Исследование напряженно-деформированного состояния упругих тел методом малого параметра тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Глава I. Непрерывность зависимости решения от исходных данных в задаче, описывающей поведение деформируемого тела

Глава II. Метод малого параметра для одномерных деформируемых тел.

§ 1. Критерий непрерывности зависимости от исходных данных.

§2. Изгиб консольного стержня переменной жесткрсти с начальным несовершенством.

§3. Критерий сходимости метода малого параметра.

§4. Изгиб консольного стержня при действии двух продольных нагрузок.

§5. Изгиб шарнирно закрепленного стержня переменной жесткости

Глава III. Метод малого параметра для пространственных задач.

§ 1. Критерий сходимости метода малого параметра для уравнения в частных производных.

§2. Продольный изгиб упругой прямоугольной пластины.

§3. Напряженно-деформированное состояние нелинейно-упругой трубы при действии внутреннего и внешнего давлений.

Описывая поведение реального объекта, исследователи вынуждены переходить от самого объекта к его идеализированной модели со среднестатистическими свойствами и к модели внешних воздействий.

Почти всякая идеализация в значительной степени сводится к пренебрежению некоторыми величинами с целью «упрощения задачи». Полученное решение приближенно описывает поведение рассматриваемого реального объекта, и часто возникает необходимость получения более точного решения. Для этого нужно учитывать различного рода несовершенства (понятие несовершенства конкретизируется в каждой задаче) изучаемого объекта и характеристики, более точно описывающие внешнее воздействие. При решении подобных задач исследователи вынуждены пользоваться различного рода приближенными методами.

Наиболее часто используется метод малого параметра или метод возмущений. С помощью этого метода исходная задача сводится к последовательному решению более простых линейных задач, и возникает возможность получения решения, удовлетворяющего практику.

Метод малого параметра берет свое начало от работ Пуанкаре [73,92,93], давшего ряд приближенных решений задачи о трех телах в небесной механике. В своей известной книге [73] он предложил метод разыскания периодического решения системы уравнений первого порядка. За девять лет до появления этой работы та же идея была развита русским академиком А. Линдстедтом [55] ив дальнейшем теоретически обоснована A.M. Ляпуновым в его монографии [56].

Метод малого параметра нашел широкое применение в гидродинамике. Так Лайтхилл и Уитэм [90,95] сделали важное обобщение метода Пуанкаре, полученный метод в дальнейшем стали называть методом возмущения координат. Го [89] показал, что пригодное решение может быть получено только при помощи решений типа «пограничного слоя». Важное обобщение этого метода было дано Линь Цзя-Цзяо [91] для гиперболических уравнений в случае двух переменных. Обзор в этой области был дан в монографии Ван-Дайка [20].

В теории нелинейных колебаний следует выделить работы Малки-на, Каменкова и др. [57,44]. Метод, разработанный Малкиным, позволяет обнаружить периодические решения в тех случаях, когда при помощи квазилинейной теории этого сделать не удается. Ван-дер-Поль открыл качественно новый подход к изучению колебательных движений [94]. В последующие годы Крылов, Боголюбов, Митропольский, Зубарев и др. предложили и развили метод, который получил широкое применение в различных областях инженерной практики и физики.

Значительно продвинулось изучение вращательных движений, теории резонансных явлений. Из числа авторов, внесших существенный вклад в эту область, прежде всего, следует упомянуть В.М. Волосова, Б.П. Моргунова, Ф.Л. Черноусько.

Метод возмущений нашел широкое применение в механике сплошных сред, что отражено в монографии Д.Д. Ивлева и Л.В. Ершова [40].

Среди работ по применению метода малого параметра в теории упругости следует отметить работы А.Н. Гузя и его сотрудников [31-35]. Г. Краудерер [45] предложил при помощи метода малого параметра учитывать физическую нелинейность упругого материала. Эти представления были использованы В.А. Жалниным в [38]. Дальнейшее развитие они получили в работах Л.А. Цурпала [84].

