Исследование неустойчивости и хаоса при распространении нелинейных волн в пузырьковых средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

СЕРЕДА ИЛЬЯ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ХАОСА ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ПУЗЫРЬКОВЫХ СРЕДАХ

01.02.05. - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 2004

Работа выполнена в Институте Механики УНЦ РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Байков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор С.В.Сухинин

кандидат физико-математических наук Н.К.Вахитова

Ведущая организация:

Стерлитамакский государственный педагогический институт

Защита состоится « 2004 г. в 16 часов на заседании

диссертационного совета Д 212.013.09 при Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе 32, физико-математический корпус, ауд. 216.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета

Автореферат разослан « 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета:

д.т.н., профессор ' 7 / ^ ^ Л А Ковалева

чШ

Ш "оУ-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Значительный интерес исследователей к проблемам и задачам механики газожидкостных сред обусловлен широким распространением таких систем в природе и их интенсивным использованием в современной технике. В настоящее время интенсивно изучается распространение волн различной природы в такого рода средах (акустика океана, оптика атмосферы, физика многофазных систем и т п.). Для контроля различных технологических процессов в энергетических установках и аппаратах химической промышленности широко используются расчеты и измерения, связанные с распространением и поглощением волновых возмущений

Актуальной задачей для многих областей современной науки является изучение неустойчивости при колебаниях одиночного пузырька и характера распространения нелинейных волн в пузырьковых средах. Так, например, в трубопроводном транспорте пузырьковая завеса с неравномерным распределением пузырьков по пространству может служить эффективным барьером для распространения ударных волн, возникающих в результате технологических процессов. Аналогичные задачи могут возникать в нефтедобыче и нефтепереработке Обычно параметры таких сред подвержены сильным пространственно-временным возмущениям Одной из областей, где в настоящее время достаточно интенсивно развиваются акустические технологии, является медицина (например акустическое воздействие на опухолй, дробление камней, акустическая диагностика крови и др.). В этих задачах также достаточно значимыми факторами являются газосодержание и свойства тканей, насыщенных жидкостью.

Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена интенсивным использованием технологий, связанных с распространением и эволюцией волн в гетерогенных средах, необходимостью расширения и углубления теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в таких средах, следовательно, практической значимостью рассмотренных в работе проблем.

В представленной диссертационной работе исследуются нелинейные явления в колебательных и волновых процессах на примерах нелинейных колебаний пузырькового осциллятора во внешнем возбуждающем поле и динамики нелинейных волн в жидкости при прохождении через пузырьковую завесу. Изучение явлений в работе проводится в рамках механики многофазных систем с точки зрения динамического хаоса.

Работа выполнена в соответствии с основными заданиями научно-исследовательских работ института Механики УНЦ РАН.

рос и1 • ^РДЛЬНАЯ

Б" . ЬКА

л. рг

Основная цель работы состоит в исследовании характера вынужденных колебаний одиночного пузырька газа в жидкости в зависимости от начальных условий, свойств среды, вида внешнего воздействия и изучении влияния периодической неоднородности газожидкостных сред на распространение в них нелинейных волн

Задача об усилении (гашении) нелинейных волн в пузырьковых средах рассматривалась подробно во многих работах, однако стохастизация фронта волны и ее затухание в средах с периодическим газосодержанием до настоящего времени изучены недостаточно Наряду со сложным взаимодействием и отражением волны при прохождении неоднородности значимым фактором в данной задаче является стохастизация колебаний одиночного пузырька при акустическом воздействии в определенном диапазоне параметров среды. Таким образом, как для пузырьковой среды, так и для одиночного пузырька газа в жидкости необходим анализ причин возникновения и областей неустойчивости Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1 Анализ влияния начальных данных, параметров среды (вязкости, коэффициента поверхностного натяжения жидкости, показателя адиабаты для газа в пузырьках, скорости звука в жидкости) на характер вынужденных колебаний пузырька газа в жидкости.

2 Оценка влияния второй гармоники во внешнем сигнале на характер вынужденных колебаний пузырька газа в жидкости.

3. Определение по указанным параметрам области стохастичности и сценарии перехода к хаосу.

4. Исследование эволюции возмущений и проведение анализа неустойчивости распространения нелинейных волн в пузырьковых средах с периодическим изменением газосодержания по направлению распространения возмущения.

Научная новизна работы заключается в следующем- для различных параметров среды определен диапазон внешних частот возбуждения пузырька, в котором реализуется стохастическое решение, определены сценарии перехода к хаосу при изменении скорости звука и вязкости жидкости, показано наличие гистерезиса по этим параметрам;

- показано, что наличие в периодическом внешнем воздействии второй гармоники может, как порождать стохастические колебания, так и разрушать их;

- показано, что в задаче о вынужденных колебаниях одиночного пузырька в области гистерезиса при фиксированной частоте внешнего воздействия

существует третий тип решения (помимо двух, являющихся следствием гистерезиса);

- показано, что наличие периодической неоднородности в пузырьковой среде, т е периодическое изменение газосодсржания пузырьковой жидкости по направлению распространения волны, приводит к появлению зон пропускания и непропускания (существенного гашения сигнала) для периодического по времени возмущения.

Достоверность результатов обусловлена использованием хорошо зарекомендовавших себя методов механики сплошных сред при разработке моделей распространения возмущений в среде и их физической и математической непротиворечивостью в рамках физических законов. Результаты численного моделирования подтверждаются тестовыми расчетами, экспериментальными и теоретическими работами других авторов.

Практическая значимость. Результаты, полученные в настоящей работе, могут быть использованы в различных областях науки и техники. Задачи, подобные рассмотренным в диссертационной работе, возникают при учете нелинейности физических процессов, протекающих в конденсированных средах, а именно, при изучении вопросов, связанных с усилением и непропусканием сигнала средой, с распространением волн в атмосфере, океане, плазме и т.д. Результаты работы могут быть применены при расчетах и моделировании нелинейных электрических цепей, при создании замедляющих систем для электронных приборов СВЧ, периодически нагруженных антенн бегущей волны, преобразователей и фильтров объемных и поверхностных акустических волн, в волоконной оптике при описании распространения электромагнитных волн на основе уравнений Максвелла для сред с распределенными по длине волновода магнитными и диэлектрическими неоднородностями и т.д. Анализ периодических структур интересен и для биофизики, медицины.

В частности, при определении рельефа поверхности дна и источников вибрации под водой существенным фактором, влияющим на эффективность и точность исследований, является наличие пузырьков газа в жидкости и их распределение по пространству, а также свойства жидкости. Полученные результаты могут быть использованы для определения областей «непропускания» (существенного искажения сигнала), а также (в определенных условиях) для создания искусственных помех - волновых завес.

Известно, что при сонолюминисценции для усиления коллапса при схло-пывании пузырька во внешнем воздействии может эффективно использоваться вторая гармоника. Изученное в настоящей работе поведение пузырька при двухчастотном воздействии может, например, позволить исключить нежелательную стохастизацию колебательных движений пузырька. В частности, рас-

смотренное в работе использование в качестве управляющих параметров системы вязкости и скорости звука в жидкости может позволить влиять на устойчивость решения.

Изучение областей сюхастичности колебаний пузырька в зависимости от свойств среды позволяет приблизиться к решению обратной задачи - определению свойств среды по характеру колебательных движений пузырька (акустическая диагностика).

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• IV семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», ИГиЛ, Новосибирск, 1996 г.

• семинар «Задачи гидродинамики в области добычи, транспортировки и переработки нефти», ИПТЭР, Уфа, 1998 г.

• V семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», ИГиЛ, Новосибирск,

1998 г.

• семинар «Задачи гидродинамики в области добычи, транспортировки и переработки нефти», ИПТЭР, Уфа, 1999 г.

• XII зимняя школа-семинар по механике сплошных сред. ИМ, Пермь,

1999 г.

