Исследование напряженного состояния композитных намоточных конструкционных элементов с отверстиями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ иРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ — 1 9 З1 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МЩВВДЕВ Дмитрий Георгиевич

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ КОМПОЗИТНЫХ НАМОТОЧНЫХ КОНСТРУКЦИОННЫХ ЭЛЕМШТОВ С ОТВЕРСТИЯМИ

0f.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск-1992

Работа выполнена в Белорусском Государственном университет

НаучнцГ руководитель - доктор технических наук,

профессор Прусов И.Л.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, старший научныГ сотрудник Василевич С.В. доктор технических наук, профессор Ершов Г.£.

Ведущее учреждение - Институт механики металлополимер-

ньгх систем АН Беларуси

Защита состоится г. Е 10

часов на заседании специализированного совета К 0h6.03.I0 о Белорусском Государственном университете по адресу: 220080, Минеи, проспект '|.Скорины,4, Белгосупиперситет, Главны!* корпус, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгос-университета.

Автореферат разослан " ^ " 1992.г.

Учены? секретарь специализированного

совета, кандидат физико-математических

наук, доцент ^¡гХ В.И. Коозюк

ГЧ»С" ' ' i'X

. ; -•''•■■-ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ 6иh-. i

Актуальность проблемы. Прогресс в развитии современных материалов, конструкций и технологий связан с разработкой и применением армированных композиционных материалов, характеристики которых во многих практически важных случаях превосходят аналогичные параметры традиционных материалов. Ужесточение требований к надежности работы конструкционных элементов из композитов приводит к необходимости совершенствовать их расчетные модели с учетом факторов, считавшихся ранее второстепенными. Более достоверные сведения о напряженно-деформированном состоянии конструкций позволяют выявить резервы'их работоспособности и найти пути снижения их материалоемкости и энергоемкости.

Поэтому разработка эффективных методов определения напряженно-деформированного состояния, прочности конструкционных элементов из композиционных материалов является актуальной задачей механики'деформируемого твердого тела как с теоретической, так и с практической точки зрения.

Значительный вклад в развитие проблей применения и использования композиционных материалов и конструкций из них, созданию их адекватных математических моделей внесли исследования Н.А.Алфутова, С.А.Амбарцумяна, Е.К.Ашкенази, И.Ю.Бабича, В.В.Болотина, В.А.Бунакова, Г.А.Ванина, В.В.Васильева, С.Д.Волкова, И.И.Гольденблатта, А.Н.Гузя, Э.И.Григолюка, Г.Ф.Ершова, И.Г.Жигуна, П.А.Зиновьева, С.Г.Лехницкого, В. А.Ломакина, А.К.Малмейстера, В.В.Можаровского,С.Т.Милейко,

D.H. Ненироеского, Ю.Н.Новичкова, ибразцово, П.М.Оги-

балова, В.Л- Пелеха, Б.Е.Победри, В.Д.Протасова, Л.JI.Рабиновича, D.H. Работнова, A.M. Скудры, В.П. Ставоова, B.C. Стреляева, В.П. Тамужа, Ю.М. Таршпольского, Л.П.Хорошуна, A.B. Чигарева, Ю.С. Царахова, Т.Дзако, А.Келли, Р.Кристен-сена, Р.Крона и других исследователе!'.

З^ективность применения современных композиционных материалов во многих конструкциях в значительно!' степени определяется наличием совершенного метопа их изготовления -процесса непрерывно!' намотки, технологией соединения конструкционных элементов в целое. При проектировании и эксплуатации конструкций из композитов с очевидной необходимостью встает вопрос о прочности рассматриваемых объектов. Особенности композитов предопределяют и особенность подходов к исследованию их прочности. Существующие критерии прочности имеют в основном феноменологически!'' характер, т.е. представляют собой аналитическую аппроксимацию экспериментальных результатов. Ввиду того, что такая аппроксимация может быть осуществлена неоднозначно, а степень ее соответствия экспериментальным результатам, имеющим, как правило, значительны? разброс, оценивается субъективно, существует множество таких критериевР

Все вышеизложенное определяет актуальность настоящеГ работы, посвященнок исследованию НДС композитных намоточных конструкционных элементов с отверстиями.

