Исследование негладких многомерных вариационных задач и дифференциальных включений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

* ^ АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи УДК 517.977.8

САДЫГОВ МИСРАДДИН АЛЛАХВЕРДИ ОГЛЫ

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕГЛАДКИХ МНОГОМЕРНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ВКЛЮЧЕНИЙ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МИНСК 1992

Работа выполнена в Институте математики и механики Академии наук Азербайджанской Республики.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Гороховик Валентин Викентьевич

доктор физико-математических наук, профессор Панасюк Александр Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Половинкин Евгений Сергеевич

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный университет

на заседании специализированного совета Д 006.19.02 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, г. Минск, ул. Сурганова, 11, Институт математики АН Беларуси.

С диссертацией можно ознокомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.

Защита состоится

года в часов

Афторсферат разослан

года

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ.-мат. наук

С. И. ГАЙДУК

ОКДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБ01Ы

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕ.'£». Диссертация позвядпна необходима и достаточным условий! экстремума и теоремам существования обобщэк-яого ропвпия экстремальных задач.

Современная теория управления выросла согодпя в обапгрпуп область исследований, в которой ясно различимы насколько направлений. Высокий урозонь научной активности в облает:: постройся систем управления с преднамеренным созданном скользящих ре:та:ов может служить убедительным аргументом в пользу перспективности теория обойденного репэния экстремальных задач.

Понятие обобщенной функции впервые возникло в работах С.Л.Соболева л Дж. Т. Шварца в связи с иссигёдованиями в области теории да йероициалышх уравнений с частными производными. В вариационном исчислении такая конструкция была впервые введена и исследована Л. Ян го?/ в форте "обобщенных кривих". 2 тэорпи оптимального правления обыкновенными дяДоренцкальвыми уравнениями слабив ргпэния или аналогичные констругаши изучались А.Ф.Филипповым, Р.З.Гамкро.тидзе, Лд.Варгой, !<!ак Шейном и да.

Несмотря на то, что в пастоязео время этой тематике посвя-цены иогао интересные работы и монографии, определение обобщенного репония экстремальных задач не било введено.

Задачи оптимального управления составляют один из широких классов экстремальных задач и имег/т ваыое прикладное значение. Математическая теория оптимального управления, основанная на принцип максимума Поитрягина, продолжает интенсивно развиваться. Развитие теории оптимального управления, вклочагоаяя задачи, описываемые дифференциальными вклячеш-лмл, сопровождается также более систематическим использованием понятий и методоз функционального и негладкого адалт'за. В настоящее время при решении задач оптимального управления все чаде пользуются метода/.® негладкого анализа вместо весьма "трудоемкого" детального специфического анализа. Экстремальные задали для диф-. ференциаяьных включений представляют большой интерес, так как многие задачи оптимального управления и теории краевых задач приводят именно к таким ситуациям.

Теория негладких экстромалышх задач получило интенсивное развития б кочне изстидессткх годов. СубдоХференпиал порвого порлдиа для н*гладгах чуякцзЗ был определен в статье О.Кларка. Понятия обоо.!;о1!ного градиента и нормального конуса, вводешшо Кларком, дали новый импульс развитию это!': области и послузгли источников млоппс работ. Другие подходи к определению субдн'>-ферэнцпала для пегладгизс íthkieü были предло.та;ш в работах Дх. Варги, Б.Н.Ишничного, В.Ф.Демьтеова п А.М.Рубинова, Н.-П. Обена к др. Субдийфронпяали второго порядка рассматривались в работах Ириапт-Уррути, А.А.Бодольбаева, Дх.Варги. Р.В.Чейяи, Р.Т.Рош^оллара, автора и др.

Зса это говорит об актуальность указанных проблем.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является развитие аппарата теории экстремальных задач (определение обобщенного роаентя экстремальных задач е изучение ез свойства), негладкого анализа (субди^ферошдаал высокого порядка, бпкасателышй я бипорглатышй конус) и получение на его основе новых результатов по математической теорзги управления.

ОЬЦАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ основывается на результатах по тоорли управления,,выпуклого п негладкого елальза, Функционального анализа, по теории дпгК<эренцкзльнкх уравнений, а такха по теории многозначных отображений.

НАУЧлАЯ НОВИЗНА. Ь работе получены следуадке новые результаты :

- вводено понятие обобщенного реаенпя экстремальных задач е Изучены его свойства;

- изучено существование юшгмизнрувщего обобщенного реае-пия экстремальных задач и задач оптимального управления;

- определен субдаЗферэнцках произвольного порядка и определен класс « -лкпкицевых функций;

- получены необходжше условия второго порчдхса для минимума негладких функций;

- изучены сопряженность и субднЭДлфекцируемость интегрального функционала, задшшого за пространстве Соболеза:

- изучены вопросы минимизации негладких многэмзрных вариационных задач;

- изучены зкетремальпыз задачи для многомерных даффервн-

циальшгх вклгсчений;

- получены необходимые и достаточный условия экстремума для негладких вариошюлных задач, заданных на пространство

- получены необходимые и достаточные условия минимума для одномерных дифференциальных включений, изучен случай, когда оптимальное рсиэнпо но келяэтсл внутренним;

- получены необходимые л достаточные условия для выпуклых динамических экстремальных задач;

- получены необходимые условия для выпуклых диф'фюренюталь-ных включений с терминаяь/шми критериями в виде теоремы о характеристике ;

ТЕОРКТ;ГСЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧПОСТЬ РАБОТЫ. Попяткя обобщенного релеяия экстремальных задач ч субдиф<1<оренциала произвольного порядка, а такта полученные результаты по негладкому анализу л по теории экстремальных задач для ди'Иереяциаль-кых взиючен/.;' применимы для исследования ьирокого класса задач управления. Они найдут применение в спецкурсах по математической теории управления и тоорки негладкого анализа, а тага» при решении при/ладных задач.

/ЛРС'Я.'аСл! РАБОТЕ!. Результата диссертации докладаэались на ежегодных научных конференциях 1Ш АН Азерб. Республики, на об-;е институт с ¡стх семинарах >-'ЛМ АН Азер<5. Республики, на научных семинарах кафедры оптимального управления факультета Ш и К !ЯУ, кафедры общих проблем упразлэния механико-математического факультета МГУ, в 1!К. А1! Украинской Республики, ИМ АН Республики Беларусь, в Белорусском Государственно;.! университете, на всесоюзной конференции по негладкому аяалису и его приложениям к матс.-латичеокой экономике (Баку, 1591), на четвертой международной конференции по дифференциальным уравнениям и применениям (Болгария, 1989).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты работы опубликованы в работах [1-21] .

