Исследование напряженно-деформированного состояния, устойчивости и колебаний гофрированных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Л

Макаров Сергей Сергеевич

Исследование напряженно-деформированного состояния, устойчивости и колебаний гофрированных оболочек

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

28 ОКТ 2015

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 2015

005563897

005563897

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования «Южный федеральный университет»

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Устинов Юрий Анатольевич

Коссович Леонид Юрьевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», президент, заведующий кафедрой математической теории упругости и биомеханики

Седенко Василий Игоревич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВО «Ростовский государственный экономический университет (РИНХ)», заведующий кафедрой «Фундаментальная и прикладная математика»

ФГБОУ ВО «Санкт-Петербургский государственный университет»

Защита состоится 1 декабря 2015 г. в 1730 на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 созданного на базе ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» по адресу: 344090, г.Ростов-на-Дону, ул.Мильчакова, 8а, ауд.211.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной библиотеке им. Ю. А. Жданова при ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» (344103, г. Ростов-на-Дону, ул. Р.Зорге, 21Ж) и на сайте http://hub.sfedu.ru/diss/announcement/e2c6ael8-91b3-40b3-b0e0-7462308а00с9/.

Автореферат разослан «_|_5» октября 2015

года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боев Николай Васильевич

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Оболочки являются основными несущими элементами разнообразных конструкций, в частности, всё шире находят применение гофрированные оболочки вращения, в том числе сильфоны. Теория и методы расчёта таких оболочек недостаточно развиты и требуется дальнейшее исследование таких объектов на основе различных прикладных теорий.

Цели диссертационной работы заключаются в следующем

1. Исследовать влияние различных геометрических параметров гофрировки поверхности оболочек на их напряженно-деформированное состояние, устойчивость, волновые процессы.

2. Исследовать области применимости линейной теории для оболочек со сложным профилем меридиана.

3. Разработать численные и аналитические методы определения критических значений гидростатического давления, при которых осесимметрич-ное решение для гофрированной оболочки вращения теряет устойчивость.

4. Разработать методы определения собственных чисел и собственных функций для оболочек вращения с периодической структурой срединной поверхности.

Научная новизна состоит в

1. Построении новой формы основных соотношений для гофрированных оболочек вращения, применении её к исследованию колебаний и устойчивости.

2. Разработке алгоритмов и программ для определения точек бифуркации осесимметричного решения.

3. Изучении волновых процессов в гофрированных оболочках при различных способах возбуждения.

Практическая значимость. Разработанные новые алгоритмы позволяют проводить исследование устойчивости, прочности и динамических процессов разнообразных типов для оболочек вращения со сложной формой меридиана.

Достоверность полученных результатов обеспечивалась строгостью математического аппарата, применяемого для вывода определяющих уравнений,использованием апробированных алгоритмов численного исследования

3

сравнением с результатами, полученными другими авторами, с результатами, полученными аналитическими методами.

Апробация работы. Основные результаты были представлены на XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г.Казань, 2015), XVII международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (г.Ростов-на-Дону, 2014), УИ-Х всероссийских школах-семинарах «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (п.Дивноморское 2012-2015), VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (г.Ростов-на-Дону 2013), 10-ой Курчатовской молодёжной научной школе (г.Москва 2013), международной научной конференции «Теория операторов, комплексный анализ и математической моделирование» (г.Владикавказ, 2014), XII Международной научной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (с.Цей, 2015).

Диссертационная работа была выполнена при поддержке следующих проектов:

• Соглашение № 14.А18.21.0389. Идентификация и оптимизация характеристик нелинейно-упругих тонкостенных конструкций (программа «Кадры»). 2012-2013. Руководитель Карякин М.И.

• Госконтракт 213.01-11/2014-73ПЧ. Статика и динамика нелинейно упругих, микрополярных неоднородных материалов и тонкостенных конструкций, построение решений и идентификация механических свойств. 2014-2016. Руководитель Ватульян А.О.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 14 печатных изданиях [1-14], 3 из которых изданы в журналах из перечня ВАК [1-3], 9 — в тезисах докладов [4-6,8-10,12-14]. Все работы были выполнены в соавторстве с научным руководителем Ю. А. Устиновым.