I) Васильев В.В.Механика констпукцнг из композиционных материалов. М.,1988.0.28

Целый диссертационной работы является разработка метода исследования напряженно-деформированного состояния и решения некоторых задач прочности цля композитных намоточных шпангоутов, работающих совместно с подкрепляемой оболочкой, и плоских элементов таких конструкций, ослабленных отверстиями.

Научная новизна и основные результаты. В диссертации при пополнительных физически обоснованных предположениях о деформировании намоточных композитных конструкций получены явные выражения всех коэффициентов матрицы жесткости для шпангоутов сплошного и коробчатого поперечных сечений.

Предложен новцг вариант определения упругих характеристик композитного шпангоута, обладающего цилиндрической анизотропией, с использованием минимальных данных стандартного эксперимента.

Дано дальнейшее развитие эффективных методов определения напряженно-деформированного состояния (НДС) композитных конструкционных элементов типа шпангоутов с различными профилями поперечного сечения.

Предложен метод исследования ВДС в композитной пластине с отверстием, образованным методом прокола. Вышеперечисленные результаты являются новыми и выносятся на защиту.

Практическая ценность.Основные результаты работы могут быть использованы е практике работы научно-исследовательских организаций при проектировании и расчете конструкций из композитов, при подготовке специалистов-механиков в высших учебных заведениях. Результаты работы вошли в заключительные

отчеты Белорусского университета по госбюджетной и -хоздоговорно!"' тематике.

Достоверность и обоснованность результатов обусловлена корректностью применения к решению рассматриваемых задач современных методов и концепций механики оплошно»' сроцн, строгостью и физическог обоснованностью постановки задач, а также совпадением их решений в частном случае с известными в литературе результатами, полученными ранее другими авторами.

Апробация работы. Основные результата диссертационно" работы докладывались и обсуждались на ХУ1П Республикански научно-техническог конференции молодых ученых "Физика и механика композиционных материалов на основе гюлимеров"/Го-мель,19с39/, Республиканской конференции молодых ученых "Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач /Минск,19Ь9/, Межреспубликанской научно-техническог конференции "Численные методы решения задач строительной' механики, теории упругости и пластичности" /Волгоград,1990/, Межреспубликанское научно-практическое конференции "Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение'УМмнск,1990/,Всесоюзной конференции "Повышение технического уровня, надежности и долговечности машин"/Мииск,1990/, III Всесоюзно:'' конференции "Механика неоднородных стлуктур"/Львов,199Г/, У1 конференции математиков Белз^т.и /Гродно,199¿/. Публикации. Основное содержание диссертации отражено г II публикациях, список которых приведен г ко.що ип^тучювго автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав - 19 параграфов и заключения; содержит

страниц машинописного текста, 22 рисунка, 9 таблиц. Список использованной литературы включает 203 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование темы исследования, опре-иелена цель работы, приведен краткий обзор литературных источников, в которых изложены как основы, так и современное состояние рассматриваемо!"' проблемы, сформулированы положения, выносимые на защиту,'кратко изложено содержание диссертации.

В первой главе поставлена и решена задача по определению эффективных упругих постоянных сплошных и коробчатых шпангоутов, образованных намоткой однонаправленно армированной лентой.

Цпангоут, армированный лентой (нитями), представляет сибой сложное физически неоднородное твердое деформируемое тело. В зависимости от структуры армирования эта конструкция' обладает тем или иным видом структурной симметрии, которая влечет за собой упругую симметрию. Исследование НДС шпангоутов невозможно без определения его физико-механических характеристик, для нахождения которых необходим ряд предположений, хорошо согласующихся с практикой: намотка производится слоями разног толщины; нашиР слой имеет свой один и тот же угол наметки армирующих волокон; при переходе к новому слою угол намотки изменяется; армированный материал каждого слоя макроскопически однороден и трансверсальнэ изотропен, связующее и вологна линейно упругие, изотропные и однородные. Для сплошного шпангоута эффективные модули будем считать

- 7 -

постоянными, а сам шпангоут цилиндрически анизотропным телом. Для коробчатого шпангоута, получаемого спиральной, продольно-поперечной или комбинированной намоткой, эффективные модули будем считать постоянными, но различными в двух характерных областях, на которые можно мысленно расчленить конструкцию: кольцевые пластины и цилиндрические оболочки, т.е. такой шпангоут будем считать кусочно-однородным.

