Исследование операторов перестановок системы Хаара в некоторых функциональных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГб о

л 13 ОССОВСКИЦ .ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ШЕНИ И. В. Л СК СНОСОВ А

2 0 мл г ш'»

Ыеханико-ыагеиагичесхий факультет 9а правах рукописи

. (ЛЫРБА ДАВИД ЗАКАНШЧ

УДК 517.512

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ ПЕРЕСТАНОВОК СИСТЕМЫ ХААРА В НЕКОТСРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫ! ПРОСТРАНСТВАХ

(Ot.OI.OI - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата • физико-математических наук

Москва 199*

Работа выполнена на кафедре иате^атического анализа исханкко-иагецагвческого факультета Московского государственного университета иыеик I'..В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор ^зикс-ыагекагическгх наук,

профессор Т.Е.Лухааеш:о. ,

Официальные оппоненты: доктор физЕко-цатемаяических наук, в.н.с. С.В.Ео^нарев, доктор физикс-!.:2Темаглчесю'х наук, профессор Б.И.Голубсь. Ведущая организация- Кссковсккй государственная илст.тгут электронной техники -технический унизерситет.

Защита диссерхадии оостоитйя //5" Дуу^-^С/Л?,* 1994 г. г 16-С5 чао. на заседании специализированного совета Д.053.05.№ при Ыосковскоч государственном университете кчвак 1!.2.Ломоносова по адресу: 119399,ГСП,Цосхва, К1У, Ленинские горы, нехвнико-иатеиатячески!} факультет, аудитория 16-2*.

С диссертацией иоано ознакомиться в библиотеке иехьнико-

I

цатемамческсго факультета МГУ (14 этаг).

Автореферат разослан ¿.С^О-У-^Сс~ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совет^.

Д.СЗЗ.ОЗ.Й при йГУ, профессор

Г.П.Луксшенко .

J.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теин.

Диссертация по свячена исследована як перестановок рядов

Хаара.

Интенсивное изучение системы Хвора в последние десяти- ■ л;тая вызвано ее широким использованием в теории фушений, в теории. вероатлепей и вычислительной математике .

В 1959 году В.Ф.Гаполкин показал [II , что система Хаара не является сякметричным. базисом в , р Ф 2. • Эт.? означает, что оператор, осуществляющий не штору о перестановку функций Хаара неограничен в . Однако система Хаара сблахзег неко-

торыми свои и: вами присущими симлетрияным базисам. Их выяснением для одного класса перестановок в пространствах [^.^^р-^^о.р^г^) зенимался Е.М.Семёнов М , в двоичных пространсгтх Харда и, ЬМО-Ф. Шлпп [3] . Им же получен, как следствие, один результат Семёнова об эквивалентности в пространствах [Л (сх. ¡31).

1. Б.Ф.Гапоикин, 0Í одном свойстве безусловных базисов з пространстве LÍL , Успехи иатеи. наук, т. И, 1959, с. 143-143

2. Е.М.Семенов, Об эквивалентности в перестановок си'тгемы Хаара, Докл. Акалении наук СССР, 242, 96. J57B, с. 12581260 .

3.F.S.-í\Lpp, On есцх.суа£еизе,Оз тсатгапое.-ó;f-LRe. Наа?» ^у^-Ье-м it-, dyadic, \rlar-dy om¿ ЬМС1

spaces, Jlnatysis. Mo.-tf,., <6, л/92.} {990, <55-iMi ,

г.

Ч .Каккарти использовал конкретный оператор перестановок системы Хаара для изучения вопросов, связанных со стягиваемостью линейной группы базохот пространства Г пример кшскарти приведен в С1*!) •

Интерес ¡с этому направлению наследований перестановок рядов Хаара и определил тематику нашх исследований .

Цедь работгы. Изучение операторов перестало- ' вен система Хаара в двоичных пространствах Хард» и ВМО, а также в 1Л } { ^ р ¿оо

Неводы и с аледованай . Результаты работы излокеан с использованием лишь классических методов сопряжения и интерполяции линейных операторов.

Научная новизна. Бае полученные в работе результаты явивотся новыми.. Основные и.з них следующие.