Ю.А. Устинову принадлежит общая постановка задач, предложения по выбору методов исследования, обсуждение результатов. Диссертанту принадлежит вывод определяющих уравнений, создание программ автоматизированного вывода разрешающих систем, создание программного обеспечения для построения и исследования решений конкретных задач для гофрированных оболочек, проведение численных расчётов для исследуемых задач и их анализ.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируются цель, научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

В представленном обзоре отечественных и зарубежных работ кратко представлена история развития исследований устойчивости оболочек вращения, в том числе цилиндрических оболочек. Даётся обзор как экспериментальных исследований, так и исследований на основе аналитических, в частности асимптотических, методов. Данная проблема нашла отражение в работах W. Fairbairn, Р. Лоренца, Р. Саусвэлла, П. Ф. Папковича, A. JI. Гольденвейзера, W. A. Nash, H. А. Алфутова, А. С. Вольмира, И. И. Воровича, В. И. Феодосьева и др..

Осесимметричная гофрированная оболочка, рассматриваемая в диссертационной работе, моделирует в частности сильфон, который находит применение в качестве упругого чувствительного элемента в различных автоматических измерительных системах. Основная проблема при исследовании сильфона была связана с выбором доступной теоретической схемы анализа, которая бы учитывала особенности его геометрической структуры. Довольно долго процесс исследования деформирования сильфонов носил исключительно экспериментальный характер. В. И. Феодосьев предложил использование энергетического подхода вместе с методом Ритца. Он же впервые попытался привлечь теорию тонких оболочек к расчёту сильфонов для того, чтобы получить более точное решение задачи. В работах JI. Е. Андреевой, А. Н. Волкова, В. И. Королёва сильфон рассматривался как ряд пластин, последовательно скрепленных по контурам жесткими цилиндрами. Э. Л. Аксельрад предложил для исследования конечных перемещений сильфонов применять полученные им нелинейные уравнения теории оболочек.

Исследованиями устойчивости гофрированной оболочки занимались И. Ю. Бабич, Я. М. Григоренко, Б. Я. Кантор, Г. Л. Комиссарова, В. М. Муратов, Н. П. Семенюк, Y. Hong. Для решения поставленных задач применялись разнообразные методы: метод функции Грина, переход от гофрированной оболочки к конструктивно ортотропной цилиндрической, использование различных уточненных моделей.

Первая глава посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния гофрированных оболочек.

В п.1.1 приводятся основные соотношения теории оболочек, основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява для оболочки вращения толщиной h, ра-

диус срединной поверхности которой задаётся выражением

г = ф), 0 <г<Ь,

где г — осевая координата, Ь — длина оболочки.

Уравнения равновесия записываются в следующей форме:

-¿ЦА2Тп) - А^дг(А\Т12)+Т22д^А2 - АМ&Х - ЯгАгА, = О, -ЗДЛхТаа) - А2%(А22Т12) - А1А2к2Я*2 - <ьАхАг = О,

-д^АгСЩ - д^АгЯз) + А1А2{к1Т11 + к2Т22) - д3АХА2 = 0.

Здесь А1, А2, к\, к2 — коэффициенты Ляме и главные кривизны срединной поверхности, Т^ — компоненты тензора усилий, д2 — частные производные по переменным ¡риг соответственно, ^ — компоненты вектора внешней нагрузки, (5^ — полные поперечные силы, которые определяются следующими формулами

Я\ = Я1 — Тцв\ — Т\292,

Я2 = С}2 — т22в2 — Т\2в\,

где — углы поворота нормали, для которых справедливы соотношения

= —А^дуЩ + Ьщ, в2 = -А21д2щ + к2и2,

а <5г выражаются через компоненты тензора моментов М¡¿:

Ях = ЛГ^з1 [д^А2Мц) - д„А2М22 + А^д2{А\М12)}, д2 = ЛГ1^"1 ЩА1М22) - дгАгМп + А2%{А^М12)].