Первый параграф носит вспомогательный характер, в нем приведены необходимые обозначения и соотношения механики армированных композитов, формулы для определения упругих характеристик однонапраеленно армированного слоя (модель В.В. Болотина и модель Д.С. Аболиньша).

Во втором параграфе на основании общих уравнений механики сплошной среды и метода осреднения в сочетании с дополнительными предположениями о структуре и свойствах рассматриваемых композитных элементов (жесткая связь и перемещение без взаимного проскальзывания и отрыва) получены явные выражения для всех элементов матрицы жесткости слоя, полученного намоткой армированной лентой. Приведена запись обобщенного закона Гука в технической форме, наиболее распространенной в практических приложениях.

В последующих параграфах выведены формулы, позволяющи определять упругие характеристики шпангоута сплошного поперечного сечения, образованного спиральной либо комбинирован ной намоткой. Здесь в качестве дополнительных гипотез о характере деформирования, следуя В.В.Болотину, постулирован что: в пределах каждого слоя поля напряжений и деформаций однородны; послойные компоненты тензора деформаций, описнпг:

ющие деформированное состояние в плоскости слоев, одинаковы для всего пакета слоев и совпадают с осредненными компонентами; трансверсальные компоненты тензора напряжений одинаковы для всех слоев и совпадают с соответствующими осредненными компонентами. В третьем параграфе материал слоев считается трансверсальноизотропныы (транстропным) с главными осями упругости, одна из которых совпадает с направлением армирующих волокон. В четвертом параграфа рассмотрен случай, когда материал шпангоута обладает моноклинной симметрией. Получены выражения обобщенного закона Гуна в технической форме в случае, когда шпангоут можно рассматривать как тело, обладающее цилиндрической анизотропией.

В'последнем параграфе первой главы, развивая результаты предыдущих, выведены явные выражения для эффективных модулей упругости шпангоутов коробчатого поперечного сечения, образованных спиральной, продольно-лоперечноР и комбинированной намоткой.

Таким образом решена задача по определении осреднен-ных упругих характеристик намоточных конструкционных элементов (шпангоутов) как функций упругих характеристик компонентов композита, коэффициента и угла армирования, Еида намотки и геометрических параметров объекта исследования.

Во второй главе дается постановка и решение ряда задач о напряженно-деформированном состоянии сплошных намоточных шпангоутов прямоугольного поперечного сечения и шпангоутов, имеющих форму криволинейного двутавра, нахо-иящихся под действием равномерного радиального давления.

Подобная постановка задачи моделирует реальные услония эксплуатации конструкционных элементов чипа шпангоутов при работе совместно с различными осесимметпичными намоточными конструкциями.

Рассмотрены случаи свободных шпангоутов, а также шпангоутов, сопряженных с элементами трехслойной открытом н закрытой цилиндрической оболочки, находящееся в упругом оаг<-новесии под действием равномерного внутреннего и гнешнзго давления.

Предполагается, что шпангоут обладает цилиндрической анизотропией, упругие характеристики которой определимы по формулам, полученным в первой главе. Геометрические параметры шпангоута таковы, что его диаметр значительно больше размеров поперечного сечения. В этом случаи при исследовании НДС рассматриваемого конструкционного элемента могут быть применены постулаты обобщенного плоского напряженного состояния анизотропного тела. С использованием специального представления формул, аналогичных формулам Лехчицкого-Митинского, при естественных дополнительных условиях белотрывности деформаций кольцевых элементов и нахождении их г равновесии под воздействием известных внешних и неизвестных внутренних усилий, получены системы алгебраических уравнений относительно неизвестных внутренних напряжений <5^ .Эти напрет.о-ния служат для дальнейшего определения напрячете." и деформаций и на любой поверхности Чд-, содержащейся Енутри рассматриваемого конструкционного элемента. Проведено исследование прочности по критзрж мальных напряжений, причем рассмотрен« наприкення и

- [О -

напряжения , что особенно характерно для композитных намоточных конструкций. С целью иллюстрации полученных решений рассмотрены численные примеры для конкретных значений геометрических и механических параметров системы.