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, 'пяти глав и списка цитированной литературы. Общий объем 209 страниц машинописного текста. Список литературы содержит ПА наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введение содержится характористика направления, развиваемого в и/ссортасионной работе и 1фаткоо содержанке диссертации.

В первой глазе вводится (см. [ 10,13-15,£0] ) понятие обоб-1дощюго реиекяя экстремальных задач, изучается существование шщи:.изирущего обобщенного решения экстремалыоа задач. Первая глава состоит из кести параграфов.

В § I вводится понятие пространства к изучавт-

ся его свойства. {П.

Пусть . ограниченное изморшое множество в Я ,

и функция —»[Vе] ¿/Б -измерима. Пологом

&

Если {,(*,"<*>)= ,"<*>) п.в. X для лкбого не- 5(^6) , то будеи говорить, что две ¡_ > В -измеримые Зтнкции ^ и из (?А/\'а б Р^К^Л-00} вквяваленткы относительно •

Обозначим через Л кчогэство всох эквивалентных относительно

классов ¿'Б -измерь функций ''• —* к Через. Л Е) обозначим мыэаоетзо тех { с X , которые удовлетворяют условии:

для некоторого яо^оа Р ^ < ц - ^ Предположил,

что и для каждого кс-У , для которого =

-{не 5(ч',£): ^ 0 (чероз ¡'¡¡^ обозначена

порма в )

ьир < +

ир ¡у(х Мх))е[х ■ 6 г.

Ясно, что линейное пространство л

Пг(*л'-<-»->)Мх , (АгО)

является счетным разделяющим семейством полупорт на втсм пространстве , поэтому семейство {} индуцирует локально гыпуклуп тополопш Т со счетной локальной базой. Далэо, черэз Мх/^Е) обозначил локально вшуклое пространство, порожденное семейством полунорм Если Е-11^), то вместо Мш(у,Е) будем писать .//¡.¿/-У) . Через обозначь пространство, сопря-зеняоо о М^^^Е) и везде считаем, что снабхопо 0'(М'м1:г,ь)}М{/1уГ:)) топологией. Легко проверяется, что = 1для любого и м-)£/.„£<?) является линейным непрерывным функционалом на пространстве ,Е) , т.е. . Для простоты ?(1< обозначим через }и

ЛЕ.М1А. I. Пусть ОсГч- и .Если УГ,-

= {ги: , то 'СП^,^} и ЛГе от-

носительно компактно в ХС, /V С) .

Пологом Н - {{£ ):= о, . Аннулятор

И1 опх>еделявтся следующим образом: Н'-{)с ¿1'и)(ч',Е): для всех с- Ц | -

ЛЕММА 2. Справедливы кладущие соотпоиепия

где чероэ ьр Е обозначена линейная оболочка мнопестга £

Подпространство «^¿^Ч^.б) состоящее из функций, ограничение которых почти для всех *<= 6 на непрерывно, обозна-

чим через ) . В случае, когда у = с , проотрапство

) обозначил через К"(,,{.£) , а если £ = ((г) , то вместо К^) будем писать нрозто . Обозначил Ки)(.</,Е)-

= |[г-'Л'^/^Е): . Легко проверяется,

что простраяство , где £={"(*). км^и} . (г и

и - коьшактние множества, совпадает с пространство« введенным в книге Дх. Варга.

Б ооцем случае пространство несеперабально.

ЛЕММА 3. Если £ относительно слабо компактное множество в Г (б-) . то И,(£) сепорайвльно.

ЛЕ.'.1.!А -1. Если К^/Ч'.Е) сеперабельно и Ки>(ч',к) , то существует кера Д на , что ;({) - I для

жаздой {(■ ^.Д^Г:)'

В § 2 рь?с^г.тривагтся задача

где \] - подаяожзстъо в , ^ :"и—, ■

Через Е обозначим множество {«¿V : г'С«-,^"< ^ [^. " v^£ для некоторого ^¿Д/ Е 'с (шш

{«.6 и) . Замывенио множества {зн -инЕ) в Игх~') обозначим через К . Пусть суцостьует ¿«В -из-1»«римая функция и для каздого гсН су-

ществуют -к-Р>Л и такие, что

[лхс)*,ы'IIР , если •

Предположим, что н да каздого

к-с-7)' , для которого ьк~{и(=Е Ф (Ъ (

<цр 4.+«« .

. "«'6* С- {

Замыкание ¿'-{Ци^) с- 1}^)'в обозначим через , замыкание { в обозначим через А, и рассмотрим задачу

а если ' для любого , то рассмот-

рим задачу

уи) ¿££4 ш/* (2)

Задачу (2) (соответственно (2) ) назовем обобщенной задачей задачи (I). i

В § 2 доказывается непрерывность ^(--.,>) ( ) в

( ) и показано, когда существует решение обобщенной садачи, а такаэ показывается справедливость равенства

$ -1П1П .

^ К ¿¿"¿(г) С-

За-,oikание {■ SCf.t)} в ( )

обозначил К, ( К ).

ЛЕММА 5. Пусть - f,(V> + f/*.«) , где f(:f«R—♦ £

каратеодоркавская функция, ii-C^!1^"*)-^1!' , Lfi),

. Тогда функционал ( ¿(V) )

непрерывен в ( Lp,(C-)*K ).

JIR'.C.'A 6. Пуотьпри потгл всех _Функция ,

'-R1—» f<V~] неирернвни соответственно в i/w ' и t&mifC*,-) | ограничение на dcmif(xt-)*<cnnj(x,■)

непрерывно и '\f(*,iM)-C,t{t.x,i)-Cty(.x,u)\i*W + t(llf+lul'') .лп^Й'.

Тогда Фз^щионач Ji*./) непрерывен в

TEOPriMA I. Пусть выполнено одно из следующих условий:

1) Оператор J переводит ограниченные подмножества из CJ в относительно компактные множества в и супествуот функция f •(>К , где ift»-,"(*>)/»:-»♦<>» при такая, что ЧС*,")'- f(*,*,u) ■

2) Существуют борелевская функция ф; fo,f»,**1] , где km , и (toxL^) такие, что л<*>*,2,.ч)

и если для последовательности {^IcU J < ,.

