Исследование нелинейной динамики упругих систем в закритическом состоянии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ

л ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

^ -

„Л V»,

ЧЕРНЯК Дмитрий Михайлович

УДК 531.19 На правах рукописи

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ УПРУГИХ СИСТЕМ В ЗАКРИТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 1996

Работа выполнена на кафедре сопротивления материалов Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Научный руководитель - доктор технических наук, профессор

С.В.СОРОКИН.

Консультант - профессор Ю.В.БЕЛКИН.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор И.И.БЛЕХМАН

кандидат технических наук В.ЯКУНИН

Ведущая организация - Институт проблем машиноведения Российской академии наук.

Защита диссертации состоится "__"_199_года в_

часов в актовом зале на заседании специализированного совета Д 053.23.01 по присуждению ученой степени кандидата технических наук при Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете по адресу: 190008, Санкт-Петербург, ул.Лоцманская, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Автореферат разослан "_"_19_года

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, в одном экземпляре просим направлять в диссертационный совет по адресу: 190008, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, д. 3

Ученый секретарь специализированного совета кандидат технических наук, доцент ;_С.Г.КАДЫРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время в технике широко используются приборы и устройства, в состав которых входят гибкие элементы - элементы, форма которых в процессе рабочего цикла сильно изменяется. Одной из характерных особенностей таких элементов является существование нескольких устойчивых равновесных состояний. Переход из одного такого состояния в другое происходит через прощелкивание.

В качестве примеров подобных устройств можно привести рабочие элементы электрических реле и пускателей, клавиши клавиатуры, компенсаторы давления, мембранные насосы. Для расчета характеристик таких устройств, а также их прочности и долговечности необходим анализ динамики прощелкивания.

В рамках статической теории явление прощелкивания широко исследовалось уже в 40-50-х годах нашего века В.И.Феодосье-вым, А.С.Вольмиром, В.А.Светлицким, С.Д.Пономаревым, Е.П.Поповым, Я.Г.Пановко, В.В.Болотиным и др. Предметом этих исследований было определение критических нагрузок с целью предотвращения прощелкивания.

Необходимо отметить, что в настоящее время анализ прощелкивания, в особенности динамика этого процесса, явлйется весьма актуальной и сложной задачей несмотря на развитость численных методов и наличие мощной вычислительной техники. Причина этого кроется в сильной нелинейности дифференциальных уравнений, описывающих динамику прощелкивания.

Дифференциальные уравнения в частных производных по пространственной и временной координате, получаемые при рассмотрении континуальной задачи, являются весьма громоздкими и сложными. Это крайне затрудняет их решение с помощью классических методов (метод Бубнова - Галеркина, метод конечных элементов, метод конечных разностей и т.п.).

В данной работе дифференциальные уравнения составлялись для дискретизированной модели рассматриваемой упругой системы. В соответствии с методом сосредоточенных параметров гибкий элемент моделировался системой, состоящей из несколь-

ких абсолютно жестких стержней, соединенных шарнирами. Массы, жесткости и демпферы были сосредоточены в шарнирах. Такой подход позволил, используя метод Лагранжа, сразу получить обыкновенные дифференциальные уравнения движения. С их помощью оказалось возможным по-новому взглянуть на классическую задачу прощелкивания, в частности, подвергнуть анализу актуальную для современной теории колебаний проблему хаоти-зации движения упругих систем.

Целью работы являлись:

- развитие метода сосредоточенных параметров для анализа нелинейных колебаний с прощелкиванием упругих систем в зак-ритическом состоянии;

- исследование межмодального взаимодействия при нелинейных колебаниях;

- установление условий возникновения и характера развития хаотизации колебаний рассматриваемых упругих систем.

Научная новизна содержится в следующих результатах работы:

- предложена достаточно простая модель с сосредоточенными параметрами, которая позволяет моделировать сильно нелинейное закритическое состояние гибкого элемента;

- предложен простой алгоритм пересчета параметров распределенной системы на предложенную модель, который проиллюстрирован на примере эластики Эйлера;

- для модели, сжатой осевой силой, выявлена зона неустойчивости первой (симметричной) формы и зона устойчивости второй (кососимметричной) формы;

- найдены критические значения поперечной нагрузки, вызывающей прощелкивание гибкого элемента, предварительно сжатого сверхкритической осевой силой;

- применительно к данной задаче предложен метод смены ведущего параметра для численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений движения;

- определен характер межмодального взаимодействия, вычислены критические значения амплитуды симметричной гармонической возбуждающей силы, вызывающей несимметричные колебания;

- обнаружено, что возбуждение несимметричных колебаний под действием симметричной силы происходит вследствие зак-ритической бифуркации Хопфа;

- вычислением экспонент Ляпунова установлены режимы возбуждения, при которых модельная система колеблется хаотически. Определен частотный спектр хаотических колебаний.