С помсщьо полученного представления нормальных напряжений ^ н и деформаций и на внешней и внутренней поверхностях рассматриваемого композитного шпангоута прямоугольного поперечного сечения предложен новый вариант определения его упругих характеристик с использованием минимальных данных стандартного эксперимента. Эти результаты могут служить для проверки результатов аналитического определения эффективных модулей упругости шпангоута, полученных в первой главе.

В третье1" главе проведено исследование напряженно-деформированного состояния и концентрации напряжений в ослабленных отверстиями плоских элементах композитных намоточных конструкций. Поставлены и решены некоторые задачи расчета на прочность композитных пластин с проколотым отвер-сти?м.

В первом параграфе исследовано распределение нормальных '.'.прядений на контурах круглого и квазиквадратного отверстий р композитных пластинах. С использованием методов конф пмногз отображения, комплексных потенциалов и представ-лечит граничных условий в гиде рядов по малому параметру, пходтцзму в выражение отображающей функции, показано, что при одноосном растяжении в характерных точках квазиквадрат-юг; то:¡тура кгпЦициеит концентрации напряжений меньше, •>• г. в >.ч> гтрст' тву;«их точках контура круглого отверстия.

Построены графики распределения напряжений ^ по контурам рассматриваемых отверстий для различных механических характеристик композиционных материалов.

Олисан относительно ноеый способ образования отверстий в плоских композитных элементах - метод прокола. При образовании проколотого отверстия армирующие нити сохраняют в зоне отверстия свою целостность и тем самым создают условие естественного подкрепления. Характерное отличие проколотого отверстия от вырезанного достаточно наглядно показано на рис.I:

При исследовании напряженно-деформированного состояния плоских конструкционных элементов с проколотым отверстием необходимо учитывать, что в некоторой области вблизи отверстия пластина представляет собой неоднородное анизотропное тело (" возмущенная" зона 81 ), а в остальной части ее можно рассматривать как однородную и ортотропную с упругими характеристиками определяемыми по формулам, полученным в первой главе ("невозмущенная" зона ).

. В третьем параграфе рассмотрены некоторые возможные математические модели исследования напряженно-деформирошн-

рис.1

ного состояния плоского композитного элемента с проколотым отверстием, основанные на классических концепциях теорий упругости анизотропных и изотропных тел. Проанализированы модель обобщенного плоского напряженного состояния, модель упругого криволинейного стержня и модель концентрических колец, к исследованию каждого из которых применима либо теория плоского напряженного состояния, либо теория упругого стержня. Этот анализ показывает, что использование известных моделеР не свободно от определенных недостатков при определении реального распределения напряжений в зоне проколотого отверстия.

Для преодоления этих недостатков и аналитического обоснования экспериментально установленного факта, что прочность плоских композитных образцов с проколотым отверстием выше, чем у аналогичных образцов с вырезанным отверстием, предложен новый феноменологический метод исследования НДС в зоне проколотого отверстия. Наиболее простая и эффективная реализация этого подхода осуществима для одноосного и двухосного растяжения бесконечной композитной пластины с центрально расположенным проколотым отверстием: кругом радиуса ч^а (рис.2) или эллипсом с полуосями а. и е» • я

1111111

Рис.2 - 13 -

В этом случае растягивающие усилия на бесконечности известны: <5^ = р , = с^ и направлены по главным направлениям упругости пластины, совпадающими с осями ^ и ^ и с направлениями армирующих волокон. При решении задачи прочности по критерию максимальных напряжений необходимо определить величину наибольших напряжений в рассматриваемо;'! области, которыми в силу симметрии задачи будут напряжения б-с в точках В и ^ в точках А контура отверстия.Для определения этих напряжении достаточно найти в области, занимаемой пластинкой, выражения напряженийна отрезках оси и б^С*) на отрезках оси ® .