Метод малого параметра также нашел применение в теории упру-гопластических сред.

Одна из первых работ, выполненных по непосредственному приложению метода малого параметра к решению упругопластических задач, принадлежит А.П. Соколову [78]. Он определил в первом приближении двуосное напряженное состояние тонкой пластины с круговым отверстием при условии пластичности Треска.

Онат и Прагер [68] впервые дали решение задачи жесткопластиче-ского анализа, основанное на полной линеаризации уравнений для напряжений и скоростей перемещений.

A.A. Ильюшин [42] исследовал течение вязкопластической полосы при малых возмущениях границы в лагранжевых координатах. Позднее А.Ю. Ишлинский [43] выполнил аналогичное исследование в эйлеровых координатах.

Д.Д. Ивлевым был выполнен ряд исследований по определению уп-ругопластического состояния тел методом малого параметра [40,41].

JI.M. Качанов [46] рассмотрел кручение круглых стержней переменного диаметра и ползучесть овальных и разностенных труб.

Б.А. Друянов [36] при помощи метода малого параметра учел неоднородность пластического материала. Свойства пластического материала характеризуют малый параметр в работах JI.A. Толоконникова и его сотрудников [82].

Исследованию ряда задач по упругопластическому деформированию плоских и осесимметричных тел посвящены работы М.А. Артемова [5-9], С.А. Вульман [22-25], Т.Д. Семыкиной [26,27,77], В.В. Кузнецова [53], Ю.М. Марушкей [58], Савина Г.И. [75,76].

Используя при решении задач методом малого параметра, мы сталкиваемся с одной из наиболее сложных проблем - линеаризация граничных условий.

Были предложены различные пути решения. Вопрос линеаризации граничных условий весьма подробно рассмотрен в работах Л.С. Лейбен-зона [54], А.Ю. Ишлинского [43], Д.Д. Ивлева [40].

При решении упругопластических задач возникает проблема нахождения границы, разделяющей упругую и пластическую области.

Д.Д. Ивлев и Л.В. Ершов [40] рассмотрели случай, когда пластическая зона развивается от некоторой границы и целиком охватывает ее.

Г.И. Быковцев и Ю.Д. Цветков [18,19] предложили модификацию метода малого параметра, когда пластическое течение начинается с некоторой точки граничного контура. Используя схему Быковцева-Цветкова, Б.Г. Зебриков [39] рассмотрел задачу о развитии пластической зоны при нагружении эллиптической трубы.

Б.Д. Аннин и Г.П. Черепанов дали решение задачи о всестороннем растяжении плоскости с отверстием [4,86]. При этом, в отличие от схемы Ивлева-Ершова, решение в упругой области определялось методами теории функции комплексного переменного.

Метод возмущений нашел широкое применение в решении трехмерных задач устойчивости для материалов с упругопластическими и сложными реологическими свойствами. В обзорных статьях и монографиях А.Н. Спорыхина, А.Н. Гузя, М.Т. Алимжанова [79,30,32,1-3] отражено развитие метода возмущений в теории устойчивости трехмерных деформируемых тел.

Для метода малого параметра важное значение имеет вопрос о сходимости приближений, на что указывали многие исследователи. Например, Д.Д. Ивлев в книге [40] писал, что «фундаментальное значение для метода малого параметра имеет вопрос о сходимости приближений».

В некоторых частных случаях этот вопрос анализировался. Венд-том, а еще ранее в работах М.В. Келдыша и Ф.И. Франкля [48], была показана сходимость рядов, полученных при помощи М2-разложения при чисто дозвуковом течении.

Пуанкаре [73] показал, что для уравнения второго порядка, описывающего периодические колебания, когда малый параметр входит в правую часть, что при условии аналитичности правой части метод малого параметра будет сходящимся. Представление решений в виде рядов по степеням малого параметра опирается на теорему Пуанкаре [73] о сходимости этих рядов при достаточно малых значениях параметра. Работа Г.В. Каменкова [44] содержит результаты, которые могут оказаться полезными при проведении исследовании сходимости таких рядов.