• VI семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», ИГиЛ, Новосибирск,

2000 г.

Публикации. В ходе работы над диссертацией опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в разделе Опубликованные работы

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Содержит 135 страниц, в том числе - 40 рисунков, 1 таблицу и библиографию из 103 наименований.

Во введении обосновывается актуальность темы и формулируются основные задачи исследования. Рассматривается научная новизна и практическая ценность работы.

В первой главе представлен литературный обзор, рассмотрены основные модели и методы, используемые в диссертационной работе-. Глава разбита на следующие разделы: «Вводные замечания»; «Нелинейные колебания динамических систем», включающий в себя «Краткий обзор исследований, связанных с возникновением стохастических и хаотических колебаний в различных колебательных системах»; «Нелинейные волновые процессы»; «Распространение возмущений в периодических средах» с разделом «Распространение волн в газожидкостной среде с переменным по направлению распространения волны газосодержанием».

В разделах «Нелинейные колебания динамических систем», «Краткий обзор исследований, связанных с возникновением стохастических и хаотических колебаний в различных колебательных системах» первой главы приведены результаты исследования хаотичности колебаний пузырькового осциллятора, вопросы устойчивости колебаний пузырьков в жидкости, сценарии перехода от стационарных колебаний к хаотическому режиму и, наоборот, условия дестоха-стизации колебаний Представлены методы исследования динамических хаоти-зирующихся систем, приведена теория и методика расчета бифуркационных кривых, используемая в представленной диссертационной работе, методика исследования странных аттракторов в методе сечения Пуанкаре, локальных фазовых карт. Показано, что бифуркационные кривые для различных моделей имеют общий характер и, таким образом, расчеты для простейших моделей могут предсказывать поведение сложных моделей для реальных систем

В разделах «Нелинейные волновые процессы», «Распространение возмущений в периодических средах» первой главы рассматриваются вопросы, связанные с распространением возмущений в средах с периодически распределенными в пространстве параметрами. Показано, что при распространении периодических или квазипериодических возмущений любой формы в таких средах существуют зоны пропускания и поглощения возмущений. В разделе «Распространение волн в газожидкостной среде с переменным по направлению распространения волны газосодержанием» для системы уравнений, описывающей одномерное движение газожидкостной смеси, получено уравнение Матье для возмущения давления, что свидетельствует о наличии зон пропускания и непропускания для распространяющихся в среде возмущений

где р0- постоянная составляющая давления р0 + р газожидкостной смеси, р - возмущение давления (периодическое с частотой ю); Л0 - постоянная составляющая радиуса пузырька Я = Я0 + Л';

Зр1°Уа 20* 1 + 6 шах - х0)

0.

71

Зу/>о-р?Яо®2

(1)

Р( - истинная плотность жидкой фазы; у - показатель политропы газа в пузырьке;

Р« + { П + У в'п 24}/»(дг) = 0,

(2)

П =

3YA) - P?^o2(°2 '

т 2 0 •

3(й Р]уа20 ,

2„0,

У =

Во второй главе рассмотрены результаты численного моделирования колебаний одиночного газового пузырька, в рамках модели Келлера-Миксиса.

Рассматривается следующая модель- сферический пузырек совершает колебания в жидкости плотности р. В модели принимались следующие предположения (рис. 1 ):

пузырек содержит некоторый газ и водяные пары с постоянным общим давлением р,, причем давление пара р, остается неизменным во время пульсации пузырька;

газ в пузырьке описывается политропным законом с постоянным значением показателя адиабаты у ; ц - вязкость жидкости постоянна,

Ре (/) - внешнее давление, изменяющееся произвольным образом, является суммой статического Риш и гидростатического давлений; R = R(t) - радиус пузырька в момент времени / ; R(t) - скорость радиальной пульсации пузырька; R„ - радиус пузырька в состоянии равновесия P(t) = 0 ; а - коэффициент поверхностного натяжения жидкости.

Уравнение пульсации одиночного пузырька газа в сжимаемой жидкости в рамках модели Келлера-Миксиса в формулировке Просперетти имеет вид:

Рис. 1 Пузырьковая модель - сферический пузырек в бесконечной вязкой жидкости с параметрами, описанными я тексте

/

R

-HÏ

+ R_ dP[

(3)

V

с

/

р

ср dt '

2аУ/?„Уг 2а 4цЯ

Лш/ - Ру +■

Л„ X л ) Я Л

В работе изучены пути возникновения хаоса, условия его возникновения в пузырьковом осцилляторе во внешнем поле Для оценки устойчивости пузырьковых осцилляций использованы различные методы оценки стохастических параметров

Параметры задачи подбирались таким образом, чтобы рассмотреть пузырьки средних (типичных) Яп = 10ц т радиусов. В численных расчетах Ру для воды при 20° Г выбиралось пренебрежимо малым по сравнению с и считалось неизменным.

Внешнее давление выбиралось в виде

Р(') = - (4)

где рА - амплитуда внешнего воздействия,

ш - частота внешнего акустического воздействия.

Начальные данные выбирались таким образом, что длина звуковой волны была больше радиуса пузырька, так что резонансная частота а>0 = 2лл>0 пузырька, определяемая из условия

/п I /г\

Зу

1

v,, =

2*Л„л/р

2ст_ 1 2о 4ц'

Ч N К РЛ„2

(5)

была меньше частоты внешнего периодического воздействия (для сохранения условия сферичности поверхности пузырька во время пульсации).

Проведенные расчеты показали наличие областей устойчивости (неустойчивости) колебаний пузырька в жидкости во внешнем поле в зависимости от свойств газовой и жидкой фаз, от вида внешнего периодического воздействия, от наличия второй гармоники во внешнем воздействии. Область неустойчивости по начальным данным показана на рисунке 2.

Таким образом, в плоскости начальных данных можно получить области, где реализуются а. 1-периодическое решение (1 замкнутый цикл на фазовой плоскости); б. 8-периодическое решение (8 замкнутых циклов на фазовой плоскости); в. стохастическое решение.

Рассмотрены сценарии перехода от устойчивого состояния пузырькового осциллятора (периодические или квазипериодические колебания) к неустойчивому (стохастические колебания). Показано, что область реализации 8-периодического решения является стохастическим слоем, разделяющим в фа-

зовом пространстве области устойчивой динамики и хаоса при возмущении нелинейного осциллятора, каким является пузырьковая модель.

Рис. 2 Зоны неустойчивое! и колебаний одиночного пузырька воздуха в воде при периодическом внешнем воздействии с частотой 190 кГц, Рь =0,9 атм Серым показаны области, где реализуется 1-периодическое решение, черным - 8 - периодическое, светлым выделены области стохастических колебаний

Исследовано влияние на колебания одиночного пузыря направления монотонного изменения параметров системы (частоты воздействия, вязкости жидкости и скорости звука). В результате численного моделирования было обнаружено наличие гистерезиса в колебательной системе, свидетельствующее о наличии нелинейности колебаний.

На рис. 3 представлены результаты численного расчета для частоты внешнего воздействия на пузырьковый осциллятор 191 кГц при монотонном увеличении и уменьшении вязкости жидкости.

Показано, что при решении задачи для фиксированной частоты внешнего воздействия (в области гистерезиса, а именно, при у=190 кГц) для различных начальных данных (Лц, ) помимо двух описанных для гистерезиса решений появляется еще одно решение. Наличие этого решения объясняется принципом детерминированности Крылова-Борна, суть которого заключается в том, что невозможно воспроизвести движение неустойчивой динамической системы, задавая начальные условия со сколь угодно высокой, но конечной точностью. При больших амплитудах внешней силы поведение системы становится сто-

хаотическим, особенностью резонанса в нелинейной системе является наличие области частот, допускающих несколько (формально три) различных амплитуды колебаний при одной и той же частоте.

