со девшие диссертации

Бо введении диссертационной работы приводится краткий обзор ря rt'-r, относящихся к построению теории свертроводиностк, иалягяется - "«п^вяа гядячи и формулируется результаты диссертации.

В первой главе лкосортапии построено rratrtefn-овп пространство

оистояЕиа системы фзрми-чгсгкц, учигивашеЯ дышязййз цеццй мзсо,

В первом параграфе построена простргиспво Ип состсшша снетеки и, я а 2, чаотяц как галбертсво пространстао волновых функцна Гп, котариа кгшстся прокзседзЕием валвовоа фу а к; и® свободного дшя&гнй цгатра иассы сисгекы н транс.зяшоЕШ инвариантной волновой Функции, описавшие» о-пюсктзлъаов движение воой сисгекы. т.е.

<2>

.....*„> Я .....0 г 2»

17» фуккции Г к(х,»....хп) аатиокыяетричны относ1Пв.шш га р» стадо з-кн сргу.чеатов.' трансляциошга лвариаштш:

'„.кЪ.....я *п,к(ХГ *г,.....V? *„)

и квадратично интегрируема по разностным парзиенниа -х1 |... „¡х,., В Шп введен о скалярное ирсизввдеиио

} __(3)

у ( №.....»гХ^.-.-.*,,)^ • '

и ипрыа

(41

г

.....

где. и впредь, все интеграки ионияаигся в смысле Iразного аначаикя.

Доказано, что доя скалярного произведения (3) и норкы (1) ¡юрыь следующие формулы:

и н

"V»» " ггг г

Что касается пространства состяниа системы, с ос го щи в »а од воа свободная частица, то полагаем

Во аторок параграфе пострсеао прес1ранство вЛсостоянка снсгъыу, сосгонвшй из к-свсзиожныг гюдсистси часгии. ¡¡¡исц^нства сшпоиаия реализовано как прямая сумма тензорного ироизьедеши1. ирост|1аастн состояний всеиозяожшл подсистем час!ши т.е.

»¡* --- У а..51 ь

элементом которого являются функции вида

гл*«.....= Y1 .....* Ь-чЬ......)■

где A - энтис1зшетрнзкрука.ий оператор; с означает совокупность всевозможных разбиений множества п точек lxt.....яп> = <п) ва подмножества ínt>»...,lnt>, n4+...+ = п. причем з содержит и тождественное разбиение ín), а подмножества, отличаетцеся лиль порядком точек, считаются одинаковыми.

В ÍH* введено скалярное произведение

n 1 , n¡ i ( r.t

Через IWH* обозначено всюду плотное в оГ множество финитных функ -шй, заданный формулой

(в)

®f№ ..8 ©0)

где DWj = ID(R3); 1КНп, если n > 1, состоит из функции f вида (2) с f„jk е (ГИК3"1-").

В третьем параграфе построено пространство IH состояний системы с переменным числом частиц. Для этого использована конструкция пространства Фока, т.е.

(7)

<х> со со * '

С - У ерО . (F.GÍ[H - y"(Fn.Gn)ff1T . pul, = ^"IfJ^T ,

ь-—' п ь—Г* п

n «О neo п = О

зггеиентеки которого являются последовательности ' - М*.)' .....Fn(x,.....xn)....}, Fn 6 fí'n , roe €.

Вторая глава диссертации посвящена всестороннему изучению модельной системы в ранках формализма Шредингера.

В первом параграфа формально определен модифицированный модель-гай гамильтониан теории сверхпроводимости БЮП (I) в представлении вторичного квантования.

Во втором параграфе модифицированному модельному гамильтониану теория сверхпроводимости БКШ (I) придан строгий кэтематический -vyrs самосопряженного оператора яа гильбертовом, пространстве сосго-!•! <?). Для этого гамильтониан И (I) представлен в

= XI

вида пршой суммы от paro ров Iín и доказаны следующие утверадекич.