Получено приближенное решение этом задачи, основанное на представлении искомых напряжений выражениями специального вида,зависящими от четырех произвольных коэффициентов. Для их нахождения используются уравнения равновесия частеГ' пластинки, мысленно разрезанной по осям симметрии ее напряженного состояния, и экспериментальные данные для нормальных напряжений в двух точках области 2 а 1 расположенных на осях симметрии напряженного состояния. Наиценные таким способом напряжения на линиях симметрии обладают свойствами четности, монотонной непрерывности, ассимптотического стремления к известным значениям на бесконечности, предельного перехода к известному решению в случае изотропного тела. Поэтому максимальные напряжения на этих линиях можно^рассматривать как физически обоснованные и практически достоверные. Предлагаемы'" метод можно считать обобщением существующих полуаналитических (дгух-параметрических) методов, введенных в рассмотрение Уитии и

и Ньтсиером^на случаг, когда материал пластинки не является везде гомогенным,т.е. для пластинок с проколотым отверстием.

• В частности, в случае одноосного растяжения пластинки напря'кениями выражения цля^С^) и ищем в

гиде

б.

а для |!яхо:';лоиия входящих в эти формулы положительных коэффициентов = использованы следующие условия:

•о «•

1 [р-бхС^и^-гра^о, ^Сх^ах-й (з)

( ус.топие равновесия четверти пластинки, разрезанной по осям симметрии ее напряженного состояния), и

где ^ - "экспериментально наг денные значения напряжении г точках С(Ыа) (рис.2),

ьз уолориг (3) и (4) получаем систему четырех линейных \\itir ¡пнпг отн :сительчо неизвестных коэффициентов С V: * 'Р>кчк к? ч-юэм, мапряяени* е точках А и В определяются из

J ) .VhJ fceuej' J.M., iJui enter H.J. Stress fracture criteria for atnilK.'it»«! cospoaiteo containing stress concentre -ti our.// J .CompoDi tc I-tate rials .-V.8.- July 1974.

выражений:

г ¿Р-^МНЧ

Аналогичным образом решена задача для определения указанных напряжений при одноосном растяжении напряжениями .

а суперпозицией решений найдены максимальные напряжения в композитной пластине с круглым проколотым отверстием при двухосном растяжении ( рис.2). Решена задача расчета на прочность по критерию максимальных напряжений. Проведено сравнение коэффициентов концентрации напряжений в зоне' проколотого и вырезанного отверстий. Для целого ряда композиционных материалов аналитически показано, что коэффициент концентрации напряжений при.одноосном растяжении меньше в зоне проколотого отверстия.

Дня эллиптического проколотого отверстия получены формулы для определения максимальных напряжений на его контуре. Предложен вариант оптимизации его формы.

С использованием предложенного метода проведен сравнительный анализ ЦДС в компонентах композита в зоне проколотого и вырезанного отверстий. Для указанных р диссертации композиционных материалов аналитически показано преимущество в прочности пластин с проколотым отверстием по сравнению с вырезанным.

ССЖШШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ II В^ВСДи

В диссертационной работе:

1. Б рпмках дополнительных физически обоснованных предположений о характере деформирования композитных намоточных конструкций получены явные выражения для всех упругих постоянных ( приведенных модулей упругости) шпангоутов сплошного и коробчатого поперечных сечений как функции механических характеристик компонентов композита, коэффициента и угла армирования, а также геометрических параметров объекта исследования. Рассмотрены различные случаи конструктивной упругой симметрии, возникающие при образовании шпангоутов чамотяоР олчмапрарленноГ ленто:"': ортотропия и моноклинная симметрия.

2. Дано дальне"шее развитие элективных методов исследования напряженно-,деформированного состояния ( НДС ) композитных конструкционных элементов типа шпангоутов с различными профилями поперечного сечения. С использованием специального представления формул, аналогичных формулам Лех-ницкого-Митипского, и физически обоснованных предположений I.) напряженном состоянии шпангоута получены формулы для определения нормальных радиальных и тангенциальных напря-кони!1 и деф:.)р'мацш" £ и £ч. , .необходимых для исследования прочности рассматриваемых конструкционных элементов.

