Исследование напряженно-деформированного состояния ледяного покрова с трещиной, находящегося под действием движущейся нагрузки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

ДЖАБРАИЛОВ МУРАТ РАДЖАВОВИЧ

003456673

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЛЕДЯНОГО ПОКРОВА С ТРЕЩИНОЙ, НАХОДЯЩЕГОСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВИЖУЩЕЙСЯ НАГРУЗКИ

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

О 5 пнк 2008

Комсомольск-на-Амуре - 2008 г.

003456673

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» (ГОУВПО «КнАГТУ»)

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент

Жесткая Валентина Дмитриевна

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Горбачев Константин Павлович

кандидат технических наук, доцент Лейзерович Григорий Самуилович

Ведущая организация: Институт машиноведения и металлургии

ДВО РАН (ИМиМ ДВО РАН)

Защита состоится «-2 6'» декабря 2008 г. в № ~~ часов на заседании диссертационного совета Д 212.092.02 при государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре технический университет» (ГОУВПО «КнАГТУ») по адресу г. Комсомольск-на-Амуре, пр. Ленина, 27.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУВПО «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет».

Автореферат разослан «/о» /¿¿З^Цл-^ 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

к.т.н., доцент Дмитриев Э.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Во всех странах, имеющих замерзающие внутренние водные пути, а также осуществляющих судоходство в арктических и антарктических морях, всегда уделялось большое внимание проблеме продления навигации. Необходимость обеспечения навигации, в свою очередь, ставит задачу разрушения ледяного покрова в замерзающих портах, заливах и бухтах, при прокладке каналов во льду, для более раннего вскрытия рек и водохранилищ и т.д.

Необходимость разрушения льда возникает также при обслуживании гидротехнических сооружений. В последнее время в связи с расширяющейся добычей нефти и газа на континентальном шельфе особое значение приобрело обеспечение безопасности от повреждения ледовыми нагрузками морских платформ в тех районах, где в зимнее время акватория покрывается льдом. Это, в частности, может потребовать разрушения льда около них.

Известно большое количество способов разрушения ледяного покрова. Проблеме использования для этой цели судов на воздушной подушке (СВП), посвящены работы В.А. Зуева, В.М.Козина, Ю.А. Двойченко. При разрушении льда СВП требуется обеспечить такой режим движения, который приводил бы к появлению возможно больших напряжений во льду и к его разрушению. Следовательно, возникает необходимость оценки напряженно-деформированного состояния (НДС) ледяного покрова, находящегося под действием движущейся нагрузки.

С аналогичной задачей приходится встречаться также и при расчете несущей способности ледяного покрова в случае движения транспортных средств по зимним ледовым дорогам на замерзающих акваториях, а также при использовании ледяного покрова рек и озер в качестве взлетно-посадочных полос (ВПП) в труднодоступных, малоосвоенных районах с пересеченной местностью. При эксплуатации ледовых трасс и зимних аэродромов анализ НДС ледяного покрова необходим для разработки режимов движения транспортных средств, обеспечивающих сохранение несущей способности ледяного покрова и, следовательно, безопасность движения.

В настоящее время имеется достаточно большое количество работ (Д.Е. Хейсин, С.С. Голушкевич, А.Е. Букатов, К.Е. Иванов, Г.Р. Брегман, Б.В. Проскуряков, П.П. Кобеко, JI.B. Черкесов, И.С. Песчанский, А.Р. Сгагу, К. Hunkins, Т. Takizawa, V.A. Squire и др.), посвященных исследованию НДС, возникающего в данном случае в сплошном ледяном покрове. Однако в результате наблюдений за реальным процессом разрушения льда движущимся объектом установлено, что окончательному разрушению предшествует появление трещин, рассекающих ледяной покров на достаточно крупные блоки. При этом лед еще сохраняет значительную несущую способность, которая обеспечивается взаимодействием кромок трещин. Поэтому при определении безопасных параметров движения транспортного средства может потребоваться

расчет НДС не только непрерывного ледяного покрова, но и с учетом уже образовавших в нем трещин.

В связи с этим актуальными становятся вопросы разработки способов расчета и исследования на их основе НДС ледяного покрова с трещинами, находящегося под действием движущейся нагрузки. Полученные при этом результаты могут быть полезными при выборе оптимальных режимов движения СВП при разрушении льда либо при эксплуатации транспортных средств на ледовых трассах и ВГТП.

Целью работы является решение проблемы оценки НДС ледяного покрова с трещиной при движении по нему нагрузки при любых ледовых условиях и при любом законе движения, а также исследование наиболее важных случаев движения нагрузки по ледяному покрову. Основными этапами работы были:

- построение способа моделирования сквозной трещины в ледяном покрове;

- разработка программы для выполнения расчетов на ЭВМ;

- исследование некоторых наиболее важных случаев движения нагрузки по ледяному покрову, ослабленному сквозной трещиной.

Методы исследований. Решение задачи было выполнено численным методом, основанным на комбинации метода конечных элементов (МКЭ) и метода конечных разностей. Результаты расчетов сопоставлялись с результатами экспериментов на специально созданной экспериментальной установке в ГОУВПО КнАГТУ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- предложен способ моделирования сквозных трещин в ледяном покрове, находящемся под действием движущейся нагрузки, при численном решении проблемы оценки НДС, который позволяет, во-первых, производить расчет при любой геометрической конфигурации трещин, во-вторых, учитывать наличие упругого сопротивления раскрытию берегов сквозных трещин вследствие возникновения контактных напряжений на их кромках.

- впервые были получены теоретические решения ряда задач по оценке НДС ледяного покрова, ослабленного наличием сквозной трещины.

- экспериментально исследовано влияние сквозной трещины на характер деформирования упругой пластины, лежащей на упругом основании гидравлического типа и находящейся под действием движущейся нагрузки.

Практическое значение работы. Полученные результаты могут быть применены при разработке рекомендаций судоводителям по выбору оптимального режима движения СВП, используемого как ледоразрушающее средство (в частности, для определения, какая скорость и какая траектория движения окажутся оптимальными при данной ледовой обстановке и данной конфигурации имеющихся трещин в ледяном покрове, какой толщины лед может ломать СВП при данном давлении в воздушной подушке и т.д.). Они могут быть использованы также при разработке рекомендаций по безопасной эксплуатации ледовых трасс и зимних аэродромов, имеющих локальные повреждения в виде

сквозных трещин. И наконец, полученные результаты могут являться основой для разработки теоретической модели процесса полного разрушения ледяного покрова (потерн его несущей способности), находящегося под действием движущейся нагрузки, в динамической постановке.

Личный вклад автора. Изложенный в диссертации способ моделирования сквозных трещин в ледяном покрове при численном решении задач оценки НДС ледяного покрова при движении по нему нагрузки является итогом личных исследований автора. Лично автором был разработан и поставлен математический эксперимент по определению коэффициента погонной жесткости, характеризующего силы упругого взаимодействия берегов трещины. Лично автором разработана программа расчета и получены решения всех задач о движении нагрузки по ледяному покрову, ослабленному сквозными трещинами, приведенных в диссертации (расчет НДС ледяного покрова с трещиной при движении нагрузки по прямолинейной и синусоидальной траектории). Лично автором были выполнены модельные эксперименты по исследованию влияния сквозной трещины в ледяном покрове на деформации льда при движении по нему нагрузки.

Автор искренне признателен преподавателям кафедры теоретической и прикладной механики ГОУ ВПО КнАГТУ и сотрудникам ИмиМ ДВО РАН, принимавшим участие в обсуждении результатов исследований на разных этапах работы. Их полезные советы и критические замечания были учтены при завершении и окончательном редактировании диссертации. Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю д.т.н., проф. В.Д. Жесткой за всестороннюю помощь на всех этапах работы над диссертацией. Глубокую признательность автор выражает д.т.н., проф. В.М. Козину за научные консультации, плодотворные замечания, полезные советы и оказанную помощь в подготовке и редактировании диссертации.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы: теоретическое решение проблемы оценки НДС ледяной пластины с трещиной, находящейся под действием движущейся нагрузки.

- результаты теоретических исследований НДС ледяной пластины с трещиной при различных видах траектории движения нагрузки.

- результаты теоретических исследований по определению сил сопротивления раскрытию берегов сквозной трещины, обусловленных контактным взаимодействием её берегов.

экспериментальные исследования изгиба модельного ледяного покрова с трещиной под действием движущейся нагрузки.

Достоверность полученных результатов обоснована: сопоставлением теоретических выводов с результатами проведенных экспериментов, при котором обнаружено хорошее совпадение полученных значений определяемых величин в том и в другом случае; использованием в качестве исходного классического уравнения колебаний пластины на упругом основании под действием внешних нагрузок.

Апробация работы. Основные пбложения работы докладывались и были опубликованы в материалах конференций: "Научно-техническое творчество аспирантов и студентов: Материалы 29-й научно-технической конференции аспирантов и студентов" (Комсомольск-на-Амуре, 1999 г.) "Проблемы механики сплошных сред и смежные вопросы технологии машиностроения" (Владивосток, 2003 г.,2004 г.), опубликованы в журналах ПМТФ (2008 г.) и "Транспорт: наука, техника, управление" (2008 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 11 научных работах (6 - в соавторстве, 2 - опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК). В числе научных работ - 3 патента на изобретения (в соавторстве).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и приложения. Она содержит 173 страницы текста, в том числе 131 рисунок, 6 таблиц. Список литературы включает 100 наименований. Приложение содержит документы, подтверждающие внедрение результатов работы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, обозначен круг вопросов, которым она посвящена.

В первой главе дан обзор литературы по экспериментальным и теоретическим исследованиям НДС ледяного покрова имеющего локальные неоднородности в виде трещин и находящегося под действием движущейся нагрузки, приведены сведения по применению СВП для разрушения ледяного покрова, на основе анализа современного состояния исследований по рассматриваемой тематике, сформулирована цель настоящей работы.

