Исследование обратных задач и автомодельных решений уравнения Шредингера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АБРАМОЧКИН ЕВГЕНИИ ГРИГОРЬЕВИЧ

41

На правах рукописи

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ М АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

САМАРА - 1996

Работа выполнена в Самарском государственном университете и Самарском филиале Физического института им.П.Н.Лебедева Российской Академии Наук.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор В.А.СОБОЛЕВ

кандидат физико-математических наук старший научный сотрудник В.Г.ВОЛОСТНИКОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н.В.КИСЛОВ

кандидат физико-математических наук

А.А.АНДРЕЕВ

Ведущая организация:

Московский государственный университет

им.М.В.Ломоносова

Защита диссертации состоится ( Ч марта 1996 г, в )т час. на заседании диссертационного совета К 113.17.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Самарском государственном педагогическом университете по адресу: 443043, г.Самара, ул. Антонова-Овсеенко, 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного педагогического университета.

Автореферат разослан 14 февраля 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

В.А.НОСОВ

Общая характеристика работы

.)

Актуальность ус мм. Уравнение Шредиигера составляет основу квантовой механики и когерентной оптики. В квантово-механической ситуации уравнение Шредиигера описывает эволюцию квантово-мехацических систем во времени, а в когерентной оптике - изменение светового поля при распространении.

Известна фазовая проблема в оптике, состоящая в восстановлении распределения комплексной амплитуды когерентного светового ноля по распределению его модуля. Математически фазовая проблема и оптике сводится к задаче определения финитной функции по модулю ее преобразования Френеля. Однако, как правило, решение отой задачи осуществляется чисто итеративными методами и актуальным является поиск аналитических связей, решающих фазовую проблему. Исследованию этого вопроса для световых полей, описываемых уравнением Шредиигера, посвящена первая глава диссертации.

Автомодельные решении уравнения Шредиигера имеют особое значение как для квантовой механики, так и для когерентной оптики в связи с тем, что в квантовой механике они описывают стационарные состояния квантовой системы, а в когерентной оптике им соответствуют формируемые в лазерах световые пучки. При этом наборы автомодельных решении, получаемых в рамках декартовой и полярной систем координат, обладают различной симметрией. С точки зрения оптики представляет интерес возможность трансформации лазерных пучков с одним типом симметрии в другой. Математически ога проблема сводится к поиску интегральных преобразований, осуществляющих отображение одного класса автомодельных решений в другой. Поиску и исследованию таких преобразований посвящена вторая глава.

Обычно в задачах, связанных с уравненном Шредиигера, антомодель-ность понимается как сохранение структуры решения при изменении но времени или пространстве. Однако, в оптике растет интерес к расширению типов автомодельное™ и поиску решений, эволюция которых не сводится к изменению масштаба. В третьей главе найден новый тип автомодельных решений уравнения Шредиигера, эволюция которых описывается не только изме-

пением масштаба, но и вращением. В физике лазеров результаты главы явились основой оптики т.н. спиральных пучков.

Цель работы. Нахождение аналитических зависимостей между модулем и аргументом комплекснозначных решений уравнения Шредингера, исследование различных типов автомодельных решений уравнения Шредингера и связей между ними.

Методы исслелопаиия. В работе используются методы теории уравнений в частных производных, функционального анализа и теории аналитических функций.

Научная новизна. Впервые получены явные аналитические связи между аргументом и фазой комплексной амплитуды одномерного уравнения Шредингера. Исследована связь между модулем и аргументом решения двумерного уравнения Шредингера и показано, что задача сводится к нахождению плоского векторного поля по его ротору и дивергенции. Для безвихревых решений получена явная аналитическая связь между модулем и аргументом. Найдено интегральное преобразование, устанавливающее взаимосвязь между классами функций Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса. Доказан ряд новых теорем о свойствах автомодельных решений. Найдено новое семейство автомодельных решений уравнения Шредингера (спиральные пучки), сохраняющее распределение модуля при эволюции с точностью до масштаба и вращения.