3. Предложен новмГ- Евриант определения упругих характеристик иомпо^итлого шппнгоута. обладающего цилиндрической

г ^изнтропие"', г испольоолпмиом минимальных данных станлар-

тного эксперимента.

4. Предложен новый феноменологический метод исследования

НДС в композитной пластинке с проколотым отверстием.

Основные положения диссертации отражены в следующих-.

публикациях:

1. Егоренков И.А.,Медведев Д.Г..Прусов И.А. Ü прочности пластин с отверстием, образованным методом прокола //Теоретич. и прикладная механика. - Минск,I9dü. -Bun.IL - С.149-152.

2. Медведев Д.Г. Напряженно-деформироЕанное состояние пластинчатых конструкций из композиционных материалов г зоне проколотого отверстия //Физика и механика композиционных материалов на основе полимеров:Тез.яокл.ХУ1П Республ. HUÍ молодых ученых. - Гомель,I9B9, - С.19.

3. Медведев Д.Г. Анализ НДС композиционных ко'чптрукпий г зоне проколотого отверстия //Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач:Тез.докл.Республ.конференции молодых ученых. -Минск,1989. - С.46.

4. Медведев Д.Г. Влияние геометрических и физических характеристик шпангоутов на их напряженно-деформированное состояние при равномерном радиальном давлении //Псследо вание НДС конструкций шпангоутов из волокнистых компоэн ционных материалов в зоне отверстий, полученных отклонением армирующих волокон от равновесных траекторий: Отчет о НИР №21992 /Белорусский госуниверситвт. -

№ ГР 01860013495.Инв.№ 02 9 00 009413. - Минск, 19с>9. -

с.ь-за. ■

- Id -

Ь. [.'Lmeougb Д.Г.,Прусов И.Л.Особенности напряженного состоянии в зоне проколотого отверстия в волокнистом композите //'Эффективные численные методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела. - Харьков,1989. -С.76-77.

о. Медведев Д.Г. Методы определения полей напряжений в волокнистых композитах с проколотым отверстием //Актуальные проблемы информатики: математическое, программное и информационное обеспечение: Материалы межреспубл.научно-ирактич.кочф. - Минск,1990. - С.202.

7. Медведев Д.Г..Прусов И.А. 0 прочности пластинчатых конструкций из волокнистых композитов с проколотым отверстием //Повышение технического уровня, надежности и долговечности машин: Тез.докл.Всесоюзн.НТК. - Минск,1990. -С. 30

Ь. Ьаретко H.H..Медведев Д.Г. Определение упругих постоянны;; конструкций из волокнистых композитов, образованных намотки'' //Исследование массовой эффективности крупногабаритных подкрепляющих элементов (шпангоутов) из волокнистых композитов с отверстиями, полученными отклонением армирующих волокон от равновесных траекторий: Отчет j НИР № 21800/Белорусс кий госуниверситет.- № ГР 0I9Ö004ÜÜ70.iiiiB.fi 02 9 10 020686. - Минск, Г990. -С. W-bL

9. Егоремков /i.A. .Медведев Д.Г. .Прусов И.А. Исследование прочности компонентов еолокнистого композита в зоне проколотого отЕг;рстия//Численные методы решения задач строительно;'- механики,теории упругости и пластичности:

Тез.докл.межреспубл.НТК. - Волгоград,1990. - C.I7o-I77.

10. Медведев Д.Г. Метод исследования упругого состояния пластинки-композита вблизи проколотого отверстия //Механика неоднородных структур: Тез.докл.3-й Всесой.зн. конф. - Львов,1991. - Часть 2. - С.209.

11. Медведев Д.Г. Определение упругих постоянных конструкций из волокнистых композитов, образованных нам уткой //У1 конференция математиков Беларуси:Т;;з.донл. -Часть 3. - С.116.

Р ъи^^А

Подписано к печати 1 в .12.1992 Формат 60x84 1/16 Бумагам I. Объем 1.0 печ.л. Тираж 100 экз. Заказ !г 'IЬ',= Бесплатно.

Отпечатано на ротапринте Белгосуниверситета 220050, г.Минск, ул.Бобруйская, ?.