то из tj можно Еыбрать подпоследовательность, которая cxcv дится в

3) Если последовательности {и»} из U и ограничены соответственно нормой прострачств и /.^(5) , то из последовательности i.-.о'шо выбрать подпоследовательность, которая сходится в /."р) , ^ f—»»г* при ■

Тогда, если Функционал ^¡v') ( <f/V) ) непрерывен в Л, (J >. то задачи (I) и (2) ( (:?) ) имеют одтааховые значения. Задача (2) ( (ZJ) ) имеет решения, эти решения являются предельными точкам в l.ff.Si'K^c) ( ) последовательностей {(*и<

где iuj i есть мпншггаирущив последовательности задачи (I).

Пусть <t , У удовлетворяют условию +

ТйОРаМА 2. Пусть функция f ■■ С"ft"— [о,«-] ¿«Б -измерима, функция у(х, •) : R"—»[о,***] непрерывна в ¿ст^к •) почти для всех хс- J- , ограничение f(x,-,-) на R'tdcmfi*/) нзпрерыв-. по, существуют ft{U,fu--)t tc >c- ¿t(&)t ) р>,/ и борелевская функция 4 : lc,f *") —'Г0/00] такие, что

Г —, Ф0«|) = ^(*,и) , , воли «¿=i

-eeij,(x,u)±f(xtzu)ta<*>+ci(izf+iui'itf(>:lH))l если n^fo«

^ixi'CytK*)* {(x,îh)±aM+fMlii + t.Yfyu) t если

Кроме того, пусть £ = C[Jr Я-вшукло и

ешолноно одно из условий:

1) если Е сходится к и( о в топология Г

то из последовательности мояно выбрать подпоследователь-

ность, которая сходится к iw в L'^0) и при ül'-lv—'♦«>" ••

2) «ici и если jс Е слабо сходится к и(-) в ¿Д£) JJ SU.^Ii.lwj^Xi t» , то сходится к lu в •

3) если последовательность из Е сходится к Ii (О

в топологии и ограничено в L^iC') , то из последовательности моя^о выбрать подпоследовательность, которая сходится к Л ut-) в , существует -измеримые функции '»R , <f-.C'Pn—, где j^t»-, при IHtf,—, J~ при 1*11^—►»» такие, что

Тогда задачи (I) и задачи

inj I {""(*,¿"to.ui*))»/* (3)

«tu £

имеют одинаковые значения. Задача (3) плеет решения и если ü является решением задачи (3), то существует такая минимизирующая последовательность задачи (I), что ¿ч сходится к

й в топологии к в ¿¿(6) . Если{Ич}

есть минимизирующая последовательность вадачи ¿1), то существует решение й задач» (3) и подпоследовательность { иь'} , такает, что u%,—iI в топологии ,/Д ) и —* А й в Lp CS-) .

В § 3 изучено существование минимизирующего обобщенного решения вариационных задач.

Б § 4 рассматривается задача оптимального управления. Обобщенную задачу для задачи оптимального управления в явном впде яеписать не удается, однако доказывается существование минемн-зирувдего обобщенного ресеняя к при этом показывается, что инфимуг: первоначальной и минимум обобщенной задачи равны.

В §5 и § G изучаются обобщенные решения экстремальных задач.

Вторая глава состоит из двух параграфов. В этой глава определяется субдкфференциал произвольного порядка (см. [ 1С-1Э] ) и с его помочью выводятся необходимые я достаточные условия акстремума.

В § I определен субдяфференциад произвольного порядка и определен класс ¡г -лшшидешх функций. Введены понятия бика-сательного и_бш:орлального £!-(*•) конуса.

Пусть ^ : X—, где X - нормированное пространство. Положим

баС» ■-ЛЛ ,-Х)--

- {(* ■V" -----V -

если правая часть определена и если

правая часть не рпределена. Обозначим 0ПГ(*

-Сп. Легко проверяется, что С^-,*,))-хс-^С^Сч^-х^х). ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Величину к»1 -Л.У-'.и назовем

обобщенной г. -производной фунюти f в точка по направлению л обозначим ;*«,•••)**) • Через ЛЧХ",К)

обозпачям множество II -линейных функционалов. Соответствие между К(Кп,И) и 2 (X ,••■ , , определяемое равенством хл) взаимно однозначно. Поэтому в дальнейшем *п и будем отождествлять.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Симметричный функционал ,

удовлетворяющий неравенству

назовем п -субградиентом функции { в точка х„ , Множество п -субградиентов в точке х„ назовем а -субднффвренциалом функции { в точка *< и обозначим .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если существует предел

и ек^.-^Л) , V

>|о ^ ив Я" > ,

то назовем его П -производной функции { в точке X) по

направлению (по направлению х ) и обозначим

ЛЕММА 7. Если в некоторой окрестности точки ос. производи ал fсуа»ствувт и представляет ообой равномерно непрерывную функция, то

ЛЕММА 8. Если f конечная положительно однородная степени I функция, ТО f if[i, Jt) = l\ )-(Х) , Щ>И Ч t I ■

Фупхщт у назовем п -положительно однородной, если

<f(*)= Z iftl*) >

где конечная положительно однородная степени с фупкпил. Для эс*= (л,',..., ) с- Х'; = Г] jr(X\R) положим

зг'(*> = <(*ь £ *)♦ - ♦ ¿т <(*,-• • ,х).

Функцию п. назовем л. -сублинейной, если найдется такое шожоство U - f) HL , где hlt С A'(X',R) - выпукло, ограничено, замкнуто, что " ,

КМ - '.ItP Х(Х) Х(: X •

Оункцив </> назовем /I —квазисублинейной, если найдутся такие "а -сублинейные функции и /гА , что 'fl*)-h,(x)-hjx)-

ТЕОРЕМА 3. Для того, чтобы м -положительно однородная функция у достигала в пространстве X своего минимума в точке нуль, необходимо, чтобы и %(х)>о-

ТЕОРЕМА 4. Для того, чтобы и -сублинейная функция к ( п -квазисублинейная функция ) достигала в пространство X своэго минимума в точке нуль, необходимо, чтобы 0 4 Iii

и ь*р*«(*,•">*)*<> ( Mi С j\l\ и ■■-,*) %

^¿Мп . • О ¿к

г. ^¿сК*,- ).