Теоретическая и практическая неппость. Полученные новые связи между классами специальных функций могут быть использованы при решении различных математических задач. Найденные закономерности взаимных преобразований различных классов автомодельных решений применяются при разработке методов и систем формирования лазерных пучков с заданными характеристиками. Ряд практических результатов работы защищен авторскими свидетельствами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на XVII (1985 г.), XVIII (1087 г.) и XX (1990 г.) Всесоюзных школах по голографии и когерентной оптике, XXIII (1994 г.) и XXIV (1996 г.) Российских школах по голографии и когерентной оптике, на Всесоюзном совещании "Компьютерная оптика" (1990 г.), на 8-й Международной конференции "Оптика лазеров"

(1995 г.), на семинарах академика А.Н.Тихонова (ВМиК МГУ), на семинаре лаборатории им.Ландсбсрга и на семинарах ФИАН.

Личный пклая и публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, в том числе 2 авторских свидетельства. Основные результаты получены автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем 100 страниц, в том

числе 30 рисунков. Библиография содержит 47 наименований.

Содержание работы

Во пчедепин показана актуальность темы, сформулированы цель работы и защищаемые положения.

В <541.2 первой главы описана постановка фазовой проблемы в оптике как задачи определения комплекснозначного решения уравнения Шредин-гера F(х,у) по интенсивности этого решения, которое определяется как I(x,y)=\F(x,y)\2, и дан краткий анализ современного состояния фазовой проблемы в оптике.

В §3 теоретически исследуется задача восстановления одномерного светового поля по измерениям интенсивности 1(х,1) и ее производной вдоль распространения излучения Ii(x,l) при некотором !=const. Поле F(x,l) описывается уравнением Шредингера d2F „., dF

—г + 2i к —

ах2 ai

Подстановка F(x,l) = ф(х,1) exp(i<p(.r,!)) и разделение вещественной и мнимой

частей в (1) дает дифференциальную связь фазы <р(х,1) и интекси«шос*и Цх,1) в виде

.о.

дх{ дх) dl ^ '

Решение (2) имеет вид

9(a;) = (p(a)-fcjAj/l(t)dx+cj|i, (3)

2 + 2ik —- = 0. (1)

| Ь1(г, 1)йг = 0, где Ь * + 2Л (5)

^ л? ж

где для нахождения нетривиальной константы с требуется знание д<р/дх в некоторой точке х0. Аналитическое продолжение Р(г,1) полп Г(х,1) удовлетворяет комплексному аналогу уравнения (1):

+ = (4) Эгг 5!

Показывается, что аналитическое продолжение интенсивности 1(г,1)=Г(г,1) xF(z, I) удовлетворяет условию

дг2 дГ

2ьг2 - любая пара нулей аналитического продолжения ¥(г,1) при- фиксированном Ы0. Тогда инвариант (5) дает возможность выделения нулей функции Р(г,10) из пар нулей (гт,гт) аналитического продолжения интенсивности 1(г,10). Использование в качестве граничной точки х0 вещественной координаты нуля аналитического продолжения К(г,!о) позволяет получить необходимую константу с из измерений интенсивности в виде

с (6)

Это решает поставленную задачу и дает аналитическую формулу связи интенсивности и фазы одномерного решения уравнения Шредингера. Для проверки работоспособности метода, основанного на результатах (3,6) были проведены численные эксперименты восстановления модельного поля по интенсивности. Установлено удовлетворительное согласие с результатами (3,6).

В §4 изложены основные результаты по решению двумерной фазовой проблемы в рптике. Отмечается, что .

1. до сих пор не найдено аналитических способов восстановления двумерных световых полей общего вида по измерениям интенсивности. Поэтому, основными методами, дающими практические результаты, являются к настоящему времени итерационные;

2. не вполне ясна природа различия неединственности для одномерной и двумерной фазовых проблем.

