Исследование некоторых критических случаев теории устойчивости неавтономных дифференциальных систем с медленной меняющимися коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

I ^ - иМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ ОДЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И.И.МЕЧНИКОВА.

На правах рукописи

КАРАУАНИ МАХЕР НАЗМИ

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЕВ^ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕАВТОНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фгоико-математических наук

Одесса - 1994

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена на кафедре высшей математики Одесского госу дарственного университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцэнт

И.Е.Витриченко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

академик АН Грузии Кигурадзе И.Т., кандидат физико-математиче скизс наук, доцэнт Чернышев В.Г.

Ведущая организация: Киевский государственный экономический

университет.

Защита диссертации состоится июня 1994 г. в £5" част на заседании специализированного ученого совета К 05.01.02, по физико-математическим наукам (математика) в Одесском государственно* университете (270100, г. Одесса, ул. Петра Великого, 2).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Одесского государственного университета (270100, г. Одесса, ул. Советско{ Армии, 24).

Автореферат разослан мая 1994 г.

Ученый секретарь

специализированного совета

А.И.Третья*

- з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. В диссертант! изучаются критические случаи ого нулевого корня (*) и пары комплексно-сопряженных корней (**) ■рш устойчивости неавтономных нелинейных дифференциальных систем с.) с шдюнта-мэняэдимися коэффициентами.

Н.Д.Моисеев изложил историю возникновения и развития понятия юйяивости. А.М.Ляпунов в докторской диссертации "Общая задача об гойчивости движения", также предложил два-основных мэтода исслэдо-зия устойчивости движения. Частные случаи задачи устойчивости изу-п Логранж, Раус, Томсон и ТЭТ, Н.Е.Жуковский, А.Пуанкаре.

Основные результаты теории устойчивости можно найти в монограях Н.Г.Четоева, Н.Я.Красовского, Р.Веллина, И.Г.Малкина, К.Г.Вале-а, К.П.Персидского, В.И.Зубова и других авторов.

Устойчивость неавтономных линейных и нелинейных д. с. при у слоях отличных от используемых в диссертации исследовалась Э.И.Ррудо, А.Шестаковым, Г.С.Кречетовым. 0;Перроном, Л.Чезаари, Н.И.Гаврило-м, В.П.Басовым, В.В.Костиным, A.B.Костиным, И.Е.Витриченко, Робин-•н Кларк и другими авторами. Таким образом исследование устойчивос-[ неавтономных д.с. представляет актуальную задачу.

Цель работы. Подучить достаточные признаки устойчивости по Лядову при t 1 ю нулевого решения дифференциальной систеш (д.с.) зда

-jg- = TC(t).P(t).X + F(t, X) (1)

X = col<x17 з^), t € 4 = [а, -со < а < w с +«>, u;(t> >0, P(t) = |Pak(t>|, s>* « П», P(t, x) e Cn(Rn),

уравнение

det(P(t) - Л.Е) = О имзет или простой корень Я. (t) с условием

ReX1<t) = о(1), t | u (критический случай (*)), или простую пару комплексно-сопряженв корней

\(t> = ^(t) = a.(t) +ib.<t), i2 = -1, a.(t) = о(1), t t w

(критический случай (a*)), cn, r" - соответственно n-мерное кс шюксное (вещественное) эвклидово пространство, когда коэффициш д.с. (I), вообще товоря, не имеют пределов и являются "медленно i шнящимися" функциями (производные таких; функций малы в сравнениз самими функциями). Например,

ta, (Ш t)P, соз Ш t, sin t* (у < 1), sin et, 8 - малый параметр.

Методика исследований. В работе используется .метод неавтоа ных нелинейных преобразований Пуанкаре-Врюо, принцип устойчивосг метод А.В.Костина исследования одного неавтономного дифференциаль го уравнения первого порядка в сочетании с методом функций Ляпуно Научная новизна и основные результаты. В диссертации получ следувдие новые результаты.

1. Признаки устойчивости, асимптотической устойчивости, неустой вости, когда устойчивость нулевого решения определяется линей •частью д.с. в случаях (*) и (**).

2. Получены критерии асимптотической устойчивости и неустойчивое когда устойчивость нулевого решения определяется нелинейной т

тью д.с. (I) в случаях (* > и (**).