Достоверность полученных результатов обеспечивается построением точных дифференциальных уравнений, обоснованностью применяемых математических методов решения, совпадением результатов, полученных разными методами, а также согласованностью их с выводами других авторов.

Практическая ценность. Разработанный алгоритм пересчета параметров распределенной системы позволяет настроить рассматриваемую модель на разнообразные реальные упругие элементы (сферический сегмент, цилиндрическая панель, пологая кривая балка, арка и т.п.).

Анализ динамики такой модели позволяет выявить основные качественные и некоторые количественные характеристики динамики реальной системы.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы и вся диссертация в целом были представлены и обсуждались на:

- семинаре Института проблем машиноведения РАН в мае 1995 года;

- семинаре Датского центра по прикладной математике и механике в июне 1995;

- семинаре НИИ "Механобр" под руководством И.И.Блехмана в октябре 1995 года.

Некоторые положения диссертации были включены в курс "Современные задачи динамики и устойчивости упругих систем", прочитанный на кафедре механики деформируемого твердого тела Датского технического университета в марте 1996 года.

Публикации. По материалам диссертации опубликованы статьи [1]-[3].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы

- з -

( наименований), содержит страниц, в том числе страницу машинописного текста, рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Обоснована актуальность темы, сформулирована цель работы и основные положения, выносимые на защиту. Приведен обзор работ, дающих представление о современном состоянии проблемы. Дана краткая аннотация всех глав диссертации.

Глава 1. Обоснован выбор 4-звенной модели (рис.1), как наиболее простой модели, разрешающей взаимодействие симметричной и несимметричной мод колебаний при неподвижных опорах.

Проведен статический анализ модельной упругой системы, сжатой осевой силой (рис.1). Определены величины критических сил и формы потери устойчивости. С помощью нелинейного статического анализа определена конфигурация упругой системы в зависимости от величины сжимающей силы. Обоснован и применен алгоритм пересчета характеристик сжатого стержня (континуальная система) на рассматриваемую упругую систему с сосредоточенными параметрами. Сравниваются форма сжатого стержня (эластика Эйлера) и форма рассмотренной модели. Показано, что даже при достаточно больших величинах сжимающей

силы выбранная модель качественно и количественно повторяет форму потерявшего устойчивость стержня.

Для определения устойчивости равновесных форм модельной системы применялся критерий Сильвестра. Выявлена зона неустойчивости 1-й симметричной формы в промежутке значений безразмерной сжимающей силы р = [1.22; 1.44] и зона устойчивости 2-й (кососимметричной) формы в промежутке р = [2.78;

3.10], где р = %.

Глава 2. Изучено влияние статической поперечной нагрузки на равновесные состояния потерявшей продольную устойчивость упругой системы. Рассмотрена модель, опоры которой неподвижны (рис.2). Модель вводилась в закритическое состояние осевой сжимающей силой, после чего опоры закреплялись и система нагружалась поперечной нагрузкой в шарнирах (рис. 2). Данная постановка задачи соответствует анализу упругой системы, имеющей две степени свободы. Определены равновесные формы модели под действием поперечной нагрузки, сделана оценка их устойчивости. Найдены величины критической поперечной силы, приводящей кпрощелкиванию, определены формы модельной системы до и после прощелкивания. Модель, опоры которой закреплены, имеет "стопорное" положение - положение, к которому стремятся стержни модели при неограниченном возрастании поперечных сил. Определены формы стопора для различных сочетаний поперечных сил Р, и Р2.

поперечными силами. Опоры неподвижны

Глава 3. Проведен динамический анализ рассматриваемой упругой системы в предположении, что она совершает только симметричные колебания.

Для получения дифференциального уравнения движения использовался метод Лагранжа. Применение метода Лагранжа к модели с сосредоточенными параметрами позволило вывести точное дифференциальное уравнение движения модели. Полученное уравнение весьма громоздко, поэтому для его вывода были использованы специальные пакеты программ, реализующие символьные вычисления. Уравнение движения модельной системы -это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка со сложными трансцендентными коэффициентами:

ф2 + Ь2ц>1 + с2ф2 + с/2 = (1)

где

Ь2 =

зт2ср2 Бт2 ср, +1 /2в1пф1 в1п(2фг -2ф1)(з1пф1 +51пфг)

з1п2ф1(з1п2(фг -ф^ + гэ^фг)

+

СОЭф, БШфг

эт2 Ф,

(2а)

