Исследование одной несамосопряженной краевой задачи для параболитического уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В. ЛОМОНОСОВА Факультет вычислительной математики и кибернетики

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ НЕСАЮСОПРЯЖЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

0i.0i.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ВАЛЖОБА ЕКАТЕРИНА АЛЕКСАНДРОВНА

Москва - 1995

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент Н.И. Ионкия.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор В.Ф. Тишкин, - кандидат физико-математических наук, доцент В.В. Тихомиров.

Ведущая организация - Институт Прикладной Математики им.

М.В. Келдашз РАН.

Защита диссертации состоится " 6 " улих^уул^ 1Э96 г. в часов на заседании диссертационного совета Д.053.05.37. по математике при МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, факультет вычислительной математики и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан " " _ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

Е.И. МОИСЕЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность хеш. Развитие численных методов и вычислительной математики связано с необходимостью решения многих задач науки и техники. Большое место среди этих методов занимают конечно-разностные методы (разностные схемы). Благодаря своей универсальности они широко применяются при исследовании многих задач математической физики, а также ряда других задач.

Внимание как отечественных, так и зарубе:кных математиков в последние несколько десятилетий привлекают задачи с нелокальными краевыми условиями. Они принадлежат к классу актуальных задач, на необходимость изучения которых неоднократно указывалось А.А.Самарским и другими авторами.

Основополагающие результаты по теории исследования нелокальных краевых задач были получены в работах A.B. Бнцэдзе, В.А. Ильина, A.A. Самарского. Эти работы дали мощный импульс исследованию и всестороннему развитии этого направления современной науки.

Большое число различных типов нелокальных задач характеризуется разнообразием приемов и методов их исследования. До настоящего времени не существует законченной теории исследования такого типа задач. Нередко авторам приходится применять новые или модифицированные методы, так как применение классических методов, таких как метод разделения переменных, принцип максимума, метод энергетических неравенств, затруднено.

К указанному типу задач относится и задача, которая является предметом рассмотрения в данной диссертации. Исследуемая задача является сопряженной к задаче Самарского-Ионкина. Особенностью рассматриваемой задачи является несамосопряженность, по-

рожденная краевыми условиями. Это определяет трудности ее теоретического изучения и исследования дискретного аналога. Результаты общей теории разностных схем и дифференциальных уравнений невсегдз удается перенести на исследование данной задачи.

Настоящая работа возникла как продолжение исследования одной неклассической краевой задачи, сформулированной A.A. Самарским и изученной в работах Н.И. Ионкина.

Для указанной задачи в случае постоянных коэффициентов было доказано существование и единственность классического решения, получены априорные оценки решения по начальному условию и правой части уравнения. Кроме того, были найдены собственные значения, а также построена система собственных и присоединенных функций. По-видимому, это первый конкретный пример в теории несамосопряженных задач, в котором для каждой собственной функции, за исключением собственной функции, отвечающей нулевому собственному значении, построена присоединенная функция, так что присоединенных функций бесконечно много.

Были также изучены разностные схемы для задачи Самарского-Ионкина. В частности, были рассмотрены вопросы существования, единственности и устойчивости разностного решения. Получено представление разностного решения в виде разложения по собственным и присоединенным функциям в биортогональную сумму. Выведены априорные оценки решения в метрике Lr,iw}]).

Исследование устойчивости решения в более сильной метрике с в случае, когда правая часть уравнения зависит только от переменной х, проведено в работе Н.И. Ионкина и Н. Зидова. Для получения априорных оценок используется представление решения в виде разложения в биортогональную сумму по собственным и присоединен-

ным функциям, а также теоремы вложения С. Л. Соболева .

Н.И. Ионкиным был также предложен и обоснован новый метод изучения равномерной устойчивости и сходимости разностных схем, который основан на использовании алгоритма нахождения численного решения и свойств матрицы, обратной к матрице, порожденной системой разностных уравнений.

В работах Н.И. Ионкина, Д.Г. Фурлетова этот метод получил дальнейшее развитие. Он был обобщен на случай переменных коэффициентов. Предложенный метод позволяет получить априорные оценки, из которых вытекает устойчивость и сходимость разностного решения в равномерной метрике с в случае переменных коэффициентов, которые удовлетворяют следующим условиям:

с(х. Ь )=с(1~х. Ь) . к (к. Ь )=к(1-х, Ь), а(х. Ь)=д (1-х, Ь !.

Цель работы. Основными вопросами, исследованными в диссертации, являются:

1). изучение дифференциальной задачи в случае постоянных коэффициентов на предмет существования и единственности классического решения, устойчивости по входным данным;

2). исследование разрешимости разностной схемы, а также ее равномерной устойчивости и сходимости в случае переменных коэффициентов ;

3). детальное численное изучение спектра задачи.

Общая методика. В настоящей работе для исследования дифференциальной задачи в простейшей постановке используется методика, предложенная Н.И. Ионкиным. Для случая произвольных коэффициентов применяется метод исследования устойчивости разностного решения, позволяющий получить априорные оценки в равномерной метрике а. Спектр задачи в случае постоянных коэффициентов

изучается аналитически, а в случае переменных коэффициентов -путем проведения вычислительного эксперимента.