Для выяснения различий между одномерной и двумерной постановками фазовой проблемы п 55 теоретически исследуется двумерный аналог задачи, исчерпывающее решение которой получено в §3, а именно задача определе-

ния комплекснозначного решения Г(т,у,1) двумерного уравнения Шредингера по измерениям его модуля. Рассмотрение показывает, что источником основных различий в решении одномерной и двумерной фазовых проблем является вихревой, в общем случае, характер векторного поля

Для безвихревых полей (т.е.' У/х^^е0) получена явная аналитическая связь интенсивности 1(х,у,10) и ¡р(х,у,10) решения уравнения Шредингера:

R2

г (t. \ (^-^'У-Л) , . ./р \ (У-ЧД- ^)

(7)

Для ротора вектора } получен закон его сохранения:

Л гоЦ у)йхв.у = 0, !<<■)

К2

где скалярная функция гоЩ определяется равенством

rot j,2^9"5" дм dtA _ 1 f di dtp д! ЭдЛ 0 к ду ду дх) к ду ду дх J

Здесь u(x,y)=neF(x,y,l0), v(x,y)=lmF(x,y,l,¡).

Наиболее характерным проявлением вихревой природы вектора j лплл-

ются изолированные невырожденные нули интенсивности. Строго покапано,

что, если 1(хо,уо)-0 и VJfxo.yoJ/O, то

| ttp dr= 2л sign rot0j(.r0, y0), (9)

L

где L - контур, охватывающий только один нуль интенсивности.

Таким образом, устанавливается связь между вихревой природой вектора j и изолированными нулями решения F(x,y,l) уравнения Шредингера.

Приводятся результаты численных и натурных экспериментов, иллюстрирующих вихревые свойства вектора j.

В §6 на конкретном примере демонстрируется использование результатов, полученных при исследовании двумерной фазовой проблемы в оптике, для задач формирования решений уравнения Шредингера с заданной структурой модуля, именно в задаче фокусировки лазерного излучения в окружность. Найдено новое решение данной задачи фокусировки, которое имеет вихревой характер и является преобразованием Френели от функции exp(i<p(x,y)), где функция <р(х,у) описывается выражением

Ф" * !/") кг, Г.;----г . . .

, и) - - -- ------н- \/х- -I у2 + тагй(х + .у). (10)

"'и 'и

.Чдеп. - радиус окружное™ фокусировки, т - целое число, отличное от нуля Существенно, что данное не может быть найдено методом стационарной фа.чи Приводятся результаты численных и натурных экспериментов по фок/,.-правке получения в окружность.

Ип!!М>!_Ш1Ш! посвящена исследованию интегральных преобразований

'11та Фурье автомодельных решений уравнения Шредингера. П_§1 даны

необходимые определении и описано свойство структурной устойчивости к преобразованию Френеля известных автомодельных решений уравнении Шредингера: функции Эрмита-Гаусса

,„<■>■.!/) ехр(-хг - у2)11п(^х)Нт(Щ при п,т = 0,1,... (11)

I! .Лап рра-Гаусса

-'„ .„(х, у) - ехр(-хг - |/2)(.е ± ¡у)т1/™(2хг + 2уг) при п,т = 0,1,..., (12)

коюрые иыражаклся через многочлены Эрмита и Лагерра, соответственно. Ц_§2 исследуются интегральные преобразования вида

_ Дсхр(-1(а-4 + у>1) + 1Ч;(41л,-а,а))/Й111)а^п. (13)

К2

где 5,ЧА,а)-а{{~1--1]~)со$'1и+'11;1рт2а] и с/С.т(х,у) или /(¿¡,г])=^„(х,у).

Получены новые соотношения между этими Двумя классами автомодельных решении В частности, доказаны следующие теоремы. Т1;Ш>ег!'.! X Для всех п,т=0,1,...

\\ е.ХрН^ + уч) =

К"

- и"

С •" )

..VI.......ч/г еХр

\

¡4' (х, у, а, а) ■1(1 + а2) ^

(14)

+ ш)'.....Ч(1 -ш)к соь"~к а аР1"-к-"'->')(-сов2а) х

к - (I

к -У(,

■1-1.1

хсо:;и+уыпи усоза-хБта

2\А + а2 ' 2 \ZTTa2

где ['¡.'' ''(1) - многочлены Якоби.

