Исследование одного класса нелинейных параболических уравнений с "двойным" неявным вырождением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ8 ОД

о П ПАП г-7)

' АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙД/КАНЛ

_. ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ_

На правах рукописи УДК 517.957

МАЛЮЮВ НАТИГ КУРБАН ОГЛЫ

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С "ДВОЙНЫМ" НЕЯВНЫМ ВШЖДЕШЕМ

01.01.02-Дифферендаальныв уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соисканиэ ученой степенл кандидата физшо-математических наук

БАНУ-1995

Работа выполнена в Институте математики и механики

Научные руководители: доктор физико-математических наук, 'профессор, академик •АК Азербайджана МАКСУДОВ Ф.Г., доктор физико-математических наук СОЛГАНОВ К.И. .

Официальные оппоненты: доктор фи^кко-математических наук, профессор ХУДАВЕРДИЕВ К.И.

кандидат физико-математических наук КАСУМОВ Н.З.

Ведущая организация: Азербайджанский Технический Университет.

Зэщита состоится "22" ¿ФЛ-с/гД . 1995 г. в /4, ООчзсоъ на'заседании специализированного совета Д 004.01.01 при Институте математики и механики АН Азербайджана по адресу: 370603, г.Баку, ул. Ф. Агаева, 9, квартал 553.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ИММ АН Азербайджана.

Афтореферат разослан "¿7 " СМ'Ш^иХ 1995 г.

Ученый секретарь специализированного -совета кандидат физико-математических

АН Азербайджана.

наук

БАЙРАМОВ Р.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ /актуальность работа.

Работа гшсвянэна изучению разрешимости смешанных задач для квазилинейных параболических уравнения с даявньш выроадэ-шзн.

При математическом моделировании различных задач гидро -механики соотвастауазщэ прадэссы описывается уравнениям вида

¿'и Гг р Р -а. -,

——ОЦа|Ои| ° +Ь|и| 1 ]Эи]<ОД,г) <1>

. ГД9 агО, ЬгО, р0,р4>1-некоторые числа, (х,гМЗ=1а,Ь)*(0,Т], о ,

Т>0, £а,Ь]сй1, Б=—Такого типа уравнение встречается, ох

например, г» теории фильтрации, диффузии и т.д.. .

Уравнения о нэлинеаностьв такого типа рассмотрены в работах К.Н.Солтанова с однородными услоьиями, а в работах И.И.Вишка, Ю.А.Дубкнского, й.-Л.Лконса, Х.Ерэзкса о неоднородными условиями, но о одним из нелинейных слагаемых урзвнз-

НИЯ (1 ' ■ ■ - '

В настояла работе изучаются различена задачи дат урзвнзниа, которые в ьбщрм ввдз иожао написать слэдувдим образом

«и г т

---П1а(х,г,и,ш)+Ь(х,г,и)ш1^(х,1,и>=0., (2).

При различных условиях на а(х,*,и,Ш) и Ь(хд,и) смешан-иая задача доя уравнения (2) ранее изучена в работах Т.Аики, а.В.Альта, Г.Бенилана, "»Бланчарда, Х.Брчзиса,

Ю.А.ДуОинского.О.Н.Кругдовь^ йк.Качурз, Й.Г.Крлщала, Ш.-Л. Лиойса, с.И.Похоиаева и др. Ошетш, что а более бликом ва-

риэятэ урзвнеь.^ (2) изучено в работах Т.Аики, X. В.Альта, Д.Бланчарда,Дй*'.ачура. В указанных работах разрешимость доказана в условиях, которыз но применяются к задачам, ра^мот-рзнвкя в настояяш работе, ь частности когда уравнение ккеет вид (1). _ - •

Эдэсь задачи для уравнэния (е.) рассматриваются в болте общих условиях, которые, в частности, применяются к задачам для уравнения (1/.

Квазилинейные параболические уравнения с нояваш выроя-д^нюн второго и шсокого порядка бьш рэсскотрь^ы в работах М.И.Вшнка, Ю.А.Дубинского, Ш.-Л.Летнса, К.Н.Солтанова и ^р. В этих работах отголъво катодом кокпакгеости и методом монотонности изучены 1фаевш задачи для уравнэния произвольного порядка, которыо газит вирсвдзния тйпа вырокданиа ииешихся в оаздущих уравнениях

ви г V-г ,,

В(|Ва| ° Вц)=Ь(ХД) ,

., р.-* ,

—-1)(чи| 1 0и]еЬ{х,г) .