3. В случав {**) рассмотрев особый подслучай "слшахщ^тяся корней"

Ь.т = о(1), г I о)).

4. Получены признаки устойчивости, асиштотической устойчивости, ге-устойчивости в частном случае когда

% = %(%), Р = р(1), т = (а^ ... , = ек.

вк : А —» 30, +>»[, е 6 е~1 < е^ ~ о(1),

1 | (Л, к = 1 для д.с. (I) по линейной части.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Дифференциальные уравнения с медленно меняющимися коэффициентами встречаются во многих областях науки. Примером этого уюгут быть задачи на собственные значения, а также некоторые задачи теории автоматического регулирования, кинетики, аэродинамики, гидродинамики, электростатики и других задач естествознания.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались на республиканской научно-методической конференции посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского, Одесса 92, а также на семинарх кафедры высшей математики ОГУ по обыкновенным дифференциальным уравнениям (руководитель - проф. Костин А.В.).

По теш диссертаций опубликовано четыре работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из параграфа "Обозначения и термины", введения, двух глав, состоящих из 16 параграфов, списка литературы из 61 наименований, изложена на 110 страницах машинописного текста.

- б -

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проблемы и дан кратю зор работ, посвященных решению задач, близких к рассмотренным ; сертации. Сделана краткая аннотация глав, сформулированы ос: научные положения, которые выносятся на защиту.

В первой, главе (§§ 1-8) исследуется устойчивость тривиа решения в критическом случае одного нулевого корня. В §2 глав ведены леммы в которых строятся преобразования приводящие д.с. д.с. специального вица. В §3 приведены результаты в виде до ных теорем для устойчивости, асимптотической устойчивости и не чивости, когда д.с. (I) квазилинейная.

Теорема I. Пусть д.с. (I) такова, что

1) алгебраические дополнения А^., к = Г7п элементов хотя бы строки (столбца) определителя йе1;(Р - ^Е) обладают свойств

Д (А^2: А — СА„, М.], А. * 10, оа[;

ш ш

2) | «¡Л = -но, | -¡Ше^сЛ = -оо;

3) существует ц е Ю, П такая, что

ъ п у

ехр(-7хтссЬс)-^ +- | | + 1-ехр(ац«| тсЛе^йх)] • у ' +

' ехр(71 гсЬс)с1у = 0(1), г | ы, \ в 7 "

е - достаточно малое положительное число, и

Ъ t п

ахр£<1-|1)'| теЛе^ах] - | + | (Р^ | + Ь-ехр(ац-

• | *Не\<1х)] • ехр[(ц-1)-| 1СЙеА.1(1х)](Зу = о(1), 1 I и.

згда нулевое решение д. с. (I) асимптотически устойчиво по Ляпунову ж t | О).

Теорема 2. Пусть д.с. (I) такова, что ) алгебраические дополнения А^, к = ГТй элементов хотя бы одиой строки (столбца) определителя йе^Р-ХЕ) обладает свойством

А —► [1 , М ], А е 10, +оо1; » ' в ' « * *

ш ш

) /таЗЛ; = -и», ркЯеЯ^г = -и»;

) (1г|КеХ1'и1х)~1' 1 (I^I +з = * Т ш

ъ -г

фсйеЛ бх) 1 - /И*. = о(1), г | и (а = 0)

а а

ехр(-а|,л:НеА.1сЬс)']Ъ'ехр[а(И-Е1 )'|тсНе?11(Ьс](1а = о(1), г | оз (а = 0) (/чШеХ. <1х) 1 « Дйа = о(1), г ] ш (а = 0)

а а

1. 1 % л ехр(-а/тЛ.йа)• р/• ехр[а(1 +ее)• /гсЯеХ йх3йг = о(1), г | ы (а > 0)

а а * а

ехр(-а,}та1ь>./(|Я'|-1- У + 1)-ехр(а ^теЬОйт = о(1), ф, (а.)

а а э,Г=1 а

= 7 - е., ео - достаточно малое положительное число, огда нулевое решение д.с. (I) неустойчиво по Ляпунову при 1 | ш.

В §4 сформулированы теоремы об асимптотической устойчивости и еустойчивости нулевото решения д.с. (I) для частного случая:

% = %(а), Р = Р(1), 1 = (^.....1т),

£к = ^Д Ю, -к»(, е е С^1 \

е*

/ • ^ = 0{1), г | И, к = ГТШ. В 55 приведен примзр, удовлетворяющий результатам §3.