Т±'1>1'С5!.а.2. Преобразование Фурье с весовой функцией ехр(21£//) переводит класс функции Эрмита-Гаусса в класс функций Лагерра-Гаусса:

Рис.1. Экспериментальные распределения интенсивности функций сУ^л{х,у) л ^л(х.у). , .

|| ехр(-1(.т£, + уц) + = (-1)" ехр(- { ¡ху) х

На рлс.1 приведен один из случаен преобразования (15), реалпоовапный экспериментально.

Следствием теорем являются новые соотношения между многочленами Эрмита, Лагерра и Якоби п виде конечных сумм. Слсдстпне 1.

: т, (15)

Хсоз"-"а з1пм-каР}?-к-ю-к>(-соз2а)11п.п_к(Х)Нк(у),

к =

- Нп (х соя а + у а)//т(х вт и - у соби). Слслстпис 2. Для всех п,т=0,1,...

п + т

^(21)кР}Г-к-т-к\0)Н„п_к(х)Нк(У) = 2"*т х

1с-О

[(-1)'"' ш!(х -I- ¡у)" (-Г* + У') при 71 ^ т,

[(-1)" - ¡у)'""^," ""(х" I- !Г) при п < Слслстпис 3.

(16)

(17)

ж „

£ (-2)4! Ркп-к'т-к)(0)ц;т-2к(х2 + у2)х к~0 (18)

х((х + гуГт-2к + И)> - «у)"+м-,к) = ¡тЯп(х)Нт(у).

Если п,т четны, то последнее слагаемое в данной сумме нужно разделить пополам.

В <53 исследуется более общая задача о свойствах решений уравнения Шре-дингера, структурно устойчивых к преобразованиям типа Фурье. При этом доказаны следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть а0=сопз1. Если Р(х,у,а,а0), определяемая равенством (13), структурно устойчива к изменениям параметра аеН в смысле

F{x, у, а, а) = ехр

П|;(х,у,а,а0)

G,(a)G:

2Vl + a2 '2V1 +

lb")'

(19)

4(1 + а2) ]

где О^г - некоторые функции, то множество Ы1 всех функций пред-

ставимо в виде

(20)

n = mnx(0,k)

где сп - произвольные комплексные константы и к - фиксированное целое число. Таким образом, каждая функция f(^,rj)eo/lf порождает комплексное поле F(x,y,a,a{i), интенсивность которого при изменении параметра а меняется только в масштабе. Следствие. Если f(^,r])eто

JJexp(-i(K4 + yn) + iv(^,n.l.tio+in))/(^n)^cii1 , (21)

является радиально-симметричной функцией.

Теорема 2. Пусть o0=const. Если F(x,y,a0,a) структурно устойчива к изменениям параметра аб[0,я] в смысле

\

У, a0.a)

F(x, y,a0, а) = ехр

Gi(a)Gj(xcosa + ysina,ycosa - xsina),(22)

4(1 + a02)

где Gi,G2 - некоторые функции, то множество оЖвсех функций /(£,'/) пред-ставимо в виде

где cT1 - произвольные комплексные константы и к - фиксированное ц> i ■■ число. Таким образом, каждая функция ¡¡)ar- ï иарпжц;ич комплексно.- но ле F(x,xj,afj,a), интенсивность которого при изменении параметра с только ни ворачивается относительно начала координат.

Теорема 3. Если В'(х,у,а,0) структурно устойчива к иагепеиням ппрпч'мра ( \

JP — gjl _ ÇJÇ I

aeR, то функция F , . , ', -,a,0 Для любого сп(-1,1 ) также структур-

Ul-c2 Vi - с2 J

но устойчива.

Приводятся результаты численных экспериментов.

В главе 3 проводится поиск и исследование новых автомодельных pfl шений уравнения Шредингера, а именно рассматривается следующий вопрос: существуют ли (и, если да, то какие именно) решения F(x,y,l) уравнения Шредингера (1.1.1), интенсивность которых при изменении I сохраняет срою структуру с точностью до масштаба и вращения.

Структура искомых автомодельных решений определяет,';! гл-.ivi..ium:"' докапанными п_§1 теоремами.