Функциа f назовем /I -липшицевой с постоянно;! !v в окрестности (ели вблизи хе ), если для некоторого ¿»о f удовлетворяет условию

Пусть С непустое подмножество в X . Для удобства далее

считаем, что X гильбертово пространство, а С зсмкяуто. Рассмотрим функцию

¿п(х) = т;п{ V* С } •

ЖШ 9. При любых X и ЧьС выполняется условие

ЗАМЕЧАНИЕ I. Существуют СлС Я4 , х, .х^-21 и % 4 Сп такие, что

¡Сл. .. сч ■ /С,

■♦ СО

Hv.ll ■ II х Л

ЖМА. 10. Если Г непустое замкнутое выпуклое множэство.то

Пару векторов (1\ X'X назовем бшсасательной к £ в точке С , если '(х, V, д) - о . Множество всех бикаса-твльных к С в точке * обозначим 0с(х) . .'¿нотаотзо 01*)-= дая всех , х' - сга.функ.}

пазовом бинормальным конусом к С в точке X .

ЛЕММА II. Если X конечномерно и 2-лгапгицовая

функция в окрестности х , то •

Если функции —»^и»,- 1^4 ,5,еря всех £ выпуклы, патогатсльно однородны и пепрорыглн для любого (^.■••Ач Д., х"'1 . функции назо-

вем Л- -выпуклой, положительно однородной п непрерывной.

ЛЕММА 12. Пусть f Л -липекц9вш1 функция с постояной к в окрестности *< . Тогда {^ •■■ п -выпуклы, полосттельно однородны, непрерывны и удовлетворяют неравенствам

Кроне того "г« f С**) пепусто и х(кг >*н) •

Полозош

х-.*, *

ЛЕШ. 13, Если £

2-лшпшдевая функция в окрестности хс ,

то •

В § 2 рОкУЧО)Ш но обходимые условия высокого порядка для минимума. не г л ад к: о: функций.

ТЕ0Р£Щ а. Если { 2-лишшщевая функция в окрестности х, , и £ достигает в точка X, локального минимума, то

.(2.) Х\Ч±{(>'.)

ТЕСРЕ1АА 6. Пусть { (.х.,*,,^) 2-выпукла и полунепрерывна снизу, тогда для того, чтобы функция -[ достигала б точке X, локального минимума, необходимо, чтобы х'{х.}х~)>Уо для любого ^ {(х. )={х'<г/г(х1,р): х^ >, х'(х, X,) ^х'-ыч-?-}.

ТЕОРЕМ 7. Еслп з некоторой окрестности точки х, = х.'(х,х) -Ш {(*.-*) + 0(1X1*) , тао

то ^Ч*-;для любого .г.еХ , Ы.г,» • Положим ¿¿к) ■

ТЕОРЕМА 8. Если точка хе является точкой минимума функции f на мнокостоэ С , функция { удовлетворяет I и 2-лишш-цеву условию с постоянной I в окрестности х. , то для любого х существует такоэ число иг-о , чгсо х) >-0 .

ТЕОРЕМА 9. Если удовлетворяется условия теоремы 8 и множество С локально выпукло в точке х, , то

шах {х"( Х,Х): х'с1г{1х.)1-ссы} .

Положим

( } ТуК* , П четно

Оп(*-)Х,*)={ "¿(-^{(к+С^-к))*) , п нечетно,

т к ' дю Г

ТЕОРЕМА 10. Если X» является точкой минимума фуакции \ ыа мноеоство С и функция удовлетворяет липшицеву условию в окрестности х, , то {и)*(х, х)>-о для любого х еВ третьей главе рассматриваются вопросы минимизации негладких многомерных вариационных задач п экстремальш:е задачи для дифференциальных включений. Третья глава состоит из семи параграфов.

3 5 I и § 2 изучаются сопряженность и субдиффврекцярув-мость интегрального функционала, заданного на пространство Соболева М^ОЛ , ири" •

Известно, что любой линейный функционал V* на У/р <(О), 11 °° (т.е. ) можно представить в виде

л й- е-

где V,,€■ = . Функционал и' в дальнейшем обозна-

чим символом • • Л'-О • Приедем \\С,(5) в двойствештость

о с помощью бллинейной форыы

£ '¿=15'

Пусть f и выпуклые норлзльные изт-

тегранты. Требуется установить сопряженность интегрального функционала

заданного на пространстве ^'р^С/?) , . , Положив

определим сопряженный функционал (-,•>(?) на МрД^) Далее пусть Р,Ч удовлетворяют условию ПРЭДЕСЯЕНИЗ I. Пусть ( ■ (, К™ ) -> " К ^ :Ч 6 . каратеодориевские функции и существуют ¿^5-), л,с к с>,0 такие, что !П*.П|-а, 12|р р<*» •

Тогда существует функция , где ^¿у ¿$£(0) ,

лЧ^"'-/1»), такая, что

" Р^НГС*,^"5¿У*♦ •

ЛЕММА 14. Если выполнены условия предложения I, то включение тЧ ? Гр( I.) имеет место тогда и только тогда, когда существует функция , где ¿м СоьСАЬ), 2 й^С^О^) такач, что

. ( £ г туг*,йс«>).

ТЕОРЕМА. II. Для того,чтобы точка й являлась точкой минимума функционале. .с,>(") на пространстве ^"(С) достаточно, а в случае выпилусловий предложения I и необходимо, чтобы ваалась функция , где «/¿^такая,

что •

(сич СГ;(>.) (с5е*)) С- >f (х,й(*>,йд<х))

ПРЕДОлЭШ 2. Если существуют такие йнбУ/^/С) и г>о , что функции ^С*/^1),".^')--*) и суммируемы для z£R'">"j,

1-Нг и К-К"^ К'"'с , тс существует функция ¿"т(&) , Х'до ск*¿'.'.¿¿.С'такая, что

Г^Л-^й, *-к { ¿Л)(.»)с1ь .

5 К

Пусть у и у-К-С1—выпуклые нормальные интег-

ранты. Рассмотрим субдиффоренцируеиость интегрального функпио-

заданного на пространство У/^.Сб) , где •

Если Р>>" , то мпогоство (1АбСЛ(5): эквивалентна функции из МДОг)} с нормой ¡иц-тих 1и(ю) обозначил через £,*,(<») .