При увеличении вязкости

< <

1000 2000 3000 4000 Вязкость, х10А-3 Па'с

5000

6000

Рис 3 (а, б) Явление гистерезиса в расчетах при увеличении и уменьшении вязкости

Зависимость вынужденных колебаний пузырька от вида внешнего воздействия

Исследовано влияние двухчастотного внешнего воздействия на нелинейные колебания одиночного сферического газового пузырька в жидкости.

Рассмотрена зависимость решения от вида внешнего воздействия, а именно, в (3) вместо Р^ъ\п(2ли) внешнее воздействие задано в виде Р\Ч\п(27г\4) +Р^'т^лу,!), причем Р^ «Р3 Задача решалась при фиксированных параметрах среды (соответствующих пузырьку воздуха в воде) и начальных данных Я0=10~5м, Я0 - 0м/с При этом варьировались только частоты гармоник внешнего воздействия.

Результаты расчета показали, что уже для Р| = 0.005 атм при Р5 - 0.9 атм в низкочастотной части второй гармоники возникают новые области стохас-тичности. Исчезновения существующих областей при этом не происходит

На рис. 4 показаны результаты расчета, при этом реализующиеся типы решений обозначались- 0 - периодическое решение, 1 - стохастическое решение. Как видно из рисунка, при 30<у,<90 кГц происходит существенное расширение области стохастичности (со 190 до 200 кГц).

Таким образом, наряду с изменением вязкости, скорости звука в жидкости и коэффициента поверхностного натяжения еще одним способом влияния на дестохастизацию можно считать второй источник звука (т е. наличие во внешнем акустическом поле второй гармоники).

30 40 50 60 70 80 80 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

VI

Рис. 4 Область стохастичности (показано светлым) при двухпериодическом воздействии с Р5 = 0,9 атм , Р] = 0,005 атм.

В третьей главе рассматриваются результаты численного моделирования распространения волновых возмущений в среде с переменным по направлению распространения возмущения газосодержанием. Двухфазная математическая модель, позволяющая описать процессы формирования, распространения и взаимодействия падающей волны со средой, включает в себя замкнутую систему уравнений одномерного нестационарного движения пузырьковой жидкости, которые для решения нашей задачи запишем в эйлеровых координатах

Законы сохранения для осреднённых значений давления р, плотности р и массовой скорости среды V.

4 дР2 | дРг]' „р. Фг«^3 =0

а/ (а а* ' <л

Л ох

Л,

р = а,р,+а2р2; рш=р",

где

р - средняя плотность смеси, р, - средняя пло гность / - ой фазы,

р,(| - истинная плотность г - ой фазы;

р, р -соответственно среднее давление смеси и давление /'-ой фа-

зы,

V - массовая скорость среды,

/?, г/ = Л соответстренно радиус пузырька и радиальная скорость пульсации;

а: - объемное содержание / - ой фазы.

Нижние индексы 1 и ? относятся к параметрам соответственно жидкости и газы Звёздочкой от мечены невозмущённые параметры (начальное состояние).

В качестве условия совместного деформирования фаз примем уравнение Рэлея-Ламба, записанное с поправкой на случай ансамбля пузырьков

-2а 1

/. ч£/и 3/, V , Рг Р п

2Х 2' Л р, (8)

ЫЯ

« = —.

Л

где

<р, - поправочные коэффициенты, учитывающие неодиночность пузырьков;

// - коэффициент вязкости среды;

гг - коэффициент поверхностного натяжения.

Параметры и уравнения для температуры, состояния жидкой и газовой

фаз:

</1пр, ¿Лп р7П п(у За

- - у + ---Г с/, И-"—

Л Л р-у 4тгЯ3

Р2 =Су2{у-\)р20Т2-

д = 4к\2П2 Ми^. 7*| = 7)*;

2Л (9)

^,(^>100 Яе = 12(у - ———г.

«2 =-^Г-.

Р20с/>2

где у - показатель адиабаты газа;

ц интенсивность межфазного теплообмена; а2- коэффициент температуропроводности газа; А,- коэффициент теплопроводности газа;

С,2,Ср2- удельная теплоёмкость при постоянных объёме и давлении соответственно.

Для исследования влияния неоднородности газосодержания на параметры прошедшего через пузырьковую среду одиночного импульса пренебрежем потерями энергии за счет вязкости и теплообмена.

Система уравнений (7-9) решалась в виде системы конечно-разностных уравнений, состоящей из четырех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по времени, для решения которых удобно использовать модифицированный метод Эйлера-Коши, и одного уравнения второго порядка по пространственной переменной, которое решается методом прогонки.

В качестве несущей жидкости в расчётах выбиралась вода = \000кг/м3. Газ в пузырьках - воздух. Значения его термодинамических параметров следующие: начальное давление р0 = 0,1 МПа, температура Та = 294К, г = 1.4; С2 = 716м2/с2 • град; Я2 = 0,025кг • ^ ■ град.

Начальное газосодержание однородной двухфазной Йузырьковой среды а2О=0,04.

Рассматривалась задача в следующей постановке: начальное возмущение в виде волны треугольного профиля с перепадом давления Ар и полной шириной /0 = где г0 - время положительной фазы давления, распространяясь по газу, входит в однородную двухфазную пузырьковую среду с начальным газосодержанием а21). Параметры исходного возмущения подбирались таким образом, что образовывался один солитон.

Как следует из теоретического анализа, солитоны располагаются в порядке уменьшения их амплитуды. При значениях а » а , где

гг1 = 3/п{у -I (#?„) Л,' отражает соотношение влияний нелинейности и

дисперсии (/„ - ширина и ф„ - интенсивность начального возмущения), из начального возмущения образуется один солитон (рис. 5). Параметры задачи подбирались таким образом, что а к <т;, и начальное возмущение с треугольным профилем преобразовывалось в один солитон при прохождении участка с

однородной двухфазной пузырьковой средой, а б

в г

Рис 5 Характерные осциллофаммы возмущений в жидкости с пузырьками С02 (по материалам Накоряков В Е, Покусаев Б Г, Шрейбер ИР Распространение волн в газо- и парожидкосгных средах Новосибирск. Институт теплофизики СО АН СССР, 1983 ) а - начальное возмущение в виде волны треугольного профиля; б -группа солитонов (а > акр ); в - одиночный солитон (а ~ а); г - волновой пакет

(сгсст^,)

Выделившийся солитон попадает в неоднородную газожидкостную среду. Пройдя определённое расстояние, солитон вновь выходит в однородную среду с теми же значениями газосодержания и радиусов пузырей, что и на первом отрезке.

В поставленной задаче весь участок распространения начального импульса по газожидкостной среде можно разбить ни три отрезка. Отрезки представляются в безразмерных координатах, соответствующих количеству точек по пространственной переменной в сеточной схеме для численного решения:

1) 0 < х < 500 - участок трансформации начального возмущения в солитон;

2) 500 <х< 2000 - участок с неоднородным распределением газосодержания

а20(х) = «20[1 + Етах ьтфс - 500)я/т)}

где £тах - относительная амплитуда неоднородности; г - период неоднородности 3) 2000 < х < 2500 - участок стабилизации, выделенный для оценки влияния неоднородности на прошедший через неё одиночный импульс. Численные расчеты провоцились для различных значений относительной амплитуды (е = 0,2; 0,3; ..; 0,7) и периода (г= 10, 20, , 100, 200,. , 700) неоднородности. При взаимодействии солитона с пространственной неоднородностью происходило частичное отражение волны от неоднородностей газосодержания, а в некоторых случаях — распад солитона на две (или более) нелинейные волны, движущиеся в том же направлении, что и исходное возмущение, и взаимодействующие между собой

Влияние периодической неоднородности на проходящий через нее одиночный импульс оценивалось через относительную потерю амплитуды импульса Д(е,т) = 1 - Л3 где А1 - амплитуда солитона до прохождения «неоднород-А

ного» участка, А2 - после его прохождения. Очевидно, что при отсутствии диссипации и при £ =0 (однородная среда), л =0.