В отношении ледяного покрова, в зависимости от конкретных практических задач, существуют два прямо противоположных подхода: первый - когда разрушение ледяного покрова является желательным явлением, отыскиваются условия, гарантирующие полный пролом ледяного покрова, второй - когда разрушение является нежелательным явлением, исследуется его предельная несущая способность. В том и другом случае необходимо исследование НДС ледяной пластины, находящейся во второй стадии разрушения, т.е. пластины представляющей собой блочную конструкцию.

По исследованиям предельной несущей способности ледяного покрова при статическом нагружении накоплен определенный экспериментальный материал и получены некоторые теоретические результаты, позволяющие описать поведение ледяного покрова под статической нагрузкой вплоть до образования трещин и полного разрушения (Зуев В.А., Грамузов Е.М., Двойченко Ю.А., 1989 г.). Исследования проблемы в динамической постановке ограничиваются задачами о дифракции и рассеянии поверхностных волн на трещине в ледяном покрове. В работах A.B. Марченко (1993 г., 1997 г.) развита теория слабонелинейных изгибно-гравитационных волн, распространяющихся в жидкости под

ледяным покровом с трещинами, решена задача о дифракции поверхностных волн на трещине в ледяном покрове. Для бесконечно глубокой жидкости автором численно исследована зависимость коэффициентов отражения и прохождения линейных изгибно-гравитационных волн через трещину в ледяном покрове от угла падения н частоты волны. В работе D. Karmakar, T. Sahoo (2006 г.) определяются коэффициенты отражения и прохождения гармонической волны при прохождении через линейную неоднородность в виде трещины в упругой пластине плавающей на поверхности невязкой несжимаемой жидкости. В работе R. Porter и D.V. Evans (2003 г., 2004 г.) решена задача о дифракции изгибно-гравитационной волны на трещине произвольной формы, конечной длины в ледяном покрове, лежащем на слое жидкости конечной глубины. Однако численный результат был получен лишь для случая прямолинейной ограниченной трещины, ввиду значительной сложности полученного решения для трещины произвольной формы. A.A. Коробкиным и Т.И. Хабахпашевой предложен метод численного решения задачи гидроупругого отклика плавающей упругой балки с трещиной на воздействие прогрессивных гравитационных волн.

Как видно из вышеизложенного, развитой теории по оценке предельной несущей способности и НДС ледяного покрова с трещинами, находящегося под воздействием движущейся нагрузки, в настоящее время не имеется. Решение такого рода задач и получение зависимостей между параметрами системы "лед-вода-нагрузка" (толщина льда, глубина водоема, скорость движения нагрузки и т.д.) позволили бы давать рекомендации по обеспечению безопасного движения транспортных средств по ледовой трассе, имеющей дефекты в виде трещин, либо по выбору режима движения СВП при разрушении ледяного покрова, ослабленного наличием трещин. Поэтому учет сквозных трещин при расчете НДС ледяного покрова, находящегося под действием движущейся нагрузки, представляет значительный практический интерес.

Во второй главе изложены основные математические зависимости задачи о движении нагрузки по ледяному покрову, рассматриваемой в динамической постановке.

В качестве основных зависимостей, моделирующих задачу, приняты (Д.Е. Хейсин, 1967 г.) дифференциальное уравнение вязкоупругих колебаний ледяного покрова

г.1 a , d2w дФ

D\ 1 + г.— V4w+ pwgw+ph—ö„— I „ St I п.*. н, д[2 и, dt

= p(x,y,t), (1)

.-=0

уравнение Лапласа для потенциала скорости движения жидкости

д2Ф д2Ф д2Ф

7 ■ 2 +—Т=°. (2)

дх ду2 dz2

условие непротекания на дне водоема

дФ

= 0, (3)

г=-Н

и условие равенства скоростей на границе льда и воды

где и> - прогиб льда, - плотность воды, р, - плотность льда, g - ускорение свободного падения, Л - толщина льда, Ф - потенциал движения жидкости, р -интенсивность внешней нагрузки, II - глубина водоема, г - время релаксации деформаций, О - цилиндрическая жесткость пластины.

Оси х и у лежат в плоскости ледяной пластины, ось г направлена вверх. Пластина считается жестко заделанной по контуру.

Решение уравнений (1)-(4) будем разыскивать следующим образом.

Представим прогиб и' и потенциал Ф в виде сумм некоторого числа п слагаемых (В.Д. Жесткая, 1999):

п п

= Е и'м . ф = £ <Рт (Л"> У> (г+ Н)), к„,=сот1 (5)

т=1 т= 1

При подстановке (5) в уравнения (1) - (4), уравнение (3) удовлетворяется. Исключив (рт из оставшихся уравнений, придем к системе

I

/п=1

V дг) дг кт дГ )

Л (б)

дх2 ду2 " "

= 0.

Использ)'я алгоритм МКЭ, построим дискретную модель ледяной пластины и положим, что

= (О, (7)

/=1

где Щх,у) - функции формы, дт,(() - компоненты вектора узловых перемещений [<?]„,(£), п - число узловых перемещений (тот же смысл эта величина имеет и в формулах (5)). Значение п связано с типом и количеством конечных элементов, образующих дискретную модель ледяной пластины. Прогиб пластины

XX = I X М, (х, у)Чт (I) = £ (х, у)д, (/), т= 1 ш=11=1 1=1

п

где дДО = ]Г Чип М ■ компоненты полного вектора узловых перемещений [д](/), /=1

определяемого следующим образом:

[?](0=£ыи(о. (8)

Я1= 1

Для получения разрешающей системы уравнений задачи применим к уравнениям (б) обобщенный метод Бубнова-Галеркина. Интегрируя по площа-

ди пластины Я, после преобразований придем к системе матричных уравнений:

Ж а( ^

I

т=1

(9)

где [Р](0 - вектор внешних узловых нагрузок. Элементы матриц [Щт, [С], [К], [5], [7] зависят от рт р„ Л, Я, хт Д кт, Щху).

Для решения системы (9) применим метод конечных разностей. После преобразований получим матричные уравнения

¿([4„Ы„,,,+> +М,М,,Г+[о1Ы,г-.)=№)(Д02. (1

^И»2, И )([</],„>г+1 -[?]„,.,_,)= О, г = 0,1, 2,..., I,

где — шаг сетки времени; Ь - число шагов сетки времени; [(?]„,., - значение вектора [д]„, в г-м узле сетки; [Р]г - значение вектора узловых нагрузок при 1=г-АС, матричные коэффициенты [А],„, [5]„„ [£>]„, зависят от параметров задачи.

Второму уравнению системы (10) можно удовлетворить, представив [?]т,г в виде

[?и=М„,«т>г, (И)

где [Х],„ - собственный вектор в случае однородного уравнения с матрицей [5]-^[г], соответствующий собственному значению к^, а„,г - неизвестный коэффициент.

Подставив (11) в первое уравнение системы (10), получим: т-1 У11)

г = 0,1, 2,..., X.

Уравнение (12) должно быть дополнено начальными условиями. Пусть в начальный момент времени ¿=0 вектор узловых перемещений [д]

был равен [/¿], а скорость его изменения -

'о]-

Ы(0)=[/о], (4г)1о=[/о]-

(13)

С учетом конечно-разностного представления производных из (8), (11), (13) следует система уравнений

1Иа,о=[/О1 -«„,1 ) = "2[/о]Д' (14)

т-1 т=1

Найдя из (12) и (14) а,„ г, определим узловые перемещения в узле сетки времени

п п

Ыг = Е Ыт.г = ХМЛм ■

т=1 т=1

Определив узловые перемещения, найдем прогиб пластины в узле сетки времени по формуле

п 1=1

Заметим, что иногда оказывается удобным принять начальные условия в

виде

Ш = [/о]> Ы(-АГ) = [Д,].

Для определения напряжений в ледяной пластине вычислим изгибаю-

щие и крутящии моменты, зависимостями

( я2

которые связаны с прогибом

пластины

дх

IV + г,

диЛ

му=-о

.Ф2

Ч/Л-Т.

Мху=-Щ 1-у)

бмЛ д2

дхду

дх'

ы + т,

IV + г,

и> + г,

дм

' аГ

дм

'"а

дм

Зная М„ Му и М^, можно найти напряжения, возникающие в ледяной пластине.

В третьей главе приводится способ моделирования сквозных трещин в ледяном покрове в рамках метода изложенного во второй главе.

Примем в качестве модели трещины цилиндрический шарнир. Тогда при использовании прямоугольных конечных элементов пластины с 16-ю степенями свободы и треугольных конечных элементов, имеющих прямой угол, с 12-ю степенями свободы количество узловых перемещений в узле, расположенном на сквозной трещине, должно равняться шести (рис. 1). Это прогиб пластины

= дм 5+0 Ф]

_ = дм — дм

Ч\, углы поворота = —, д3 = — ду ду

и вторые смешанные про-

изводные <?4 =

_ д1м\

дхду\

Чб:

Э уу

. Особым является случай, когда узел рас-

положен на стыке двух прямолинейных участков трещины (рис. 2). Поочередно рассматривая окрестность узла по левую сторону ломаной, задающей сквозную трещину, и выражая узловые перемещения <?7 и через и ?4 > а затем по правую сторону и выражая узловые перемещения и д9 через <73 и д4, получаем, что д2= и 97= , т.е. в данном узле пластина ведет себя как целая.