Для квазилинейных систем с неаналитической характеристикой нелинейности С.Н. Шимановым [87,88] и И.Г. Малкиным [57] разработан способ построения периодических решений при помощи последовательных приближений в случае нескольких степеней свободы, и доказана сходимость этих приближений к искомому периодическому решению, указаны условия существования такого решения в случае резонанса.

Сходимость метода малого параметра проиллюстрирована в [40] путем сравнения точных решений с приближенными. Точные решения в напряжениях для двуосного растяжения толстой и тонкой пластины с круговым отверстием получены Л.А. Галиным [28] и Г.П. Черепановым [86].

Из анализа работ следует, что при исследовании напряженно-деформированного состояния упругого тела методом малого параметра вопрос об оценке погрешности метода рассматривался только в некоторых частных случаях или путем сравнения с известными точными решениями. Идея нахождения решения путем разложения по двум и более малым параметрам применялась при исследовании колебаний квазилинейных систем [72]. В данной работе идея разложения решения по двум малым параметрам применяется при нахождении решения, описывающего напряженно-деформированное состояние твердых тел.

Настоящая работа посвящена нахождению приближённого решения задач методом малого параметра при исследовании напряжённо-деформированного состояния упругих тел и оценке погрешности полученного решения. Предложенный метод базируется на идее о разложении всех функций по малым параметрам, если таковые входят в математическую модель рассматриваемого процесса.

Работа содержит исследования изгиба стержней, упругой прямоугольной пластины и исследование напряженно-деформированного состояния нелинейно-упругой трубы.

Актуальность темы. Повышение требований к теоретическому предсказанию точности расчетов, необходимость предсказания поведения конструкций при внешних воздействиях требуют разработки более сложных математических моделей, которые с достаточной точностью могут описать рассматриваемые процессы и явления. В этой связи возникает необходимость разработки методов, позволяющих проводить расчеты по этим моделям. При решении подобного рода задач часто используется метод малого параметра. Возможность вычисления решения задачи, описывающей поведение деформируемого тела, с оценкой погрешности имеет важное практическое значение. Это позволяет дать более точную оценку полученного решения, получить аналитическое решение с заданной точностью. В настоящее время имеются достаточные средства вычислительной техники для численного решения задач, однако, приближенные методы не теряют при этом своей важности. Они позволяют давать решения в виде сравнительно простых аналитических выражений и дают качественную оценку напряженно-деформированного состояния.

Цель работы. Развитие приближенного метода исследования напряженно-деформированного состояния твердых тел с оценкой погрешности полученного результата. Определение напряженно-деформированного состояния стержней, пластины и толстостенной трубы из нелинейно-упругого материала.

Научная новизна состоит в том, что получен применимый на практике критерий непрерывности зависимости решения дифференциального уравнения от функций, входящих в это уравнение и граничные условия; проведено исследование напряженно-деформированного состояния упругого консольного стержня с учетом начальных несовершенств (отличие границы исследуемого тела от некоторой канонической формы [33] и физическая неоднородность материала тела) при чистом изгибе; на основе сформулированного критерия получена граница сходимости метода малого параметра в пространстве внешних воздействий; решение рассматриваемых задач механики сплошных сред ищется в виде степенных рядов по двум параметрам; проведена оценка погрешности, найденного решения, которая совпадает с оценкой остаточного члена ряда Тейлора; получены приближенные решения, описывающие изгибы стержней и пластины, а также напряженно-деформированное состояние толстостенной трубы под действием внутреннего и внешнего давлений, с учетом несовершенств и дана оценка найденных решений.

Практическое значение. Более точное решение, полученное методом малого параметра, позволяет оценить учет влияния различного рода нелинейностей и несовершенств при исследовании напряженно-деформированного состояния одномерных и пространственных тел с оценкой погрешности. Полученные результаты могут быть использованы для уточнения и анализа решения задач различных отраслей техники.