Леями 2.2. Ошратор Нп определен на всюду гаотпом в ¡H* (5> кнснестве финитных функция Ш!)1* (") к действует согласно формуле

Л. -"- 1 J

,-V*......*„) = -О Í + ^}Fn(Xi.....+ *

н

Fa= 1. 0 ,

(». Y'xn) = ¡TX К 'Y-V' ^ ) X *" • Xi J '

в. 1 1 V ' * "l

l i

(Xl'Y-y'Sr,.iJ = ('«.....Vl'*lM..........*«.,)•

v 1

в - разбиение множества (х1 ,У.У,хп( () нэ всевозможные подмножества.

Теорема 2.2.1. Оператор Нп на всюду плотном в (5) множестве финитных функций Ш* (6) симметричен и равен слвдусцему с!гератсру:

V' . 1 г '

где: если п= 3 то Н* = 1!г , Н^ (х, ,х.) - Ь ,хг) *

Ьг г

к = 1

п л

если л^ 2, то Н°Гп(х,.....хп) - Ь ^)гп(х,.....х.):

I - единичный оператор.

В третьем параграфе изучен спектр модиркшфовэнного иошльного гамильтониана (I) на пзльбертолом пространстве ЗГ еостошшй сйстеин п частиц. Установлено, что для преобразования Фурья футавм

которое имеет вид у

0:) = при (1 р*< и - О в протязэс« плу»«,

спектр оператора Нг рэплн

[-гм. т, ?м М V 2м. * ® )и{ V 2ц >м .

~ )-■) - £т "к ехр(-С >к )-5) - 1 Собственны«® функциями оператора Н^ являло л

| хг) • к = 1. 2. .... I».

"где ь(х,- х2) - обратное преобразован!® Эурье фувкша

от представляют собоа волноода фунмзш связанной пары Купера с опре •• тлзшяаи значения*® шпульсов шатра массы рь, 8 веднчпяы Заявлялся звергиязш связи этой пары. Построено свертлроводгаею «кггояша ао-шльеой системы с пэреиеаныи числом частиц:

(6)

Г «{гв. 0, Г^,.*,)..... ГДж,....,^). ... } ,

гтр

*Т.С*......*„) = /2п-'Л81 —

н

= Т~ехРСI

к • I

Кдай'я ягефоксдакрукщия оператор

_, (3)

г хг» I - едвшгчвыа оператор:

и воказава аетдряазя тесреет.

Гоорааз 2.3. йодальныя гвшиьтоаивя Н (I) вв волвовсй функция (¥») готгадеет с ягтрокоаирувцкй сгсзратсроа <8).

& чепй'рт) гетрагряфэ ряссжотрея и изучен сткатр »лвзавтврныя

+ + + +

возбуждения а(р^*.. .*а(рп)Тс , где а свлззр с ф через преобразовэ яш Фурье: Гс- сверхпроводящее состояние в кнпулъснсм представлении. Установлено, что йокду спектром элекептарт« ЕозбуглетгЛ) к спектром свэрхпрозодщеш состояния нет ¡аели. Доказаны тесреиы.

Теорема 2.4.I. На злементаршх возбужденных состояниях при

рк+ р^ Ф р^ , к = 1 .Я.....«я; I, 3 = 1,2,...,га оператор Нтт равен

следующему оператору:

18 I в ... в I в I 0 ... 0 I I в I 0 ... в Н,в I в ... ® I

- пу2 -1 I- тп -' '---ПУЗ -2-1 '- го — :

+101 0 ... 610Н°0 .,. 31+...+1® 10 ... 8 10 10 ... 0!Р

1- ПУ2 -1 5- т -1 1- -1 I- т -Ь

Теорема 2.4.2. На з.«гйентарных возбуждения состояниях при

Pi* P¡ 9й PÍ,- = 1,2»....М; L, J = 1,2,...,а модальный гаюиьтовиэп

Н <1) совпадает с ашрокскшрушш оператором Наргг (8).

Третья глава посвящена изучению модэлызоя системы в рамках формализма большого канонического спсзнбля как единого целого с о гтрс доданной температурой и плотностью. Для этого использован метод функций Гринг.