\ У У

\

\

х

II

Рнс. 1. Узловые перемещения в узле, расположенном на трещине

Рис. 2. Узловые перемещения в узле, расположенном на стыке двух прямолинейных участков трещины

В случае линейной зависимости изгибающего момента, действующего на берега трещины в контактном сечении, от угла раскрытия трещины, учесть контактное взаимодействие её берегов можно, вводя в глобальную матрицу жесткости системы дополнительную матрицу жесткости формального конечного элемента, связывающего упругой связью узлы, в которых возникают узловые перемещения <73 и д5 (рис. 3). Матрица жесткости такого элемента будет иметь вид:

где к - коэффициент пропорциональности между углом раскрытия сквозной трещины и возникающим в контактном сечении погонным изгибающим моментом; I - длина зоны взаимодействия берегов трещины, приходящаяся на данный узел конечноэлементной сетки (например, для узла, изображенного на рис. 4, / = (а + Ь)/2).

Коэффициент к характеризует степень сопротивления трещины раскрытию ее берегов. Для определения коэффициента к поставлен следующий математический эксперимент. Рассмотрена прямоугольная в плане пластина толщиной И. Материал пластины считается изотропным со следующими параметрами: модуль Юнга ¿^0,73'Ю10 Па; коэффициент Пуассона у=0,3. Пластина делится прямой сквозной трещиной, параллельной кромкам, на две равные части длиной Ь+с каждая (рис. 5). Введем систему координат, расположив оси х и г (см. рис. 5) в срединной плоскости пластины; Ось у направим вертикально вверх. Пусть пластина шарнирно оперта на прямых х=±Ь, а кромки, параллельные оси х, - свободны. К пластине приложена нагрузка Р, равномерно распределенная по краям пластины, параллельным оси г. Ширина пластины принимается произвольной, но достаточной для того, чтобы изгиб пластины

\ X

Рис. 3. Схема моделирования трещины упругим шарниром

I 1 IV а

Чь и ® 1 1 1 ь III Ъ

Рис. 4. Схема приведения погонного момента сопротивления раскрытию берегов к узловому моменту

можно было считать цилиндрическим. Это позволит выделить из пластины балку-стенку (рис. 6) и в дальнейшем рассматривать только изгиб последней.

Внешняя нагрузка Р и реакции шарнирной опоры О (см. рис. 6) создают в точке контактного сечения О/, лежащей на нейтральной линии балки-стенки, изгибающий момент М, который уравновешивается моментом, создаваемым распределённым контактным усилием относительно этой же точки. Величина действующего в контактном сечении погонного момента М определяется по формуле:

где <5 - толщина балки-стенки. При приложении нагрузки контактное сечение балки-полоски поворачивается на угол /?. Симметричная часть балки-стенки поворачивается в противоположную сторону на такой же угол, поэтому угол раскрытия берегов трещины составлял а = 2- р.

Были проведены серии расчетов для льда толщиной 0,2; 0,5; 0,7; 1,0 м. и получены графики зависимости величины погонного изгибающего момента М, действующего в контактном сечении, от угла раскрытия сквозной трещины. При /¡=1,0 м данные зависимости для длины пролета ¿=10, 20, 60 м

Сквозная трещина

Шарнирная опора

Контур пластины

N

"Ж

р\

Рис. 5. Пластина с трещиной

Рис. 6. Балка-стенка

представлены на рис. 7. Аналогичные зависимости получены и для остальных рассмотренных толщин льда. Как видно из графика, зависимость изгибающего момента от угла раскрытия нелинейная. Однако при малых прогибах и, следовательно, малых углах раскрытия сквозной трещины эту зависимость приближенно можно считать линейной с допустимой долей погрешности. В этом случае коэффициент пропорциональности между погонным изгибающим моментом и углом раскрытия сквозной трещины можно рассчитать по формуле к=М/а (Грамузов Е.М, Двойченко Ю.А., 1989 г.).

На рис. 8 представлены графики зависимости коэффициента погонной жесткости к от длины пролета Ь балки-стенки шириной й=1; 0,7; 0,5; 0,2 м. Видно, что с увеличением толщины льда значения коэффициента к довольно быстро возрастают.

В четвертой главе приведены исследования изгиба упругой пластины с трещиной, находящейся под действием движущейся нагрузки.

Экспериментальное исследование деформаций модельного ледяного покрова с трещиной, лежащего на упругом основании гидравлического типа проводилось в бассейне размерами Ь х В х Н = 2 х 1,5 х 1,2 м, оснащенном подвесным регулируемым дном. Схема экспериментальной установки показана на рис. 9, 10. В качестве модельного льда использовалась листовая пористая резина толщиной 5 мм. Модельный ледяной покров состоял из двух участков резиновой пластины, стык между которыми имитировал трещину (см. рис. 10). При этом, во избежание затекания воды на верхнюю поверхность резиновой пластины и для обеспечения плавучести пластины на поверхность воды предварительно укладывалась тонкая пленка полиэтилена низкого давления толщиной 15 мкм. Края пластины по всему периметру оставлялись свободными. Движущаяся нагрузка имитировалась роликом, приводимым в движение буксировочной системой. Вес ролика составлял 0,5 Н. В начальный момент времени нагрузка находилась на расстоянии, равном 0,9 м от разреза, а пластина имела соответствующий статический прогиб. Буксировочная система

0.5

0

0 0.01 0.02 0.03 а,

— Ь = Юм рад

• • • • Ь = 20 м

—- Ь = 60м

Рис. 7. Зависимость погонного изгибающего момента М от угла раскрытия берегов трещины а при толщине льда /г= 1 м (¿=10, 20, 60 м);

i А

г 2 i

о

0 20 40 60 80 100 м

Рис. 8. Зависимость коэффициента погонной жесткости к от длины пролета Ь балки-стенки при толщинах льда /г равных 1,0; 0,7; 0,5; 0,2 м (графики 1, 2, 3, 4 -соответственно)

\ ! , \ \

VI !

t \

* ! Ч

\ ! < У v 1 3 V- I --—

4 "Ч.....

í ¡ |

обеспечивала прямолинейное равномерное движение модельной нагрузки в положительном направлении оси х (см. рис. 9), в диапазоне скоростей от 0 до 1,5 м/с. После начала движения нагрузка практически мгновенно приобретала заданную скорость v=0,8 м/с. Колебания пластины фиксировались с точностью до 1/15 мм и частотой стробирования 100 Гц специально изготовленным оптико-механическим датчиком.

Теоретический расчет прогибов модельного льда выполнялся методом, данным в главе 2, трещина моделировалась способом, изложенным в главе 3. Решение задачи осуществлялось с помощью программы «CRACK». В качестве исходных данных были приняты реальные параметры физической модели: сосредоточенная сила /М),5 Н; скорость движения силы v=0,8 м/с; /эи.=1000 кг/м3, /9=300 кг/м3; Н- 0,1 м; Е-104 Па, /¡=0,005 м, //=0,3. В начальный момент времени нагрузка находилась в состоянии покоя в точке с координатами х=-0,9 м, ;у=0 м (¿о=0,9 м, см. рис. 10) и мгновенно приобретала расчетную скорость движения, а ледяной покров имел прогиб, соответствующий статическому действию нагрузки. Рассчитывалась жестко заделанная по контуру пластина длиной Ь=1 и шириной В=2 м. Размеры пластины были достаточно велики для того, чтобы на отрезке движения, представляющем наибольший интерес (пересечение разреза), можно было считать перемещения на её контуре отсутствующими и принять условия жесткой заделки. Дискретная модель пластины составлялась из квадратных конечных элементов со стороной 0=0,2 м. Остальные

параметры задачи имели следующие значения: время релаксации деформаций т^=2 с; шаг сетки времени ЛИ),005 с.

На рис. 11 представлены экспериментальные (1) и теоретические (2) кривые графиков вертикальных перемещений во времени для четырех точек пластины.

Эксперимент показал, что по мере уменьшения отстояния точки замера от разреза, величина максимальных прогибов ытах возрастает (с ъ'тах=-2,5 мм для точки дг--150 мм до и'„„„=-4,0 мм -для точки х=-20 мм). Затем, после пере-се-чения разреза, в точке х=22 мм значения максимальных прогибов резко падают до ™т(ге=-2,0 мм. Далее, по

мере удаления от разреза, величина максимальных прогибов снова возрастает, достигая мм - для точки х=150 мм. Сравнение изменения величины

теоретических максимальных прогибов вдоль линии замеров с экспериментальными данными дает следующие результаты. Для точки х=-150 мм теоретическое значение максимальных прогибов совпадает с экспериментом с погрешностью 20%, для л=-20 мм - погрешность более 50%, для х=22 мм - экспериментальная и теоретическая кривая практически совпадают (см. рис. 11), для л=150 мм - погрешность 40 %. Существенные различия в величине прогибов для точки *=-20 мм объясняются тем, что в теоретической модели эффект отражения набегающей волны от особенности в виде разреза реализовывался в полной мере, в то время как в эксперименте данный эффект "смягчался" наличием тонкой полиэтиленовой пленки, уменьшавшей отражающую и увеличивавшей пропускающую способность разреза. Поэтому в эксперименте отношение энергии

Рис. 9. Экспериментальная установка: 1- бак; 2 - направляющие рельсы; 3 - тележка; 4 -электродвигатель; 5 - ролик-нагрузка; 6 - подвесное дно; 7 - подвесы; 8 - штанга-держатель датчика; 9 -датчик; 10 - блоки; 11 - буксировочный трос; 12 -модельный лед

Рис. 10. Вид в плане на экспериментальную установку (1, 2 - левая и правая части разрезанной пластины; 3 -разрез; 4 - начальное положение нагрузки; 5 - траектория движения нагрузки; 6 - линия точек замеров)

изгибно-гравитационной волны, прошедшей через разрез, к энергии отраженной волны оказывалось несколько больше, чем аналогичное отношение для теоретической модели. Таким образом, после пересечения разреза и при удалении от него по ходу движения нагрузки установившийся режим колебаний по эксперименту восстанавливается быстрее, чем по расчету. Этим объясняется существенная разница в величине максимальных прогибов в точке ;с=150 мм между расчетными и экспериментальными данными. Отметим, что по результатам расчета при дальнейшем удалении от разреза максимальные прогибы постепенно возрастают и расхождение с экспериментом уменьшается.