Обозначим * ■

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть М, 'У^и - ■) _ и 3^(5. ■ ^ собственные полунепрерывные снизу Функционалы в ^¡(.о-) и С^ОО соотзет-стзекно и существует такой, что функции

п суммируема для |1|<г,г>в в б и }С- соот-

ветственно. Тогда функционал У/^СС-)' принадлежит

субдифференциалу ^ Л(£) в том и только в том случае, если

Г, £ ¿1С- '

где МЕ)= ,

ЛЕША 15. Если Р>и, , функции л 'уц.&о+г}

еумьаруемы для , />с , то '¿'К«) непусто и функционал

^•^(и'./и,,^ДСо-)* пршадлекит в том и только в том

случае, если V,-

ПЕЭДЮЕНИЕ 4. Если функционал J (и) конечен для некоторой у существуют такие fl,tKL^),^ t>.c> , что ^ +с,/z;^^ ^isi+^/i/^ , то множество непусто и функционал • •,г*,,')с-W^i&>* принадлежит ~) Ни) в том и только з том случае, если ^.-¿^.¿¿".(б), Zvj^L^.CiG) t

В § 3 рассматривается минимизация функционала

i f(X,UM,U '.x))llx+ \ --{!.l,4(i))di ft 15

заданного на пространства У.'/1, (5- i , где G- ограниченная область в , f:£>Rnt""tL, j? и <f:)C>Pr-—-Й нормашпгэ вкпуг.-лые интэграяты.

Такая схема дсказагельства впервые применилась в статье [2], где получегы необходимые и достаточные условия ancrpefiywa для дифференциальных включений. Далво эта методика в работах [б-ti] , применялась к минимизации интегрального функционала заданного в пространствах ['//(G) . В случае, когда оптимальное решение не является в!гутр01шим, необходимые условия экстремума для дифференциальных включений впервые были рассмотрены в работе [I]. В работах [ 11,12] , развивая технику, использованную в [2] , эта задача репена в более облей постановке.

В дальнейшем считаем, что inf 3(и) попечен. Пололям

В § 3 доказаны следующие теорзмы.

ТЕОРЕМУ 12. Для того, чтобы й$, среди всех

функций uc-V.£(S-) минимизировала функционал , достаточно,

чтобы назлись ^¿"Д^) , ^¿^"(ft) , где divve-L]^), 4iv у £ ¿j С ft) такие, что

1) cLv cj(.x)-d,v if1Х*,й(-Х)>&*>-5(*>)

2) f'№>-«*>) - (й«(*>| Ш-at*)) + {(х^и),",^))

3) (£ v.j,ifCs»ci;>)

а если существуют CK.Kr/.jtO.iicic-W^V) , c^o и Z >o такие,

что для к-К* функции {(х^х)^^*))^^,^»^)) уб,йо>+х)

суммируемы и р»,^*)»:^)»«*)»: ¡ы/? , то соотношения 1)-4) и необходимы.

ТЕОРЕМА 13. Для тох-о, чтобы , , среди

всех функций и&у/^О) минимизировала функционал Xй) , достаточно, чтобы нолшгсь ^ й с- /:'}'"С&), Ч с ¿^""(О) , где ,

у £ ¿'у (&) такие, что удовлетворяются соотношения 1)-4) теоремы 12, а если [С«»Я и у.-'И?«^-*)? _ каратеодориевские функции и существуют такие ,

числа с,>,о , С^го , что

то соотношения 1)-4) и необходимы.

ТЕОРЕМА 14. Для того, чтобы й(- г« , среди

всех функций минимизировала функционал Оч*) , дос-

таточно, чтобы нашлиоь йе , -51--Г^) , <3<= ¿.'.""(.С-) , где ^ Уб/.'Хб') , и такие, '

что • 5&

I) ■

3) (£

£ О- & 1С '

где + - лебеговское разложение 2 относи-

тельно я!хе , } , а еоли

. существуют «и-^/4', , с%о и г >о

такие, что для гёК" функция суммируема

и |«:|,> , то соотношения 1)~6) и необходимы.

В § 4 рассматривается невыпуклый' случай, который получается предельным переходом из специально построенных выпуклых задач.

Пусть I - А—*А собственная полунепрерывная снизу функция, X - банахово пространство я :|р*)|<+«} . Суб-

производная функции { в точке х, по направление к определяется следующим образом

Лх.,к[ и г ¿«г л

*

ТОО • в работе1 доказано, что ¿(к)= ^(х,^)

полунепрерывная с.газу сублинейная функция. Субдиффоренциалом функции { в точко X, называется '^-^с) , т.е.^Оо^К^)-

Функции f назовем равномерно субдиффоренцируемой по Кларку на множестве Мс Л , если для любого ¿>э существует такое ^ >о , что

ЛЕГЛА 16. Если - собственная полунепрерывная снизу функция и х,ьс1ст$ , то для любого '>о и фиксированный ¡КгХ , |Ы = 1 существует такое ^ >о , что

ЛЕ7ЛМА 17. Если f удовлетворяет локальному условию Липшица, то для любого 5 >о существует такое >о , что !(*,)+тлж <х-у.х'у +

1 7 хч-гл*>

является внутренней выпуклой аппроксимацией для 'рх) в точке х. , т'.е. у - выпуклая фунщия, у(х.)= [(х.) и для *« X

ЛЕ.'<ЫА 18. Пусть 9. —удовлетворяет следующим условиям:

1) существует такое число ¿>о и Функция —.что

ДЛЯ , где

2) для любого. 2>>а существует такое число 2>о , что

для 12-ж.х))<г , где В единичнкй пар в К* . Тогда

,?Т- ¡и^инктЬ 1п гчлйопаЬсл?