= М'

(

М12

втф^ф, -ф2)зтф2 +(ф, -Зф2)з1пф1)

(26)

(2в)

зт2(ф, -ф2)+2зт2ф2 Если модель возбуждается гармоническими поперечными силами: Fi = Е* соэШ (/=1,2), функция может быть представлена в виде

^ _ 1 Г зт(ф2 -ф,) 2^ соэф, з1пфг |

2 ~ /Щзт2(ф,-ф2)+2зт2ф2 зт2(ф,-ф2)+2зт2ф2,) 1_

МГ

соэ№ =

= ¡Б^а + У-СОвга

(2г)

С помощью линейного анализа были определены собственная частота и форма свободных колебаний. Определена зави-

симость величины собственной частоты от расстояния между опорами упругой системы, которое в свою очередь зависит от величины осевой сжимающей силы.

Для проведения нелинейного анализа с использованием традиционных пертурбационных методов трансцендентные множители в уравнении (1) были разложены в ряды Тейлора в окрестности

равновесной точки (ф,0,ф20). В полученном приближенном уравнении движения были оставлены члены степени не выше третьей:

а + B0á2 + 6,á2a + c2d + га^а + D2a2 + D3а3 = = (Q0 + О,а + Q2а2 + Q3а3) • F соsQt, (3)

где а - величина углового смещения <р2 от положения равновесия; В0, Bv <¡>s, D2, D3, Q0, Ov Q2, Q3, - величины, зависящие только

ОТ УГЛОВ ф,°,ф°.

Для приближенного решения уравнения (3) использовался метод Ван-дер-Поля для случая свободных колебаний и метод многих шкал для вынужденных колебаний под действием гармонически изменяющейся поперечной силы.

Метод Ван-дер-Поля показал убывание амплитуды по логарифмическому закону, характерному для систем с линейным трением. Решение уравнения (3), полученное методом Ван-дер-Поля, отличается от решения линеаризованного уравнения (3) сдвигом фазы, который зависит от амплитуды колебаний, что характерно для систем с нелинейной восстанавливающей силой. С течением времени фаза стремится к постоянной величине.

С помощью метода многих шкал был рассмотрен случай главного резонанса Была получена мягкая амплитудно-частотная характеристика (рис. 3). Вычисление собственных чисел якобиана системы модуляционных уравнений, полученных с помощью метода многих шкал, позволило определить устойчивость стационарных решений. Нижняя ветвь скелетной кривой, показанной на рис. 3 (пунктир), неустойчива. Тонкой линией на графике показан отклик соответствующей линеаризованной системы.

О.б 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

Рис.3. Амплитудно-частотная характеристика системы с параметрами (ф'.ф®) = (0.416. 0.173); Х=3.8; ц = 0.08; = 0; Г?л = 0.06

Область применения пертурбационных методов ограничена конечными, но небольшими амплитудами колебаний, когда ряды Тейлора с достаточной точностью аппроксимируют трансцендентные коэффициенты в точном дифференциальном уравнении. Для динамического анализа колебаний с большими амплитудами |включающими прощелкивание) необходимо использовать методы численного интегрирования.

Поскольку рассматривалась модель с сосредоточенными параметрами, были выведены точные дифференциальные уравнения движения модели, область применения которых распространяется на всю область возможных положений модели.

Для численного интегрирования точных дифференциальных уравнений движения использовался метод Рунге - Кутта 2-3-го порядка. Так как коэффициент (2а) имеет особую точку <р, = 0 при численном интегрировании использовался метод смены ведущего параметра. При приближении к особой точке производился переход на другую обобщенную координату и, соответственно, на другое уравнение движения.

Численное интегрирование уравнения (1) при действии статической нагрузки подтвердило величину критической поперечной силы, при которой наступает прощелкивание, полученную в результате статического анализа (глава 2).

Кроме скелетных кривых на рис. 3 точками показаны результаты численного интегрирования уравнения (1) при гармонически изменяющейся поперечной силе, которые хорошо совпадают с результатами, полученными методом многих шкал.

Описанная модель имеет два симметричных положения равновесия, соответствующих минимумам потенциальной энергии, поэтому при достаточно больших величинах возмущения колебания будут происходить вокруг обоих положений равновесия. Наличие нескольких минимумов потенциальной энергии является условием возникновения в системе хаотических колебаний. (Имеется в виду детерминированный хаос, т.е. чрезвычайная чувствительность системы к выбору начальных условий).