Сопоставление расчетных и экспериментальных данных дает основание считать, что с помощью данного теоретического метода исследования НДС ледяного покрова с трещиной, можно получить достаточно достоверные результаты.

В пятой главе с помощью программы «CRACK», реализующей математические зависимости метода численного решения задач динамики ледяного покрова, данного в главе 2 и дополненного возможностью моделирования сквозных трещин согласно главе 3, были выполнены расчеты ряда задач о вязко-упругих колебаниях прямоугольной в плане и лежащей на поверхности воды ледяной пластины.

Типовые ("стандартные") условия и значения параметров рассмотренных задач следующие. Пластина жестко заделана по контуру. Сосредоточенная сила Р=0,4Т06 Н; скорость движения силы v=5 м/с; плотность воды />„=1000 кг/м3; плотность льда р,=900 кг/м3; глубина бассейна Н= 5 м; время релаксации деформаций т9=10 с; модуль Юнга льда ¿M),73-1010 Па; толщина льда к=0,5 м; коэффициент Пуассона v=0,3; шаг сетки времени At= 0,2 с. В начальный момент времени нагрузка находится в состоянии покоя и мгновенно приобретает расчетную скорость движения, а пластина имеет соответствующий статический прогиб. Сквозные трещины моделируются идеальными шарнирами.

Сравнительный анализ НДС ледяного покрова в случаях моделирования трещны идеальными и упругими шарнирами. Рассмотрена задача о движении

Рис. 11. Графики колебания точек пластины: а) х=-150 мм; б) х=-20 мм; в) х=22 мм; г) а-150 мм (у= 125 мм - для всех графиков)

сосредоточенной силы по прямоугольной ледяной пластине с прямолинейной сквозной трещиной, пересекающей пластину по всей её ширине (рис. 12). Трещина параллельна оси у и находилась на расстоянии £/=350 м от края пластины. Пластина имела длину £=1500 м и ширину 5=200 м. Рассматривался ряд значений толщины льда Л=0,2; 0,5; 0,7, 1,0 м. Нагрузка двигалась вдоль оси х. При дискретизации она разбивалась на квадратные конечные элементы со стороной а=25 м. В начальный момент времени сила Р находилась на расстоянии £.9=250 м от края пластины, на оси х.

В первой серии расчетов сквозная трещина моделировалась идеальными цилиндрическими шарнирами. Остальные параметры задачи имели "стандартные" значения, за исключением одной особенности: для каждой толщины льда

подбиралась такая величина нагрузки, чтобы в пластине возникали напряжения, близкие к критическому сг,=0,8 МПа (усреднённое значение предела прочности на изгиб для пресного льда). Таким образом, оценивалось поведение сквозных трещин в условиях критического НДС ледяной пластины. Для толщин льда /¡=0,2; 0,5; 0,7; 1,0 м величина нагрузки имела соответствующие значения Р=0,7-105; 0,25-106; 0,4-Ю6; 0,8-106 Н.

Результаты расчетов в виде максимальных значений w, ап ау для моментов времени (=100 с (установившийся режим движения), £= 180 с (нагрузка находится в точке х=400 м), <=182 с (нагрузка в точке л-410 м), /=185 с (нагрузка в точке х=425 м) представлены в таблице 1. Здесь кк - коэффициент отношения максимального значения параметра к его значению при установившемся режиме движения. Графики прогибов для момента времени /=182 с (максимальные прогибы) представлены на рис. 13.

Во второй серии расчетов трещины моделировались упругими шарнирами. Участок пластины между трещиной и точкой перегиба графика прогибов находится в деформированном состоянии схожем с тем, которое было получено для пролета балки-стенки в серии расчетов по определению коэффициента к (см. выше). Таким образом, можно считать, что расстояние от трещины до точки перегиба (указано на рис. 13) аналогично длине балки-стенки. Основываясь на этом, значение коэффициента погонной жесткости к выбиралось как для балки-стенки соответствующей длины. Обращаясь к рис. 13 и рис. 8 для толщин льда /¡=0,2; 0,5; 0,7; 1,0 м имеем следующие длины соответствующих балок-стенок, равные 10; 18; 24; 32 м и значения коэффициента i=0,63-106; 0,5-107; 1,Н07; 3,0-107 Н/рад, соответственно.

Результаты расчетов показали, что по сравнению со случаем моделирования трещины идеальными шарнирами величины прогибов уменьшились (от 4 до 10 %), максимальные напряжений ау незначительно увеличились (до 3,3 %), а максимальные напряжения ах практически не изменились.

Равномерное прямолинейное движение сосредоточенной силы Р перпендикулярно сквозной прямолинейной трещине. Исследована зависимость величи-

У 1

р V Liu X

(N I 1

<L,> L L/2

->.

Рис. 12. Расчетная схема задачи

ны максимальных про- Таблица 1.

гибов ледяной пластины от скорости движения силы по прямоугольной ледяной пластине с прямолинейной сквозной трещиной, пересекающей пластину по всей её ширине (рис. 12). Рассматривалась пластина длиной ¿=1500 м и шириной В=200 м. При дискретизации она разбивалась на квадратные конечные элементы со стороной я=25 м. В начальный момент времени сосредоточенная

сила Р=0,4Т0 Н находилась на расстоянии Ьд= 150 м от края пластины на оси х. Сила двигалась вдоль оси х. Трещина, параллельная оси у, находилась на расстоянии ¿/=350 м от края пластины. Выполнялась серия расчетов с варьированием скорости движения нагрузки от 0 до 9 м/с с шагом 1 м/с. Остальные параметры задачи - "стандартные".

Полученное в результате расчета поле прогибов ледяной пластины в момент времени, когда при пересечении трещины силой они достигают максимального значения (для случая у=7 м/с), представлено на рис. 14. Результаты расчетов в виде графика зависимости величины максимальных прогибов, возникающих на трещине (в точке с координатой у=>0), от скорости движения силы приведены на рис. 15 (кривая 1). Здесь же для сравнения приве-

К Пара- Уст. реж. ¿=180, /=182, /=185, кк

м метр (/=100 с) с с с

0,2 11', м 0,018 0,026 1,444

<т,, МПа 0,813 0,834 1,026

оу, МПа 0,623 0,655 1,051

0,5 м>, м 0,023 0,032 1,391

<тх, МПа 0,845 0,95 1,124

оу, МПа 0,75 0,797 1,063

0,7 IV, м 0,025 0,034 1,36

Од., МПа 0,805 0,9 1,118

ау, МПа 0,738 0,782 1,06

1,0 И', м 0,031 0,042 1,355

ст.,-, МПа 0,91 0,985 1,082

С7„, МПа 0,854 0,906 1,06

Рис. 15. Зависимость величины максимального прогиба от скорости движения силы

о Ц рР"^ «Я

"ЗР**"*^ ^ и; = - о,обз

Ю0'\ /

Рис. 14. Прогибы пластины при у=7 м/с

ден аналогичный график для сплошной пластины (кривая 2). Во всем диапазоне рассматриваемых скоростей график (1) лежит выше графика (2), т.е. максимальные прогибы на трещине при любой скорости движения силы, как и следовало, ожидать, больше, чем в случае сплошной пластины. Отметим особенность: при наличии трещины максимальные прогибы возникают в результате статического действия силы, т.е. статический прогиб больше резонансного, а в случае сплошной пластины, наоборот, резонансный прогиб больше статического.

Равномерное прямолинейное движение сосредоточенной силы Р параллельно сквозной прямолинейной трещине. Пластина длиной £=1200 м и шириной 5=180 м (рис. 16), при дискретизации разбивалась на квадратные конечные элементы со стороной а=30 м. В начальный момент времени сосредоточенная сила Р=0,25-106 Н находилась на расстоянии £¿=50 м от края пластины на оси х. Сила двигалась параллельно оси л\ Трещина расположена на оси х и пересекает пластину по всей её длине. Остальные параметры задачи принимались "стандартными".

Результаты расчетов с варьированием параметра <1 от 0 до 20 м с шагом 5 м в виде графиков прогибов пластины представлены на рис. 17 и рис. 18. Данные графики построены для момента времени /=112 с, когда в сечении пластины х=0 возникают максимальные прогибы. Наибольшие прогибы возникают при движении нагрузки непосредственно по трещине ((1-0 м). По мере удаления линии движения силы от линии трещины прогибы уменьшаются и для данных условий задачи, начиная с расстояния ¿= 10 м, величина максимальных прогибов существенно не меняется.

1У

СМ - -Г Р V траектория / движения /

1а ь 1/2

<-

Рис. 16. Расчетная схема задачи

VI/, м 0 -0,01 -0,02 -0,03

-0,04

¿=20м \\ // ¿—Ъи.

¿=15м' ДА*,

¿=10м /\ / ¿Юм

-100 -50

50 х, м

Рис. 17. Прогибы ледяной пластины в сечениях у = <1

IV, м 0

-0,01 -0,02 -0,03 -0,04

<*=10м ' Л 4' ! .

/ / //

\ \ \ \\ //у/У

20м

(1 0м /\] — \^-15м

-40 -20

0

20 40 у, м

Рис. 18. Прогибы ледяной пластины в сечении * = 0

Равномерное движение сосредоточенной силы Р по прямой линии, составляющей со сквозной трещиной угол а. Расчетная схема задачи представлена на рис. 19. В данной серии расчетов рассматривалась пластина с размерами ¿=800 м, В=800 м и толщиной /¡=0,5 м. Дискретная модель пластины составлялась из квадратных конечных элементов со стороной 40 м. Координаты начального положения силы х0 и у о для каждого значения угла а подбирались таким образом, чтобы за некоторое время до момента пересечения трещины силой режим колебаний был установившимся. Остальные параметры задачи -"стандартные". Результаты расчетов представлены на рис. 20 в виде графика изменения величины максимального прогиба льда в зависимости от угла а.