Рге^гатпии^ ■ Ргсс-вр Вспп гумрЫшч , ¡Ш. , 1-Ы ■

<Z-W(W,l"> + i|z-Kix)|+i t1' ni-x

1 7 1 -ii/M«) v) '

т.е. f равномерно субдиффвренцируема по Кларку на множество {uC*):X<rG-}

ТЕОРША 15. Пусть mcWp*(&> минимизирузт функционал ф(и)= I flx.HW,",1*^**

¿г

в пространстве Wp^CS-) , где у и ^ нормальные интагранты и равномерно субдифференцируемы по Кларку на множествах

и •«>("'} соответственно, существуют 2c-KW.rt)I(6)ia,(-),Alc-)<:il(&) ,^>0 ,/>0 такие, что

для УС-R", , а функции fй ffc,

суммируемы при yc-R^M . Тогда существуют такие функции

1) (¿V il.x)-d.vVix)l~jiK)-i\x))e'>^ix,rux)<tlt<.x))

2) (Ztf^O^CVU^ 3> ■

Аналогичная методика применима и для минимизации интегрального функционала, заданного на пространство VV,'(.[c) . Например, рассмотрим задачу о минимизации функционала

G- « t

заданпого на пространстве , где к„ж =

Положим fi(X)"(xW>iwl-,c>)= iik|: {(l|d{*>}t "»<*>,l)} .

ТЕОРЕМА 16. Пусть £ нормальный выпуклый интегрант на

С"* К г< .. Для того чтобы й с- , минимизирова-

ла функционал Г(и) на пространстве WP'(G) достаточно, чтобы нашшсь функции v- .¿-^.¡-^п , такие,

что '

I) ••»£<*>)«,<»)> 5w-®c*>) ■ ,

Я) Z Z y,7 -ir I i; -v;t,) + £ a; =0

irl ' J-I ' '

3) ÜIX),ü,C*) j 9t*)-5(*})= VÍJtJ-ÍCx^ + ^X.UÍx),«/*),«,,(>£>)

где 5 = ,v-(¡*„. А если существуют «(■)*-/.,(0,

wi!(-w/(!r), с >,o и i>c такие, что для ,• ■-.Z-.H ,

и функция ^."(О'^.^с*)^,--';^^*)«;« )й,/.*>) суммируема, то соотношения 1)-3) и необходимы.

В § 5, используя понятие субдиффоренциала второго порядка, получены необходимые условия минимума второго порядча для негладких мпогомершЕС вариациошшх задач (см, [18,19] ). Рассмотрим задачу о мини:,газации функционала

& •!& заданного на пространстве У/Р) 2( гд0 {-.р-к — 2 -К корлалышо интеграчты.

ТЕОРКД 17. Если йю является точкой локального минимума Функционала ^ в пространства ) |Чг, и существуют

, и число ¿>0 'такие, что

для |к1.»-и.1->| . , 21,24С-(гП1",,,>> , у,,^*, 1у.1<Ь . ТО

СакЪчЪ.йы)

В § 6 рассмотрены задачи минимума для многомерных дифференциальных включений. Экстремальные задачи для многомерных дифференциальных включений впервые были изучены автором в работах [5,8,20].

В § 7 рассмотрены задачи минимума для двумерных дкМорен-циальных включений. В § 6 решения дифференциальных включений находятся г> пространства Соболева. В § 7 решения дифференциоть-

ных включений принадлежат более широкому классу функций.

Пусть ЛгВД'М'Г— ^ причем аДт,,',^

компактны при всех (г,>,г,) г ]—. Функ-

ция ("£)€У,«У» , где и(с-/ГрЦе,т] «М)} _

[о,!.])},удовлетворяющая включениям

У^т.оел/т,?,^,»)) , и(т,с)с-,П-[о,т]

•для почти всех (т,?) называется решением задачи (4). Пусть ^М-М»!^"—»^ - нормальные

внтегранты. Решение включения (4) мини?л!зируицое функционал \ 1 \илл |?(,;>Ы,(*,"<1.п,и1т,>М)♦ №,(»,1«т/)>,«г «Уг (5)

со- с о

среди всех решений задачи (4) назовем оптимальным. Требуется найти необходимые условия оптимальности решения задачи (4),(5). Положим

О1'®!: "Л^,»,*)}

,*) = и Сч-.Ь,»,«<г,»),«,(г,Я) ,»,и(. Д^т и ,?1Ь,и«,> ■

ЛЕММА 19. Пусть отображения (г,')—V, Л) измеримы, компактны, и

Тогда, если для УМ >, V (М >)) б р(г,)) У («(оДу^)*

ДОс-^,*],}^)^^] ( то существует такое решение (ир) задачи

и«(тРт й^.'.ПЬ») , и(в,»)=^С»>

что

М2 г,* Т

|и(т,;)-Г1(т,ф(о?)е (М+ТМ1) +

И*.»)-№.0|'-(сЛ)еМ "(М+5М1) + Т/г>+1

I * е^ч М5е$ем\ рМ+иО/т {рсг.мЛ)

О

^ С 1 9 9 с С с

ТЕОРЕМА 18. Пусть отображения (г.Л-^А'Л-), {(*.*,*) ,

измеримы. «¿(Г,',!;) компактны, существуют функции «сое¿¿МФ^])^/.-)*^,*] , ^(о^Го/г) и число М>о такие, что

„гк+гт

в) *■<■>> мл ( уд* к*

г) ! ^(т.^-^л^^т)!»-»,^ , й пусть (¡ч.,5)с.-У,«У5 является ревением задачи (4),(5). Тогда существуют число £>0 и функции ¡2$/,, , где ^б/,,

„ 1*4 ' Г г

¿. ц такие, что

Обозначим

, ,, Л I о , Л^т.у.г')

г) ,

ТЕОРЕМА 19. При условии теоремы 18 существуют функции ус/.^ , ¿3 . , где ^¡ьС} , такие, что

2) (),-VСт.»^^^С.^С",»),й<г,о) + (">°)

3) (Л-ХО .-¿Ч»,») с- Э уг(х,¿(тД^г,«) ♦ ( , о)

где - нормальный конус к М.,0) в точке "(V) .

Положим

ТЕОРЕМА 20. Если удовлетворяется условие теоремы 18 и С г -то >(",»),для любого

В четвертой главо рассматриваются вопросы минимизации негладких одномерных вариационных задач и экстремальные задачи для дифференциальных включений. Четвертая глава состоит из четырёх параграфов.