• В программу, осуществляющую численное интегрирование уравнения (1), были введены средства, детектирующие хаос. Для этого строились траектории на фазовой плоскости, сечения Пуанкаре, вычислялся частотный спектр мощности, определялись экспоненты Ляпунова и размерность Ляпунова. С помощью этих средств были определены режимы нагружения, при которых колебания становятся хаотическими.

На рост амплитуды возбуждающей гармонической силы рассматриваемая модель отвечает ростом амплитуды вынужденных колебаний, затем удвоением, учетверением и т.д. периода вынужденных колебаний, а затем хаотизацией колебательного процесса. На рис. 4 показаны различные типы отклика модели при увеличении амплитуды возбуждающей силы и соответствующие Ляпуновские экспоненты, на рис. 5 изображена бифуркационная диаграмма, показывающая сложное видоизменение типа отклика при росте амплитуды возмущения.

Глава 4. В этой главе было снято допущение о том, что модель может совершать только симметричные колебания. С помощью метода Лагранжа получены точные дифференциальные уравнения движения. Как и в предыдущей главе, это обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с трансцендентными множителями. Вследствие громоздкости этих уравнений они не приводятся.

Рис. 4. Фазовая плоскость (верхний ряд), сечение Пуанкаре (средний ряд) и частотный спектр (нижний ряд) для различных типов отклика системы: а - Р£=1.0, периодические колебания (период-2), первая экспонента Ляпунова \ = -0.50; б - 1.6, периодические колебания (период-8), Я, = -0.15; в - ГгА=3.0, хаотические колебания с прощелкиванием, X., = 1.2

Выполненный линейный анализ позволил вычислить собственные частоты и собственные формы бесконечно малых колебаний - симметричных и кососимметричных и получить зависимость этих

частот <в5 и ©^ от расстояния между опорами, фактически, от величины осевой сжимающей силы (рис. 6).

Далее трансцендентные множители в дифференциальных уравнениях движения были разложены в ряды Тейлора в окрестности равновесной точки, и в полученных приближенных диффе-

- ю -

Рис 5. Бифуркационная диаграмма

ренциальных уравнениях оставлены члены, порядок которых не превышал квадрата. Полученные уравнения, написанные относительно обобщеных координат - абсциссы и ординаты центрального шарнира (х, у), имеют вид:

Ис

со.

Рис. 6 Собственные частоты колебаний в зависимости от расстояния между опорами X. Квадратами показана собственная частота

са3, вычисленная в симметричной постановке задачи

х +(й\х + (хх +7 ¡ху +у2ху + Р^С^хсоэШ = 0;

..о . .о .о о р

у + ©|у+ ру+ГзХ2 +у4у +У5Х +УбУ + + Р/03 соэШ + Р2/,04у соэШ = 0,

где коэффициенты у, зависяттолько от равновесных углов ср^.ф" ■ Данная система уравнений исследовалась с помощью метода многих шкал в случае главного резонанса Г2«со3. Если при этом выполняется соотношение со3 »2гал, легко достижимое подбором расстояния Х(см. рис. 6), то даже при небольших амплитудах возбуждающей силы Р* возбуждаются вертикальные колебания, которые вследствие нелинейной связи уравнений (4) параметрически возбуждают горизонтальные колебания. Для описанного выше случая были получены кривые, объясняющие межмодальное взаимодействие в этом случае (рис.7). Вначале на рост амплитуды возбуждения система отвечает линейным увеличением амплиту-

0.1 г

0.08

0.06

0.04 -

0.02 "

' 2

0 0.02 0.04 0.06 0.08

0.1

0.12

Рис.7. Характер межмодального взаимодействия при изменении амплитуды возбуждения. По вертикальной оси отложены горизонтальная -а и вертикальная - Ь амплитуды отклика. Точно настроенные внешний и внутренний резонансы (П = к>2 и ю2 = 2®,)

ды вертикальных колебаний (отрезок 08), в то время как горизонтальные колебания центрального шарнира отсутствуют (о.трезок ОА). На данном отрезке значений возбуждения можут использоваться линейная теория колебаний, а также результаты, полученные в главе 3. Затем, после достижения некоторого критического значения, возбуждаются горизонтальные колебания, амплитуда которых быстро возрастает (отрезок АО), в то время как вертикальные колебания насыщаются, и их амплитуда возрастает медленнее (отрезок ВС). Данное свойство является характерным для нелинейных систем уравнений.

Метод многих шкал позволяет получить модуляционные уравнения, исследуя устойчивость которых, можно определить устойчивость того или иного режима колебаний. Аналитическое вычисление собственных значений якобиана модуляционных уравнений позволило определить границу устойчивости нулевого решения, т.е. критическое значение амплитуды возбуждения, при котором чисто симметричные колебания перестают быть устойчивыми. При этом чисто вещественное собственное значение якобиана становится положительным, таким образом происходит суперкритическая бифуркация решения модуляционного уравнения, что соответствует суперкритической бифуркации Хопфа решения дифференциального уравнения.