Рис. 20. Зависимость величины Рис. 19. Расчетная схема _

максимальных прогибов от угла а

Равномерное движение силы по синусоидальной траектории с периодом Т и амплитудой А в случае, когда ось синусоиды лежит на линии сквозной трещины (рис. 21). Рассматривалась пластина с размерами /,=1000 м, 5=300 м. Дискретная модель пластины составлялась из квадратных конечных элементов со стороной 50 м. В начальный момент времени сила находилась на расстоянии ¿о=200 м от края пластины на оси у. сила двигалась в положительном направлении оси;'. Остальные значения параметров задачи - "стандартные".

Л Т траектория

г*—. А V \ X

у -г т + -

Р '

и , 1/2

< ь ->-

Мтах, ММ 55

50 45 40 35

Г=80 м

7=60 м

71=40 м

Г= 25 м

Г=50 ///

Г=30 м^«

Рис. 21. Расчетная схема

5 10 15 20 25 А, м Рис. 22. Максимальные прогибы

Выполнялась серия расчетов для следующих параметров траектории движения нагрузки: Г=25;30;40;50;60;80 м; А=5; 12,5; 17,5; 25 м. На рис. 22 представлены графики зависимости величины максимальных прогибов м>тах от амплитуды синусоиды для различных значений её периода. С увеличением амплитуды величина максимальных прогибов уменьшается для всех значений периода синусоиды.

Исследование влияния удаления оси синусоидальной траектории движения силы от линии трещины на величину прогибов пластины. Дискретная модель пластины с размерами £=1000 м, .6=350 м составлялась из квадратных конечных элементов со стороной д=50 м. Трещина расположена параллельно оси у на расстоянии 25 м и пересекает пластину по всей длине (рис. 23). В начальный момент времени нагрузка находилась в состоянии покоя на расстоянии ¿О=200 м от края пластины. Для данной серии расчетов была произвольно выбрана пара параметров 7=60 м, .4=17,5 м, определяющих синусоидальную траекторию, а параметр <1 принимал следующие значения: 0; 2,5; 5; 7,5; 10; 15; 17,5; 30 м. Остальные параметры задачи принимались -"стандартными". Результаты расчетов в виде графика зависимости величины максимальных прогибов от удаления оси синусоиды от линии трещины представлены на рис. 24. Из графика видно, что наибольшие по величине максимальные прогибы в пластине возникают не в случае совпадения оси синусоиды и линии трещины, а при некотором расстоянии между ними.

В шестой главе дано описание программы «CRACK» и приведен пример решения типовой задачи с её помощью. Раскрыты основные особенности примененных вычислительных алгоритмов.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

1. Впервые численно смоделированы пространственно-временные зависимости распределения прогибов и напряжений в ледяном покрове с трещиной от характеристик движения нагрузки, что позволяет на более высоком уровне описания НДС получить прогноз предельной несущей способности ледяного покрова имеющего локальную неоднородность в виде

30

Рис. 23. Расчетная схема

<-

0 10 20 30 d, м Рис. 24. Максимальные прогибы

сквозной трещины.

2. Разработан метод моделирования трещин идеальными, упругими шарнирами и в виде разреза.

3. Обоснована нецелесообразность учета сил контактного взаимодействия берегов трещины при её раскрытии в практических расчетах.

4. Разработана программа для выполнения расчетов на ЭВМ в общем случае.

5. Решены задачи о НДС ледяного покрова с трещиной при равномерном прямолинейном движении нагрузки перпендикулярно, параллельно, под углом к трещине, а также при движении нагрузки по синусоидальной траектории.

Основное содержание диссертации изложено в следующих работах:

1. Жесткая В.Д., Джабраилов М.Р. Численное решение задачи о движении нагрузки по ледяному покрову с трещиной // ПМТФ. 2008.Т. 49, № 3. С.151-156.'

2. Джабраилов М.Р. Исследование изгиба ледяного покрова с трещиной, находящегося под действием движущегося транспортного средства // Транспорт: наука, техника, управление, 2008. № 9. С. 38-40.

3. Прикладные задачи динамики ледяного покрова / Козин В.М., Жесткая В.Д., Погорелова A.B., Чижиумов С.Д., Джабраилов М.Р., Морозов B.C., Кустов А.Н. - М.: Изд. "Академия Естествознания", 2008. -329 с.

4. Джабраилов М.Р. Определение коэффициента, погонной жесткости при моделировании сквозной трещины в изотропной упругой ледяной пластине цилиндрическим шарниром с внутренним сопротивлением // Сборник докладов 2-й конференции "Проблемы механики сплошных сред и смежные вопросы технологии машиностроения. Владивосток, 31 авг. - 6 сен. 2003 г." - г. Комсомольск-на-Амуре ИМиМ ДВО РАН, 2003. - С. 32-38.

5. Джабраилов М.Р. Моделирование сквозных трещин в ледяном покрове при численном решении задачи о напряженно-деформированном состоянии ледяного покрова, находящегося под действием движущейся нагрузки // Сборник докладов 2-й конференции "Проблемы механики сплошных сред и смежные вопросы технологии машиностроения. Владивосток, 31 авг. - 6 сен. 2003 г." - г. Комсомольск-на-Амуре ИМиМ'ДВО РАН, 2003. - С. 48-56.

6. Козин В.М., Джабраилов М.Р. Исследование влияния наличия магистральной сквозной трещины в ледяном покрове на его напряженно-деформированное состояние при действии движущейся нагрузки // Сборник докладов 3-й конференции "Проблемы механики сплошных сред и смежные вопросы технологии машиностроения. Владивосток - Комсомольск-на-Амуре, сен. 2004 г." - г. Комсомольск-на-Амуре: ИМиМ ДВО РАН, 2005. - С. 143-154.

7. Джабраилов М.Р. Влияние ледовых условий на параметры изгибно-гравитационных волн // Научно-техническое творчество аспирантов и студентов: Материалы 29-й научно-технической конференции аспирантов и студентов (Комсомольск-на-Амуре, 12-24 апреля 1999 г.): В 2 ч. Ч. 1 / Редкол.:

}

AM. Евстигнеев (отв. ред.) и др. - Комсомольск-на-Амуре: Комсомольский-на-Амуре гос. техн. ун-т, 1999. - С. 67.

8. Патент РФ № 2158693 МКИ 7 В 63 В 35/08. Способ разрушения ледяного покрова / Козин В.М., Джабраилов М.Р., Попова Ю.Б., Югай Л. Л. -Опубл. 10.П.2000. Бюл. №31.

9. Патент РФ № 2258630 МПК В 63 В 35/08, В 60 V 3/06, Е 02 В 15/02. Способ разрушения ледяного покрова / Козин В.М., Погорелова A.B., Джабраилов М.Р., Попова H.A.. - 0публ.20.08.2005. Бюл. № 23.

10. Патент РФ № 2258631 МПК В 63 В 35/08, В 60 V 3/06, Е 02 В 15/02. Способ разрушения ледяного покрова / Козин В.М., Погорелова A.B., Джабраилов М.Р., Попова H.A.. - 0публ.20.08.2005. Бюл. № 23.

11. Свидетельство об офиц. регистр, программы для ЭВМ № 2007613577. Программное обеспечение для расчета напряженно-деформированного состояния ледяного покрова с трещинами, находящегося под действием движущейся нагрузки, «CRACK» / Джабраилов, М.Р. (RU). Заявка № 2007611495. Дата поступления 20.04.2007 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 22.08.2007 г.

Подписано в печать 21.10.2008 Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 1,4, уч. - изд. л. 1,35 Тираж 100 экз. Заказ 21891

Полиграфическая лаборатория Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет» 681013, Комсомольск-на-Амуре, пр. Ленина, 27.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЛЕДЯНОГО ПОКРОВА, НАХОДЯЩЕГОСЯ

ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВИЖУЩЕЙСЯ НАГРУЗКИ.

1.1. Экспериментальные исследования деформаций ледяного покрова, вызываемых движущимися нагрузками.

1.2. Теоретические исследования колебаний пластин на упругом основании под действием движущихся нагрузок.

1.2.1. Исследование колебаний бесконечных пластин на упругом основании.

1.2.2. Исследования колебаний ледяного покрова.

1.3. Физические процессы, происходящие при распространении изгибно-гравитационных волн в сплошном ледяном покрове.

1.4. Постановка задачи исследований.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЛЕДЯНОГО ПОКРОВА, НАХОДЯЩЕГОСЯ

ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВИЖУЩЕЙСЯ НАГРУЗКИ.

2.1. Основные зависимости задачи.

2.2. Исключение функции потенциала движения жидкости.

2.3. Система матричных дифференциальных уравнений задачи.

2.4. Решение системы матричных дифференциальных уравнений задачи.

2.5. Коэффициенты в матричных дифференциальных уравнениях задачи.

2.5.1. Матрицы [К\\, [К\2, [К\3 для прямоугольного элемента пластины.

2.5.2. Матрицы [Х]ь [К\г, [К\3 для треугольного элемента пластины.

2.6. Определение напряжений в точках ледяной пластины.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СКВОЗНЫХ ТРЕЩИН В ЛЕДЯНОМ ПОКРОВЕ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЕГО НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ.

3.1. Моделирование сквозных трещин с помощью идеальных и упругих шарниров.

3.2. Определение коэффициента погонной жесткости упругого шарнира при моделировании трещины.

3.3. Моделирование сквозных трещин в виде разреза.

4. ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБА УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ С ТРЕЩИНОЙ

ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВИЖУЩЕЙСЯ НАГРУЗКИ.

4.1. Экспериментальное исследование изгиба упругой пластины с трещиной.:.