Рассмотрим функционал Я: '///„[о ,Т] --*(-«■>,**■] и пусть

Положив

определим сопряженный функционал Р (*') на Щ п, и оп_

ределим функционал на Ц^ [с т] следупцим образом

■к<гЕ е

В § I установлена связь между Р" и Р/ (см. [з,в] ). ТЕОРЕМА 21. Пусть р:№£(„[о,т] — (--такой функционал, что , множество ^д->е-£'р[е;г] :•<(»>= »""[о,«><.-£} слабо отно-

сительно компактно в ¿ГДс.т] . Тогда для любого У/;Г1и[е•"]*, х"-(лс/--,ат., >) существует такая последовательность

=--- = ^(т) = 0 , где п -мерный вектор многочлен,что

Р/СиГР^Ь) •

4-»- 1 V —-

В § 2 получены необходимые и достаточные условия экстремума для выпуклых вариационных задач, заданных на пространствоУ.'Д,М (см. [6]).

Рассматривается задача минимизации функционала '<*(*)=у (*(«>, *(•>,- У";« ■ •|»сг>/(п)+Г{ ,,*!• >,. ■ ■ ,у{

в пространстве ^"т0,т] , где {• Положим ,Л>)-¿'»/ {(21^(0)^(4,1.,...,^ •

ТЕОРЕМА 22. Пусть f - нормальный выпуклый интегрант на [<;iT] tf>4<n'i) ( у выпуклая функция на R""1'" . Для того, чтобы Г(> среди всех фунгадей минимизировала функционал Фи) достаточно, чтобы наались W.-^.Je,?] ¡ = c7ñn и вектор-многочлои PÍ«) порядка m-¡ и ниже такие, что

2) í'r')=Í,Vo*p»

3) ч1"'"1■1V-) - • • • -1¡: (т)-44т) - o

4) fV, íir),. •• jS"4'^,, x\t))-(T:'Vi>l ü\o)*f(t,x!o,bt),-,x"4,))

5) (l-(-ir-p'To),, ег r-:Lr p<3>,

/ Д » , .<4-5-1 , . (п.. s-jl

6) ] V (»> , ,

а если при всяком Л ¿a'"" , Функция

' ,, i""^)) суммируема, функция fi*'»»,--непрерывна в точке (í^)^'^...^'"'^)) , то условия 1)-6) и необходимы.

3 § 3 рассмотрена обобщенная задача Еольца. Изучение этого вопроса, представляет болызой интерес, так как задачи оптимального управления, а такха экстремальные задачи для дифференциальных включений сводятся к таким задачам. В стличие от известных работ в работе (см. [II,20] ) рассматривается случай, когда оптимальное решение ке является внутренним.

В § 4 получгкы необходимые и достаточные условия минимума для дифференциальных включений. Выпуклый случай изучен с помощью задачи Больца, а также рассматривается способ, с помощью которого незыпуклый случай сводится к "выпуклому.

Пусть —> гС , где Т>о , - компактны

при всех t,x . Функцию xc->c-\v^[o,t] удоатетворявдуго задачи

хMÍ aít,х(а) , хшМО? (6)

и минимизирующую функционал

3i-<)-^WT))*JTfit,nt))tlt (7)

среди всех реьэний задачи (6) из класса W^fe.T] назовем опти-

- 2Р -

ыальнш. т-ребуется найти необходимые и достаточнее условия оптимальности тешения задачи

Полоши z)={?„ ; ,J(t,x,4)=,nin{

ТТОРША 23. Пусть f - норлальнкй выпуклей интегрант на [9,TJ' iî* ^ - выпуклая функция на Rn , ^zCit выпукло почти для всех tefr/rj. Лпя того, чтойи-функция х(о среди всех Функций acoeW^ifo/r] , удовлетворяювдх задачи (Р), минимизировала функционал (7) достаточно, чтобы нашлись Атжции <[CK-V [^"уон^/о.т] я({е|>'такие, что I) f(t,xu>)*rf(t,x(t),4>(i)*6))

3) игу(х(т))

4) -a-t*tfjuCSit)) г ,

5) f xc-W/^T]

r) iup{j\t)d%l0: fxaW^CO ,

. гуляр1ая часть Ллгнкции ^ , а если ¿н[Ф/*) конечен, отобгат.е-ние t—*a(t,x) измеримо на [о,Т] , множество эголкнуто

почти для всех t, X , множества n(tx) компактно при всех itX . существуют решения X,(t) задачи x(t )е n(t,X(t)) t x(«)t U и Ь>0 такое, что {х ■ |*.(t)-x| sS} cdemcit , функция f(t,x,(t)*z) суммируема для l^l^i , Лункцкя уС*'/«),-) непрерывна в точке *,(т), то условия 1)-Р) являются и необходимыми.

TE0PFMA 24. Пусть X<t) среди всех решений звпччи (с-) минимизирует Фунхиионал (7) , ft(t,Jf) в области to[o,T] ( |х-5"ct>] удовлетворяет условиям

а) a(t,Z) ^ непустое компактное множество, Ct(itx) измеряло по t ,

6) существует такая суммируемая (дикция Kit) , что РХ(АС,*>,<*(* ,jc'))± для {м : Il-3t(«)|t«i}

Кроме того пусть t-*■ измеримо, существует такая

суммируемая ^чтокция Kt(i) и число к,>о , что для

Тогда существует функция х'мс- VV,^ [е,т] такая,, что

1) (x'(o,x'(t') Of0,*«>) f3u(t,x(t),iu>)

2) ■

В пятой главе изучаются сопрянотшо многозначные отойрам-Н7Я, а такта характеристик*.! оптимальных траекторий в абстрактной выпуклей динамической экстремальной задачи. Полученные результаты применяются к исследованию оптимальных траекторий дийеренгаальных включений (см. [1.4] ). Пятая глава состоит из трех параграфов.

Рассмотри банаховы пространства Xt Ж Xz и конус Z (т.е. кошгческое выпуклое многнзство), лзяаций в декартовом произведении )(,' Хг • Пусть К, и Kt - конусы в пространствах X, и Хг соответственно. Конус 2 ={(f

2 } , лезгций в произведении < X'L назовем двойственным к 2 по отношению к пара конусов ¡it , Ki .

Если ci: X,—* ZXi - многозначное суперлинейпоо отображение, графиком которого является конус Ъ , то. отобрапнио ft':X' 2.*г графиком которого язляется 2 , называется двойственным к f' по отношению к паре к, ,К'г . Обратное к Л' отображение (л')'1 называется сопряженным к л и обозначается символом Л' .