Теорема 1. Пусть F(x,y,l) - автомодельное решение урппгния П!; •>тгн' р интенсивность которого 1(х,у,1) сохраняет свою структуру с ш'мк'ни " масштаба и вращения и при некоторых С>О, Л>0, сг>_2 на пача -юн'i о а" кости ¡=0 удовлетворяет неравенству Цх, у, 0) Ü С ехр(-л(Ь|а + ¡!/|a )) для всех (x.yjeR2. (21 )

Тогда аналитическое продолжение по переменным х.у ф\пенни h г ь Ч ' целая функция второго порядка роста и а= 2. В частности, не сущгсгнуег автомодельных решений, интенсивность которых убывает быстрее iay<vepo'"< функции ехр(-Л(ж2 1-у2)).

3'cojLeMa__2. Если F(x,y,l) - автомодельное решение уравнения !Пр'"н"п<■■, интенсивность которою !(х,у,1) сохраняет свою структуру " !<••№ •• !;.•>» •"•

масштаба и вращения и удовлетворяет неравенству (21), то F(.r.!j,ll -ij.......>

вимо в виде

F(x,y,l) = -щF0(X, Y)exp(j \kd{l)d'(l)(x2 + У2) + iY(Z)), (25)

где X + ¡У - (х + iy)e'°il>/d(l), вещественные функции d(l), 6(1) и ){1) определяют соответственно масштабную расходимость, вращение и фазовый набег решении F(x,y,l) и F0(X,Y) допускает аналитическое продолжение до целой функции второго порядка роста.

В §2 дано полное описание автомодельных решений, представимых в виде (25) - они были названы спиральными пучками света, а также найдены функции масштабирования d(!j=|o|, вращения ¿(IJ^argа и фазового набега M^argcr, где a=\+2\l/kpi, p=const. Показано, что данная задача сводится к решению уравнения в целых числах. Семейство всех спиральных пучков света, таково:

1. Если 00 иррационально, то '2il(x2+y2)

f(x, y,l) = ртехр

N

fcp«|af

i(2n0 +|m0| + l)arga

v f-2L JL

(26)

где и0,7П0 - произвольные целые числа, причем по неотрицательно. 2. Если ^=0, то

'Щхг+уг)

F(x, у,1) = — ехр

М

I

[n/2] п = 0

рМ

■pn)

— i(W + l)arga

(27)

где сп - произвольные комплексные константы, //=0,1,... и [ДО/2] - целая часть числа ДО/2. 3. Если '¿¡,=1, то

'2И{хг +у2)

fix, у, I) = рт ехр

' И

кр4М2

N

■ ¡(2ДО + l)arga

(28)

^т = 0 т = 1 /

где Х+\У-(х+1у)/ра, а =\-2И/кр1. В частности, при ДО=0 представление (28) можно переписать в виде

а I Р М Рст

где f(z) - произвольная целая функция, такая что F(x,y,l)eL2(R2)-

Гис.2. Теоретические распределения интенсивности (а), фазы (Ь) спирального пучка в форме границы правильного треугольника и распределение интенсивности (с), полученное при его экспериментальной реализации.

4. Если О0--1, то

f(x, у, 0 = 7-7 ехр

PI

2 ü(x2 + y2)

kpVl'

f » ЛГ

* 2 № Y)+ZУ)

¡(2 N + 1) arg ст

(30)

F(x,y,l) = — ехр --

x2 +y2 ) 1 x + iy

ел i)

CT ^ p"CT J V

где f(z) - произвольная целая функция, не нарушающая киадр.-ппчную интегрируемость F(x,y,l). 5. Если ^/{O.tl} и рационально, то (г и(х2 + у2)

, 4, i2 -i(2n0 +|m0| + 90m„ +l)arga £ с„т^п т(Х, У), кр (ст) ).,,„

F(cc, у, 0 = г7 ехР

где пары индексов (п,т) есть решения уравнения п целых числах

2п+|т|+0от=2по+|то|+б,отпо. (32)

Приводятся результаты численных и натурных эксперимент»» по реализации лазерного спирального пучка при конкретном значении "ч Показано их хорошее соответствие.