1. Установлено, что оператор осуществлявший некоторую перестановку функции Хаара может быть неограничен из 1_Л_ б . I ^ для всех и всех р,

2. Получена сцен я« кормя оператора, саат-ьегсгвуощего произвольной перестановке системы. Хаара в двоичных пространствах Харда и БМО .

3- Решена задача о числовой оценке снизу нормы оператора перестаиоЕхи системы Хаара в пространстве р-гсс^р^й}.

Б.С.Мнтягин, Гомотопическая структура линейной группы банахова пространства, Успеха кахем. наук, 25(5), 1970 , 63-106

3.

Прилоаения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут бытк использованы в различных вопросах теории функций,- фуккичональногс анализ*. и их приложений.

Апробация районы. Основные результаты диссертации. дахльдызались:

- в ТГ7 на cdмкнаре па теории фунхций а фунлшспаль-ному анализу (руководитель чаен-ксрреспондект АН Грулаи Л.В.Жияа-аввили) . Т&лис1, 1992 год.

- на научной сессии профессор ско-преподавательского со егоза Абхазского госуниверситета, Сухум, 1992 год,

- в Математическом институте им. В.А.Стеыова РАН на семинаре по ортогональным рядам (руководагель Б.С.Кааш) , Москва, 1593 год.

- в ЛГУ ка сечинграх по теории ортогоньлншх и тригонометрических рядов (руководителя член-коррсслоядент РАН П.Л.Ульянов, К.К.Потапов, К.И.Дьяченко) , по теории функция дейезгштель-ного переменного (руководители Т.П.Лукашенко, Б. А.Скворцов), Москва, 1993 год .

Публикации . Основные результаты дассертации изложены в работах, ста сок которых приведен в конце автореферата.

С т р у к тг у р а дисеерва ц и м . Работа состоим из пяти параграфов и списка литературы . Обьея работы -

57 иештошеодх страниц. Библиограф!я вклвчает 25 наименований-

ч.

КРАТКОЕ СОДЕРЗЛШЕ даССЕРТШй

I и 2, представляющие введение, носят вспомогательный характер. В них приведен обзор работ по изучаемой теме-и сформулированы основные результата диссертации .

Пусть ¿\/= { 0,1,2,....} а Д0 = {1= С К-г , ос+о-г 3:

А-Лви{сО,о}',и^ = {^1 ЛеА} - система Хаара, занумерованная элементами множества А так :

£ 4.£СО,0 .а для 1С Ао

СО,<1 °

а.

-и

— И-1

\ри.

О С0,1)4 I

Определение I. Биекция SC: А- А нагибается сохраняющей перу, если Ana каждого JG. А икеем

Ii \ ,'где | П | - мера Лебега множества Л . Гуиъ ( £> j IM! J - йенахово пространство, в которой линейная обэхочгл сисгеиы Хаара плотка ,

Каждая биекция SC: А-» А порождает на <зб оператор

н = > п , ,

•зс I ЗОД. '

Ie А

I= JftyU-Udt, геА

о 1

Rvo

ограничен на. oL , то его ыоаио продолжить

JC

до ограниченного оператора на В>

О п р е д е л е н и е 2 . Системы У и. Y» =i И 1£Ат

-- J 4sc ад)' J

назызавтм экен валентны ми в пространстве D , если для любой последовательности чисел С - } L А}

'к- I

ш>г

- п

равносходяхса в ^

Эии валентность ^р и

связана с ограничен-

ностью операторов ^^ и ^ЗС' 1 ^^ ~~ ото^аже™е °Фат ное к. ЗС . Сисаешх и. ^ эквивалентна в . если

и только, еси оаераюсы ; В) —> В> ограничены.

'Зс1 яе1

Пусть Н - двоичное пространство Харда., т.е.

Н = {%ей ио,1): = М оо} ,

1

, 1С. £ С.0,0 з

и пусть

&мо -

двоичное пространство, сопряженное к И , т.е.

д

^ со,а 3 ьмо 1с А * 111 '

им о

а м-» - двоичное пространство, сопряженное к югсороиу есть

И , т.е. . -

г ц

чю=Не.М0: и* 3е1 = о>

II|-о III " '

Диссертация посв^ена исследовании операторов £ о

в пространствах М , В М О и рф2..