4.2. Теоретическое исследование изгиба упругой пластины с трещиной.

5. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ НАГРУЗКИ ПО ЛЕДЯНОМУ ПОКРОВУ, ОСЛАБЛЕННОМУ СКВОЗНОЙ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ТРЕЩИНОЙ.

5.1. Определение оптимального размера конечных элементов для корректной аппроксимации деформированной поверхности ледяной пластины.

5.2. Сравнительный анализ НДС ледяного покрова в случаях моделирования трещин идеальными и упругими шарнирами.

5.3. Равномерное прямолинейное движение сосредоточенной силы перпендикулярно сквозной прямолинейной трещине.

5.4. Равномерное прямолинейное движения сосредоточенной силы параллельно сквозной прямолинейной трещине.

5.5. Равномерное движение сосредоточенной силы по прямой лини, составляющей с линией сквозной трещины угол а.

5.6. Равномерное движение сосредоточенной силы по синусоидальной траектории в случае, когда ось синусоиды лежит на линии сквозной трещины.

5.7. Влияние удаления оси синусоидальной траектории движения нагрузки от линии сквозной трещины.

6. Основные особенности программы «CRACK» расчета НДС ледяного покрова с наличием сквозных трещин.

6.1. Особенности пользовательского интерфейса программы «CRACK».

6.2. Особенности вычислений собственных векторов [Х\т и собственных значений кт, реализованных в программе «CRACK».

Для нашей страны, обладающей обширными речными и морскими акваториями, трудно переоценить важность водного вида транспорта. Но в силу своего географического положения большая часть водных путей надолго покрывается льдом. Естественно, что сезонность работы речного, а в северных районах и морского флота негативно сказывается на функционировании транспортной системы в целом из-за периодической перегрузки других видов транспорта. Огромный потенциал развития водного вида транспорта скрыт в освоении малых рек и использовании для круглогодичной эксплуатации СВП.

В свете роста экономической активности на севере страны, Сибири и Дальнем Востоке к проблеме продления навигации в последние годы, возникает особый интерес. В этих районах, как правило труднодоступных, экономический эффект от продления навигации проявляется особенно ярко, так как транспортировка грузов там очень часто осуществляется воздушным видом транспорта. Немаловажное значение эта проблема имеет и в других регионах страны. Даже для таких сравнительно благополучных в транспортном отношении районов, как Центральный и Северо-Западный, продление навигации на три недели дает колоссальный экономический эффект. Динамичное освоение нефтяных и газовых месторождений за Северным Полярным кругом и шельфе на арктических морей обуславливает особое внимание к поиску эффективных способов продления навигации в замерзающих морях. Большое значение приобретает обеспечение безопасности от повреждений ледовыми нагрузками морских нефтяных платформ и других гидротехнических сооружений, эксплуатирующихся в тех районах, где в зимнее время акватория покрывается льдом.

Большой экономический ущерб ежегодно причиняют наводнения, возникающие из-за позднего вскрытия рек. Результатом паводков и наводнений нередко становятся человеческие жертвы. Все это наталкивает на необходимость борьбы с ледовыми затруднениями в период ледохода, такими как заторы, зажоры и пр.

Актуальность проблемы. Известно большое количество способов разрушения ледяного покрова. Среди них выделим использование для этой цели судов на воздушной подушке (СВП), которые очень эффективны во многих случаях (в частности, на мелководье). Они, двигаясь над поверхностью льда, могут вызывать его разрушение, как за счет своего веса, так и за счет возбуждаемых ими в ледяном покрове колебаний достаточно большой амплитуды.

При разрушении льда СВП требуется обеспечить такой режим движения, который приводил бы к появлению возможно больших напряжений во льду и к его разрушению. Следовательно, возникает необходимость оценки напряженно-деформированного состояния ледяного покрова, находящегося под действием движущейся нагрузки.

С аналогичной задачей приходится встречаться также и при расчете несущей способности ледяного покрова в случае движения транспортных средств по зимним ледовым дорогам на замерзающих акваториях.

В связи с этим, актуальными становятся вопросы разработки способов расчета и исследования на их основе напряженно-деформированного состояния ледяного покрова, находящегося под действием движущейся нагрузки. Полученные при этом результаты могут быть весьма полезными при выборе оптимальных режимов движения СВП при разрушении льда либо эксплуатации транспортных средств на ледовых трассах.

Целью настоящей работы является решение проблемы оценки напряженно-деформированного состояния ледяного покрова с трещиной при движении по нему нагрузки при любых ледовых условиях и при любом законе движения, а также исследование наиболее важных случаев движения нагрузки по ледяному покрову.

Основными этапами работы были: построение способа моделирования сквозной трещины в ледяном покрове; разработка алгоритма и программы расчета на ЭВМ для выполнения расчетов; исследование некоторых наиболее важных случаев движения нагрузки по ледяному покрову, ослабленному сквозными трещинами. Методы исследований. Решение задачи было выполнено численным методом, основанным на комбинации метода конечных элементов и метода конечных разностей. Результаты расчетов сопоставлялись с результатами экспериментов на специально созданной экспериментальной установке в ГОУВПО КнАГТУ.

Научная новизна работы заключается в следующем: предложен способ моделирования сквозных трещин в ледяном покрове при численном решении проблемы оценки напряженно-деформированного состояния ледяного покрова, находящегося под действием движущейся нагрузки, который позволяет, во-первых, производить расчет при любой геометрической конфигурации трещин, и во-вторых учитывать наличие упругого сопротивления раскрытию берегов сквозных трещин вследствие возникновения контактных напряжений на их кромках. впервые были получены теоретические решения ряда задач по оценке напряженно-деформированного состояния ледяного покрова ослабленного наличием сквозных трещин.

Практическое значение работы. Полученные результаты нашли применение при разработке рекомендаций судоводителям по выбору оптимального режима движения СВП, используемого как ледоразрушающее средство (в частности, для определения, какая скорость и какая траектория движения окажутся оптимальными при данной ледовой обстановке, какой толщины лед может взломать СВП при данном давлении в воздушной подушке и т.д.). Они могут быть использованы также при оценке несущей способности ледяного покрова с трещиной при движении по нему транспортных средств.

Личный вклад автора. Изложенный в диссертации способ моделирования сквозных трещин в ледяном покрове при численном решении задач оценки напряженно-деформированного состояния ледяного покрова при движении по нему нагрузки является итогом личных исследований автора. Лично автором разработана программа расчета и получены решения всех задач о движении нагрузки по ледяному покрову, ослабленному сквозными трещинами, приведенных в диссертации. При личном участии автора, были выполнены модельные эксперименты по исследованию влияния наличия сквозной трещины в ледяном покрове на деформации льда при движении по нему нагрузки.

Автор глубоко благодарен научному руководителю д.т.н., проф. В.Д. Жесткой за всестороннюю помощь на всех этапах работы над диссертацией. Глубокую признательность автор выражает д.т.н., проф. В.М. Козину за научные консультации, плодотворные замечания, полезные советы и оказанную помощь в подготовке и редактировании диссертации. Автор искренне признателен преподавателям кафедры теоретической и прикладной механики ГОУ ВПО КнАГТУ и сотрудникам ИмиМ ДВО РАН, принимавшим участие в обсуждении результатов исследований на разных этапах работы. Их полезные советы и критические замечания были учтены при завершении и окончательном редактировании диссертации.

Основные результаты работы заключаются в следующем.

1. Впервые численно смоделированы пространственно-временные зависимости распределения прогибов и напряжений в ледяном покрове с трещиной от характеристик движения нагрузки, что позволяет на более высоком уровне описания НДС получить прогноз предельной несущей способности ледяного покрова имеющего локальную неоднородность в виде сквозной трещины.

2. Разработан метод моделирования сквозных трещин в ледяном покрове идеальными, упругими шарнирами и в виде разреза. Поставлен математический эксперимент по определению сил сопротивления раскрытию берегов трещины, обусловленных контактным взаимодействием её кромок. Для ряда толщин льда определены значения коэффициента погонной жесткости, используемого при моделировании трещины упругим шарниром. Получена количественная оценка и проведено сравнение величин напряжений и прогибов ледяного покрова с трещиной, находящегося под действием движущейся нагрузки, с учетом и без учета сил сопротивления раскрытию берегов трещины. Сделан вывод, что в большинстве инженерных задач динамики ледяного покрова силами контактного взаимодействия берегов трещины можно пренебречь.

3. Проведено экспериментальное и теоретическое исследование изгиба упругой пластины с трещиной, лежащей на упругом основании гидравлического типа, под действием движущейся нагрузки. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных дает основание считать, что с помощью изложенного в данной работе теоретического метода исследования НДС ледяного покрова с трещиной, можно получить достаточно достоверные результаты.

4. Разработана программа для выполнения расчетов на ЭВМ.

5. Определен оптимальный размер конечных элементов, обеспечивающий корректную аппроксимацию деформированной поверхности ледяного покрова для рассматриваемого класса задач.

6. Решена задача о равномерном прямолинейном движении сосредоточенной силы по ледяному покрову перпендикулярно сквозной прямолинейной трещине. Получена зависимость величины максимальных прогибов возникающих на трещине в зависимости от скорости движения нагрузки.

7. Решена задача о равномерном прямолинейном движении сосредоточенной силы по ледяному покрову параллельно сквозной прямолинейной трещине. Получена зависимость величины максимальных прогибов ледяного покрова от расстояния между траекторией движения нагрузки и линией трещины. Решение данной задачи позволяет определить границы области влияния трещины на параметры НДС ледяного покрова, т.е. определить минимальное расстояние между траекторией движения нагрузки и трещиной, при котором НДС ледяного покрова практически не отличается от НДС сплошного ледяного покрова.

8. Решена задача о равномерном прямолинейном движении сосредоточенной силы по ледяному покрову под углом к сквозной прямолинейной трещине. Получена зависимость величины максимальных прогибов возникающих на трещине от угла между трещиной и траекторией движения нагрузки.