Формулируются граничные условия, которые рассматриваются в работе

• жесткая заделка: щ — и2 = из = дгщ = 0

• шарнирное опирание: и\ = и2 = % = М22 = 0

• скользящая заделка: щ = щ = д2щ = 0, Т22 = То

Исследования в работе проводятся для следующих законов изменения срединной поверхности оболочки

ф) =г0 + (1)

г(г)=г0 + Кзт^р, (2)

6

-7П;. = 1--т2 = 2 ---- т2 = 3

----т, = 4 - т, = 7 ---т2 = 8

Рис. 1: Зависимость максимального значения и\ от величины К для оболочки типа 2 при различных тег

где го — радиус срединной поверхности на торцах оболочки, К — амплитуда недеформированной поверхности, т 1, тпг — натуральные числа, определяющие количество гофров.

Введем следующее обозначение: оболочку, срединная поверхность которых определяется формулой (1), будем называть «оболочкой типа 1», а формулой (2) - «оболочкой типа 2».

В п.1.2 в терминах дифференциальных уравнений (ДУ) первого порядка ставится краевая задача кручения гофрированных оболочек. Исследуется влияние геометрических параметров (амплитуда гофра, их количество, длина оболочки) на максимальное значение перемещения и\. Установлено, что при изменении параметра К:

• Для оболочки типа 2 в случае, когда Ш2 ф 1, имеется точка минимума функции щ(Ь,К) (рис.1).

• Для оболочки типа 1 при увеличении тх увеличивается значение

• При постоянном объёме гофрированных оболочек (в качестве исходного

значения был выбран объём цилиндрической оболочки) установлено, что

7

оболочка типа 2, за исключением случая rri2 = 1, К < 0, не чувствительна к небольшому изменению длины. Для оболочки типа 1 имеем:

1. При К > 0 получено, что в случае постоянного объёма, максимальные перемещения щ оболочки с фиксированным объемом меньше по сравнению с оболочками постоянной длины.

2. При К < О ситуация противоположная: для оболочек с постоянной длиной значения щ(Ь,К) меньше чем для оболочек с постоянным объёмом.

Установлено, что для исследованных гофрированных оболочек в рассматриваемом диапазоне изменения параметров вклад нелинейных слагаемых на решение задачи несущественен.

В случае, когда Ко <С 1, где Ко = К/xi — безразмерный амплитудный параметр недеформированной поверхности, £ — параметр обезразмеривания, в качестве которого можно выбрать длину оболочки L или длину периода I, для решения задачи можно использовать метод разложения по малому параметру. Для оболочки вращения, радиус срединной поверхности которой задан выражением

R{x) = До + Kof(x),

где Ro — безразмерный радиус срединной поверхности на торцах оболочки, f(x) — некоторая гладкая функция, решение ищется в виде

У\ = Ую + ВД1 + KlYi2 + ... Г2 = У20 + K0Y21 + KqY22 + ...

Здесь Y\ = Y2 = Ti2/B, В = E — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона.

В результате получены следующие аналитические формулы:

Уо = т~"—> ^20 = to-1 — и

1 - V ДоСо(1 - и)

X

J [-(24 S2R2o + l)tof(s) + 2stof'(s)(652Rl + 1 )}ds,

Y2 i =

fo

xf(x) - (24S2R20 + 1 )/(*)] + Ci,

У12

RqCQ

2 Y22(S3)

№

■ГЫ

+

to

Yn(s3)

Ro ' (1 -v)Rl

(%f(s3) - 2s3f(s3))

ds3

¥22 = вк1

и

Со = 1252В% + 1,

^Г(з2)Уи(82) + к^ГЫГЫУ + С2(з2) + Сг(з2)

Щ^о

С2 = 2Яо (*„Г(з2) - Ш2Д<А) /'Ы,

С3 = - Ш2Д2)(/'Ы)2 + 864Д^0/Ы/'Ы-

ло^о

-М2(36<52Д2+1)/(«2)/"(52)] •

Здесь х — — безразмерная переменная, 5 = /г/£.