Достоверность. Полученный критерий непрерывности зависимости решения дифференциального уравнения от функции является следствием частного случая известной классической теоремы функционального анализа [49].

Достоверность полученных автором результатов подтверждается апробированностью используемых моделей механики сплошных сред и сопоставлением этих результатов с уже известными теоретическими и экспериментальными данными.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 53-й научно-технической конференции г. Минск, 1999; на 12-й Зимней школе по МСС, г. Пермь, 1999; на Воронежской весенней математической школе, 1999; на 7-й международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» г. Дубна, 2000; на международной конференции «Математика. Образование. Экология. Тендерные проблемы» г. Воронеж, 2000.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в одиннадцати научных публикациях [10,11,13-15,29,50,51,60-62].

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 95 наименований. Работа содержит 92 страницы машинописного текста, включая 9 рисунков.

Заключение

На основе результатов, полученных в диссертационной работе, можно сделать следующие выводы:

1. Решения, полученные на основе математических моделей, соответствующих деформируемому телу с каноническими и неканоническими границами, будут мало отличаться друг от друга при любых внешних воздействиях, если в этих моделях учтена только физическая нелинейность.

2. Изогнутая ось упругого консольного стержня, нагруженного сосредоточенным моментом на свободном конце, по форме мало отличается от дуги окружности при любом значении момента, если в свободном состоянии стержень мало отличается от однородного прямолинейного стержня постоянного сечения.

3. Т.к. в рамках области сходимости метода малого параметра разложение по параметрам совпадает с рядом Тейлора, то это позволило сделать оценку погрешности, которая совпадает с оценкой остаточного члена ряда Тейлора.

4. Отличия напряженно-деформированных состояний рассмотренных неидеальных стержней и пластины от напряженно-деформированных состояний идеальных при продольно-поперечном изгибе характеризуются величинами того же порядка малости, что и величины, характеризующие начальные несовершенства, если точка, соответствующая параметрам нагрузок не выходит за область сходимости метода малого параметра.

5. Отличие напряженно-деформированного состояния неиделальной нелинейно-упругой толстостенной трубы, находящейся под воздействи

83 ем внутреннего и внешнего давлений, от осесимметричного характеризуется величинами того же порядка малости, что и величины, характеризующие начальные несовершенства, если точка, определяемая параметрами нагрузок, не выходит за область сходимости метода малого параметра.

6. Получено, что при исследовании напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы граница области сходимости метода малого параметра совпадает с границей области существования осесимметричного состояния трубы.

1. Алимжанов М.Т. Проблемы устойчивости равновесия в задачах геомеханики. //Успехи механики, 1990. Т. 13. №3. С. 21-57.

2. Алимжанов М.Т., Габдулин Б.Ж. Об упругопластическом состоянии неоднородных толстостенных цилиндрических и сферических оболочек. // Вестник АН Каз. ССР, 1967. №10. С. 52-67.

3. Алимжанов М.Т., Санъков В.К. Упругопластическое состояние эллиптической трубы, находящейся под действием внешнего давления. // Диф. ур. и их прил., 1981. С. 16-26.

4. Анин Б.Д. Упругопластическое распределение напряжений в пластине с отверстием близким к круговому. // Изв. АН СССР, МТТ, 1984. №1. С. 45-47.

5. Артемов М.А. Двуосное растяжение тонкой пластины с эллиптическим отверстием. // Актуальные вопросы теории краевых задач и их приближения. Чебоксары, 1988. С. 4-8.

6. Артемов М.А. Метод возмущений в теории упрочняющегося тела. // Прикладные задачи механики сплошных сред. Воронеж, 1988. С. 5153.

7. Артемов М.А. О двуосном растяжении толстой пластины с круговым отверстием из упрочняющегося упругопластического материала. // ПМТФ. №6. С. 158-163.