' V >

В настоящей работе рассматриваются уравнения, которые ихеют вырондайия как гарвого, так и второго уравнений. Краевые задачам с,таким шровдэнием отвэчгэт нелинейные "интеграл зверпта" вида ■ •

х/'и) Р1*й | в^ах+Л 1Л1.1Роах »•

о о •

работа, Исолэдоваавэ разреиимооти нелинейных пара-бйлич&ских ураваэний с "деоййым* неявным вироадраиом второго

-5. ц высокого порядка и некоторых свойств роиениа рзссиотреавкх вадач.

Общая методика выполнения г зследованиз. В работе пополь-вухггся метода функционального анализа, теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Новизна результатов и т научная давность. Результаты диссертации явлшгся ноеыш и представляет как теоретически!, тек и прикладаоа интерес.

Агетробашя работа. Результата работы докладовзлксь и обсуждались на семинарах по нелглзгпым задачам аатематитоскод физика отдала "Дифференциальные уравмяня с частыми водшаяи" )Ш ЛН лзербаздаана, на научных коЕферэндаях аспирантов АН АзэрЙаадаана (1894,1995).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых цржодатся в концо автореферата,

Обьем работа. Диссертация йзлоязна на 102 страницах ?»ашн-еотшсного текста, состост из введения, лзуз глав и списка .кп-теретуру, в^сипывгхвда 37 нбиманованиа.

ОСНОВНОЕ С0ДЕШНИ2 РАБОТЫ , Во ввздеапэ даэтся крзтккз обзор рйот пргазлигашх ¡.с те)-кэ диссертации, вводятся вэобходамгэ обозначать» пргаодагоя асшаогыэлысгэ опрздодэкия й факты, хдагагйотея краткое со-дррзшню работа.

3 г; ;рзоэ главе изучается рззроцпгаость различных задач для уравчониа биоэ (1 >, а таикэ длл ураадения высоа го шряд-кз. Докззшаэтсй орзэетйО&аяй!)' обосишаго рэшэния. Б одном случсо доказывается супелжтдааэ. гладкого ремни«. Эта «шва: состоит из едтЧАх парзгрзфав. Л'.! V' у.'"1.";■ У' У) ■.-■ •

' -б-В горзок параграфе доказывается разрешимость смешанной задачи с одяондным крзэвым к неоднородным начальным условиями. Для иллюстрации подучэнного в пэрвом параграфе результата сформулируем теорэму параграфа 1 главы 1. Теорема: Пусгь р0>1, р^З-некоторые числа. Тогда дай любых

фушщиг и^х)«^^), Ь(х,1)б1ч(0,1;Г*(п)> задача ац . Р -х р -г. ,

™-ВЦ|Па| ° +|и| 1 ]ш]=Ь(хЛ) (1)

и(х,0)=ио{х), и<аД>=и(Ь,1;)=0 \ ' . (3)

разреши в 1и(0Д;Ьг(о))л^<0,Т.«^ <о))пр1р

о

т.е. для дзобоа функции т(хД)еЬр(0,Т;Г(«)) справедливо ра-

взнстбо

ей - Р-г р

f—V ах щ,+Д|Ш| ° +|и| * &? ах V ах йъ

а ^ а , а

здзеь р=шг{р0,р4}, q=p/<p-1).

Здась танке доказывается йьЛоторыэ результаты для зпо-ратора, тюроадзнаого данной вэдачей, который продставтад 1а виде сукны 'двух опзраторов.

В §2 этой главы рассматривается уравнение (1) о неоднородными условиями, т.е. '

и<2,0)«Ц,(Х>» Ш^Й^Ш, и(М)=иа<1;> (4).

'Л - •'■

, Лйхззызаатся леммы об йграничэнвости операторов» пороя-дашшх йадачэй, к елздувдая теорема рзэрещкоогй для задате <1 >. <4).

Теорема. Пусть pQ>1, р^&г-векоторио числа. Тогда, д-чя jaxftuc функция ио (х), ut(t), u2(t), допускающих во внутренность области Q продолжение в пространство Wp(n), задача (1), (4) разрешила в смысле Iq(0,T;W^(n>) (p=sr,ax<p0,pt>, q-p/<p-1)).