Определен диапазон изменения параметра Ко, который будем обозначать [Ка,Кь], в котором результаты, полученные с помощью аналитических формул, не более чем на 1% отличаются от численных результатов. Для оболочки типа 1 в случае, когда £ = Ь, установлено, что для фиксированной длины оболочки («исходной») существует значение параметра т\, при котором происходит скачок Ка. Так при Ь = 2го имеем тх = 6. Чтобы определить указанное значение тх для оболочки с другой длиной («новой»), можно воспользоваться формулой

тп\ = т1к — к + 1,

где т® — количество гофров «исходной» оболочки, при которых происходит скачок, к — соотношение между длинами «новой» и «исходной» оболочек. В таблице 1 представлены значения границ диапазона изменения параметра Ко для случая Ь = 2го-

Если £ = I = 2го, то для любого значения параметра гп: имеем Ка = —0.07, Кь = 0.0675. При изменении длины гофра в к-раз значения границ изменения малого параметра Ко также изменятся в /с-раз.

ТП\ 1 2 3 4 5 6 7 8

Ка -0.07 -0.06 -0.0525 -0.05 -0.0525 -0.1525 -0.0675 -0.0475

Кь 0.0675 0.0575 0.0475 0.0375 0.0325 0.0275 0.0275 0.0225

Таблица 1: Границы изменения Ко при £ = Ь = 2го и ¿о = Ю 4 для

оболочки типа 1 9

Рис. 2: Зависимость максимального значения продольного перемещения и2 от длины оболочки типа 1 при различных значениях т\

В п.1.3 исследуется НДС гофрированных оболочек при растяжении-сжатии. Для этого уравнения равновесия сводятся к эквивалентной системе шести ОДУ первого порядка. Исследования зависимости максимального продольного перемещения от амплитуды гофра показали наличие двух участков изменения параметра К:

1. Увеличение количества гофров приводит к увеличению значения и2(Ь,К), которое испытывает гофрированная оболочка при растяжении-сжатии.

2. При увеличении количества гофров уменьшается величина максимального продольного смещения и2(Ь,К) при одном и том же усилии растяжения-сжатия.

При анализе изменения величины и2{Ь) при изменении длины оболочки Ь, было обнаружено наличие локальной точки максимума, причём увеличение количества гофров приводит к увеличению значения параметра Ь, при котором образуется указанная особенность. На рисунке 2 представлены результаты для оболочки типа 1.

Установлено, что для выбранных гофрированных оболочек в исследуемом диапазоне изменения параметров вклад нелинейных слагаемых на решение задачи несущественен.

На основе метода малого параметра построено аналитическое решение задачи в первом приближении, определен диапазон изменения малого параметра Ко, при котором построенное аналитическое решение мало отличается (не более 2%) от численного решения.

В п. 1.4 исследуется задача о действии гидростатического давления на оболочку с периодической структурой срединной поверхности. Анализируется влияние геометрических параметров на максимальное значение радиального смещения. Сравниваются результаты решения задач для различных краевых условий: жесткая заделка и шарнирное опирание.

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости гофрированных оболочек на основе метода возмущений.

В п.2.1 для исследования устойчивости осесимметричного напряженно-деформированного состояния решение отыскивается в виде

и = и0 + гуи1,

где и0 = (О,^^),"^-2)) — решение осесимметричной задачи; и1 = (и},и2,г4), и} = и}((р,г), г = (1,3); г] — малый параметр.

Вводя вектор V = ¡щ) с безразмерными компонентами

и\ гД ^ л1 П2 Ц2 кМ^

уравнения равновесия преобразуются к системе дифференциальных уравнений в частных производных

(з)

где Ьх — линейный матричный оператор, уо — решение осесимметричной задачи.

Решение системы (3) отыскивается в классе периодических по ¡р функций:

у^(р,х) = У^Х) сов(тир + ф),

где V = я"/2, г = 2,3,4,6,7,8; ф = 0, г = 1,5.