8. Артемов М.А. Эксцентрическая труба из упрочняющегося упругопластического материала под действием внутреннего давления. М., 1985. 23 с. Деп. в ВИНИТИ 05.01.85, №83-85.

9. Артемов М.А., Ковалев A.B., Спорыхин А.Н. Метод возмущений в одном классе упругопластических задач с произвольным упрочнением. М., 1996. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 14.03.96, № 685-В95.

10. Блехман Н.И. Метод малого параметра. // Механика, 1957. №2(42).

11. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Двумерная задача нагружения упруго-пластической плоскости, ослабленной отверстием. //ПММ, 1987. Т. 51. №5. С. 314-322.

12. Быковцев Г.И., Цветков Ю.Д. Применение метода возмущений к теории кручения упругопластических стержней. // ПММ, 1961. Т. 45. №5. С. 932-939.

13. Ю.Ван Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. 310с.21 .Волъмир A.C. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 880 с.

14. Вулъман С.А., Ивлев Д.Д., Семыкина Т.Д. Коническая труба под действием равномерного давления. М., 1980. 9с. Деп. в ВИНИТИ 17.12.80, №5337-80.

15. Вулъман С.А., Семыкина Т.Д. Напряженно-деформированное состояние пластины с включением. // Прикладные задачи механики сплошных сред. Воронеж, 1988. С. 48-51.

16. Вулъман С.А., Семыкина Т.Д. Об использовании метода возмущений при решении упругопластических задач с учетом упрочнения. М., 1984. 8с. Деп. в ВИНИТИ 01.06.84, №3610-84.

17. Вулъман С.А., Семыкина Т.Д. Применение метода возмущений в задаче о чистом изгибе листа с учетом упрочнения. // Тез. докл : X семинар актуальных проблем прочности по теме: Пластичность материалов и конструкций. Тарту, 1985. С. 33.

18. Галин Л. А. Плоская упругопластическая задача. // ПММ, 1946. Т. 6. Вып. 3. С. 367-386.

19. Гузъ А.Н. Устойчивость трехмерных деформируемых тел. Киев: Нау-кова думка, 1971. 275 с.

20. Гузъ А.Н., Луговой П.З., Шулъга H.A. Конические оболочки, ослабленные отверстиями. Киев: Наукова думка, 1976.

21. Гузъ А.Н., Немиш Ю.Н Метод возмущения границы в механике сплошной среды (обзор). //Приклад, механика, 1978. Т.23. №9. С. 3-29.

22. Гузъ А.Н., Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в механике сплошных сред. Киев: Выща школа, 1989. 352 с.

23. Гузъ А.Н., Немиш Ю.Н. Методы возмущений в пространственных задачах теории упругости. Киев: Выща школа, 1982. 352 с

24. Гузъ А.Н., Чернышенко И.С., Шнеренко К.Л. Сферические днища, ослабленные отверстиями. Киев: Наукова думка, 1970.36 .Друянов Б. А. Вдавливание шероховатого штампа в толстую пластически неоднородную полосу. // Изв. АНСССР, ОТН, 1960 .№6.

25. Ершов Л.В., Ивлев Д.Д. О выпучивании толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления. // Изв. АНСССР, ОТН, 1957. №8. С. 149-152.

26. Жалнин В.А. К теории нелинейных вязкоупругих сред. // Изв. АНСССР, Механика, 1965. №4.

27. Зебриков В.П. Напряженное состояние концентрической трубы при уп-ругопластическом деформировании под действием давления. // ПМТФ, 1983. №3. С. 152-59.

28. Ивлее Д.Д., Ершов JI.B. Метод возмущений в теории упругопластиче-ских деформаций. М.: Наука, 1978. 208 с.41 .Ивлев Д.Д., Шитова JI.B. Линеаризованные уравнения теории анизотропного идеального жесткопластического тела. // Чебоксары, 1988. С. 55-58.

29. Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

30. Игилинский А.Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих тел с точки зрения математической теории упругости.// Укр. матем. журнал, Т. 6, №2, 1954. С. 140-146.

31. Каменков Г.В. Исследование нелинейных колебаний с помощью функций Ляпунова. // Труды ун-та дружбы народов им. Патриса Лумумбы. T. XII. 1966. С. 3-35.45 .КаудерерГ. Нелинейная механика. М.: ИЛ, 1961.

32. Аб.Качанов U.M. Пластическое кручение круглых стержней переменного диаметра. // ПММ, 1948. Т. 12. Вып. 4.

33. Качанов U.M. Ползучесть овальных и равностенных труб. // Изв. АНСССР, ОТН, 1956. №9.

34. Келдыш М.В., Франклъ Ф.И. Внешняя задача Неймана для нелинейных эллиптических уравнений с приложением к теории крыла в сжимаемом газе. //Изв. АНСССР., 1934.

35. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 542 с.

36. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 276 с.

37. Линдстедт А. Мемуары С-Петербургской академии наук. Т. XXXI, 1883. №4.5в.Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. 1892.

38. Малкин КГ. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Гостехиздат, 1949.

39. ЬЪ.Марушкей Ю.М. Об упругопластическом состоянии среды с включением в виде эллиптического цилиндра. // ПММ, 1978. Т. 12. №2. С. 126130.

40. Минаев В.А., Минаева Н.В. О состояниях механической системы. М., 1998. 21 с. Деп. в ВИНИТИ 23.12.98. № 3807-В98.

41. Найфе А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 526 с.

42. НайфеА. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.

43. Немиш Ю.Н. Метод возмущения формы границы в пространственных задачах механики деформируемых сред. // Изв. АНСССР, МТТ, 1975. №1. С. 17-26.

44. Л.Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

45. Онат Е., Прагер В. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца. // Механика. Сб. перев. и обзоров иностр. литературы. М: ИЛ, 1955. №4. С.93-97.

46. Перлин П.И. Приближенный метод решения упругопластических задач. //Инж. сб., 1960. Т. 28. С. 145-150.

47. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л.: ОГИЗ, 1948. 172 с.

48. Проскуряков А.П. Метод малого параметра Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Труды II Всесоюзн. съезда по теор. и приклад, механике. Т.2. М.: Наука, 1965.

49. Проскуряков А.П. Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1977. 256 с.

50. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Избранные труды в 3-х томах. Т.1. М.: Наука, 1971. 772с.

51. А.Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука,1979. 744 с.

52. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова думка, 1968. 888с.

53. Соколов А.П. Об упругопластическом состоянии пластинки. // Докл.

54. Филоненко-Бородич ММ Теория упругости. M.: Физматгиз, 1959. 364 с.

55. Цурпал И.А. Расчет элементов конструкций из нелинейно-упругих материалов. Киев.: Техшка, 1976.

56. Цянъ Сюэ-сэнъ. Метод Пуанкаре-Лайтхилла-Го. //Проблемы механики. Вып. П. ИЛ, 1959. С. 7-62.

57. Черепанов Г.П. Об одном методе решения упругопластической задачи. // ПММ, 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 428-436.

58. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем. // ПММ, 1954. Т.18. Вып. 2.

59. Шиманов С.Н. Колебания квазилинейных систем с неаналитической характеристикой нелинейности. // ПММ, 1957. Т.21. Вып. 2.

60. Кио Y.O. On the flow of an incompressible viscous fluid past a flat plate at moderate Reynolds number. // J. Math and Phys., 32. 1953. P. 83.

61. Poincare H. Sur methodes nouvelles de la mecanique celeste. Vol. I, ch. 3, Dover, New York. 1892.

62. Van der Pol В. On relaxation oscillations. // Philos. Mag. 7. 2. №11. 1926. P. 978-992.95 .Whitham G.B. The proportion of spherical blast. // Proc. Roy. Soc., A, 2036. 1950. 571.