Область применимости метода многих шкал ограничена теми значениями амплитуд'колебаний, при которых разложения Тейлора хорошо аппроксимируют трансцендентные множители в точных уравнениях движения. На рис. 7 крестиками обозначены результаты численного эксперимента (амплитуды вертикальных колебаний - косые, горизонтальных - прямые крестики). Очевидно, данные результаты хуже совпадают с теорией, чем в случае одной степени свободы (см. рис. 3). Это объясняется, во-первых, тем, что в уравнениях (4) удерживались только члены, степень которых не превышала квадрата. Во-вторых, значения кинетической и потенциальной энергии, необходимые для получения уравнений Лагранжа, можно выразить только через угловые

координаты (углы Ф-, .фг.фз.ф*) и их скорости, а в уравнениях (4) используются линейные координаты х и у. Однако, как видно из

рис. 7, качественные особенности рассматриваемой нелинейной системы были получены правильно.

Для исследования колебаний с большими амплитудами применялось численное интегрирование точных уравнений. Использовался метод Рунге - Кутта 2-3-го порядка. Точные уравнения также имеют особые точки, для обхода которых применялся метод смены ведущего параметра.

Для обнаружения хаотических колебаний использовались те же средства, что и в главе 3. Экспоненты Ляпунова вычислялись по методу Волфа. Суть этого метода состоит в том, что одновременно с системой дифференциальных уравнений движения х = f(x) (где x = x(f), хеЯ") решается система вариационных уравне-

5 f

ний б = J(x) • в (где J(x) = Q^-), значения которых вычислются в точках фазовой траектории х, полученных при интегрировании самих уравнений движения. Вычислялся полный спектр экспонент Ляпунова. Число этих экспонент равно числу дифференциальных автономных уравнений первого порядка (в данном случае 5). По полученному спектру определялась Ляпуновская размерность dL:

к

dL = К + if1—р

k+i I

где А=1 ..5 - полный спектр экспонент Ляпунова, а К определяется из следующих соотношений:

к к+1

И

¡-1 ;=1

Для хаотических колебаний размерность Ляпунова является дробной.

Заключение. В заключении приведены основные результаты и выводы, полученные в диссертации.

1. Исследованы статика и динамика упругой системы с сосредоточенными параметрами, которая позволяет достаточно точно

смоделировать сильно нелинейное закритическое состояние гибкого элемента. Предложен простой алгоритм пересчета параметров распределенной системы на такую модель, основанный на сравнении критических сил. Данный алгоритм проиллюстрирован на примере эластики Эйлера.

2. Найдены критические значения статической поперечной нагрузки, вызывающей прощелкивание гибкого элемента, предварительно сжатого сверхкритической осевой силой.

3. Определен характер межмодального взаимодействия, вычислены критические амплитуды поперечной гармонической возбуждающей силы, вызывающей несимметричные колебания. Установлено, что возбуждение несимметричных колебаний происходит в форме закритической бифуркации Хопфа.

4. Разработан комплекс программ, обеспечивающий интегрирование точных уравнений движения и выводящий результат в движении (компьютерная анимация). Предусмотрено построение фазовой плоскости, сечения Пуанкаре, определение частотного спектра и вычисление полного спектра экспонент Ляпунова и размерности Ляпунова.

5. С помощью этого программного комплекса численно исследованы свободные и вынужденные колебания модельной системы при различных видах нагружения. Вычислением экспонент Ляпунова установлены режимы возбуждения, при которых модельная система колеблется хаотически. Определен частотный спектр хаотических колебаний, что представляет базу для оценки долговечности и ресурса моделируемых конструкций.

Результаты работы отражены в следующих публикациях:

1. Черняк Д.М. Нелинейный статический изгиб сжатого упругого элемента в закритическом состоянии. СПбГМТУ. СПб, 1996. 19 стр. - Деп. в ЦНИИ им. А.Н.Крылова. 30.06.96, № ДР 3595.

2. Черняк Д.М. Анализ равновесных форм закритически сжатого упругого элемента под действием поперечной нагрузки. СПбГМТУ. СПб, 1996. 13 стр. - Деп. в ЦНИИ им. А.Н.Крылова. 30.06.96, № ДР 3596.

3. Sorokin S., Tcherniak D. Nonlinear Dynamics and Chaos of a Finite-Degree-of-Freedom Model of a Buckled Rod. // Meccanica. 1996. Vol. 31. №3. 19 pp.