В §6 приведены преобразования, приводящие д.с. (I) к д.с. сне циального вида.

В §7 получены теоремы 3, 4, когда устойчивость определяется не линейными слагаемыми.

Теорема 3. Пусть д.с. (I) такова, что

1) среди функций

t t — 1 exp^^dt), |[(1-k).J А^т]1-*!, J¿ai+i-^+J2^"1',

k ?£ Д , k ,1 = 27iñ, существуют функции

фJ = 0(1 ), t 1 Ш, j = 1,2,

такие, что

^CPj - íf»J A^cpyX1 = ky ^ Aj^A^'iPj'X1 , J = l, 2.

Aj = maxliA*'(pj, а=Г7ш>, j=i,2; ^Aj1 ♦ j > 0.

A^ = ^(pj - cpj, A^ = A^, k = 5~S7;

2) существует ^ e ]-«o,0[, fcg e 30,+ooC такие, что

mi $ лг^а*^?-*5 = о

te¿, Xstfc^O] sél U 31

sup f = 0

UL, aceto ,1^1 s^i 75

3) существует Hj e Ю, +co[, j=i,a такие, что

Л-Lm 1 1 f N,(a+»)-l f

Ь-íPj -Aj = o(1), t T w, I-cpJJ • 1С-1 = 0(1), t T u;

ь.ф|а+т)-м<Л-1= 0(1bt | ш; = о(1), t 1 u;

A"*-<pJ-<pJl = o(1), t | w, тТ1-^-1 = o(1), = o(1),

X | Ш, = £7п,

= о<1), * 1 ш, Ф^Ч^Г1 = 0(1), тс'-лГ1 = о(1),

■ь"[ и, л =1, 2.

Тогда тривиальное решение д.с. (I) асимптотически устойчиво "по Ляпунову при 1; |

Теорема 4. Пусть д.с. (I) такова, что I) среда функций

ъ ь 1 1

1-к, .-1 ,20с=ГУ

ехрф^сП), (СО-Ю^й-и]1"*!, |Аг1+1-^+1Г 1= Ш^т, м 1, существует функция такая, что

<р = о(1), t | ш, ф^/0,

и

(х^ф - ф')^ 4- ^ А^ф^ = лДл-^.ф^,

А = шахКА^-ф1, 1 = Г^}, | Л~г'|А^У | > 0.

1=1

= аир {.А^-А^ф1}, т1 = Ш1 1ЛГ1 • А^ф1 >.

[а,а)[ Са,ы[

т I-

2) ^ Гк!*! > ИР11 >

к=1

ИЛИ

где

г1.=

< 0. при Х1 <0, 1 2 П^ , 1 = 2к+1

3) ь*л-1 •фа+т~1 = 0(1), г 10), ь-ф^"1-1"!!"1 = 0(1), г 1 (1),

А-1 -ф**ф-1 =0(1), -зГ^ф'-ф""1 = 0(1), г | ш,

x^.ip'.qT1* о(1), t t ш, % = о(1), t 1 U),

%' "ic-1 = 0(1), t [ ы, 9j* (i^-ipj )-1 = 0(1), t I И.

Тогда тривиальное решение д.с. (I) неустойчиво по Ляпунову пр t 1 ш.

Здесь рассмотрен случай, когда коэффициенты д.с. \, к = суммируемы на А функции. В этом случае имеет место устойчивость hj левого решения, а асимптотическая устойчивость определяется свойс1] вом преобразования (когда все его коэффициенты стремятся к нулю щ t 1 ш).

В §8 приведен пример идлюстрирущий результаты §§ 6-7.

Во второй главе (§§ 1-8) исследуется устойчивость нулевого р< тения в критическом случае пары комплексно-сопряженных корней, и с< держится центральный результат диссертации.

В §2 приведены леммы, в которых строятся преобразования при» дящие д.с. (I) к д.с. специального вида для квазилинейного случая.

В §3 получены признаки устойчивости, астзмптотической устойч вости и неустойчивости, котда устойчивость определяется но линейн слагаемым.