В итоге получается линейная система дифференциальных уравнений восьмого порядка

= Н(п,у0)р)у. (4)

ах и

Элементы матрицы Н параметрически зависят от п и решения осе-симметричной задачи уо-

В п.2.2 описаны методы, используемые для отыскания критических значений нагрузки: стандартный метод исследования - метод начальных параметров, и новый в данном классе задач метод Флоке-Ляпунова, который опирается на теорию Флоке-Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

В предположении, что все коэффициенты матрицы Н уравнения (4) являются периодическими функциями переменной х, алгоритм определения критических значений нагрузки в случае, когда на торцах оболочки задано условие жесткой заделки, состоит из следующих этапов:

1. Для целочисленных значений параметра п осуществляется построение матрицианта, которое состоит в численном интегрировании следующих восьми задач Коши:

Здесь V? = (<5а Аг,- • • Ав), где (г,к = 1,... ,8), — символ Кронекера. В результате интегрирования получается восемь вектор-функций V; = (иц,Уг2,. . . Мв).

2. Из элементов г^- = Щк{х) формируется матрициант

и на его основе - матрица монодромии А = М(1о), где /о = Ьо/т. 3. Рассматривается множество векторов вида

где С, — произвольные постоянные. Заметим, что каждый вектор из множества (5) удовлетворяет уравнению (4) и граничным условиям при х = О

По известному свойству матрицианта при х = Ьо имеем

^ = Н(уо,РК уМ = У1

ч(х) = + С2^2 + СзУз + Са\4,

(5)

х(Ьх) = Ву(10)

где В = Ат, т — число периодов.

Требуя, чтобы вектор у(Ьо) множества (5) удовлетворял граничным условиям при х = ¿о, получаем однородную алгебраическую систему

4

= о, 3 = 5Д

¿=1

Критическое значение параметра р, при котором исходная форма теряет устойчивость, определяется из условия обращения в ноль детерминанта этой системы.

Замечание. Анализ элементов матрицы Н показал, что некоторые из них — квазипериодические, поскольку периодичность этих элементов нарушается в окрестности торцов оболочки (своеобразный краевой эффект). Поэтому для контроля точности описанного выше метода, основанного на использовании метода Флоке-Ляпунова, была проведена серия численных экспериментов для оболочек с разнообразным количеством гофров, в которых сравнивались результаты расчетов, получаемых на основе интегрирования краевой задачи двумя описанными методами, а также модифицированным методом Флоке-Ляпунова, учитывающим «краевой эффект». Сравнительный анализ элементов соответствующих матриц показал, что при выбранных параметрах соответствующие элементы отличаются менее чем на 0.01%.

В п.2.3 приводятся некоторые результаты исследований по определению критических значений внешнего и внутреннего гидростатического давлений для различных краевых условий и форм потери устойчивости. Приводятся результаты исследования устойчивости сильфона с параметрами

Е = 2 • 105 МПа, V = 0.3, К = 5 • Ю-4 м, До = 0.0777 м, Ятах = 0.106 м, Ь = 0.1872 м

под действием внутреннего гидростатического давления. Моделирование указанного сильфона гофрированной оболочкой типа 1 дало величину критической нагрузки отличную от представленного Б. Я. Кантором (Контактные задачи нелинейной теории оболочек вращения, 1990 г.) на 18% в большую сторону.

Третья глава посвящена исследованию динамических процессов в гофрированных оболочках вращения.

В п.3.1 представлены основные соотношения нелинейной теории оболочек, основанной на гипотезах Кирхгофа-Лява, приводятся уравнения движения, полученные на основе вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.

Рис. 3: Зависимость первых пяти собственных частот оболочки типа 1 для

гщ = 3 от параметра К

В п.3.2 рассматриваются установившиеся крутильные колебания. Для анализа влияния параметров гофрировки на собственные частоты крутильных колебаний краевая задача рассматривается в терминах ДУ первого порядка. Определено, что при изменении параметра К зависимости (безразмерных собственных частот) для г ^ т\ немонотонны, при этом более высокие частоты обладают локальной точкой минимума при К < 0, а низкие частоты — точкой максимума при К = 0 (цилиндрическая оболочка). На рисунке 3 представлены результаты для случая т\ = 3.