Проведенные расчеты показали, что максимальное затухание солитона отмечается, когда полуширина солитона равна половине периода неоднородности (рис. 6)

Рис 6 Зависимость относительной потери амплитуды (Д) одиночным импульсом от параметров неоднородности (е,т)

С уменьшением (или увеличением) г влияние неоднородности на конечное изменение амплитуды распространяющегося импульса уменьшается Здесь существенную роль играет и амплитуда неоднородности, а именно с увеличением е увеличивается и потеря амплитуды импульсом (рис. 6) Характерные

сценарии представлены на рис. 7, где показана эволюция одиночного импульса в неоднородной среде.

В области, где период неоднородности г »40-50, т.е. в области наибольшего "затухания" амплитуды за счет отражения, начальный одиночный импульс становится неустойчивым при своей эволюции по периодической неоднородности (участок 2) и распадается на несколько одиночных импульсов (два из которых отчетливо видны на рисунке 76), бегущих в том же направлении, что и первоначальный импульс. Отраженные волны в этом случае, взаимодействуя с неоднородностью и между собой, порождают на участке 2 явно непериодические колебания. В случае же, когда одиночный импульс устойчив (т.е. когда г г [40,50]), картина отраженных волн периодическая, причем ее период совпадает с периодом неоднородности.

а. Р 1--------------------

I_Л.

1 201 401 601 801 1001 1201 1401 1601 1801 2001 2201

X

1 201 401 601 801 1001 1201 1401 1601 1801 2001 2201

Рис 7 Эволюция одиночного импульса в неоднородной среде с параметрами: а. с = 0,5; г = 40, б с = 0,7; г = 50

Помимо одиночного импульса в работе проведены расчеты для ударных волн типа «ступенька» той же амплитуды, что и солитон в рассмотренном выше случае - 0.1 МПа, а также расчеты с учетом диссипативных потерь На рис. 8 представлены результаты расчетов для ударных волн с учетом и без учета потерь энергии за счет межфазного теплообмена и вязкости

Численный расчет показал, что зона неустойчивости ударной волны по параметрам гиг такая же, как и в задаче для одиночного импульса без межфазного теплообмена- максимальное влияние неоднородности на проходящую через нее волну наблюдается при т = 50

а Р

1 401 801 1201 1601 2001

в р

1 201 401 601 801 1001 1201 1401

6 р

к_

1 401 801 1201 1601 2001

г Р

Рис. 8 Эволюция ударной волны без учета (а, б) и с учетом (в, г) потерь энергии за счет вязкости и межфазного теплообмена' а, в - однородная среда; б, г — неоднородная среда с параметрами г = 50, £ = 0,5

Из проведенных расчетов видно, что максимальное затухание солитона (и стохастизация фронта ударной волны той же амплитуды) происходит в случае, когда период неоднородности приблизительно равен полуширине солитона.

Для анализа полученных результатов преобразуем двухфазную модель, описывающую процессы формирования, распространения и взаимодействия периодической волны с неоднородной средой.

Описание распространения периодического по времени возмущения и'= и'(х,1) = и(х) ехр(ко1) в среде с периодической по пространству иеодно-

родностью а10(х) = а

1 + Е.пах5ш(*-^о)-

в линейном приближении сво-

дится к уравнению Матье

сЬс1

+ (Г| + 7СО524)« = 0,

где

, гог

£, = — - перес/

менная, пола1ающая период возмущающей функции равным л. Решения этого уравнения могут быть как ограниченными, так и неограниченно возрастающими. Выделение соответствующих областей параметров г| и у приводит к фазовой диаг рамме устойчивости Айнса-Стретта (рис. 9)

56 40

ГА" в

-24 -16 -в О в 76 24 32 АО

—-V

Рис 9 Фазовая диаграмма устойчивости Айнса-Стретга

Рассмотрим некоторые выводы о распространении волн в периодической среде, получаемые при анализе решения. Перемещаясь вдоль оси абсцисс, мы последовательно будем попадать в области, соответствующие полосам непропускания (не заштрихованные области) или пропускания (заштрихованные области) для возмущения. Если возмущение увеличивается, то положение разрывов между областями не меняется, но величина этих разрывов возрастает. Вне зон непрозрачности волна с соответствующим волновым вектором распространяется пространственно модулированной.

Оценивая значение у для рассматриваемой задачи, получим:

у~3(й2\0~*.

Для полученного значения у (в рассматриваемых диапазонах изменения частот) на рисунке 9 при возрастании о> от нуля (что равносильно возрастанию параметра т] от нуля), проходим из одной зоны пропускания волны в следующую зону пропускания (заштрихованная область) только через одну зону непропускания или разрушения волны (незаштрихованная область), что полностью соответствует участку уменьшения амплитуды на рис. 6. Показано, что количество зон пропускания (непропускания) определяется исходными данными задачи.

Таким образом, волны в периодически неоднородных средах могут распространяться только при определенных условиях Если длина падающей волны Х0 в два раза больше характерного масштаба неоднородности среды Хп, волна затухает. Физическое объяснение достаточно очевидно' из-за резонансного отражения (Х0=2Х„) даже от малых неоднородностей появляется встречная волна. Хотя такая отраженная волна слабая, но благодаря резонансу эффект вдоль координаты д; накапливается и возникает стоячая волна, т е на определенной длине вся энергия падающей волны ухолит в отраженную

Анализ распространения ударной волны в пузырьковой среде с переменным по направлению распространения волны газосодержанием приводит к аналогичным результатам При прохождении возмущения типа ступенька в среде с периодически изменяющимися характеристиками зона пропускания несколько видоизменяется за счет перекрывания областей пропускания.

Проанализированные данные соответствуют случаю ¡и = 0, <7 = 0, те отсутствию затухания

Численное моделирование распространения волны в периодически неоднородной среде при отличных от нуля параметрах // и ц не дали никаких качественно новых эффектов, т.е. картина затухания амплитуды распространяющейся в среде волны, как при наличии диссипации, так и при ее отсутствии, качественно не изменялась Действительно, в ряде работ, посвященных исследованию этого вопроса, показано, что при наличии затухания поведение коэффициента отражения как в зонах прозрачности, так и вне их качественно одинаково.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ:

1. В задаче о вынужденных колебаниях одиночного пузырька показано влияние

на характер колебаний начальных данных, свойств среды и вида внешнего

воздействия.

• в плоскости начальных данных для />т =0,9 атм., у=184 кГц численно показано существование трех типов решений;

• показана немонотонная зависимость стохастичности (фрактальной размерности сечения Пуанкаре) от скорости звука;

• определены сценарии перехода к хаосу при изменении скорости звука в жидкости и вязкости жидкости для некоторых частных случаев;

• при использовании вязкости и скорости звука в жидкости, как управляющих параметров, показано наличие гистерезиса;

• обнаружено, что в различных областях пространства управляющих параметров систем, возникают странные аттракторы, имеющие существен-

но различную степень хаотичности Данный факт определяется изучением таких характеристик системы, как фрактальная размерность странного аттрактора;

• численный анализ исследуемых моделей показал качественное изменение колебательных режимов при воздействии на пузырьковый осциллятор В рассматриваемой модели были обнаружены различные механизмы дестохастизации, то есть перехода системы в регулярный режим под воздействием некоторых внешних параметров. Явление параметрической дестохастизации выражается в том, что изменение периодическим образом одного из управляющих параметров системы приводит к смене хаотического движения регулярным решением типа предельного цикла. Причем разрушение странного аттрактора происходит только для определенной комбинации частот внешнего «двухчастотного» воздействия и по достижении амплитуды возмущающей силы некоторого порогового значения при фиксированной амплитуде основного возмущения Таким образом, показано, что наличие второй гармоники во внешнем поле может как порождать области стохастичности, так и «уничтожать» их.