В га рвом пзраграфэ рассмотрены иногочастетпыэ функции Грипа мо дэльзой системы

(10)

'»n.ir.CVV'" ,Xn,tn:XS,tí •• • ~

n-нз + +

+

тдэ 4i(x,t), i|.i(7,t) - взаимно сопряненвш операторы рмвдения и увет-тоженяя в представлении Геязэкбсрга , хеК3, t б К. ; паи - произвольные делда числа такт©, что tun - чета се тасло; Т - оператор ера-кенлего упорпэгюаия. а усреднений ведется río большому капоническсиу зпешйблп. Дот <йтшиз Грига (10) подучена босгсояэчлэл детачкз урзв-

<И)

ц4 кк-дч-ч.....ъЮ'^—К'Ы =

"■^-J"1> Wi ^Wi-^JVi^íCS'1«.....W*í

л м

К 17 [йу^^г^ф 5у*!+У>)у|ЛхГу)езсР(- I й^+Уг»*^»-*,)*

у кТГ

.....к

Во втором параграфе рассмотрены свободные Функции Грина

(12)

..........> =

О «при П ^ и,

1(х1.{1;х'1.^>х...кг41(хп,гп;х^1:) при п = ш,

. *——■ . 11 п п

Ч.....

С 1.....п 1

где суммирование ведется по всем перзстановкам 1 11.....1п I;

А - антясимыетризатор; функции ^ ДхД;:^ Д') заданы формулой (10), а усреднение ведется по большому каноническому ансамблю со свободный гамильтонианом

йР = - | ф(х)( § + ц)Ф<х)йх .

Доказана следующая леьяа.

Леима 3.2. Свободные фупкции Грина С°п п(12) удовлетворяют кепочке уравнений <11) при V со .

В третьем параграфе рассмотрено функциональное пространство <0, как линейная оболочка функций следующего вэда:

где <з - совокугаостъ разбиений множества (х1Д1.....V* , ,

...= <п;ш) на всевозяопаые подоюжествз {п1;и5>,...,<п,;т(), состоят® ив четного числа точен, п1+...+ п< = п, ш^.-.ч- гаг = в, причем в содерогг й тойшественное разбиение <п;в}, а подмножества, отлмаэдйаея порядком следования элементов, счкгакпсп одинаковыми; фушскчя ^ (*,,1,.....хпЛп\у[, ц.....Г. ^) кнежт слгдудам т»д:

..........= Ё ехр{ш

к »1

гдэ .....Х11»,;п:к1*Ч.....траисляционнс инвари-

знтпа. яетясиммвтричва относительно перестановок пар ,^)»... . .....(х^,^) , абсолютно интегрируема по разност-

ный герекешлда хг-х1,...,хп-х1,х'1-х1,...,х^.-х1 при произвольных фиксированных ^,..., 1;п,Ц,...,Г и обладает свойствоя

п-ш ГГп

«^.».к«*.»*-'"-*»»-^'*.....= (~1> .....«г,-«:

Доказана следующая теорема.

Теорема 3.3. Бесконечная цепочка уравнений <11) в функциональном пространстве С сводится к системе уравнении

(13)

+ ? + ..........-

-¿(чЛч^ьр^х.-хрб^^х,.^.....

и

.....хп,ух;д;....

= II<-1)5<VtJ)5<x«-xj■,'Gn-a.n<xг'tг••-•^•tn:x;'t:;.....-

3=2

м

'Т1 «к^Ц-ухярс -1 йц^Я-.п^'*«-^.....^

к »1

где

ш

Я четвертой параграфе доказан в следу шая теорема. Теорана 3.4. В функциональном пространстве V система уравнений (13) совпадает с системой уравнений для функций Грина кодели с аппроксимирующим оператором (0) с ок <14).

Показано, что утверадзниз теорему 3.4 верно и для гамильтониана

йа,рг= - | ♦<*>< I + - ~

Жхг >еЧ?(| Рк«1!^ » - >+(Х1 \ IVх,+х2))]

ч-

Ошраторы ф(х) , ф(х) иргдстаяены в виде "квазиодскретвш" сумм, в результате этого оператор Нв записав в ввде

4ч

С (г 4*<р)а(р) - ~т £ С- ь

П I ь ' ь »1 »« п

р

р> » ^а«^ р)а(р)|, X - М2н)3

1 ши 1 ипамвгра ек (14) получено выражение

>4ч

е —--

к у

Ук(р)<а^к- р)а(р + £к)>-

Р

определения энергии коллективных возбуждений аппроксимирующий оператор Н (16) даагонализован с помощью канонического преобразования Боголюбова -Валатина

- Ь

«<р> ; ' гк>) [3(р г") и<п г")^" р>).