Теорема 5. Пусть д.с. (I) такова, что I) Если алгебраические дополнения Ask, з-ой строки (столби

(1 ^ к < л.) определителя det(P - \Еп) таковы, что

А. е Ю, -к»[,

и кромэ того, если алгебраические дополнения Qk3, s = 2~f7, з-столбца (строки) (2 k ^ п) определителя det(С^ - ) такот

что

ш ш

LjQjcsl2 > Q. 6 Ю, +<»[;

2)-J"icdt = +<», J-Jta^dt =

3) J, * exp[(1 - iD-^ic-a.dx] • J [}аЦ + |ЪЦ +s | I +

у У f

+ L'exp(a«iv| та%йх)]-ехр[(р. - 1 )•£ ^e(bc]dy = 0(1), t | u.

J2 a expt-vj 7йзс]'| [lkl + \K\ + + b-exp(qi-

у у -t-

• £ Tca<idx)],exp(71 rcix)dy = 0(1), t | u, Tj. = 7 ~ e. >

eo - достаточно малое положительное число. Тогда тривиальнее решение д.с. (I) асимптотически устойчиво по Ляпунову при t | ш.

Теорема 6. Пусть д.с. (I) такова, что

1. выполняется условие I) теоремы 5;

Ш и

2. J icdt = +<», J ira^dt = +a>;

3. (JT ica.dxr1 • J (|a;j + |b'| + ? (P^Ddx = о<1), t ] w,

a a s. x =1

(f Tta^dx)-1 « J Lit = o(1 ), t j w, (a = 0)

а а

t t 1 t exp(-a«J на.da]*J Lexpfad + e.)-J ica.toMt = o(i), t | u,(a > 0),

а а а

t t n t

exp(-a • / ialT:)-J(|a;|+|bJ+ j |PI. | + l)-exp(a. • J wlx)da = 0(1),

a a * s, x =1 a

t|u>, {aL), ax = 7 - eo, so - достаточно малое положительное число. Тогда тривиальное решение д.с. (I) неустойчиво по Ляпунову при

t J 0).

В §4 сформулированы теоремы, для этого случая, об асимптотичес-

кой устойчивости и неустойчивости нулевого решения д.с. (I) в кв линейном случае.

Р = Р(т), 1 = ги),

ек = ек: Л -> Ю, -н»[, е е с£г \

^•е^ =о(1), г 1 и, к = Г^Г.

В §5 приведен пример, удовлетворяющий результатам §§ 2-4. - В §6 преобразуется д.с. (I) к д.с. специального вида для в нейного случая.

В §7 получены теоремы 7 и 8, когда устойчивость определи* нелинейными слагаемыми.

Теорема 7. Пусть д.с. (0.1) такова, что

1) среди функций

к ?£ 1, к ,а = Г^Г, сущэствует функция

ф = о(1), х] м,

такая, что

(а* + — о(1), г 1 ш

и

т т

(«.е.-, - Ф')*х + £ 3 Л.^Л-.^.ф^.х21

В)

Л = тах1{А^4.1.фг1с+1, к =^7), > О.

где

= ТИ.Ф - <р\ а А^, 1 = П^Г.

2) существует к е Ю, +со£ такое, что

sup у л"1-a; ♦®2s+1-22s+1 = о

teA, XeIo,k] »(¡О Т Л U

$) существует N* s ]0, -н»С, такое, что

(аг + ъ^/г.р^-ы+г в 0(1)> , | ^ зк=_

V*"1 • (а2 + ^Г1^""1 = о(1), t J щ, зс = + tb, Psk'<a2 + b^r^.A-^od), ••(тс-ф)_1= 0(1), t 1 ш, S ,к=Г77, 1С'.*-1, (а® + Ь2Г1/г= 0(1), t I со, Ь2Г1/г = о(1), t 1 ш, к = SJS,

J lx-са? , ь2)—^2 - о(1,.

f kS)c-l+l = |Q|

к =2

| И, |Q| =

|Q|-1 .

(*.« + bf)l/2)~i_2 b2)-fc/2ffc = о(1),

)cS)c-l+l = |Q|

k=a

1 ш, J о | = ^, : + А-ф-Ъ-тс-ф^*^0!^)"^-1 •

ksi

(u-(a2 + bf)1'2)"1 -р](^(а2+

3csk-l+s = |Q|

ьггк/2) ^ = o(1), t T U, S = |Q| =

lQl_1 .