Методом малого параметра получены аналитические формулы в следующем виде

У! = У10 + К0Уп + К\Ухг + ... П = По + + К§п2 +... { }

Здесь нулевое приближение соответствует решению задачи о крутильных колебаниях цилиндрической оболочки:

. 7ТТ1Х УбжП Щ + 1

Уюп = Р^т——, »оп = 10,р г \ —г~Г-,п = 1,2,...

Ь0 126КоЬо у 1 + у

Для оболочки типа 1:

_ 6 щ + ¿2

Пш =

П'У, п = 1711

" г2 /

~24 7, п ф пи

где

В качестве параметра £ можно выбрать длину оболочки Ь или длину периода I.

Для оболочки типа 2:

-1- Ап2Л2

-.(сО$ТГГП2 — 1), ТЛчфЪх

Пт —

Зт|а + 4п2<52

(4п2 - то^х/Г+Т^/а

I 0, шг = 2 п

Для оболочки типа 2, при тп2 = 2тг, П2 вычисляется по формуле П2п = -[2тг2П2^(72^ + 18Д^2 + 54) + 3(27Я4 + +

Здесь

тт I 6

X =

Для оболочки типа 1 при т\ = п, £12 вычисляется по формуле:

П2п = -[2тг2П2^(72Д<5 + 18Д^2 + 52) - ¿§(297Д£ + 129Д^2 + 6<54)]^-

48

48

Определен диапазон изменения параметра Ко, который будем обозначать \Ка,К^, в котором результаты, полученные с помощью аналитических формул, не более чем на 1% отличаются от результатов численных исследований. На основе проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

• Увеличение количества гофров приводит к уменьшению значений Ка и Кь, причём изменение значений практически обратно пропорционально изменению параметра тп\, т.е. при увеличении гп\ в ¿-раз значения Ка, Кь уменьшаются в /с-раз.

• Для более высоких частот диапазон изменения малого параметра Ко увеличивается.

В п.3.3 рассматриваются продольио-изгибные колебания гофрированных оболочек, для чего уравнения движения сводятся к эквивалентной системе шести ДУ первого порядка. Для оболочки типа 2, торцы которой жестко заделаны, исследование зависимостей собственных частот от параметра К позволяет сделать следующий вывод: начиная с = 2 собственная частота, номер которой меньше т2, имеет при К = 0 точку максимума.

В п.3.4 анализируются коэффициенты прохождения и отражения гофрированной вставки. С этой целью рассматривается бесконечная цилиндрическая оболочка толщиной Н со вставкой, в качестве которой рассматривается гофрированная оболочка типа 1.

На границах вставки должны выполняться условия непрерывности смещений щ и усилий Ти:

и[(0) = и[1(0), Г/2(0) = Т//(0), и'^Ьо) = и[п(Ь0), ТЦ(Ь0) = Т(2!(Ь о),

Данная система позволяет определить постоянные С^-, 0 = 1..4), на основе которых можно построить энергетические коэффициенты отражения Кот и прохождения Кпр. Заметим, что в силу закона сохранения энергии имеет место равенство К0т + Квр = 1; это равенство служило критерием проверки правильности расчетов.

В результате проведенных исследований можно сделать следующие выводы:

• Для гофрированной оболочки Кпр = 1, т.е. достигает своего максимального значения, в окрестностях частот к ф гп\, где и>к ~ резонансные частоты, найденные в п.3.2. При этом /т(Лг) = 0, где Х{ - мультипликаторы матрицы монодромшг.

• При Де(Аг) = 0 на каждом из отрезков между резонансными частотами Кпр имеет локальный минимум, при этом:

1. С увеличением к при к > т,\ значение Кпр в точке минимума уменьшается.

2. С уменьшением к при к < т\ значение Кир в точке минимума также уменьшается.

• Минимальное значение коэффициент прохождения достигает вблизи резонансной частоты шт1, причём для К < 0 оно достигается до ит1, а для К > 0 - после.

• Увеличение значения амплитуды гофра К приводит к уменьшению тт(К„ р).

В заключении приведены основные результаты работы, которые состоят в следующем:

1. На основе анализа нелинейной и линейной постановок краевых задач исследована область применимости линейной теории при исследовании напряженно-деформированного состояния гофрированных оболочек.