I? §3 излагаются основы подхода для синтеза спиральных пучков снега, интенсивность которых визуально похожа на некоторую плоскую кривую. Предлагаемый подход позволяет строить распределение интенсивности в ви-

де плоской кривой (или совокупности таких кривых) из некоторого набора "базисных" пучков.

Отправной точкой задачи синтеза спиральных пучков такого рода является интегральное преобразование (15) и получение спирального пучка, имеющего форму отрезка [-а,а], расположенного на оси ординат:

аЛ

с'7(г,г| [-ш,ia]) = ехр(~гг + г2) Jexp(-$2 -. (33)

-а Я

№ пользуя найденные пучки-"отрезки" как базисные, можно конструировать разнообразные пучки с интенсивностью в форме ломаных. На рисунке приведен приме)) пучка, имеющего форму правильного треугольника, который построен как сумма трех смещенных и повернутых пучков-"отрезков".

1!_йшслшцсшш сформулированы основные результаты диссертации.

Основные результаты

1. Найдена однозначная и аналитически явно выраженная связь между одномерной комплекспозиачной функцией и модулем ее преобразования Френеля.

?.. Исследована связь между двумерной комплекснозначной функцией и модулем ее преобразования Френеля. Установлено, что задача сводится к нахождению плоского векторного поля по его ротору и дивергенции, причем ротор подчиняется условию сохранения .и с точностью до знака может быть найден во всех экстремальных точках интенсивности. Для безвихревых полей получена связь между функцией и модулем ее преобразования Френеля в явной аналитической форме. 3 Найдено интегральное преобразование типа Фурье специального вида, устанавливающее взаимно-однозначное соответствие между классами функций Эрли-га-Гаусса и Лагерра-Гаусса. Показано, что, если некоторая функция инвариантна к преобразованию типа Фурье, то существует другое преобразование типа Фурье, которое трансформирует ее в функцию с ра-диильпо-сш.шетричным модулем. •1. Найдено новое семейство автомодельных решений уравнения Шредингера (спиральные пучки света), сохраняющее распределение интенсивности при эволюции с точностью до масштаба и вращения.

Основные результаты диссертации опубликопаны п следующих работах.

1. Е.Г.Лбрамочкин, В.Г.Волостников, В.В.Котляр, А.Н.Малов. Решение фазовой проблемы в оптике в приближении Френеля // Краткие сообщения по физике - М., 1980, N 7, с.16-18.

2. Е.Г.Абрамочкин, В.Г.Волостников, А.Н.Малов. К вопросу о двумерной фпповой проблеме в оптике в приближении Френеля /1907. - И с. - Дрц. и ВИНИТИ. 18.05.87 N 3773-В87.

3. E.Abrainochkin, V.Volostnikov. Two-dimensional pliage problem: diffi'ienti'inM approach // Optics Communications, 1989, vol.74, N 3,4, pp.139-143.

4. E.Abramochk in, V.Volostnikov. Relationship between two-dimensional intensity and phase in a Fresnel diffraction zone // Optics Communications, 1989, vol.74, N 3,4, pp.144-148.

5. В.Г.Волостников, Е.Г.Абрамочкин, Н.Н.Лосевский. Устройство для фокусировки излучения в кольцо / Авт. свид. N 1730606 от 22 мая 1990 г.

6. Е.Г.Абрамочкин. О некоторых соотношениях между полиномами Эрмита и Лагерра /1991. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ. 20.02.91 N 1107-В91.

7. E.Abramochkin, V.Volostnikov. Beam transformations and nontramformerl brains // Optics Communications, 1991,vol.8:!, N 1,2, pp 123-135.

8. Е.Г.Абрамочкин, В.Г.Волостников. Фазовая проблема и счшрз enппе^ких полей // Компьютерная оптика - М., 1992, N 10-11, с.9Г>-Ш).

9. E.Abramochkin, V.Volostnikov. Spiral-type beams // Optics C.'nnmiunic.-ition:;, 1993, vol.102, N 3,4, pp.336-350.

10. В.Г.Волостников, Е.Г.Абрамочкин. Способ формирования волновых пот-м / Авт. свид. N 2046382 от 20 октября 1995 г.