2 В задаче о распространении нелинейных волн в газожидкостной среде с периодическим по пространству газосодержанием определены параметры распределения газосодержания, оказывающие максимальное влияние на распространение одиночного импульса и ударной волны Показано, что

• для одиночного импульса максимальное затухание происходит, когда пе-

риод неоднородности примерно равен двум полуширинам одиночного импульса;

• для ударной волны такой же амплитуды, как и солитон, максимальное

влияние на ее распространение оказывается при том же периоде неоднородности и выражается в стохастизации распределения давления за передним фронтом ударной волны;

• наличие периодичности распределения неоднородности в среде, в которой распространяется возмущение, приводит в линейном приближении к появлению областей неустойчивости, описываемых решениями уравнения Матье, что с физической точки зрения соответствует наличию зон пропускания и непропускания волны в среде.

ОПУБЛИКОВАННЫЕ РАБОТЫ

1. Байков В.А., Середа И.А. Нелинейные волны в газожидкостной среде с периодическим по пространству газосодержанием. // Научный семинар «Проблемы гидродинамики, надежности и прочности в современном трубопроводном транспорте» (тезисы докладов) Уфа ТРАНСТЭК, 1997.-С. 37.

2. Банков В А., Середа И.А Нелинейные волны в газожидкостной среде с периодическим по пространству газосодержанием // XXIII школа-семинар по проблемам механики сплошных сред (тезисы докладов) Уфа ТРАНСТЭК, 1997.-С. 41.

3. Банков В.А., Середа И.А Распространение нелинейных волн в газожидкостной среде с периодической по пространству неоднородностью. // Сборник трудов четвертого научного семинара СНГ «Акустика неоднородных сред». Новосибирск, 1997. - С. 34-42.

4. Байков В.А., Середа И.А. Распространение нелинейных волн в газожидкостной среде с периодической по пространству неоднородностью // Изв. АН СССР. МЖГ, 1998. № 5. - С. 107-113.

5 Середа И.А., Байков В.А. О хаотическом поведении пузырька газа в жидкости при периодическом внешнем воздействии в зависимости от параметров среды // Двенадцатая зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, 1999.-С.34.

6. Середа И.А. Влияние параметров неоднородности на вынужденные колебания одиночного пузырька газа в жидкости. // Сборник трудов пятого научного семинара СНГ «Акустика неоднородных сред» Новосибирск, 1999. - С. 67.

7. Байков В.А., Середа И.А. Влияние параметров среды и второй гармоники во внешнем периодическом воздействии на вынужденные колебания одиночного пузырька в жидкости. // Сборник трудов пяюго научного семинара СНГ «Акустика неоднородных сред». Новосибирск, 2001 -С 43

Середа Илья Александрович

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ И ХАОСА ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ПУЗЫРЬКОВЫХ СРЕДАХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 19.02.2004 г. Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура Times. Отпечатано на ризографе. Усл. печ. л. 1,39. Уч.- изд.л. 1,58. Тираж 100 экз. Заказ 117.

Редакционно-издательский отдел Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул Фрунзе, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул Фрунзе, 32

РНБ Русский фонд

2006-4 9828

15 MAP 2004

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ

1.1 Вводные замечания

1.2 Нелинейные колебания динамических систем 13 1.2.1 Краткий обзор исследований, связанных с возникновением стохастических и хаотических колебаний в различных колебательных системах.

1.3 Нелинейные волновые процессы.

1.4 Распространение возмущений в периодических средах. 22 1.4.1 Распространение волн в газожидкостной среде с переменным по направлению распространения волны газосодержанием

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛЕБАНИИ ОДИНОЧНОГО ПУЗЫРЬКА ГАЗА В ЖИДКОСТИ (СЦЕНАРИИ ПЕРЕХОДА К ХАОСУ В ПУЗЫРЬКОВОЙ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЕМОЙ УРАВНЕНИЕМ КЕЛЛЕРА-МИКСИСА)

2.1 Вводные замечания

2.2 Постановка задачи.

2.2.1 Выбор модели

2.2.2 Выбор методов исследования стохастичности системы

2.2.3 Обсуждение численных методов

2.3 Результаты численного моделирование и их обсуждение

2.3.1 Зависимость вынужденных колебаний пузырька от свойств среды

2.3.1.1 Вязкость.

2.3.1.2 Коэффициент поверхностного натяжения.

2.3.1.3 Показатель адиабаты.

2.3.1.4 Скорость звука в жидкости.

2.3.1.5 Обсуждение результатов численного исследования зависимости вынужденных колебаний пузырька от свойств среды 66 2.3.2 Зависимость вынужденных колебаний пузырька от вида внешнего воздействия

2.4 Выводы

ГЛАВА 3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН В ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СРЕДЕ С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ИЗМЕНЕНИЕМ ОБЪЁМНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ ГАЗА В СМЕСИ ВДОЛЬ

РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

3.1. Вводные замечания

3.2. Постановка задачи

3.3. Модельный расчёт для одиночной волны

3.3.1. Треугольная волна

3.3.2. Ударная волна типа ступеньки

3.3.3. Учет потерь энергии на межфазный теплообмен и вязкость.

3.4. Обсуждение результатов численного моделирования

3.5 Выводы

К 30-м годам прошлого века нелинейные задачи стали актуальными в акустике, физике твердого тела, статистической механике. Принципиально нелинейные задачи ставились практическими потребностями радиотехники, они возникали и в других прикладных областях физики и математики. Однако математические проблемы в столь различных областях физики и техники казались специфическими для каждой частной проблемы и несвязанными друг с другом. Тогда же было понято, что отсутствие аддитивного отклика физических систем на аддитивные воздействия является наиболее общей ситуацией в нелинейных системах, поэтому нелинейные проблемы из различных областей физики и техники оказываются очень сходными и требуют единого подхода к их математическому описанию. Среди физиков различных специальностей начало вырабатываться «нелинейное» мышление и разные области науки начали перенимать нелинейный опыт друг друга.

Актуальность темы.

Значительный интерес исследователей к проблемам и задачам механики газожидкостных сред обусловлен широким распространением таких систем в природе и их интенсивным использованием в современной технике. В настоящее время интенсивно изучается распространение волн различной природы в такого рода средах (акустика океана, оптика атмосферы, физика многофазных систем и т.п.). Для контроля различных технологических процессов в энергетических установках и аппаратах химической промышленности широко используются расчеты и измерения, связанные с распространением и поглощением волновых возмущений.

Актуальной задачей для многих областей современной науки является изучение неустойчивости при колебаниях одиночного пузырька и характера распространения нелинейных волн в пузырьковых средах. Так, например, в трубопроводном транспорте пузырьковая завеса с неравномерным распределением пузырьков по пространству может служить эффективным барьером для распространения ударных волн, возникающих в результате технологических процессов. Аналогичные задачи могут возникать в нефтедобыче и нефтепереработке. Обычно параметры таких сред подвержены сильным пространственно-временным возмущениям. Одной из областей, где в настоящее время достаточно интенсивно развиваются акустические технологии, является медицина (например: акустическое воздействие на опухоли, дробление камней, акустическая диагностика крови и др.). В этих задачах также достаточно значимыми факторами являются газосодержание и свойства тканей, насыщенных жидкостью.

Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена интенсивным использованием технологий, связанных с распространением и эволюцией волн в гетерогенных средах, необходимостью расширения и углубления теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в таких средах, следовательно, практической значимостью рассмотренных в работе проблем.

В представленной диссертационной работе исследуются нелинейные явления в колебательных и волновых процессах на примерах нелинейных колебаний пузырькового осциллятора во внешнем возбуждающем поле и динамики нелинейных волн в жидкости при прохождении через пузырьковую завесу. Изучение явлений в работе проводится в рамках механики многофазных систем с точки зрения динамического хаоса.

Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена интенсивным использованием технологий, связанных с распространением и эволюцией волн в гетерогенных средах, необходимостью расширения и углубления теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в таких средах, практической значимостью рассмотренных в работе проблем.