Пусть - множество, полученное ббьедангнием произвольного конечного числа попарно непересекающихся элементов аз Ао ,

к пусть ^ • - семейство всех множеств вида Ё" .

Определим "р,С] - норму" биекции следу-

ющим обоаэом:

д-я

(зад!

-Г.р

1Р1

|зад|р, ч

11=1 ^

где

зс(р) = 1/5Ц0) , зеА

а "норму" биекдаи ЗП.: А—* А ~ ^^ :

ЦЗС.Ц = всир I £ А

ихса) Щ

г

Мевду " р,С| - норной" и "нормой" биекции'ЗС: А-»А существует: следувдая связь:

и! '

ПЗД = ЦЗС11 Р (Ы р ^

в § 3 даны оценки снизу нормы операторе.

^^ Я ^ Р 003 • Та« же (теорема 3_) приводится пример оператора Р. неограниченного из в для лпбых

р.Яб.в.2.) и любых р,я еса,ооЗ.

Теорема I. Пусть ЗС: А~» А произвольная • биекция . Тогда

11 ни и? " "^'"м-

Из этой георемы следует один результат Е.И.Семёнова (см. теорему I в 1.53 с. 284_) . Оценка же

"Лс.П1£-1? ^ 11"м ^Р <0°3

опровергается, даже в случае сохранявших «еру биекций ЗО А-* А (см. теорему 4 в £.53 с. . Одаако; если при некотором ">- О

5. Е.М.Семенов и Б.Итекерт, Перестановки састеш Хаара в пространствах , Лпавр^ Иа-Ьр1., 7, т. 1581, 277-255.

НЗСД ¿во ^н^я^Р ^ пли \lXll ^оо(^^р^оо)

то II ограничен из 1— в |_ (сы. И с. 250) .

зс

Т е о ? е к а 3. Существует такая, сокранкнцаа меру

биекция • А —» А» » опералор неог-

чГС

раначен для любах р^ вС(,2.) и любых р3£[ в оо) Замечание. Суяегавование неограниченных операторов .

ним ^дЗ . Теореиа 3 обобщает это свойство системы Хаара .

з I ^—| ^было доказано В.Ф.Гапоахи-

В § приводятся утверждения, связанные с эквивалент: — носсьв произвольных перестановок системы Хаара в двоичных пространствах Харда и Ш0.

В работе (дЗ Шяппом для сохраняющей меру блекции 'ЗС: А— А приведена оценка

II ГЦ, 11 ^ 11(1 .,11 «<5ир ^ Н ос' Вьо т г

Ь этой оценке правое равенство ошибочно:

Теорема Для каждого натурального числа И. существует такая сохраняющая меру биекция , что

но

хеА

ихда)

У\

= г

и

ИИ- . Н

ЗС^ ВИО

2,

а.

Основной результат зтой части работы -Т е о ре на 5. Пусть ч/С.'А—* А произвольная биекция, ■ЗС(СО|(1^= СО,<1 , Тогда

Ий- II, л>11& -Л ' =||ЯГИ

Следвтвие I. Система и экви-

валентные базиса в и и ум о , если и только, если

Паси ^оо и нзс'и^оо

Р

с л едатвие 2. Пусть "2. р <.оо 5 С| =. — и пусть 5L-'. А —* А произвольная биездия . Тогда

Следствие 3- Пусть *i р . Системы

и X1 эквивалентные базись в L^ , scjm и только , если

^ ас

11>ЗСЦ < оо и НЗС'11<оо

Замечание. Теорема 5 уточняет и обобщает теорему Шип-па из работы^.з! , а из следствия 2 получается}как частный случай, теорема 2 Е .М.Семенова (он.[д]е. 287J .

Условия llJLII-^oO И ^

являются независимым» (см. теорему 3 в t2jJ. Оценка же

It R- II л/ II5CH X L

опровергается, даже в случае ссхрр.няядах меру биекцийЗС'• А_> А (см. пример bUD с. I259-K60) .

Б § 5 установлены числовые оценки еьизу норлы в

ЗС

! Р

L (Up^oOjp^-a). .

»