1

I] ч. * ^ ^

* »8(р - Ъ) р(р Ъ »(р Ъ'4к - р>).

11(р) =

Т({н|к)+ТСр- 1к) - /{т(р+|!')+тср- 4|>~К.<Р>1°кГ

Г(р) = р*/2 - р, в(р), 8<р) - оператора рождения и уничтожения кза зичаствд (коллектайншс возбуишений системы), Отсюда получены энергия коллективных возбуждения системы

Е(Р>=: 5 ^(Р)= к (рг+СНк/2)2-2д]%4(р)]

и интегральное уравнение для параметра щели <гк

, 214 г Ш(/31Ср)/2} - №С<31(-р)/г)

1 =- --—— .

М(2я) Л к " 1к(й + ^С- р)

В конда параграфа, дет случая нулевой температуры решено урзвнениз для параметра щели (при разумных ограничениях на потенциал взато действия). Получено:

9 00

П Г 1Г1 Г Г

ехр —я- , П = ехр|

Г Мл* 1 Г г }

Гц?]* ^«»Н ™-5гЧ-

2 Им

ЗАКЛШЕНИЕ

Таким образен, основные результаты выносимые к зэшиге закляч* ится в сведущем:

1) построено гильбертово пространство состояний квзнтовскехзнл частой систены ферни-частиц, находящихся в бесконечном обьеие, как прямая сумма тензорного произведения пространств состоянии всевоз копгаых подсистем, в которых учтепо свободное двкяений дентрз массы:

2) установлено , что модифицированный модельный гамильтониан, как самосопряженный оператор аа гилъбоотовстл пространстве состояний, описывает систему, состоящую из дауг невээимодеяствуида иеяду собой подсистем: подсистены неЕззгаяолействуэдих частиц п нормальном состоянии и подсисггеин кевззшодействувдкг пар частиц с непулвыш пзщу.яь-гя«к центра изссн ттяры в сверхпроводящем состоянии;

■I установлено, что модельный гамильтониан совпадает с аппрокси-«ируьвдм оператором Н как па сверхпроводящей, так и нз возбужд л дом состояниях;

4) методом функций Грина установлено, что недельная система, описываемая модифицированным модельным гамильтонианом, межет находиться как в нормальном (свободные функции Гринз), так и ь сверхпроводящем (функции Грина аппроксимирующего оператора) состояниях;

5) получены выражения для энергии коллективных возбуждений и параметра щели, которые при покоящемся центре массы пары совпадают с известными результатами теории ВКЛ.- и поэтому можем заключить,что модельный гамильтониан Н <1) задает взаимодействие, приводящее систему к сверхпроводящему состоянию.

Основные положения диссертации опубликованы в следупцих работах:

1. Саттаров Б.И. О модифицированном модельном гамильтониане теории сверхпроводимости БКШ // Докл. АН Украины. -1893. -10, -С. 46-Б1.

2. Сатгэров Б.И. Спектр коллективны! возбуадений модифицированного модельного гамильтониана теории сверхпроводимости Ш!. Метод аппроксимирующего гамильтониана. -Киев, 1894. -17 с. -{Препринт/ АН Украины. Ид-т математи и; 04.6 ).

3. Сеттаров Б.И. Об одной модельной системе, утагшавщей дьи-жение центра масс. -Киев, 1994. -18 с. -(Препринт/ АН Украины. Иа-т математики; И4.0 ).

Пода, в п&?. 28.02.54, Формат 60Й34/16. Бумага тип. Офс. печать Усл. печ. Л. 0,93. /сл. 1;р.-отт. 0,95. Уч.-изд. л. О,£5. Гирш» ;со окз. Бак. 74. Босоямво.

'спечатано я 1'нзтитут(| математик* АН Украини К*чп А, ПОП, ул. Тйрецбвкотгакая, Э