Основная цель работы состоит в исследовании характера вынужденных колебаний одиночного пузырька газа в жидкости в зависимости от начальных условий, свойств среды, вида внешнего воздействия и изучении влияния периодической неоднородности газожидкостных сред на распространение в них нелинейных волн.

Задача об усилении (гашении) нелинейных волн в пузырьковых средах рассматривалась подробно во многих работах, однако стохастизация фронта волны и ее затухание в средах с периодическим газосодержанием до настоящего времени изучены недостаточно. Наряду со сложным взаимодействием и отражением волны при прохождении неоднородности значимым фактором в данной задаче является стохастизация колебаний одиночного пузырька при акустическом воздействии в определенном диапазоне параметров среды. Таким образом, как для пузырьковой среды, так и для одиночного пузырька газа в жидкости необходим анализ причин возникновения и областей неустойчивости.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Анализ влияния начальных данных, параметров среды (вязкости, коэффициента поверхностного натяжения жидкости, показателя адиабаты для газа в пузырьках, скорости звука в жидкости) на характер вынужденных колебаний пузырька газа в жидкости;

2. Оценка влияния второй гармоники во внешнем сигнале на характер вынужденных колебаний пузырька газа в жидкости;

3. Определение по указанным параметрам области стохастичности и сценарии перехода к хаосу;

4. Исследование эволюции возмущений и провести анализ неустойчивости распространения нелинейных волн в пузырьковых средах с периодическим изменением газосодержания по направлению распространения возмущения.

Научная новизна

В работе поставлен и решен ряд новых задач нелинейной динамики, а также изучены закономерности распространения нелинейных волн при наличии в однофазных средах зон, содержащих гетерогенные среды в виде завес с учетом нелинейных эффектов. Исследовано влияние начальных данных, параметров среды, внешнего воздействия на устойчивость колебаний одиночного пузырька.

В работе показано, что

- для различных параметров среды определен диапазон внешних частот возбуждения пузырька, в котором реализуется стохастическое решение, определены сценарии перехода к хаосу при изменении скорости звука и вязкости э/сидкости, показано наличие гистерезиса по этим параметрам;

- показано, что наличие в периодическом внешнем воздействии второй гармоники может как порождать стохастические колебания, так и разрушать их;

- показано, что в задаче о вынужденных колебаниях одиночного пузырька в области гистерезиса при фиксированной частоте внешнего воздействия существует третий тип решения (помимо двух, являющихся следствием гистерезиса);

- показано, что наличие периодической неоднородности в пузырьковой среде, т.е. периодическое изменение газосодержания пузырьковой э/сидкости по направлению распространения волны, приводит к появлению зон пропускания и непропускания (существенного гашения сигнала) для периодического по времени возмущения.

Достоверность результатов обусловлена использованием методов механики сплошных сред при разработке моделей распространения возмущений в среде и их физической и математической непротиворечивостью в рамках физических законов. Результаты численного моделирования подтверждаются тестовыми расчетами, экспериментальными и теоретическими работами других авторов.

Практическая ценность

1. Полученные результаты позволяют определить параметры неоднородности газосодержания, обеспечивающие «максимальное» затухание одиночных (и ударных) волн;

2. Определены области частот и значения амплитуды для второй гармоники во внешнем акустическом поле, обеспечивающие «разрушение» и появление областей стохастичности;

3. Определены «граничные» значения вязкости жидкости, при которых реализуется стохастический режим колебаний, а также зависимость характера колебаний (стохастические или периодические) от других свойств среды;

4. Обоснована возможность использования в качестве «управляющих параметров» системы скорости звука и вязкости жидкости и показано наличие гистерезиса при изменении этих параметров.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

• IV семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», ИГиЛ, Новосибирск, 1996 г.

• семинар БашНИПИнефть, Уфа, 1996 г.

• семинар «Задачи гидродинамики в области добычи, транспортировки и переработки нефти», ИПТЭР, Уфа, 1998 г.

• V семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», ИГиЛ, Новосибирск, 1998 г.

• семинар «Задачи гидродинамики в области добычи, транспортировки и переработки нефти», ИПТЭР, Уфа, 1999 г.

• XII школа-семинар по механике сплошных сред. ИМ, Пермь, 1999 г.

• VI семинар СНГ «Акустика неоднородных сред», ИГиЛ, Новосибирск, 2000 г.

В ходе работы над диссертацией опубликовано 7 печатных работ [86, 96101].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений. Содержит 135 страниц, 40 рисунков, 1 таблицу и библиографию из 101 наименования.

3.5 Выводы

Эволюция нелинейных волн в газожидкостных средах с периодической по пространству неоднородностью существенно зависит от параметров неоднородности.

Наличие периодичности распределения неоднородности в среде, в которой распространяется возмущение, приводит к появлению зон пропускания и непропускания возмущения согласно уравнению Матье, полученному для рассматриваемой системы в первой главе диссертационной работы.

Показано, что при прохождении одиночным импульсом среды с периодом неоднородности, существенно большим или меньшим полуширины импульса, его амплитуда на контрольном (третьем) участке практически не отличается от амплитуды на первом. В случае, когда период неоднородности имеет порядок полуширины импульса, происходит затухание импульса за счет отражения от неоднородностей. При некоторых значениях периода неоднородности одиночный импульс неустойчив и распадается на одиночные нелинейные волны меньшей амплитуды. Короткие волны ведут себя как квазичастицы, поэтому их рассеяние определяется энергией связи квазичастиц в солитоне, которая существенно больше их кинетической энергии. Таким образом, для коротких волн, распространяющихся в среде с периодическим по направлению распространения газосодержанием, пузырьковая завеса препятствием практически не является, т.е. волна попадает в зону прозрачности. Вне зон непрозрачности волна с соответствующим к0 распространяется пространственно модулированной. Показано, что волны в периодически неоднородных средах могут распространяться только при определенных условиях. Когда длина падающей волны в два раза больше характерного масштаба неоднородности среды - «длины волны решетки», происходит существенное затухание волны, т.к. из-за резонансного отражения даже от малых неоднородностей появляется встречная волна. Несмотря на то что она слабая, тем не менее благодаря резонансу эффект вдоль координаты х накапливается и возникает стоячая волна, т.е. на определенной длине вся энергия падающей волны будет уходить в отраженную. При условии А0 =2Л„ (или вблизи области этого резонанса) прямая и встречная волны сильно связаны. Таким образом, зоны непрозрачности соответствуют волнам, рассеивающимся па пространственных гармониках неоднородности. а г

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В задаче о вынужденных колебаниях одиночного пузырька показано влияние на характер колебаний начальных данных и свойств среды.

• в плоскости начальных данных для Р, =0,9 атм., у=184 кГц численно показано существование трех типов решений, предсказанных аналитически: однопериодические колебания (на внешней или собственной частоте), стохастические колебания и Ы-периодические колебания (где N>2);

• показана немонотонная зависимость стохастичности (фрактальной размерности сечения Пуанкаре) от скорости звука;

• определены сценарии перехода к хаосу при изменении скорости звука в жидкости и вязкости жидкости для некоторых частных случаев;

• при использовании вязкости и скорости звука в жидкости, как управляющих параметров, показано наличие гистерезиса;

• обнаружено, что в различных областях пространства управляющих параметров систем, возникают странные аттракторы, имеющие существенно различную степень хаотичности. Данный факт определяется изучением таких характеристик движения, как фрактальная размерность странного аттрактора;

• численный анализ исследуемых моделей показал качественное изменение колебательных режимов при воздействии на пузырьковый осциллятор. В рассматриваемой модели были обнаружены механизмы дестохастизации, то есть перехода системы в регулярный режим при незначительном изменении вида внешнего воздействия. Причем разрушение странного аттрактора происходит только для определенной комбинации частот внешнего «двухчастотного» воздействия и по достижении амплитуды возмущающей силы некоторого порогового значения при фиксированной амплитуде основного возмущения. Таким образом, показано, что наличие второй гармоники во внешнем поле может как порождать области стохастичности, так и «уничтожать» их. 2. В задаче о распространении нелинейных волн в газожидкостной среде с периодическим по пространству газосодержанием определены амплитуда и период пространственного распределения газосодержания, оказывающие максимальное влияние на распространение одиночного импульса и ударной волны. Показано, что

• для одиночного импульса максимальное затухание происходит, когда период неоднородности примерно равен двум полуширинам одиночного импульса;

• для ударной волны (той же амплитуды) максимальное влияние оказывается при том же периоде неоднородности и выражается в стохастизации распределения давления за передним фронтом ударной волны.