В § I изучены различные свойства (ограниченность,, сопряженность и двойственность композиции и т.д. ) многозначных су-пэрлияейннх отображений. Определено и изучено-локально сопря-тоннов отобраташю в точке z.e^irA Яг вштуклому отображению С1 (т.е. - вгаукло) относительно-пари конусов (fi,,^) .

Рассмотрим семейство банаховых пространств fXt)t6g Е-Г^Дц семейство отобрагеняй

< —* 2 т , где т, t б Е , Т > t •

Семейство (Аг е-) называется дингг.тчосгам семейством отображений (д.с.о.), если * = л5Т«лГг для всех e,r,tt£ ,з>г>t. Семейство называется траекторией д.с.о. .

если хг с-aTt( *t) при всех t,ut ,г>< •

Пусть (Ptr«.) ~ динамические семейства отображений, причем

у

отображения с: Х{—* 2 г выпуклы. Пусть далее у ■ Хт— выпуклый Функционал, »множество ] С X, выпукло.

В § 2 используя понятие характеристики получены необходимые и достаточные условия для траектории )<.<:£ семейства , которая среди всех траекторий , удовлет-

воряющих условно Я-<'с ] , минимизирует величину ^ ( Хт) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Пусть (х^^Е - траектория д.с.о. (Ат,«)е . Семейство (1> )К£ , где ^ С-Х(* , {,(■ , называет-

•ся характеристикой траектории С)сеЕ относительно множества

| (далее для краткости назовем | -характеристикой), если при всех > Хк <1ш)1 а1х 1 выполняет-

ся неравенство

Если траектория (**)»(.-£ допускает такую ^ -характеристику (.ft)t¿E . что (т(г1Ч(хт) , то оптимальная траектория.

ТЕОРЕМ 25. Пусть оптимальная траектория и су-

ществует траектория (ъ,),^ такая, что лт . Кроме

того, ЛГ ((х) ограничено для с1еп: , 7 -'ограничено •и непрерывна в точке хт . Тогда оптимальная траектория (х«)кС допускает такую у -характеристику ( ^ с , что

В § 3 получены необходимые и достаточные условия в виде теоремы о характеристике в экстремальней задаче для дифференциальных включений. Показано также,,что при некоторых предположениях условие экстремума, полученное в гермшгах характе- . ристикл, можно сформулировать в Еиде принципа максимума.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. САДЫГОВ М.А. О некоторых необходимых и достаточных условиях минимума .для дифференциальных включений. Деп. в ВИЮГГИ 13.01.1982, » 201-82, 18с.

2. САДЫГОВ М.А. Необходимые и достаточные условия оптимальности для дифференциальных включений. Деп. в ВИНИТИ 15.07.1982. * 3786-82 , 27о.

3. САДЫГОВ М.А. О сопряженности функционала, эадшшого в пространстве Соболева. Дел. в ВИНИТИ 22.02.1984, 20с.

4. САДЫГОВ М.А. О некоторых необходимых и достаточных условиях минимума для дифференциальных включений. ДАЧ Азерб.ССР, IS84, » 2, с.6-9.

5. САДЫГОВ М.А. О минимизации интегральных функционалов. Деп. в ЕИИТИ 08.0I.IS85, » 251-85, 21с.

6. САДЫГОВ М.А. Об одной экстремальной задаче, заданных на пространстве Соболева. Кав.АН Азорб.ССР, сер. физ.-техн. и матом, наук, 1985, Г- 6, с.25-30.

7. САДЫГОВ М.А. О необходимых и достаточных условиях минимума интегрального '{ункционапа. Материалы 6-ой респ. конф. молодых ученых по мат. и мех., поевлщ. 40 летит Победы. Баку, 6-3 мая 1985.- Баку: Олм, 1985, с. 194-197.

8. САДЬТОВ М.А. О '.гагмизагг.гл интегральных функционалов в пространствах СоОолеза. Препринт .'( 165, Баку, 1Э36 , 48с.

9. САДЫГОВ М.А. (сов.Максудовым Ф.Г.) О минимизации интегральна функ^опалов. ДАН СССР, 1986, т.288, Я 5, с.1050-1054.

10. САДЫГОВ М.А. О существование минимизирующих обобщенных и

' приближенных решений. Доп. в Б2ПГТИ, 15.07.1986, № 5I06-B об, 17 с.

11. САДЫГОВ М.А. О мииьмиэалии одномерна вариациошшх задач. Материалы 7-ой респ. конф. молодых учыных по мат., и мех. Баку, 12-15 мая I?8Sr. Кн.1 - Баку: Элм, 1987, с.246-248.

12. САДЫГОВ М.А. О минимизации многомерных вариационных задач. Материалы 7-ой респ. конф. молодых ученых по мат. и мех. Баку, 12-15 мая 19£6г. Кн.1 - Баку: Элм, 1987, с.249-252.

13. САДЫГОВ М.А. Обобщенные решения экстремальных задач. Препринт .'¿201, Баку, 1987, 30с.

14. САДЫГОВ М.А. Существование минимизирующих обобщенных и приближенных решений. ДАН Азорб.ССР,'1987, J? 9,' с.7-10.

15. САДЫГОВ М.А. Об обобщенных решениях задачи оптимизации. Изв.АН Аперб.ССР, сер. физ.-техн. и матем. наук, 1988, Jí 4, с. 28-37.

16. САДЫГОВ М.А. Необходимое условие экстремума высших порядков. Материал?! 9-оП респ. конф. молодых ученых по мат. и мех., Баку: Элм, 1909, с.276-200.

17. САДЫГОВ М.А. Необходимое условие экстремума высших порядков для негладких функций. Изв.АН Азерб.ССР, сер. физ,-техн. и матем. наук, 1969, К 5-6.

18. САДЫГОВ М.А. Необходимое условие экстремума второго порядка для интегральных функционалов. Материалы 10-ой расп. конф. молодых ученых по мат. и v.ex., Баку, 28-30 мая, 199Сг. - Баку: Элм, 1991, о.218-219.

19. САДЫГОВ М.А. Исследование негладких вариационных задач. Баку- 1991, Препринт * 379, 73с.

20. САДЫГОВ М.А. Необходимые условия экстремума для дифференциальных включений. Баку- 1991, Препринт № 426, 42с.

21. САДЫГОВ М.А. (сов. МАКСУДОВЫМ Ф.Г.) Субдиффхэренциал высокого порядка. ДАН СССР тадт т.320, » 5, с.1049-1053.