■ Трзтдш параграф посвшда уравнэдкз бнсокого порядка и исследованию разрешимости слэдувдзй задачи

— ~D^JJDnu| ° +|Dn"fu| 1 ]Dr,uj=h(x.t)

it<x,0)=uo(x)

Dku(a,t)=Dku<D,t)=01 k=Q,1..,n-1,

. Здэсь догсвзана следующая тоорэка разрзттостн дгя атоа задачи Теорема, Пусть p„>U р^г-кокоторта числа. Тогда, дет ласнх

фущщул и0(х)е1ч,<п) и h<x,t>«l.q(0,i;irn{n)) задача рэзрэшюю в

n|u<x,t)|u(x,0>=uo<x>, i^WsI^a)} в сгыаю

Дая доказательства теоремы разроишоста доказывается дзг£мы ой ограниченности операторов, пороздэизых данной аада-чеа."

главы I посвящэн гладкости рэшэнхы задачи (1), (3). В этом параграфе: получены некоторыэ результате о гладкости рэ-сения задачи (1), (3). При атом, поскольку доказательство зз-эасит от статоан сюлшэгшосги, для каэдог э масса нелинейности доказшзэтся отдельная теор?аа> А юганяо Таорэаа:- Пусть р0, р^нэкоторие чайла. удозлетаорящга ус-

ЛОВИВ рс>р,£4. Тогда ДЛЯ ЛХЙЫХ ФУНКЦИЙ ио(Х}е^(П) и Ь(Х,Ъ)в о ( о

Ьч(ОД;^(п>) задача (1), (3) разрешима в Ь^О.Т.В^оИл

® * . 1 .

в смысла 1^(0). т.е. дая лсбой фугчиий 7(х,1;)еЬ <0) справедливо равенство

/-V ах Шн-р[[|Ви|Р°~ +|и|РГ Азе

й ^ О (

8ДЗСЬ р=ЕНХСро,р1}, ф=р/(р-1).

Аналогичная теорема доказана и при условии 4?Р0>Р4*3< Иг зткх тсорл! слэдует, что иеС(0)пЬ (0,Т;С1(п)). -

о

В атом параграфа доказывается лзмиа ой эквивалентной та-ревормнровне в пространства 5' , ,(п) при и| =0. - А тага»

о1,ро,г I еа

дрхйзаны одно итгогр^ькой кзра&зистао и леммы об ограниченности спэратороа, пороздэншх задачей, в ссотвоствугазщ пространствах.

Во второй тдаво „ ззучгатся разрэашооть уравнения в об-крм вадз. Эта глава состсиг 1сз двух параграфов.

Для доказательства теарокы рззрошзгяегш доказыйюгея дэккы об ограниченности операторов, пора-данных данной задачей.

■ В глаш 2 наследуемся слздуюцая задача

и(х.0)<=ц,(х), и<аД)=ц(ЪД)^0 <б)

гда а(хд,и,?), Ь(хД,г)), и0<х), ЬСх.Ю-пзкоторые Функций.

Предполагается выполнение следующих условий 1)в(хД,ч,?)-Функция Каратеодрри по й чвП1, ? -я*,

причем существуют постоянныэ со,с2>0. са*свгО, ро>1 такиЭ, что

з)а(х, г ,г))?гсо < |с |Р°-| п |Р°)-с|, л£р;<рс

р-« рд-1 Ь>|а<х,1.ч,0|*са(|«| ° +|»| ° )+сд

аКа^Д.ть^ЬааД.г^зЖ?,,-?,)^, пей1, ?4еП%

Кроме того, функция а(х,+,,)?»0 тзкзя, что здлыгический ота-' ратор, порожденный выражением Ба(х,1,и,Ш), икёет неявное вь1-рогдашта при Ш=0. В частности, еслй а(х,1,п,?> дв$*йронц"ру-еаа> то предполагается, что а^(хДл',0)=0. ..

й)Ь(хЛ,п)-фушсшя Кзратеодори по (хД)еО и пей1, праяи су- ■ даствуюгг постоянные ап,Ао>0, такие, что дат

аоI^Г4

Дл>< зтоа сэдзчи доказывается Тоотома: Пусть выполняются условия I)-?,). Тогдч дал лп5ых

Фушшкй ио(хК-12(п), }1(х,г)Ц(0,Т;Г*(п)) задача <5), (3)

о. а.

разрэшка а 1й<0Д;Г.,<й>)п1, <0,Т;*£ <п))гР • (<})п

рО О 1

г.|ц(хл)|и(х.а)=ий(х), ио<х}ег,я<0)| (здэйь р=йях{р0»р4 } , =р/(р^>) в сшслэ Ь <0/С;Г'(й>). " ' '

• * ч ч [

Здесь такта доказъйзптсл некоторое результаты дай опэра-тора, порожденного данной задачей, который представим в вида суммы двух операторов'.