Показано, что распространение нелинейных волн в пузырьковой среде с переменным по направлению распространения волны газосодержанием определяется несколькими факторами. А именно, характеристики прошедшей через пузырьковую среду волны определяются

• размерами волны (длиной волны) относительно периода неоднородности (в рассматриваемом случае - концентрации).

• способностью пузырька к переизлучения , т.к. важную роль в создании профиля и определении характеристик прошедшей волны играют осцилляции пузырька во внешнем поле. Солитон, ударная волна или любое внешнее возмущение создают определенный спектр возмущающего воздействия, который в свою очередь определяет характер колебания пузырька во внешнем поле: либо хаотические - в этом случае направленное переизлучение волны отсутствует, либо периодические (квазипериодические), сопровождающиеся переизлучением волны.

Наличие периодичности распределения неоднородности в среде, в которой распространяется возмущение, приводит к появлению зон пропускания и непропускания возмущения согласно уравнению Матье, полученному автором для рассматриваемой системы.

В свою очередь наличие хаотичности или периодичности (квазипериодичности) колебаний пузырька определяет характер переизлучения.

Эти эффекты и определяют эволюцию волнового возмущения (солитона или ударной волны) при распространении этого возмущения в пузырьковой среде.

Результаты диссертационной работы изложены в статьях и тезисах [86,96-102].

1. НеГшарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1987. - 424 с.

2. W.Knop, W.Lauterborn. Bifurcation structure of the classical Morse oscillator // J.Chem.Phys., vol. 93, № 6, September, 1990, pp.3950-3954.

3. U.Parlitz, W.Lauterborn. Period doubling cascades and devil's staircases of the driven van der Pol oscillator // Phys.Rev. A, vol. 36, № 3, August, 1987, pp.1428-1432.

4. R.Mettin, U.Parlitz, W.Lauterborn. Bifurcation structure of the driven van der Pol oscillator // International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 3, № 6, 1993, pp.1529-1555.

5. V. Englisch, W. Lauterborn. Regular window structure of a double-well Duffing osillator // Phys.Rev. A, vol. 44, № 2, July, 1991, pp. 1428-1432.

6. Шарковский A.H. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя. // Укр.мат.журнал.- 1964.- Т.26, № 1.-С.61-71.

7. U.Parlitz, C.Scheffczyk, T.Kurz, W. Lauterborn. On modeling driven oscillators by maps. // International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 1, № 1, 1991, pp. 261-264.

8. U. Parlitz, V. Englisch, C. Scheffczuk, W. Lauterborn. Bifurcation structure of bubble oscillators // J. Acoust. Soc. Am., v.88, № 2, 1990, pp. 1061 -1077.

9. Keller J.В., Miksis M. Bubble oscillations of large amplitude. // J.Acoust.Soc.Am., v.68, № 2, August, 1980, pp. 628 633.

10. Knapp R.T., Daily J.W., Hammit G.F. Cavitation. New York: Mc Grow -Hill, 1970.

11. W. Lauterborn. Numerical investigation of nonlinear oscillations of gas bubbles in liquids. //J. Acoust. Soc. Am., v. 59, February, 1976, pp.283-293.

12. A. Prosperetti. A new mechanism for sonoluminecence. //J.Acoust.Soc.Am., v. 101, № 4, 1997, pp. 2003 2007.

13. K.Geist, W. Lauterborn. The nonlinear dynamics of the damped and driven Toda chain. I. Energy bifurcation diagrams. // Physica D., v. 31, 1988, pp. 103116.

14. K.Geist, W. Lauterborn. The nonlinear dynamics of the damped and driven Toda chain. II. Fourier and Lyapunov analysis of tori. // Physica D., v. 41, 1990, pp. 1-25.

15. K.Geist, W. Lauterborn. The nonlinear dynamics of the damped and driven Toda chain. III. Classification of the nonlinear resonances and local bifurcations. //Physica D., v. 52, 1991, pp.551-559.

16. U.Dressier, W. Lauterborn. Rulle's rotation frequency for a symplectic chain of dissipative oscillators. // Phys. Rev. A, v. 41, № 12,1990, pp.6702-6715.

17. W.C.Moss. Understanding the periodic driving pressure in the Rayleigh-Plesset equation. //J.Acoust.Soc.Am., v. 101, № 2, February, 1997, pp.1187-1190.

18. C.Scheffczyk, U.Parlitz, T.Kurz, W.Knop, W. Lauterborn. Comparision of a bifurcation structures of driven dissipative nonlinear oscillators. // Phys. Rev. A,v. 43, № 12, 1991, pp.6495-6502.

19. W.Lauterborn, E.Cramer. Subharmonic Route to Chaos Observed in Acoustics. // Phys. Rev. Let., v. 47, № 20, November, 1981, pp. 1445-1448.

20. Yu.A.Kobelev, L.A.Ostrovsky. Nonlinear acoustic phenomena due to bubble drift in a gas-liquid mixture. // J.Acoust.Soc.Am., v. 85, № 2, February, 1989, pp.621-629.

21. A.Guarino, A.Garcimartin, S.Ciliberto. An experimental test of the critical behaviour of fracture precursors. // Eur.Phys.J. B, v. 6, 1998, pp. 13-24.

22. W.Lauterborn, J.Holzfuss. Acoustic chaos. // International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 1, № 1, 1991, pp. 13-26.

23. H.-Y.Kwak, H.Yang. An Aspect of Sonoluminescence from Hydrodynamic Theory. // J. of the Phys.Soc. of Japan, vol. 64, № 6, June, 1995, pp. 1980-1992.

24. M.P.Brenner, D.Lohse, D.Oxtoby, T.F.Dupont. Mechanisms for Stable Single Bubble Sonoluminescence. // Phys.Rev.Let., vol. 76, № 7, February, 1996, pp. 1158-1161.

25. D.Lohse, M.P.Brenner, T.F.Dupont, S.Hilgenfeldt, B.Johnstone. Sonoluminescence Air Bubbles Rectify Argon. // Phys.Rev.Let., vol. 78, № 7, February, 1997, pp. 1359-1362.

26. A.Prosperetti. A new mechanism for sonoluminescence. // J.Acoust.Soc.Am., vol. 101, № 4, April, 1997, pp. 2002-2007.

27. ИлъичевВ.И., Корец B.JI., Мельников Н.П. Излучение одиночного неподвижного пузырька. // Акустический журнал, т. 40, № 2, 1994, стр. 253-261.

28. Г.М.Заславский, Р.З.Сагдеев, Д.А.Усиков, А.А.Черников. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, Физматлит, 1991. 240 с.

29. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. -М.:Наука, 1988.-240 с.

30. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.:Наука, 1984. -271 с.у 31. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.-528 с.

31. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Intraction of solitons in a collisioness plasma and reccurence of initial states. // Phys.Rev.Lett., 1965. Vol.15, №6. P. 240-242.

32. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн: учебное пособие. -М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1984.-432 с.

33. Косевич A.M., Ковалев A.C. Введение в нелинейную физическую механику. Отв.ред. Боровик А.Е. АН УССР, Физ.-тех.инст. низк. темп. -Киев: Наук.думка, 1989.-304 с.