Научная новизна. В диссертации получила дальнейшее развитие теория исследования несамосопряженных задач, предложенная в работах Н.И. Ионкина. Доказано существование и единственность классического решения рассматриваемой краевой задачи в случае постоянных коэффициентов. Получены априорные оценки решения разностной задачи для случая произвольных коэффициентов, зависящих как от переменной х, так и от переменной t, в равномерной метрике с. Детально изучен спектр задачи путем проведения вычислительного эксперимента.

Результаты, представленные в диссертации, являются новыми, математически строго обоснованными.

Приложения. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты представляют определенный интерес как в теории несамосопряженных разностных схем, так и в построении методов исследования неклассических краевых задач. Предложенный алгоритм может быть использован для численного исследования некоторых прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМиК, руководимой A.A. Самарским, а такие на Международной конференции по фундаментальным наукам "Ленинские горы - 95" (г.Москва, 1995 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы автора , перечисленные в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 7о страницах; состоит из введения, трех глав, каздая из которых разбита на

параграфы, и заключения. Список литературы содержит 47 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приводится постановка задачи, дается обзор результатов работ, прилегающих по тематике к задаче, изучаемой в данной диссертации, кратко излагается содержание работы.

Математическая постановка задачи состоит в еледумцем. В области D^{(x,t), о<х<1. o<t< Т} ищется классическое решение и fx, t) краевой задачи

сСх, t)ut=(k(х, t)u^)^-g(x,t)u(x,b)+f(x, Ъ), < 1)

Ux(l,t)=0, u(0,t)=u(l,t), (&t<T, (2)

и fx, 0J=tp(xJ, Oixil. (3)

Предполагается, что функции c(x, t), g(x. t;, f(x,t) непрерывны, к fx,t) непрерывно дифференцируема, ф (x) удовлетворяет краевым условиям (2). Кроме того, налагается следующие ограничения на коэффициенты k(x,t), qfx,t), с(х, t):

0<b^k(x,t&br,r tXq(x, tKb3. 0<bj<cfx, t),

ГД8 br b9, bg, b4 - константы.

Задача си-сз) является несамосопряжэнной из-за краевых условий (2).

Первая глава посвящена изучению дифференциальной задачи в случае постоянных коэффициентов.

Глава L состоит из четырех параграфов.

В §1 приведена постановка дифференциальной задзчи.В простейшем случае найдены собственные значения

\к={2Пк)2, к=о, 1, 2, ... и построена система собственных и присоединенных функций:

У0(х)-1, Г 1(х)=сов2Икх, Уок(:<)=( 1 -х; з ШЖкх, к~1,2,----(4)

В §2 доказана базясность системы собственных и присоединенных функций (4), получена двухсторонняя оценка. Результаты сформулированы в виде теоремы 1.

Теорема 1. Последовательность собственных и присоединенных функций {Ук(х)$°0 образует базис 6 пространстве функций Ь9(0,1), и для любой функции ф (х)>а Ьг,(о, 1) справедлива двухсторошшя оценка.:

_ со _

2 Я1Ф12, (5)

к=0

где в-16, г=2/з, а (рк - коэффициешы биортогоналъного разложения

произвольной функции (р(хМ1г/о,1) по систеле функций {Гк(х)Г0 ,

которые определяется по форлуле л

ФЛ=ГФ,.Ук>=$<$(х)Хк(х)&к, к= О, Л,2,... . О

х]{ - совокушость собственных и присоединенных функций сопряженной задачи.

В §з сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности классического решения задачи ш-(3) с постоянными коэффициентами (теорема 2 ж теорема з).

В §4 изучена устойчивость решения задачи (1)-(3) с постоянными коэффициентами по входным данным, получена априорная оценка (теорема 4):

означащая устойчивость решения по начальному условию в норме ь9(0,1). Для получения априорной оценки (6) было использовано представление решения задачи (1)-(3) с постоянными коэффициента-

ми в виде биортогонального ряда и оценка (5).

Во второй глава рассмотрены разностные схемы. Доказана однозначная разрешимость разностной задачи, изложен алгоритм нахождения численного решения. Получена априорная оценка для случая произвольных коэффициентов, из которой вытекает равномерная устойчивость и сходимость разностного решения.

Глава 2 состоит из четырех параграфов.

В §1 выписывается разностная схема, аппроксимирующая дифференциальную задачу (1)-(3). Показано, что указанная разностнзя схема имеет второй порядок погрешности аппроксимации по л и i для а =0.5 и второй - по л, первый - по т для а* о. 5.

В §2 исследована разрешимость разностной задачи (теорема 5), построен алгоритм нахождения численного решения, являющийся одним из вариантов метода прогонки, доказана корректность предложенного алгоритма (лемма 1).

В §з для разностной задачи в случае произвольных коэффициентов, зависящих как от переменной л-, так и от переменной ь, изучена устойчивость в с семейства разностных схем. Результат сформулирован в виде теоремы 6.