2. Проведены исследования влияния геометрических параметров на максимальные значения компонент вектора смещений при кручении, растяжении-сжатии, гидростатическом давлении.

3. Предложен новый в исследуемом классе задач метод поиска критических значений нагрузки, при которых осесимметричное напряженно-деформированное состояние равновесия теряет устойчивость.

4. Исследовано влияние параметров гофрировки срединной поверхности оболочки вращения на спектр собственных частот крутильных и

- продольно-изгибных колебаний. На основе метода малого параметра выведены аналитические формулы для нахождения собственных частот крутильных колебаний рассматриваемых гофрированных оболочек. Определена область изменения геометрических параметров, для которых справедливы полученные формулы.

5. Рассмотрено прохождение крутильных волн, распространяющихся в бесконечной цилиндрической оболочке, через гофрированную вставку. Исследовано влияние параметров, характеризующих гофр, на коэффициенты прохождения и отражения.

Публикации автора по теме диссертации

1. Макаров С. С., Устинов Ю. А. О методах исследования устойчивости гофрированных оболочек вращения // Доклады Академии наук. — 2014. - Т. 459, № 4. - С. 432-436.

2. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Крутильные колебания оболочки вращения со сложной формой меридиана // Известия вузов. Северо-Кавказкий регион. - 2015. - № 2. - С. 22-26.

3. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Некоторые результаты исследований устойчивости гофрированных оболочек // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2015. — № 2. - С. 65-70.

4. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Исследования нелинейного напряженно-деформированного состояния выпуклой оболочки вращения и устойчивости цилиндрической оболочки // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тезисы докладов VII Всероссийской школы семинара. — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2012. — С. 84.

5. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Исследование НДС и устойчивости оболочек вращения // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тезисы докладов VIII Всероссийской школы семинара. — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2013. — С. 81.

6. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Исследование устойчивости и НДС оболочек вращения // VII Всероссийская (с международным участием) конференция по механике деформируемого твердого тела: Тезисы докладов.

— Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2013. — С. 106.

7. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Исследование устойчивости и НДС оболочек вращения // VII Всероссийская(с международным участием) конференция по механике деформируемого твердого тела: Труды конференции.

— Т. 2. — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2013. - С. 86-90.

8. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Исследования устойчивости оболочек вращения с периодической структурой срединной поверхности на основе метода Флоке-Ляпунова // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тезисы докладов IX Всероссийской школы семинара. — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2014. — С. 94.

9. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Устойчивость гофрированных оболочек вращения // Теория операторов, комплексный анализ и математической моделирование: Тезисы докладов международной научной конференции.

— Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2014. - С. 126-127.

10. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Применение метода Флоке-Ляпунова к исследованию устойчивости гофрированных оболочек // Современные проблемы механики сплошной среды: Тезисы докладов XVII международная конференция. — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2014. — С. 90.

11. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Применение метода Флоке-Ляпунова к исследованию устойчивости гофрированных оболочек // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды XVII международная конференция. — Vol. 2. — 2014.

12. Макаров С. С., Устинов Ю. А. Собственные колебания гофрированных оболочек // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: Тезисы докладов X Всероссийской школы семинара. — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2015. — С. 98.

13. Макаров С. С., Устинов Ю. А. О двух методах исследования устойчивости гофрированных оболочек вращения // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: Тезисы докладов XII Международной научной конференции. — Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2015. - С. 145-146.

14. Ватулъян К. А., Макаров С. С., Устинов Ю. А. Колебания оболочек переменной толщины со сложной формой меридиана //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: Аннотации докладов. — Казань: Издательство Академии наук РТ, 2015. - С. 285.

Подписано в печать 29.09.2015. Формат 60x84 Vi6- Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. лист. 1,0. Тираж 120 экз. Заказ 4716.

Отпечатано в отделе полиграфической, корпоративной и сувенирной продукции Издательско-полиграфического комплекса КИБИ МЕДИА ЦЕНТРА ЮФУ 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1. Тел. (863) 247-80-51.