34. Солитоны. Редакторы Р.Буллаф, Ф.Кодри. Пер. с англ. под ред. С.П. Новикова. М.:Мир. 1983. - 408 с.

35. Нелинейная теория распространения волн. Пер. с англ. под ред. Г.И. Баренблатта.-М.:Мир. 1970.-231 с.

36. Андронов A.A., Bumm A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.:Наука. 1981.-568 с.

37. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.-175 с.

38. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов.радио, 1977. 368 с.

39. УиземДж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 622 с.

40. Бакай A.C., Степановский Ю.П. Адиабатические инварианты. Киев: Наук, думка, 1981.-238 с.

41. Петвиашвши В.И., Похотелов O.A. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 200 с.

42. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. ИЛ, 1959.

43. Найфэ А. Введение в методы возмущений. — М.: Мир, 1984. — 535 с.

44. Бреховских JJ.M. Волны в слоистых средах. -М.: Наука, 1973.

45. Бреховских Ü.M., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука. Гл.ред.физ-мат.лит., 1989. 416 с.

46. Ахромеев Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский A.A. Двухкомпонентные диссипативные системы в окрестности точки бифуркации. В сб.: Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.:Наука, 1986. 312 с.

47. Сборник «Акустика океана» /Под ред. Дж. Де Санто. Пер. с англ. Под ред. Ю.А.Кравцова.-М.: Мир, 1982.

48. Акуличев В.А., Буланов В.А. О влиянии гетерофазных флуктуаций на кавитационную прочность и нелинейный параметр жидкостей. В сб. «Морские технологии». Владивосток: Дальнаука, 1996, с. 148-168.

49. Буланов В.А. Акустическая спектроскопия при нелинейном нестационарном рассеянии звука. В. сб.: «Акустика неоднородных сред». Вып.112. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО РАН, 1977, с.77-82.

50. Боголюбов H.H., Митропольский ¡O.A. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматгиз, 1963.-410 с.

51. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1965. - 203 с.

52. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1969.-377 с.

53. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. -М.:Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1986. (Совр.пробл.физики).-256 с.

54. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика (Основные положения, точные результаты и асимптотичесие приближения). М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 528 с.

55. Лике Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. (Формулы, графики, таблицы)./Пер. с нем. Под ред. Л.И. Седова. М.: Наука. Гл.ред.физ-мат.лит., 1968. 344 с.

56. Абрамович М, Стригап И. Справочник по специальным функциям./ Пер.с англ.под.ред. В.А.Диткина и Л.Н.Карамзиной . М.:Наука, 1979.1. C.832.

57. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:Наука, 1973.

58. Ахатов И.Ш., Байков В.А., Бажов Р.А. Распространение нелинейных волн в газожидкостных средах с переменным по пространству газосодержанием // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. № 1. с. 180-183.

59. A. Prosperetti. Bobble phenomena in sound fields: part one "Ultrasonics", 22, 69, 1984.

60. W. Lauterborn, U. Parlitz. Methods of chaos physics and their applications to acoustics .// J. Acoust. Soc. Am. 84 (6), 1975 1992, 1988.

61. Лоренц Э.Н. Детерминированное непериодическое движение. // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. С. 117-151.

62. Gerber М. The Analysis of Chaotic Time Series from Experimental Data: an Introduction. // In: Differential Equations and Chaos. Lectures on Selected Topics. Edit.by N.H.Ibragimov. New Age International (P) Limited, Publishers. 1996.- 123-164 p.p.

63. Farmer J.D., Ott E., Yorke J.A. The dimension of chaotic attractors. // Physica

64. D, 1983, v.7,№l-2,p. 153-180.

65. Grassberger P., Procaccia I. Measuring the strangeness of strange attractors. // PhysicaD, 1983, v.9, №1-2, p. 189-208.

66. Хенон M. Двумерное отображение со странным аттрактором. // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981, с. 152-163.

67. Moon F.C. Chaotic and Fractal Dynamics. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley and Sons, Inc., 1992. 408 p.

68. Паркер T.C., Чжуа JJ.O. Введение в теорию хаотических систем для инженеров. // ТИИЭР, т.75, № 8, август 1987, с. 6-40.

69. Паркер Т.С., Чжуа И.О. INSITE программный инструментарий для анализа нелинейных динамических систем. // ТИИЭР, т.75, № 8, август 1987, с. 113.

70. Ott Е., Grebogi С., Yorke J.A. Controlling chaos. // Phys. Rev. Lett., 1990, v. 64,№ 11, p.l 196-1207.

71. Кедринский B.K. Гидродинамика взрыва: эксперимент и модели. Новосибирск: Изд. СО РАН. 2000. - 435с.rf 74. Иорданский С.В. Об уравнениях движения жидкости, содержащейпузырьки газа // ПМТФ. 1960. № 3.

72. Когарко Б.С. Об одной модели кавитирующей жидкости // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137, №6.

73. Когарко Б.С. Одномерное неустановившееся движение жидкости с возникновением и развитием кавитации // Докл. АН СССР. 1964. Т. 155, № 4.

74. Van Wijngaarden L. On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles//J. Fluid Mech. 1968. V. 33. P. 465-474.

75. Van Wijngaarden L. One-dimensional flow of liquids containing small gas bubbles. // In: Anna.Rev.Fluide Mech. V.4. Palo Alto, Calif., 1972. Pp. 369-396.

76. Ван Вингаарден JI. Одномерные течения жидкости с пузырьками газа. -В кн.: Реология суспензий. М.:Мир, 1975, с.68-103.

77. Кедринский В.К., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Шокин Ю.И. Усиление ударных волн при столкновении и фокусировке в пузырьковых средах // ДАН, 1998. Т. 361, № I.e. 41-44.

78. Нигматуллин Р.И. Основы механики гетерогенных сред М.: Наука, 1987.

79. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1. М.: Наука, 1987. 360с.

80. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. ч.2. М.: Наука, 1987. 360с.

81. Губайдуллин A.A., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И. Исследования нестационарных ударных волн в газожидкостных смесях пузырьковой структуры. // ПМТФ, 1978, №2, с. 78-86.

82. Губайдуллин A.A., Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И, Хабеев Н.С. Волны в жидкости с пузырьками. // Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.:ВИНИТИ, 1982, т. 17, с.160-249.

83. Байков В.А., Середа И.А. Распространение нелинейных волн в газожидкостной среде с периодической по пространству неоднородностью. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1998. № 5. с. 107-113.

84. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Распространение волн в газо- и парожидкостных средах. Новосибирск: Институт теплофизики СО АН СССР, 1983.-237 с.

85. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоатомиздат, 1990. 237 с.

86. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 694 с.

87. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. -237 с.

88. Солитоны. Редакторы Р.Буллаф, Ф.Кодри. Пер. с англ. под ред. С.Г1. Новикова. М.:Мир. 1983. - 408 с.

89. Нелинейная теория распространения волн. Пер. с англ. под ред. Г.И. Баренблатта. М.:Мир. 1970.-231 с.

90. Kapmiau В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973.-175 с.

91. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов.радио, 1977. 368 с.

92. УиземДж. Линейные и нелинейные волны. -М.: Мир, 1977. 622 с.т'

93. Байков В.А., Середа И.А. Распространение нелинейных волн в газожидкостной среде с периодической по пространству неоднородностью. // Сборник трудов четвертого научного семинара СНГ «Акустика неоднородных сред», Новосибирск, 1997. С. 34-42.

94. Середа И.А., Байков В.А. О хаотическом поведении пузырька газа в жидкости при периодическом внешнем воздействии в зависимости от параметров среды. // Двенадцатая зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, 1999.-С.34.

95. Середа И.А. Влияние параметров неоднородности на вынужденные колебания одиночного пузырька газа в жидкости. // Сборник трудов пятого научного семинара СНГ «Акустика неоднородных сред», Новосибирск, 1999.-С. 67.