(«•(at + bf)"1'2)1 Ь2Гк/2Л

ksk-l+l = jC!|

k5

0(1),

к =2

t I 0), |Q| = 2 ,£m+l ,

I«(a2 + ъг)с"1П+а:)/г . Л"1 = o(1),

I-(a® ьУ^^ . x"1 = о(1 ), t Î w.

l-(a® и- ьУ^^ • qP-N'+i . л."1 = o(1), t Î Ш.

Y ks -1+1 = JQ| к=г

kÈS

+ b^rk/2)SlC = 0(1), t I И, s = О, |Q| —1 , |Q| = 2,2aH-l, |Q| =¿,2m-l ,

/(ЮН>. I + b!)-^2)"1 + Ъ2)-к/г)Х о(1)

Y ks -l-t-l = |Q| k=2

t î U, |Qj = 2,2m+l,

ф|а|-ы*+1 . A-i . g (lI.(a2 + ьу/гг1 ^j-k/fej-k „

£ks -l+t=|Q| ke2

0(1 ),t I W, |Q| = m-t-l ,m2

Тогда тривиальное решение д.с. (1.6.4) асимптотически устойчив по Ляпунову при t î w.

»

Теорема 8. Пусть д.с. (I) такова, что I) среди функций

ехрф^йа), • A^J5^,

i ,k = k / i, существует функция такая, что

ф = Ф#+ 0(1), t î W, ф./О,

и

А = maocl {А^-ф » 1 = Д Л -IAj-ф { > 0.

М.= sup td, = lni {Л-1 * АГ'ф1 >.

1 [a,u[ ^ Y 1 [a,ut 1

m le

2) Д rkx[ > 0, при ^ > Û,

3) Выполняются следующие соотношения

Vх"1* (a2 + b2)-1'"2-^-1 = 0(1). t î'u» к = Psk'<af + ь!)-1/г-фк-г = o(D, t î w, Psk'<af + b?)-1"2^-1 = o(1 ), t T 0), S,к = ÏTÏT, Ф'-СторГ1 = Û(1), 4- b2)-1""2 = 0(1), t 1 w,

V*"1' (a® + ЬгХ1Уг = 0(1 ), t î w, к = ф'0'"1 • | + btrk/2)Sk - 0(1),

^Jcsk-l+l = jQ| k=2

t f (0, |Qf =

J (<!С.(а2 * b2)1'2)"1"2 * p| (\ (a2+ ь!Гк/2Л = 0(1)

t | Ш, JQ| = 57S,

L- (a2 + b2)c-ni+cc>/2 • A-1 =0(1),

Ь- (a2 + . x"1 » о(1 ), t I w.

Тогда тривиальное решение д.с. (0.1) неустойчиво по Ляпунову

при г | ш.

А также получены теоремы, когда коэффициенты д.с. А^^, к=57ш суммируемы на А функции. В этом случае имеет место устойчивость ну левого решения, а асимптотическая устойчивость определяется свойст вом преобразования (когда все его коэффициенты стремятся к нулю пр X 1 и).

В §8 приводится пример иллюстрирузшдай результаты §§ 6-7.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работг

1. Витриченко И.Е., Карауани М.Н. Об устойчивости тривиального реше ния квазилинейной неавтономной системы с шдленным временем критическом случае одного нулевого корня.- Деп. в УкрИНТЭЙ. 27.05.92, N 752-Ук. 92.- 42 с.

2. Витриченко И.Е., Карауани М.Н. Об устойчивости тривиального ревк ния неавтономной существенно нелинейной системы с медленным врг менем в критическом случае одното нужного корня.- Респ. научнс метод. конф. посвящ. 200-летию со дня рождения Н.И,Лобачевской тезисы докладов, Одесса, 92, часть I,- С. 114.

3. Карауани М.Н. Об устойчивости тривиального решения квазилинейа неавтономной системы с шдленным врешнем в критическом случ: пары комплексно-сопряженных корней.- Деп. в УкрИНТЭЙ. 03.12.9: N 1894.- УК. 92.- 34 с.

4. Карауани М.Н. Об устойчивости тривиального решения существен: нелинейной неавтономной системы с шдленно меняющимися коэффиц ентами в критическом случае пары комплексно-сопряженных корней Деп. в УкрЖГЭИ 15.03.93, N 506.- Ук. 93.- 38 с.