- lOba втором параграфа отоа главы иссадувтгя разреалшсть еадачи (2>-(4).

Предполагается Еыпилнаниа слэдувфго условия . 3)Г(х,г,и>-Фушадия Каратеодорк ш (x,í,n)cO«lf, т.е. r(x,t,u)

гамэрлаа ш s'x,t)eQ для ncR1 и непрзрынно по г? дая (x.t)eQ, < .

щтэы сдаствуют постоязныз Но.го^0 и функция Kjx.OeL^Q)

' Что го< иах{р0-1,рж-1>,

q?: Din{q0,q,j, ^=!\/<|\-1), 1=0,1.

Доказывается слздуг.гщая 1 Тоороаа: Пусть выш.шрчтся условия 1)-3), причем

KíSx,t)aXq(Q>, гдэ p=aax{po,pt), q.=p/(р~1). Тогда для лзсйах

, ф'тасция uc(x), u^t), u,<t), додускаища во шутрзнность об- .

.дота Q рродолшшз a пространство задача <2), (4)

раерааииэ в смыагэ í («>>'•

. Бдась такаю, доказыааюггсл кашгорао розультьты для опо-

раторав, ПороадэннкЧ данной о^дочэд, и шпэгрольннэ неравен-*

GTBSi

В оакличвшдэ счетам своим пршптша ..рлгон выразить глубокое благалрность иаучиш руководатодьда академику ЛН Азэр--багдана Цаксудову О.Г. "л Дрк. фаз.-гт. наук СодггеноБу К.Н. ' да постановку задачи» постояцноо ышааниа и пзйото м обсуа-' íPBJa падуче ВДЫх результатов.

»11-. . ' Публикации по токо лкссоргагай' '' '' 1« Джалилов Н.Г. О разроишости одной параболической задтга с "дйойноя" гшинеаностьв» Материала науч. гшф. аегз.рзито» АН Азербайджана, Баку, "Элл", 1895, стр./З-Ю. > ' >'! Й. Дкалаяпв Н.Г, О разрешимости одного выро^шегося пгрзбо-* отческого уравнения высокого горпгка. Йэп. Ь 'р&ЗО, ГЙ95. • : ■ . ' 3. Диалогов Н.Г. О гладкости рзпшия бдзоа параболиче^йва задачи о "двойной" нолинеанастый, Иа^ериай! йзуч. конф. асйн- ■ раатоо АН Азербайджана, БакК "Элм", 1965. '<':'"'

, s ; i " - Чааадв Щер Дурбан оглу

rejfi-amsap "ркигат" vdpjanmaja калик . фф оадф iQjpH-iermi параболш? твндаздариа тадшги : ¡ \ ; •,./'.' - ■• ; : хуласа '

¡ ííjicceprraciij& даиадэ "щахат" чырлзшзд^а калик м^аихетти теаваавр учун rojy^wi гаршыг ыесаяалерид iioua-5И5 варлиш тад-То" wpyj: - Еедэ тип те\шшзрга хусуса ыша-; рун? сузулда, даШ^з вазер*Шелзривдэ pa уыушшэтла вдд-ромэхбШшзш сщ> чал. да; ар иаоадащшшш р^аза.тедгнгиндз рас f кадвхшр; • • ' 1 ■

: ' {хшчшшц, рщэ rojpa-xerrm Собагов фазасшда екашшлзвт , i нору , ь^тшда дэгш вз За'ш интеграл берйЗврсиасвдзр ксбат ^нур. . ; : '■: ; V ;

,-•.;•; '. • JalUo? liable Durban oglu

•. ' Äe lxr/e^tißatiori oí one claaa oí nm-lnecr , parabolic equations s Ith "фиЫг inpltalt, degeneration

^ ■ • КйШСЭ. ! ч. ■" -

Jn ш ülssöft^t^on lt la Uwstj&itcd tho йогу ability oí tto olX£ü problema íor cho quaaillnter perabolic equations «slth "doubl* Japlli it ûogensratlon, Tfte particulier созез o£ svsïi typo equations ariso in ílltrattoi. tíieory, diríuslon theory «ad ßensraly Ц the c&tte&aUcal oí сану oth~r proteicas oí fiyÛrûŒÈoheidcB, ïha oDouî equival ont ' yenör^liag in Sottoioys noiú Daser ep&oe «па е^сз integral