9. Решена задача о движении сосредоточенной силы по синусоидальной траектории вдоль сквозной прямолинейной трещины в ледяном покрове. Исследована зависимость величины максимальных прогибов льда от периода и амплитуды синусоиды. Установлено, что с увеличением амплитуды синусоиды величина максимальных прогибов уменьшается для любых значений её периода.

10. Исследовано влияние удаления оси синусоидальной траектории движения нагрузки от линии сквозной трещины на величину максимальных прогибов ледяного покрова. Установлено, что наибольшее значение максимальных прогибов достигается при некотором определенном удалении оси синусоидальной траектории движения нагрузки от линии трещины.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Берштейн С.А. Ледяная железнодорожная переправа (работа, теория и расчет ледяного слоя) // 18-й сборник НКПС. М.: Транспечать, 1929. - 42 с.

2. Брегман Г.Р., Проскуряков Б.В. Ледяные переправы. Свердловск: Гидрометеоиздат, 1943. 151 с.

3. Бляхман Р.И. Колебания бесконечной пластинки на упругом полупространстве под действием подвижной нагрузки // Строительная механика и расчет сооружений, 1967. № 3. - С. 112-115.

4. Бычковский Н.Н. Некоторые задачи динамики бесконечной плиты, лежащей на упругом основании // Совершенствование конструкций и методов расчета мостов и мостовых переходов. М.: Стройиздат, 1976. Вып. 1. С. 129136.

5. Бычковский Н.Н., Богачев С.Т. Колебания балок и плит на упругом основании с учетом массы движущегося груза // Труды Саратов, политех, ин-та. Саратов: СПИ, 1974. - Вып. 67. - С. 159-165.

6. Букатов А.Е. Влияние снежного покрова на изгибно-гравитационные волны в ледяных полях // Поверхностные и внутренние волны. Севастополь: АН УССР, 1978. - С. 78-83.

7. Букатов А.Е. Влияние продольного растяжения на развитие изгибно-гравитационных волн в сплошном ледяном покрове // Морские гидрофизические исследования. Севастополь: МГИ АН УССР, 1978. - № 4. -С. 26-33.

8. Букатов А.Е. Внутренние волны от начальных возмущений в море, покрытом льдом // Цунами и внутренние волны. — Севастополь: МГИ АН УССР, 1976.-С. 17-26.

9. Букатов А.Е. О влиянии ледяного покрова на неустановившиеся волны // Морские геофизические исследования. Севастополь: МГИ АН УССР, 1978. -№3 (49).-С. 64-77.

10. Букатов А.Е., Черкесов JI.B. Влияние ледяного покрова на волновые движения // Морские гидрофизические исследования. Севастополь: МГИ АН УССР, 1971.-№2(52).-С. 113-144.

11. Букатов А.Е., Черкесов JI.B. Неустановившиеся колебания дрейфующего в неоднородном море ледяного покрова, вызванные периодическими возмущениями // Труды ААНИИ, 1979. Т. 357. С. 77-84.

12. Букатов А.Е., Черкесов JI.B. О влиянии скорости потока на развитие волн в море, покрытом льдом // Морские гидрофизические исследования. — Севастополь: МГИ АН УССР, 1975. № 4 (71). - С. 49-60.

13. Букатов А.Е. Влияние ледового сжатия на неустановившиеся изгибно-гравитационные волны // Океанология. М.: Наука, 1980. Т. 20, - Вып. 4. - С. 600-606.

14. Букатов А.Е., Ярошенко А. А. Неустановившиеся изгибно-гравитационные волны от импульсных возмущений в условиях ледового сжатия // Теоретические и экспериментальные исследования поверхностных и внутренних волн. Севастополь: АН УССР, 1980. - С. 65-73.

15. Бутягин И.П. Прочность ледяного покрова по экспериментальным исследованиям в натурных условиях // Труды координац. совещ. по гидротехнике. М.; Л.: Энергия, 1964. Вып. 10. - С. 71-81.

16. Бутягин И.П. Прочность льда и ледяного покрова. Новосибирск: Наука, 1966.- 154 с.

17. Берденников В.П., Досычева JI.A. Оценка несущей способности ледяного покрова по данным модельных исследований // Труды координац. совещ. по гидротехнике. Л.: Энергия, 1976. Вып. 111. - С. 176-177.

18. Голушкевич С.С. О некоторых задачах теории изгиба ледяного покрова. Л.: Воениздат, 1947. - 231 с.

19. Глазырин B.C. Поперечные колебания неограниченной плиты, лежащейна основании с двумя упругими характеристиками // Основание, фундамент и механика грунтов, 1967. № 2. - С. 32-34.

20. Гершунов В.М. Вынужденные колебания бесконечной балки на упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений, 1961. № 1. С. 41-43.

21. Глазырин B.C. Установившиеся колебания плиты, лежащей на упругом основании // Труды ЦНИИ строительных конструкций, 1976. Вып. 41.-С. 25-30.

22. Доценко С.Ф. Установившиеся гравитационно-упругие трехмерные волны от движущихся возмущений // Цунами и внутренние волны. — Севастополь: МГИАНУССР, 1976.-С. 144-155.

23. Доценко С.Ф., Черкесов JI.B. Неустановившиеся колебания плавающей пластинки, вызванные движущейся нагрузкой // Прикладная механика, 1977. № -. - С. 98-103.

24. Доценко С.Ф. О гравитационно-упругих и гравитационно-капиллярных неустановившихся корабельных волнах // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1978. Т. 5. - С. 26-32.

25. Доронин Ю.П., Хейсин Д.Е. Морской лед. Л.: Гидрометеоиздат, 1975.-318 с.

26. Двойченко Ю.А., Козин В.М. Предельное деформирование ледяного покрова изгибно-гравитационными волнами // Теория и прочность ледокольного корабля: Сб. науч. тр. Горький: ГПИ им. Жданова, 1982. Вып. 3. -С. 38-41.

27. Двойченко Ю.А. К вопросу о предельной деформации ледяного покрова // Теория и прочность ледокольного корабля: Сб. науч. тр. Горький: ГТУ, 1978. Вып. 1. - С. 47-49.

28. Двойченко Ю.А. Деформация и пролом ледяного поля // Теория и прочность ледокольного корабля: Сб. науч. тр. Горький: ГПИ им. А.А.Жданова, 1980.-Вып. 2.-С. 38-44.

29. Жесткая В.Д., Козин В.М. Исследования возможностей разрушения ледяного покрова амфибийными судами на воздушной подушке резонансным методом. Владивосток: Дальнаука, 2003. 161 с.

30. Зубов Н.Н. Льды Арктики. М.: Изд-во Главсевморпути, 1945. - 360с.

31. Зубов Н.Н. Основы устройства дорог на ледяном покрове. М.: Гидрометеоиздат, 1942. 74 с.

32. Иванов К.Е., Кобеко П.П., Шульман А.Р. Деформация ледового покрова при движении грузов // Журнал технической физики, 1946. Т. 16. - С. 257-262.

33. Иванов К.Е., Песчанский И.С. Грузоподъемность ледяного покрова и устройство дорог на льду. М.; Л.: Главсевморпути, 1949. -182 с.

34. Исследование взаимодействия судов на воздушной подушке с ледяным покровом // Отчет ГПИ им. А.А.Жданова. № ГР 75063822. Инв. № Б 641989. Горький, 1977. С. 64-65.

35. Кашкин Н.Н. Исследование работы ледяных аэродромов под нагрузкой от самолета. М.; Л.: ОНТИ НКТП, 1935. - 48 с.

36. Ключарев В., Изюмов. С. Определение грузоподъемности ледяных переправ // Военно-инженерный журнал, 1943. № 2-3. С. 30-34.

37. Коренев Б.Г. Движение силы по бесконечно длинной балке, лежащей на упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений, 1967. № 3. С. 27-30.

38. Коренев Б.Г. О движении нагрузки по пластинке, лежащей на упругом основании // Строительная механика и расчет сооружений, 1967. № 3. С. 27-30.

39. Колесник И.А., Иманходжаев Ч.У. Колебания трехслойных пластин, лежащих на упругом основании, при движении подвижной инерционной нагрузки // Сопротивление материалов и теория сооружений, 1979. № 9. — С. 92-95.

40. Коваленко Г.П., Филиппов А.П. Действие подвижной нагрузки на пластину, лежащую на упругом полупространстве с переменными параметрами // Труды VII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. — М.: Наука, 1970.-С. 54-58.

41. Крылов Ю.М. Распространение длинных волн под ледяным полем // Труды ГОИН. М; Л., 1948. - Вып. 8 (20). - С. 107-110.

42. Каштелян В.И. Приближенное определение усилий, разрушающих ледяной покров // Проблемы Арктики и Антарктики, 1960. № 5. - С. 31-37.

43. Кобеко П.П., Шишкин Н.И., Марей Ф.И. Пролом и грузоподъемность льда // Журнал технической физики, 1946. Т. 16. - Вып. 3. -С. 273-276.

44. Козин В.М. Обоснование исходных данных для выбора основных параметров СВП, предназначенных для разрушения ледяного покрова резонансным способом: Дис. . канд. тех. наук. Горький: ГПИ им. Жданова, 1983. 171 с.

45. Львовский В.М. О движении нагрузки по бесконечной балке, лежащей на обобщенном упругом массивном основании при учете сил неупругого сопротивления // Сопротивление материалов и теория сооружений, 1965.-Вып. З.-С. 145-149.

46. Лебедев А.И. Влияние ледяного покрова на распространение поверхностных гравитационных волн в вязкой жидкости // Морские геофизические исследования. Севастополь: МГИ АН УССР, 1969. - № 2 (44). -С. 121-136.