Теорема 6. Пусть втолнеш условия

1(1-0 ), OSP^l. (7)

Тогда разностная схема равиолерно устойчива по началънолу условию и правой часта уравнения, и для ее решения справедлива оценка

<Я<Р1 с*- 1 (8)

Из теоремы б следует, что чисто неявная разностная схема (o-i) абсолютно устойчива и для нее справедлива оценка (8)

(следствие).

В предположении, что решение иГх, ь) дифференциальной задачи <1)-(3) обладает достаточной гладкостью, справедлива

Теорема 7. Пусть выполнены условия (7). Тогда решение разностной задачи рабнолерно сходится к решению дифференциальной задачи со Вторил порадкол по ь и а при а =0.5 и со вторая порядкол по л и пербъи - по % при о* о. 5.

В §4 изложены результаты численных расчетов, проведенных с целью проверки эффективности предложенного алгоритма нахождения численного решения и изучения равномерной сходимости численного решения к точному.

Глава з посвящена исследованию несамосопряженной краевой задачи для стационарного уравнения теплопроводности. Основным вопросом исследования в главе з является изучение спектра задачи как в случае постоянных, так и в случае переменных коэффициентов. В простейшем случае собственные значения и собственные функции находятся аналитически, а в общем случае спектр изучается численно.

Глава з состоит из трех параграфов.

В §1 рассмотрена стационарная краевая задача в дифференциальной и разностной трактовках. Доказана равномерная устойчивость и сходимость разностного решения к точному (теорема 8, теорема 9).

В §2 приведена постановка задачи нз собственные значения в общем случае. Для случая постоянных коэффициентов аналитически были найдены собственные значения разностной задачи, а также собственные и присоединенные функции.

В §з проведен детальный анализ результатов численного зкс-

перимента по изучению спектра задачи в случае переменных коэффициентов .

Разностную задачу на собственные значения можно записать в виде системы линейных уравнений А УД. У,

где

А =

С1 ~В1 ~А9 С9

О -А

О ...О

о ... а

ч сч ~вя... о

о о о

~А1 о

о

о о

АЫ-1 СЫ-1

-в,

N-1

0... о

-А.

с.

несимметричная матрица с элементами

А .=— а ., В .=А С ,=А .+А . А .. 1=1.Ы-1:

1 п 1 11+1 111+11

Для детального исследования собственных значений задачи был рассмотрен широкий класс коэффициентов к(х)г <з(х). Численные расчеты проводились для различных шагов сетки <5}.

Анализ многочисленных расчетов позволяет сделать ряд следующих выводов.

1. Действительные части собственных значений неотрицательны.

2. В случае симметричных относительно точки х=о.5 и линейных коэффициентов к(х), з(х) собственные значения действительны и квазидаукратны, то есть располагаются парами таким образом, что модуль разности каждой пары представляет собой достаточно

малую величину по сравнению с расстоянием между парами. Установлено, что при равномерном приближении коэффициента кСх> к константе расстояние между собственными значениями, расположенными в парах, стремится к нулю, так что при к(х)=сопзЬ квазидвукрэт-ность переходит в двукратность.

3. За исключением случая постоянных коэффициентов к(х), д(х) не было получено двукратных собственных значений.

4. Численные расчеты, проведенные с коэффициентами

1/а-иоохл/ехц>(х+1), 1/ех&(5х), 1/(х+1). показали, что среди собственных значений матрицы а появляются комплексно сопряженные.

5. Комплексно сопряженные собственные значения имеют такие действительные и мнимые части, что для них справедливо неравенство:

К < 1. к=1,г,..ы-1.

ix

6. Анализ расчетов позволяет установить характер роста собственных значений в упорядоченном спектре для случая действительных собственных значений:

и для случая комплексно сопряженных собственных значений: к2 <Яек ¡.<с1 рЛ-5, а 1 >о.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю к.ф.-м.н., доценту Н.И. Ионкину за постановку задачи и руководство в процессе ее решения, а также академику A.A. Самарскому и профессору A.B. Гулину за внимание к работе.

Статьи автора по теме диссертации.

1. И о н к и я Н.И., Валикова Е.А. Прямые и численные методы решения одной неклассической задачи теории теплопроводности (сопряженная задача).- М., рукопись деп. в ВИНИТИ РАН 03.06.94, .К1382-В34.

2. Валикова Е.А. Задача на собственные значения для одной неклассической краевой задачи.- Материалы Межд. конф. студ. и аспир. по фунд. наукам "Ленинские горы-95", М., 1995.

3. И о н к и н Н.И., Валикова Е.А. Принцип максимума для одной нелокальной несамосопряженной краевой зэдачи//Диф-фереНЦ. уравнения. 1995. Т.31, №7, С.1220-1227.

4. Конкин Н.И., Валикова Е.А. О собственных значениях и собственных функциях одной неклассической краевой задачи// Математич. моделирование. 1996. Т.8, М, с.53-63.