47. Муравский Г.Б. Действие движущейся системы сил на балку, лежащую на упругом основании. Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -М.: Наука, 1975. - № 3, с. 190-195.

48. Муравский Г.Б. Неустановившиеся колебания бесконечной плиты, лежащей на упругом основании, при действии подвижной нагрузки. — Труды -/ МИИТ. -М.: Изд. МИИТ, 1964, вып. 193, с. 166-171.

49. Марченко А.В. Изгибно-гравитационные волны // Труды института общей физики. Динамика волн на поверхности жидкости, 1999. Т.56. - С. 65.

50. Найвельт В.В. Действие подвижной нагрузки на бесконечную плиту, лежащую на упругом основании // Изв. Вузов. Строительство и архитектура, 1967.-№5.-С. 161-169.

51. Ормонбеков Т. Динамический изгиб неограниченной плиты, лежащей на упругом основании // Труды Фрунз. политех, ин-та. Фрунзе, 1977. -Вып. 99.-С. 131-136.

52. Ольшанский В.П., Лавинский В.И., Осадченко Б.К. Колебания пластины на упругом основании при возвратно-поступательном движении по ней силы // Динамика и прочность машин, 1976. Вып. 24. - С. 27-33.

53. Оценка несущей способности ледяного покрова при действии статических нагрузок // Отчет ГПИ им. А.А.Жданова. № ГР 80076491. Инв. № 0282.1030164. Горький, 1981. С. 57.

54. Песчанский И.С. Ледоведение и ледотехника. — Л.: Гидрометеоиздат, 1967.-461 с.

55. Писарев Ю.В. Волновые явления в жидкости при вынужденных упругих колебаниях длинной плавающей пластины // Труды МИИТ, 1973. Т. 434. - С. 49-62.

56. Пожуев В.И. Установившиеся колебания бесконечной пластинки на упругом неоднородном слое под действием подвижной нагрузки // Устойчивость и прочность элементов конструкций. Днепропетровск, 1975. -Вып. 2.-С. 178-189.

57. Панфилов Д.Ф. К расчету грузоподъемности ледяных переправ // Изв. ВНИИГ, 1960.-Т. 64.-С. 101-116.

58. Панфилов Д.Ф. К теории изгиба ледяного покрова // Изв. ВУЗов. Строительство и архитектура, 1969. № 10. - С. 88-96.

59. Панфилов Д.Ф. Экспериментальные исследования грузоподъемности ледяного покрова // Изв. ВНИИГ, 1960. Т. 64. - С. 101-116.

60. Постнов В.А., Дмитриев С.А., Елтышев Б.К., Родионов А.А. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. JL: Судостроение, 1979. 288 с.

61. Седов Г.Я. Перевозки по льду предметов большого веса // Водный транспорт, 1926. № 3-4. - 146 с.

62. Сергеев Б.Н. К вопросу о величине нагрузки речного льда // Водный транспорт, 1926. № 8-9. - С. 300-301.

63. Сытинский А. Д., Трипольников В.П. Некоторые результаты исследований естественных колебаний ледяных полей Центральной Арктики // Изв. АН СССР. Сер. Геофизическая, 1964. № 4. С. 615-621.

64. Смирнов В.Н. Некоторые вопросы натурного исследования деформаций и напряжений в ледяном покрове // Труды ААНИИ, 1976. Т. 331. -С. 133-140.

65. Смирнов В.Н. Упругие изгибные волны в ледяном покрове // Труды ААНИИ, 1976.-Т. 331, с. 117-123.

66. Серазутдинов М.Н. Движение груза по гибкой пластине // Статика и динамика оболочек. Казань, 1977. - Вып. 8. - С. 188-195.

67. Суворов A.M. Развитие колебаний предельно сжатой упругой пластины, плавающей на поверхности нестационарного потока жидкости // Мор. Гидрофиз. ин-т АН УССР. Севастополь, 1982. - 7 с. Деп. в ВИНИТИ 10.02.1982, №584-82.

68. Справочник по строительной механике корабля / Бойцов Г.В., Палий О.М., Постнов В.А., Чувиковский B.C. В трех томах. Т. 2. - Д.: Судостроение, 1982.-464 с.

69. Филиппов А.П. Вынужденные колебания неограниченной плиты, лежащей на упругом полупространстве // Прикладная математика и механика, М., 1940.-Т.4.-Вып.2.-С.75-92.

70. Филиппов А.П. Установившиеся колебания бесконечно длинной балки, лежащей на упругом полупространстве под действием движущейся силы // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение, 1961. № 6. С. 97-105.

71. Хейсин Д.Е. Динамика ледяного покрова. Л.: Гидрометеоиздат, 1967. -215 с.

72. Хейсин Д.Е. Поверхностные волны в море, покрытом льдом и упругие колебания ледяного покрова. Автореф. Дис. . докт. физ.-мат. наук. -Л., 1968.-38 с.

73. Хейсин Д.Е. К задаче упруго-пластического изгиба ледяного покрова // Труды ААНИИ, 1964. Т. 267. - С. 143-149.

74. Хейсин Д.Е. Некоторые нестационарные задачи динамики ледяного покрова // Труды ААНИИ, 1971. Т. 300. - С. 81-91.

75. Чубаров Л.Б. О некоторых численных моделях распространения длинных волн в жидкости при наличии ледяного покрова // Численный анализ, 1978.-С. 99-110.

76. Черкесов Л.В. О влиянии ледяного покрова и вязкости жидкости на длинные волны // Морские геофизические исследования. Севастополь: МГИ АН УССР, 1970. - № 3 (49). - С. 50-56.

77. Черкесов Л.В. О развитии волн на свободной поверхности и поверхности раздела двух жидкостей под действием перемещающихся давлений // Прикладная математика и механика. М.: Наука, 1962. Т. 26.- Вып. 3. - С. 559-563.

78. Якунин А.Е., Бутягин И.П. Расчеты несущей способности ледяного покрова // Труды НИИВТ, 1974. Вып. 88. - С. 66-81.

79. Anderson D.L. Elastic Wave Propagation in Layered Anisotropic Media // J. Geophys. Res., 1961. Vol. 66, N 9. - P. 2953-2963.

80. Bates H.F., Shapiro L.H. Breaking Ice with Gravity Waves // Trans. Asme. J. Energy Resour. Technol., 1980. Vol. 102, N 3. - P. 148-153.

81. Bates H.F., Shapiro L.H. Stress Amplification Under a Moving Load on Floating Ice // J. Geophys. Res., 1981. Vol. 86, N 7. - P. 6638-6642.

82. Beltaos S. A Strain Energy Criterion for Failure of Floating Ice Sheets // Nat. Res. Counc. Can. Techn. Mem., 1978. N 5. - P. 24-38.

83. Crary A.P. Scismic Studies on Fletcher's Ice Icland-T-3 // Trans. Amer. Geoph. Un. 1954. - Vol. 35, N 2 - P. 293-300.

84. Crary A.P., Cotell R.D., Oliver J. Geophysical Studes in the Beaufort Sea, 1951 // Trans. Amer. Geoph. Un. 1952. - Vol. 33, N 2 - P. 211-216.

85. Criner H.E. Rails on Elastic Foundation Under the Influence of HighSpeed Travelling Loads // J. of Applied Mech, 1953. Vol. 20. - P. 8-22.

86. Chonam S. Moving Load on a Prestressed Plate Resting on a Fluid Half-spase // Ing. Arch, 1976. Vol. 45, N 3. - P. 171-178.

87. Gold L.W. Bearing Capacity of Ice Covers // Nat. Res. Counc. Can. Techn. Mem, 1977. N. 121. - P. 63-65.

88. Gold L.W. Use of Ice Covers for Transportation // Canadian Geotechnical Journal, 1971. Vol. 8. - P. 170-181.

89. Hunkins K. Waves in the Arctic Ocean // J. Geophys. Res. 1960. Vol. 65.-P. 3459-3472.

90. Hunkins K. Waves in the Arctic Ocean // J. Geophys. Res. 1962, Vol. 67. N 6. - P. 2477-2489.

91. Jen D.H., Tang S.C. On the Vibration of an Elastic Plate on an Elastic Foundation//J. Sound Vib., 1971.-N 14(1).-P. 81-89.

92. Kordenbrock James U., Harry Charles W. The Arctic Surface Effect. Vehicle Program. Nav. Eng. J., 1976. - N 2. - P. 70-83.

93. Leschack L.A., Haubrich R.A. Observation of Waves on an Ice-Covered Ocean//J. Gephys. Res. 1964. - Vol. 69. P. 3815-3821.

94. Lecourt E., Member, Kotras Т., Visitor, ARCTEC Incorporated, Columbia, Maryland. Model Tests of an Arctic SEV over Model Ice // Ice Tech. Symposium. Canada: Monreal. April, 1975. N 9 - 11. - P. 1-20.

95. Mukhopadhyay A. Stresses Produced by a Normal Load Moving over the Surface of a Transversely Isotropic Ice Sheet Floating on Water // Proc. Nat. Inst. Of Sc. Of India P.A., 1965. Vol. 31, N 5. - P. 485-488.

96. Press F., Crary A., Oliver J., Katz S. Aircoupled Flexural Waves in Floating Ice // Trans. Amer. Geoph. Un. 1951. - Vol. 32, N 2 - P. 166-172.

97. Payton R.G. The Deflection of Thin Elastic Plate Consed by a Steadily Moving Point Load//Trans. ASME, 1968.-E35.-N 1.-P.176-177.

98. Press F., Ewing M. Propagation of Elastic Waves in a Floating Ice Sheet // Trans. Amer. Geoph. Un. 1951. Vol. 32, N 5. - P. 673-678.

99. Robin G. De Q. Wave Propagation Through Fields of Pack Ice // Phill. Trans. Roy. Soc. A. 1963. Vol. 225, N 1057. - P. 313-339.